经典 Maxwell 电动力学中, 点电荷自身静电能的发散是一个众所周知的缺陷. 为克服这一难题, Bopp^[1] 和 Podolsky^[2] 各自提出了 Maxwell's Lagrangian 的高阶导数推广形式, 该形式使光子传播子在短距离下得以正则化, 同时保持长程行为不变. 由此得到的 Bopp-Podolsky 电动力学引入了一个新的参数 $d>0,$ 其量纲为逆质量; 当 $d \to 0$ 时, 可还原为经典的 Maxwell 理论. 对 BP 模型进行量子化, 会得到耦合 BP 势的物质场所满足的薛定谔型方程, 在静电近似下, 这进一步衍生出 Schrödinger-Bopp-Podolsky 系统. 从电磁场的角度来看, Bopp-Podolsky 理论与 Maxwell 理论在实验上无法区分, 且可被解释为适用于长、短距离的有效理论 (参见文献 [3], [4], [5], [6]). 本文旨在证明如下 Schrödinger-Bopp-Podolsky 系统存在非平凡解

在 (1.1) 式中, 若令 $V(x) \equiv 0,\,\, \lambda=0$ 且将 $\mathbf{R}^3$ 替换为有界区域 $\Omega \subset \mathbf{R}^3$, 则 (1.1) 式中的第一个方程退化为如下基尔霍夫型狄利克雷问题

该问题在基尔霍夫提出的如下方程的稳态解研究中具有重要意义

此方程是经典的达朗贝尔弹性弦自由振动波动方程的推广, 其中 $\rho,$ $h,$ $P_0,$ $L$ 均为正常数. 关于该问题的物理与数学背景, 读者可参考文献 [7], [8], [9] 及其中的参考文献. 这类问题通常被称为非局部问题, 由于区域 $\Omega$ 上积分项的存在, 方程不再是逐点恒等式. 这一现象带来了一些数学上的难点, 也使得该问题与经典椭圆问题有所不同. 此类有界区域上的问题已被广泛研究, 详细内容可参考文献 [10], [11], [12] 及其中的参考文献.

贺等^[13]研究了如下系统解的存在性

其中 $a,$ $b>0$ 为常数, 非线性项 $f$ 在无穷远处是超线性的且具有次临界或临界增长, 势函数 $V$ 关于 $x$ 为正的连续周期位势. 他们利用变分方法得到了基态解的存在性. 此外, 当 $V \equiv 1$ 时, 他们针对上述问题在一大类超线性非线性项的情形下得到了基态解的存在性.

自 D'Avenia 与 Siciliano 在 2019 年发表的文献 [14] 以来, Schrödinger-Bopp-Podolsky 系统已成为近期研究的对象. 他们研究了如下 SBP 系统

其中 $\omega,$ $a > 0.$ 他们证明了依赖于参数 $q,$ $p$ 的解的存在性与非存在性结果. 此外, 他们得到的解在径向情形下, 当 $a \to 0$ 时会收敛到经典薛定谔-泊松系统的解.

事实上, 李等^[15]在位势函数 $V$ 为纯周期位势的情形下, 证明了如下二维薛定谔-泊松方程基态解的存在性

其中 $\varepsilon>0$ 为小参数, $I_\alpha$ 表示阶数为 $\alpha \in (0,2)$ 的 Riesz 势, 势函数 $V \in C(\mathbf{R}^2,\mathbf{R})$ 关于两个变量均为周期的, 非线性项 $f \in C(\mathbf{R},\mathbf{R})$ 具有 Trudinger-Moser 意义下的临界指数增长性. 此外, 他们证明了这些基态在 $V$ 的全局极小点附近集中, 且在无穷远处呈现指数衰减. 最后, 他们利用 Ljusternik-Schnirelmann 畴数理论, 在相同的框架下得到了正解的多重性结果.

