本文主要研究下列 Hénon 问题径向解的存在性

其中 $N \geq 5$, $\alpha > 0$, $p_{\alpha }= \frac{N+2+ 2\alpha}{N-2}$, $B_1(0)$ 是 $\mathbb{R^N}$ 中的单位球, $V$是径向的光滑函数且 $V(0) < 0$, $\varepsilon > 0$, 并且当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时 $\lambda = \lambda_{\varepsilon} \rightarrow 0$.

当 $\varepsilon = 0 $ 时, 考虑 Hénon 方程在单位球 $B_1(0)$ 上的 Dirichlet 问题

在次临界情形下, 即 $1<p<\frac{N-2}{N+2}$, 由标准 Sobolev 紧嵌入定理, Smet, Su 和 Willem^[20] 通过证明相应的极小化问题可达, 从而证明了 (1.2) 式正解的存在性. 另外由于项 $|x|^{\alpha}$ 是径向递增的, 问题 (1.2) 无法应用移动平面法, 故 (1.2) 式可能存在非径向解. 特别地, 当 $p = \frac{N+2}{N-2} - \varepsilon$ 时, Cao 和 Peng^[4] 分析了 (1.2) 式的基态解的渐近行为, 并证明了当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, (1.2) 式的非径向解的存在性. 当 $p \geq \frac{N-2}{N+2}$ 时, $H_{0}^1(B)$ 到 $L^{p+1}(B)$ 的紧嵌入不再成立, 但 Ni^[17] 证明了当 $1<p<p_{\alpha}$ 时, $H_{0,rad}^1(B)$ 到加权空间 $ L^{p+1}(B,|y|^{\alpha}dx)$ 的嵌入是紧的, 因此通过极小化原理得到了问题 (1.2) 的径向正解的存在性. 当 $p\geq p_{\alpha}$ 时, 通过 Pohozaev 恒等式可知该问题无解. 加权项 $|x|^{\alpha}$ 的引入给 Hénon 问题带来了一个新的临界指数 $p_{\alpha}$, 它是 Hénon 问题正解的是否存在的临界指标, $p_{\alpha}$ 亦称为 Hénon 问题的第二临界指标.

在全空间上, 我们考虑下列问题

当 $\alpha =0$, $\bar{\varepsilon} =0$ 时, Benci 和 Cerami^[2] 利用变分方法寻找该问题对应能量泛函的临界点, 证明在 $a(x) \geq 0$, $a(x) \in L^{q}\left(\mathbb{R}^N\right)$ 对任意 $q \rightarrow \frac{N}{2}$ 都成立, 且 $\|a\|_{\frac{N}{2}}$ 充分小的条件下, 问题 (1.3) 至少存在一个正解. 当 $\alpha = 0$, $\bar{\varepsilon} \rightarrow 0^-$时, Pan 和 Wang^[18] 研究了该方程基态解在 $L^{\infty}$ 范数下的渐近行为. 他们指出, 当 $a(y)$ 满足一些特定条件时, 上述问题的基态解在 $\bar{\varepsilon} \rightarrow 0^-$ 时爆破于一点. 随后, Micheletti 和 Pistoia^[16] 应用 Lyapunov-Schmidt 约化方法, 在 $N \geq 7$ 以及关于 $a(y)$ 更加精确的条件下, 构造了该方程在 $\bar{\varepsilon} \rightarrow 0^+$ 以及 $\bar{\varepsilon} \rightarrow 0^-$ 两种情况下的爆破解, 并且爆破点是 $a(y)$ 的临界点 $\xi_0$, 在超临界问题中可以得到 $a(\xi_0) \leq 0$, 次临界问题时有 $a(\xi_0) \geq 0$. 当 $\alpha > 0$ 时, Liu^[13] 在 $N \geq 7$ 以及 $a \in C^{0,\bar{\sigma}}(\mathbb{R}^N)$, $\bar{\sigma} \in (0,1)$, $a(0)>0$ 的条件下, 利用 Lyapunov-Schmidt 有限维约化的方法, 构造了$\bar{\varepsilon} \rightarrow 0^-$ 时对应次临界问题在原点爆破的单峰解. 至于 $\bar{\varepsilon} \rightarrow 0^+$ 的情形, 目前相关结论非常少.

现从另一个角度分析问题 (1.1). 当 $V(y) \equiv -1$, $\alpha =0$ 时, del Pino, Dolbeault 和 Musso^[7] 应用 Emden-Fowler 变换 (参考文献 [8]) 将该方程转化为方便研究的常微分方程问题, 并应用 Lyapunov-Schmidt 约化方法构造了 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时该方程在原点集中的塔状聚峰解. 并且对于任意正整数 $k$, 都存在集中在原点处的 $k$ 阶塔状聚峰解, 每个峰的高度分别是 ${\varepsilon}^{\frac{1}{2}-j}$, $j=1,\cdots,k$.

