本文研究如下 Schrödinger-Poisson 系统的驻波解

其中 $p\in(4,6)$, $\psi:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{C}$ 是一个依赖时间的波函数, $x\mapsto E(x)$ 是一个实值的外势函数, i 是虚数单位. 函数 $\phi$ 表示波函数 $\psi$ 的非局部自相互作用内势. 系统 (1.1) 在物理学中具有重要意义, 涉及量子力学以及半导体理论等, 具体参见文献 [8],[11],[20],[23],[26],[27],[30].

系统 (1.1) 的驻波解行式为 $\psi(x,t)=\mathrm{e}^{-{\rm i}\omega t}u(x)$, 其中 $\omega\in \mathbb{R}$. 把上述表达式代入系统 (1.1), 则可以得到如下与时间 $t$ 无关的 Schrödinger-Poisson 系统

其中 $V(x)=E(x)+\omega$. 在文献 [9] 中, 作为描述孤立波的模型, 诸如 (1.2) 式这样的系统用来表示 Schrödinger 型非线性稳态方程与静电的相互作用. 系统 (1.2) 是一个非局部问题, 这在数学上带来了一定困难, 引起了许多学者的兴趣. 在过去的三十年里, Schrödinger-Poisson 系统 (1.2) 已有许多研究结果, 特别是关于非平凡解, 基态解和变号解的存在性与不存在性, 半经典态以及解的集中现象等, 参见文献 [1],[4],[5],[6],[12],[16],[18],[24],[29],[33],[35],[36] 等.

特别地, 带有强制位势 (即 $\lim\limits_{|x|\rightarrow \infty}V(x)=+\infty$) 的系统 (1.2) 已被许多学者研究, 参见文献 [35],[36],[17]. 一类特殊的强制位势是调和位势, 即 $V(x)=\omega_1x_1^2+\omega_2x_2^2+\omega_3x_3^2$, 其中 $\omega_i\neq 0$, $i=1,2,3$. 在文献 [25] 中, Luo 和 Ye 研究了带有调和位势的 Schrödinger-Poisson 系统正规化驻波解的多重性, 稳定性以及其它性质.

另一方面, Antonelli 等在文献 [3] 中考虑了带有部分调和位势的非线性 Schrödinger 方程. 他们研究了如下方程解的大时间行为,

其中 $d\geq 2$, $1\leq n\leq d-1$, $\lambda\in \mathbb{C}$ 且 $\sigma>0$. 在文献 [3] 中, 方程 (1.3) 中的位势项是 Bose-Einstein 凝聚背景下磁阱的标准模型. 如果在某些方向上去掉约束可以使凝聚体渐近自由演化, 而且不需要在所有方向上都去掉约束. 还有可能保持与线性哈密顿量 $H$ 相关的线性约束的一些性质. 在文献 [7] 中, Bellazzini 等人研究了如下带有部分调和位势的非线性 Schrödinger 方程正规化解的存在性

并且满足如下质量约束

其中 $u\in H^1(\mathbb{R}^3,\mathbb{C})$, $\frac{10}{3}<p<6$, $c>0$ 是常数, $(u,\lambda)$ 是一对未知量, 且 $\lambda$ 是 Lagrange 乘子. 他们使用集中紧原理证明了方程 (1.4)-(1.5) 正规化解的存在性, 而且该解关于 $(x_1,x_2)$ 和 $x_3$ 方向平移意义下是径向对称且递减的. 随后, Wei 和 Wu 在文献 [34] 中表明对于足够小的 $c>0$, 方程 (1.4)-(1.5) 还存在第二个正解, 且是一个山路解.

最近, Shan 等在文献 [31] 中研究了如下带有部分调和位势的 Schrödinger-Poisson 系统

其中 $p\in(2,6)$, $\lambda>0$ 是一个参数. 他们研究了系统 (1.6) 解的存在性与不存在性.

受上述文献启发, 该文研究了如下带有部分调和位势以及临界增长的 Schrödinger-Poisson 系统解的存在性

其中 $p\in (4,6)$. 关于具有临界增长的非线性 Schrödinger-Poisson 系统的其他研究成果参见文献 [15],[22],[28],[37]. 在阐述主要结果之前, 我们先给出一些符号.