受上述工作的启发, 我们考虑带有周期位势 $V$ 且对 $f$ 作更一般假设的问题 (1.1). 具体地, 我们作如下假设

$\boldsymbol {(V)}$ $V \in C(\mathbf{R}^3,\mathbf{R})$, 满足 $\inf_{x \in \mathbf{R}^3} V(x) = V_0 > 0$, 且是周期位势, 即

$\boldsymbol {(f_1)}$ $f$ 关于 $x$ 是周期函数. 存在正常数 $C$ 和 $p \in (2,6)$, 使得

$\boldsymbol {(f_2)}$ $\lim\limits_{|t| \to 0} \frac{f(x,t)}{t} = 0$ 关于 $x \in \mathbf{R}^3$ 一致成立.

$\boldsymbol {(f_3)}$ 当 $u \neq 0$ 时, $u \to f(x,u)/u^{3}$ 为正, 在 $(-\infty,0)$ 上严格递减, 在 $(0,\infty)$ 上严格递增.

$\boldsymbol {(f_4)}$ 存在 $\alpha \in (2, 6)$ 和 $R > 0,$ 使得

其中 $ F(x, t) = \int_0^t f(x, s) \, \mathrm{d}s $.

我们可以得到符合上述条件的一个具体例子

当 $t$ 足够大时, $\ln(1+t^2)< t,$ 那么

其中 $C=2,\,\,p=5, $ 所以 $(f_1)$ 满足.

由 $\lim\limits_{|t| \to 0} \frac{f(x,t)}{t}=\lim\limits_{|t| \to 0}t^2\left(\ln(1+t^2)+1\right)=0,$ 所以 $(f_2)$ 满足.

而 $f(x,t)/t^{3}=\ln(1+t^2)+1,$ 显然 $(f_3)$ 满足.

由 $F(x,t)=\int_0^t f(x,s)\mathrm{d}s,$ 代入 $f(x,s)=s^3\left(\ln(1+s^2)+1\right),$

当 $|t|$ 充分大时, 故存在 $R>0,$ 当 $|t|\ge R$ 时, $F(x,t)>0.$ 即

根据 $f(x,t)t = t^4\left(\ln(1+t^2)+1\right),$ 我们有

由极限保号性, 存在 $R>0,$ 当 $|t|\ge R$ 时, $\frac{f(x,t)t}{F(x,t)}\ge 4.$ 取 $\alpha=4,$ 使得

从而 $(f_4)$ 满足.

对任意 $q \in [1,+\infty),$ 我们用 $|\cdot|_q$ 表示 Lebesgue 空间 $L^q(\mathbf{R}^3)$ 的范数. $D^{1,2}(\mathbf{R}^3)$ 是定义为

的 Hilbert 空间, 定义该空间的范数为

并且我们在此引入空间 $\mathcal{D},$ 它是 $C_0^\infty(\mathbf{R}^3)$ 关于范数

的完备化空间.

在条件 $(V)$ 下, $H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 为定义如下范数和内积的 $H^1(\mathbf{R}^3)$ 空间

同时条件 $(V)$ 保证了 $H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 到 $L^q(\mathbf{R}^3)$ ($q \in [2,6]$) 的连续嵌入, 以及 $H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 到 $L_{\text{loc}}^q(\mathbf{R}^3)$ ($q \in [1,6)$) 的局部紧嵌入.

定理1.1 在假设 $(V)$ 和 $(f_1)$-$(f_3)$ 下, 存在 $\lambda_0 > 0$, 使得系统 $(1.1)$ 至少存在一对非平凡解

此外, $\phi_u$ 是非负的.

进一步, 本文还证明了解的渐近行为.

定理1.2 在假设 $(V)$, $(f_1)$-$(f_3)$ 以及定理 $1.1$ 中给定的 $\lambda_0 > 0$ 下, 设 $(u_d, \phi^d)$ 为系统 $(1.3)$ 的非平凡解

则当 $d\to 0$ 时, 存在一对解 $(u_0, \phi^0),$ 使得

且 $(u_0, \phi^0)$ 是 Schrödinger-Poisson 系统

的解.

