本文考虑如下带 Hardy 项的 Choquard 方程

其中 $N\geq 3,\,0<\mu<\frac{(N-2)^{2}}{4}$, $\lambda\in\mathbb{R}$, $\bar p=\frac{N+\alpha}{N-2}$, $0<\alpha<N$, $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 是有界区域, $*$ 表示卷积, $I_{\alpha}:\mathbb{R}^{N} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ 是由下式定义的 Riesz 位势

Choquard 方程是数学物理中一类重要的非局部偏微分方程, 该方程源于量子力学中的极小化理论. 在 $\mathbb{R}^N$ 上, Choquard 方程的标准形式可写为

其中 $u: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ 为未知函数, $V(x)$ 为外部位势, $I_{\alpha}$ 为 Riesz 位势. 该方程的历史可追溯至 1954 年 Pekar 在文献 [23] 中在研究定常极化子的自洽场方程时引入的非局部项, 用以描述量子力学框架下的静电相互作用. 随后, Choquard 于 1976 年在研究等离子体的 Hartree-Fock 理论时, 采用类似结构的非局部项来描述电子在自引力势阱中的束缚态. 因此, 该方程也被称为 Choquard-Pekar 方程或薛定谔-牛顿方程, 在量子力学、天体物理以及自引力物质理论等领域具有丰富的物理背景. 在研究 Choquard 方程的过程中, 为分析其非局部项, 需要一个重要的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式 (参见文献 [18,定理 4.3])

(Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式) 设 $r, s > 1$, $0 < \alpha < N$, 且满足

若 $g \in L^{r}(\mathbb{R}^{N})$ 且 $h \in L^{s}(\mathbb{R}^{N})$, 则存在一个与 $g$, $h$ 无关的最优常数 $C(\alpha, N, r, s)$, 使得

在不等式 (1.2) 中取 $s = r = \gamma$, 为了使双重积分

有定义, 需要存在 $\gamma > 1$ 满足

且使得 $|u|^{t}\in L^{\gamma}(\mathbb{R}^{N})$. 对 $u \in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$, 由 Sobolev 嵌入定理可得 $ 2\leq t \gamma \leq \frac{2N}{N - 2}, $ 于是 $ \frac{N+\alpha}{N}\leq t \leq \frac{N+\alpha}{N - 2}. $ 在此意义下, 我们称

为 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下的下临界指数, 而

为上临界指数.

在文献 [10] 中, Guo 等研究了如下 Choquard 方程

他们证明了该方程的任一正解都具有径向对称性, 且关于某点 $x_0 \in \mathbb{R}^N$ 径向递减. 对于有界域上的临界 Choquard 方程, Gao 与 Yang^[8] 考虑了如下 Brezis-Nirenberg 问题

其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 为有界区域 $\lambda$ 是常数, 满足一定条件. 运用变分方法并结合集中紧性原理, 作者得到了该问题的非平凡解. 随后, Liu 与 Yang^[19] 进一步证明了方程 (1.4) 存在无穷多个变号弱解. 在文献 [12] 中, 作者建立了一个关键的全局紧性结果, 为验证 Palais-Smale 条件提供了基础, 并由此证明了对于满足某些特定条件的有界域 $\Omega$, 问题 (1.4) 存在正的高能量解. 在文献 [9] 中, Guo 等研究了如下带有 Hardy 项的临界 Choquard 问题

其中 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^{N})$ 为标准的齐次 Sobolev 空间. 作者建立了问题 (1.5) 正解的存在性、正则性及渐近行为. 关于 Choquard 型方程的更广泛的综述, 可参阅文献 [4], [7], [11], [17], [20], [21] 及其所引文献.

