平均场博弈论 (Mean-Field Games) 研究具有海量参与者的微分博弈问题, 旨在刻画竞争环境下个体的最优决策行为. 该理论前期的奠基性工作来自于 Lasry 和 Lions 的一系列文献 [15], [16], [17], [18], 他们通过平均场极限推导出一对耦合的偏微分方程组; 几乎在同一时间, Huang, Caines 和 Malhamé 等也独立做了大量相关研究见文献 [10], [11], [12], [13], 并发展了纳什均衡的等价性原理.

考虑具有$ N$ 个参与者的博弈情形, 用$ X^t_i$ 表示第$ i$ 个参与者在$ t$ 时刻的状态 (state), 其演化由下列随机微分方程刻画

其中$ \alpha^i_t$ 是第$ i$ 个参与者施加的控制率, $B^i_t$ 是独立的经典布朗运动, $x_0$ 表示公共的初始状态. 假设所有的参与者具有相同的动力学与成本函数, 且每个个体的成本仅依赖于自身的状态以及其他个体的整体分布. 在此条件下, 当参与者数量$ N \to \infty$ 时, 系统的集体行为可由一个代表性个体的决策与整体分布来描述. 该代表性个体的总成本由以下能量泛函给出

其中$ L$ 为运行成本函数, $f$ 为与人口分布$ m_t$ 耦合的交互项, $G$ 为终端成本. 每个个体均寻求最小化自身的期望成本$ J(\alpha)$. 若定义哈密顿量$ H(x, p)$ 为$ L$ 的勒让德变换

根据 Lasry 与 Lions 的平均场极限理论, 寻找该博弈模型的纳什均衡点等价于求解如下耦合的偏微分方程组 (即平均场博弈系统)

其中$ v(t, x)$ 为代表性个体的值函数, $m(t, x)$ 为在时刻$ t$ 时全体参与者的状态分布密度. 方程组 (1.3) 中的第一个方程称之为 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程, 描述最优控制策略; 第二个方程称之为 Fokker-Planck-Kolmogorov 方程, 描述在所有个体均采取最优策略时的分布演化. 因此, 分析该博弈的均衡行为, 常转化为研究耦合方程组 (1.3) 解的存在性、正则性及其性质.

值得注意的是, 方程组 (1.3) 对应的稳态方程亦已吸引大量研究, 包括稳态解的存在性以及非平凡解的性质刻画见文献 [1], [3], [4]. 对于给定质量的封闭系统, 定义在平面有界区域上的一类二阶稳态平均场博弈方程可表示为以下形式

这里$ \Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是边界光滑的有界区域, $\nu$ 表示$ \partial\Omega$ 的单位外法线方向向量, $\lambda$ 表示的 Lagrange 乘子. 依据文献 [6] 的方法, 容易验证 (1.4) 式的解满足等式

因此, 方程 (1.4) 的解具有关系$ m= C\mathrm{e}^{-v}$, 其中$ C$ 是任意的正常数. 将其代回原方程 (1.4) 中, 即得

于是, 求解$ (1.4)$ 式的$ (v, m, \lambda)$ 等价于求解 (1.6) 式的$ (v, \lambda)$. 令$ \varepsilon = \frac{1}{\sqrt{p}}$, 并取$ C> 0$ 使得$ pC^p = \varepsilon^2$. 再令$ u = -pv$, 则方程 (1.6) 化为

当$ p \to \infty$ 时, 可得$ C = 1 + O(\varepsilon^2|\log\varepsilon |)$. 通过上述分析可知, 方程组 (1.7) 的一组解$ (u, \lambda)$ 蕴含着 (1.4) 式的一组解$ (m, v, \lambda)$. 基于这样的原因, 本文将运用构造的方式寻找方程组 (1.7) 的一类多峰解来说明 (1.4) 式的多峰解的存在性.

首先, 我们介绍定义在有界区域$ \Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上满足 Neumann 边值条件的格林函数$ G(x, y)$, 即以下方程的解

记该格林函数的正则部分为$ H(x, y) = G(x, y) + \frac{1}{2\pi}\ln|x - y|$, 则有$ \Delta H(x, y) = \frac{1}{|\Omega|}$. 本文的主要结果如下.