注1.1 对 $\lambda$ 的限制主要用于保证系统 $(1.1)$ 对应能量泛函具有有界的 $(PS)$ 序列. 当 $\alpha \in (4,6)$ 时, 利用标准方法即可得到对任意 $ \lambda>0,$ 系统 $(1.1)$ 对应能量泛函具有有界的 $(PS)$ 序列. 因此, 此时可去掉 $\lambda < \lambda_0$ 的约束. 当 $\alpha \in (2,4]$ 时, 我们需要约束 $\lambda,$ 才可得到对应能量泛函有界的 $(PS)$ 序列, 具体见公式 $(3.9).$

本文的后续结构安排如下: 第二节给出本文的一些预备结果; 第三节证明定理 1.1; 第四节证明定理 1.2.

首先, 在我们的假设下, 系统 (1.1) 具有变分结构. 其对应的能量泛函定义为

事实上, 根据 Lax-Milgram 定理, 对任意固定的 $u \in H_V^1(\mathbf{R}^3)$, 方程

存在唯一解 $\phi_u,$ 其显式表达式为

于是系统 (1.1) 可转化为如下单个方程

而方程 (2.2) 的解可通过对应能量泛函的临界点得到, 该泛函为

设 $\lambda,\, d > 0$ 为固定值, 则下述结论等价

(i) $(u, \phi_u) \in H_V^1(\mathbf{R}^3) \times \mathcal{D}$ 是 $\mathcal{J}_\lambda$ 的临界点;

(ii) $u \in H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 是 $J_\lambda$ 的临界点且 $\phi_u = \phi_u(u)$.

函数 $\phi_u$ 的性质如下, 其证明可参见文献 [13], [16].

引理2.1 对任意 $u \in H_V^1(\mathbf{R}^3)\setminus\{0\},$ 有

(i) $\phi_u \geq 0,$ 且对任意 $y \in \mathbf{R}^3$ 有 $\phi_{u(\cdot+y)}=\phi_u(\cdot+y);$

(ii) $\|\phi_u\|_{D^{1,2}} \leq C\|u\|^2,$ 且 $\int_{\mathbf{R}^3}\phi_u u^2\,\mathrm{d}x \leq C\|u\|_{12/5}^2;$

(iii) 对任意 $s\in(3,+\infty],$ $\phi_u\in L^s(\mathbf{R}^3)\cap C_0(\mathbf{R}^3);$

(iv) 对任意 $s\in(3/2,+\infty],$ $\nabla\phi_u\in L^s(\mathbf{R}^3)\cap C_0(\mathbf{R}^3);$

(v) $\phi_u$ 是泛函

的唯一极小值点.

此外, 若 $u_n\rightharpoonup u$ 于 $H_V^1(\mathbf{R}^3)$, 则

(vi) $\phi_{u_n}\to\phi_u$ 于 $\mathcal{D};$

(vii) $\int_{\mathbf{R}^3}\phi_{u_n}u_n^2\,\mathrm{d}x \to \int_{\mathbf{R}^3}\phi_u u^2\,\mathrm{d}x;$

(viii) 对任意 $v\in H_V^1(\mathbf{R}^3),$ $\int_{\mathbf{R}^3}\phi_{u_n}u_n v\,\mathrm{d}x \to \int_{\mathbf{R}^3}\phi_u u v\,\mathrm{d}x.$

为方便起见, 我们定义泛函

易知 $I_\lambda \in C^1(H_V^1(\mathbf{R}^3), \mathbf{R})$, 且

据此, $J_\lambda$ 可重新写为

我们回顾 Lions^[17] 给出的下述结果

引理2.2 设 $r > 0$. 若 $\{u_n\}$ 在 $H^1(\mathbf{R}^3)$ 中有界, 且

则对任意 $s \in (2,6),$ 在 $L^s(\mathbf{R}^3)$ 中有 $u_n \to 0.$

下述结果讨论了当 $d \to 0$ 时方程 (2.1) 解的渐近行为, 可参见文献 [13,引理 6.1].

