在本文中, 我们研究描述等离子体中拉曼放大的一个三分量非线性 Schrödinger 方程组 (参见文献 [7],[8],[13]). 该方程组最初由 Colin, Colin 和 Ohta 在文献 [9] 中推导得出, 其形式如下

其中空间维数$ N=4$, $\psi_i(t,x): \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N \mapsto \mathbb{C}$ $(i=1,2,3)$ 为复值函数, $\overline{\psi}_i$ 为其复共轭, $\alpha>0$ 为耦合强度参数, 且非线性幂次$ p$ 满足$ 2< p \le 4$. 在文献 [11] 中, 作者已对维数$ 1 \le N \le 3$ 的情形进行了研究.

方程组 (1.1) 可表示为 Hamilton 形式

其中

且

能量泛函$ E$ 具有如下相位对称性

这一对称性揭示了系统的三个守恒量: 能量$ E$ 以及两个混合质量

换言之, 对任意$ t\in[0,T_{\max})$, 成立

其中$ T_{\max}>0$ 为解的最大存在时间 (负时间情形可类似定义). 这些守恒律可通过标准的论证予以证明, 详见文献 [6].

从数学和物理的角度看, 人们主要感兴趣的在于探究方程组 (1.1) 的驻波解, 即形如 $\vec{\psi}(t,x)=\left(\mathrm{e}^{i\lambda_1t}u_1(x),\mathrm{e}^{i\lambda_2t}u_2(x), \mathrm{e}^{i\lambda_3t}u_3(x)\right)$ 的解, 其中$ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\in \mathbb{R}$ 满足$ \lambda_3=\lambda_1+\lambda_2$, 且$ \vec{u}\in H^1(\mathbb{R}^4,\mathbb{C}^3)$. 简单的计算表明 $\vec{\psi}$ 是方程组 (1.1) 的驻波解当且仅当 $\vec{u}$ 是下述椭圆方程组的解

关于 Schrödinger 方程组驻波解的相关研究, 可参考文献 [1],[2],[3],[4],[10],[19],[21],[22],[25] 及其引用的文献.

在本文中, 我们不仅关注方程组 (1.1) 驻波解的存在性, 更致力于系统分析其随质量参数$ a>0$ 变化的渐近性态. 具体而言, 我们固定 (1.3) 式中两个混合质量$ Q_1=Q_2= a^2$ 的取值, 并称$ a$ 为质量参数. 为研究在此质量约束下的基态解, 我们引入如下约束极小化问题

其中能量泛函$ E$ 与约束集$ S(a,a)$ 分别定义为

本文的主要结果如下

定理1.1 假设$ N= 4$, $2< p\le 4$ 且$ \alpha, a>0$. 则存在正常数$ a_*=\|w\|_{2}$ 使得下列结论成立

(i) 若$ 2< p< 3$, 则

(ii) 若$ p=3$, 则当$ \alpha \le 1$ 时,$ m(a,a)=0$; 当$ \alpha >1$ 时,

.

(iii) 若$ 3<p\le 4$, 则

其中$ w$ 是方程 (2.3) 的唯一正解. 此外, 若$ a \le \frac{a_*}{\alpha}$, 则泛函$ E$ 在约束集$ S(a,a)$ 上不存在临界点. 若$ 3<p\le 4$ 且$ a> \frac{a*}{\alpha }$, 则方程组 (1.4) 存在一个正的径向对称的基态解$ \vec{v}\in S(a,a)$ 满足$ E(\vec{v})=m(a,a)<0$.