假设问题 $(1.1)$ 在 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时有一族解 $u_{\varepsilon}(y)$, 令 $ \tilde{u}_{\varepsilon}(z) = \varepsilon^{\frac{\alpha +2}{2(p_{\alpha}-1+\varepsilon)}} u_{\varepsilon}(\varepsilon^{\frac{1}{2}}z),$ 则 $\tilde{u}_{\varepsilon}$ 满足下列方程

由二阶椭圆算子的正则性理论易知, 在包含原点的紧集中, $\tilde{u}$ 一致收敛到下列问题的径向正解

问题 $ (1.4)$ 所有径向解具有如下形式 (见文献 [11],[12])

其中 $\lambda > 0$ 是一个参数, $\xi$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的点. 更进一步, 取

考虑 $(1.4)$ 式关于 $W(z)$ 的线性化问题

Gladiali, Grossi 和 Neves^[10] 证明了, 当 $\alpha$ 不是一个偶数时, $(1.5)$ 式的解是由

张成的一维空间. 若 $\alpha=2(k-1)$ 是一个偶数, $k \in \mathbb{N}$, 则此时 $ (5)$ 式的解是由

张成的 $1+\frac{(N+2 k-2)(N+k-3)!}{(N-2)!k!}$ 维空间, 其中 $\left\{Y_{k, i}\right\}$, $i=1, \cdots, \frac{(N+2 k-2)(N+k-3)!}{(N-2)!k!}$ 构成 $\mathbb{R}^N$ 中 $k$ 次齐次调和多项式的基.

根据上述爆破分析, 我们可以猜测, 当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, 问题 $(1.1)$ 的解 $u_{\varepsilon}(y)$ 在原点附近接近 $\varepsilon^{-{\frac{\alpha +2}{2(p_{\alpha}-1+\varepsilon)}}} W\left(\varepsilon^{-\frac{1}{2}} y\right)$. 受文献 [7],[15] 的启发, 我们利用有限维约化的方法构造 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时超临界问题 (1.1) 在原点处集中的塔状径向解, 我们的主要结果如下.

定理1.1 令 $N \geq 5$, $V$ 是光滑的径向函数, $V(0) < 0$, $\alpha > 0$ 且 $\alpha$ 不是偶数, $\lambda =\mu \varepsilon^{\frac{N-4}{N-2}}$. 对于任意给定的正整数 $k$, 存在一个数 $\mu^k>0$, 当 $\mu >\mu^k$ 时, 存在一些仅依赖 $k$, $N$, $\alpha$, $V(0)$, $\mu$ 的正数 $\alpha_j^{\pm}>0, j=1, \cdots, k$, 使得问题 $\operatorname{(1.1)}$ 的解 $u_{\varepsilon}$ 具有如下形式

当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, 上述 $o(1) \rightarrow 0$ 在 $y \in B_1(0)$ 上一致成立, 并且 $\alpha_j^{\pm}$ 的具体表示如下

$s_k^{\pm}$ 的定义见第 4 节的 (4.11) 式, $a_2, a_3$ 的表达式如下

$U(x)$ 是一个的具体的函数, 由第 2 节的 (2.5) 式给出.

注1.1 定理 1.1 中的空间维数条件 $N \geq 5$ 是在估计误差项和计算能量泛函渐近展开过程中提出的. $V(0) < 0$ 是保证能量泛函临界点存在的必要条件, Micheletti 和 Pistoia^[16] 同样也需要此限制条件. $\lambda =\mu \varepsilon^{\frac{N-4}{N-2}}$ 指数的确定是为了方便处理能量泛函的临界点, 进而得到问题 (1.1) 的两族解, 当 $\lambda$ 关于 $\varepsilon$ 的指数更高时, 会得到不同的结果.

最后简要阐述本文的行文结构. 为了构造 (1.1) 式的径向塔状聚峰解, 我们在第二节中先将 (1.1) 式转化为径向化问题, 再应用 Emden-Fowler 变换, 将其转化为方便操作 Lyapunov-Schmidt 约化的常微分方程问题, 并通过研究极限问题构造近似解. 第三节主要作约化分析, 通过估计误差项以及压缩映射原理等确定近似问题解的存在唯一性. 第四节主要通过能量泛函的临界点完成有限维约化的最后一步, 最终完成定理 1.1 的证明. 为了克服超临界和加权结构导致的紧性缺失问题, 我们引入了类似文献 [13] 的 $L^{\infty}$ 加权空间来进行有限维约化. 此外, 具有临界指数的方程在有界域中泡泡解的存在性已有广泛研究, 许多论文运用 Lyapunov-Schmidt 约化方法来构造此类解, 例如文献 [3],[9],[13],[14],[19],[21].

为了寻找问题 $(1.1)$ 的径向解, 我们令 $r=|y|$, 将问题 (1.1) 转化为下列带有边界条件的常微分方程问题

再根据 Emden-Fowler 变换^[8], 令

将 $(2.1)$ 式转化为

其中 $ \eta(x)=\left(\frac{2}{N-2}\right)^2 V\left(\mathrm{{e}}^{-\frac{2}{N-2} x}\right). $

当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, 考虑 $(2.2)$ 式的极限方程

事实上, 我们将 $\mathbb{R^N}$ 上的问题 $(1.4)$, 经过径向化以及相同的 Emden-Fowler 变换, 可以得到一个与 $(2.3)$ 式相关的方程, 即

因此, 我们可由 $(1.4)$ 式的解 $ W(z)= C_{N, \alpha}\left(1+|z|^{2+\alpha}\right)^{-\frac{N-2}{2+\alpha}}$, 得到问题 $(2.4)$ 的解

为了利用有限维约化方法构造问题 (2.2) 的解, 我们还需要研究 $\alpha$ 不是偶数时, 极限问题 $(2.3)$ 对应的线性化问题

通过计算知, (2.6) 式亦可以由 (1.5) 式经过径向变换以及同样 Emden-Fowler 变换得到. 已知 (1.5) 式的解是由 $T(z):= C_{N, \alpha} \frac{1-|z|^{2+\alpha}}{\left[1+|z|^{2+\alpha}\right]^{\frac{N+\alpha}{2+\alpha}}} $ 张成的一维空间, 故 (2.6) 式的解是由

张成的一维函数空间.

