欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 上的 $H^p$ 空间理论与复平面上的解析函数紧密相连, 它的研究始于 Stein 与 Weiss^[40]. 其后 Fefferman 与 Stein^[23] 引入了 Hardy 空间的实变理论, 进一步实现了实 Hardy 空间的等价刻画, 其中包括极大算子刻画, 原子与分子刻画, 平方函数与面积积分刻画等, 受到众多数学家关注, 见文献 [8], [9], [25], [34], [41], [42]. 众所周知经典的 Hardy 空间是与二阶椭圆算子 Laplace 算子紧密相关, 事实上, 通过 Laplace 算子生成的热半群与 Poisson 半群能够刻画经典的实 Hardy 空间. 另一方面, 经典的 Calderón-Zygmund 理论与 Hardy 空间理论不足以用于处理某些粗糙算子生成的奇异积分, 在这些情况下, 经典的 Hardy 空间理论不再适用. 因此, 如同经典的 Hardy 空间与 Laplace 算子相连, 发展与粗糙算子相连的奇异积分理论与 Hardy 空间理论是有必要的.

随着 Kato 平方根猜想的解决, 与微分算子$ L$ 相连的调和分析问题成为该领域近二十年来的重要研究主题, 这些研究依赖于算子 $L$ 的条件. 其中, 与微分算子相连的 Riesz 变换、面积积分以及平方函数的有界性, 与微分算子相连的 Hardy 空间理论是这一主题的主要研究对象, 见文献 [1], [3], [12], [13], [14], [20], [21], [30], [31], [32], [33], [43] 等. 在单参数情况下, 假设算子 $L$ 满足泛函演算, 且其生成的半群满足 Poisson 上界估计, Auscher, Duong 与 Mcintosh^[2] 通过平方函数定义了与算子相连的 Hardy 空间$ H^{p}_{L}(\mathbb{R}^{n})$, 证明了其具有分子分解. 在算子$ L$ 具备相同的假设条件下, Duong 与 Yan 在文献 [20], [21] 中引入了与算子相连的 BMO 空间$ BMO_{L}(\mathbb{R}^{n})$, 并且证明了 $H^{1}_{L}(\mathbb{R}^{n})$ 与$ BMO_{L^{*}}(\mathbb{R}^{n})$ 的对偶关系, 这里$ L^{*}$ 表示算子$ L$ 在 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ 上的共轭算子.

当算子$ L$ 为复系数二阶散度型微分算子时, Hofmann 与 Mayborada^[31] 通过平方函数定义了与算子相连的 Hardy 空间$ H^{p}_{L}(\mathbb{R}^{n})$, 得到了分子分解理论与对偶理论. 更进一步, 作者还证明了该 Hardy 空间能够被热半群和 Poisson 半群定义的极大函数所刻画. 注意到在文献 [31] 的假设下, 算子$ L$ 生成的热半群$ \mathrm{e}^{-tL}$ 不再具备逐点上界估计, 与之前文献 [2], [20], [21] 的工作有本质的区别. 类似的结论在齐性空间$ X$ 中仍然成立, Hofmann 等在文献 [30] 中假设算子$ L$ 非负自伴且其热半群满足弱型的 Davies-Gaffney 估计, 得到了与$ L$ 相关的 Hardy 空间$ H^{1}_{L}(X)$ 以及 BMO 空间$ BMO_{L}(X)$ 理论. 进一步, 假设非负自伴算子$ L$ 在$ L^{2}(X)$ 上生成解析半群, 且满足$ L^{2}(X)$ 泛函演算以及 Davies-Gaffney 估计, Duong 与 Li^[17] 发展了与算子相连的$ H^{p}_{L}(X)$ ($0<p\leq 1$) 空间理论.