由于线性耦合项系数$ \alpha>0$, 当$ N= 4$ 时, 该项是$ L^2$-临界的. 注意到全局最小值$ m(a,a)$ 的符号 (即是否严格小于零) 由$ p$ 相对于$ 3$ 的大小决定. 我们考虑质量约束下方程组 (1.4) 的解, 其中拉格朗日乘子$ \lambda_1$ 与$ \lambda_2$ 作为解的一部分由解本身决定, 其符号无法事先确定. 定理 1.1 中基态解存在性的主要证明困难在于紧性的缺失: 即使在径向空间$ H^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^4)$ 中可以紧嵌入到$ L^{q}(\mathbb{R}^4)$ $(2<q<4)$, 但是 Sobolev 嵌入$ H^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^4) \hookrightarrow L^2(\mathbb{R}^4)$ 是非紧的. 该定理可通过适当调整并运用集中紧性方法予以证明. 此外, 我们可以刻画在复数空间上的约束集合$ S(a,a)$ 上方程 (1.1) 的基态解集结构

其中$ (u_1,u_2,u_3)\in S(a, a)$ 是方程组 (1.4) 的一个正的径向对称基态解 (参见文献 [10,定理 1.1]).

为研究方程组 (1.4) 在$ S(a,a)$ 上基态解的质量同步渐近行为, 我们引入其对应的极限方程组. Thomas-Fermi 极限的特征在于梯度项的贡献相对于非线性项可以忽略. 类似现象在聚焦-散焦双幂次非线性 Schrödinger 方程和聚焦 Hartree 方程中亦有研究 (参见文献 [5],[16],[18],[20]). 为此, 引入以下仅含非线性项的 Thomas-Fermi 泛函

并考虑下述约束极小化问题

其中

值得一提的是$ m^{TF}(1,1)$ 的一个极小元可表示为 $u^{TF}_{i}=\sqrt{\rho_i \cdot \mathbf{1}_{\Omega}(x)}, i=1,2,3,$ 其中$ \rho_i$ 的定义由引理 4.1 给出, 且$ \mathbf{1}_{\Omega}$ 是满足测度条件$ |\Omega|=1/(\rho_1+\rho_3)$ 的 Borel 集$ \Omega$ 的特征函数 (详见引理 4.3). 鉴于该 Thomas-Fermi 问题在其能量空间中缺乏紧性, 为证明对应于$ m^{TF}(1,1)$ 的基态解的存在性, 可借鉴文献 [12] 中发展的方法.

定理1.2 假设$ N=4$,$ 3< p\le 4$, 且$ \alpha, a>0$. 则方程组 (1.4) 在约束集$ S(a,a)$ 上存在正规化解$ \vec{u}_{a}$, 并具有以下性质

(i) 若 $ \min\limits_{1\le i\le3}\|u_{i,a}\|_{L^2(\mathbb{R}^4)} \ge \frac{a_{*}}{\alpha}$, 则当$ D(a,a) \searrow \frac{a^*}{\alpha}$ 时, 有

且相应的拉格朗日乘子$ \lambda_{1,a},\lambda_{2,a}>0$ 满足

其中$ D(a,a):=\max\limits_{1\le i \le 3} \|u_{i,a}\|_{L^2(\mathbb{R}^4)}$;

(ii) 若$ a\to \infty$, 则在子列的意义下, 有

于$ L^2(\mathbb{R}^4,\mathbb{C}^3) \cap L^{p}(\mathbb{R}^4,\mathbb{C}^3)$, 其中$ \vec{v}$ 是$ E^{TF}$ 约束在$ S(1,1)$ 上的一个极小元.

注 1.3 在定理 1.2(i) 中, 由于$ \min\limits_{1\le i\le3}\|u_{i,a}\|_{L^2(\mathbb{R}^4)} \ge \frac{a_{*}}{\alpha}$, 当$ D(a,a) \searrow \frac{a^*}{\alpha}$ 时, 可以推出$ a\searrow \frac{\sqrt{2}a_*}{\alpha}$. 与单个 Schrödinger 方程的情形不同, 仅含线性耦合项的极限方程组 (2.5) 在临界质量处是否存在同步解尚未可知. 因此, 定理 1.2(i) 中关于基态解的临界质量同步渐近行为无法由此导出. 文献 [20,注 6.10] 指出, 在质量临界情形下, 即使对于单个方程, 其最小能量的同阶上下界估计仍是一个公开问题. 与此相比, 本文在质量临界情形下为三波 Schrödinger 方程组建立了一致的渐近估计.