定理1.1 设$ \Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是一个具有光滑边界的有界区域, $m, k$ 是满足$ m \ge k > 1$ 的正整数. 当参数$ p: = 1/\varepsilon^2$ 充分大时, 则方程 (1.7) 存在解$ (u, \lambda)$ 满足

其中$ H(x, \xi_j)$ 是上述格林函数的正则部分, 且

这里当$ 1 \le j \le k$, $\xi_j \in \Omega$; 当$ k + 1 \le j \le m$, $\xi_j \in \partial \Omega$, 而$ \mathbf{P} =(\xi_1, \cdots, \xi_m) \in (\bar\Omega)^m$ 是非退化函数

的一个临界点, 即当 $\varepsilon \to 0$ 时

其中$ \nu$ 为边界$ \partial\Omega$ 的外法线方向向量. 常数$ \mu_j$ 由以下等式确定

定理 1.1 表明, 当$ p$ 充分大时, 方程 (1.7) 存在一类多峰解, 其集中点不仅分布于区域$ \Omega$ 内部, 也可能出现在边界$ \partial\Omega$ 上. 在定理 1.1 的证明中, 我们采用内-外粘接法: 将在集中点附近的部分称为内问题, 远离集中点的部分称为外问题, 通过分别求解并匹配得到原问题的解. 该方法已在文献 [5],[7],[14] 中成功应用.

在求解内、外问题时, 我们采用 Lyapunov-Schmidt 约化方法, 具体步骤如下

(1) 构造近似解. 首先利用 Liouville 方程的基本解构造方程 (1.7) 的近似解, 并借助 (1.8) 式中定义的格林函数处理边界条件;

(2) 建立线性理论. 因为分别求解内、外问题, 需分析相应线性算子的可逆性. 特别是当集中点位于边界时, 需通过边界拉直技巧, 将局部区域映射到半平面 $\mathbb{R}^2_+ = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2: x_2 \ge 0\}$;

(3) 将原问题分解为内、外问题. 利用已建立的线性理论, 分别求解内问题与外问题;

(4) 应用不动点定理. 在适当的函数空间中, 运用不动点定理得到原问题的解.

需要指出的是, 内、外问题并非完全独立: 内问题中包含外问题的信息, 外问题亦涉及内问题. 这种相互耦合关系是粘接方法中的一个主要技术难点.

本文的另一技术难点在于误差项包含 $|\nabla u|^2$, 这要求我们对 $\nabla u$ 进行估计. 为克服这一困难, 我们采用带 Neumann 边值条件的格林函数, 将解表示为格林积分形式, 然后进行估计.

本文结构如下: 在第 2 节中, 我们首先构造方程 (1.7) 的近似解, 并利用有界区域上的格林函数处理边界条件; 第 3 节分别建立内、外问题对应的线性算子可解性理论; 在第 4 节中, 将原问题分解为内、外问题, 利用线性算子的可解性, 分别给出内、外问题的可解性条件; 最后一节通过内-外粘接法完成定理 1.1 的证明.

本节将给出方程 (1.7) 的近似解, 为此我们首先考虑如下 Liouville 问题

其全部的解可以表示为

其中$ \xi \in \mathbb{R}^2$, $\mu> 0$ 以及$ \varepsilon> 0$, 而

取$ \bar\Omega$ 中的$ m$ 个互不相同的点$ \xi_j$, 以及正整数$ 0< k \le m$ 使得, 当$ 0< j \le k$ 时, $\xi_j \in \Omega$; 当$ k< j \le m$ 时, $\xi_j \in \partial \Omega$. 另取$ m$ 个的正参数$ \mu_j$($ j =1, \cdots, m$), 其具体取值将在后文确定. 我们首先将

作为方程 (1.7) 的近似解. 为了使$ u$ 满足 Neumann 边界条件, 引入投影算子$ P: C^{2, \alpha}(\bar\Omega) \to C^{2, \alpha}(\bar \Omega), \alpha \in (0, 1)$. 对于任意的$ u \in C^{2, \alpha}(\bar\Omega)$, 定义$ Pu$ 为下列边值问题的解

于是对任意的$ \xi \in \Omega$ 和$ \mu > 0$, 当$ \varepsilon \to 0$ 时,

这里$ H(x, \xi)$ 是定义在 (1.8) 式中的格林函数的正则性部分. 因此, 进一步取近似解为

选取$ \mu_j$ 使得

作变换$ y - \xi'_j = \frac{x - \xi_j}{\varepsilon}$, 我们接下来寻求方程 (1.7) 形如

的解. 令$ \lambda = 8\pi m \varepsilon^2 /|\Omega|$, 并将$ \bar{u}(y)$ 带入方程 (1.7) 可得$ \phi(y)$ 的方程

其中$ H^\varepsilon(y, \xi_j') = H(\varepsilon y, \varepsilon \xi_j')$, $\Omega_\varepsilon = \{y = x/ \varepsilon: x \in \Omega \}$. 因此, 为了证明定理 1.1, 说明方程 (1.7) 具有形如 (2.4) 式的解, 只需说明下列方程可解

正如前文所提到的那样, 我们将运用内-外粘接的方法求解方程 (2.6), 其关键性步骤是将原问题分解为内、外问题并分别求解, 我们将在下一节分析相应的线性算子的可解性理论.

