本文研究如下带 Hartree 型非线性项的对数 Schrödinger 方程

其中 $V(x) \in C\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 是非负函数. 对方程组 (1.1) 的第二个方程, 由 Lax-Milgram 定理知, $\forall u \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$, 存在 $\phi_{u} \in D^{1,2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$, 使得

而且

于是方程组 (1.1) 等价于如下带有非局部项的对数 Schrödinger 方程

若 $u$ 是方程 (1.2) 的解, 则 ($u, \phi_{u}$) 是问题 (1.1) 的解. 为了简便, 我们用 $u$ 代替 ($u,\phi_{u}$), 也称 $u$ 是问题 (1.1) 的解. 方程 (1.2) 具有丰富的物理背景. 若考虑位势函数 $V(x)=1$, 不含对数非线性项 $u \log u^{2}$, 则方程 (1.2) 可化为如下经典的 Choquard-Pekar 方程

方程 (1.3) 来源于凝聚态物理和量子场论. 最初由 Pekar^[12] 于 1954 年提出, 用于描述极化子 (polaron) 在晶格中的量子行为. 该方程也出现在量子多体理论中, 可以看作是 Coulomb 势下的稳态的非线性 Hartree 方程. 更多相关的结果参见文献 [6],[8],[9],[10],[18] 及其引用文献. 若不含 Hartree 型非线性项, 则方程 (1.2) 可化为如下对数 Schrödinger 方程

关于方程 (1.4) 的研究, 在文献 [3] 中, 作者考虑了 $V$ 是常数的情形, 对下半连续的泛函运用非光滑临界点理论, 证明了无穷多可能变号的径向对称解存在. Squassina 与 Szulkin^[16] 考虑了位势函数 $V$ 是 1-周期的情形, 得到了方程 (1.4) 的无穷多几何不同的解. 随后 Ji 与 Szulkin^[5] 利用文献 [16] 中处理非光滑泛函的方法, 考虑了在强制的情形 (即 $\lim\limits_{|x| \rightarrow \infty} V(x)=\infty$), 运用 Bartsch 喷泉定理, 证明了 (1.4) 式存在无穷多解; 在有界的情形 (即 $\lim\limits_{|x| \rightarrow \infty} V(x)=\sup\limits_{x \in \mathbb{R}^{3}} V(x):=V_{\infty} \in(-1, \infty)$ 且算子的谱满足 $\sigma(-\Delta+V+1) \subset(0, \infty)$, 证明了方程 (1.4) 存在基态解. Tanaka 和 Zhang^[17] 考虑了位势函数 $V$ 是 1-周期的情形, 不同于文献 [16] 中的方法, 对相应的 $2L$-周期问题作分析结合新的集中紧原理, 令 $L\rightarrow \infty$ 得到方程 (1.4) 的无穷多几何不同的正解. 在文献 [15] 中, 作者运用方向导数与约束极小方法对不同类型位势函数 $V$, 证明了方程 (1.4) 存在正解与变号解, 而且对 $V$ 是径向对称函数的情形, 构造了方程 (1.4) 的无穷多变号解.

关于方程组

的研究结果十分丰富 (参见文献 [1], [2], [13],[14],[19] 及其引用文献). 主要考虑在 $\lambda>0$ 的情形下非局部项 $\phi u$ 与非线性项 $f(u)$ 的相互作用对解的影响. 本文考虑在 $\lambda<0$ 时, 为符号的简便取 $\lambda=-1$, 研究方程 (1.5) 在对数非线性的情形解的存在性. 从变分法的角度看, 寻求方程 (1.2) 的解, 形式上, 等价于研究方程对应的能量泛函

的临界点. 由于当 $u \rightarrow 0$ 时, 对数项 $u\log u^{2} \rightarrow 0$ 但非凸且符号可变, 导致能量泛函 $I$ 非光滑. 另一方面, 注意到对数 Sobolev 不等式 (参见文献 [7]),

则 $I(u)>-\infty, \forall u \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$, 但存在 $u \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 使得 $\int_{\mathbb{R}^{3}} u\log u^{2}=-\infty$, 于是 $I: H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \rightarrow \mathbb{R} \cup\{+\infty\}$. 由于对应的能量泛函 $I(u)$ 在 $H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 上不再具有良好的定义, 导致经典的变分方法无法直接用来处理非 $C^{1}$ 光滑且非有限的能量泛函 $I$. 根据参考文献, 目前已知的关于处理非光滑泛函的方法至少有三种. 比如, 寻找合适的 Banach 空间赋予 Luxemburg 型的范数使得相应的泛函在其上是具有良好定义且是 $C^{1}$ 光滑的; 在原点附近对非线性项 $f$ 作截断, 通过作先验估计得到非平凡解; 这些方法的缺点在于无法获得 Palais-Smale 序列.