注 1.4 在定理 1.2(ii) 中, 根据匹配的能量上下界估计, 我们可以推出当$ a\to \infty$ 时, $ m(a,a) \sim -a^{2}$. 对于$ m(a,a)$ 的极小元$ \vec{u}_{a}$, 令$ v_{i,a}=u_{i,a}(a^{\frac{1}{2}}x)$. 则序列$ \vec{v}_{a}$ 构成$ m^{\mathrm{TF}}(1,1)$ 的一个极小化序列, 进而在定理 1.2 中, 我们可以得到强收敛 (1.5).

本文结构安排如下. 在第 2 节中, 我们介绍一些记号和预备知识. 在第 3 节中, 我们运用约束极小化方法方法、紧性分析以及尺度变换方法研究方程组 (1.4) 基态解的存在性和非存在性, 从而完成定理 1.1 的证明. 在第 4 节中, 通过刻画$ m(a, a)$ 极小解的极限行为完成定理 1.2 的证明.

在本节中, 我们首先介绍一些将在整个论文中使用的符号. 在下文中, 我们记$ L^p$ 为空间$ L^p(\mathbb{R}^4)$, 其范数简写为 $\|f\|_p$, 其中 $1\leq p\leq \infty$. 我们用$ H^1(\mathbb{R}^4)$ 表示通常的 Sobolev 空间; 用$ H^1(\mathbb{R}^4, \mathbb{C}^3)$ 或$ H^1(\mathbb{R}^4, \mathbb{R}^3)$ 表示向量值函数所对应的 Sobolev 空间; 用$ H^1(\mathbb{R}^4, \mathbb{R})$ 或$ H^1(\mathbb{R}^4, \mathbb{C})$ 表示标量函数所对应的 Sobolev 空间. 此外, 我们将积分 $\int_{\mathbb{R}^4} f \mathrm{d}x $ 简写为 $\int f$; 将复数$ z$ 的实部记为$ \mathrm{Re}z$, 其复共轭记为$ \overline{z}$; 并用$ f\thicksim g$ 表示存在常数$ C>0$, 使得不等式$ \frac{1}{C}|g| \leq |f| \leq C|g|$ 成立.

首先, 我们给出方程组 (1.3) 相对应的 Pohozaev 型恒等式. 鉴于下述引理和文献 [10,引理 2.1] 的证明类似, 我们省略其证明.

引理 2.1 假设$ N=4$, $2 < p \le 4$, 且$ (u_1,u_2,u_3)\in S(a,a)$ 是方程组 (1.4) 的解. 则成立

接下来, 我们回顾下述 Gagliardo-Nirenberg 不等式: 对任意$ 2<p<4$, 存在常数$ C(p)>0$, 使得

其中$ \gamma_p=\frac{2(p-2)}{p}$. 显然, 对任意$ \vec{u}\in S(a,a)$, 我们有$ \|u_i\|_2 \le a$,$ i=1,2,3$. 结合 Gagliardo-Nirenberg 不等式和 Hölder 不等式可以推出

接着, 我们回顾空间维数$ N=4$ 时单个$ L^2$-临界 Schrödinger 方程

的相关结果, 详见文献 [14],[24], 其中$ a>0$, $ \lambda$ 为拉格朗日乘子. 定义能量泛函

则方程 (2.2) 的解是泛函$ J_0$ 在约束集

上的临界点. 相应的约束极小化问题为

并且有

值得指出的是, $m_{0}(a)$ 在平移意义下存在唯一的正径向极小解$ w$ 当且仅当$ a=a_{*}$, 其中

此外,$ w$ 也是方程

的唯一基态解. 进一步, 常数$ a_*$ 与$ N=4$, $p=3$ 时的 Gagliardo-Nirenberg 不等式中的最佳常数$ C(3)$ 相关, 具体为

并且, 该下确界可达当且仅当$ w$ 是方程 (2.3) 的基态解.

下面, 我们研究空间维数$ N=4$ 时, 线性耦合项为$ L^2$-临界的方程组

其约束条件为

为研究方程组 (1.4) 的正规化解, 定义能量泛函

并考虑约束极小化问题

类似于引理 3.1 的证明可知

其中$ a_*$ 的值由 (2.4) 给出.