在这篇文章中, 记空间 $L^q(\mathbb{R}^3)\ (q\in[2,6])$ 的范数为

记

它的范数为 $\|u\|_{D^{1,2}}:=(\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2 \mathrm{d}x)^{\frac{1}{2}}$. 记 $\mathcal{H}$ 是赋予如下内积和范数的 Sobolev 空间

那么, 由文献 [7,引理 2.1] 可得嵌入 $\mathcal{H}\hookrightarrow H^1(\mathbb{R}^3)$ 是连续的. 对于任意 $u\in \mathcal{H}$, 定义

$\phi_u(x)$ 是方程 $-\Delta \phi=u^2$ 在空间 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 中的唯一解. 因此, 系统 (3.9) 可以转换为如下单个方程

定义方程 (1.8) 对应的能量泛函为 $I: \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{R}$,

泛函 $I$ 在空间 $\mathcal{H}$ 中有意义并且 $I\in \mathcal{C}^1(\mathcal{H},\mathbb{R})$. 此外, 如果 $u\in \mathcal{H}$ 是方程 (1.8) 的一个弱解, 则 $u$ 满足 Nehari 等式 $J(u)=0$, 其中

本文的第一个结果是方程 (1.8) 正基态解的存在性, 具体内容如下.

定理1.1 假设 $p\in (4,6)$, 则方程 (1.8) 有一个正基态解.

定理 1.1 主要用变分方法证明, 其主要困难是由方程 (1.8) 在 $x_{3}$ 方向上平移不变以及临界增长引起的紧性缺失.

本文的第二个结果是方程 (1.8) 极小能量变号解的非存在性, 具体内容如下.

定理1.2 假设 $p\in (4,6)$, 则方程 (1.8) 没有极小能量变号解.

注1.1 Shan 等人证明了对于任意 $\lambda>0$, 系统 (1.6) 有无穷多高能量变号解. 而对于临界增长的情况, 方程 (1.8) 是否有高能量变号解是未知的.

本文的结构安排如下: 第 2 节给出了一些预备知识. 第 3 节详细证明了定理 1.1. 第 4 节证明了定理 1.2.

首先, 根据 Hardy-Littleword-Sobolev 不等式 ([21,定理 4.3]) 给出关于非局部项 $\phi_{u}u$ 的一些性质, 具体如下.

引理2.1 (i) 存在正常数 $C$ 使得

(ii) 假设在空间 $\mathcal{H}$ 中, $u_n\rightharpoonup u_0$, 则

接下来介绍一个极小化序列在 $x_{3}$ 方向上平移意义下的非消失引理.

引理2.2^{[7,引理 3.4]} 假设 $\sup\limits_{n\geq 1}\|u_n\|<\infty$ 且存在 $\varepsilon_0>0$ 使得对于某个 $q\in (2,6)$ 有

则存在序列 $\{y_n\}\subset \mathbb{R}$ 使得在空间 $\mathcal{H}$ 中,

引理2.3 假设 $p\in(4,6)$. 则对于每一个 $v\in \mathcal{H}\setminus\{0\}$, 存在唯一的 $t_v>0$ 使得 $t_vv\in \mathcal{N}$, 且 $t_v$ 是函数 $h_v: \mathbb{R}_+\cup \{0\}\to \mathbb{R}$ 的唯一极大值点, 其中 $ h_v(t):=I(tv)$. 并且当 $J(v):=\langle I'(v),v\rangle<0$ 时, $t_v\in (0,1)$. 当 $J(v)>0$ 时, $t_v>1$.

证

对于每一个 $v\in \mathcal{H}\setminus \{0\}$ 都有

易知存在 $t_1>0$ 使得

且

. 又因为 $g_v(t)$ 在 $t\in[0,+\infty)$ 上连续, 由介值定理可得存在 $t_v>0$ 使得 $g_v(t_v)=0$.

下证唯一性. 假设存在另一个 $\bar{t}_v>0$ 使得 $g_v(\bar{t}_v)=0$ 且 $\bar{t}_v\neq {t}_v$. 则

并且

由此可以推出

显然, 这与 $\bar{t}_v\neq {t}_v$ 矛盾. 因此, $g_v(t)$ 在 $(0,+\infty)$ 上只有唯一零点.

