薛定谔-泊松系统的研究因其在多种物理背景中的重要性而受到广泛关注, 其中包括等离子体物理, 非线性光学与量子力学. 这类系统刻画了量子场与经典势之间的相互作用, 能够涵盖诸如波-粒相互作用以及带电粒子动力学等多种现象. 关于该系统的早期工作可追溯至文献 [1,2] 的开创性研究, 他们在非相对论与相对论两种极限情形下, 考察了带有泊松型位势的非线性薛定谔方程解的存在性与正则性问题. 尤其是文献 [3,4] 的奠基性成果在非线性场方程的框架下系统分析了解的渐近行为, 为孤立波的存在性以及解的稳定性提供了关键性的理论依据.

在文献 [5] 中, 作者们考察了如下薛定谔-泊松系统

其中, $ u $ 表示未知函数, $ V(x) $ 为势能函数, $ f(u) $ 为非线性项, $ \phi $ 为由泊松方程所确定的势场. 本文在尽可能弱的假设条件下研究了(1.1) 式解的存在性问题, 尤其是不依赖于经典的 Ambrosetti-Rabinowitz 条件; 该条件常用于保证变分问题中山路定理的适用性. 尽管这些结果加深了对薛定谔-泊松系统的理解, 但相关研究多集中于线性或弱非线性模型, 通常假设特定的边界条件或对势项作出简化处理. 然而, 在更为复杂且更贴近实际的物理模型中, 势函数往往并非常数, 而是一个不定号的函数, 从而导致更为精细的数学结构. 在此情形下, 薛定谔算子呈现出非平凡的谱性质, 这进一步加大了建立解的存在性理论的难度.

系统 (1.1) 在近几十年引起了广泛关注, 相关工作可见于文献 [6,7,8,9,10] 及其所引文献. 我们强调, 在上述所有文献中, 作者仅讨论了薛定谔算子 $-\Delta+V$ 为正定的情形. 在该情形下, 可以应用山路定理. 然而, 当势函数 $V$ 在某些区域取负值, 将使能量泛函的二次型部分呈现不定性, 山路定理不再适用. 山路定理要求能量泛函在原点处具有严格的局部极小值, 其几何结构类似于被山谷环绕的山峰, 这一性质通常由泛函的二次项所保证, 而二次项由薛定谔算子 $-\Delta+V$ 的正定性所控制. 然而, 在我们的情形中, 势函数 $V(x)$ 是不定号的, 即该算子存在一个有限维的负空间. 因此, 我们所考虑的泛函的二次部分就是不定的. 这将导致原点 $u=0$ 成为鞍点而非局部极小点, 从而直接违背了山路定理的一项基本假设.

在文献 [11] 中, Liu 与 Wu 研究了带有四次超线性项的如下薛定谔-泊松系统

其中, 势函数 $V(x)$ 是不定位势, $f(x,u)$ 为四次超线性增长. 传统上, 为了保证变分方法的适用性, 通常要求势函数 $V(x)$ 为正, 从而确保系统的能量泛函具有山路几何结构. 然而, 在文献 [11] 中, 势函数是不定号的, 这使得能量泛函失去经典的山路几何结构, 从而导致传统变分方法不再适用. 为克服该困难, 作者采用 Morse 理论与局部连接方法, 在不满足传统假设的情况下成功证明系统仍存在非平凡解. 进一步地, 通过利用非线性项的奇函数对称性, 证明了该系统不仅存在解, 而且实际上拥有无穷多个解.