引理2.3 设 $f^0 \in L^{6/5}(\mathbf{R}^3)$, $\{f^d\}_{d \in (0,1)} \subset L^{6/5}(\mathbf{R}^3)$, 令

且

当 $d \to 0$ 时,

(i) 若在 $L^{6/5}(\mathbf{R}^3)$ 中有 $f^d \to f^0,$ 则在 $D^{1,2}(\mathbf{R}^3)$ 中有 $\phi^d \to \phi^0;$

(ii) 若在 $L^{6/5}(\mathbf{R}^3)$ 中有 $f^d \to f^0,$ 则在 $D^{1,2}(\mathbf{R}^3)$ 中有 $\phi^d \to \phi^0,$ 且在 $L^2(\mathbf{R}^3)$ 中有 $d\Delta\phi^d \to 0.$

在本节中, 我们给出系统 $(1.1)$ 非平凡解的存在性证明. 由于在 $(f_4)$ 中 $\alpha\in (2,4]$ 的情形下得到泛函 $J_\lambda$ 存在有界的 $(PS)$ 序列是一项困难的任务, 本文采用一种被广泛使用的截断方法来处理该问题. 即我们按如下方式对泛函 $J_\lambda$ 进行截断. 设 $\tau \in C^\infty((0,+\infty),[0,1])$ 满足

对任意 $T > 0,$ 定义 $h_T(u) := \tau\left( \frac{\|u\|^2}{T^2} \right),$ 其中 $u \in H_V^1(\mathbf{R}^3),$ 并定义截断泛函

显然, 泛函 $J_\lambda^T \in C^1(H_V^1(\mathbf{R}^3),\mathbf{R}),$ 其在 $u$ 处的 Fréchet 导数为

从而有 $u \in H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 是 $J_\lambda^T$ 的临界点当且仅当 $(u, \phi_u) \in H_V^1(\mathbf{R}^3) \times \mathcal{D}$ 是下述系统的弱解

由 $\tau$ 的定义, 对给定的 $T,$ $\text{若 } \|u\| \leq T,$ 我们有

因此, 若 $\{u_n\}$ 是 $J_\lambda^T$ 的满足 $\|u_n\| \leq T$ 的 $(PS)$ 序列, 则它也是 $J_\lambda$ 有界的 $(PS)$ 序列.

我们首先证明截断泛函 $J_\lambda^T$ 具有山路几何结构.

引理3.1 对任意固定的 $\lambda, \, d>0$, 存在 $\rho>0$ 和 $e_T\in H_V^1(\mathbf{R}^3)$, 使得 $\|e_T\|>\rho$ 且

证 一方面, 由 $(f_1)$ 和 $(f_2)$ 可知, 对于任意 $\epsilon>0,$ 存在 $C_\epsilon > 0$ 使得

则由 (3.1) 和 (3.2) 式可得

因为 $p \in (2,6),$ 则对任意 $\epsilon >0,$ 存在 $\rho > 0,$ 使得对任意满足 $0 < \|u\| \leq \rho$ 的 $u \in H_V^1(\mathbf{R}^3)$, 有 $J_\lambda^T(u) > 0$. 特别地, 有

另一方面, 由 $(f_1),$ $(f_2)$ 与 $(f_4)$ 可知, 存在 $a_2, a_3 > 0$, 使得

取固定的 $\bar{u} \in H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 满足 $\|\bar{u}\| = 1,$ 并令 $s > \sqrt{2}T,$ 则由 (3.3) 式和 $h_T$ 的定义可得

因此, 选取足够大的 $s_T > \max\{\rho, \sqrt{2}T\}$, 可得 $J_\lambda^T(s_T\bar{u}) < 0$. 故可取 $e_T = s_T\bar{u}$.

