本文我们考虑以下具有 Neumann 边界条件的$p$-Laplace 方程

其中 $1<p<n$, $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的光滑有界区域, $\nu$ 表示单位外法向量, $\varepsilon>0$ 是一个常数.

具有 Neumann 边界条件的椭圆方程的单峰或多峰解问题, 因其解所具有的特殊几何特征, 自 20 世纪 80 年代以来便吸引了广泛关注, 并得到了深入的研究. 当 $p=2$ 时, Lin, Ni 和 Takagi 在文献 [16], [18], [19], [20] 最先得到了极小能量解的存在性, 并证明对于足够小的 $\varepsilon$, 该极小能量解为单峰函数, 且尖峰出现在区域边界上平均曲率最大值点附近. 此后, 该方向的研究受到持续关注并产生了大量重要成果. 关于多峰解的部分经典结果包括: 文献 [1], [7], [30] 在不同边界条件下建立了具有多个边界峰的解的存在性. 文献 [4], [9] 构造了内部多峰解, 而文献 [5], [10], [11] 则在边界满足特定条件时, 证明了同时存在内部峰和边界峰的多峰解. 一般而言, 边界峰的位置与边界的平均曲率有关, 而内部峰则与距离函数相关.

这些研究中的一个重要工具是 Liapunov-Schmidt 约化方法. 该技术要求线性化算子是 Fredholm 算子, 即它需要关于线性化算子核空间的详细信息. 文献 [14] 中则采用了另一种称为流形方法的不同途径, 其主要思想是构造一族近似解, 然后证明在该近似解族附近存在真解. 此方法同样需要关于线性化算子核空间的信息. 因此, 上述所有文献处理的都是 Laplace 算子情形, 即 $p=2$ 的情况. 对于临界增长情形, 也有大量关于尖峰解的研究, 例如与 Lin-Ni 猜想相关的非平凡解结果见文献 [26], [27]. 更多研究可参见文献 [2], [8], [12], [17], [22], [23], [29]

然而, 对于 $p$-Laplace 方程, 由于目前缺乏对线性化 $p$-Laplace 算子核空间的精确信息, Liapunov-Schmidt 约化方法或流形方法对 $p$-Laplace 方程是否可以应用尚不清楚. 在文献 [28] 中, 我们通过将变分方法、梯度流以及拓扑度理论相结合, 有效避免了分析线性化算子的核空间, 建立了一种新的极小极大原理. 作为应用, 研究了方程 (1.1) 中 $f(u)=u^{q-1}$, $p<q< \frac{np}{n-p}$ 的情形, 证明了以下多峰解的存在性结果.

定理1.1^[28] 假设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界光滑区域, $f(u)=u^{q-1}$, $1<p<n$ 且 $p<q< \frac{np}{n-p}$. 那么对于任意整数 $k, l\ge 0$ 满足 $k+l\ge 1$, 当 $\varepsilon>0$ 充分小时, Neumann 问题 (1.1) 存在一个多峰解, 其具有 $k$ 个内部峰和 $l$ 个边界峰.

为证明定理 1.1, 我们引入了齐次泛函

本文中, 我们将研究更一般右端项 $f$ 情形下方程 (1.1) 多峰解的存在性. 在非齐次情形下, 不能再使用上述泛函 (1.2). 因此, 我们引入以下泛函

其中 $F(u)=\int_0^u f(t) \mathrm{d}t$.

证明定理 1.1 的一个前提基础是方程

存在唯一的基态解 (在平移意义下), 即在 $\mathbb{R}^n$ 上具有有限能量的非负整体解, 可见参考文献 [3], [21], [24].

在文献 [28] 中, 我们通过结合梯度流和拓扑度理论证明了定理 1.1. 为了将这一方法推广到更一般的非线性项 $f$, 我们需要对 $f$ 增加一些额外条件. 定义

记 $w$ 为方程 (1.4) 的基态解. 我们假设

(A1) $h(s)=: {\mathcal K}_{\mathbb{R}^n} (sw)$ 在 $s>0$ 上具有唯一的极大值点 $\hat s$;

(A2) $h(s)$ 在 $\hat s$ 处是严格凹的.

不失一般性, 我们可以假设 $\hat s=1$.

根据 Sobolev 不等式，条件 (A1) 意味着 $f$ 不能具有超临界增长. 值得注意的是, 仅需条件 (A1), (A2) 对基态解 $w$ 成立, 而无需对 Sobolev 空间 $W^{1,p}(\Omega)$ 中的所有函数成立. 事实上, 我们所寻找的解是尖峰函数 (见定义 2.1). 当 $\varepsilon \to 0$ 时, 尖峰函数可分解为有限个部分, 每一部分经过坐标缩放后都近似于基态解 $w$. 因此, 当条件 (A1)-(A2) 对 $w$ 成立时, 对于 $\varepsilon$ 足够小, 它们也自动对所有尖峰函数成立.