近年来, 关于拟线性薛定谔-泊松系统的研究取得了新的进展. Ding, Li 与 Meng 在文献 [12] 中将文献 [13] 中关于标准薛定谔-泊松系统的结果推广到更为复杂的拟线性情形, 所考虑的广义系统可表述为

其中, 非线性项 $f(t)$ 在无穷远处关于 $t$ 呈现渐近线性. 在对 $K$, $a$ 与 $f$ 施加适当的假设条件下, 作者建立了系统 (1.3) 基态解的存在性. 此外, 他们还对当参数 $\varepsilon \to 0$ 时解的渐近行为进行了细致分析. 文献 [14] 研究了具有临界非线性项的拟线性薛定谔-泊松系统

其中, 函数 $f$ 满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件: 存在 $\theta \in (4,6)$, 使得

为克服由拟线性泊松方程正则性不足所带来的分析困难, 研究者引入了较为精细的泛函截断技术. 该方法使得在参数 $\lambda$ 取较大值时, 系统 (1.4) 存在山路型解. 随后的工作文献 [15] 将上述结果推广到了具有临界指数增长的二维情形.

当 Ambrosetti-Rabinowitz 条件 (1.5) 不成立时, 分析将变得尤为困难. Wei, Li 与 Zhao 在文献 [16] 中研究了如下的系统

其中, $V(x)$ 为强制位势, $f$ 满足 (1.5) 式但 $\theta \in (2,6)$. 当 $\theta \in (2,4]$ 时, 由于标准变分结构失效, 问题呈现出更为显著的困难. 通过创新性的截断方法, 作者证明了解的存在性及其渐近行为对参数 $\lambda$ 具有关键依赖性. 具体而言, 当 $\lambda>0$ 足够小时可获得非平凡解, 并且在 $\varepsilon$ 与 $\lambda$ 分别趋于零时给出了系统的渐近分析.

受上述文献启发, 我们考虑 Kirchhoff 型拟线性薛定谔-泊松系统

本文讨论势函数 $V$ 为不定位势且有界的情形, 该设定可能使前述的紧嵌入性质不再成立. 借鉴我们先前的观察以及关于 Chern-Simons-Schrödinger 系统的相关研究文献 [17], 我们利用可积性条件 $(f_4)$ 来建立 Palais-Smale 条件.

接下来, 我们给出关于 $V$ 与 $f$ 的基本假设

(${V}$) 势函数 $V$ $\in$ $C(\mathbf{R}^{3})$ 是有界的且使得

定义的二次型是非退化的, 其负特征子空间维数有限.

($f_1$) 非线性项 $f$ 在 $\mathbf{R}^{3}\times\mathbf{R}$ 上连续, 并满足增长条件

其中 $C>0$ 为常数, $p \in (4,6)$.

($f_2$) 对所有 $x \in \mathbf{R}^{3}$, 有

($f_3$) 对任意 $(x,t) \in \mathbf{R}^{3} \times (\mathbf{R}\setminus\{0\})$, 有

其中 $F(x,t) = \int_0^t f(x,s) \mathrm{d}s$. 此外, 对几乎处处的 $x \in \mathbf{R}^{3}$,

($f_4$) 存在函数 $c(x) \in L^{\infty}(\mathbf{R}^{3}) \cap L^{3/2}(\mathbf{R}^{3})$ 与 $d(x) \in L^{\infty}(\mathbf{R}^{3}) \cap L^{6/(6-s)}(\mathbf{R}^{3})$, 其中 $s \in [2,6)$, 使得

在给出主要结果之前, 我们引入工作空间所需的一些记号. 定义 Hilbert 空间

在该空间上定义内积与相应范数为

此外, 记标准 Lebesgue 空间为 $ L^q(\mathbf{R}^3) $, 其中 $ q \in [1, \infty) $. 当 $ q \geq 2 $ 时, $ D^{1,q}(\mathbf{R}^3) $ 表示 Banach 空间. 引入空间

该空间在范数

下成为 Banach 空间. 显然, $X$连续嵌入到 $ D^{1,2}(\mathbf{R}^3) $ 中. 进一步地, 由 Sobolev 嵌入定理, $ D^{1,2}(\mathbf{R}^3) $ 连续嵌入到 $ L^6(\mathbf{R}^3) $. 与系统 (1.7) 相关的变分泛函 $I(u, \phi)$ 定义为

为处理紧性问题, 我们将把泛函 $I$ 限制在函数空间 $ E \times X $ 上来进行分析. 如之前所述, 泛函 $I$ 既不适用于山路定理也不适用于环绕定理. 有趣的是, $I$ 在原点附近呈现局部环绕结构. 然而, 现有的包含局部环绕的临界点结果均要求泛函满足全局紧性假设. 在本文中, 我们的假设 $(f_4)$ 起到了类似的作用, 确保了所需的紧性条件. 下面给出本文的主要结论.

