数学物理学报, 2026, 46(4): 1420-1427

含非齐次项的薛定谔方程基态解的存在性和集中行为——献给邓引斌教授 70 寿辰

巴娜,1, 周凯瑞,2, 曾小雨,2,*

1 湖北工业大学理学院 武汉 430068

2 武汉理工大学数学与统计学院 武汉 430070

On the Existence and Concentration of Minimizers for a Class of Constrained Variational Problems in Three Dimensional Space

Ba Na,1, Zhou Kairui,2, Zeng Xiaoyu,2,*

1 School of Science, Hubei University of Technology, Wuhan 430068

2 School of Mathematics and Statistics, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070

通讯作者: * 曾小雨,E-mail: E-mail: xyzeng@whut.edu.cn

收稿日期: 2025-12-25   修回日期: 2026-02-6  

基金资助: 湖北省教育厅科研项目重点项目(D20181405)
国家自然科学基金(12322106)
国家自然科学基金(12171379)

Received: 2025-12-25   Revised: 2026-02-6  

Fund supported: Key Scientific Research Project of Hubei Provincial Department of Education(D20181405)
NSFC(12322106)
NSFC(12171379)

作者简介 About authors

巴娜,E-mail:bana1002@126.com;

周凯瑞,zkr_20060222@qq.com

摘要

该文利用约束变分的方法, 研究了三维空间中一类带有非齐次项的薛定谔方程存在基态解的最佳参数范围, 并讨论了基态解随参数变化的质量集中行为.

关键词： 约束变分; 基态解; 能量估计; 集中行为

Abstract

In this paper, we employ the constrained variational method to investigate the optimal parameter range for the existence and non-existence of ground states to a class of Schrödinger equations with inhomogeneous terms in three-dimensional space, and discusses the mass concentration behavior of the ground states with respect to the variation of the parameter.

Keywords： constrained variation; ground states; energy estimation; concentration behavior

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本文引用格式

巴娜, 周凯瑞, 曾小雨. 含非齐次项的薛定谔方程基态解的存在性和集中行为——献给邓引斌教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(4): 1420-1427

Ba Na, Zhou Kairui, Zeng Xiaoyu. On the Existence and Concentration of Minimizers for a Class of Constrained Variational Problems in Three Dimensional Space[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(4): 1420-1427

1 引言

对于如下一类薛定谔方程对应的变分泛函

$E_a(u):=\int_{\mathbb{R} ^3}\Big(|\nabla u|^2+V(|x|)u^2\Big)\mathrm{d}x-\frac{a}{2}\int_{\mathbb{R} ^3}|x|u^{4}\mathrm{d}x, \,\,\,\,\,\,\,\, u\in \mathcal{H},$

其中 $\mathcal{H}=\{u\in H^1_{r}(\mathbb{R}^3)|\int_{\mathbb{R} ^3}V(|x|)u^2\mathrm{d}x<\infty\}, \text{ $H^1_{r}(\mathbb{R}^3)=\{u\in H^1(\mathbb{R}^3)|u(x)=u(|x|)\}$.}$ 本文主要研究下述形式的极小化问题

$e(a):=\inf_{u\in \mathcal{H},\, \|u\|_2=1} E_a(u)\,,$

其中 $\|u\|_2=(\int_{\mathbb{R}^3}u^2\mathrm{d}x)^{\frac{1}{2}}$.

我们知道极小化问题 (1.2) 的任一极小可达元 $u(x)$ 都满足如下稳态薛定谔方程

$-\Delta u+V(|x|)u=\mu u+a|x||u|^{2}u, \,\,\,\,\,\,\,\,\ \ x\in\mathbb{R} ^{3},$

其中 $\mu \in\mathbb{R}$ 是一个适当的 Lagrange 乘子. 通常称问题 (1.2) 的极小可达元 $u(x)$ 为泛函 (1.1) 或者方程 (1.3) 的基态解.