类似于文献 [28], 我们引入

并定义

其中 $\Phi_{k,l} ({\bf p, q}, {\bf a, b})$ 是尖峰函数的集合, ${\bf p}=(p_1, \cdots, p_k)$ 与 ${\bf q}=(q_1, \cdots, q_l)$ 为尖峰点, ${\bf a}= (a_1, \cdots, a_k)$ 与 ${\bf b}= (b_1, \cdots, b_l)$ 为系数,

和 $\hat\delta>0$ 是与 $\varepsilon$ 无关的小常数.

在此框架下, 我们有如下多峰解存在性结果

定理1.2 设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的光滑有界区域. 假设

i) $f$ 满足下面的条件 (C1)-(C5), 使得方程 (1.4) 存在唯一的基态解, 该解旋转对称, 单调递减, 且在无穷远处呈指数衰减;

ii) $f$ 满足条件 (A1), (A2). 那么对于任意整数 $k, l\ge 0$ 且 $k+l\ge 1$, 当 $\varepsilon$ 充分小时, 有

$\diamond$ Neumann 问题 (1.1) 存在一个具有 $k$ 个内部峰和 $l$ 个边界峰的解;

$\diamond$ 该解是泛函 $\mathcal K$ 的一个临界点，其临界值为 $Q^*$.

为证明定理 1.2, 我们引入一个梯度流. 该梯度流是指尖峰函数的一个形变, 使得泛函 $\mathcal K$ 沿该流单调减小. 设初始条件为某个尖峰函数 $\phi$, 则存在唯一的 $s_\phi>0$, 使得 $\sup_{s>0} \mathcal{K}(s\phi)$ 在 $s=s_\phi$ 处取得. 记 $u(\cdot, t)$ 为梯度流在初始条件 $\phi$ 下的解, 并设 $\sup_{s>0} \mathcal{K}(su(\cdot, t))$ 在 $s_{t,\phi}$ 处取得. 我们需要保证 $s_{t,\phi}$ 的唯一性，以及 $s_{t,\phi}$ 关于 $t$ 和 $\phi$ 的连续依赖性. 条件 $(A1)$-$(A2)$ 正是为了确保这种唯一性和连续性. 为此, 我们需要对所引入的梯度流进行适当修正, 具体构造见第 5 节.

因此, 映射 $s_\phi \phi\mapsto s_{t,\phi}u(\cdot, t)$ 是良定义的. 由文献 [28] 可知 $s_{t,\phi}u(\cdot, t)$ 仍为尖峰函数. 对任意尖峰函数 $u$, 我们可唯一确定其对应的 ${\bf p, q, a, b}$. 其中 ${\bf p, q}$ 表示尖峰位置 (即局部质量中心), ${\bf a, b}$ 表示相关系数, 详见第 2 节. 据此, 我们可以定义一个映射 $T_t$, 将 $s_\phi \phi$ 对应的 ${\bf p, q, a, b}$ 映射到 $s_{t,\phi} u(\cdot, t)$ 对应的 ${\bf p}_t, {\bf q}_t, {\bf a}_t, {\bf b}_t$. 进一步地, 应用拓扑度理论可以证明存在某个初始条件, 使得梯度流的解收敛到方程 (1.1) 的一个非平凡解, 从而完成定理 1.2 的证明.

关于定理 1.2 中的条件 i), 我们指出方程 (1.4) 基态解的唯一性已在文献 [21] 中得到证明, 若 $f$ 满足以下条件

(C1) 存在常数 $b>0$, 使得在区间 $(0, b)$ 上有 $f(t) \le t^{p-1}$, 而在 $(b, \infty)$ 上有 $f(t) > t^{p-1}$;

(C2) $f\in C^0[0, \infty)$ 且 $f\in C^1(b, \infty)$.

(C3) $\frac{t\hat f'(t)}{\hat f(t)}$ 在 $(b, \infty)$ 上单调不增, 其中 $\hat f(t)=:f(t)-t^{p-1}$.

文献 [3], [15], [24] 证明了, 若

(C4) 当 $t \to 0$ 时有 $f(t)=O(t^{p-1+\delta})$, 其中常数 $\delta>0$, 则基态解旋转对称, 单调递减, 且在 $|x|\to\infty$ 时呈指数衰减.

关于基态解的存在性, 文献 [15] 表明了 若 $f$ 满足 (C4) 且具有次临界增长, 即,

(C5) $\lim_{t\to\infty} f(t)/t^{np/(n-p)-1} =0$, 则方程 (1.4) 存在基态解. 注意到当 $f(t)=t^{q-1}$ 且 $p<q<\frac{np}{n-p}$ 时, 上述条件 (C1)-(C5) 均成立. 因此, 若 $f(t)$ 是 $t^{q-1}$ 的一个小扰动, 这些条件仍然成立.

注 当 $p=2$ 时, Gui, Wei 和 Winter在文献 [9], [11] 中直接假设方程 (1.4) 存在唯一的基态解, 该解旋转对称, 单调递减, 在无穷远处具有指数衰减, 且是非退化的.

在文献 [31] 中, Ni 证明了一个有趣的结果, 即当 $f$ 具有临界或超临界增长时, 方程 (1.4) 不存在基态解.