定理1.1 若假设 $(V)$ 和 $(f_1)$-$(f_4)$ 成立, 则系统 (1.7) 存在一个非平凡解.

显然, 由定理 1.1 得到的解依赖于参数 $\varepsilon$ 和 $b$, 这使我们能够研究当 $\varepsilon\to 0$ 或 $b \to 0$ 时解的渐近行为, 从而反映系统 (1.7) 中 $\varepsilon>0$ 与 $\varepsilon=0$ 和 $b>0$ 与 $b=0$ 两种情形之间的某种联系, 从而得到了定理 1.2 和定理 1.3.

定理1.2 假设条件 $(V)$ 和 $(f_1)$-$(f_4)$ 成立. 若 $(u_{b,\varepsilon},\phi_{\varepsilon}(u_{b,\varepsilon}))\in E\times X$ 表示定理 1.1 中获得的系统 (1.7) 的解, 则当 $\varepsilon\to 0$ 时,

其中 $(u_{0},\phi_{0}(u_{0}))\in E\times D^{1,2}(\mathbf{R}^{3})$ 是下列薛定谔-泊松系统的解

定理1.3 假设条件 $(V)$ 和 $(f_1)$-$(f_4)$ 成立. 若 $(u_{b,\varepsilon},\phi_{\varepsilon}(u_{b,\varepsilon}))\in E\times X$ 表示定理 1.1 中获得的系统 (1.7) 的解, 则当 $b\to 0$ 时, 有

其中 $(u_\varepsilon, \phi_\varepsilon(u_\varepsilon)) \in E\times X$ 是极限问题

的一个解.

本文的结构安排如下: 第 2 节给出一些预备结果. 第 3 节, 我们证明定理 1.1-1.3.

本节将建立后续分析所需的基础框架, 我们首先研究嵌入系统 (1.7) 中的拟线性泊松方程的关键性质. 在此基础上, 我们定义一个变分泛函, 其驻点恰好对应于前述系统的弱解. 本节介绍拟线性泊松方程, 该方程是前文标记为系统 (1.7) 的一个组成部分

根据文献 [14] 的研究, 对于函数空间 $X$ 中的任意元素 $\phi$, 由

定义的映射是线性且连续的. 因此, $u^{2}$ 可视为对偶空间 $X^{-1}$ 中的一个元. 这保证了存在唯一的函数 $\phi_{\varepsilon}(u) \in X$ 是问题 (2.1) 的弱解. 即对任意的试验函数 $\varphi \in X$, 以下等式成立

在下文中, 符号 $\phi_{\varepsilon}(u)$ 将统一表示 (2.1) 式的唯一解.

对任意的 $u \in E$, 从方程 (2.2) 出发, 利用 Hölder 不等式和 Sobolev 不等式, 我们得到以下关系

这意味着

因此, 我们得到估计

我们将在函数空间 $E \times X$ 中研究系统 (1.7). 显然, $C^1$ 泛函

在 $E \times X$ 上的临界点对应于系统 (1.7) 的弱解. 然而, 泛函 $I$ 是强不定的, 即它在上下方都是无界的, 这阻碍了我们使用标准的变分方法. 为了克服这一困难, 我们采用文献 [11] 中概述的约化方法, 从而研究一个不再强不定的单变量泛函. 根据方程 (2.4), 我们定义泛函 $J: E \to \mathbf{R}$ 为

其显式表达式为

由于$J \in C^1(E, \mathbf{R})$, 对任意 $\varphi \in E$, 有

在假设条件 $(V)$ 下, 能量泛函 $J$ 具有如下形式

其中 $u^{+}$ 和 $u^{-}$ 分别表示 $u$ 在由二次型 $W$ 定义的正子空间 $E^{+}$ 和负子空间 $E^{-}$ 上的正交投影. 接下来, 我们将引入莫尔斯理论及其相关命题.