受文献 [2], [9] 等工作的启发, 本文研究有界域上带有 Hardy 位势的 Choquard 方程 (1.1) 解的存在性. 除 Choquard 项的非局部特性外, 这类问题另一关键特征是奇异位势 $|x|^{-2}$ 的出现, 其与 Sobolev-Hardy 不等式紧密相关. 回顾该不等式如下

其中常数 $C > 0$ 仅依赖于 $N$ 与 $\Omega$. 然而, Sobolev 嵌入 $H_0^1(\Omega) \hookrightarrow L^{2}(|x|^{-2}, \Omega)$ 并不紧, 即使在原点附近也是如此. 众所周知, 处理具有临界非线性的椭圆方程时, 紧性的丧失是核心困难之一, 它导致了含临界 Hardy 项方程解丰富多彩的存在性与不存在性现象. 针对此困难, Cao 与 Peng 在文献 [2] 中对有界域上带 Hardy 项的临界椭圆方程建立了全局紧性结果. He 与 Yu 将这一框架推广到具有双重奇异项的情形 (见参考文献 [13]), 关于无界区域的集中紧性结果请见参考文献 [5], [14], [15],[16].

本文研究的问题 (1.1) 同时包含两个临界特征: 临界 Sobolev-Hardy 项与 Choquard 上临界指标. 为了克服由此产生的紧性缺失, 对方程 (1.1) 的能量泛函的 Palais-Smale 序列建立一个完整的非紧性分解定理, 并证明问题 (1.1) 正解的存在性. 本文的证明方法继承并发展了文献 [3],[6], [14], [22], [24], [25], [26], [27] 中的一系列精细分析方法.

在介绍主要结果之前, 给出一些符号和假设.

记 $c$ 和 $C$ 为任意常数, 在不同行代表不同的任意常数. 设 $B(x,r)$ 表示以 $x$ 为中心、$r$ 为半径的球, 且 $B(x,r)^C=\mathbb{R}^N\setminus B(x,r)$. 令 $u^+=\max\{u,0\}$, $u^-=u^+-u$. 回顾 Morrey 空间的定义. 设可测函数 $u\colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ 属于指数为 $p \in [1,\infty)$ 和 $\nu \in (0,N]$ 的 Morrey 空间, 当且仅当

由 Hölder 不等式可验证 (参见文献 [22])

下面给出 Palais-Smale 序列的定义. 设 $X$ 是 Banach 空间, $\Phi \in C^1(X,\mathbb{R})$, $c \in \mathbb{R}$. 若

则序列 $\{u_n\}\subset X$ 称为 $\Phi$ 的 Palais-Smale 序列.

假设 $\lambda_1$ 是下述特征值问题的第一特征值

即

本文中均假设 $\lambda<\lambda_1$, 又由 $0<\mu<\frac{(N-2)^{2}}{4}$, 则 $\left( \displaystyle \int_{\Omega} \left( |\nabla u|^2 - \mu \frac{|u|^2}{|x|^2}-\lambda|u|^2 \right) \,\mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{2}}$ 可作为 $H^{1}_{0}(\Omega)$ 空间中等价范数.

本文假设非线性项 $f$ 满足以下条件

(a1) 对任意 $x \in \Omega$, $f(x,t)$ 关于 $t \in [0,+\infty)$ 可微, 且对任意 $t \in [0,+\infty)$, $f(x,t)$ 关于 $x \in \Omega$ 连续. 此外, $\forall t \in (-\infty,0)$, $x \in \Omega$, 有 $f(x,t) \equiv 0$;

(a2) 存在常数 $q \in \bigl(2, \frac{2N}{N-2}\bigr)$, 使得

关于 $x \in \Omega$ 一致成立;

(a3) 存在常数 $0 < \theta < \frac{4+2\alpha}{N-2}$, 使得对任意 $x \in \Omega$ 与 $t > 0$, 有

方程 (1.1) 对应的变分泛函为

其中

通过对方程 (1.1) 对应泛函的 Palais-Smale 序列进行伸缩与平移变换并取极限时, 在不同的情形下将涉及到如下不同的极限方程, 这些方程是后续定理证明的核心. 带 Choquard 临界非线性项的极限方程为

