本文研究如下拟线性薛定谔方程

其中 $V\colon \mathbb{R}^{N}\to \mathbb{R}$ 为连续函数, $N\geq 3$, $\kappa >0$ 为参数.

拟线性薛定谔方程在物理学中有着广泛的应用背景. 如方程

该方程在等离子体物理中描述振荡孤子不稳定性 (参见 [1,2]), 在超流体薄膜研究中描述振荡现象 (参见文献 [3]). 当 $\rho (s) = \log (1 + s)$ 时, 通过驻波变换 $z(t, x) = \exp (- {\rm i}Et)u(x)$, 我们得到方程 (1.1), 其中 $V(x) = W(x) - E$.

在拟线性薛定谔方程的研究中, 不同非线性项情形已得到广泛研究. Poppenberg、Schmitt 和 Wang^[4] 首次对次临界情形 $q\in (4, 22^{*})$ 获得存在性结果. Liu、Wang 和 Wang^[5] 通过变量替换和 Orlicz 空间框架, 使用山路定理得到了正解的存在性. Colin 和 Jeanjean^[6] 在 Sobolev 空间 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中研究了类似问题, 引入了变量换 $\nu = f^{- 1}(u)$. Ruiz 和 Siciliano^[7] 通过 Nehari 流形上的极小化方法讨论了基态解的存在性.

对于拟线性项参数 $\kappa$ 的研究, 多数工作集中于 $\kappa \leq 0$ 的情形. 当 $\kappa < 0$ 时, Brull、Lange 和 de Jager^[8] 研究了一维情形的拟线性薛定谔方程, 证明了驻波解的存在性^{[9], [10], [11], [12], [13]}; 2022 年 Die Hu 等^[14]探讨了带 Hardy 势的拟线性薛定谔方程, 在不同 $\mu$ 取值范围下, 分别得到了径向解和 $\mathrm{H}^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 空间中的解, 证明了解及其二阶导数在无穷远处的指数衰减性与原点处的爆破可能性, 并构造了一族随 $\mu \rightarrow 0$ 收敛到极限问题解的解序列; 2023 年 Hui Zhang 等^[15]针对无强制条件的 $\mathrm{V}$ 和无单调性条件的 $\mathrm{g}$, 借助新的摄动方法及下降流不变集方法, 解决了三次非线性 ($2< p< 4$) 情形下拟线性薛定谔方程的最少能量变号解与无穷多变号解存在性问题; 2025 年 Yiling Ma 和 Chen Huang^[16] 通过摄动方法结合全局紧性引理, 建立了解序列的全局分解形式, 证明了具有次立方增长非线性项和非紧势的拟线性薛定谔方程解的存在性.

然而, 对于 $\kappa >0$ 的情形, 研究成果相对较少, 主要困难在于传统的变量替换方法失效――当 $\kappa >0$ 时, 表达式 $1 - \kappa t^{2}$ 可能为负值, 导致能量泛函不再良定.

本文的主要动机是填补 $\kappa >0$ 情形下拟线性薛定谔方程研究的空白, 特别是针对对数非线性项这一具有物理意义和数学特性的模型. 我们旨在发展新的分析方法, 克服传统变量替换技术的局限性, 建立小参数范围内非平凡解的存在性理论.

我们假设位势 $V\colon \mathbb{R}^{N}\to \mathbb{R}$ 连续且满足

在此条件下, 我们证明了以下主要结果

定理1.1 假设 $(V_{0})$ 和 $(V_{1})$ 成立, 则存在 $\kappa_{0} > 0$, 使得对所有 $\kappa \in [0, \kappa_{0})$, 问题 (1.1) 存在一个非平凡解 $u$. 此外, $\max_{x\in \mathbb{R}^{N}}|u(x)|\leq \sqrt{\frac{1}{3\kappa}}$.

方程 (1.1) 对应的能量泛函为

从变分观点看, 首要困难是寻找合适的 Sobolev 空间, 因为上述泛函在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中不是良定的. 其次需要保证主部正定性, 即 $1 - \kappa u^{2} > 0$.