另一方面,

则 $g_v(t)=th'_v(t)$. 结合上面对于函数 $g_v$ 的分析, 可以得到 $h_v$ 在 $(0,t_v)$ 上单调递增, 在 $(t_v,+\infty)$ 上单调递减. 所以, $t_v$ 是 $h_v$ 的唯一极大值点.

易知如果 $J(v)<0$ 则 $t_v\in (0,1)$; 如果 $J(v)>0$ 则 $t_v>1$.

接下来, 类似于文献 [19],[30],[38], 可以证明方程 (1.8) 弱解的正则性.

引理2.4 假设 $p\in (4,6)$ 且 $u$ 是方程 (1.8) 的一个弱解. 则对于某个 $\gamma\in (0,1)$, $u\in \mathcal{C}_{{\rm loc}}^{2,\gamma}(\mathbb{R}^3)$.

证 证明分为两步.

步骤 1 假设 $u$ 是方程 (1.8) 的一个非平凡弱解. 我们断言 $u\in L^\infty(\mathbb{R}^3)$.

对于任意 $l>0$, 记 $u_l^+:=\min \{u^+,l\}$. 对于任意 $x_0\in \mathbb{R}^3$ 和 $0<r<R<+\infty$, 假设 $\eta \in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 满足

因为 $u$ 是方程 (1.8) 的非平凡弱解, 所以, 对于任意 $s>0$, 都有

那么,

又因为

并且由 Cauchy 不等式可得

则结合 (2.1) 式可得

所以,

注意到

结合 (2.2) 式可以推出

又因为

则由 Sobolev 不等式可得

假设 $K_1>0$ 是一个待定的常数. 由 Hölder 不等式可证

显然,

则

那么, 取 $K_1=[2C_1(s+1)^2]^{\frac{1}{6-p}}[\int_{\mathbb{R}^3}(u^+)^6\mathrm{d}x]^{\frac{2}{3(6-p)}}$ 可得

然后结合 (2.3) 式, (2.4) 式以及 Hölder 不等式可得

令 $s=2$, 则下列不等式成立

又因为 $u^+\in L^6(\mathbb{R}^3)$, 则存在 $R_0>0$ 使得

令 $r=R_0$ 并且 $R=2R_0$, 结合 (2.5) 式可得

当 $l\rightarrow +\infty$ 时, 在 $\mathbb{R} ^3$ 上 $u_l$ 几乎处处收敛于 $u$, 则由 Fatou 引理可得

其中 $C_0>0$ 与 $x_0$ 无关. 类似于 (2.4) 式的证明, 当 $R<2R_0$ 时, 假设 $K_2>0$ 是一个待定的常数. 由 Hölder 不等式计算可得

又因为

则

此时取 $K_2=\left[4C^2_0C_1(s+1)^2\right]^{\frac{1}{8}}$, 那么

然后结合 (2.3) 式, (2.4) 式以及 (2.6) 式可得

从而可以推出

那么, 由 Fatou 引理可知

因此,

对于 $n\in \mathbb{N}_+$, 记 $r_n:=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^n})R_0$ 以及 $s_n:=3^n-1$. 从而, $2(s_{n+1}+1)=6(s_n+1)$. 则由 (2.7) 式可得

不失一般性, 假设 $C\geq 1$. 对任意 $n \in \mathbb{N}_+$, 下列不等式成立

由于 $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2\cdot 3^i}=\frac{1}{4}$, 以及

则

类似地, 可以得到

记

从而, 在 (2.8) 式中令 $n \rightarrow+\infty$, 可得

可以类似得到

注意到 $C_2$ 与 $x_0$ 无关. 因此,

步骤 2 对于任意 $\Omega\subset \subset\mathbb{R}^3$, 存在 $\Omega_1\subset \subset\mathbb{R}^3$ 使得 $\Omega\subset\subset\Omega_1$. 当 $3<q<6$ 时, 由 $u\in L^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 可得 $\phi_u u\in L^q(\Omega_1)$. 那么, 由 $L^p$ 估计可得