对于空间维数 $N=2$ 的情形, 令

$J_a^p(u)=\displaystyle\int_{\mathbb{R} ^2}\Big(|\nabla u|^2+V(x)|u|^2\Big)\mathrm{d}x-\displaystyle\frac{2a}{p+2}\int_{\mathbb{R} ^2} |u|^{p+2}\mathrm{d}x,\ a>0,$

以及

$I_a(p)=\inf_{ \|u\|_2=1} J_a^p(u)\,.$

当 $p>2$ 时, 很容易证明问题 (1.4) 没有极小元. 当 $0<p<2$ 时, 文献 [4],[11] 讨论了问题 (1.4) 极小元的存在性和集中行为. 当 $p=2$ 时, 文献 [6],[7],[8],[10] 证明了存在临界参数 $a^{*}$, 使得当 $a\nearrow a^*$ 时, 问题 (1.4) 的极小元会发生集中和对称性破缺. 此外, 文献 [2],[6],[7],[8],[9],[10] 中有关问题 (1.4) 的结果都可以推广到 $N\geq2,\ p= \frac{4}{N}$ 的情形. 而当 $N=3,\ p>\frac{4}{3}$ 时, 易知 $I_a(p)=-\infty$ 从而问题 (1.4) 没有极小元. 但是当 $N=3,\ p=2(>\frac{4}{3})$ 时, 本文将证明含有非齐次项 $\int_{\mathbb{R} ^3} |x||u|^{4}\mathrm{d}x$ 的极小化问题 (1.2) 存在极小元.

为了便于叙述本文得到的结果, 我们首先考虑如下方程

$-\Delta u+u-|x|u^3=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\in \mathbb{R}^3,\ \ \ \ u\in H_{r}^1(\mathbb{R} ^3).$

由文献 [5],[14] 可知, 在不计平移意义下, 方程 (1.5) 存在唯一正的径向对称解 $Q=Q(|x|)$, 且对于如下 Gagliardo-Nirenberg 不等式

$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|x||u|^4\mathrm{d}x\leq \frac{2}{\|Q\|_2^2}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2\mathrm{d}x\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|u|^2\mathrm{d}x, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall u\in H_{r}^1(\mathbb{R}^3),$

其中等号在 $u(x) = Q(|x|)$ 时成立. 由 (1.5) 式和 (1.6) 式可知 $Q(|x|)$ 还满足如下等式

$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|Q|^2\mathrm{d}x=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla Q|^2\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|x||Q|^4\mathrm{d}x.$

此外, 类似于文献 [13,引理 1], 可知存在常数 $C>0$ 和 $0<c<1$, 使得当 $|x|\rightarrow\infty$ 时, 有

$Q(x)\leq C{\rm e}^{-c|x|}, \ \ \ \ |\nabla Q(x)|\leq C{\rm e}^{-c|x|}.$

本文假设位势函数 $V(x)$ 满足如下两个条件

$\boldsymbol {(V_1)}$ $V\in C(\mathbb{R}),\ V(|x|)\geq0$, $\text{并且当 }|x|\rightarrow \infty \text{ 时, 有 } V(|x|)\rightarrow\infty$.

$\boldsymbol {(V_2)}$ $\text{当 } |x|\rightarrow0 \text{ 时}$, $V(|x|)=O(|x|^s)$, 其中 $s>0$.

下面给出关于极小化问题 (1.2) 的极小元的存在性和非存在性定理.

定理1.1 设 $Q=Q(|x|)$ 是方程 (1.5) 的正的径向对称解, 函数 $V(x)$ 满足条件 $(V_1)$, 那么

(i) 当 $0\leq a<a^{*}:=\|Q\|_2^2$ 时, 问题 (1.2) 至少有一个极小元;

(ii) 当 $a>a^{*}$ 时, 问题 (1.2) 没有极小元;

(iii) 当 $a=a^{*}$ 且 $V(0)=0$ 时, 问题 (1.2) 没有极小元.

并且, 当 $a<a^{*}$ 时, $e(a)>0$; 当 $a>a^{*}$ 时, $e(a)=-\infty$; 当 $V(0)=0$ 时, $\lim\limits_{a\rightarrow a^{*}}e(a)= e(a^{*})=0$.

定理 1.1 的证明主要是受到文献 [7] 的启发. 若 $u_a(x)$ 是问题 (1.2) 的一个非负极小元, 那么存在一个适当的 Lagrange 乘子 $\mu$ 使得它满足方程 (1.3), 再由极大值原理可知 $u_a(x)$ 是正的. 此外, 我们还将在如下定理中证明, 若 $V(0)=0$, 那么当 $a\nearrow a^*$ 时, $u_a(x)$ 在 $x=0$ 处产生爆破现象, 这导致当 $a=a^*$ 时问题 (1.2) 不存在极小元.