经典的乘积 Hardy 空间理论始于 Gundy 与 Stein^[26], 并在原子分解刻画, Calderón-Zygmund 奇异积分理论等调和分析主题的研究中得到深刻的发展. 乘积 Hardy 空间$ H^{p}(\mathbb{R}^{n_1}\times \mathbb{R}^{n_2})$ 与经典的单参数 Hardy 空间$ H^{p}(\mathbb{R}^{n})$ 存在重要的差异, 其主要原因在于底空间的几何结构较为灵活与复杂. 特别地, Journé 引入了著名的覆盖引理, 成为处理乘积空间上函数空间问题以及奇异积分问题不可或缺的手段. 乘积 Hardy 空间的实变刻画、对偶理论以及其上的 Calderón-Zygmund 理论等受到广泛关注, 见文献 [4], [5], [7], [22], [24], [26], [28], [29], [35], [36], [37], [44] 等.

作为乘积 Hardy 空间理论的自然延伸, 与算子相连的乘积 Hardy 空间以及与之相应的 Calderón-Zygmund 理论在近年来成为调和分析研究的重要主题, 见文献 [6], [11], [15], [16], [18], [19], [39] 等. 特别的, 在文献 [11] 中, Deng 等人研究了核函数满足$ m$ 阶泊松型上界的算子理论. 具体而言, 对于任意 $x, y \in \mathbb{R}$ 以及满足 $|\arg(z)| < \frac{\pi}{2} - \theta$ (其中 $\theta > \omega$)的复数$ z$, 其核函数$ p_z(x,y)$ 满足如下估计

其中$ s\colon [0,\infty) \to (0,\infty)$ 是一个有界的单调递减函, 且对某个$ \epsilon > 0$ 满足衰减条件

基于此核估计, 作者建立了与该算子相关联的乘积型 Hardy 空间, 并得到了该空间中的分子分解理论. Duong, Li 与 Yan^[18] 考虑了乘积 Hardy 空间$ H^{1}_{L_{1},L_{2}}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$, 得到了其原子分解, 其中算子$ L_{1}$ 与$ L_{2}$ 为非负自伴算子, 且它们生成的热核满足高斯上界估计.

注意到在上述工作中, 算子$ L$ 的热半群$ \mathrm{e}^{-tL}$ 具有逐点上界估计. 但是, 存在算子$ L$, 其热半群$ \mathrm{e}^{-tL}$ 并不具有逐点估计, 例如带有奇异位势的薛定谔算子$ -\Delta+ V$ 以及散度型微分算子

在这种情况下, Chen 等在文献 [6] 中假设两个非负自伴算子$ L_1$ 和$ L_2$ 在齐性空间上满足 Davies-Gaffney 估计, 借助对应的面积积分

定义了乘积 Hardy 空间, 并得到对应的原子分解. 在与文献 [6] 同样的假设下, Deng 与 Guedjiba^[15] 考虑了与算子相关的乘积 Hardy 空间的加权理论. 进一步, Deng 与 Guedjiba^[16] 分别通过热半群与 Poisson 半群定义了$ H^{p}_{L_{1}, L_{2}}$, 证明了它们具有原子分解.

在本文中, 我们假设非负自伴算子$ L_{1}$ 与$ L_{2}$ 的热半群满足非对角估计$ (GGE_{p_{0}})$, 其中$ p_{0}\in[1,2)$, 通过面积积分$ \mathcal{S}_{L_{1}, L_{2}}$ (见第二章 (2.3) 式) 定义乘积 Hardy 空间 $ H_{L_1, L_2}^{1}\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right)$ (见定义 3.1), 证明其具有分子分解. 主要结果如下.