构造解的基本思路如下. 我们计划找到问题 (1.1) 在原点集中的塔状聚峰解. 经过一系列变换后, 期望找到问题 (2.2) 在正无穷远处多点集中的解. 我们不妨先考虑在 $\xi $ 处集中的单峰解, 其中 $\xi >0$ 并且 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时 $\xi \rightarrow + \infty$. 为了应用 Lyapunov-Schmidt 约化方法, 我们需要把极限问题 $(2.3)$ 的解作为近似解去构造问题 (2.2) 的单峰解, 但问题 $(2.3)$ 无解, 故我们将对应问题 $(2.4)$ 的解 $U(x)$ 作一定修正, 使之成为 $(2.3)$ 式的近似解. 由于 $U$ 具有指数衰减性质, 且 $\xi$ 趋于无穷, 故 $U(x-\xi)-U(\xi)\mathrm{e}^{-x}$ 是满足 $(2.3)$ 式边界条件的近似解. 对于多峰解的构造, 我们选定一些距离原点很远且彼此之间相隔亦很远的的点 $0<\xi_1<\xi_2<\cdots<\xi_k$, 并期望问题 $(2.2)$ 具有如下形式的解

为了方便, 我们记

并引入一个与 $\bar{G}$ 有关的线性化算子 $\mathcal{L}_{\varepsilon} v =-v^{\prime \prime}+v-(p_{\alpha}+\varepsilon) \mathrm{e}^{\varepsilon x} \bar{G}^{p_\alpha +\varepsilon-1} v+\lambda \eta(x) \mathrm{e}^{-\frac{4}{N-2} x} v.$ 不难发现 $Z_i(x)= U_i^{\prime}(x)$ 是线性化问题的解: $Z^{\prime \prime}-Z+p_{\alpha} U_i^{p_{\alpha}-1} (x)Z= 0, \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty}Z(x) \rightarrow 0.$ 故 $\text{span}\left\{ H_i: i=1, \dots, k \right\}$ 是算子 $\mathcal{L}_{\varepsilon}$ 的近似核空间.

接下来, 我们将在 $\text{span}\left\{ H_i: i=1, \dots, k \right\}$ 的垂直空间, 证明问题 (2.2) 具有 (2.7) 式形式的解. 即存在一些常数 $c_i$ 使得 $\bar{G} + \phi$ 满足

由于 $\bar{G}$ 的具体形式以及其满足的方程均已知, 故我们可以将 (2.8) 式转化成一个关于 $\phi$ 的方程

其中,

为了说明 (2.9) 式有解, 我们需要对 $[0,\infty)$ 上的函数引入一个 $L^{\infty}$ 加权范数

其中 $\sigma$ 是一个待定的较小的正数.

记 $\mathcal{C}_* = \big\{ \psi \in C[0,\infty): \|\psi\|_*<+\infty \big\}$, 不难说明 $\mathcal{C}_*$ 是一个 Banach 空间. 并记 $\mathcal{L}\left(\mathcal{C}_*\right)$ 是 $\mathcal{C}_*$ 上所有线性算子的集合. 我们的目标是求解一个比 $\sum\limits_{i=1}^{k}G_i(x)$ 小得多的 $\phi$ 满足 (2.9) 式. 当 $\xi_i$ 充分大时, $G_i(x) \sim \mathrm{e}^{-|x-\xi_i|}$, 故当我们引入该范数后, 我们希望求解的 $\phi$ 在 $\| \cdot \|_*$ 范数意义下是一个关于 $\varepsilon$ 的无穷小量.

为了证明问题 $(2.9)$ 存在唯一解, 首先我们估计误差项 $R_\varepsilon$ 和 $l_\varepsilon$, 接着证明算子 $\mathcal{L}_{\varepsilon}$ 在 $\text{span}\big\{ H_i: i=1, \dots, k \big\}$ 的垂直空间中可逆, 最后利用压缩映射原理证明问题 $(2.9)$ 存在唯一解.

命题3.1 假设 $\xi_i$ 满足下列条件

其中 $M$ 是一个固定的正常数. 则对任意充分小的 $\varepsilon>0$, 只要 $\|\phi\|_* \leq \frac{1}{4}$, 且 $\sigma$ 足够小时, 我们有如下估计

证 已知

当 $p_\alpha + \varepsilon \leq 2$, 且 $\varepsilon$ 非常小时, 我们有

由于 $\|\phi\|_* \leq \frac{1}{4}$, 故

当 $p_\alpha +\varepsilon > 2$ 时, 同理可得 $\left\|R_{\varepsilon}(\phi)\right\|_* \leq C\|\phi\|_*^2$. 综上所述, $\left\|R_{\varepsilon}(\phi)\right\|_* \leq C\|\phi\|_*^{\min \{p_\alpha, 2\}}.$