本节将分别研究内算子与外算子的可解性. 对于内部区域, 我们将针对每个尖峰解进行单独分析. 具体地, 考虑以$ \xi_j$ 为中心、$\delta > 0$ 为半径的区域$ |x - \xi_j| \le \delta$, 其中$ \delta > 0$ 是一适当的正常数. 记$ \xi_j$ 为第$ j$ 个尖峰的中心, 作尺度变换$ y - \xi_j' =\varepsilon^{-1}( x - \xi_j)$, 则所考虑的区域变为$ |y -\xi'_j| < \delta/\varepsilon$. 当$ \varepsilon$ 充分小的时候, 我们所考虑的区域近似为全空间$ \mathbb{R}^2$, 为此在区域内, 我们考虑下列算子

为了简便起见, 在本节中, 我们省略掉下角标$ j$. 在内部区域, 我们定义内算子为

关于该算子, 我们有下述结果.

命题3.1^{[8,定理 1]} 设$ \xi \in \mathbb{R}^2$, 函数$ \phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 满足

则$ \phi$ 可表示为

其中$ c_0, c_1, c_2$ 为常数, 且

为分析算子在适当 Sobolev 空间中的可逆性, 我们引入以下函数空间. 对于$ \alpha \in (0, 1)$, 定义

以及

在$ X_{\alpha}$ 和$ Y_{\alpha}$ 上分别赋予范数

为简化记号, 在 (3.3)-(3.8) 式中取$ \mu = 1$ 和$ \xi = 0$ 并省略下角标$ \alpha$, 分别记$ Y_{\alpha, 0}$ 和$ X_{\alpha, 0}$ 为$ X_{\alpha}$ 与 $Y_{\alpha}$, 并且记 $\|\cdot\|_{**, \xi}$ 和$ \|\cdot\|_{*, \xi}$ 为$ \|\cdot\|_{**}$ 和$ \|\cdot\|_{*}$. 根据文献 [2,引理 2.2] 可知, 算子$ \bar{L}: Y_{\alpha} \to X_{\alpha}$ 有界, 且其像集是$ X_{\alpha}$ 中的一个闭集. 该像集可具体表示为

运用该结果, 我们得到如下引理

引理3.1 设$ \alpha \in (0, 1/2)$. 若$ h(y) \in X_{\alpha}$ 满足正交性条件

则方程

存在唯一解$ \phi = \mathcal{T}[h]$, 并且满足估计

其中$ C> 0$ 为与$ \phi$ 无关的常数. 因此, $\mathcal{T}$ 定义了从$ X_{\alpha}$ 到$ Y_{\alpha}$ 的一个有界线性算子.

证 根据文献 [2,引理 2.2] 的结论, 算子$ \bar L: Y_{\alpha} \to X_{\alpha}$ 有界, 且其像集为$ X_{\alpha}$ 中的闭子空间, 具体形式为

因此, 对于任意的$ h \in \text{R}(\bar{L})$, 方程 (3.11) 存在唯一解$ \phi \in Y_{\alpha}$.

下面证明估计式 (3.12). 采用反证法. 假设结论不成立, 则存在一列函数$ \{h_n\} \subset X_{\alpha}$ 及相应的解$ \{\phi_n\} \subset Y_{\alpha}$, 使得$ \|\phi_n\|_{*} = 1$ 和$ \|h_n\|_{**} = o(1) (n \to \infty)$. 选取子列 (仍记为$ \{(\phi_n, h_n)\}$) 并运用爆破分析由 $\|\phi_n\|_{*} = 1$ 可知, 存在点列$ \{y_n\} \subset \mathbb{R}^2$ 使得$ |\phi_n(y_n)| \ge \frac{1}{2} \log(1+|y_n|)$. 考虑缩放序列$ \tilde{\phi}_n(y) = \phi_n(y + y_n)$ 与$ \tilde{h}_n(y) = h_n(y + y_n)$. 通过紧性论证, 并利用方程的一致椭圆性, 可推知在$ C^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2)$ 意义下, $\tilde{\phi}_n$ 收敛到某个函数$ \phi_0$, 满足极限方程

根据引理 3.1, 方程 (3.14) 的唯一解为$ \phi_0 \equiv 0$. 因此, 在原尺度下, $\phi_n \to 0$ 于$ C^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2)$. 现回到原方程, 将方程重写为

由$ \|\phi_n\|_{*} = 1$ 及$ \|h_n\|_{**} = o(1)$ 可知, 对任意 $y \in \mathbb{R}^2$,

利用格林函数表达式可得, 对任意 $z \in \mathbb{R}^2$, 有

但这意味着$ \|\phi_n\|_{*} = o(1)$, 与假设$ \|\phi_n\|_{*} = 1$ 矛盾. 因此估计式 (3.12) 成立.