引理 2.2 若$ 0<a< \frac{a_{*}}{\alpha}$, 则下确界$ m_0(a,a)$ 不可达, 即方程组 (2.5) 不存在基态解.

证 利用反证法, 假设问题 (2.5) 存在解$ \vec{u}\in S(a,a)$, 则根据 Pohozaev 型恒等式可得

基于 (2.1) 式, 我们有

由于$ a < \frac{a_{*}}{\alpha}$, 故$ \vec{u}$ 为常值向量, 而这与$ \vec{u} \in S(a,a)$ 相矛盾. 因此, 当$ 0<a< \frac{a_{*}}{\alpha}$ 时, 下确界$ m_0(a,a)$ 不可达.

在本节中, 我们通过研究极小值$ m(a,a)$ 来完成定理 1.1 的证明. 显然, 对任意的$ t>0$ 以及$ \vec{u}\in S(a,a)$, 我们有

引理 3.1 假设$ N=4$, $2<p\le 4$. 则以下结论成立

(i) 若$ 2< p< 3$, 则

(ii) 若$ p=3$, 则当$ \alpha \le 1$ 时,$ m(a,a)=0$; 当$ \alpha >1$ 时,

.

(iii) 若$ 3<p\le 4$, 则

其中 $a_*$ 的值由 (2.4) 式给出.

证 我们分以下三种情况讨论

情形 (i) $2<p< 3$. 若$ a \le \frac{a_{*}}{\alpha}$, 则利用 (2.4) 式可得$ a \le\frac{3}{2\alpha C^3(3)}$. 结合此式和 (2.1) 式, 我们可以推出

进而

由此可得$ m(a,a)=0$. 若$ a > \frac{3}{2\alpha C^3(3)}$, 则 $ \frac{1}{2}-\frac{\alpha a}{3}C^3(3)<0$. 利用 (2.1) 式可知存在$ \vec{u}\in S(a,a)$ 使得$ E_{0}(\vec{u}) < 0$. 对任意$ t>0$, 有$ t^{2}\vec{u}(tx)\in S(a,a)$ 以及

基于 (3.1), (3.2) 式和$ p\gamma_p < 2$ 可知当$ t \to +\infty$ 时, 有

这意味着 $m(a,a)=-\infty$.

情形 (ii) $p=3$.} 利用 Hölder 不等式可得

从而

因此, 当$ \alpha \le 1$ 时, $m(a,a)=0$; 当$ \alpha >1$ 时,

情形 (iii) $3<p\le 4$. 首先, 利用 Hölder 不等式和插值不等式, 可以推出

这表明

由于$ 3<p\le 4$, 故对任意$ a>0$, 有$ m(a,a)>-\infty$. 若$ a\le \frac{3}{2\alpha C^3(3)}$, 则根据 (2.1) 式可得

从而$ m(a,a)=0$. 若$ a > \frac{3}{2\alpha C^3(3)}$, 则存在$ \vec{u}\in S(a,a)$ 使得$ E_{0}(\vec{u}) < 0$. 基于$ \vec{u}\in S(a,a)$ 可知$ t^{2}\vec{u}(tx)\in S(a,a)$ 且成立

基于 (3.1), (3.2) 式和$ p\gamma_p > 2$ 可知当$ t>0$ 充分小时, 有$ E(t^2\vec{u}(tx))<0$. 因此, $m(a,a) < 0$.

引理 3.2 假设$ N=4$, $2<p\le 4$ 且$ a>0$. 则

(i) 若$ 0< a \le \frac{a_*}{\alpha}$, 则约束泛函$ E|_{S(a,a)}$ 不存在临界点;

(ii) 若$ 3<p\le 4$ 且$ a>\frac{a_*}{\alpha}$, 则方程组 (1.4) 存在一个正规化解$ \vec{v}\in S(a,a)$, 使得$ E(\vec{v})=m(a,a)$, 其中 $a_*$ 的值由 (2.4) 给出.