定理1.1 假设$ f\in H_{L_1, L_2}^{1}\left(\mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right)$. 那么, 存在一列$ (L_1, L_2)$ 分子$ \{\alpha_{k}\}^{\infty}_{k=1}$ 与数列$ \{\lambda_{k}\}^{\infty}_{k=1}$, 使得

另一方面, 假设 $\{\alpha_{k}\}^{\infty}_{k=1}$ 为一列$ (L_1, L_2)$ 分子, 且数列 $\{\lambda_{k}\}^{\infty}_{k=1}$ 满足 $\sum_{k}|\lambda_{k}|<\infty$. 若 $f=\sum_{k}{\lambda_k\alpha_k}.$ 那么,$ f\in H_{L_1, L_2}^1 (\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2})$ 且 $\|f\|_{H_{L_{1},L_{2}}^1}\lesssim \sum_{k} |\lambda_k|$.

定理 1.1 是对 Deng 等在 [11] 中结论的推广. 在文献 [11] 中, 作者假设算子$ L$ 生成的热半群满足 Poisson 型逐点上界估计 (见 (1.1) 式), 前文已经提到, 存在散度型微分算子以及薛定谔算子, 使得其热半群的逐点上界估计不再成立, 本文中假设算子的热半群满足 $\left(GGE_{p_0}\right)$ 估计, 一方面是对热半群逐点上界的推广, 另一方面, 逐点估计的丧失对于主要的定理带来额外的困难, 我们将采用与文献 [11] 中不同的方法来完成主要定理的证明.

本文安排如下. 在第二节中, 我们介绍基本假设并引入几个重要的结论, 它们将应用于分子分解的证明. 我们在第三节引入乘积 Hardy 空间以及乘积帐篷空间, 研究乘积帐篷空间的基本性质. 在第四节中, 我们证明主要定理, 即乘积 Hardy 空间具有分子分解.

在本节中, 我们给出算子的基本假设与几个重要引理, 它们在主要定理的证明中扮演重要角色.

假设2.1 算子$ L$ 为$ L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ 上的非负自伴算子, $\{\mathrm{e}^{-tL}\}_{t>0}$ 为其生成的热半群. 假设$ m\geq 1$ 为整数且 存在常数$ p_{0}\in [1,2)$, 使得对任意$ \mathbb{R}^n$ 中的开子集$ E, F$

其中$ C, b>0$ 为不依赖于$ E, F, f$ 与$ t$ 的常数. 此时, 我们称算子族$ \{\mathrm{e}^{-tL}\}_{t>0}$ 满足高斯非对角估计, 简记为$ (GGE_{p_{0}})$ 估计.

注2.1 若自伴算子$ L$ 满足$ (GGE_{p_{0}})$ 估计, Uhl 在文献 [38] 中证明了

(i) 对任意的$ p_{0}\leq p\leq q\leq p'_{0}$ 以及$ \mathbb{R}^n$ 中的开子集$ E, F$,

记为$ (GGE_{p,q})$ 估计. 特别地, 当$ p=q=2$ 时, (2.2) 式即为 Davies-Gaffney 估计, 简记为$ (DG_{m})$ 估计;

(ii) 对任意的$ k\in \mathbb{N}$ 以及$ p_{0}\leq p\leq q\leq p'_{0}$, 算子族$ \{(tL)^{k}\mathrm{e}^{-tL}\}_{t>0}$ 满足$ (GGE_{p,q})$ 估计. 特别地, $\{(tL)^{k}\mathrm{e}^{-tL}\}_{t>0}$ 满足$ (DG_{m})$ 估计.

现在我们定义乘积空间上与算子相关的面积积分算子$ \mathcal{S}_{L_{1}, L_{2}}$. 假设$ L_1$ 与$ L_2$ 分别为$ L^2(\mathbb{R}^{n_1})$ 与$ L^2(\mathbb{R}^{n_2})$ 上的自伴算子, 对任意的$ k\in \mathbb{N}$，定义面积积分

其中$ x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb{R}^{n_1}\times \mathbb{R}^{n_2}$, $\Gamma(x_{i})=\{(y_{i},t)\in \mathbb{R}^{n_{i}+1}_{+}:|y_{i}-x_{i}|<t\} \ (i=1,2)$ 以及$ \Gamma(x)=\Gamma(x_{1})\times \Gamma(x_{2})$. 接下来介绍本文的主要定理.