定理1.2 假设 $V(x)$ 满足条件 $(V_1)$ 且 $V(0)=0$. 当 $0<a< a^*$ 时, $u_a\geq0$ 是问题 (1.2) 的一个非负极小元, 那么对任意满足 $a\nearrow a^*$ 的序列 $\{a\}$, 都可以找到一个子序列, 使得

$\lim_{a\nearrow a^*}\varepsilon_a^\frac{3}{2} u_{a}\big(\varepsilon_a x\big) =\frac { Q(x)}{\sqrt{a^*}}\ \text{ 在 }H_r^1(\mathbb{R}^3)\text{ 中强收敛},$

其中 $\varepsilon_a>0$ 满足当 $a\nearrow a^*$ 时

$\varepsilon_a:=\Big(\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_{a}|^2dx\Big)^{-\frac{1}{2}}\to 0.$

进一步, 若 $V(x)$ 在其极小值点附近满足更多条件, 我们可以精确计算当 $a\nearrow a^*$ 时极小元的爆破速率.

定理1.3 假设 $V(x)$ 满足条件 $(V_1),\ (V_2)$. 令

$\kappa=\lim\limits_{|x|\rightarrow0}V(|x|)|x|^{-s}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|x|^{s}Q^2(x)\mathrm{d}x,\ \alpha=\Bigl(\frac{1}{2}\kappa s\Bigl)^{\frac{1}{s+2}}.$

那么

(i) $e(a)$满足

$\begin{split}\liminf_{a\nearrow a^{*}}\displaystyle\frac{e(a)}{(a^{*}-a)^{\frac{s}{s+2}}}=\frac{s+2}{s}\frac{1}{a^*}(\frac{\kappa s}{2})^\frac{2}{s+2};\end{split}$

(ii) 对任意 $a<a^{*}$, 设 $u_a(x)$ 是问题 (1.2) 的一个非负极小元, 那么存在子序列 $($仍然记为 $\{a\}$), 满足

$\lim_{a\nearrow a^*}(\frac{2}{\kappa s}(a^*-a))^\frac{1}{s+2}\big/\varepsilon_a=1,$

其中 $\varepsilon_a$ 的定义见 (1.10), 并且当 $a\nearrow a^*$ 时,

$(a^{*}-a)^{\frac{3}{2(s+2)}}u_{a}\Bigl((a^{*}-a)^{\frac{1}{s+2}}x\Bigl)\rightarrow\displaystyle\frac{\alpha^{\frac{3}{2}}}{\|Q\|_2}Q(\alpha x) \ \text{在 }H_{r}^1(\mathbb{R}^3)\text{ 中强收敛}.$

我们将分别在第二节、第三节和第四节中证明定理 1.1、定理 1.2 和定理 1.3.

2 极小元的存在性

我们首先给出如下紧性引理, 其证明可参考文献 [12,定理 XIII.67] 或文献 [3,定理 2.1].

引理2.1 假设 $V\in L_{loc}^\infty(\mathbb{R}^3)$ 且 $\lim\limits_{|x|\rightarrow\infty}V(|x|)=\infty$, 那么, 当 $2\leq q<\infty$ 时, $\mathcal{H}\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^3)$ 是紧嵌入.

定理 1.1的证明 (i) 若 $u\in \mathcal{H}$ 且 $\|u\|_2^2=1$, 由 (1.6) 式可知, 对所有的 $0\leq a<\|Q\|_2^2$, 有

$E_a(u)\geq\Bigl(1-\frac{a}{\|Q\|_2^2}\Bigl)\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2\mathrm{d}x+\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}V(|x|)u^2\mathrm{d}x$

成立. 这表明 $E_a(u)$ 是有下界的. 设 $\{u_n\}\in\mathcal{H}$ 是问题 (1.2) 的一个极小化序列, 那么 $\|u_n\|_2=1$ 且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}E_a(u_n)=e(a)$. 由 (2.1) 式可知 $\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_n|^2\mathrm{d}x$ 和 $\int_{\mathbb{R}^3}V(|x|)u_n^2\mathrm{d}x$ 关于 $n$ 是一致有界的, 再由引理 2.1 可以得到, 当 $2\leq q<6$ 时, 存在子序列 (仍然记为) $u_n$ 和 $u\in\mathcal{H}$, 满足

$u_{n}\overset{n}{\to} u\text{ 在 }\mathcal{H}\text{ 中弱收敛}, \,\,\, \,\, \,\,\,\, u_{n}\overset{n}{\to} u\ \text{在 }L^{q}(\mathbb{R}^{3})\text{ 中强收敛}.$

因此, 可得

$\int_{\mathbb{R}^3}|u|^2\mathrm{d}x=1\ \text{且 }\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^3}|x|u^4_n\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^3}|x|u^4\mathrm{d}x.$

进一步可知 $e(a)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}E_a(u_n)\geq E(u)\geq e(a)$. 这表明 $u$ 是 $e(a)$ 的极小元, 再结合 (2.1) 式可知 $e(a)>0$.