为证明主要结果, 我们首先建立修正的拟线性薛定谔方程非平凡解的存在性. 具体考虑

其中 $\kappa >0$, $g(t) = \sqrt{1 - \kappa t^{2}}$, $|t|< \sqrt{\frac{1}{3\kappa}}$.

显然, 当 $g(t) = \sqrt{1 - \kappa t^{2}}$ 时, (2.1) 式转化为 (1.1) 式. 通过 Morse 型 $L^{\infty}$ 估计, 我们将证明存在 $\kappa_{0} > 0$ 使得对所有 $\kappa \in [0, \kappa_{0})$, 所得解满足估计 $\max_{x\in \mathbb{R}^{N}}|u|< \sqrt{\frac{1}{3\kappa}}$, 从而该解是原问题 (1.1) 的解.

在空间 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中, 定义范数

由 $(V_{0})$ 和 $(V_{1})$, 此范数与 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 通常范数等价.

对于方程 (2.1), 我们考虑 $g: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ 定义为

令 $g(t) = g(-t)$ 对所有 $t \le 0$, 则 $g \in C^{1}(\mathbb{R}, ( \sqrt{\frac{1}{6}}, 1])$, $g$ 为偶函数, 在 $(-\infty, 0)$ 递增, 在 $[0, +\infty)$ 递减.

方程 (2.1) 对应于能量泛函

我们设 $G(t) = \int_{0}^{t} g(s)\mathrm{d}s$. 通过简单计算可知反函数 $G^{-1}(s)$ 存在且为奇函数. 此外, $G$, $G^{-1} \in C^{2}(\mathbb{R})$.

由洛必达法则以及函数 $g$ 的单调性可以得到函数 $g$ 和 $G^{-1}$ 的重要性质

引理2.1 设 $G(t) = \int_{0}^{t} g(s)\mathrm{d}s$, 则

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{G^{-1}(t)}{t} = 1$;

(2) $\lim_{t \to \infty} \frac{G^{-1}(t)}{t} = \sqrt{6}$;

(3) $t \le G^{-1}(t) \le \sqrt{6}\, t$, 对所有 $t \ge 0$;

(4) $-\frac{1}{2} \le \frac{t}{g(t)} g'(t) \le 0$, 对所有 $t \ge 0$.

现在作变量替换

我们注意到泛函 $J_{k}$ 可写为

由引理 2.1, $J_{k}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中良定, $J_{k} \in C^{1}(H^{1}(\mathbb{R}^{N}), \mathbb{R})$, 且

对所有 $v, \psi \in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$.

直接计算可得如下结果

引理2.2 若 $v \in C^{2}(\mathbb{R}^{N}) \cap H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 是 $J_{k}$ 的临界点, 则 $u = G^{-1}(v) \in C^{2}(\mathbb{R}^{N}) \cap H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 且是 (2.1) 式的经典解.

因此, 为找到 (2.1) 式的非平凡解, 只需证明下列方程存在非平凡解

本节证明方程 (2.6) 非平凡解的存在性.

引理3.1 存在 $\rho_{0}, a_{0} > 0$, 使得 $J_{k}(v) \geq a_{0}$ 对 $\|v\| = \rho_{0}$ 成立. 此外, 存在 $e \in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 使得 $J_{k}(e) < 0$.

证 由引理 2.1(3) 和 Sobolev 嵌入定理,

因此, 通过选择小的 $\rho_{0}$, 我们知道 $a_{0} = \frac{1}{2} \rho_{0}^{2} - C \rho_{0}^{4} > 0$, 所以 $J_{k}(v) \geq a_{0}$ 对 $\|v\| = \rho_{0}$.

为证明存在 $e \in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 使得 $J_{k}(e) < 0$, 固定 $\phi \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N}, [0,1])$ 满足 $\mathrm{supp} \phi = \bar{B}_{1}$, 由引理 2.1(3),

由于 $\log (1 + 6t^{2})\to \infty$ ( $t\to \infty$), 可得 $J_{k}(t\phi)\to -\infty$ ( $t\to \infty$). 因此, 结果由取 $e = t\phi$ 对足够大的 $t$ 得到.