命题2.1 假设$ L_1$ 与$ L_2$ 分别为$ L^2(\mathbb{R}^{n_1})$ 与$ L^2(\mathbb{R}^{n_2})$ 上的非负自伴算子, 且$ \{\mathrm{e}^{-tL_1}\}_{t>0}$ 与 $\{\mathrm{e}^{-tL_2}\}_{t>0}$ 均满足 $(GGE_{p_{0}})$ 估计. 那么当$ k>\frac{n}{2m}(\frac 1{p_0} -\frac 12)$ 时, 对任意的$ p_{0}< p< p'_{0}$ 有 $\|\mathcal{S}_{L_{1}, L_{2}}f\|_{L^p(\mathbb{R}^{n_1}\times \mathbb{R}^{n_2})}\leq C \|f\|_{L^p(\mathbb{R}^{n_1}\times \mathbb{R}^{n_2})}$, 其中常数$ C>0$ 不依赖于$ f$.

注2.2 当自伴算子$ L$ 满足$ (GGE_{p_{0}})$ 估计时, 与之相关的平方函数

在$ L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ 上是有界的, 其中$ p_{0}< p< p'_{0}$. 相关结论可以见文献 [3], [12], [38] 等.

最后我们介绍需要用到的半群估计, 其证明可参见文献 [3], [12], [38] 等.

引理2.1 (i) 假设自伴算子$ L$ 的热半群$ \mathrm{e}^{-tL}$ 满足$ (GGE_{p_{0}})$ 估计. 那么对给定的$ t>0$ 以及任意的$ p_{0}\leq p\leq 2$, 算子族$ \{(sL)\mathrm{e}^{-(s+t)L}\}_{s\ge t}$ 与$ \{\frac st (\mathrm{e}^{-sL}-\mathrm{e}^{-(s+t)L}) \}_{s\ge t}$ 关于参数$ s$ 满足$ (GGE_{p,2})$ 估计;

(ii) 假设算子族$ \{S_{s}\}_{s>0}$ 与$ \{T_{t}\}_{t>0}$ 分别满足$ (GGE_{q,r})$ 与$ (GGE_{p,q})$ 估计. 那么

其中$ E, F$ 为$ \mathbb{R}^n$ 中的开子集,$ C, b>0$ 为不依赖于$ E, F, f$, $s$ 与$ t$ 的常数.

对任意的 $x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb{R}^{n_{1}}\times\mathbb{R}^{n_{2}}$, 我们定义乘积空间上的锥体 $\Gamma(x)=\Gamma(x_{1})\times\Gamma(x_{2})$, 其中 $\Gamma (x_{i}):=\big\{(y_{i},t_{i})\in \mathbb{R}^{n_{i}+1}_{+}: |x_{i}-y_{i}|<t_{i}\big\}$ ($i=1,2$). 若 $(x,t)\in \mathbb{R}_{+}^{n_{1}}\times\mathbb{R}_{+}^{n_{2}}$, 记 $R_{x,t}$ 为中心在 $x$, 边长为 $t_{1}, t_{2}$ 的长方体. 对任意的开集 $\Omega\subset \mathbb{R}^{n_{1}}\times\mathbb{R}^{n_{2}}$, 记 $T(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上的帐篷空间

定义3.1 $ L_1$ 与$ L_2$ 分别为$ L^2\left(\mathbb{R}^{n_1}\right)$ 与$ L^2\left(\mathbb{R}^{n_2}\right)$ 上的非负自伴算子, 且它们分别生成的热半群$ \left\{\mathrm{e}^{-t_1L_1}\right\}_{t_1>0}$ 和$ \left\{\mathrm{e}^{-t_2L_2}\right\}_{t_2>0}$ 均满足$ \left(GGE_{p_0}\right)$ 估计. 与算子$ L_1$, $L_2$ 相关的 Hardy 空间$ H_{L_1, L_2}^{1}\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right)$ 是集合

的完备化空间, 其范数定义为

Coifman 等在文献 [10] 中发展的帐篷空间理论在调和分析领域具有广泛应用. 在经典 Hardy 空间的研究中, 通过面积积分算子与 Carleson 测度理论建立了帐篷空间与 Hardy 空间的内在联系, 进而获得了 Hardy 空间中函数的分子分解. 这里引入乘积帐篷空间.