本文的结构安排如下. 在第 2 节, 我们介绍尖峰函数的定义及相关性质. 第 3 节给出关于 $Q^*$ 的估计. 第 4 节为应用极大极小原理, 引进梯度流. 第 5 节对梯度流进行修正. 第 6 节利用梯度流与拓扑度理论证明定理 1.2.

为证明定理 1.2, 类似于文献 [28], 我们希望寻找具有以下形式的解

其中 $p_i\in\Omega$, $q_j\in\partial \Omega$, $a_i, b_j$ 为正常数, $i=1, \cdots, k, j=1, \cdots, l$, 当 $\varepsilon \to 0$ 时有 $o(1)\to 0$. 为此, 我们首先回顾文献 [28] 中引入的尖峰函数的定义及性质, 更多细节可参见该文献.

定义2.1 一个非负函数 $u: \bar{\Omega} \to \mathbb{R}$ 被称为具有 $k$ 个内部峰 $p_1, \cdots, p_k\in \Omega $ 和 $l$ 个边界峰 $q_1, \cdots, q_l\in\partial \Omega$ 的尖峰函数, 若满足以下条件

(i) 存在常数 $a_1, \cdots, a_k, b_1, \cdots, b_l\in (1-\hat \delta, 1+\hat\delta)$, 使得

其中 $w$ 为方程 (1.4) 的唯一基态解;

(ii) $p_1, \cdots, p_k $ 和 $q_1, \cdots, q_l$ 为 $u$ 的局部质量中心;

(iii) $p_1, \cdots, p_k$ 和 $q_1, \cdots, q_l$ 满足 ${\delta}$-间距条件, 这里 $\delta>0$ 为小常数;

(iv) $u\in C^\gamma (\bar{\Omega})\cap W^{1,p}(\Omega)$, $\gamma\in (0, 1)$, 且

其中常数 $C$ 仅依赖于 $k, l, n$.

对于上述尖峰函数 $u$, 其局部质量中心 $p_i, q_j$ 以及系数 $a_i, b_j$ 需要唯一确定, 这一点对应用拓扑度理论至关重要.

符号 $\varepsilon, \delta, \bar\delta, \hat\delta$ 表示充分小的正常数, 其中 $\varepsilon$ 始终表示方程 (1.1) 中的参数, 定义 2.1 的第 (i) 项中的 $\bar\delta, \hat\delta$ 是与 $\varepsilon$ 无关的常数, 而第 (iii) 项中的 $\delta$ 可能依赖于 $\varepsilon$, 例如 $\delta= N\varepsilon$, 其中 $N>1$ 是与 $\varepsilon$ 无关的较大常数. 这些常数将在后续讨论中具体确定.

为简洁起见, 记

与

用 $\Phi_{k, l}({\bf p, q}, {\bf a, b})$ 表示一类尖峰函数的集合, 其中尖峰函数具有内部峰 ${\bf p}\in \Omega^k$ 和边界峰 ${\bf q}\in \partial \Omega^l$, 对应的系数分别为 ${\bf a}$, ${\bf b}$, 这里 $ \Omega^k=\Omega \times\cdots\times\Omega \subset \mathbb{R}^{n\times k}$, $\partial \Omega^l=\partial \Omega \times\cdots\times\partial \Omega \subset\mathbb{R}^{n\times l}$, 即

设 $u$ 是尖峰函数, 且 $p\in \bar{\Omega}$ 是 $u$ 的一个尖峰. 令 $y=\frac{x-p}{\varepsilon}$, 由 (2.2) 式得

其中 $ \Omega^\varepsilon= \Omega^\varepsilon_p=\{y=\frac{x-p}{\varepsilon}\ | x \in \Omega \} $. 在 $y$ 坐标下, (2.3) 式变为

由此可知, 估计 (2.4) 式保证了所有尖峰函数在 $W^{1,p}( \Omega^\varepsilon)$ 和 $C^\gamma({\bar{\Omega}}^\varepsilon)$ 中是一致有界的. 若形如 (2.1) 式的尖峰函数是方程 (1.1) 式的解, 则由爆破分析并结合 (1.4) 式基态解的唯一性可知, 当 $\varepsilon \to 0$ 时, 系数 $a_i, b_j\to 1$.

定义2.2 记 $\Omega_\delta=\{x\in \Omega \ |\ d_x>\delta\}$, $d_x=\text{dist}(x, \partial \Omega)$. 对于内部点 $p_1, \cdots, p_k\in\Omega$ 和边界点 $q_1, \cdots, q_l\in\partial \Omega$, 若它们满足以下性质

$\diamond$ $d_{p_i} > {\delta} $, 即 $p_i\in \Omega_{{\delta}}$;

$\diamond$ $|p_i-p_j| > 2{\delta}$ 对所有 $1\le i, j\le k$, $i\ne j$;

$\diamond$ $|q_i-q_j| > 2{\delta}$ 对所有 $1\le i, j\le l$, $i\ne j$,

则称点 $p_1, \cdots, p_k$ 和$q_1, \cdots, q_l$ 满足 ${\delta}$-间距条件.