(ii) 当 $a\geq\|Q\|_2^2$ 时, 为了证明问题 (1.2) 没有极小元, 我们选取一个非负函数 $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 满足: 当 $|x|\leq1$ 时, $\varphi(x)=1$. 令

$u(x)=A_{R,\tau}\displaystyle\frac{\tau^{\frac{3}{2}}}{\|Q\|_2}\varphi\Bigl(\frac{x}{R}\Bigl)Q(\tau x),\ \ \ \ \tau>0,\ \ R>0,$

其中 $A_{R,\tau}>0$ 使得 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}u^2(x)\mathrm{d}x=1$. 由

$\frac{1}{A_{R,\tau}^2}=\frac{1}{\|Q\|_2^2}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}\varphi^2\Bigl(\frac{y}{\tau R}\Bigl)Q^2(y)\mathrm{d}y=1+O(\mathrm{e}^{-R\tau}),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R\tau\rightarrow\infty.$

我们可以得到 $\lim\limits_{R\tau\rightarrow\infty}A_{R,\tau}=1$. 结合 (1.7) 式和 (1.8) 式可得, 当 $R\tau\rightarrow\infty$ 时,

$\begin{array}{rl}&\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2\mathrm{d}x-\displaystyle\frac{a}{2}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|x|u^4\mathrm{d}x\\=&\displaystyle\frac{\tau^2}{\|Q\|_2^2}\Bigl[\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla Q(y)|^2\mathrm{d}y-\displaystyle\frac{a}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{\|Q\|_2^2}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|y|Q^4(y)\mathrm{d}y+O(\mathrm{e}^{-\tau R})\Bigl]\\=& \displaystyle\frac{\tau^2}{a^*}(a^*-a)+O(\mathrm{e}^{-\tau R}).\end{array}$

另一方面, 由函数 $V(|x|)\varphi(x/R)^2$ 有界且有紧支集, 可得

$\lim\limits_{\tau\rightarrow\infty}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}V(|x|)u^2\mathrm{d}x=V(0).$

再由 (2.4) 式和 (2.5) 式可得, 当 $a>\|Q\|_2^2$ 时,

$e(a)\leq \lim\limits_{\tau\rightarrow\infty}E_{a}(u)=-\infty.$

这表明 $e(a)$ 没有下界, 从而不存在极小元.

(iii) 当 $a=\|Q\|_2^2$ 时, 由 (2.4) 式和 (2.5) 式可知 $e(a)\leq V(0)$. 而由 (2.1) 式可得 $e(a)\geq 0$. 因此, 若 $V(0)=0$, 则 $e(a)=0$. 假设极小元 $u$ 存在, 那么它同时满足

$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}V(|x|)u^2\mathrm{d}x=0$

和

$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{\|Q\|_2^2}{2}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|x|u^4\mathrm{d}x.$

由 (2.6) 式可知 $u$ 必须具有紧支集, 而 (2.7) 式却表明 $u$ 是 $Q$ 的一个伸缩平移. 这就产生了矛盾. 因此, 当 $a=a^*$ 时, 问题 (1.2) 没有极小元. 同时, 由 (2.4) 式和 (2.5) 式可得 $0\leq \lim\limits_{a\rightarrow a^{*}}e(a)\leq V(0)=0$.

3 定理 1.2 的证明

本节将在定理 1.1 的基础上讨论当 $V(0)=0$ 且 $a\nearrow a^*$ 时, 极小元的极限行为.