下面估计 $l_\varepsilon$. 已知 $l_\varepsilon \!=\! {\rm e}^{\varepsilon x}[\bar{G}^{p_\alpha+\varepsilon}-\bar{G}^{p_\alpha}]+\bar{G}^{p_\alpha} ({\rm e}^{\varepsilon x}-1)+(\bar{G}^{p_\alpha}\!-\!\sum \limits_{i=1}^k G_i^{p_\alpha})\!-\!\lambda \eta(x){\rm e}^{-\frac{4}{N-2}x} \bar{G}.$ 首先, 只要 $\varepsilon$ 充分小, 就有

另外, 注意到当 $\sigma >0 $ 时, $\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \varepsilon^{\sigma} \log (M \varepsilon)^{-1} = 0,$ 故当 $\varepsilon$ 充分小时,

因此我们同样得到

接着估计 $\lambda \eta(x){\rm e}^{-\frac{4}{N-2}x} \bar{G} $,

最后考虑 $\bar{G}^{p_\alpha }- \sum\limits_{i=1}^{k} G_i^{p_\alpha}$. 由附录引理 5.1 知, $p_\alpha > 2$ 时,

当 $p_\alpha \leq 2$ 时, 只要 $ \sigma < \frac{p_\alpha -1}{4}$, 就有

综上讨论, 我们得到 $\left\|l_\varepsilon \right\|_* \leq C \varepsilon^{\frac{1}{2} + \sigma}.$

现研究更一般的线性问题, 给定一个函数 $h$, 求解 $\phi$ 满足下列方程

其中 $c_i$ 是某些特定的常数.

引理3.1 假设存在一列 $\varepsilon_n \rightarrow 0$, 存在对应的点列 $0<\xi_1^n<\xi_2^n<$ $\cdots<\xi_k^n$ 满足条件 $(3.1)$

对于某些函数 $\phi_n$, 满足 $\left\|h_n\right\|_* \rightarrow 0$ 条件的 $h_n$, 以及一些数组 $c_i $, 下列方程成立

则 $\lim\limits _{n \rightarrow \infty}\left\|\phi_n\right\|_*=0$.

证 首先证明 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\phi_n\right\|_{\infty}=0.$ 倘若该结论不成立, 不失一般性, 我们可以取 $\left\|\phi_n\right\|_{\infty}=1$. 由于 $H_l^n$ 满足的边界条件 $H_l^n(0)=0$, $\lim\limits _{x \rightarrow \infty} H_i^n(x)=0$, 当在 (3.3) 式两边乘以测试函数 $H_l^n$ 时, 两边于 $(0,\infty)$ 上积分可知

为方便计算关于 $H_i$ 的积分, 我们先对 $H_i$ 作点态估计 $ H_i(x) \!\leq\! C {\rm e}^{-|x-\xi_i|}.$ 应用 $\min\limits _{1 \leq i<k-1}\!\left(\!\xi_{i+1}^n-\xi_i^n\!\right)\!$ $\rightarrow+\infty$ 可知, 当 $i \neq j$ 时, $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\int_0^{\infty} H_i^n H_j^n \mathrm{d} x = 0.$ 故当 $n \rightarrow \infty$ 时, 上式是关于 $c_i$ 的对角占优的线性方程组. 另一方面, 我们知道 $H_l^n$ 是下列方程的近似解

并且由引理的条件 $\left\|h_n\right\|_* \rightarrow 0$, 通过控制收敛定理容易解出上述线性方程组并得到

不妨假设 $\phi_n$ 在 $x_n$ 出达到最大值, 即有 $\phi_n\left(x_n\right)=1$, $\phi_n^{\prime} \left(x_n\right)=0$. 由 (3.3) 式中的

条件 $\left\|h_n\right\|_* \rightarrow 0$ 和推出的结论 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_i^n=0$ 知, $\bar{G}(x_n)$ 不是一个比较小的量. 再根据 $U$ 的指数衰减性, 一定存在 $l \in \left\{ {1, \dots, k} \right\}$ 和一个固定的 $M>0$, 使得 $\left|\xi_l^n-x_n\right| \leq M$. 作一个平移变换, 令 $\tilde{\phi}_n(x)=\phi_n\left(\xi_l^n+x\right)$. 当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\varepsilon_n \rightarrow 0$, 在子列的意义下 $\tilde{\phi}_n$ 在紧集上一致收敛于下述方程的非平凡有界解 $\tilde{\phi}$ :

由前面对该方程的研究, 存在 $c \neq 0$, 使得 $\tilde{\phi}=c Z $. 然而正交性条件 $\displaystyle\int_0^{\infty} H_l^n \phi_n \mathrm{d} x= 0 $ 取极限后有

这显然是不可能的, 故得到矛盾, 即证得 $\lim\limits _{n \rightarrow \infty}\left\|\phi_n\right\|_{\infty}=0.$

现在令

则 (3.3) 式写成下列形式

由于 $\left\|h_n\right\|_* \rightarrow 0$, $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_i^n=0$ 以及 $\xi_j$ 满足的条件 (3.1), 因此当 $\| \cdot\|_*$ 范数中的 $\sigma>0$ 取得充分小时, $\left|g_n(x)\right| \leq \theta_n \sum_{i=1}^k {\rm e}^{-\sigma\left|x-\xi_i\right|}=: \psi_n(x),$ 其中 $n \rightarrow 0$ 时, $\theta_n \rightarrow 0$. 通过计算知, 当 $C>0$ 充分大时, $C \psi_n$ 是 (3.4) 式的一个上解, 因此 $\phi_n \leq C \psi_n$. 同理 $\phi_n \geq-C \psi_n$. 这说明 $\left\|\phi_n\right\|_* \rightarrow 0$.