考虑一个巴拿赫空间 $E$ 和一个 $C^1$ 泛函 $\varphi: E \to \mathbf{R}$, 设 $u$ 是 $\varphi$ 的一个孤立临界点, 且 $\varphi(u) = c$. 泛函 $\varphi$ 在 $u$ 处的第 $q$ 临界群定义为

其中 $\varphi_c := \varphi^{-1}(-\infty, c]$, 而 $H_*$ 表示整数系数的奇异同调群.

假设 $\varphi$ 满足 Palais-Smale 条件, 且其临界值下方有界 (即存在某个 $\alpha \in \mathbf{R}$, 使得所有临界值都大于等于 $\alpha$). 根据 Bartsch 和 Li^[18], 我们定义泛函 $\varphi$ 在无穷远处的第 $q$ 临界群为

其中 $\varphi_\alpha := \varphi^{-1}(-\infty, \alpha]$. 由形变引理可知, 这个同调群不依赖于 $\alpha$ 的具体选取.

下面的结果分析了当 $\varepsilon\to 0$ 时方程 (2.1) 的解 $\phi_{\varepsilon}(u)$ 的渐近行为, 这归功于 Benmilh 和 Kavian, 参见文献 [19,引理 3.2].

引理2.1 对所有的 $\varepsilon>0$ 和 $f_{\varepsilon}, f\in L^{\frac{6}{5}}(\mathbf{R}^{3})$, 设 $\phi_{\varepsilon}(f_{\varepsilon})\in D^{1,2}(\mathbf{R}^{3})\cap D^{1,4}(\mathbf{R}^{3})$ 是方程

的唯一解, 而 $\phi_{0}(f)\in D^{1,2}(\mathbf{R}^{3})$ 是方程

的唯一解.

(i) 若 $f_{\varepsilon}\rightharpoonup f$ 于 $L^{\frac{6}{5}}(\mathbf{R}^{3})$ 中, 则当 $\varepsilon\to 0$ 时,

(ii) 若 $f_{\varepsilon}\to f$ 于 $L^{\frac{6}{5}}(\mathbf{R}^{3})$ 中, 则当 $\varepsilon\to 0$ 时,

引理2.2 设 $f:\mathbf{R}^{3}\times\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ 连续且满足条件 $(f_{4})$, 则泛函 $\mathcal{K}:E\to\mathbf{R}$

是良定义的 $C^{1}$ 类泛函, 其导数为

此外, $\mathcal{K}^{\prime}$ 是紧算子, 且在假设 $(f_4)$ 下, 有

证 由 (1.9) 式可知

因此 $\mathcal{K}$ 是良好定义的 $C^{1}$ 类泛函是众所周知的结论, $\mathcal{K}^{\prime}$ 的紧性由文献 [20] 可得.

由嵌入 $E \hookrightarrow D^{1,2}(\mathbf{R}^{3})$ 的连续性, 若在 $E$ 中 $u_{n} \rightharpoonup u$, 则在 $D^{1,2}(\mathbf{R}^{3})$ 中 $u_{n} \rightharpoonup u$. 取其子列, 仍记为 $u_{n}$, 则在 $(D^{1,2}(\mathbf{R}^{3}))^{*}$ 中 $\mathcal{K}'(u_{n}) \to \mathcal{K}'(u)$. 因此, $n\rightarrow \infty$ 时有

故在 $E$ 中 $\mathcal{K}'(u_{n}) \to \mathcal{K}'(u)$.

由此我们可以得到当 $n\to\infty$ 时, 有如下估计

从而 $ \varlimsup_{n\to\infty} \int_{\mathbf{R}^3} f(x, u_n)(u_n - u) \mathrm{d}x = 0.$

为了获得 (PS) 序列的紧性, 考虑 $C^1$ 泛函 $G: E \to \mathbf{R}$

对于任意的 $u, v \in E$, 我们有

以下来自赵^[21]和赵^[22]的结果对我们的分析至关重要.