引理 3.1 给出集中点在区域内部的线性算子的可解性, 接下来我们考虑集中点落在边界的情形. 此时, 可利用边界拉直技巧将问题转化为半空间上的问题, 相应的线性算子也将定义在半空间上. 因此, 我们考虑的线性算子也将定义在半空间上. 记$ \mathbb{R}^2_{+} = \{(y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2, y_2\ge 0\}$, 并定义函数空间

和

其相应的范数分别定义为

关于半空间上的问题, 我们有以下主要结果.

引理3.2 设$ \alpha \in (0, 1/2)$. 若$ h(y) \in X_{\alpha, H}$ 满足正交性条件

则 Neumann 边值问题

存在唯一解$ \phi = \mathcal{T}_{H}[h] \in Y_{\alpha, H}$, 且满足估计

其中常数$ C > 0$ 与$ \phi$ 无关. 因此, $\mathcal{T}_H$ 定义了从$ X_{\alpha, H}$ 至$ Y_{\alpha, H}$ 的一个有界线性算子.

证 对任意的$ h \in X_{\alpha, H}$, 我们将其偶延拓到全空间上. 定义

易见$ \bar h \in X_{\alpha, H}$. 由延拓方式 (3.21) 及条件 (3.18) 可得

以及

其中后一个等式利用了被积函数$ y_2\bar h(y)$ 关于$ y_2$ 为奇函数的性质. 结合引理 3.1 可知方程

存在唯一解$ \bar\phi = \mathcal{T}[\bar h] \in Y_{\alpha}$, 且满足估计式$ \|\bar{\phi}\|_{*} \le C \|\bar{h}\|_{**}$. 由 $\bar{h}$ 的构造可知, $\bar{h}$ 关于 $y_2$ 是偶函数, 而方程中的位势项 $\frac{8}{(1+|y|^2)^2}$ 也是偶函数, 根据解的唯一性, 可推知 $\bar{\phi}$ 关于 $y_2$ 同样为偶函数. 现在, 将 $\bar{\phi}$ 限制在 $\mathbb{R}^2_+$ 上, 定义 $\phi(y) = \bar{\phi}(y)$ (当 $y_2 \ge 0$). 由于 $\bar{\phi}$ 是偶函数, 其在 $y_2=0$ 处的法向导数自动为零

因此, $\phi$ 满足半空间上的方程 (3.19) 及 Neumann 边界条件. 此外, 由 $\bar{\phi} \in Y_{\alpha}$ 可得 $\phi \in Y_{\alpha, H}$, 且范数估计成立

取$ \phi = \mathcal{T}_{H}[h]$, 即完成了引理的证明.

接下来, 我们转向外问题的线性理论. 正如前文所介绍的, 外问题的解是原问题的解剥离了所有尖峰的部分所剩余的, 因此外问题的算子将被定义在$ \Omega_\varepsilon$ 上. 我们定义外问题的线性算子为

定义在$ \Omega_\varepsilon$ 上的函数空间为

其对应的范数定义为

对于该算子, 我们有下面的结果.

引理3.3 设常数$ 0 < b < 4$. 若$ h \in Y_{b+2, o}$, 则 Neumann 边值问题

存在唯一解$ \phi = \mathcal{T}^o[h] \in Y_{b, o}$, 且满足估计

其中$ C> 0$ 与$ h$ 无关. 因此, $\mathcal{T}^o[h]$ 定义了一个从$ Y_{b+2, o}$ 到$ Y_{b, o}$ 上的有界线性算子.

证 我们采用上下解方法证明. 构造辅助函数

其中常数$ C_1 > 0$ 待定. 记$ w_j= (\mu_j^2 + |y - \xi_j'|^2)^{-b/2}$, 直接计算可得

于是

在尖峰$ \xi_j'$ 附近, 主要项来自$ l = j$ 部分. 利用$ 0 < b < 4$, 可得存在常数$ c_0 > 0$ 使得

在远离所有尖峰的区域, 其导数衰减足够快, 通过选取充分大的$ C_1 > 0$, 则上述不等式仍然成立.

考虑边界条件. 当$ \xi'_j$ 位于区域内部时, 由于边界距离尖峰中心至少为$ O(\varepsilon^{-1})$, 计算可得

若$ \xi'_j$ 位于边界附近, 通过局部拉直边界, 类似可得$ \frac{\partial w_j}{\partial \nu} = O(\varepsilon^{b+2})$.

为满足齐次 Neumann 条件, 引入修正项$ w_0$ 使其满足

由椭圆正则性理论, 可得$ \|w_0\|_{L^\infty} \le C \varepsilon^{b+2}$.