命题3.2 假设 $0<\xi_1<\xi_2<\cdots<\xi_k$ 满足 (3.1) 式, 则存在正数 $\varepsilon_0$, 使得对于所有 $0<\varepsilon<\varepsilon_0$ 和 $(0,\infty)$ 中满足 $\|h\|_*<+\infty$ 条件的连续函数 $h$, 问题 $(3.2)$ 存在唯一解 $\phi=: T_{\varepsilon}(h)$. 此外,

证 首先, 我们引入下列内积空间

其内积为 $[\phi, \psi]=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left(\phi^{\prime} \psi^{\prime}+\phi \psi\right) \mathrm{d} x$.

在弱解的意义下, 我们可以将问题 (3.2) 转化为如下积分方程问题, 即找到 $\phi \in H$ 满足

这时, 我们亦可将其写成 $H$ 上的算子形式

这是因为在内积空间 $H$ 中, 我们将 $\displaystyle\int_0^{\infty}\left[(p_{\alpha}+\varepsilon) {\rm e}^{\varepsilon x} \bar{G}^{p_{\alpha}+\varepsilon-1} \phi-\lambda \eta(x) {\rm e}^{-\frac{4}{N-2} x} \phi\right] \psi \mathrm{d} x$ 看作关于 $\psi$ 的线性泛函, 由 Riesz 表示定理, 对任意 $\phi \in H$, 一定存在唯一的 $K_{\varepsilon}(\phi ) \in H$ 使得

并且 $\tilde{h} \in H$ 线性依赖于 $h$. 下证 $K_{\varepsilon}$ 是 $H$ 中的一个紧算子.

假设 $\left\{ \phi_n \right\} \subset H $ 是有界序列, 由于 $H$ 是内积空间, $\left\{ \phi_n \right\}$ 有弱收敛子列. 不妨设 $\phi_{n_j} $ 弱收敛于 $\phi$, 由 $K_{\varepsilon}$ 的定义知,

因此 $\lim\limits_{j \rightarrow \infty} \left[ K_{\varepsilon}(\phi_{n_j}), \psi \right] = \left[ K_{\varepsilon}(\phi), \psi \right]$ 对任意 $\forall \psi \in H $ 都成立. 即有 $K_{\varepsilon} (\phi_{n_j}) \rightarrow K_{\varepsilon}(\phi) $.

问题 (3.2) 等价于算子方程问题 (3.5). 并且当 (3.2) 式中的 $h \equiv 0 $ 时,它对应的算子方程恰好是 (3.5) 式对应的齐次方程 $\phi=K_{\varepsilon}(\phi)$. 由 Fredholm 二择一定理, 想要说明 (3.5) 式对任意的 $h \in H$ 都存在唯一解, 我们仅需证明齐次方程 $\phi=K_{\varepsilon}(\phi)$ 在 $H$ 中只有零解. 而引理 3.1 指出, 当 $h \equiv 0 $ 时自然有 $\|h\|_* =0$, 故当我们选取合适的 $R_0$, $\varepsilon_0$, $\delta_0$ 时, $\phi=K_{\varepsilon}(\phi)$ 只有零解, 因此证得解的存在唯一性.

最后, 我们通过反证说明 $\left\|T_{\varepsilon}(h)\right\|_* \leq C\|h\|_* $. 假设结论不成立, 则我们可以找到一族 $\left\{ h_{\varepsilon} \right\}$ 满足条件 $\left\|h_{\varepsilon}\right\|_* \rightarrow 0$, 并且对应 (3.2) 式的解满足 $\left\|\phi_{\varepsilon}\right\|_*=1$, 显然这和引理 3.1 的结论矛盾.

本节我们是在 $\text{span}\big\{ H_i: i=1, \dots, k \big\}$ 垂直空间求解问题 (2.9), 其解与问题 (2.1) 的解有细微差异. 因此在下一章中, 我们将通过选取不同的 $\xi=\left(\xi_1, \cdots, \xi_k\right)$, 使得 (2.9) 式中的 $c_i(\xi)=0$, 亦即完成约化部分. 故我们还需将 $\xi$ 看作变量, 研究上述由问题 (3.2) 产生的算子以及解关于 $\xi$ 的微分.

命题3.3 在命题 $\operatorname{3.2}$ 的假设下, 我们考虑值域在 $\mathcal{L}\left(\mathcal{C}_*\right)$ 上的映射 $\xi \mapsto T_{\varepsilon}$, 该映射是 $C^1$ 的. 而且存在常数 $C>0$ 使得

且该式对满足 $\operatorname{(3.1)}$ 条件的 $\xi$ 一致成立.