其对应的变分泛函为

带有 Choquard 临界项与 Hardy 项的极限方程为

其对应的变分泛函为

在文献 [9] 中, Guo 等证明了问题 (1.10) 的任一正解均具有形式

这里 $U_{\mu}$ 是最佳常数

的达到函数, 并且满足对任意的 $x \in \mathbb{R}^N \setminus \{0\}$

其中 $N \ge 3$, $(N-4)_+ < \alpha < N$, $0 < \mu < \frac{(N-2)^2}{4}$, 且

当 $\mu = 0$ 时, 方程 (1.9) 的解也就是 $S_0$ 的极小化元, 其具体的显式表达式为 (参见文献 [10])

定义能量水平

和

下述定理给出了方程 (1.1) 的紧性分析结果, 它细致描述了其对应泛函的 Palais-Smale 序列在一定的能量水平下的全局收敛结构, 是证明非平凡解存在性的关键.

定理1.1 设 $f(x,u)$ 满足条件 (a1)-(a3), $N \geq 3$, $0< \mu< \frac{(N-2)^2}{4}$, $(N-4)_{+}<\alpha<N$, $\lambda<\lambda_1$, 且 $0 \in {\Omega}$. 令 $\{u_n\}\subset H^1_0(\Omega)$ 为泛函 $I$ 在水平 $d \geq 0$ 处的一个 Palais-Smale 序列. 则存在整数 $m, l \in \mathbb{N}$, 序列

以及函数 $0 \leq u \in H^1_0(\Omega)$, 使得在适当子列 (仍记作 $\{u_n\}$) 下成立

其中 $u$ 满足 $I'(u)=0$, 且

注: 当 $m = 0$ (或 $l = 0$) 时, 说明 (1.17) 式中相应的求和项为零.

利用上述紧性结果与山路引理见文献 [1], 可证得如下存在性定理.

定理1.2 设 $N\geq 3$, $0 \in \Omega$, $0< \mu< \frac{(N-2)^2-4}{4}$, $(N-4)_{+}<\alpha<N$ 且 $0<\lambda <\lambda _1$, 并设 $f(x,u)$ 满足条件 (a1)-(a3). 则问题 (1.1) 存在非平凡解 $u \in H_0^1(\Omega)$, 满足

本文结构安排如下. 在第 2 节中, 我们通过分析泛函 $I$ 的 Palais-Smale 序列的性态, 完成定理 1.1 的证明. 在第 3 节, 应用定理 1.1 与山路引理, 给出定理 1.2 的证明.

本节将对泛函 $I$ 的 Palais-Smale 序列进行紧性分析, 用以证明定理 1.1. 首先给出如下引理.

引理2.1 设 $\{u_n\}$ 是泛函 $I$ 在水平 $d \in \mathbb{R}$ 处的 Palais-Smale 序列. 则 $d \ge 0$ 且 $\{u_n\}\subset H_0^1(\Omega)$ 有界. 此外, 当 $d = 0$ 时, 该序列在 $H_0^1(\Omega)$ 中强收敛到零.

证 由条件 (a3) 可得

利用 (a3) 中的条件 $0 < \theta < \frac{4+2\alpha}{N-2}$ 以及 (2.1) 式, 可以得到

由 (2.2) 式可知 $\{u_n\}$ 在 $H_0^1(\Omega)$ 中有界. 因为

所以 $d\geq 0$. 若 $d=0$, 则由上式得

设 $\{u_n\}$ 是泛函 $I$ 的一个 Palais-Smale 序列. 取一个子列 (仍记为 $\{u_n\}$), 使得当 $n \to \infty$ 时, 有

显然 $I'(u) = 0$. 现令 $v_n = u_n - u$, 则当 $n \to \infty$ 时,

由此可得下面的引理.

引理2.2 $\{v_n\}$ 是泛函 $I$ 在水平 $d_0 = d - I(u)$ 处的 Palais-Smale 序列.