点 $p_1, \cdots, p_k$ 与 $q_1, \cdots, q_l$ 不能仅由 (2.2) 式唯一确定. 事实上, 即便这些点满足 (2.2) 式, 对它们进行极小的平移后, (2.2) 式仍然成立. 为了保证尖峰点的唯一性, 我们引入局部质量中心的概念, 将尖峰函数的尖峰位置精确定义为质量中心.

定义2.3 设 $u$ 是 $\Omega$ 上的非负可测函数, 满足 (2.2) 式. 若点 $p\in \Omega $ 满足 $d_p>{\delta}$, 存在某个 $1\le i\le k$ 使得 $|p-p_i|<\varepsilon$, 并且对任意单位向量 $e\in \mathbb{R}^n$, 有

则称 $p$ 是 $u$ 的内部局部质量中心, 其中

$\langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中的内积, 权函数 $\eta$ 可取为

设 $q\in\partial \Omega$ 为边界点. 若存在某个 $1\le j\le l$ 使得 $|q-q_j|<\varepsilon$, 并且 (2.5) 式对 $\partial\Omega$ 在 $q$ 处的切平面上的任意单位向量 $e$ 成立, 则称 $q$ 是 $u$ 的一个边界局部质量中心.

事实上, 也可以先在 $B_{2\delta}(q)$ 内对区域边界做拉直变换, 并对函数作偶延拓, 使该边界点成为内部点, 再按内部点定义局部质量中心来确定边界局部质量中心.

尽管可能存在许多点满足 (2.5) 式, 但在定义 2.1 中我们仅关注靠近 $p_i\ (i=1,\cdots,k)$ 与 $q_j\ (j=1,\cdots,l)$ 的点. 利用 (2.2) 式以及函数 $w$ 的单调性, 可以保证局部质量中心的存在性与唯一性, 详细证明见文献 [28].

同样地, 常数 $a_1, \cdots, a_k$ 与 $b_1, \cdots, b_l$ 也不能仅由 (2.2) 式唯一确定. 为此, 将它们定义为下式的极小元

由于该积分关于 $a_1, \cdots, a_k, b_1, \cdots, b_l$ 是二次多项式, 因此极小元存在且唯一. 进一步地, 对于任意给定 $\hat\delta>0$, 只要 $\bar\delta>0$ 足够小, 该下确界必然在区间 $(1-\hat\delta, 1+\hat\delta)$ 内取得.

接着探讨方程 (1.1) 尖峰解的局部极大值点性质. 设 $p$ 为定义 2.1 中尖峰函数 $u$ 的一个峰. 如果 $u(z)=\max\{u(x) \ | \ x\in B_{\delta}(p)\cap\Omega \}$, 则称 $z\in B_{\delta}(p)$ 为 $u$ 靠近 $p$ 的局部极大值点. 一般而言, 局部质量中心并不是极大值点.

引理2.1 对于任意给定的常数 $\lambda\in (0, 1)$, 方程 (1.1) 不存在形如 (2.2) 式的有限能量解 $u$ 使得局部极大值点 $q$ 满足当 $\varepsilon \to 0$ 时,

引理 2.1 的证明可参考文献 [28]. 该引理表明, 若函数 $u$ 满足条件 (2.2), 并且某个局部极大值点满足条件 (2.6), 则由 (1.3) 式所定义的泛函 $\mathcal{K}$ 在 $u$ 处的 Fréchet 导数不为零. 由此可得以下推论

推论2.1 设 $u=u_\varepsilon$ 是方程 (1.1) 的有限能量尖峰解, 且 $p=p_\varepsilon \in\Omega$ 是 $u$ 的一个局部极大值点. 则当 $\varepsilon \to 0$ 时, 必有 $d_p/\varepsilon \to 0$ 或 $d_p/\varepsilon \to \infty$, 其中 $d_p = \text{dist}(p, \partial\Omega)$.

推论2.2 设 $u=u_\varepsilon$ 是方程 (1.1) 的有限能量尖峰解, 且 $p=p_\varepsilon \in\Omega$ 是 $u$ 的一个局部极大值点. 则当 $\varepsilon \to 0$ 时, 有

记

在文献 [28] 中, 我们证明了泛函 $\mathcal{I}(\bar{w})$ 作为 ${\bf a, b}$ 的函数, 在 $a_i = b_j = 1$ 附近是凹的. 这种凹性使我们能够对泛函 $\mathcal{I}$ 引入一个新的极小极大原理. 本文所考虑的泛函为 $\mathcal{K}$, 由条件 (A1) 与 (A2) 可知 $\mathcal{K}$ 关于 ${\bf a, b}$ 同样具有凹性. 换言之, 对于形如 (3.1) 式的函数 $\bar{w}$, 泛函 $\mathcal{K}(\bar{w})$ 作为 ${\bf a}, {\bf b}$ 的函数, 在 $a_i = b_j = 1$ 附近是凹的, $i=1, \cdots, k$, $j=1, \cdots, l$. 此外, 由条件 (A1) 与 (A2) 可知, $\mathcal{K}(t \bar{w})$ 在 $t=1$ 附近取得最大值. 令

$Q_0=\sup_{t>0} {\mathcal{K}}_{\mathbb{R}^n}(t w),$ 其中 $w$ 是方程 (1.4) 式的唯一基态解, $\mathcal{K}_{\mathbb{R}^n}$ 由 (1.5) 式所定义.