即 $u\in W^{2,q}(\Omega)$. 然后, 由 Sobolev 嵌入定理可知当 $\gamma\in(0,1-\frac{3}{q}]$ 时, $u\in \mathcal{C}^{1,\gamma}(\overline{\Omega})$. 由 $\Omega$ 的任意性可得 $u\in\mathcal{C}^{1,\gamma}_{{\rm loc}}(\mathbb{R}^3)$. 类似地, 当 $3<q<6$ 时, 由 $u\in L^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 可得 $\phi_u\in L^q(\Omega_1)$. 再由 $L^p$ 估计可以证明

则 $\phi_u\in W^{2,q}(\Omega)$. 那么, 由 Sobolev 嵌入定理可知当 $\gamma\in(0,1-\frac{3}{q}]$ 时, $\phi_u\in \mathcal{C}^{1,\gamma}(\overline{\Omega})$. 所以, $\phi_u\in\mathcal{C}^{1,\gamma}_{{\rm loc}}(\mathbb{R}^3)$.

前面已经得到 $u\in \mathcal{C}^{1,\gamma}(\overline{\Omega}_1)$ 且 $\phi_u\in \mathcal{C}^{1,\gamma}(\overline{\Omega}_1)$. 那么, $|u|^{p-2}u, |u|^4u\in\mathcal{C}^{\gamma}(\overline{\Omega}_1)$ 且 $\phi_uu\in\mathcal{C}^{\gamma}(\overline{\Omega}_1)$. 然后, 用 Schauder 估计有

因此, $u\in \mathcal{C}^{2,\gamma}_{{\rm loc}}(\mathbb{R}^3)$.

这一节主要证明方程 (1.8) 存在一个正基态解.

首先, 证明能量泛函 $I$ 具有山路结构.

引理3.1 假设 $p\in (4,6)$. 则 $I$ 具有山路结构, 即 $I$ 满足如下条件

(i) 存在 $r>0$ 和 $\alpha>0$ 使得对于任意 $||u||=r$ 都有 $I (u) \geq \alpha$ 并且对于任意 $0<\|u\|<r$ 都有 $I(u)>0$;

(ii) 存在 $e \in \mathcal{H}$ 使得 $||e||>r$ 且 $I (e) <0$.

证 因为嵌入 $\mathcal{H}\hookrightarrow H^1(\mathbb{R}^3)$ 是连续的, 具体参见 [7,引理 2.1], 所以,

其中

因此, 存在 $r$, $\alpha>0$ 使得对于任意 $\|u\|=r$, $I(u) \geq \alpha> 0$, 并且对于任意 $0<\|u\|<r$, 都有 $I(u)>0$.

取定 $u\in\mathcal{H} $ 满足 $u \neq 0$. 对于任意 $t> 0$, 有

显然, 当 $t \to \infty$ 时, $I(tu)\rightarrow-\infty$. 所以, 存在 $t_0$ 足够大使得 $\vert\vert t_0 u\vert\vert>r$ 且 $I(t_0u)<0$. 令 $e=t_0u$, 则 $I(e)<0$. 结合 $I(0)=0$ 可以得到 $I$ 有山路结构.

由引理 3.1, 可定义山路值

其中

那么, 存在一个 $(PS)_{c}$ 序列 $\{u_n\} \subset \mathcal{H}$ 满足当 $n \to \infty$ 时,

引理3.2 假设$4< p<6$. 则在空间 $\mathcal{H}$ 中, 上述 $(PS)_{c}$ 序列 $\{u_n\}$ 有界.

证 因为 $\{u_n\}$ 是 $I$ 的一个 $(PS)_{c}$ 序列, 所以,

并且

那么,

因此, 在空间 $\mathcal{H}$ 中, 序列 $\{u_n\}$ 是有界的.

引理3.3 如果山路值 $c$ 在如下范围内

其中 $S$ 是 Sobolev 不等式的最佳常数, 即

则存在一个序列 $\{z_{n}\}\subset\mathbb{R}$ 使得在空间 $ \mathcal{H}$ 中, $ u_n(x_{1},x_{2},x_{3}-z_{n})\rightharpoonup u_0\neq 0$.