由引理 3.1 可知, 存在 $J_\lambda^T$ 在 $H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 中的 $(PS)_{c_T}$ 序列 $\{u_n\}$, 其中

且

由引理 3.1 的证明还可得, 对任意 $T > 0,$ 有 $c_T > 0.$

接下来, 我们研究 $J_\lambda^T$ 的 $(PS)_{c_T}$ 序列 $\{u_n\}$ 的有界性. 在此过程中, 非局部项的截断起到了重要作用.

引理3.2 当 $T > 0$ 充分大时, 存在 $\lambda_T > 0,$ 使得对任意 $\lambda \in (0, \lambda_T)$ 以及 $d > 0,$ 有

成立, 其中 $\{u_n\}$ 是上述得到的 $J_\lambda^T$ 的 $(PS)_{c_T}$ 序列.

证 若 $n \to \infty$ 时 $\|u_n\| \to \infty,$ 则 $h_T(u_n) = \tau\left( \frac{\|u_n\|^2}{T^2} \right) \to 0$ ($n \to \infty$). 因此, 对充分大的 $n \in \mathbf{N},$ 有

进而, 由 $(f_4),$ 对充分大的 $n \in \mathbf{N},$ 有

而这与 $n \to \infty$ 时 $\|u_n\| \to \infty$ 矛盾. 因此, $\{u_n\}$ 在 $H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 中有界 (该界可能依赖于 $T$).

假设 $\limsup_{n \to \infty} \|u_n\| \geq T$. 由 $(f_4)$, 可得

于是

由 $I_\lambda$ 的定义及引理 2.1 的 (ii), 有

由 (3.3), (3.5) 式以及 $c_T$ 和 $e_T$ 的定义, 我们有

需要指出的是, $c_* > 0$ 与 $T$ 和 $\lambda$ 无关. 由 $h_T$ 的定义, 引理 2.1 的 (ii) 以及 Sobolev 嵌入不等式可得

对 (3.4) 式两边取 $n \to \infty$ 的上极限, 结合 (3.6)-(3.8) 式可得

对充分大的 $T$ 一定有 $\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{\alpha} \right) T^2 > c_* + 1,$ 但取足够小的 $\lambda_T,\,\,b > 0$, 可使得

因此, 对任意 $\lambda \in (0, \lambda_T)$, 均会产生矛盾.

由引理 3.2 可知, 存在 $J_\lambda^T$ 的 $(PS)_{c_T}$ 序列 (仍记为 $\{u_n\}$), 使得对任意 $T > \sqrt{\frac{2\alpha(c_*+1)}{\alpha-2}}$ 和 $\lambda \in (0, \lambda_T)$, 有 $\|u_n\| \leq T$. 再次由 $h_T$ 的定义, 可得

即对任意固定的 $T > \sqrt{\frac{2\alpha(c_*+1)}{\alpha-2}}$, $\{u_n\}$ 也是 $J_\lambda$ 在 $\lambda \in (0, \lambda_T)$ 下的有界 $(PS)_{c_T}$ 序列.

注3.1 上述证明表明 $T$ 和 $\lambda_T$ 不依赖于 $d > 0.$

利用引理 2.1, 我们可得如下引理, 其在寻找系统 (1.1) 的非平凡解时起到关键作用.

引理3.3 设 $\{u_n\}$ 是 $J_\lambda$ 的有界 $(PS)_c$ 序列且 $c > 0$, 则存在 $u \in H_V^1(\mathbf{R}^3) \setminus \{0\}$, 使得 $J_\lambda'(u) = 0$.