证 由文献 [1, Brézis-Lieb 引理] 及 $v_n \rightharpoonup 0$ 于 $H_0^1(\Omega)$, 当 $n \to \infty$ 时, 有

和

因此

对任意的 $\phi \in \mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R}^{N})$, 存在 $B(0, r)$ 使得 $\operatorname{supp}\phi \subset B(0, r)$. 则当 $n \to \infty$ 时,

且由 Lebesgue 控制收敛定理,

由 (2.3), (2.5) 与 (2.6) 式得 $\langle I'(v_n), \phi \rangle = o(1)$,$n \to \infty$.

引理2.3 设 $\{u_n\}\subset H^1_0(\Omega)$ 是有界序列, 且满足

其中 $c$ 为正常数. 则存在 $\{r_n\}\subset \mathbb{R}^+$ 与 $\{x_n\}\subset \mathbb{R}^N$, 使得

其中

证 由 (1.2) 式可得

根据文献 [22,定理 2], 有

其中 $\displaystyle \frac{2}{2^*}\le \theta < 1$. 那么, 结合条件 (2.7), (2.10) 和 (2.11) 式可知, 存在常数 $c>0$, 使得

由 (2.12) 式, 可以找到 $r_n>0$ 和 $x_n \in \mathbb{R}^N$, 使得对于足够大的 $n$,

由于 $\operatorname{supp}(u_n) \subset \Omega$, 可知 $B(x_n, r_n) \cap \Omega \neq \varnothing$. 因此, 不失一般性, 可以假设 $x_n \in \Omega$. 实际上, 如果 $x_n \notin \Omega$, 那么 $\operatorname{dist}(x_n, \partial \Omega) < r_n$, 从而存在点 $\bar{x}_n \in \Omega$ 使得 $B(x_n, r_n) \subset B(\bar{x}_n, 2r_n)$.

由于 $\{u_{n}\}\subset H_{0}^{1}(\Omega)$ 是有界序列, 存在子列 (仍记为 $\{u_{n}\}$) 使得当 $n \to \infty$ 时,

由 (2.13) 式可知 $r_n \rightarrow 0$.

由于 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 的范数具有伸缩和平移不变性, 根据定义 (2.9), 有 $\{\bar u_n\}$ 在 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 中有界. 于是, 存在子列 (仍记为 $\{\bar u_n\}$) 使得

如果 $\dfrac{x_n}{r_n}$ 有界, 则存在 $R>1$ 使得 $B\Big(\dfrac{x_n}{r_n}, 1\Big) \subset B(0, R)$, 那么

如果 $\Big| \dfrac{x_n}{r_n}\Big| \rightarrow \infty$, 那么

其中 $R>1$. 显然有 $w \not\equiv 0$. 由 (2.14) 和 (2.15) 式, 引理 2.3 得证.

引理2.4 设 $\{v_n\}\subset H^1_0(\Omega)$ 是泛函 $I$ 在水平 $d$ 处的一个 Palais-Smale 序列, 并假设当 $n \to \infty$ 时 $v_n$ 在 $H^1_0(\Omega)$ 中弱收敛于 $0$. 如果存在序列 $\{r_n\}\subset \mathbb{R}^+$ 和 $\{x_n\}\subset \bar{\Omega}$ 满足

使得

在 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 中弱收敛且几乎处处收敛于 $v_0 \in \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)$, $v_0 \not\equiv 0$,

则 $v_0$ 是方程 (1.9) 的解, 且序列

是泛函 $I$ 在水平 $d - I_0(v_0)$ 处的一个 Palais-Smale 序列.

证 首先证明 $v_0$ 是 (1.9) 的解. 给定球 $B(0, r)$ 和试验函数 $\phi \in \mathcal{C}_0^\infty(B(0, r))$. 由于 $v_n \rightharpoonup 0$, $\bar{v}_n \rightharpoonup v_0$ 于 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)$, 且 $\dfrac{x_n}{r_n}\to \infty$, 可得

其中 $\phi_n = r_n^{\frac{2-N}{2}}\phi\!\left( \dfrac{x - x_n}{r_n}\right)$, $\bar \Omega_n = \{x\in\mathbb{R}^N|xr_n+x_n\in\Omega\}$. 这里由于

所以有 (2.16) 式中最后一个等式成立. 因此 $v_0$ 是 (1.9) 式的解.