受上述文献启发, 我们运用约束极小方法, 通过方向导数, 证明在 Nehari 流形上的极小可达函数为方程 (1.2) 的解. 为了方便叙述本文主要结果, 首先给出弱解的定义以及一些符号说明. 记

其范数满足 $\|u\|^{2}=\int_{\mathbb{R}^{3}}\left(|\nabla u|^{2}+V(x) u^{2}\right) \mathrm{d}x.$

定义1.1 若 $u \in H, u^{2} \log u^{2} \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$, 且满足

则称 $u \in H$ 为方程 (1.2) 的弱解.

记

其中 $X:=\left\{u \in H: u^{2} \log u^{2} \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\right\}.$ 由 $C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \subset X$ 知 $X \neq \emptyset$. 记

不难验证 $M \neq \emptyset$, 于是定义

本文的主要结果如下

定理1.1 若 $u \in M$ 且 $I(u)=m$, 则 $u$ 是方程 (1.2) 的弱解.

定义12 对给定的 $u \in X, \varphi \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{3}\right), I$ 在点 $u$ 方向 $\varphi$ 上的导数, 记作 $\left\langle I^{\prime}(u),\varphi\right\rangle$, 定义为 $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{I(u+t \varphi)-I(u)}{t}$.

不难验证

于是 $u \in X$ 是方程 (1.2) 的解当且仅当 $\left\langle I^{\prime}(u),\varphi\right\rangle=0, \forall \varphi \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$.

定理1.2 若位势函数 $V$ 满足下列条件之一,

(V1) $\lim\limits _{|x| \rightarrow \infty} V(x)=+\infty$;

(V2) $V(x)$ 是径向对称函数,即 $V(x)=V(|x|)$;

(V3) $V(x)$ 关于变量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是 1-周期的.

则 $m$ 可达.

在本节中, 我们主要利用 Miranda 定理 (参见文献 [11]), 证明 $m$ 的极小可达函数即为方程 (1.2) 的解.

引理2.1 对 $\forall u \in M$, 我们有 $I(t u)<I(u), \forall t \in(0,+\infty), t \neq 1$.

证 对 $\forall u \in M$, 记 $g(t)=I(tu), t \in \mathbb{R}$, 则有

另一方面, 由 $u\in M$ 有

于是有

则 $g^{\prime}(t)>0,\,\forall t \in(0,1)$ 且 $g^{\prime}(t)<0, \forall t \in(1,+\infty)$. 从而 $I(t u)=g(t)<g(1)=I(u), \forall t \in (0,+\infty), t \neq 1$. 注意到 $g(t)=g(-t)$, 则 $I(t u)<I(u), \forall t \in \mathbb{R},|t| \neq 1$.

定理 1.1 的证明

证 若 $u \in M$ 且 $I(u)=m$, 存在 $\varphi \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 使得

选取 $\varepsilon \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 充分小, 使得对 $\forall s \in[1-\varepsilon, 1+\varepsilon], t \in[-\varepsilon, \varepsilon]$, 有

记 $\eta$ 为 $\mathbb{R}$ 上的光滑截断函数, 其中 $|\eta| \leq 1$, 当 $|s-1| \leq \frac{1}{2} \varepsilon$ 时, $\eta(s)=1$; 当 $|s-1| \geq \varepsilon$ 时, $\eta(s)=0$. 下面对 $\sup\limits _{s>0} I(s u+\varepsilon \eta(s) \varphi)$ 作估计. 当 $|s-1| \leq \varepsilon$, 由 (2.1), 有

当 $|s-1| \geq \varepsilon$ 时, $\eta(s)=0$, 也可得 $I(su+\varepsilon \eta(s) \varphi) \leq I(su)-\frac{1}{2} \varepsilon \eta(s) \leq I(su)$. 又由于 $u \in M$, 则当 $0<s \neq 1$ 时, 有 $I(su+\varepsilon \eta(s) \varphi) \leq I(su)<I(u)$; 当 $s=1$ 时, 由 (2.2) 式有

即对 $\forall s>0$ 有 $I(s u+\varepsilon \eta(s) \varphi)< I(u)= m$. 特别地, $\sup\limits_{1-\varepsilon \leq s \leq 1+\varepsilon} I(s u+\varepsilon \eta(s) \varphi)<m$.

记

计算可得

类似可得 $F(1+\varepsilon)<0$. 根据 Miranda 定理 [11] 知, 存在 $s_{0} \in(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$, 使得 $\tilde{u}=s_{0} u+\varepsilon \eta\left(s_{0}\right) \varphi \in M$ 且 $I(\tilde{u})<m$, 这与 $m$ 的定义矛盾.

在本节我们利用集中紧定理^[9]证明在不同类型的位势函数的条件下 $m$ 可达, 从而得到方程 (1.2) 的解. 为此, 首先我们给出两个重要的引理.