定义3.2 帐篷空间$ T_{q}^{p}:= \left\{ f:A_q\left( f \right) \in L^p\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right) \right\} (0<p, q<\infty )$, 其中

注3.1 (i) 当$ p$, $q\geq1$ 时,$ T_{q}^{p}$ 关于范数$ \|f\|_{T_{q}^{p}}=\left\| A_q\left( f \right) \right\| _p $ 成 Banach 空间;

(ii) 注意到$ A_2\left( Q_{t_{1}^{m}t_{2}^{m}}f \right) =\mathcal{S} _{L_1, L_2}f\in L^1\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right).$ 由帐篷空间$ T_2^1$ 的定义可知$ Q_{t_1^mt_2^m}f\in T_2^1$ 当且仅当$ f\in H_{L_1, L_2}^1\left(\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}\right)$;

(iii) 与单参数情形类似(参见文献 [10]), 对任意的紧集$ K\subset\mathbb{R}_+^{n_1+1}\times\mathbb{R}_+^{n_2+1}$, 有

在 $\mathbb{R}_+^{n_1+1}\times\mathbb{R}_+^{n_2+1}$ 上具有紧支集的函数空间$ T_{q, c}^p$ 是$ T_q^p(0<p<\infty)$ 的稠密子空间. 从而, $T_2^1\cap T_2^2$ 是$ T_2^1$ 的稠密子空间.

定义3.3 令其中 $x=(x_{1},x_{2})$ 以及 $t=(t_{1},t_{2})$. 称函数$ a(x, t)$ 为一个$ T_2^1$ 原子, 若

(i) $a(x, t)$ 可进一步被分解为$ a=\sum_{R\in m(\Omega )}{a_R}$, 其中 $R=I\times J$ 是$ \Omega$ 中的一个极大方体, $\Omega$ 是$ \mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}$ 中有限测度开集, $a_R$ 支撑在$ T(3R$) 中;

(ii)$ \|a \| _{L^2(\frac{dxdt}{t})}\le \left| \Omega \right|^{-{{1}/{2}}} $ 且 $ \sum_{R\in m(\Omega )}{\left\| a_R \right\| _{L^2(\frac{dxdt}{t})}^{2}}\le \left| \Omega \right|^{-1}.$

下面命题给出了空间 $T_2^1$ 的原子分解与对偶理论.

命题3.1 (i) 若$ f\in T_2^1$. 则$ f=\sum_{k}{\lambda_ka_k}$, 其中 $a_k$ 是$ T_2^1$ 原子, 且存在不依赖于$ f$ 的常数 $c$ 使得 $\sum_{k}\left|\lambda_k\right|\le c\|f\|_{T_2^1};$

(ii) $\left(T_2^1\right)^\ast=T_2^\infty$.

注3.2 与单参数情形类似文献 [27], 若$ f\in T_2^1\left(\mathbb{R}_+^{n_1+1}\times\mathbb{R}_+^{n_2+1}\right)\cap T_2^2\left(\mathbb{R}_+^{n_1+1}\times\mathbb{R}_+^{n_2+1}\right)$, 那么$ f$ 在$ T_2^1$ 中的分解$ f=\sum_{k}{\lambda_ka_k}$ 也在$ T_2^2$ 中收敛.

