数学物理学报, 2026, 46(5): 1667-1684

三维非齐次不可压缩 MHD 方程组具边界的无粘极限问题

陈鹏飞,*, 陈清菡,

湖南省国家应用数学中心, 教育部智能计算与信息处理重点实验室,湖南省科学与工程计算与仿真重点实验室, 湘潭大学数学与计算科学学院 湖南湘潭 411100

The Zero Parameter Limit for 3D Nonhomogeneous Incompressible MHD Equations with Boundary

Chen Pengfei,*, Chen Qinghan,

National Center for Applied Mathematics in Hunan, Hunan Key Laboratory for Computation and Simulation in Science and Engineering, Key Laboratory of Intelligent Computing and Information Processing of Ministry of Education, School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University, Hunan Xiangtan 411100

通讯作者: * 陈鹏飞, E-mail: cpf@xtu.edu.cn

收稿日期: 2024-08-20   修回日期: 2025-04-20  

基金资助: 国家自然科学基金(12371211)
国家自然科学基金(11771300)

Received: 2024-08-20   Revised: 2025-04-20  

Fund supported: NSFC(12371211)
NSFC(11771300)

作者简介 About authors

陈清菡,E-mail:hnqhchen@163.com

摘要

该文主要研究三维非齐次不可压缩磁流体动力学方程组具有物理边界条件情形的粘性消失极限问题. 具边界的情况下, 速度场和磁场分别满足涡旋滑移条件和完全绝缘条件. 作者在一般光滑有界区域中建立了初边值问题的弱解的整体存在性. 此外, 额外的初始边界条件 $\nabla\rho_0\cdot n = 0$ 在平坦区域对于提高边界条件的正则性以及证明局部强解的一致正则性方面起着非常重要的作用. 当粘性系数和磁耗散系数趋于零时, 作者在 $W^{2,p}(\Omega)$ 意义下建立了带收敛率的高阶收敛估计.

关键词： 非齐次不可压缩 MHD 方程; 粘性消失极限; 边界条件

Abstract

This paper concerns the zero parameter limit problem for the 3-dimensional nonhomogeneous incompressible magnetohydrodynamic equations with physical boundary conditions. In presence of the boundary, the velocity field and the magnetic field fulfill the vorticity-slip and the perfect insulating condition, respectively. We establish a global in time weak solution for the initial-boundary-value problem in general smooth bounded domain. Moreover, for a flat domain, the additional initial boundary condition $\nabla\rho_0\cdot n=0$ plays a very important role in the improving the regularity of the boundary condition and the proof of uniform regularity of the local strong solution. As the viscosity and magnetic dissipation tend to zero, we establish the higher-order convergence estimate with a rate in sense of $W^{2,p}(\Omega)$.

Keywords： nonhomogeneous incompressible MHD equations; the zero parameter limit; boundary conditions

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本文引用格式

陈鹏飞, 陈清菡. 三维非齐次不可压缩 MHD 方程组具边界的无粘极限问题[J]. 数学物理学报, 2026, 46(5): 1667-1684

Chen Pengfei, Chen Qinghan. The Zero Parameter Limit for 3D Nonhomogeneous Incompressible MHD Equations with Boundary[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(5): 1667-1684

1 引言

非齐次不可压缩磁流体动力学 (NMHD) 方程组, 也称为密度相关不可压缩磁流体动力学系统, 描述了导电粒子在电磁场中运动时导电不可压缩流体的宏观行为. 假设所研究的流体具有足够的导电性, 则该系统由非齐次不可压缩 Navier-Stokes 方程和麦克斯韦方程耦合而成, 其中位移电流在麦克斯韦-安培方程中可以忽略. NMHD 的研究范围包括太阳物理学、磁约束聚变、地球物理磁流体动力学、等离子体物理学以及医学应用 (参见文献 [5,13,18,25]). 设 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 是具有边界 $\partial\Omega$ 的单连通光滑有界区域, 则三维 NMHD 方程组的初边值问题可表示为