证 我们断言对于某个 $q\in(2,6)$, 存在 $C>0$ 使得下列不等式成立

利用反证法证明上述断言. 假设对所有 $q\in(2,6)$ 都有

则由引理 2.1 可得存在一个子序列 (仍记为 $\{u_n\}$) 使得

结合 (3.4) 式和 (3.5) 式可得

且

记 $l_n=\|u_n\|^2$. 由引理 3.2 可得 $\{u_n\}$ 有界, 则在子序列意义下当 $n \to \infty$ 时, $l_n \to l\geq 0$. 若 $l=0$, 结合 (3.6) 式和 (3.7) 式可得 $I(u_n)=o_n(1)$. 这与 $c>0$ 矛盾. 若 $l>0$, 由 (3.7) 式可得

因此,

那么,

这与 $c<\frac{1}{3}S^{\frac{3}{2}}$ 矛盾. 所以, (3.3) 式成立. 因此, 由引理 2.2 可得存在序列 $\{z_{n}\}\subset\mathbb{R}$ 使得在空间 $ \mathcal{H}$ 中, $u_n(x_{1},x_{2},x_{3}-z_{n})\rightharpoonup u_0\neq 0$.

接下来验证山路值 $c$ 严格小于能量门槛 $ \frac{1}{3}S^{\frac{3}{2}}$, 其中 $S$ 的定义见 (3.2) 式. 由文献 [2] 可知

是 $S$ 的一个极小可达函数. 定义 $ U_\varepsilon (x):=\varepsilon^{-\frac{1}{2}}U\left(\frac{x}{\varepsilon }\right). $ 则

令 $\psi \in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 为一个截断函数满足对于常数 $R>0$, 当 $|x|\leq R$ 时, $\psi (x)=1$; 当 $R<|x|\leq 2R$ 时, $0\leq\psi(x)\leq1$ ; 当 $|x|>2R$ 时, $\psi(x)=0$. 设 $u_\varepsilon (x):=\psi (x)U_\varepsilon (x)$. 则直接计算可以得到下面的估计, 具体参见文献 [10] 以及 [13,引理 2.2].

引理3.4 当 $\varepsilon$ 足够小时, 如下估计成立.

且

引理3.5 假设 $4<p<6$. 则在 (3.1) 式中定义的山路值 $c$ 满足

证 由 $c$ 的定义可知只需证明如下不等式

记

由引理 2.3 可得存在唯一 $t_{\varepsilon }>0$ 使得 $t_{\varepsilon}u_{\varepsilon}\in \mathcal{N}$ 并且 $h_{\varepsilon}(t_{\varepsilon})=\max_{t\geq0}h_{\varepsilon}(t)$. 则下列等式成立

接下来证明当 $\varepsilon $ 足够小时, 存在与 $\varepsilon $ 无关的常数 $A_1$ 使得

事实上, 由 (3.8) 式可得

再由范数定义以及引理 3.4 可得

并且由 Hölder 不等式以及 Young 不等式可得

其中 $\delta$ 和 $C_{\delta}$ 都是正常数. 那么,

所以, 当 $\varepsilon $ 足够小时, 存在与 $\varepsilon $ 无关的正常数 $A_1$ 使得 $t_{\varepsilon }\geq A_1>0$ 成立.

另一方面, 由 (3.8) 式可得

因为

则由引理 3.4 可知

又因为 $u_{\varepsilon}$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上有紧支集, 则

那么, 结合 Cauchy 不等式可证

由此推出

因此, (3.9) 式成立.

另外, 由引理 2.1 可得

再结合 (3.9) 式, 引理 3.4 以及 $4<p<6$ 可得, 当 $\varepsilon $ 充分小时,

定理 1.1 的证明. 首先, 证明方程 (1.8) 有一个非平凡解. 由引理 3.3 和引理 3.5 可知存在一个序列 $\{z_{n}\}\subset\mathbb{R}$ 使得在空间 $ \mathcal{H}$ 中, $u_n(x_{1},x_{2},x_{3}-z_{n})\rightharpoonup u_0 \neq 0$. 记 $v_n(x_1,x_2,x_3):=u_n(x_1,x_2,x_3-z_n)$. 则对于任意 $q\in (2,6)$, 都有 $\|v_n\|_q=\|u_n\|_q$ 和 $\|v_n\|=\|u_n\|$. 并且

从而, $I(v_{n})=I(u_{n}) = c+o_n(1)$. 又因为 $I'(u_n) =o_n(1)$, 所以, 对于任意 $\varphi \in \mathcal{H}$, 都有 $\langle I'(u_{n}),\varphi(x_1,x_2,x_3+z_n)\rangle =o_n(1)$. 那么, $\langle I'(v_{n}),\varphi(x_1,x_2,x_3)\rangle =o_n(1)$. 因此, $\langle I'(u_0),\varphi\rangle =0$. 从而, $u_0$ 是方程 (1.8) 的一个非平凡弱解.