证 (i) 利用反证法, 假设$ \vec v\in S(a,a)$ 是方程组 (1.4) 的解, 则利用引理 2.1 可得

从而

综合上式和引理 3.1, 有

显然矛盾. 因此, 当$ a\le \frac{a_*}{\alpha}$ 时, 泛函$ E$ 在约束集合$ S(a,a)$ 上不存在临界点.

(ii) 令 $\{\vec{u}_{n}\}\subset{S(a,a)}$ 是 $E$ 的极小化序列. 利用对称递减重排 (详见文献 [17]), 不妨假定极小化序列$ \{\vec{u}_n\}\subset H^1_r(\mathbb{R}^4, \mathbb{R}^3)$, 且其每个分量均为非负、径向、递减的函数. 利用 (3.3) 式可得

其中

由于$ p > 3$, 故函数$ \min\limits_{t\in(0, \infty)}g(t)=-C(a)$. 于是,

因此, $\{\vec{u}_{n}\}$ 是$ H^1_{r}(\mathbb{R}^4,\mathbb{R}^3)$ 中的有界序列. 存在子列仍记为 $\{\vec{u}_{n}\}$ 和函数 $\vec{u}\in H^1_{r}(\mathbb{R}^4,\mathbb{R}^3)$ 使得

特别地, $u_i\ge 0$ ($i=1,2,3$) 均为径向函数.

我们断言: $u_{i}\not\equiv0$ ($i=1,2,3$).

事实上, 利用反证法, 假设存在$ i\in \{1,2,3\}$ 使得$ u_{i}=0$, 则由 (3.5) 可得$ \int u_{1,n}u_{2,n}u_{3,n}\to 0$, 从而

然而, 根据引理 3.1 可知当$ a> \frac{a_*}{\alpha }$ 时, $m(a,a)<0$. 显然矛盾. 因此, 我们的断言成立.

下面, 在对$ p$ 和$ \alpha$ 作相同假设的前提下, 我们考虑以下三分量变分问题

其中$ \gamma, \mu, s \ge 0$. 利用文献 [23] 中的耦合重排方法可得以下严格次可加不等式: 对任意$ 0<\gamma'<\gamma$,$ 0<\mu'<\mu$,$ 0<s'<s$, 成立

相关讨论亦见文献 [15]. 由于$ \{\vec{u}_n\}$ 是$ m(a,a)$ 的极小化序列, 故当$ 0<\bar{a}<a$ 且$ \|u_{3,n}\|^2_{2}\to \bar{a}^2$ 时, 有$ \|u_{1,n}\|^2_{2} \to a^2-\bar{a}^2$ 以及$ \|u_{2,n}\|^2_{2}\to a^2-\bar{a}^2$, 从而

这表明$ \{\vec{u}_n\}$ 是$ J(\sqrt{a^2 - \bar{a}^2},\sqrt{a^2-\bar{a}^2},\bar{a})$ 的极小化序列 (参见文献 [15]). 严格次可加不等式 (3.6) 排除了极小化序列发生二分现象的可能, 从而保证该序列在$ H^1_{r}(\mathbb{R}^4,\mathbb{R}^3)$ 空间中是预紧的. 由于$ \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\in H^1_{r}(\mathbb{R}^4,\mathbb{R}^3)$ 的各个分量均是径向函数, 结合平移不变性可知存在强收敛子列, 其极限$ \vec u$ 即为所求的正规化解.

综上, 当$ a>\frac{a_*}{\alpha}$ 时, 存在一个正的、径向对称的函数$ \vec{u}\in S(a,a)$ 达到$ m(a,a)$, 从而它是方程组 (1.4) 的正规化解.

定理 1.1 的证明. 综合引理 3.1 和 3.2 的结论, 即可完成定理 1.1 的证明.

接下来, 我们通过研究基态解的质量同步渐近性完成定理 1.2 的证明. 给定$ a>0$, 对任意$ (u_1,u_2,u_3)\in S(a,a)$, 令$ \|u_3\|_2=c>0$, 并定义

显然, $ D(a,a)< a$.