令$ \tilde{w} = w + w_0$, 则$ \tilde{w}$ 满足齐次 Neumann 边界条件, 且存在常数$ C_1$ 使得

由假设,

因此当$ C_1$ 充分大时, 有

同理可构造下解$ -\tilde{w}$. 由上下解方法及极值原理可知, 问题 (3.25) 存在解$ \phi$ 满足$ |\phi| \le \tilde{w}$, 从而

即$ \|\phi\|_{o, b} \le C' \|h\|_{o, b+2}$. 解的存在性可直接由 Fredholm 二择性定理得到.

这一节我们将运用内-外粘接方法说明方程 (2.6) 可解. 记$ \delta = \inf_{l \neq j}|\xi_j - \xi_l|$, 并定义截断函数$ \eta_j(y) = \eta(|y - \xi_j|)$, 其中$ \eta \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$ 满足

显然, $\text{supp} \eta_j \subset B_{\delta/\varepsilon}(\xi_j')$, 且两两不相交. 我们将待求解$ \phi$ 分解为内解与外解的粘接形式

其中$ \gamma_1$ 和$ \gamma_2$ 为待定常数, $\phi_j$ 为第$ j$ 个尖峰附近的内解, $ \phi^o$ 为整体外解. 下面计算$ L[\phi]$ 的分解, 首先

其次, 势能项写为

将 (4.3) 与 (4.4) 式相加, 结合内、外算子的记号$ L_j$ 和$ L^o$ 可得

其中交叉项与截断产生的余项分别为

将分解式 (4.5) 代入原方程$ L[\phi]= h(y, \phi)$, 并利用截断函数的局部化性质, 可将问题 (2.6) 转化为如下耦合系统

这里$ h(y, \phi)$ 为定义在 (2.5) 式, $\Omega_\varepsilon= \{y = x/\varepsilon : x \in \Omega\}$. 方程组 (4.6) 将原问题分解为$ m$ 个内问题和一个外问题, 其中前$ k$ 个内问题在区域内部, 后$ m - k$ 个内问题在边界上. 接下来, 我们将借助第三章的线性理论分析方程组 (4.6) 的可解性.

首先, 我们考虑集中点在$ \Omega$ 内部的情形, 即$ 1 \le j \le k$. 为了书写的方便, 记

其中$ \xi_j'$ 是尖峰中心. 我们不直接求解方程组 (4.6) 中前$ k$ 个内问题, 而是考虑下面的问题

结合引理 3.1, 为了保证 (4.8) 式可解, 我们取$ c_{ij} = c_{ij}(\xi_1, \cdots, \xi_j)$ 使得积分等式

对所有的$ l =1, 2$ 和$ j= 1, \cdots, k$ 都成立. 方程可解的容许集为

空间$ X_{\alpha, \xi'_j}$ 和$ Y_{\alpha, \xi_j'}$ 的范数分别定义为

对上述参数给出如下假设

我们有下面的结果

命题4.1 设参数$ \gamma_1, \gamma_2, \alpha, b$ 满足 (4.12) 式, 且$ c_{ij}$ 由 (4.9) 式确定, 则方程 (4.8) 在$ Y_j$ 中存在唯一解$ \phi_j$ 并满足估计式,

其中常数$ C>0$ 与$ \varepsilon$ 及$ \phi_j$ 无关.

证 结合引理 3.1, 只需验证$ \tilde{h}_j(y, \phi) \in X_{\alpha, \xi'_j}$, 即证$ \|\tilde{h}_j\|_{**, j}$ 有界. 由于$ \phi_j \in W^{2,2}_{loc}(\mathbb{R}^2) \cap C^1_{loc}(\mathbb{R}^2)$, 因此$ \phi_j, |\nabla \phi_j| \in L^\infty$. 直接计算可得

接下来, 分别估计$ I$, $II$ 和$ III$.

估计 $I$ 将$ h(y, \phi)\eta_j$ 分解为

对$ I_A$, 有

利用$ \phi_j, \nabla \phi_j \in L^\infty$ 及$ \nabla \phi^o \in L^\infty(\Omega_\varepsilon)$, 可得

对$ I_B$, 当$ |y - \xi'_j| \le \delta/\varepsilon $ 时,

注意到, 对任意的$ y \in \mathbb{R}^2$,

因此,

运用相同技巧, 对于任意的$ y \in \mathbb{R}^2$, 存在常数$ C> 0$ 使得

因此,

对于$ I_{BC}$, 对任意的$ y \in \mathbb{R}^2$, 我们有

这就推得

结合 (4.17)、 (4.20)、 (4.22) 和 (4.23) 式, 有

估计 $II$ 类似可得

估计 $III$ 由 (4.24) 和 (4.25) 式得

因此,

由 (4.9) 和 (4.26) 式知 $|c_{ij}| \le C$, 故

综上, $\|\tilde{h}_j\|_{**, j} \le C$, 故 $\tilde{h}_j \in X_{\alpha, \xi'_j}$. 由引理 3.1 及正交条件 (4.9) 知方程 (4.8) 在$ Y_j$ 中可解, 并且估计式 (4.13) 成立.