证 设 $\{u_n\}$ 是 $J_\lambda$ 的有界 $(PS)_c$ 序列, 即

若 $\{u_n\}$ 是消失的, 则对任意 $r > 0$, 有

于是由引理 2.2 可知, 当 $2 < s < 6$ 时, $u_n \to 0$ 在 $L^s(\mathbf{R}^3)$ 中. 由引理 2.1, 我们有

由 $(f_1)$ 和 $(f_2)$ 可推得, 对任意 $\epsilon > 0,$ 存在 $C_\epsilon > 0,$ 使得

因此

由 $\epsilon$ 的任意性以及 $u_n \to 0$ 在 $L^p(\mathbf{R}^3)\,\,(2<p<6)$ 中, 可得

由 (3.11) 式以及 (3.13) 式结合 $\langle J_\lambda'(u_n), u_n \rangle \to 0,$ 有

这表明 $\|u_n\| \to 0$. 进而 $J_\lambda(u_n) \to 0$, 这与 (3.10) 式中 $c > 0$ 的事实矛盾. 因此, $\{u_n\}$ 必然是非消失的, 故存在 $r, \,\delta > 0$ 以及序列 $\{y_n\} \subset \mathbf{R}^3$, 使得

此外, 我们可假设 $\{y_n\} \subset \mathbf{Z}^3$, 因为对某个 $z_n \in \mathbf{Z}^3$, 有 $B_r(y_n) \subset B_{r+1}(z_n)$. 令 $\widetilde{u}_n(x) := u_n(x + y_n),$ 所以 $\left\lbrace \widetilde{u}_n\right\rbrace $ 也为 $J_\lambda$ 的 $(PS)_c$ 序列. 根据引理 2.1 的 (i) 以及 $V$ 和 $f$ 的周期性假设保证了

且

由于 $\|u_n\|<T,$ 从而 $\{\widetilde{u}_n\}$ 在 $H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 中有界. 于是存在子序列 (为方便起见, 仍记为 $\widetilde{u}_n$) 以及 $\widetilde{u} \in H_V^1(\mathbf{R}^3),$ 满足

由 (3.14) 式知, $\widetilde{u}\ne 0,$ 我们假设

对任意 $\varphi \in C_0^\infty(\mathbf{R}^3),$ 有 $\langle J_\lambda'(\widetilde{u}_n), \varphi \rangle = o(1),$ 即

令 $n \to \infty,$ 我们有

对任意 $\varphi \in C_0^\infty(\mathbf{R}^3)$ 成立. 接下来我们证明

注意到

若

则

即 $\langle J_\lambda'(\widetilde{u}),\widetilde{u}\rangle < 0$. 由条件 $(f_2)$ 及 $\epsilon$ 的任意性, 我们有

因此存在 $0 < \theta_0 \ll 1$ 使得 $\langle J_\lambda'(\theta_0\widetilde{u}),\theta_0\widetilde{u}\rangle > 0.$ 从而存在 $\theta \in (\theta_0,1)$ 满足 $\langle J_\lambda'(\theta\widetilde{u}),\theta\widetilde{u}\rangle = 0.$ 通过 $(f_2)$ 和 $(f_3)$ 可以得到对所有 $t \in \mathbf{R}$ 有 $\frac{1}{4}f(x,t)t \geq F(x,t) \geq 0$ 成立且 $\frac{1}{4}f(x,t)t - F(x,t)$ 对 $t \geq 0$ 非减, 而对 $t \le 0$ 非增. 由于 $t \geq 0$ 与 $t \le 0$ 证明逻辑类似, 本文仅对 $t \le 0$ 的情况进行详细证明. 取 $s < t < 0,$ 由 $(f_3)$ 可得

由 $\frac{1}{4}f(x,t)t - F(x,t)$ 关于 $t$ 的单调性以及 Fatou 引理可得

这导致了矛盾. 所以有

因此, 由 (3.15), (3.16) 式可得 $J_\lambda'(\widetilde{u}) = 0$. 显然 $J_\lambda(\widetilde{u}) \geq c$. 为完成证明, 还需证明 $J_\lambda(\widetilde{u}) \leq c$. 事实上, 由 Fatou 引理, 范数 $\|\cdot\|$ 的弱下半连续性以及 $\{\widetilde{u}_n\}$ 的有界性, 我们有

这表明 $J_\lambda(\widetilde{u}) \leq c.$ 因此, 我们得到 $J_\lambda(\widetilde{u}) = c$ 且 $\|{u}_n\|=\|\widetilde{u}_n\| \to \|\widetilde{u}\|$ 在 $H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 中成立. 证明完毕, 即 $\widetilde{u}$ 是 $J_\lambda$ 的非平凡临界点.