$T_2^p$ 上有界且有紧支集的函数构成的集合记为$ T_{2, c}^p$. 定义在$ T_{2, c}^p$ 上的算子

引理3.1 (i) 映射$ \pi_{L_1, L_2}$ 是从帐篷空间$ T_2^p$ 到$ L^p$ (其中$ p_0 \leq p \leq p_0'$) 的有界线性算子;

(ii) 映射$ \pi_{L_1, L_2}$ 是从$ T_2^1$ 到$ H_{L_1, L_2}^1$ 的有界线性算子.

证 (i) 注意到

再结合定理 2.8, 对任意的$ g\in L^{p^\prime}$ 有

其中$ p'$ 是$ p$ 的共轭指数. 从而$ \left\| \pi _{L_1, L_2}\left( f \right) \right\| _p \lesssim \|f \|_{T_{2}^{p}} $;

(ii) 的证明将在第四章给出.

由引理 3.1 可以得到下面的推论.

推论3.1 $H_{L_1, L_2}^{1}\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right) \cap L^2\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right) $ 是$ H_{L_1, L_2}^{1}\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right)$ 的稠密子空间.

证 对任意的正整数$ k$ 以及 $f\in H_{L_1, L_2}^1\left(\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}\right)$, 定义

与

注意到$ Q_{t_1^mt_2^m}f\in T_2^1$, 那么 $\left[Q_{t_1^mt_2^m}f\right]\chi_{\widetilde{O_k}}\in T_{2, c}^1$. 由引理 3.5 可得$ f_k\in H_{L_1, L_2}^1\left(\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}\right)$ 且

因此, $f_k\in H_{L_1, L_2}^{1}\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right) \cap L^2\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right)$ 且 $\left\| f-f_k \right\| _{H_{L_1, L_2}^{1}\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right)}\rightarrow 0 $ ($k\rightarrow \infty$).

设$ \Omega$ 是$ \mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}$ 中一个测度有限的开集, $\mu$ 表示 $\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}$ 上的 Lebesgue 测度. $m\left(\Omega\right)$ 表示$ \Omega$ 中所有二进极大矩形全体. 记$ m_1\left(\Omega\right)$ 为$ \Omega$ 中所有沿$ x_1$ 方向的极大二进矩形全体, 即如果 $R=I\times J\subset\Omega$ 为二进矩形满足$ R\in m_1\left(\Omega\right)$, 若二进矩形$ S=I^\prime\times J\subset\Omega$ 满足$ R\subset S$, 则$ R=S$. 类似地, 记$ m_2\left(\Omega\right)$ 为$ \Omega$ 中所有沿$ x_2$ 轴方向的极大二进矩形全体. 令

其中 $\chi_\Omega$ 表示$ \Omega$ 的特征函数. 若$ R=I\times J\in m_2\left(\Omega\right)$, 记

以及

如下 Journé 覆盖引理成立, 见文献 [6].

引理3.2 假设$ \Omega\subset\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}$ 为开集. 那么对任意的$ \delta>0$, 存在常数$ c_\delta$ 使得

以及

本节中, 我们将证明定理 1.1, 即由平方函数定义的乘积 Hardy 空间具有分子分解. 定理 1.1 的证明分为两部分, 分别为命题 4.1 与命题 4.2. 我们首先给出乘积型分子的定义.

定义4.1 称函数$ \alpha(x)$ 是$ (L_1, L_2)$ 分子, 若

其中$ a(x, t)$ 是支撑在帐篷$ T(\Omega)$ 上的$ T_2^1$ 原子, $\Omega$ 为$ \mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}$ 上的某开集.

命题4.1 假设 $\{\alpha_{k}\}^{\infty}_{k=1}$ 为一列$ (L_1, L_2)$ 分子, 且 $\{\lambda_{k}\}^{\infty}_{k=1}$ 为数列满足 $\sum_{k}|\lambda_{k}|<\infty$. 若 $f$ 表示为

那么$ f\in H_{L_1, L_2}^1 (\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2})$ 且 $\|f\|_{H_{L_{1}, L_{2}}^1}\lesssim \sum_{k} |\lambda_k|$.