由于 $v_0$ 的支集可能不在区域 $\Omega$ 内，仿照 Cao 与 Peng 在文献 [2] 中的截断函数方法, 定义

其中 $o(1) \to 0$ 于 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 中, 该项来源于截断函数的引入和处理; 显然有 $z_n \rightharpoonup 0$ 于 $H^1_0(\Omega)$.

现证 $\{z_n\}$ 是 $I$ 在水平 $d - I_0(v_0)$ 处的 Palais-Smale 序列. 由 Brézis-Lieb 引理与弱收敛性, 类似引理 2.2 可证

引理2.5 设 $\{v_n\}\subset H^{1}_{0}(\Omega)$ 是泛函 $I$ 在水平 $d$ 处的一个 Palais-Smale 序列, 并假设当 $n \to \infty$ 时 $v_n \rightharpoonup 0$ 于 $H^{1}_{0}(\Omega)$ 中. 如果存在序列 $\{r_n\}\subset \mathbb{R}^{+}$ 使得当 $n \to \infty$ 时 $r_n \to 0$, 且 $\bar{v}_n(x) := r_n^{\frac{N-2}{2}}v_n(r_n x)$ 在 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^{N})$ 中弱收敛且几乎处处收敛于 $v_{\mu}\neq 0$ ($v_{\mu}\in \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^{N})$), 则 $v_{\mu}$ 是方程 (1.10) 的解. 此外,

是 $I$ 在水平 $d - I_{\mu}(v_{\mu})$ 处的一个 Palais-Smale 序列.

证 证明与引理 2.4 的证明基本相同, 为简洁起见, 此处省略.

定理 1.1 的证明. 应用引理 2.1, 可设 $\{u_n\}$ 有界. 取子列 (仍记为 $\{u_n\}$), 使得当 $n \to \infty$ 时,

令 $v_n(x) = u_n(x) - u(x)$, 则 $\{v_n\}$ 是 $I$ 的一个 Palais-Smale 序列, 且满足

于是, 由引理 2.2 得 ($n \to \infty$):

不失一般性, 可设 $\|v_n\|_{H^1_0(\Omega)}\to l > 0$ (当 $n \to \infty$). 若 $l = 0$, 则定理 1.1 在 $l_1 = 0$, $l_2 = 0$ 的情形下已得证.

假设存在 $0<\delta<\infty$ 使得

由引理 2.3, 存在序列 $\{r_n\}\subset \mathbb{R}^{+}$ 与 $\{x_n\}\subset \mathbb{R}^{N}$, 使得

其中

情形 A 设 $\displaystyle \Bigl| \frac{x_n}{r_n}\Bigr| \to \infty$. 定义

此时 $z_n \rightharpoonup 0$ 于 $H^1_0(\Omega)$.

(1) 设 $\displaystyle \frac{\operatorname{dist}(x_n, \partial \Omega)}{r_n}\to \infty$. 由引理 2.5 知, $\{z_n\}$ 是 $I$ 在水平 $d - I_0(v_0)$ 处的 Palais-Smale 序列, 满足

因为 $v_0$ 是 (1.9) 式的解, 根据引理 2.4, (1.13) 和 (1.14) 式, 存在 $\nu_1 > 0$ 使得

令 $R_n^1 = r_n \nu_1$, $x_n^1 = x_n \bar{x}_1$, 则有

其中 $R_n^1 \to 0$, $x_n^1/R_n^1 \to \infty$($n \to \infty$). 代入 (2.17) 式得

这里 $z_n \rightharpoonup 0$ 于 $H^{1}_{0}(\Omega)$ 中, 且 $R_n^1 \to 0$,$x_n^1/R_n^1 \to \infty$;

(2) 若 $\displaystyle \frac{\operatorname{dist}(x_n, \partial \Omega)}{r_n}\le C$, 则当 $n \to \infty$ 时 $\bar \Omega_n = \{x\in\mathbb{R}^N|xr_n+x_n\in\Omega\}\to H$ (其中 $H$ 是一个满足 $0 \in \overline{H}$ 的开半空间). 由引理 2.4, $v_0$ 应满足

但方程 (2.20) 没有非平凡解^[20], 故此情形不可能出现.