作为引理 3.1 的结果, 我们可以应用文献 [9] 中的无 PS 条件的山路定理, 得到 PS 序列 $\{v_{n}\}$, 其中 $c_{k}$ 是泛函 $J_{k}$ 对应的山路水平, 即 $J_{k}(v_{n})\to c_{k}$ 且 $J_{k}'(v_{n})\to 0$ ( $n\to \infty$).

引理3.2 设 $\{v_n\} \subset H^1(\mathbb{R}^N)$ 是泛函 $J_\kappa$ 的 $(PS)_{c_\kappa}$ 序列, 即

则 $\{v_n\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 中有界.

证 由于 $\{v_{n}\} \subset H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 是 Palais-Smale 序列, 所以

此外, 对任何 $\psi \in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$, 有 $J_{k}'(v_{n})\psi = o(1)\|\psi\|$, 即

记 $u_n = G^{-1}(v_n)$, 则 $v_n = G(u_n)$. 由引理 2.1,

因此 $\|u_n\|_{H^1}$ 与 $\|v_n\|_{H^1}$ 等价. 我们证明 $\{u_n\}$ 有界.

第一步 利用 $J_k'(v_n)u_n = o(\|u_n\|)$.

取测试函数 $\psi = u_n$ 得

由于 $\nabla v_n = g(u_n)\nabla u_n$, 故 $\nabla v_n\cdot\nabla u_n = g(u_n)|\nabla u_n|^2$. 又因为 $1/g(u_n)\ge 1$ 且 $1/g(u_n)\le \sqrt{6}$, 于是

因为 $g(u_n)\ge 1/\sqrt{6}$, 所以

由 $J_k'(v_n)\to 0$ 知 $J_k'(v_n)u_n = o(\|u_n\|)$, 故

第二步 利用 $J_k(v_n)\to c_k$.

由 (3.1) 式得

代入 $|\nabla v_n|^2 = g^2(u_n)|\nabla u_n|^2 \le |\nabla u_n|^2$, 并注意到 $(1+u_n^2)\log(1+u_n^2)= u_n^2\log(1+u_n^2) + \log(1+u_n^2)$, 有

由于 $-\int_{\mathbb{R}^{N}} \log(1+u_n^2)\mathrm{d}x \le 0$, 且 $J_k(v_n)=c_k+o(1)$, 可得

第三步 导出矛盾.

将 (3.4) 和 (3.5) 式结合, 消去 $ \int_{\mathbb{R}^{N}} u_n^2\log(1+u_n^2)\mathrm{d}x$:

整理得

由于 $ \frac{1}{\sqrt{6}}-\sqrt{6} = -\frac{5}{\sqrt{6}} < 0$, $1-\sqrt{6}<0$, 左边为非正, 右边为 $o(\|u_n\|)$ 减去常数. 若 $\|u_n\|\to\infty$, 则左边负的二次项 (即 $-\frac{5}{\sqrt{6}}\int_{\mathbb{R}^{N}} |\nabla u_n|^2\mathrm{d}x + (1-\sqrt{6})\int_{\mathbb{R}^{N}} V u_n^2\mathrm{d}x$) 趋于 $-\infty$, 而右边仅为 $o(\|u_n\|)$ (线性阶), 矛盾. 因此 $\|u_n\|$ 必须有界, 从而 $\{v_n\}$ 在 $H^1$ 中有界.

由于 $\{v_{n}\}$ 是 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中的有界序列, 存在 $v_{k}\in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 和 $\{v_{n}\}$ 的子列 (仍记为自身) 使得 $v_{n}\rightharpoonup v_{k}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$, $v_{n}\to v_{k}$ 在 $L_{\mathrm{loc}}^{q}(\mathbb{R}^{N})$ 对 $q\in [2, 2^{*})$, $v_{n}(x)\to v_{k}(x)$ a.e. 在 $\mathbb{R}^{N}$.

引理3.3 $\{v_{n}\}$ 的弱极限 $v_{k}$ 是 $J_{k}$ 的非平凡临界点, 且 $J_{k}(v_{k})\leq c_{k}$.