证 只需证对任意的$ (L_1, L_2)$ 分子$ \alpha$, 有

其中$ C$ 是与$ \alpha$ 无关的正常数. 事实上,

现证明 (4.1) 式. 由于$ \alpha$ 是$ (L_1, L_2)$ 分子, 那么存在$ T_2^1$ 原子$ a(x, t)$ 使得

由$ T_2^1$ 原子的定义可知$ a=\sum_{R\in m(\Omega)}a_R$, 其中$ \Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}$ 上的有限测度开集且 ${\rm supp} a_R\!\subset T(\Omega)$. 从而,

对$ m(\Omega)$ 的矩形$ R=I\times J$, 记$ I^\ast$ 为$ \mathbb{R}^{n_1}$ 中包含$ I$ 且使得$ I^\ast\times J\subset\widetilde{\Omega}$ 的极大方体, 其中

记 $J^\ast$ 为$ \mathbb{R}^{n_2}$ 中包含$ J$ 且使得$ I^\ast\times J^\ast\subset\widetilde{\widetilde{\Omega}}$ 成立的极大方体, 其中

令$ R^\ast={100I}^\ast\times100J^\ast$. 由极大函数的有界性可知, 存在常数 $c>0$ 使得

注意到

由 Hölder 不等式, 定理 2.7 及引理 3.5(i)可得

下面只需证明

由于 $T_2^1$ 原子$ a(x)$ 有分解$ a=\sum_{R\in m(\Omega)}a_R$ 且 $(\cup R^\ast)^c=\cap(R^\ast)^c\subset(R^\ast)^c$, 那么

其中

以及

由于 $D$ 和 $E$ 具有相同的结构, 我们下面只需证明存在不依赖于 $a_{R}$ 的常数 $C$ 使得

注意到对于 $D$, 有

其中

以及

令 $Q_{k}(I)=2^{k+1}I \backslash 2^{k}I$, 有

由 Hölder 不等式可得

记

以及

类似我们可以定义 $\mathcal{S}^{(1)}$ 与 $\pi^{(1)}(a_{R})$. 注意到由注 2.2 可知 $\mathcal{S}^{(2)}$ 在 $L^{2}$ 上有界, 从而

令 $x_{cI}$ 表示 $I$ 的中心, 我们将$ t_1$ 的积分区间$ \left(0, \infty\right)$ 划分为

进而将 $\widetilde{D}^{a}_{k}$ 分为如下三部分,

以及

首先考虑 $\widetilde{D}^{a}_{1k}$. 令

那么 ${\rm dist}(G_{k}(I),I)>2^{k-2}l(I)+l(I^{*})$. 注意到 $a_{R}$ 是帐篷空间中的原子

由注 2.1 中的 (ii), 有

进而存在常数 $2k>\frac{\beta}{2m}>0$, 使得

采用与上述类似的方法, 我们可以得到关于 $\widetilde{D}^{a}_{2k}$ 与 $\widetilde{D}^{a}_{3k}$ 的估计. 事实上, 当 $t_{1}\in (l(I), d_{1}(x_{1},x_{cI})$ $/4)$, 令

我们有 ${\rm dist}(H_{k},I)>2^{k-3}l(I)+l(I^{\ast})$. 当 $t_{1}\in (d_{1}(x_{1},x_{cI})/4,\infty)$, 对于 $x_{1}\in (100I^{*})^{c}\cap Q_{k}(I)$, 我们有 $d_{1}(x_{1},x_{cI})>2^{k-1}l(I)+l(I^{*})$. 借助注 2.1 中的 (ii) 以及与处理 $\widetilde{D}^{a}_{1k}$ 相同的过程, 我们得到

其中常数 $2k>\frac{\beta}{2m}>0$. 结合 (4.5), (4.6), (4.9) 与 (4.10) 式, 再由 Journé 引理以及算子 $\pi^{(2)}$ 的有界性, 得到

其中, 在上述过程中我们选择 $4k>\beta=n_{1}+2\epsilon$ 以及 $\epsilon>0$.