命题1.1^[21] $G : E \to \mathbf{R}$ 是弱下半连续的, 且 $G': E \to E^*$ 是弱序列连续的, 其中 $E^* = H^{-1}(\mathbf{R}^3)$ 是 $E = H^1(\mathbf{R}^3)$ 的对偶空间.

引理2.3 设在 $E$ 中, 当 $n\rightarrow \infty$ 有 $u_{n} \rightharpoonup u$, 则

证 应用命题 2.1, 我们得到

因此,

于是, 本引理得证.

引理2.4 假设条件 $(V)$ 和 $(f_1)$-$(f_4)$ 成立, 则泛函 $J$ 满足 Palais-Smale $(PS)$ 条件.

证 考虑泛函 $J$ 的一个 Palais-Smale 序列 $\{u_n\}$, 满足如下两种情况

(1) 泛函序列有界: $\sup\limits_{n \in \mathbb{N}} |J(u_n)| < \infty$;

(2) 泛函的导数序列收敛到零: 当 $n \to \infty$ 时, $J'(u_n) \to 0$.

首先证明该 $(PS)$ 序列的有界性.

若当 $n\rightarrow \infty$ 时, $\|u_n\| \rightarrow \infty$. 令 $v_n=\|u_n\|^{-1}u_n$, 则

若 $v=0$, 则由于 $\dim X^{-}<\infty$, 有 $v_n^{-}\to v^{-}=0$. 又因为

故当 $n$ 充分大时有

利用条件 $(f_3)$, 我们得到

这与 $\sup\limits_{n \in \mathbb{N}} |J(u_n)| < \infty$ 矛盾, 从而 $v\neq 0$ 下, 记

由于 $v\in H^1(\mathbb R^3)$ 且 $v\neq 0$, 故 $\|v\|_{L^2}>0$, 从而 $\Theta$ 的测度 $|\Theta|>0$.

定义

其中 $\mathbf{1}_{\Theta}$ 为集合 $\Theta$ 的示性函数. 由假设 $(f_3)$ 与 $v_n(x)\to v(x)$ a.e. 及 $\|u_n\|\to\infty$, 对任意 $x\in\Theta$ 有

因此

由于 $|v_n(x)|\to |v(x)|>0$, 可以写成

于是对几乎处处的 $x\in\Theta$, 有

现在应用 Fatou 引理, 由于 $g_n(x)\ge 0$, Fatou 引理给出

在集合 $\Theta$ 上, 有

由此得到

这表明

另一方面，对于足够大的 $n$ 有

与 (2.7) 式矛盾, 因此 $\{u_{n}\}$ 有界.

选取适当的子列, 仍记为 $u_{n}$, 则在 $E$ 中 $u_{n} \rightharpoonup u$, 从而有

基于此收敛性, 进行如下推导

由 (2.5), (2.6) 式以及 (2.8) 式可得

基于范数泛函 $u \mapsto \|u\|$ 的弱下半连续性, 有

即

由于子空间 $E^{-}$ 是有限维的 ($\dim E^{-} < \infty$), 则序列 $\{u_n^{-}\}$ 在 $E^{-}$ 中强收敛到 $u^{-}$, 相应地有范数序列

由 (2.9) 和 (2.10) 式可得 $\|u_{n}\| \to \|u\|$, 从而在空间 $E$ 中得到强收敛 $u_{n} \to u$.

命题2.2^[18] 设 $\varphi \in C^1(X, \mathbf{R})$ 满足 Palais-Smale 条件, 且存在 $\ell \in \mathbb{N}$ 使得 $C_\ell(\varphi, 0) \neq C_\ell(\varphi, \infty)$, 则 $\varphi$ 存在一个非零临界点.

命题2.3^[23] 设 $\varphi \in C^1(X, \mathbf{R})$ 满足 Palais-Smale 条件. 假设 $\varphi$ 在原点处相对于直和分解 $X = Y \oplus Z$ 具有局部环绕结构, 即存在 $\varepsilon > 0$ 使得

其中 $B_\varepsilon = \{u \in X : \|u\| \leq \varepsilon\}$, 如果 $Y$ 是有限维的且 $\ell = \dim Y$, 则 $C_\ell(\varphi, 0) \neq 0$.