引理3.1^[4] 定义算子

$\forall(u, v, w, z) \in\left(H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\right)^{4}$. 若 $\left\{u_{n}\right\},\left\{v_{n}\right\},\left\{w_{n}\right\} \subset H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 使得当 $n \rightarrow \infty$ 时, $u_{n} \rightharpoonup u$ 在 $H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中, $v_{n} \rightharpoonup v$ 在 $H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中, $w_{n} \rightharpoonup w$ 在 $H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中, $z \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$. 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, 有

引理3.2^[15] 若序列 $u_{n}$ 在 $H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中有界, $u_{n} \rightarrow u$ a.e. 于 $\mathbb{R}^{3}$ 且 $u_{n}^{2} \log u_{n}^{2}$ 是 $L^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中的有界序列, 则 $u^{2} \log u^{2} \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 且

引理3.3若位势函数 $V$ 满足 (V1) 或 (V2), 则 $m>0$ 且 $m$ 可达.

证 记 $\left\{u_{n}\right\} \subset M$ 是 $m$ 的极小化序列, 于是有

则 $\left\{u_{n}\right\}$ 在 $L^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中有界. 又因为

由 (1.6) 式, 选取 $\frac{a^{2}}{\pi}=\frac{1}{2}$, 则有

由 (3.1)-(3.3) 式可知 $\left\{u_{n}\right\}$ 在 $H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中有界. 因此, 存在 $\left\{u_{n}\right\}$ 的子列仍记为 $\left\{u_{n}\right\}$ 和 $u \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$, 使得

由 (3.1) 式知 $m \geq 0$. 若 $m=0$, 则由 (3.1)- (3.3) 式我们有

另一方面, 由 $\left\{u_{n}\right\} \subset M$ 可得

其中 $q \in(2,6)$. 由此可得 $\left\|u_{n}\right\| \geq C >0,$ 而这与 (3.4) 式矛盾, 则 $m>0$. 由 $V$ 满足 (V1) 或 (V2), 则 $H$ 紧嵌入 $L^{p}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$, 其中 $2\leq p < 6$. 结合引理 3.1, 引理 3.2, 有

其中 $u^{+}=\max\{u, 0\}$. 由范数的弱下半连续性与 Fatou 引理有

其中 $u^{-}=\min \{u, 0\}$. 即

于是存在唯一的 $s_{0} \in(0,1]$ 使得 $s_{0} u \in M$. 由 $m$ 的定义及 Fatou 引理有

由此可知 $s_{0}=1$. 从而 $u \in M$ 满足 $I(u)=m$.

引理3.4 若位势函数 $V$ 满足 (V3), 则 $m>0$ 且 $m$ 可达.

证 记 $\left\{u_{n}\right\} \subset M$ 为 $m$ 的极小化序列, 则有

则 $\left\{u_{n}\right\}$ 在 $L^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中有界. 类似引理 3.3 的证明过程, 可得 $\left\{u_{n}\right\}$ 在 $H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中有正下界. 下证存在 $\left\{x_{n}\right\} \subset \mathbb{N}^{3}$ 使得

其中 $B_{1}(y)=\left\{z \in \mathbb{R}^{3}:|y-z|<1\right\}$. 如若不然,

则对 $\forall q \in(2,6)$, 有 $u_{n} \rightarrow 0$ 在 $L^{q}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中. 另一方面, 由 $\left\{u_{n}\right\} \subset M$ 有

注意到 $\left\{u_{n}\right\}$ 在 $H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中有正下界, 则有

这与 $\forall q \in(2,6), u_{n} \rightarrow 0$ 在 $L^{q}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中这一事实矛盾. 于是 (3.6) 式成立. 由 $V$ 满足 (V3), 则 $\left\{u_{n}\left(\cdot+x_{n}\right)\right\}$ 仍为 $m$ 的极小化序列. 记 $v_{n}:=u_{n}\left(\cdot+x_{n}\right)$, 由 $v_{n}$ 在 $H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 中有界和 (3.6) 式知, 存在 $v \in H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right) \backslash\{0\}$ 使得

由引理 3.2 知 $v\in X$. 接下来, 我们证明 $J(v)=0$ 和 $I(v)=m$. 首先, 我们假设 $J(v)<0$, 经过简单的计算可知存在 $t\in(0,1)$ 使得 $J(t v)=0$. 又由 $m$ 的定义, 有

于是 $J(v) \geq 0$. 若 $J(v)>0$, 根据引理 3.1 和引理 3.2 有

则对充分大的 $n$, 有 $J\left(v_{n}-v\right)<0$. 类似上述推导, 由引理 3.1 可得

而由 (3.6) 式知 $v \neq 0$, 于是可得 $m<m$ 矛盾. 因此 $J(v)=0$, 即 $v \in M$. 由 $v \in M$ 及 Fatou 引理有

则 $v$ 是 $m$ 的达到函数.

定理 1.2 的证明 若位势函数 $V$ 分别满足条件 (V1), (V2), (V3) 时, 由引理 3.3 及引理 3.4 知 $m>0$ 是可达的. 又由定理 1.1 知 $m$ 的达到函数即为方程 (1.2) 的解. 从而在位势函数 $V$ 满足分别满足条件 (V1), (V2), (V3) 时, 方程 (1.2) 的解存在.