证 先假定条件 (3.5) 成立. 固定 $h \in \mathcal{C}_*$ 并令 $\phi=T_{\varepsilon}(h)$, 其中 $\varepsilon<\varepsilon_0$. 则 $\phi$满足方程(3.2)

对某个给定的 $l \in\{1, \cdots, k\}$, 我们定义一个常数 $b_l$:

再定义一个函数 $f$:

在 (3.2) 式两边同时关于 $\xi_l$ 求导, 我们发现 $\chi=\partial_{\xi_l} \phi$ 满足下列方程

由命题 3.2 知: $\left\| \phi \right\|_* = \left\|T_{\varepsilon}(h)\right\|_* \leq C\|h\|_* $, 且 $|c_1| \leq C \left\| h \right\|_*$. 故

由于 $ {\rm e}^{\varepsilon x} \partial_{\xi_l}\left(\bar{G}^{p_{\alpha}-1+\varepsilon} \right)\leq C $, 我们计算得

因此

此外, $\chi$ 连续地依赖于 $\xi_i$, $i=1, \cdots, k$ 和 $h$, 并且

命题3.4 在 $\operatorname{(3.1)}$ 式成立的情况下, 存在一个常数 $C>0$, 使得对所有充分小的 $\varepsilon>0$, 问题 $\operatorname{(2.9)} $ 存在唯一解 $\phi=\phi(\xi)$ 并且满足

此外, 映射 $\xi \mapsto \phi(\xi)$ 在 $\|\cdot\|_*$ 范数下是 $C^1$ 的, 且有

证 事实上 $\phi$ 是 (2.9) 式的解当且仅当

故问题 (2.9) 等价于解一个不动点问题. 我们仅需说明算子 $A_{\varepsilon}$ 在某个合适的空间中是压缩映射即可.

记

其中 $r$ 是一个待定的正数. 由命题 3.2, 只要 $\varepsilon$ 充分小, 且 $r$ 充分大时,

故 $A_{\varepsilon}$ 是 $\mathcal{F}_r$ 映射到其本身的映射.

容易验证 $R_{\varepsilon}$ 是压缩映射. 任取 $\phi_1$, $\phi_2 \in \mathcal{F}_r$, 则存在 $\tilde{\phi}_1$, $\tilde{\phi}_2 \in \mathcal{F}_r$ 使得 $\tilde{\phi}_1 = A_{\varepsilon}(\phi_1)$, $\tilde{\phi}_ 2= A_{\varepsilon}(\phi_2) $, 则由附录引理 5.2 $(5.1)$ 式知, 当 $ p_\alpha +\varepsilon \leqslant 2$ 时,

当 $p_\alpha +\varepsilon \ge 2$ 时, 同理可以得到

再由 $\phi_1, \phi_2 \in \mathcal{F}_r $ 以及命题 3.2, 当 $\varepsilon$ 充分小时, 存在 $\beta <1$ 使得

即证得 $A_\varepsilon$ 在 $\mathcal{F}_r$ 是压缩映射.

现在我们考虑 $\phi(\xi)$ 关于 $\xi$ 的可微性, 记

显然 $B(\xi, \phi)=0$, 并且 $l_\varepsilon, R_{\varepsilon}, T_\varepsilon$ 都和 $\xi$ 有关. 我们先计算 $D_\phi B(\xi, \phi)[\theta]$,

故由命题 3.2 知

综上论述, 当 $\varepsilon$ 充分小时, 算子 $D_\phi B(\xi, \phi)$ 在 $\mathcal{C}_*$ 中是可逆的, 并且其逆一致有界.

我们再计算 $D_\xi B(\xi, \phi)$,

由算子的隐函数定理易知, $\phi(\xi)$ 是映射到 $\mathcal{C}_*$ 的 $C^1$ 算子, 并且

故

注意到

由 $\partial_{\xi_i} U_i \leq C U_i$ 以及附录引理 5.2 $(5.2)$ 式知

因此, $\left\|D_{\xi} R_{\varepsilon} (\xi,\phi)\right\|_* \leq C \varepsilon^{\frac{1}{2}+ \sigma}$. 同理考虑 $\partial_{\xi_i} l_\varepsilon$, 我们同样可以得 $\left\| D_\xi l_\varepsilon \right\|_* \leq C \varepsilon^{\frac{1}{2}+ \sigma}$.

综上所述, $\left\|D_{\xi} \phi\right\|_*\leq C \varepsilon^{\frac{1}{2}+ \sigma}$, 证毕.

在本节, 我们固定一个充分大的正数 $M$ 并假设 $\xi=\left(\xi_1, \cdots, \xi_k\right)$ 满足条件 (3.1). 命题 3.4 证明了问题 (2.9) 在 $\mathcal{F}_r$ 存在唯一解. 现通过选取合适的点 $\xi_i$ 使得 (2.9) 式中的

若 (4.1) 式成立, 则 $v=\bar{G}+\phi$ 就是问题 (2.2) 的解.

假定 ${\xi_i}$ 是比较大的正数, 并且彼此之间相隔非常远. 给出 (2.2) 式的能量泛函

考虑下列泛函

其中 $\phi=\phi(\xi)$ 由命题 3.2 给出. 我们断言 (4.1) 式的解 $\xi$ 就是该泛函的临界点. 事实上, 我们在 (2.8) 式两边乘以测试函数 $H_i$, 再在 $(0, \infty)$ 上积分, 则

另一方面, 任取测试函数 $\psi \in C_0^{\infty}(0,\infty)$, 由 (4.2), (4.3) 式定义,

故$D E_{\varepsilon}(\bar{G}+\phi)\left[H_i\right]=0,\quad i=1, \cdots, k.$

由命题 3.4 知, $\left\|D_{\xi} \phi\right\|_* \leq C \varepsilon^{\frac{1}{2} + \sigma}.$ 并且 $H_i =U_i^{\prime}(x) - U_i^{\prime}(0){\rm e}^{-x} = \partial_{\xi_i}G_i$, 因此,

其中 $o(1) \rightarrow 0$ 指, 当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, 其 $\|\cdot\|_*$ 范数趋于零.