引理 4.1 假设$ N=4$, $3<p\le 4$ 且$ a >\frac{\sqrt{2}a_*}{\alpha}$. 若$ (u_{1,a},u_{2,a},u_{3,a})$ 是$ m(a,a)$ 的极小解, 并满足$ \min\limits_{1\le i\le3}\|u_{i,a}\|_2\ge \frac{a_*}{\alpha}$, 则当$ a \searrow \frac{\sqrt{2}a^*}{\alpha}$ 时,

此外, 当$ D(a,a) \searrow \frac{a_*}{\alpha}$ 时,

证 利用引理 3.2 和 (3.3) 式可得

令$ c:=\|u_{3,a}\|_2$, 则$ D(a,a)=\max\big\{\sqrt{a^2-c^2},c \big\}$. 若$ D(a,a)\searrow \frac{a_*}{\alpha}$ 且$ c\ge \sqrt{a^2-c^2}\ge \frac{a_*}{\alpha}$, 则有$ c\searrow \frac{a_*}{\alpha}$ 以及$ \sqrt{a^2-c^2} \searrow \frac{a_*}{\alpha}$, 从而$ a\searrow \frac{\sqrt{2}a^*}{\alpha}$. 因此, $a\searrow \frac{\sqrt{2}a^*}{\alpha}$ 是$ D(a,a)\searrow \frac{a_*}{\alpha}$ 的一个特例.

下面, 我们给出$ m(a,a)$ 的上界估计. 定义测试函数

其中$ w$ 是方程 (2.3) 的基态解. 利用$ \|w\|_{2}=a_*$, $\|\nabla w\|^2_2=2a^2_*$ 以及$ \|w\|^3_{3}=3a^2_{*}$ 可以推出

若$ D(a,a)\searrow \frac{a_*}{\alpha}$, 则$ a\searrow \frac{\sqrt{2}a_*}{\alpha}$, 从而$ 1-\frac{\alpha a}{\sqrt{2}a_*}<0$. 固定$ a$, 直接计算可得 $E(\vec{w}_{t})$ 的极小值出现在$ t_{a}\sim (a-\frac{\sqrt{2}a_*}{\alpha})^{\frac{1}{2(p-3)}}$ 处. 并且, 当$ \ a\searrow \frac{\sqrt{2}a^*}{\alpha}$ 时,

引理 4.2 假设$ N=4$, $3<p\le 4$ 且$ a>0$. 则当$ a\searrow \frac{\sqrt{2}a^*}{\alpha}$ 时, 有

证 根据引理 4.1 可知当$ a\searrow \frac{\sqrt{2}a^*}{\alpha}$ 时, 有$ m(a,a)\to 0$. 若$ \vec{u}_{a}\in S(a,a)$ 是$ E|_{S(a,a)}$ 的极小元, 则利用 (4.1) 式可得

因此, 当$ a\searrow \frac{\sqrt{2}a^*}{\alpha}$ 时, 有

引理 4.3 假设$ N= 4$, $3<p \le 4$ 且$ \alpha>0$. 则存在正的极小元$ \vec{u}^{TF}$ 满足$ E(\vec{u}^{TF})=m^{TF}(1,1)$, 其中$ m^{TF}(1,1)$ 的定义由 (1.4) 式给出. 并且, 该极小元$ \vec{u}^{TF}$ 是径向对称且非增的.

证 考虑 Thomas-Fermi 变分问题$ m^{\rm TF}(1,1)$. 令$ \varphi_i(x)=|u_{i}(x)| ^2$. 则该问题等价于

利用 Hölder 不等式和 Young 不等式可得

由于$ \sum\limits^{3}_{i=1}\int \varphi_i\le 2$, 有

因此, $m^{\rm TF}(1,1)$ 是良好定义的.

现考虑如下特殊形式的测试函数: 令

其中$ \Omega\subset\mathbb{R}^4$ 为 Borel 集 满足

且$ \rho_i>0$. 此时两个约束条件自动满足, 且由对称性可知$ \rho_1 = \rho_2$.