下面证明 $u_0$ 是方程 (1.8) 的一个基态解.

定义

其中

显然, $u_0 \in \mathcal{N}$. 所以, $\mathcal{N}\neq\emptyset$. 我们断言如下等式成立

其中 $c$ 在 (3.1) 式中定义. 接下来, 首先证明 $c_1 = c_2$. 由引理 2.3 可知对任意 $u \in \mathcal{H}\setminus \{0\}$, 存在唯一的 $t_u>0$ 使得 $t_uu\in\mathcal{N}$ 且 $I(t_u u)=\max\limits_{t\geq 0}I(tu)$, 则 $I(t_uu)\geq c_1$. 所以,

下证 $c_2\leq c_1$. 定义映射 $T:\mathcal{H}\cap S^1\to \mathcal{N}$ 为 $T(u)=t_uu$, 其中 $S^1=\{u\in\mathcal{H}:\ \|u\|=1\}$. 则映射 $T$ 是双射. 事实上, 注意到 $t_{u}$ 是唯一的, 并且 $t_{u}=1$ 当且仅当 $u\in \mathcal{N}$. 那么, 如果 $u\in \mathcal{N}$, 则 $\frac{u}{\|u\|}\in S_{1}$ 且 $T(\frac{u}{\|u\|})=u$. 所以, 映射 $T$ 是满射. 另一方面, 如果 $t_{u_1}u_{1}=t_{u_2}u_{2}$, 则 $\|t_{u_1}u_{1}\|=\|t_{u_2}u_{2}\|$. 又因为 $u_{1},u_{2}\in S_{1}$, 所以, $t_{u_1}=t_{u_{2}}$. 从而, $u_1=u_2$. 则 $T$ 是单射. 所以, 下列不等式成立

因此, $c_1=c_2$.

此外, 由 $c$ 和 $c_2$ 的定义可得 $c \leq c_2$. 下证 $c_1\leq c$. 流形 $\mathcal{N}$ 把空间 $\mathcal{H}$ 分成 $\mathcal{N}_1$ 和 $\mathcal{N}_2$ 两部分, 其中

$ \mathcal{N}_1:=\{u\in\mathcal{H}:\ \langle I'(u),u\rangle>0\}\cup \{0\},$ $\mathcal{N}_2:=\{u\in\mathcal{H}:\ \langle I'(u),u\rangle<0\}. $

由引理 2.3 可知对于 $u\in \mathcal{H}\setminus\{0\}$, 当 $0< t< t_u$ 时, $\langle I'(tu),tu\rangle> 0$. 则对于所有的 $u\in\mathcal{N}_1\setminus\{0\}$ 都有 $I(u)>0$. 再由 $\Gamma$ 的定义可得对于任意 $\gamma\in\Gamma$, 都有 $\gamma(0)=0\in\mathcal{N}_1$ 和 $\gamma(1)\in\mathcal{N}_2$. 所以, $\gamma\in\Gamma$ 穿过 $\mathcal{N}$, 则 $c_1\leq c$. 因此, 等式 (3.11) 成立.

所以, $I(u_0)=c$. 事实上, $u_0 \in \mathcal{N}$. 则下列等式成立

结合引理 2.1 可得

\begin{align*} c &\leq I(u_0)\!=\!I(u_0)-\frac{1}{p}J(u_0)\!=\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right)\|u_0\|^2+ \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{p}\right)\int_{\mathbb{R}^3}\phi_{u_0}u_0^2\mathrm{d}x+ \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{6}\right)\int_{\mathbb{R}^3} u_0^{6}\mathrm{d}x\\ &\leq \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right) \|v_n\|^2+ \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{p}\right)\int_{\mathbb{R}^3}\phi_{v_n}v_n^2\mathrm{d}x+ \left(\frac{1}{p}-\frac{1}{6}\right)\|v_n\|_{L^6}^6\right]\\ &= \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}I(v_n)= c. \end{align*}

那么, $u_0$ 是方程 (1.8) 的基态解.