证 我们首先证明 $v_{k}$ 是一个弱解. 为此, 必须证明 $J_{k}'(v_{k})\psi = 0$ 对所有 $\psi \in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$, 或等价地,

由于 $C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中稠密, 我们仅对 $\psi \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$ 证明最后一个等式. 对每个 $R > 0$, 我们考虑 $\psi_{R}\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$ 满足

由文献 [9], 存在 $z\in L^{q}(B_{2R}(0))$ 使得 $|v_{n}|\leq |z(x)|$ a.e. $x\in B_{2R}(0)$. 因此, $\frac{G^{-1}(v_{n})}{g(G^{-1}(v_{n}))} v_{n}\rightarrow \frac{G^{-1}(v_{k})}{g(G^{-1}(v_{k}))} v_{k}$ a.e. 在 $B_{2R}(0)$, 和

此外, 由引理 2.1 可得,

和

因此, 由 Lebesgue 控制收敛定理,

和

类似可证

和

现在, 上述极限与 $J_{k}'(v_{n})(v_{n}\psi_R) = o_{n}(1)$ 和 $J_{k}'(v_{n})(v_{k}\psi_R) = o_{n}(1)$ 结合, 可知

由此可得 $ \int_{B_{R}(0)}|\nabla v_{n} - \nabla v_{k}|^{2}\mathrm{d}x\rightarrow 0.$

由于 $R$ 是任意的且 $v_{n}\rightarrow v_{k}$ 在 $L_{\mathrm{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{N})$, 我们能够得到 $v_{n}\rightarrow v_{k}$ 在 $H_{\mathrm{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{N})$. 因此, $J_{k}'(v_{n})\psi \rightarrow J_{k}'(v_{k})\psi$ 对所有 $\psi \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$.

由于 $J_{k}'(v_{n})\psi = o_{n}(1)$, 所以 $J_{k}'(v_{k})\psi = 0$, $\forall \psi \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$. 因此, $v_{k}$ 是 $J_{k}$ 的临界点.

现在我们将证明 $v_{k} \neq 0$. 为此, 用反证法, 假设 $v_{k} \equiv 0$. 我们断言在这种情况下, $\{v_{n}\}$ 也是泛函 $J_{k, \infty}: H^{1}(\mathbb{R}^{N}) \to \mathbb{R}$ 的 Palais-Smale 序列, 其中

另一方面, 我们知道 $V(x) \to V_{\infty}$ 当 $|x| \to \infty$, $|G^{-1}(s)| \leq \sqrt{6} |s|$ 且 $v_{n} \to 0$ 在 $L_{\mathrm{loc}}^{2}(\mathbb{R}^{N})$, 因此

此外, 由于 $ \frac{|G^{-1}(s)|}{g(G^{-1}(s))} \leq 6|s|$, 可得

接下来, 我们断言对所有 $R > 0$, 以下消失情形不可能发生

假设 (3.14) 式发生, 则由 Lions 紧性引理见文献 [10,11], $v_{n} \to 0$ 在 $L^{q}(\mathbb{R}^{N})$, $\forall q \in (2, 2^{*})$. 结合引理 2.1, 我们推导出

和

现在, 使用极限

我们也有

因此,

这是一个矛盾, 因为 $c_{k}\geq a_{0} > 0$.

因此, $\{v_{n}\}$ 不消失且存在 $\alpha, R > 0$ 和 $\{y_{n}\} \subset \mathbb{R}^{N}$ 满足

设 $\tilde{v}_{n}(x) = v_{n}(x + y_{n})$, 由于 $\{v_{n}\}$ 是 $J_{k, \infty}$ 的 Palais-Smale 序列, 所以 $\{\tilde{v}_{n}\}$ 也是 $J_{k, \infty}$ 的 Palais-Smale 序列. 因此, 存在 $\tilde{v}_{k}\in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 使得在 $H_{\mathrm{loc}}^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中 $\tilde{v}_{n}\to \tilde{v}_{k}$, 且 $J_{k, \infty}'(\tilde{v}_{k}) = 0$.

此外, 由 (3.15) 式, 我们也有 $\tilde{v}_{k}\neq 0$. 此后, 不失一般性, 假设

结合 Fatou 引理可知

即 $J_{k, \infty}(\tilde{v}_{k})\leq c_{k}$.