引理3.1 我们有

其中

(3.2) 式的证明可以分为两步

该证明与文献 [28] 中的类似, 可对 $k, l$ 分情况讨论, 这里略去细节.

记 $w_{p, \varepsilon}=w(\frac{x-p}{\varepsilon})$, 可得以下估计

引理3.2 设 $d_p=N\varepsilon$, 则存在一个与 $\varepsilon$ 无关的常数 $c_N > 0$ 使得

引理3.3 设 $u=\sum_{i=1}^{k} w_{p_i, \varepsilon}+\sum_{j=1}^l w_{q_j, \varepsilon}$, 若 $\delta$-间距条件在 $\delta=N\varepsilon$ 的意义下被破坏, 即出现以下任一情形

(i) 存在 ${\bf p}=(p_1, \cdots, p_k)$ 中的某个点 $p_i$, 使得 $d_{p_i}\le N\varepsilon$;

(ii) 存在 $i\ne j$ 使得 $|p_i-p_j|\le N\varepsilon$;

(iii) 存在 $i\ne j$ 使得 $|q_i-q_j|\le N\varepsilon$.

则有

其中常数 $c_N>0$ 与 $\varepsilon$ 无关.

我们为泛函 $\mathcal{K}$ 构造一个关于尖峰函数的形变, 使得 $\mathcal{K}$ 单调递减. 在本文中, 我们将此类单调形变也称为梯度流. 如引言所述, 核心问题在于映射 $T_t$ 关于时间参数 $t$ 的连续性.

为保证梯度流的正则性, 我们引入如下正则化泛函

其中常数 $\theta>0$ 用作正则化参数. 为了不改变主要的能量结构, 可以取 $\theta$ 非常小, 例如 $\theta\le \mathrm{e}^{-1/\varepsilon^4}$.

当 $\theta = 0$ 时, 相关的 $p$-Laplace 方程一般不具备 $C^{2,\alpha}$ 的正则性.

接下来将式 (1.6) 和 (1.7) 中的 $Q$ 与 $Q^*$ 推广到正则化泛函 $\mathcal{K}_\theta$, 定义为

在此基础上, 我们有如下定理.

定理4.1 在定理 1.2 的假设下, 对于充分小的 $\varepsilon>0$ 以及 $0<\theta<\mathrm{e}^{-1/\varepsilon^4}$, $Q_\theta ^*$ 是泛函 $\mathcal{K}_\theta $ 的一个临界值, 对应的临界点是方程

的一个尖峰解, 其具有 $k$ 个内部峰与 $l$ 个边界峰.

对应于泛函 (4.1) 式, 我们自然得到以下梯度流

其中 $Q_T=\Omega \times (0, T]$,

方程 (4.3) 的初始条件与 Neumann 边界条件为

设 $u(x, t)$ 是满足边界条件 (4.4) 的方程 (4.3) 的解. 由泛函 (4.1), 计算可得

等号成立当且仅当 $u$ 是方程 (4.2) 的解. 公式 (4.5) 中分部积分的使用需要 $u(\cdot, t)$ 具有一定正则性, 这正是引入 $\theta > 0$ 的原因.

$\bullet$ 冻结梯度流 (4.3)-(4.4). 冻结梯度流技巧用于简化利用梯度流寻找临界点的论证过程.

我们使用梯度流来寻找泛函 $\mathcal{K}_{\theta }$ 的一个临界点, 其临界值为 $Q_\theta ^*$. 设 $u(\cdot, t)$ 是下降梯度流 (4.3)-(4.4) 的一个解. 若存在某个时刻 $t^* \ge 0$ 使得

其中 $\sigma>0$ 是任意给定的小常数, 则由于 $\mathcal{K}_{\theta } (u(\cdot, t))$ 随时间单调递减, 可得对所有 $t \ge t^*$, $\mathcal{K}_{\theta } (u(\cdot, t))\le Q_\theta ^*-\sigma$. 这表明当 $t>t^*$ 时，解 $u(\cdot, t)$ 与临界值 $Q_\theta ^*$ 无关, 因此对我们寻找临界点的分析不再产生影响. 为方便后续论证, 我们在此情形下对梯度流进行冻结处理: 即当 $t>t^*$ 时, 令解 $u(\cdot, t)$ 保持不变.

因此, 在后续的讨论中, 我们始终假定 (4.3)-(4.4) 式的解 $u(\cdot, t)$ 满足 $\mathcal{K}_{\theta}(u(\cdot, t) )\geq Q_{\theta}^*-\sigma$, 且一旦存在某个 $t^*\ge 0$ 使得 $\mathcal{K}_{\theta} (u(\cdot, t^*))=Q_\theta ^*-\sigma$, 则对所有 $t>t^*$, 均有 $\mathcal{K}_{\theta} (u(\cdot, t))=Q_\theta ^*-\sigma$. 为简洁起见, 我们固定 $\sigma=\mathrm{e}^{-1/\varepsilon^2}. $

由条件 (A1), (A2) 以及冻结梯度流的技巧, 可直接验证以下引理.