现在, 还需证明方程 (1.8) 正基态解的存在性. 定义 $u_\ast=|u_0|$. 则 $I(u_\ast)=I(u_0)=c_1$ 且 $J(u_\ast)=J(u_0)=0$. 由 Lagrange 乘子法可知存在 $\beta\in\mathbb{R}$ 使得 $I'(u_\ast)=\beta J'(u_\ast)$. 那么,

又因为

所以, $\beta=0$. 因此, $I'(u_\ast)=0$, $u_\ast$ 是方程 (1.8) 的一个非负基态解. 由引理 2.4 可知, $u_\ast \in C^{2,\gamma}_{{\rm loc}}(\mathbb{R}^3)$. 再由强极大值原理 ([14,定理 3.5]) 可得, $u_\ast>0$.

这一节主要证明方程 (1.8) 的极小能量变号解的非存在性.

定理 1.2 的证明. 定义

其中 $u^+=\max \{u,0\}$, $u^-=\min \{u,0\}$. 类似于文献 [37,引理 7] 可得, 对于任意 $u\in \mathcal{H}$ 满足 $u^\pm \not= 0$, 都存在一对 $(s_n,l_n)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+$ 使得 $s_n v_n^++l_nv_n^- \in \mathcal{M}$. 因此, $\mathcal{M}\neq \emptyset$. 所以, 定义

接下来证明

注意到如果 $u \in \mathcal{N}$, 那么, $|u|\in \mathcal{N}$. 从而,

由稠密性可知对于每一个 $u \in \mathcal{N}$ 且 $u \geq 0$, 都存在非负序列 $\{u_n\}\subset C_0^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 使得在空间 $\mathcal{H}$ 中, $u_n \rightarrow u$. 并且对于每一个 $u_n$, 都存在唯一的 $t_n>0$ 使得 $t_nu_n \in \mathcal{N}$. 易知当 $n \rightarrow \infty$ 时, $t_n \rightarrow 1$. 由于 $t_n u_n \in \mathcal{N}\cap C_0^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 且 $t_nu_n \geq 0$, 则在空间 $\mathcal{H}$ 中, $t_nu_n \rightarrow u$. 所以,

因此, 对于任意 $\varepsilon>0$, 存在一个非负函数 $u\in \mathcal{N}\cap C_0^{\infty}(\mathbb{R}^3) $ 使得

不失一般性, 假设 $u$ 的支集包含在 $B_{R}(0)$ 中, 其中 $R$ 为某一正常数, 即

对于任意 $n \in \mathbb{N}^+$ 满足 $n>R$, 定义

则 $v_n^+=u(x_1,x_2,x_3+n)$ 且 $v_n^-=-u(x_1,x_2,x_3-n)$. 类似于文献 [37,引理 7] 可得存在一对 $(s_n,l_n)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+$ 使得 $s_n v_n^++l_nv_n^- \in \mathcal{M}$. 所以,

由此可以推出

因此,

类似于文献 [31,定理 1.2] 的证明可以得到, 当 $n \to \infty $ 时, 有

从而 $\{l_n\}$ 和 $\{s_n\}$ 有界. 由 $u \in \mathcal{N}$ 可得

所以, 结合 (4.2) 式和 (4.4) 式计算可得

则当 $n \to \infty $ 时, $s_n \rightarrow 1$. 类似地, 可以证明 $l_n \to 1$. 注意到 $s_nv_n^++l_nv_n^-\in \mathcal{M}$. 那么,

由 $\varepsilon$ 的任意性可得 (4.1) 式成立.

最后证明 $m$ 是不可达的. 使用反证法. 假设存在 $v \in \mathcal{M}$ 使得 $I(v)=m$, 则有

由引理 2.3 可得存在一个 $s_0 \in (0,1)$ 使得 $s_0 v^+ \in \mathcal{N}$. 类似地, 存在一个 $l_0 \in (0,1)$ 使得 $l_0 v^- \in \mathcal{N}$. 那么,

这与 (4.1) 式矛盾. 因此, $m$ 不可达.