任取测试函数 $\psi$, 且 $\displaystyle\int_0^{\infty} H_i \psi=0$ 对 $i=1,\cdots, k$ 都成立, 将 $\psi$ 乘以 (2.8) 式后在 $(0,\infty)$ 上积分可得

因此 (4.1) 式等价于

通过上述讨论, 我们发现, 使得 (4.1) 式成立的 $\xi$ 是能量泛函 $\mathcal{I}_\varepsilon(\xi)=E_\varepsilon(\bar{G}+\phi)$ 对应的临界点, 故我们需要对 $E_\varepsilon(\bar{G}+\phi)$ 及其关于 $\xi$ 的导数作估计. 事实上, 我们仅需对 $E_\varepsilon(\bar{G})$ 及其关于 $\xi$ 的导数作估计.

引理4.1 假定 $\sigma<\frac{1}{4}$, 则下列展开估计成立

其中 $o(\varepsilon)$ 在 $C^1$ 的意义下, 对所有满足条件 $\operatorname{(3.1)}$ 的 $\xi$ 一致收敛.

证 由 (4.2) 式易知, $ D E_{\varepsilon}(\bar{G}+\phi)[\phi] = 0$. 通过计算,

再由泰勒公式, 故

而 $\|\phi\|_*=O\left(\varepsilon^{\frac{1}{2} + \sigma}\right)$, 故我们得到

对所有满足条件 (3.1) 的 $\xi$ 一致成立. 再将 (4.4) 式两边关于 $\xi$ 求微分,

其中

对 $R_{\varepsilon}(\phi)$ 关于 $\xi_i$ 求导知

再次由 $\partial_{\xi_i} G_i \leq C G_i$ 以及附录引理 5.2 中的 (5.2) 式知

同理, 对 $l_{\varepsilon}$ 关于 $\xi_i$ 求导知

根据命题 3.1 对 $l_{\varepsilon}$ 的估计过程可以知

综上所述, 我们证得

最后, 我们估计所求积分的第二项,

显而易见, 第二项积分亦被 $O\left(\varepsilon^{1+2 \sigma}\right)$ 控制.

接下来, 我们将选定具有如下关系的点 $\{\xi_i\}_{i=1}^k$:

其中 $\Lambda$ 是正的参数, 记 $\Lambda=\left(\Lambda_1, \Lambda_2, \cdots, \Lambda_k\right)$. 在此基础上, 考虑 $E_{\varepsilon}(\bar{G})$ 的渐近估计.

引理4.2 令 $N \geq 5$. 固定一个比较小的数 $\delta>0$ 并假定

令 $\bar{G}$ 为 $(2.7)$ 式中定义的解的主项. 当 $\xi_i$ 满足 $(4.5)$ 式条件时, 存在仅依赖 $N$ 和 $\alpha$ 的正数 $a_i$, $i=0, \cdots, 5$, 使得下列渐近展开式成立

其中,

并且当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, $\theta_{\varepsilon}(\Lambda)$ 对所有满足条件 $\operatorname{ (4.5)}$ 的 $\Lambda$ 一致地且在 $C^1$ 意义下趋于 $0$.

证 由前文的定义知 $E_{\varepsilon}(\bar{G})=I_{\varepsilon}(\bar{G})+\frac{\lambda}{2} \displaystyle\int_{0}^{\infty} \eta(x) {\rm e}^{-\frac{4}{N-2} x} {\bar{G}}^2 \mathrm{d} x$, 通过简单计算易知

其中

为了方便对包含 $\bar{G}$ 的积分进行估计, 先对 $U(x)$ 作点态估计

现在开始逐项计算, 不难发现

通过类似的泰勒展开知

并且

现对 $I_0(\bar{G})$ 进行估算,

由于 $U_i$ 满足方程 $-{U_i}^{\prime \prime}+U_i={U_i}^{p_{\alpha}}$, 且 $G_i(x)=U_i(x)-U_i(0)e^{-x}$, 故又可写成

第一步 我们先计算 $\displaystyle\sum_{i=1}^k I_0\left(G_i\right)$. 为了方便, 我们引入一个记号 $\omega_i(x)=U_i(0){\rm e}^{-x},$ 那么 $G_i=U_i+ \omega_i$, 由泰勒展开,

并且

记

则

且

第二步 为了算清楚 $B$ 中关于 $U_i$ 高阶交叉项的积分估计值, 我们引入下列数

并将 $B$ 分解成下列形式 $B=-C_0+C_1+C_2$, 其中

注意到 $\xi_i$ 满足条件 (4.5), 并且有点态估计 $U_i(x) \leqslant C {\rm e}^{-\left|x-\xi_i\right|}$, 我们记 $\rho=\log \frac{1}{\varepsilon}$, 在此之前我们先作一些基本计算,

另外,

同理我们可以计算出

故

并且

通过上述计算得知 $C_1$ 和 $C_2$ 都是 $\varepsilon$ 的高阶小量. 然而在计算 $C_0$ 时, 必须给出 $U(x- \xi)$ 更加精确的估计

故我们可得

综上所述,

其中 $ a_2= \left( p_{\alpha} +1 \right) \left(\frac{4(N+\alpha)}{N-2}\right)^{\frac{N-2}{4+2\alpha}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} {\rm e}^x U^{p_{\alpha}} \mathrm{d} x $.