引理2.5 若条件 $(V)$, $(f_1)$-$(f_3)$ 成立, 且存在常数 $A > 0$ 使得对任意满足 $J(u) \leq -A$ 的函数 $u$, 以下不等式成立

证 反证法, 若存在序列 $\{u_{n}\}\subset E$ 使得 $J(u_{n})\leqslant-n$, 但

因此,

令 $v_n=\|u_n\|^{-1}u_n$, 并记 $v_n^{\pm}$ 为 $v_n$ 在 $X^{\pm}$ 上的正交投影. 由于 $\dim X^{-}<\infty$, 则存在 $v^{-}\in X^{-}$, 使得 $v_n^{-}\to v^{-}$. 若 $v^{-} \neq 0$, 则 $v \neq 0$, 从而集合 $ \Theta := \{x\in\mathbf R^3:\ v(x)\neq 0\} $ 具有正勒贝格测度. 对 $x \in \Theta$, 有 $u_n(x) \to \infty$ 且由 (1.8) 式可得

类似于 (2.7) 式由 Fatou 引理得

因此, 利用 (2.11) 式, 我们得到

矛盾, 故 $v^{-}=0$. 由

可知 $\|v_{n}^{+}\|\to 1$. 因此, 当 $n$ 充分大时,

这与 (2.12) 式矛盾. 从而, 结论得证.

注2.1 设 $B$ 为函数空间 $E$ 中的单位球. 应用 (1.8) 和 (2.4) 式的结果可知, 对任意属于边界 $\partial B$ 的元素 $u$, 泛函 $J$ 具有如下渐近性质

该性质刻画了 $J$ 从原点出发, 指向单位球边界点的射线方向的行为.

对于充分大的正常数 $A > 0$, 应用引理 2.5 可构造从补集 $E \setminus B$ 到水平子集 $J_{-A} := J^{-1}(-\infty, -A]$ 的形变收缩, 这一构造给出如下同构

这些临界群的消失为泛函 $J$ 在无穷远处的拓扑性质提供了重要信息.

定理 1.1 的证明 在假设 $(V)$, $(f_2)$, $(f_3)$ 和 (2.4) 下, 直接计算表明当范数 $\|u\|$ 趋于零时, 以下渐近估计成立

因此, 泛函 $J$ 具有渐近展开

此渐近行为意味着存在半径 $\varepsilon > 0$, 使得 $J$ 在穿孔正锥 $(E^+ \setminus \{0\}) \cap B_\varepsilon$ 上取正值, 在穿孔负锥 $(E^- \setminus \{0\}) \cap B_\varepsilon$ 上取负值. 这确立了 $J$ 关于直和分解 $E = E^- \oplus E^+$ 具有局部环绕结构, 因此我们可以建立一个 (PS) 序列.

给定 $\ell := \dim E^-$, 应用命题 2.3 可得临界群 $C_\ell(J, 0) \neq 0$. 结合 (2.13) 式有

继而由引理 2.4 和命题 2.2, 得到了 (1.7) 式有一个非平凡解.

引理3.1 假设 $(V)$ 与 $(f_1)\text{-}(f_4)$ 成立, 设 $u_{b,\varepsilon}\neq 0$ 为由局部环绕的极小极大构造所得到的临界点, 并记

$c_{b,\varepsilon}:=J(u_{b,\varepsilon})$. 则存在与 $b$, $\varepsilon\in(0,1]$ 无关的常数 $M>0$, 使得

证 对任意 $J$ 的临界点 $u$, 有

由于临界点满足 $\langle J'(u),u\rangle=0$, 从而 $J(u)\ge \frac14\|u\|^2\ge 0$.