由于尖峰中心位于区域边界$ \partial \Omega$ 上, 需要通过坐标变换将边界局部拉直, 并在半空间$ \mathbb{R}^2_+$ 中研究内问题. 具体而言, 假设在尖峰中心$ \xi_j = (\xi_{1j}, \xi_{2j})$ 附近, 边界$ \partial \Omega$ 可以表示为$ x_2= \xi_{j2} + \rho(x_1 - \xi_{j1})$, 其中函数$ \rho(s)$ 满足条件$ \rho(0) = \rho'(0) = 0$. 并定义如下变换将变量$ (y_1, y_2)$ 映射为$ (z_1, z_2)$:

为了方便, 我们记变换算子为

在这种变换下,

因此,

其中,

在不致引起误会的前提下, 记$ z = P_{\xi'_j}y$, $\psi_j = P_{\xi_j'}\phi_j$ 以及$ \psi = P_{\xi'_j}\phi$. 因此, 当 $j=k+1, \cdots, m$, 问题 (4.6) 的内问题转化为

这里$ k+1 \le j \le m$. 类似于前面的思想, 我们考虑下面的问题

为了书写的方便, 这里记

定义解的容许集为

由引理 3.2 和命题 4.1 中的分析, 以及$ \|N(z, P_{\xi_j'}\phi)\eta_H\|_{L^\infty(\mathbb{R}^2_+)} \le \varepsilon$, 可知存在一组$ c_{ij}= c_{ij}(\xi_1, \cdots \xi_m)$ 使得

对所有的 $l = 1, 2$ 以及 $j = k+1, \cdots, m$ 成立.

为了证明问题 (4.34) 的解的存在性我们需要下面的命题.

命题4.2 令$ P_{\xi'_j}$ 为 (4.29) 式定义的算子. 设 $h$ 的支集满足 $\text{supp}h(y) \subset B_{\delta/\varepsilon}(\xi_j')$, 其中 $\delta > 0$ 足够小, 则有

和

其中$ c, C > 0$ 且与$ \varepsilon$ 无关.

证 变换 $P_{\xi'_j}$ 将 $\Omega_\varepsilon$ 映射到 $\tilde{\Omega}_\varepsilon \subset \mathbb{R}^2_+$. 利用$ \rho(s)$ 的泰勒展开

可得当 $|y - \xi_j'| \le \delta/\varepsilon$ 时,

特别地, 变换在区域 $\Omega_\varepsilon$ 上是单射且满足

因此,

由上述估计, 存在常数$ c_1, c_2 > 0$ 使得当$ |y - \xi_j'| \le \delta/\varepsilon$ 时,

因此,

结合雅可比行列式的有界性, 可得

其中$ C = c_2^{2+\alpha}$. 同理可得反向不等式, 其中常数$ c = c_1^{2+\alpha}$. 因此 (4.39) 式成立.

接下来, 我们运用上述结论, 给出下面的结果.

命题4.3 设参数$ \gamma_1, \gamma_2, \alpha, b$ 满足 (4.12) 式, 且$ c_{ij}(j = k+1,\cdots, m)$ 由 (1.37) 式确定, 则方程 (4.34) 在$ Y_j$ 中存在唯一解$ \psi_j$ 并满足估计式,

其中常数$ C>0$ 与$ \varepsilon$ 及$ \phi$ 无关.

证 根据 Duhamel 原理, 我们将问题 (4.34) 分解为下列两个问题

和

这样$ \psi_j= \psi_j^1 + \psi_j^2$.

首先, 结合命题 4.1 和命题 4.2 的分析可知$ \|\tilde{h}_{j, H}\|_{**, H} \le C \|\tilde{h}_j\|_{**, j} \le C$, 根据引理 3.2 可知方程 (4.44) 存在唯一解 $\psi_j^1 = \mathcal{T}_H[\tilde{h}_H]$ 且

对于问题 (4.45), 注意到方程

在$ H^1(\mathbb{R}^2_+)$ 中只有零解, 具体证明可参考引理 3.2, 将半空间延拓全空间. 由 Fordham 二择性定理可知, (4.45) 式存在一个解$ \psi_j^2 = T[\psi_j]$. 由于$ \rho'(z) = \varepsilon \rho''(0)z +O(\varepsilon^2|z|^2)$. 类似于引理 3.3 的技巧, 可得

因此, $\|\psi_j^2\|_{*, H} \le C \varepsilon \|\psi^1_j\|_{*, H}$.