引理4.1 假设 $\phi_0\in \Phi_{k, l} ({\bf p,q, a, b})$, 且 $\sup_{s>0} h(s)$ 在 $s=1$ 处取得, 其中 $h(s)=: \mathcal{K}_{\theta}(s\phi_0)$. 则存在常数 $b_1, b_2>0$, 它们依赖于 $k, l$, $n$, $\Omega$, 但与 $\theta$ 无关, 使得以 $\phi_0$ 为初始条件的梯度流 (4.3)-(4.4) 的解 $u=u_\theta$ 满足

我们考虑以函数 (3.1) 为初始条件的梯度流 (4.3)-(4.4). 关于该方程解的局部存在性, 可参考文献 [25,引理 5.1], 利用类似的思路可进行证明. 参数 $\theta>0$ 的引入确保了方程 (4.3) 的一致抛物性. 在此基础上, 结合先验估计 (4.6) 以及抛物 $p$-Laplace 方程的正则性结果^{[6], [13]}, 可以进一步得到梯度流解的长时间存在性.

下面我们回顾文献 [28] 中的两个引理. 这两个结果在证明思路上与文献 [28] 中类似, 因此此处仅给出结论而不再赘述.

引理4.2 若存在序列 $t_j\to t_0$ 使得 $\mathcal{K}_{\theta }(u(\cdot, t_j)) > Q_{\theta}^*-\sigma$, 且 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathcal{K}_{\theta } (u(\cdot, t_j))\to 0$, 则极限函数 $u(\cdot, t_0)=\lim_{j\to\infty} u(\cdot, t_j)$ 是下列方程的解

引理 4.2 中条件 $\mathcal{K}_\theta (u(\cdot, t_j)) > Q_{\theta}^*-\sigma$ 的作用是确保解未被冻结.

引理4.3 设 $u(\cdot, t)$ 是 (4.3)-(4.4) 的解, 且满足 $\mathcal{K}_{\theta }(u(\cdot, t) )> Q_{\theta}^*-\sigma$. 则对于任意 $t_0, t_1>0$, 有

其中 $\omega$ 是 $ \Omega^\varepsilon$ 的任意有界子区域, 且 $|\omega|\le C$.

$\bullet$ 方程 (4.3)-(4.4) 的解为尖峰函数.

记

其中 $w$ 为方程 (1.4) 的基态解, 点 p, q 满足 $\delta$-间距条件, 且系数满足

下标 $\Lambda= (p_1, \cdots, p_k, q_1, \cdots, q_l, a_1, \cdots, a_{k}, b_1, \cdots, b_{l} )=({\bf p, q, a, b})$.

根据定义 2.1, $\phi_\Lambda$ 显然为尖峰函数. 由第 2 节可知每一个尖峰函数都对应唯一的 $\Lambda$. 设 $u(\cdot, t)=u_\Lambda(\cdot, t)$ 为抛物方程 (4.3)-(4.4) 在初始条件 $\phi_\Lambda$ 下的解. 在时间 $t>0$ 充分小时, 解 $u(\cdot, t)$ 为一个尖峰函数, 其具有内部局部质量中心 ${\bf p}_{\Lambda, t}=(p_{1,t}, \cdots, p_{k, t})$, 边界局部质量中心 ${\bf q}_{\Lambda, t}=(q_{1, t}, \cdots, q_{l, t})$, 与系数 ${\bf a}_{\Lambda, t}=(a_{1, t}, \cdots, a_{k, t})$, ${\bf b}_{\Lambda, t}=(b_{1, t}, \cdots, b_{l, t})$. 从而可定义

及相应的函数 $\phi_{\Lambda_t}$. 随着时间 $t$ 的增加, 由引理 4.4 及其推论可知, 在解被冻结之前, $u(\cdot, t)$ 始终为一个尖峰函数. 因此, 我们可以对所有未被冻结的时刻 $t>0$ 定义 $\Lambda_t$, 进而可对所有 $t>0$ 定义. 此外, $\Lambda_t$ 关于时间 $t$ 连续变化, 并始终满足定义 2.1 中的条件.

引理4.4 设 $u(\cdot, t)$ 是满足初始条件 $\phi_\Lambda$ 的方程 (4.3)-(4.4) 的解. 若

则存在常数 $\delta_1>0$, 使得

只要以下任一情形成立 (在情形 c) - e) 中假设 $k+l>1$):

a) $ \frac 12\bar\delta\le \|u(\cdot, t)-\phi_{\Lambda_t}\|_{L^\infty(\Omega)} \le \bar\delta; $

b) 存在 $1\le i\le k$ 使得 $N\varepsilon \le d_{p_{i,t}} \le 2N\varepsilon$;

c) 存在 $i\ne j$, $1\le i, j\le k$, 使得 $N\varepsilon \le |p_{i,t}-p_{j,t}| \le 2N\varepsilon$;

d) 存在 $i\ne j$, $1\le i, j\le l$, 使得 $N\varepsilon \le |q_{i,t}-q_{j,t}| \le 2N\varepsilon$;

e) 存在 $1\le i\le k$ 使得 $\frac 12\hat\delta \le |a_{i,t}-1| \le \hat\delta$; 或存在 $1\le j\le l$ 使得 $\frac 12 \hat\delta \le | b_{j, t} -1| \le \hat\delta$.