定理 1.2 的证明 由 $V(0)=0$ 和定理 1.1(iii) 可得

$\int_{\mathbb{R}^3}V(x)|u_a(x)|^2\mathrm{d}x\leq e(a)\to 0,\quad \ \ \ \quad a\nearrow a^*\,.$

令

$\varepsilon ^{-2}_a:=\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_a|^2\mathrm{d}x>0.$

则当 $a\nearrow a^*$ 时,

$\varepsilon_a\to 0.$

否则, 假设当 $n\to\infty$ 时存在序列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\nearrow a^*$, 使得 $u_{a_n}(x)$ 在 $\mathcal{H}$ 中一致有界. 由引理 2.1 可知, 存在一个子序列 (仍记为) $\{a_n\}$ 以及 $u_0\in \mathcal{H}$, 满足

$u_{a_n}\rightharpoonup u_0 \ \text{在 }{\mathcal{H}}\text{ 中弱收敛}, \,\,\, \,\, \,\,\,\, u_{a_n}\rightarrow u_0 \ \text{在 }L^{q}(\mathbb{R}^{3})\text{ 中强收敛}, \ \ \ 2\leq q<6.$

因此可得,

$0=e(a^*)\leq E_{a^*}(u_0)\leq\lim_{n\to\infty} E_{a_n}(u_{a_n})=\lim_{n\to\infty} e(a_n)=0\,.$

这表明 $u_0$ 是 $e(a^*)$ 的一个极小元. 与定理 1.1 产生矛盾. 因此 (3.3) 式成立.

由于当 $a\nearrow a^*$ 时, 有

$\begin{array}{rl}0\leq &\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_a(x)|^2\mathrm{d}x-\displaystyle\frac{a}{2}\int_{\mathbb{R}^3}|x|| u_a(x)|^4\mathrm{d}x \\ =&\varepsilon^{-2}_a-\displaystyle\frac{a}{2}\int_{\mathbb{R}^3}|x|| u_a(x)|^4\mathrm{d}x\leq e(a)\rightarrow 0.\end{array}$

再结合 (3.3) 式可知, 当 $a\nearrow a^*$ 时, 有

$\frac{a}{2}\int_{\mathbb{R}^3}|x||u_a(x)|^4\mathrm{d}x\cdot\varepsilon ^{2}_a\to1.$

令

${w}_a(x):=\varepsilon^{\frac{3}{2}}_a u_a\big(\varepsilon_a x\big),$

易知 $\|{w}_a(x)\|_2=1$. 由 (3.2) 式和 (3.4) 式可得, 当 $a\nearrow a^*$ 时, 有

$\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla {w}_a|^2\mathrm{d}x=1,\quad\int_{\mathbb{R}^3}|x|| {w}_a|^4\mathrm{d}x\to\frac{2}{a^*}.$

下面我们将证明存在序列 $\{y_{\varepsilon_a}\}$ 和正常数 $R_0$ 以及 $\lambda$, 使得

$\liminf_{\varepsilon_a\to0}\int_{B_{R_0}(y_{\varepsilon_a})}|{w}_a|^2\mathrm{d}x\geq\lambda>0$

成立.

反之, 如果 (3.7) 式不成立, 那么对任意 $\tilde{R}>0$, 都存在一个序列 ${w}_{a_k}$ 满足 $a_k\nearrow a^*$ 使得

$\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{y\in\mathbb{R}^3}\int_{B_{\tilde{R}}(y)}|{w}_{a_k}|^2\mathrm{d}x=0.$

由文献 [11,引理 I.1] (或文献 [4,定理 8.10]) 可知, 对任意 $2<p<6$, 在 $L^p(\mathbb{R}^3)$ 中有 ${w}_{a_k}\xrightarrow{k}0$ 成立, 这与 (27) 式产生矛盾. 因此 (2.24) 式成立. 注意到 $w_a=w_a(|x|)$ 关于原点径向对称且 $\|w_a\|_2=1$, 结合文献 [1,性质 17] 可知, 当 $a\nearrow a^*$ 时, $\{y_{\varepsilon_a}\}$ 是一致有界的. 再由 (2.24) 式可得, 存在常数 $R_1>0$ 使得

$\liminf_{\varepsilon_a\to0}\int_{B_{R_1}(0)}|{w}_a|^2\mathrm{d}x\geq\lambda>0$

成立. 由于极小元 $u_a$ 满足

$-\Delta u_a(x)+V(x)u_a(x)=\mu_a u_a(x)+a |x|u_a^3(x),\quad \ \ \ \ \ x\in\mathbb{R}^3,$