结上所述, 问题 (4.34) 存在唯一解, 且

由上面的分析, 结合算子 $P_{\xi_j'}$ 是一个可逆算子, 我们立即有下面的结论.

推论4.1 设参数$ \gamma_1, \gamma_2, \alpha, b$ 满足 (4.12) 式, 且$ c_{ij}(j = k+1,\cdots, m)$ 由 (4.37) 式确定, 则方程

存在唯一的解 $\phi_j = P^{-1}_{\xi_j'}\psi_j \in Y_j$, 这里$ j = k+1, \cdots, m$. 并且, 结合引理 4.2,

对于外问题, 我们直接考虑下面的问题

定义空间为

命题4.4 设参数$ \gamma_1, \gamma_2, \alpha, b$ 满足 (4.12) 式, 则方程 (4.48) 在$ Y_{b, o}$ 中存在唯一解$ \phi^o$ 并满足估计式,

其中常数$ C>0$ 与$ \varepsilon$ 及$ \phi^o$ 无关.

证 根据引理 3.3, 只需验证对某个正常数$ b > 0$ 和$ C > 0$, 有$ \|\tilde{h}^o\|_{b+2, o} < \infty$. 事实上, 取$ b> 0$ 较小, 容易得到

这里, 我们仅考虑误差项$ F(y, \phi)$. 注意到, $\phi_j \in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 且是内问题的解, 因此,

另一方面, 由于$ |\nabla \eta_j| \le C \varepsilon$, 因此,

进一步, 对任意的$ y \in \Omega_\varepsilon$, $|\nabla \phi_j \cdot \nabla \eta_j| \le C \varepsilon^2$, 因此

类似的, 注意到$ |\Delta \eta_j| \le C \varepsilon^2$, 可得

由 (4.12), (4.51) 和 (4.52) 式可得

本章中, 我们将运用第 4 章的结果, 结合不动点定理完成定理 1.1 的证明. 考虑如下方程组:

根据命题 4.1、推论 4.1 以及命题 4.4, 可知若系数 $c_{ij},(j=1, \cdots, m; i=1, 2)$ 满足 (4.9) 和 (4.37) 式, 则算子 $L_j$ 和 $L^o$ 均可逆, $\phi_j$ 和 $\phi^o$ 可表示为

我们将解 $\phi$ 的分解写成向量形式 $\vec{\phi} = (\phi_1, \cdots, \phi_m, \phi^o)$, 并定义算子

于是, 求解原方程组等价于寻找 $\mathcal{A}$ 在适当空间中的不动点. 为此引入空间

其范数定义为

容易看出, $\mathcal{A}$ 是 $Y$ 到自身的一个连续线性算子. 接下来, 我们将证明 $\mathcal{A}$ 在空间 $Y$ 上存在不动点.

引理5.1 对任意 $\mathbf{P}\in (\bar{\Omega})^m$ 满足 $|\nabla\varphi(\mathbf{P})| \le C$, 且存在一组系数 $c_{ij}\;(i=1,2;\,j=1,\dots,m)$ 使得方程组 (4.9) 和 (4.37) 成立, 则方程 (5.1) 在球 $\{\|\vec{\phi}\|_Y \le 1\}$ 中存在唯一解.

证 首先, 由命题 4.1 和推论 4.1 可得

以及命题 4.4 可得

因此 $\|\mathcal{A}(\vec{\phi})\|_Y \le 1$.

下证 $\mathcal{A}$ 为压缩映射. 取 $\vec{\phi}_k = (\phi_{1k},\dots,\phi_{mk},\phi_k^o) \in Y\; (k=1,2)$, 只需要验证存在$ \alpha_j \in (0, 1)$ 使得

并且 $ \sum_{j =0}^m \alpha_j < 1$. 根据引理 3.1 和 3.3, 由 (4.2) 式可知存在与$ \varepsilon, \phi$ 无关的正常数$ C> 0$ 使得

和

接下来, 我们将分四步估计 (5.9) 和 (5.10) 式.

第一步 内问题梯度估计. 首先, 由嵌入关系 $Y_{\alpha, \xi'_j} \hookrightarrow W^{2,2}_{loc}(\mathbb{R}^2) \hookrightarrow C_{loc}^1(\mathbb{R}^2)$ 知

这里$ C > 0$ 与$ \phi_j$ 无关.