该引理的证明与文献 [28] 中类似, 故此处略去.

推论4.1 设 $u(\cdot, t)$ 是满足初始条件 $\phi_\Lambda$ 的抛物型 $p$-Laplace 方程 (4.3)-(4.4) 的解. 若 $\mathcal{K}_{\theta } (u(\cdot, t))>Q_\theta ^*-\sigma$, 则 $u(\cdot, t)$ 是尖峰函数.

推论4.2 设 $u(\cdot, t)$ 如上所述. 若 $\Lambda_t\to \partial G$, 则有 $\mathcal{K}_{\theta }(u_\Lambda (\cdot, t))\le Q_\theta ^*-\sigma$, 其中 $G$ 由下面 (6.1) 式定义, $\Lambda_t$ 由 (4.8) 式给出.

在 $Q_{\theta }({\bf p, q, a, b})$ 的定义中, 我们对 $s>0$ 取上确界. 设 $u(\cdot, t)$ 是梯度流 (4.3)-(4.4) 的解, 并假设上确界 $\sup_{s>0} \mathcal{K}_{\theta }(s u (\cdot, t))$ 在某个 $s_t$ 处取得. 为了应用文献 [28] 中的拓扑度方法, 我们需要保证 $s_t$ 关于 $t$ 的连续性.

然而, 在一般的非线性项 $f$ 下, 若不施加额外假设, $s_t$ 通常不会关于 $t$ 连续, 这是因为泛函 $\mathcal{K}_{\theta}$ 可能存在多个局部极大值点. 在定理 1.2 中的假设 (A1), (A2) 下, 我们可以对梯度流 (4.3)-(4.4) 进行适当修正, 通过引入新的形变确保 $s_t$ 随时间 $t$ 连续变化. 这是本文的核心部分. 基本思想如下

记 $ u_0= \phi_\Lambda$, 令 $u_\tau (\cdot, t)$ 为满足初始条件 $\tau u_0 $ 的方程 (4.3)-(4.4) 的解. 由于 (4.3)-(4.4) 式是一个下降梯度流, 我们有

引理5.1 对任意充分小的 $t>0$, 存在 $\tau=\tau_t$ 使得

证 令假设 (A1) 中的 $\hat s=1$. 由假设 (A1) 和 (A2) 可知, 当 $t>0$ 充分小时, 有

其中 $\delta_0>0$ 是一个小常数. 此外, 当 $t>0$ 充分小时, (5.2) 式中的上确界可以在某个接近 $s=1$ 的点 $\hat s$ 处取得, 并且对于所有 $\tau\in (1-\delta_0, 1+\delta_0)$, 函数 $\mathcal{K}_{\theta }(su_{\tau}(\cdot, t)) $ 关于 $s$ 在 $s=1$ 附近是严格凹的.

记

那么有 $G(1-\delta_0)>0$ 和 $G(1+\delta_0)<0$. 由介值定理可知, 存在某个 $\tau=\tau_t$ 使得 $G(\tau)=0$, 从而推出等式 (5.2) 成立.

根据假设 (A1) 和 (A2), 可知 $\tau_t$ 关于 $t$ 是连续的. 对于 $s>0$, 由引理 5.1, 我们可得如下形变 $su_0(\cdot)\mapsto su_{\tau_t}(\cdot, t), \ t\in (0, t_1],$ 其中 $t_1>0$ 取得充分小, 使得引理 5.1 的结论对所有 $t\in (0, t_1]$ 成立. 根据 (5.1) 式, 该形变是泛函 $\mathcal{K}_{\theta }$ 的一个下降梯度流.

设 $\tau_1=\tau_{t_1}$. 接下来, 我们考虑从时间 $t_1$ 出发的抛物方程 (4.3)-(4.4), 其初始条件为 $su_{\tau_1}(\cdot, t_1)$. 由此得到一个形变 $su_{\tau_1}(\cdot, t_1)\mapsto su_{\tau_t}(\cdot, t), \ t\in (t_1, t_2].$ 通过重复上述过程, 我们可以构造出一个连续变形 $su_0(\cdot)\mapsto su_{\tau_t}(\cdot, t)$ 对所有 $t>0$ 成立, 或直至梯度流被冻结为止.

最后需要指出的是, 由于 $u_{\tau_t}(\cdot, t)$ 为一个尖峰函数, 因此在每一步构造中, 时间区间长度 $t_{k+1}-t_k$ 都存在一个正的下界.