$\begin{equation}\label{1.1} \left\lbrace \begin{aligned} &\partial_{t}\rho+u\cdot\nabla \rho=0,\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\rho\partial_{t}u-\nu\Delta u+\rho u\cdot\nabla u+\nabla (\pi+\frac{1}{2}|B|^2)=B\cdot\nabla B,\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &B_t-\mu\Delta B+u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u=0,\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\nabla\cdot u=0,\nabla\cdot B=0, \quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &(\rho,u,B)(x,t=0)=(\rho_0,u_0,B_0)(x),\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ \end{aligned}\right. \end{equation}$

其中, $\rho(x,t)$、$u(x,t)$ 和 $B(x,t)$分别表示密度、速度场和磁场; $p = \pi+\frac{1}{2}|B|^2$ 为总压力, 其中 $\pi$ 是流体压力; $\nu>0$ 为粘性系数, $\mu>0$ 为磁扩散系数. 需要注意的是, 我们假设初始密度满足 $m \leq \rho_0 \leq M$, 其中 $m$ 和 $M$ 均为正常数.

流体力学方程组的消失粘性极限问题的数学理论已得到广泛研究, 并取得了诸多有意义的成果. 该理论中一个重要且具有挑战性的问题是在特定物理边界条件下进行严格的数学分析其渐近行为, 实际上, 当粘性消失时, 粘性解渐近收敛理论的主要困难之一是可能存在的强边界层现象. 关于初值问题(1.1)在光滑有界区域上的具体物理边界条件, 我们主要考虑速度场满足涡旋滑移条件[43,46]

$\begin{equation}\label{1.2} u\cdot n=0,\quad \nabla\times u\times n=0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}, \end{equation}$

以及磁场满足绝缘边界条件[14,18]

$\begin{equation}\label{1.3} B\times n=0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}, \end{equation}$

其中 $n$ 是边界上的单位外法向量, $B\times n$ 表示三维向量函数的标准叉积. 此外, 速度场最常见的物理边界条件是无滑移边界条件 $u = 0$, 这是 Prandtl[36] 在研究强边界层现象时首次提出. 另一类边界条件是 Navier 滑移边界条件, $u\cdot n=0, (S(u)n)_\tau=\alpha_\tau u_\tau$, 允许流体在壁面附近滑移, 即该条件最初由 Navier[35] 提出. 事实上, 文献[46]中存在非齐次涡旋滑移条件, 即 $u\cdot n=0, \nabla\times u\cdot\tau=[\beta u]_\tau$. 若 $\beta = 0$, 该条件也称为涡旋滑移边界条件 (参见文献[46]). 特别地, 在二维情形下, 涡旋滑移边界条件可改写为 $u\cdot n=0, \nabla\times u = 0$. 许多流体问题在研究适定性理论及边界层现象时都采用了这类边界条件. 需要注意的是, 磁场的重要物理边界条件是理想导体条件 $B\cdot n=0, \nabla\times B\times n = 0$ (参见文献[15,18,40,44]), 或 $B\cdot n=0, \nabla\times B\cdot n=0, \Delta B\cdot n = 0$ (参见文献[41]).

本文的直接研究动机主要有两方面: 其一源于对不可压缩 Navier-Stokes 方程 (参见文献[43]或磁流体动力学 (MHD) 方程 (参见文献[14,44]) 解在粘性和磁耗散消失时渐近行为的研究; 其二是为了进一步拓展我们先前关于非齐次不可压缩 Navier-Stokes 方程无粘极限问题的工作 (参见文献[6,7]), 其中在涡旋滑移条件下已建立了 $H^3(\Omega)$ 意义下的一致有界先验估计和渐近收敛速率. 需要指出的是, 上述研究成果具有相似的技术路线, 即在推导高阶能量估计和建立收敛速率的过程中, 必须在平坦区域中提高边界条件的正则性.

磁流体动力学方程组适定性理论的研究是流体力学中的重要课题之一, 因其不同的物理背景和数学意义而备受关注. 值得注意的是, 若不存在电磁场效应 (即 $B = 0$), 方程组 (1.1) 退化为所谓的非齐次不可压缩 Navier-Stokes 方程组 (NNSE). 关于该方程组的一般数学理论, 相关问题可分为不同情形, 例如粘性被视为常数或密度相关函数, 初始密度被假设为严格远离真空或允许出现真空. 已有大量文献研究 NNSE 解的存在性、唯一性及大时间渐近行为, 具体可参见文献[2,8,9,20,21,26,28] 及其参考文献. 接下来, 当 $B\neq0$ 时, 我们介绍一些与本文问题更相关的多维不可压缩 MHD 方程组适定性结果. 在全空间或具有特定物理边界条件下的 MHD 方程组已得到广泛研究, 且在各种函数空间中存在大量文献, 齐次情形可参见文献[15,19,40], 非齐次情形可参见文献[1,13,17]. 值得注意的是, 粘性与密度相关的非齐次 MHD 方程组解的整体存在性近期也得到广泛关注, 可参考文献[48], 特别地, Yuan-Zhang-Zhou 在文献[47]中研究了在滑移边界条件下的整体强解.