令 $E=E^-\oplus E^+$ 为谱分解, 且 $\ell:=\dim E^-<\infty$. 由局部环绕结构可知, 存在 $\rho>0$ 使得 $J\le 0$ 于 $E^-\cap B_\rho$ 上成立, 并且 $J>0$ 于 $(E^+\setminus\{0\})\cap B_\rho$ 上成立. 取定 $e\in E^+$ 且 $\|e\|=1$, 利用超四次增长条件及如下与 $\varepsilon$ 无关的估计

可得当 $t\to\infty$ 时 $J(te)\to -\infty$, 且该收敛对 $\varepsilon\in(0,1]$ 一致. 因此可选取 $T>0$ 使得对所有 $\varepsilon\in(0,1]$,

定义紧集

以及同伦类

定义极小极大能级

由局部环绕定理可在能级 $c_{b,\varepsilon}$ 上构造 Palais-Smale 序列, 从而存在非零临界点 $u_{b,\varepsilon}\neq 0$ 满足 $J(u_{b,\varepsilon})=c_{b,\varepsilon}$.

由于 $c_{b,\varepsilon}\le \max_{u\in Q}J(u)$, 只需对 $Q$ 上的 $J$ 作一致估计. 设 $R:=\sup_{u\in Q}\|u\|<\infty$, 舍去负项 $-\int_{\mathbb R^3}F(x,u)\,\mathrm{d}x$, 并利用 Poisson 项的一致估计, 对任意 $u\in Q$ 及 $\varepsilon\in(0,1]$ 有

因此 $0\le c_{b,\varepsilon}\le M$ 对 $\varepsilon$ 一致成立.

定理 1.2 的证明 取一列 $\{\varepsilon_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset(0,1]$ 使得 当 $n\rightarrow \infty$, $\varepsilon_n \to 0$, 记 $(u_{b,\varepsilon_n}, \phi_{\varepsilon}(u_{b,\varepsilon_n}))$ 为定理 1.1 所给出的系统 (1.7) 的解.

由于 $u_{b,\varepsilon_n}$ 是泛函 $J$ 的临界点, 有 $\langle J'(u_{b,\varepsilon_n}), u_{b,\varepsilon_n}\rangle=0$. 由引理 3.1 可知, 取 $\varepsilon_n\to 0$, 可得

类似于引理 2.4 的过程, 可以得到 $u_{b,\varepsilon_n}\to u_0\ \text{于 }E$, $\phi_{\varepsilon}(u_{b,\varepsilon_n})\to \phi_0(u_0)\ \text{于 }D^{1,2}(\mathbf{R}^3)$.

因此 $u_0$ 满足

$\phi_0(u_0)$ 满足 $-\Delta\phi=u_0^2$ 于 $\mathbf{R}^3$, 故 $(u_0,\phi_0(u_0))$ 为极限系统 (1.10) 的弱解.

定理 1.3 的证明 取一列 $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset(0,1]$ 使得当 $n\rightarrow \infty$, $b_n \to 0$, 记 $(u_{b_n,\varepsilon}, \phi_{\varepsilon}(u_{b_n,\varepsilon}))$ 为定理 1.1 所给出的系统 (1.7) 的解, 由于 $u_{b_n,\varepsilon}$ 是泛函 $J$ 的临界点, 有 $\langle J'(u_{b_n,\varepsilon}), u_{b_n,\varepsilon}\rangle=0$. 由引理 3.1 可知, 取 $b_n\to 0$, 有 $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset(0,1]$, 从而构造类似于 (3.1) 式, 有

这里, $M_1$ 与 $b$ 无关, 从而有

考虑取一子序列, 仍记为 $u_{b_n,\varepsilon}$, 当 $b_n\to 0$ 时, 使得 $u_{b_n,\varepsilon} \rightharpoonup u_\varepsilon$ 于 $E$ 中. 与引理 2.4 的证明类似, 我们可以推断 $u_{b_n,\varepsilon} \to u_\varepsilon$ 于 $E$ 中. 从而对任意 $v\in E$, 由于容易验证

故 $(u_\varepsilon, \phi_\varepsilon(u_\varepsilon))$ 为极限系统 (1.11) 的弱解.