第二步 外问题梯度估计. 接下来, 我们考虑外问题. 记 $G_\varepsilon(y, z)$ 为定义在 $\Omega_\varepsilon$ 上的满足 Neumann 边值条件的格林函数

由格林公式可得

下面我们分别估计$ K_1(z)$ 和$ K_2(z)$. 对于$ K_1(z)$, 首先注意到

为了方便书写, 将 $h(y, \phi_1) - h(y, \phi_2)$ 分解为

结合命题 4.1-4.4 中的分析, 对任意 $y \in \Omega_\varepsilon \backslash U_{j =1}^mB(\xi'_j, \delta/\varepsilon)$ 有

以及

因此

直接计算可得

另一方面, 注意到 $\|\tilde{h}_j(y, \phi)\|_{**, j} < \infty$, 利用格林公式可知, 当 $\delta/\varepsilon \le |y - \xi'_j| \le 2\delta/\varepsilon$ 时, 存在一个独立于 $\varepsilon$ 的常数 $C > 0$ 使得 $|\nabla \phi_j| \le C \varepsilon$, 因此

综合 (5.14)-(5.18) 式有

注意到, 对任意的$z \in \Omega_\varepsilon$,

记

显然, 对任意得 $z \in \Omega_\varepsilon$, $0 \le C(z) \le C\varepsilon^{-1}$. 由 (5.13) 和 (5.19) 式可得

进一步计算可得

注意到$ 1 - \gamma_1 - \gamma_2 < 0$, 由 (5.20) 和 (5.21) 式可得

因此,

结合 (5.11) 和 (5.22) 式, 可得

第三步 内问题估计. 接下来我们验证 (5.8) 式. 利用 (5.15) 式的记号, 对任意的$ |y - \xi_j'| < \delta$, 有

对于$ M_B$, 结合引理 4.1 中的分析, 我们有

这里所有正常数 $C > 0$ 均独立于 $\varepsilon$. 对于 $M_A$, 我们有

结合 (5.24)-(5.26) 式可得

类似地, 可得

结合 (5.27) 和 (5.23) 式, 可得

进一步, 由 (5.9) 式可知

这里 $C > 0$ 独立于 $\varepsilon$.

第四步 外问题估计. 由于 (5.19) 式的估计不够精细, 我们运用内问题的结果, 再次估计外问题. 任取 $ \delta/\varepsilon \le |y -\xi_j'| \le 2\delta/\varepsilon$, 作区域 $B_{\frac{1}{\varepsilon |\ln\varepsilon |}}(y)$, 由文献 [9,定理 3.9] 的椭圆估计可得

因此,

结合 (5.14), (5.16), (5.17), (5.22) 和 (5.31) 式可得

结合 (5.10) 式可知

以上的正常数 $C > 0$ 均独立于 $\varepsilon$. 取 $\varepsilon$ 充分小时, 由 (5.30) 和 (5.33) 式可知存在 $\alpha_j \in (0, 1)$ 使得 (5.8) 式对任意的 $\|\vec{\phi}_1\|_Y, \|\vec{\phi}_2\|_Y \le 1$ 成立, 且 $\sum_{j =0}^m\alpha_j < 1$.

定理 1.1 的证明

根据引理 5.1, 对任意的 $\mathbf{P} \in (\bar\Omega)^m$, 若系数 $c_{ij}=c_{ij}(\mathbf{P}) \in \mathbb{R}^m$ 满足条件 (4.9) 和 (4.37), 则方程组 (5.1) 存在唯一解. 因此, 求解方程 (4.6) 的只需要调节参数 $\mathbf{p}=(\xi_1, \cdots, \xi_m)$ 使得方程组 (5.1) 中的参数 $c_{ij}=0$ 即可. 结合条件 (4.9) 和 (4.37) 可知, 这等价于寻找 $\mathbf{p} \in (\bar \Omega)^m$, 使得以下两个等式成立

和

首先分析 (5.34) 式, 即$ 1\le j \le k$, 直接估计可得

关于 $h(y,\phi)$, 借用命题 4.1 中的记号. 依据表达式 (4.15) 并利用 (4.16) 式, 有

对于 $I_{BB}$, 可得

类似地,

最后, 我们考虑项$ I_{BA}$. 注意到$ \mathrm{e}^{\phi} = 1 + O(\phi)$, 因此

进一步计算可得

这里$ \kappa_{ij}$ 是一个正常数. 结合 (5.37), (5.38), (5.39) 和 (5.41) 式, 我们有

由假设 (4.12) 和 (5.42) 可得

接下来分析方程 (5.35), 即$ k+1 \le j \le m$. 对其主项进行估计

其中$ \kappa_{ij}$ 是一个正的常数. 对于其他的项, 结合引理 4.2 和 (5.38)-(5.40) 式可得

和

由于$ |\nabla \phi_j| \le C$, 且 $\phi_j \in Y_{H, \alpha}$, 由 $\rho$ 的性质可知 $|N(z, P_{\xi'_j}\phi_j)\eta_H| \le C \varepsilon (|\nabla \phi_j| + |\Delta \phi_j|)$, 因此

综合以上分析, 由 (5.35), (5.44)-(5.47) 式可得

结合式 (5.43) 与 (5.48) 式, 定理 1.1 得证.