现在, 如文献 [12] 中, 我们定义

则

和

由于 $J_{k, \infty}'(\tilde{v}_{k}) = 0$, 根据椭圆正则性, $\tilde{v}_{k}\in C^{2}(\mathbb{R}^{N})$. 因此, $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}J_{k, \infty}(\tilde{v}_{k, t})\right|_{t=1}=0$, 于是

设 $\gamma(t)(x) = \widetilde{v}_{\kappa, t}(x)$, 则

因此, $\gamma \in C([0, \infty), H^{1}(\mathbb{R}^{N}))$ 且

由 (3.17) 式,

因此, $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}J_{k, \infty}(\gamma(t)) > 0$ 对 $t\in(0, 1)$ 且 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}J_{k, \infty}(\gamma(t)) < 0$ 对 $t>1$, 这意味着

此外, 我们知道 $J_{k, \infty}(\gamma(t)) < 0$ 对足够大的 $t>1$. 于是, 由 $c_{k}$ 的定义,

这是一个矛盾. 因此, $v_{k}$ 是 $J_{k}$ 的非平凡临界点. 此外, 重复 (3.16) 式中的相同类型的论证, 我们有 $J_{k}(v_{k})\leq c_{k}$.

本节建立解 $v_{k}$ 的 $L^{\infty}$ 估计, 其中 $v_{k}$ 是引理 3.3 中得到的解. 由标准椭圆正则性理论 (参见文献 [13]), 我们知道 $v_{k}\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$. 然而, 为了证明我们的结果, 必须理解 $\|v_{k}\|_{\infty}$ 如何依赖于 $\kappa > 0$. 为此, 首先需要找到 $v_{k}$ Sobolev 范数的与 $\kappa > 0$ 无关的一致有界性.

引理4.1 解 $v_{k}$ 满足 $\|v_{k}\|^{2} \leq 8c_{k}$.

证 由于 $v_{k}$ 是 $J_{k}$ 的临界点, 我们有 $J_{k}'(v_{k})[G^{-1}(v_{k})g(G^{-1}(v_{k}))] = 0$. 即

另一方面, 由 $J_{k}(v_{k}) = c_{k}$, 我们有

现在, 考虑 $4 \times (4.2) - (4.1)$:

整理得

由引理 2.1(4), $-\frac{1}{2}\leq \frac{t}{g(t)} g'(t) \leq 0$, 因此 $2 - \left(1 + \frac{G^{-1}(v_{k})}{g(G^{-1}(v_{k}))} g'(G^{-1}(v_{k}))\right) \geq 2 - 1 = 1.$

此外, 注意

实际上, 由对数函数的性质, 存在常数 $C > 0$ 使得

因此, 结合引理 2.1(3) $|v_{k}|^{2}\leq |G^{-1}(v_{k})|^{2}\leq 6|v_{k}|^{2}$, 我们得到

由于 $V(x)\geq V_{0} > 0$, 且由 Sobolev 不等式, $ \int_{\mathbb{R}^{N}}|v_{k}|^{2}\mathrm{d}x\leq C\int_{\mathbb{R}^{N}}(|\nabla v_{k}|^{2} + V(x)|v_{k}|^{2})\mathrm{d}x$, 我们得到 $ 4c_{k}\geq \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{N}}(|\nabla v_{k}|^{2} + V(x)|v_{k}|^{2})\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\|v_{k}\|^{2}$. 即 $\|v_{k}\|^{2}\leq 8c_{k}$.

现在我们考虑泛函

并记 $d_{\infty}$ 为与 $P_{\infty}$ 相关的山路水平, 它与 $\kappa$ 无关. 由于 $J_{k}(v)\leq P_{\infty}(v)$, 我们推导出 $c_{k}\leq d_{\infty}$. 因此, 由引理 4.1, 解 $v_{k}$ 必须满足估计

引理4.2 存在常数 $C_{0} > 0$ (与 $\kappa$ 无关), 使得 $\|v_{k}\|_{\infty}\leq C_{0}\kappa^{-\frac{1}{4}}$, 其中 $\kappa \leq 6^{-\frac{1}{2\theta}}$, $\theta = \frac{2^{*} - 4}{4}$.