定义函数

不难验证$ f$ 在原点连续, 从而$ f$ 在有界区域$ \Omega$ 内存在最小值点$ (\rho_1,\rho_3)$. 记其最小值为$ A:=f(\rho_1,\rho_3)$. 则对任意$ s,t>0$, 有

并且等号在$ (s,t)=(0,0)$ 或$ (s,t)=(\rho_1,\rho_3)$ 时成立. 因此, 若取$ \varphi_i(x) = \rho_i \cdot \mathbf{1}_{\Omega}(x)$, 则 (4.3) 式为等式, 且该函数满足约束条件. 这说明形如$ \varphi_i(x)=\rho_i \cdot \mathbf{1}_{\Omega}(x)$ 的函数是变分问题 (4.2) 的一个极小元, 从而对应的$ \vec{u}^{\mathrm{TF}}$ 是$ m^{\mathrm{TF}}(1,1)$ 的极小解. 进一步, 利用对称性原理, 可取极小解$ \vec{u}^{\mathrm{TF}}$ 为径向对称且非增的.

此外, $m^{TF}(1,1)$ 的极小可达元$ \vec{u}^{TF}$ 满足以下 Euler-Lagrange 方程

其中$ \mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ 为对应的拉格朗日乘子.

引理 4.4 假设$ N=4$, $3<p \le 4$, 且$ \alpha, a>0$. 则存在方程组 (1.4) 的基态解$ \vec{u}\in S(a,a)$. 此外, 当$ a\to +\infty$ 时, 在子列的意义下, $\left(u_1(a^{\frac{1}{2}}x), u_2(a^{\frac{1}{2}}x),u_3(a^{\frac{1}{2}}x)\right)\to \vec{v}$ 于$ L^2(\mathbb{R}^4,\mathbb{C}^3) \textstyle\bigcap L^{p}(\mathbb{R}^4,\mathbb{C}^3)$, 其中$ \vec{v}$ 是$ E^{TF}$ 在约束集$ S(1,1)$ 的基态解.

证 取序列$ \{a_n\}\subset\mathbb{R}^+$ 满足$ a_n\to +\infty$, 并设$ \vec{u}_n\in S(a_n,a_n)$ 是$ m(a_n,a_n)$ 的径向对称极小解.

首先, 我们断言: 当$ n\to +\infty$ 时,

事实上, 利用 (3.3) 式可得

其中$ g$ 的定义由 (3.4) 式给出. 通过对函数$ g$ 取极小, 我们推导出

另一方面, 取$ (w,w,w)\in S(1,1)$ 满足$ E^{TF}(w,w,w)<0$. 定义

则$ \vec{w}_{a_{n}} \in S(a_{n},a_{n})$ 且

由于

故当$ n\to+\infty$ 时,

因此, (3.3) 式成立.

基于引理 2.1 和 (3.3) 式, 有

从而

利用 (4.4) 式可得当$ n \to +\infty$ 时,

因此, 有

结合上式和引理 2.1 可得

于是, 当$ n \to +\infty$ 时,

令

则有$ \|v_{1,n}\|^2_{2}+\|v_{3,n}\|^2_{2}=1$ 以及$ \|v_{2,n}\|^2_{2}+\|v_{3,n}\|^2_{2}=1$. 这意味着$ \vec{v}_{n}$ 是能量泛函

在$ S(1,1)$ 上的极小元. 并且, 当$ n \to +\infty$ 时, 有

其中$ \vec{v}_{n}$ 满足 Euler-Lagrange 方程

下面, 我们证明当$ n \to +\infty$ 时, 成立

显然, 对任意 $ \vec{z}\in S(1,1)$, 有

从而

反之, 根据引理 4.3 的证明, 取$ \vec{u}_{\infty}=\big(\rho_{1}\cdot \mathbf{1}_{\Omega}(x),\rho_{2}\cdot \mathbf{1}_{\Omega}(x), \rho_{3}\cdot \mathbf{1}_{\Omega}(x)\big)$ 是$ m^{TF}(1,1)$ 的极小值, 其中$ \Omega=B(0,1/\sqrt[4]{(\rho_1+\rho_3)\omega_{4}})$, $\rho_i>0$ 且$ w_{4}$ 表示$ \mathbb{R}^{4}$ 中的单位球面. 不妨假设$ \vec{u}_{\infty}\in S(1,1)$ 具有紧支集. 鉴于$ \vec{u}_{\infty}\not\in H^1(\mathbb{R}^4)$, 引入磨光子$ \eta_{\epsilon} \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^4, [0,1])$. 令