定理 1.1 的证明 取 $T_0 > \sqrt{\frac{2\alpha(c_*+1)}{\alpha-2}}$, 并按引理 3.2 选取 $\lambda_0 := \lambda_{T_0}$. 由引理 3.2 和引理 3.3 可知, 对任意 $\lambda \in (0,\lambda_0)$ 及 $d > 0,$ $J_\lambda$ 至少存在一个非平凡临界点 $u \in H_V^1(\mathbf{R}^3).$ 这表明 $(u, \phi_u(u))$ 是系统 (1.1) 的非平凡解. 证明完毕.

定理 1.2 的证明 设 $(u_d, \phi^d)$ 是定理 1.1 得到的 (1.3) 式的非平凡解, 对应的能量泛函记为 $ J_{\lambda,d}(u) := \frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^3} \bigl(a|\nabla u|^2 + V(x)u^2\bigr) \mathrm{d}x + \frac{b}{4}\left( \int_{\mathbf{R}^3} |\nabla u|^2 \mathrm{d}x \right)^2 + \frac{\lambda}{4} \int_{\mathbf{R}^3} \phi^d u^2 \mathrm{d}x - \int_{\mathbf{R}^3} F(x,u)\mathrm{d}x, $ 其中 $\phi^d$ 是 $-\Delta \phi + d^2\Delta^2 \phi = \lambda u^2$ 在 $\mathcal D$ 中的唯一解.

对应于 (1.4) 式的能量泛函记为

其中 $\phi^0$ 是 $-\Delta \phi = \lambda u^2$ 在 $\mathbf{R}^3$ 中的唯一解.

(i) $\alpha\in(4,6)$;

根据 Lax-Milgram 定理, 系统 (1.1) 的第二个方程存在唯一解 $\phi_u$ 的显式表达式为

可以得到 $\phi^d$ 随 $d$ 的减小而增大, 故

其中

从而 $\{u_{d}\}$ 一致有界.

(ii) $\alpha\in (2,4]$;

由引理 3.2 和注记 3.1, 可知 $\limsup_{d \to 0} \|u_d\| < T.$

因此, 对 $\forall\alpha\in (2,6),$ 可以得到 $\{u_d\}$ 在 $H_V^1$ 中一致有界, 则存在子列 (仍记为 $u_d$) 满足

沿用引理 3.3 证明中的推导思路, 将 $n$ 的极限替换为 $d$ 的极限, 可得当 $d \to 0$ 时,

特别地, 我们有

由引理 2.3 可知,

其中 $\phi^0$ 是 $-\Delta \phi = \lambda u_0^2$ 的唯一解.

对任意试探函数 $\varphi \in C_0^\infty(\mathbf{R}^3),$ 我们有

其中 $\lambda^d \to \lambda^0,$ 且由定理 1.1 的推导思路可得 $\lambda^0 \ge 0.$

我们希望在 $d \to 0$ 时对每一项取极限. 由 $H_V^1(\mathbf{R}^3)$ 中的弱收敛性可以得到, 当 $d \to 0$ 时,

根据 (4.1) 式, 我们可以得到

由引理 2.1 的 (viii) 可得

由 (3.11) 式可得

由 $L^2(\mathbf{R}^3)$ 和 $L^{\frac{2p}{p-1}}(\mathbf{R}^3)$ 中弱收敛的定义, 可得

两次应用 Fatou 引理可得

进而由 (4.3)-(4.6) 式可得

结合 (4.7) 式与 $-\Delta \phi = \lambda u_0^2,$ 可得 $(u_0, \phi^0)$ 是 (1.4) 式的解. 定理 1.2 证明完毕.