证 接下来, 我们记 $v_{k}$ 为 $v$. 对每个 $m\in \mathbb{N}$ 和 $\beta >1$, 固定 $A_{m} = \{x\in \mathbb{R}^{N}:|v|^{\beta-1}\leq m\}$, $B_{m} = \mathbb{R}^{N}\backslash A_{m}$, 和

注意 $v_{m}\in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$, $v_{m}\leq |v|^{2\beta-1}$, 且

在 (2.5) 式中使用 $v_{m}$ 作为测试函数, 我们推导出

由 (4.5) 式,

现在, 设

则 $w_{m}^{2} = v v_{m} \leq |v|^{2\beta}$, 且

因此,

则 (4.6) 与 (4.7) 式结合给出

由 (4.5)、(4.6) 和 (4.8) 式,

我们知道存在 $S > 0$ 使得

因此, 设 $\theta = \frac{2^{*} - 4}{4}$ 并选择 $\kappa^{\frac{2^{*} - 4}{4}}\leq \sqrt{\frac{1}{6}}$ 使得 $g(t)\geq \kappa^{\frac{2^{*} - 4}{4}}$, 由 (4.9)、(4.10) 式及引理 2.1(3) 可得

现在应用 Hölder 不等式, 我们得到

其中 $1/q_{1} + 2/2^{*} = 1$. 由于 $|w_{m}|\leq |v|^{\beta}$ 在 $\mathbb{R}^{N}$ 且 $|w_{m}| = |v|^{\beta}$ 在 $A_{m}$, 有

令 $m\rightarrow \infty$, 看到

固定 $\sigma = 2^{*} / (2q_{1})$ 和 $\beta = \sigma$ 在 (4.11) 式中, 得到

取 $\beta = \sigma^{2}$ 在 (4.11) 式中, 有

由 (4.12) 和 (4.13) 式,

取 $\beta = \sigma^{i}$ $(i = 1, 2, \ldots)$ 并迭代 (4.11) 式, 我们推导出 $\|v\|_{\sigma^{j} 2^{*}} \leq \sigma^{\sum_{i=1}^{j} \frac{i}{\sigma^{i}}} (6^{3/2}S^{2/2^{*}}$ $\kappa^{-\theta}\|v\|_{2^{*}}^{2})^{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{j} \frac{1}{\sigma^{i}}} \|v\|_{2^{*}}.$

因此, 由 (4.3)、(4.10) 式并取极限 $j\rightarrow +\infty$, 我们得到 $ \|v\|_{\infty} \leq \sigma^{\frac{\sigma}{(\sigma-1)^{2}}} (6^{3/2}\kappa^{-\theta}S^{4/2^{*}}$ $(8d_{\infty}))^{\frac{1}{2(\sigma-1)}} S^{1/2^{*}}(8d_{\infty})^{1/2} = C_{0}\kappa^{-\frac{1}{4}}, $其中 $\kappa < 6^{-\frac{1}{2\theta}}$, $\theta = \frac{2^{*} - 4}{4}$, $C_{0} > 0$ 与 $\kappa >0$ 无关.

结合第 2 节和第 3 节的论证与引理 4.2, 我们推导出引理 3.3 中建立的方程 (2.6) 的解 $v_{k}$ 满足 $\|v_{k}\|_{\infty}\leq C_{0}\kappa^{-\frac{1}{4}}$, 其中 $ \kappa \leq 6^{-\frac{1}{2\theta}}$. 取 $\kappa_{0} = \min \left\{6^{-\frac{1}{2\theta}}, \frac{1}{324C_{0}^{4}}\right\}$, 则对所有 $\kappa \in [0, \kappa_{0})$, 有 $\|G^{-1}(v_{k})\|_{\infty}\leq \sqrt{6}\|v_{k}\|_{\infty}\leq \sqrt{\frac{1}{3\kappa}}.$

因此, $u = G^{-1}(v_{k})$ 是方程 (1.1) 的经典解, 且满足估计 $ \max_{x\in \mathbb{R}^{N}}|u(x)|\leq \sqrt{\frac{1}{3\kappa}}$.