其中 $\mu_a\in \mathbb{R}$ 是一个适当的 Lagrange 乘子且满足

$\mu_a=e(a)-\frac{a}{2}\int_{\mathbb{R}^3}|x||u_a|^4\mathrm{d}x.$

那么由 (3.4) 式可得, 当 $a\nearrow a^*$ 时,

$\varepsilon_a^2\mu_a\to-1.$

另一方面, 由 (3.9) 式可知 $w_a(x)$ 满足

$-\Delta w_a(x)+\varepsilon_a^2V(\varepsilon_a x)w_a(x)=\varepsilon_a^2\mu_a w_a(x)+a|x| w_a^3(x),\quad \ \ \ \ \ \ x\in\mathbb{R}^3.$

因此存在 $w_0\in H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 以及一个子序列使得 $w_a\rightharpoonup w_0\geq 0$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中弱收敛, 且 $w_0$ 满足

$-\Delta w_0(x)=- w_0(x)+a^* |x|w_0^{3}(x),\quad \ \ \ \ \ \ x\in\mathbb{R}^3.$

由 (3.8) 式可知 $w_0(x)\not\equiv 0$, 再由强极值原理可得 $w_0(x)>0$. 然后根据问题 (1.5) 正的径向对称解的唯一性可知

$w_0(x)=\frac{1}{\|Q\|_2}Q(|x|).$

另一方面, 由 $\|w_0\|_2^2=1$ 以及保范性可得: $w_a\to w_0$ 在 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛. 再结合 (1.6) 式可得, 当 $a\nearrow a^*$ 时,

$\int_{\mathbb{R}^3}|x||w_a-w_0|^4\mathrm{d}x\to0. $

因此, 由 (3.10) 式和 (3.11) 式可知 $w_a\to w_0$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛. 定理 1.2 得证.

4 定理 1.3 的证明

为了估计极小化问题 (1.2) 的基态能量 $e(a)$ 并精确计算极小元的爆破速率, 我们首先给出基态能量 $e(a)$ 的上界估计

引理4.1 假设 $V(x)$ 满足条件 $(V_1),\ (V_2)$, 那么 $e(a)$ 满足

$\begin{split}\liminf_{a\nearrow a^{*}}\displaystyle\frac{e(a)}{(a^{*}-a)^{\frac{s}{s+2}}}\leq\frac{s+2}{a^*s}(\frac{\kappa s}{2})^\frac{2}{s+2},\end{split}$

其中 $\kappa>0$ 是由 (1.11) 式定义的常数.

证 设 $u(x)$ 是由 (2.2) 式定义的试验函数. 由 (1.8) 式中 $Q(x)$ 所满足的指数衰减可得

$\begin{split}\int_{\mathbb{R}^3} V(x)u^2\mathrm{d}x&=\frac{A_{R \tau}^2}{a^*}\int_{\mathbb{R}^3} V(\frac{x}{\tau})\varphi^2(\frac{x}{R\tau})Q^2(x)\mathrm{d}x\\&\leq \frac{A_{R \tau}^2}{a^*}\int_{|x|<\sqrt\tau} V(\frac{x}{\tau})\varphi^2(\frac{x}{R\tau})Q^2(x)\mathrm{d}x+O(\mathrm{e}^{-cR\tau})\\&\leq\frac{\tau^{-s}}{a^*}\int_{|x|<\sqrt\tau} \frac{V(\frac{x}{\tau})}{(\frac{|x|}{\tau})^s}|x|^sQ^2(x)\mathrm{d}x+O(\mathrm{e}^{-cR\tau}).\end{split}$

利用 Lebesgue's 控制收敛定理, 有

$\lim_{\tau\to\infty}\int_{|x|<\sqrt\tau} \frac{V(\frac{x}{\tau})}{(\frac{|x|}{\tau})^s}|x|^sQ^2(x)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^3} \lim_{\tau\to\infty} \chi_{B_{\sqrt\tau}(0)}(x)\frac{V(\frac{x}{\tau})}{(\frac{|x|}{\tau})^s}|x|^sQ^2(x)\mathrm{d}x=\kappa.$

结合 (2.4) 式和 (4.2) 式可知, $\forall\tau\gg1$, 都有

$e(a)\leq E_a(u)\leq \frac{1}{a^*}\big[\tau^2(a^*-a)+\kappa\tau^{-s}\big]+O(\mathrm{e}^{-cR\tau}),$