令记号 ${\bf p}, {\bf q}, {\bf a}, {\bf b}$ 与前文相同. 回顾

其中 $p_i\in\Omega, q_j\in\partial \Omega, a_i, b_j\in\mathbb{R}^{1, +}$. 定义集合

注1.1 在文献 [28] 中, 集合 $G$ 的定义要求系数满足

其中 $\bar a$ 是 $a_1, \cdots, a_k, b_1, \cdots, b_l$ 的平均值. 然而, 我们发现本文中并无必要引入 $\bar a$. 事实上, 由引理 4.4 中情形 a) 可知, $\bar a$ 始终接近于 1.

设 $u_\Lambda (\cdot, t)$ 是第 5 节中所构造的满足初始条件 $\phi_\Lambda$ 的修正梯度流的解, 其中 $\phi_\Lambda$ 由 (4.7) 所定义. 为完成定理 1.2 的证明, 我们先证明定理 4.1, 该定理的证明思路与文献 [28] 类似, 可分为如下几个步骤

步骤 1 对充分小的 $\sigma>0$, 由引理 3.2,3.3, 以及第 3 节中的凹性分析可知, 当 $t=0$ 且 $\Lambda\in\partial G$ 为边界点时, 有 $\mathcal{K}_\theta(u_\Lambda(\cdot, t))<Q_\theta ^*-\sigma$.

步骤 2 对于任意的 $\Lambda\in G$ 与 $t>0$, 如果 $\mathcal{K}_{\theta}(u_\Lambda(\cdot, t))\ge Q_\theta ^*-\sigma$, 那么 $u_\Lambda(\cdot, t)$ 是尖峰函数, 其内部尖峰位置为 ${\bf p}={\bf p}_{\Lambda, t}$, 边界尖峰位置为 ${\bf q}={\bf q}_{\Lambda, t}$, 并满足 ${\delta}$-间距条件; 同时, 其系数 ${\bf a}={\bf a}_{\Lambda, t}, {\bf b}={\bf b}_{\Lambda, t}$ 满足定义 2.1 中的约束 (见推论 4.1).

步骤 3 记 $\Lambda_t=({\bf p}_{\Lambda, t}, {\bf q}_{\Lambda, t}, {\bf a}_{\Lambda, t}, {\bf b}_{\Lambda, t})$. 在任意时刻 $\tau >0$, 若 $\Lambda_{\tau }\in \partial G$, 由推论 4.2 可知 $\mathcal{K}_\theta (u_\Lambda(\cdot, \tau))\le Q_\theta ^*-\sigma$, 且在 $t>\tau$ 时 $u_\Lambda(\cdot, t)$ 保持不变 (即被冻结). 因此, 可定义映射 $T_t:\ \Lambda\in G \to\Lambda_t\in G, \ \forall \ t\ge 0,$ 并且 $T_0=Id$. 由步骤 1, 映射 $T_t=Id$ 在 $\partial G$ 上成立. 由步骤 2 和 3, 对任意 $\Lambda\in G$, 均有 $T_t(\Lambda)\in G$. 并且, 由修正梯度流的构造, 可知映射 $T_t$ 是连续的. 根据 Brouwer 不动点理论, 可得 $T_t(G)=G, \ \forall \ t>0.$

步骤 4 由 $Q_\theta ^*$ 的定义, 对任意 $ \tau >0$, 存在 $\Lambda_\tau\in G$ 使得 $\mathcal{K}_{\theta}(u_{\Lambda_\tau}(\cdot, \tau))\ge Q_\theta ^*$. 由于修正梯度流是泛函 $\mathcal{K}_{\theta}$ 的下降流, 可知 $\mathcal{K}_{\theta}(u_{\Lambda_\tau}(\cdot, \tau')) \geq Q_\theta ^*$ 对所有 $\tau'\in [0, \tau )$ 成立.

通过取子序列, 当 $\tau\to\infty$ 时, 我们有 $\Lambda_\tau\to \Lambda_0\in G$. 由步骤 3 可知, $\Lambda_0\not\in\partial G$, 且 $\mathcal{K}_{\theta} (u_{\Lambda_0}(\cdot, t)) \geq Q_\theta ^*, \ \forall \ t>0.$ 根据抛物 $p$-Laplace 方程的正则性理论和估计 (4.5) 式, $u_{\Lambda_0}(\cdot, t)$ 收敛到极限函数 $u_{0,\theta}$, 该函数是方程 (4.2) 的解. 综上所述, 定理 4.1 得证.

我们已经证明, 方程 (4.2) 存在一个解 $u_{0,\theta}$, 该解为泛函 $\mathcal{K}_\theta$ 的一个临界点, 其对应的临界值为 $Q^*_\theta$. 注意到 $u_{0, \theta}$ 是满足定义 2.1 的尖峰函数, 其尖峰满足与 $\theta$ 无关的 $\delta$-间距条件, 其中 $\theta>0$ 充分小. 因此, 当 $\theta \to 0$ 时, 极限函数 $\bar u_0=\lim_{\theta \to 0} u_{0, \theta}$ 是方程 (1.1) 的解. 由此, 定理 1.2 得证.