若$ 2\le q\le 4$, 则当$ \epsilon\to 0$ 时, $u^{\epsilon}_{i,\infty}\to u_{i,\infty}$ 在$ L^{q}$ 中强收敛, 从而$ E^{EF}(\vec{u}_{\infty})=E^{EF}(\eta_{\epsilon} \ast \vec{u}_{\infty})+o_{\epsilon}(1)$. 再令

其中$ \tau_{i,\epsilon}>0$ 满足$ \|z^\varepsilon_{i,\infty}\|_2^2=\|u_{i,\infty}\|_2^2$ ($i=1,2,3$). 则$ \vec{z}^\varepsilon_{\infty} \in S(1,1)$, 且当$ \epsilon\to 0$ 时$ \tau_{i,\epsilon}\to 1$ ($i=1,2,3$). 令

利用 Fatou 引理可知$ A_{\varepsilon}\to +\infty$. 取子列$ \epsilon_k\to0$ 使得$ a_k := (A_{\epsilon_k})^{\beta}\to+\infty$, 其中$ \beta>1$. 则

因此, $m^{TF}(1,1)= \tilde{m}_{a_{n}}(1,1)$.

利用文献 [18,推论 6.1] 可知$ \{\vec{v}_n\}\subset \mathcal{A}$ 是$ m^{TF}(1,1)$ 的一个径向对称的 Palais-Smale 序列. 这意味着$ \{\vec{v}_n\}\subset \mathcal{A}$ 是$ m^{TF}(1,1)$ 的一个极小化序列. 利用插值不等式可知$ {\vec{v}_{n}}$ 在$ L^2(\mathbb{R}^4)\cap L^{p}(\mathbb{R}^4)$ 中有界. 根据 Strauss 引理, 存在$ C>0$ 使得

借助于 Helly 选择定理, 存在非负的径向对称非增函数$ v_{i}(|x|)\le U(|x|)$ 使得在子列的意义下, 有

由于对任意$ s\in (2, p)$ 均有$ U\in L^s$, 利用 Lebesgue 控制收敛定理可得

进而

于是,$ \|v_{1}\|^2_2+\|v_{3}\|^2_2\le 1$ 以及$ \|v_{2}\|^2_2+\|v_{3}\|^2_2\le 1$. 此外, $v_{i}\not\equiv 0$ $(i=1,2,3)$. 事实上, 若存在$ i\in \{1,2,3\}$ 使得$ v_{i}=0$, 则由 (4.6) 式可知

从而

显然矛盾. 因此, 在 (4.5) 式中令$ n\to\infty$, 则$ \vec{v}$ 满足

其中$ \mu_1,\mu_2\ge 0$ 为拉格朗日乘子. 并且, 我们建立如下 Pohozaev 型恒等式

下面, 我们证明$ \mu_1,\mu_2>0$. 首先, 根据$ \lambda_{1,a}+\lambda_{2,a}\sim 1$ 可知$ \mu_1,\mu_2$ 不可能同时为零. 现用反证法, 若$ \mu_1>0, \mu_2=0$, 则利用方程 (4.7) 可得

结合上式和$ p>3$, 我们可以推出

显然不可能发生. 同理$ \mu_1=0,\mu_2>0$ 亦不可能. 因此, 我们有$ \mu_1,\mu_2>0$, 进而

综上,$ \vec{v}\in S(1,1)$ 且$ \lim\limits_{n\to \infty}E(\vec{v}_{n})=E^{TF}(\vec{v}).$

定理 1.4 的证明. 结论 (i) 可由引理 4.1 与 4.2 直接得到, 而结论 (ii) 可由引理 4.4 直接得到.