成立. 特别地取 $\tau= (\frac{2}{\kappa s}(a^*-a))^\frac{-1}{s+2}$, 当 $a\rightarrow a^{*}$ 时, 上式也成立. 因而可得

$\begin{split}& \liminf_{a\rightarrow a^{*}}e(a)\leq\liminf_{a\rightarrow a^{*}}E_a(u)\leq \frac{1}{a^*}\big[\tau^2(a^*-a)+\kappa\tau^{-s}\big]+O(\mathrm{e}^{-cR\tau})\\&=\frac{s+2}{s a^*}(\frac{\kappa s}{2})^\frac{2}{s+2}(a^*-a)^\frac{s}{s+2}(1+o(1)).\end{split}$

因此, (4.1) 式成立.

利用上述引理, 我们完成定理 1.3 的证明.

定理 1.3 的证明 由 (3.5) 式可得

$\begin{eqnarray*} e(a)=E_a(u_a)&=&\varepsilon_a^{-2}\Bigl[\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla w_a|^2\mathrm{d}x-\frac{a}{2}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|x|w_a^4(x)\mathrm{d}x\Bigl] +\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}V(\varepsilon_a|x|)w_a^2(x)\mathrm{d}x\\ &\geq& \varepsilon_a^{-2}\frac{a^*-a}{a^*}+\varepsilon_a^{s}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}\frac{V(\varepsilon_a|x|)}{(\varepsilon_a|x|)^s}|x|^sw_a^2(x)\mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$

利用 Fatou's 引理以及 (1.9) 式得

$\liminf_{\varepsilon_a\rightarrow0}\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}\frac{V(\varepsilon_a|x|)}{(\varepsilon_a|x|)^s}|x|^sw_a^2(x)\mathrm{d}x\geq\frac{\kappa}{a^*}.$

因此, 有

$\begin{split}\liminf_{a\rightarrow a^{*}}\displaystyle\frac{e(a)}{(a^{*}-a)^{\frac{s}{s+2}}}&\geq \liminf_{a\rightarrow a^{*}}\frac{1}{a^*}\Big[\big(\varepsilon_a^{-1}(a^*-a)^\frac{1}{s+2}\big)^2+\kappa\big(\varepsilon_a^{-1}(a^*-a)^\frac{1}{s+2}\big)^{-s}\Big]\\&\geq \frac{s+2}{a^*s}(\frac{\kappa s}{2})^\frac{2}{s+2},\end{split}$

并且, 当且仅当 $ \lim_{a\nearrow a^*}(\frac{2}{\kappa s}(a^*-a))^\frac{1}{s+2}\big/\varepsilon_a=1$ 时, 第二个不等式中的等号成立. 结合 (4.3) 式和 (4.1) 式可知, (1.12) 式成立. 进而有 (1.13) 式成立. 再由 (1.9) 式和 (1.13) 式可得 (1.14) 式成立.

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\n We are interested in the attractive Gross–Pitaevskii (GP) equation in\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n R\n \n \n 2\n \n \n \n \n, where the external potential\n \n \n \n \n \n \n V\n (\n x\n )\n \n \n \n vanishes on\n m\n disjoint bounded domains\n \n \n \n \n \n \n \n Ω\n i\n \n ⊂\n \n \n \n R\n \n \n 2\n \n  \n (\n i\n =\n 1\n,\n 2\n,\n ⋯\n,\n m\n )\n \n \n \n and\n \n \n \n \n \n \n V\n (\n x\n )\n →\n ∞\n \n \n \n as\n \n \n \n \n \n \n |\n x\n |\n →\n ∞\n \n \n \n, that is, the union of these\n \n \n \n \n \n \n \n Ω\n i\n \n \n \n \n is the bottom of the potential well. By establishing some delicate estimates on the associated energy functional of the GP equation, we prove that when the interaction strength\n a\n approaches some critical value\n \n \n \n \n \n \n \n a\n ∗\n \n \n \n \n, the ground states concentrate and blow up at the center of the incircle of some\n \n \n \n \n \n \n \n Ω\n j\n \n \n \n \n with the largest inradius. Moreover, under some further conditions on\n \n \n \n \n \n \n V\n (\n x\n )\n \n \n \n, we show that the ground states of the GP equations are unique and radially symmetric at least for almost every\n \n \n \n \n \n \n a\n ∈\n (\n 0\n,\n \n a\n ∗\n \n )\n \n \n \n.\n

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