情形 B 设 $\displaystyle \frac{x_n}{r_n}$ 有界. 定义

使得 $z_n \rightharpoonup 0$ 于 $H^1_0(\Omega)$ 中. 由于 $0 \in \Omega$, 则 $\Omega_n = \{x\in\mathbb{R}^N|xr_n\in\Omega\}\to \mathbb{R}^N$. 由引理 2.5 知, $\{z_n\}$ 是 $I$ 在水平 $d - I_{\mu}(v_0)$ 处的 Palais-Smale 序列, 满足

由于 $v_0$ 满足 (1.10) 式, 利用引理 2.7, (1.11) 与 (1.14) 式, 存在 $\nu_1 > 0$ 使得

令 $\bar{R}_n^1 = r_n \nu_1$, 则有

其中 $\bar{R}_n^1 \to 0$. 代入 (2.17) 式得

其中 $\bar{R}_n^1 \to 0$.

若仍存在 $\bar{\delta}> 0$, 使得

则重复上述论证. 由 $\|z_n\|_{H^1_0(\Omega)}$ 的有界性及不等式

可知迭代必在有限步后停止.

综上, 存在常数 $l_1, l_2$ 以及 $I$ 的一个新的 Palais-Smale 序列 (不失一般性, 仍记为 $\{v_n\}$), 使得当 $n \to \infty$ 时,

其中

进而, 由 $\langle I'(v_n), v_n \rangle = o(1)$ 可得

可得

结合 (2.21)-(2.23) 式, 定理 1.1 得证.

本节借助山路引理见文献 [1] 和定理 1.1 证明定理 1.2.

定理1.2 的证明

由于 $f(x,t)$ 满足 (a2), 因此有

与此同时, 我们有

因此, 得到下界

其中 $c, C > 0$ 是与 $u$ 无关的常数. 由于 $q > 2$ 且 $2\bar p > 2$, 可以选择充分小的 $r_0 > 0$, 使得对某个正常数 $\rho$, 有

由 $I(u)$ 的表达式有

可得对每个固定的 $u \not\equiv 0$ 且 $u \in H^{1}_{0}(\Omega)$, 当 $t \to \infty$ 时 $I(tu) \to -\infty$. 因此, 泛函 $I$ 满足山路引理的条件.

定义

其中

并且对任意 $t \ge 1$ 有 $I(t\psi_0) \le 0$.

为完成定理 1.2 的证明, 只需验证 $I$ 在水平 $c^{*}$ 处满足 Palais-Smale 条件. 由定理 1.1 知, 只需证明

取截断函数 $\varphi \in \mathcal{C}_0^\infty(\Omega)$, 满足

其中 $R>0$ 的选取使得 $\overline{B(0,2R)}\subset\Omega$. 令

利用 $U_{\mu}$ 的估计式 (1.12), 通过直接计算可得

下面只需证明

设 $t_{\varepsilon}$ 为 $\displaystyle\max_{t > 0}\, I(t v_\varepsilon)$ 的最大值点; 显然 $t_{\varepsilon}$ 一致有界. 于是, 对充分小的 $\varepsilon > 0$, 由于 $F(x,u)\geq 0$, 结合 (3.3) 和 (3.4) 式, 可得

这里需要利用假设条件 $0< \mu< \frac{(N-2)^2-4}{4}$, 即 $\beta\geq1$, 所以上式成立. 由 $c^*$ 的定义, 有 $ c^* < \frac{2+\alpha}{2(N+\alpha)}S_{\mu}^{\frac{N+\alpha}{\alpha+2}}$. 至此证明完成.