现在估计$ D^b$. 将$ D^b$ 的积分区域分解成环, 即$ \left(100I^\ast\right)^c\subset\bigcup_{j_1>4}{U_{j_1}\left(I\right)}$ 与 $\left(100J\right)^c\subset\bigcup_{j_2>4}{U_{j_2}(J)}$, 其中$ U_{j_1}\left( I \right) =2^{j_1}I\backslash 2^{j_1-1}I$. 那么

由原子 $a_{R}$ 的支集条件与 Minkowski, 我们将 (4.12) 式右端的积分进行展开,

我们将上述等式中关于 $t_{1}$ 与 $t_{2}$ 的积分分解为

and

那么,

其中 $j_{1},j_{2}=\{1,2,3\}$, 并且 $j_{1}=1$ 表示在区间 $(0,l(I))$ 对 $t_{1}$ 进行积分, 其余项定义类似. 令

那么

注意到, 每一个 $F_{j_{1},j_{2}}$ 与 $\widetilde{D}^{a}_{k}$ 具有类似的结构, 因此采用与处理 $\widetilde{D}^{a}_{k}$ 类似的过程与估计, 我们可以得到, 存在不依赖于 $a_{R}$ 的常数 $C$ 使得

进而我们完成了命题 4.1 的证明.

借助命题 4.1, 我们现在证明引理 3.1 中的 (ii).

引理 3.1(ii) 的证明 对任意的$ f\in T_2^1\cap T_2^2$, 由引理 3.1, $ f$ 有$ T_2^1$ 分解

其中$ \left\{\lambda_k\right\}\in\ell^1$ 且$ f=\sum_{k}{\lambda_ka_k}$ 也在$ T_2^2$ 中收敛. 又根据引理 3.5, $\pi_{L_1, L_2}$ 是$ T_2^2$ 到$ L^2$ 的有界线性算子, 因此

对任意的$ f\in T_2^1\cap T_2^2$ 在$ L^2$ 意义下成立. 结合命题 4.2 中已经证得的$ \left\| \mathcal{S} \left( \pi _{L_1, L_2}\left( a \right) \right) \right\| _{L^1}\le C $, 有

即$ \pi _{L_1, L_2}\left( f \right) \in H_{L_1, L_2}^{1}$. 因此$ \pi_{L_1, L_2}$ 是$ T_2^1\cap T_2^2$ 到$ H_{L_1, L_2}^1$ 的有界线性算子, 利用泛函分析可将稠密子空间上的结论推广至$ T_2^1$.

命题4.2 若$ f\in H_{L_1, L_2}^1\left(\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}\right)$. 那么 $f=\sum_k{\lambda _k\alpha _k}$, 其中$ \alpha_k$ 是 $(L_1, L_2)$ 分子, $\lambda_k\in\mathbb{C}$ 且$ \sum_{k}\left|\lambda_k\right|\le c{||f||}_{H_{L_1, L_2}^1}$.

证 我们只需在$ H_{L_1, L_2}^1\left(\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}\right)\cap L^2\left(\mathbb{R}^{n_1}\times\mathbb{R}^{n_2}\right)$ 上证明. 对任意的$ f\in H_{L_1, L_2}^{1}(\mathbb{R} ^{n_1}\times$ $\mathbb{R} ^{n_2} ) \cap L^2\left( \mathbb{R} ^{n_1}\times \mathbb{R} ^{n_2} \right) $, 有$ Q_{t_1^mt_2^m}f\in T_2^1 \cap T^{2}_{2}$, 从而

由引理 3.1 可知$ \sum_{k}\left|\lambda_k\right|\le \left|\left|Q_{t_1^mt_2^m}\left(f\right)\right|\right|_{T_2^1}\le C\left|\left|f\right|\right|_{H_{L_1, L_2}^1}$.