第三步 我们计算 $\displaystyle\int_{0}^{\infty} \eta(x) {\rm e}^{-\frac{4}{N-2} x} \bar{G}^2 \mathrm{d} x$. 由附录引理 5.1 以及 $N>4$, 当 $i>1$ 时,

且当 $i \ne j$ 时,

因此

注意倒数第二步是因为

结合 (4.7)-(4.9) 和 (4.5) 式中定义的 $\xi$, 有

其中函数 $\Psi_k$ 的具体表示见 (4.6) 式, 并且 $a_i$, $i=0, \cdots, 5$ 的表示如下

最后, 还需说明 $\theta_{\varepsilon}(\Lambda) \rightarrow 0$ 在 $C^1$ 意义下成立. 事实上, 注意到 $\xi_i$ 与 $\Lambda_i$ 之间可以相互表示, 类似的, 我们可以对 $\partial_{\xi_i} E_\varepsilon (\bar{G})$ 作几乎一致的估计.

定理 1.1 的证明

证 由 (4.3) 式, 我们仅需找到 $\mathcal{I}_{\varepsilon}(\xi)$ 的临界点. 假设 $\xi=\xi(\Lambda)$ 满足条件 (4.5)

其中 $\Lambda_i$ 是一些正的参数. 令

由引理 4.1 和 引理 4.2 知,

由于 (4.10) 式中的 $\theta_{\varepsilon} (\Lambda) \rightarrow 0$ 在 $C^1$ 的意义下成立, 故得到

其中 $o(1)$ 对所有满足 $M^{-1}<$ $\Lambda_i<M$ 的 $\Lambda$ 都成立. 现分析 $\Psi_k(\Lambda)$ 临界点. 记

显而易见 $\tau_i(s)$, $i=2, \cdots, k$, 有唯一的最大值点 $\Lambda_i=(k-i+1) \frac{a_3}{a_2}$. 我们还需特别考虑 $\varphi_k$ 的临界点. 引入一个新的函数

我们发现 $\varphi_k^{\prime}(s)=0$ 等价于

已知 $V(0)<0 $, 记 $\mu^k$ 是 $f_k$ 的最小值, 则通过计算可知 $f_k(s)$ 在 $s_k=\left(\frac{2a_5 (N-2)}{ka_3}\right)^{\frac{1}{2}}$ 处取得最小, 最小值

因此, 当 $\mu > \mu^k$ 时, $\varphi_k^{\prime}(s)=0$ 有两个非退化正解

故我们求得 $\Psi_k(\Lambda)$ 的临界点为

并且它是非退化的. 任取 $\Lambda^{\pm} \in \mathbb{R}^k$ 充分小的领域 $\mathcal{V}^{\pm}$, 则局部拓扑度 $\operatorname{deg}\left(\nabla \Psi_k, \mathcal{V}^{\pm}, 0\right) \neq 0.$ 因此, 当 $\varepsilon$ 充分小时, $\operatorname{deg}\left(\nabla \Phi_{\varepsilon}, \mathcal{V}^{\pm}, 0\right) \neq 0$, 故 $\Phi_\varepsilon$ 的临界点 $\Lambda_{\varepsilon}^{\pm}$ 满足

对于 $\xi_{\varepsilon}^{\pm}=\xi\left(\Lambda_{\varepsilon}^{\pm}\right)$, 由有限维约化结果知, $v=\bar{G}+\phi\left(\xi_{\varepsilon}^{\pm}\right)$ 是问题 (2.2) 的解. 并且由命题 3.4, 我们知道 $\left\| \phi(\xi_\varepsilon) \right\|_* \leq C {\varepsilon}^{\frac{1}{2} + \sigma}$, 再根据 (4.5) 式中 $\xi_i$ 满足的条件,

因此 (2.2) 式的解写成 $v=\bar{G}(1+o(1))$. 其中当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, $o(1) \rightarrow 0$ 在 $(0,\infty)$ 上均成立. 更进一步, 若我们取 $\xi^{\pm} \equiv \xi(\Lambda^{\pm})$, 由 (4.5) 式知

则 (2.2) 式的解亦可写成

由 Emden-Fowler 变换知 (2.1) 式的解为

因此, 有

其中

在附录中, 我们给出三个引理, 它们在计算过程中会被多次应用.

引理5.1^[1] 假设 $u$, $u^{\prime}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续的径向函数, 并且满足下列条件

其中 $a$, $a^{\prime} \in \mathbb{R}$, $b>0$, $b^{\prime}>0$. 若 $\xi \in \mathbb{R}^n$ 趋于无穷, 则有下列渐近估计

(i) 若 $b<b^{\prime}$,

(ii) 若 $b=b^{\prime}$ 且 $a \geq a^{\prime}$, 则

其中 $u_\xi(x) = u(x- \xi)$.

引理5.2^[6] 对任意实数 $x$, $y$, $y_1$, $y_2$, 若 $x>0$ 且 $1<p<2$, 则下列估计成立

引理5.3^[5] 假设 $p > 1$, 则对任意的 $t \in \mathbb{R}$, $a$, $b>0$, 我们有如下估计