流体力学和湍流理论中另一个具有根本重要性的经典数学问题是研究 Navier-Stokes 方程或粘性 MHD 方程的无粘极限. 大致而言, 在处理无粘极限问题时, 具有适当边界条件的不同区域对渐近收敛行为会产生不同影响. 一方面, 对于全空间或周期区域情形, 关于 Navier-Stokes 方程可参见文献[10,11,24,33]等, 关于 NNSE 可参见文献 [12,22,23]. 另一方面, 由于可能形成边界层, 具有物理边界的问题变得复杂得多. 对于无滑移边界条件, 除以下特殊情形外, 无粘极限问题尚未得到严格验证, 即解析情形 (参见文献[38,39,42]) 和二维半平面中涡旋远离边界的情形 (参见文献 [31,32]). 对于 Navier 滑移边界条件, 在平坦区域情形下已获得 $H^3(\Omega)$ 一致正则性估计和高阶收敛速率[43], 这些结果在文献[3,4,14,44]中得到了推广. 对一般区域情形的推广, 可参考 Xiao-Xin[45]. 众所周知, 余法向一致估计已被用于估计速度场或磁场的一阶法向导数, 例如文献 [30,34]. 此外, Liu-Xie-Yang 在文献[29,30]中研究了半平面中 MHD 的 Prandtl 边界层方程的零耗散极限问题. 最近, 在理想导体条件下磁场考虑完美绝缘边界条件, Lin 和 Zhou 在文献[27]中在 Gevrey 函数空间中解决了三维轴对称 MHD 边界层系统的适定性理论, 且无需任何结构假设.

基于文献[6,14,44]的工作, 我们继续研究具有边界条件的粘性非齐次磁流体动力学方程组的可解性、正则性以及粘性和耗散消失极限问题. 方程组 (1.1)—(1.3) 在数学上是封闭的, 通过基于特征值问题的标准伽辽金方法, 可以建立相应弱解关于时间的整体存在性以及局部存在唯一强解理论. 边界条件能够有效模拟区域边界上的流体运动, 分析其在边界附近的动力学行为具有重要的物理意义. 众所周知, 磁场的完全绝缘条件和速度场的涡旋滑移条件是两种截然不同的情形. 对于我们的问题而言, 条件 (1.2) 和 (1.3) 无法确保强解的一致适定性理论. 在技术上, 由于缺乏边界的高阶正则性, 对边界附近产生的涡旋系统进行数学分析对于给定的边值问题至关重要. 我们的方法受到文献[14]中所提思想的影响, 其中边界条件

$\begin{equation} (\nabla\times)^3u\times n=0,\ \ (\nabla\times)^3(B\times u)\times n=0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}, \end{equation}$

对于提高边界正则性至关重要. 粘性不可压缩磁流体动力学与非齐次磁流体动力学之间的主要区别之一是密度和速度场之间可能存在的强耦合效应. 通过使用非齐次磁流体动力学涡旋方程组 (2.4), 需要利用速度场的涡旋方程组、引理2.7和命2.1, 进而得到

$\begin{equation} \begin{aligned} &(\nabla\rho\times u_t+\rho\nabla\times u_t)\times n=0,\quad &&\text{在}\ \partial\Omega\ \text{上},\\ &\nabla\rho\times(u\cdot\nabla u)\times n=0,\quad &&\text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}, \end{aligned} \end{equation}$

这意味着 $\Delta\omega_u\times n|_{\partial\Omega}=0$. 也就是说, $(\nabla\rho\times u_t)$ 和 $\nabla\rho\times(u\cdot\nabla u)$ 是法向量. 为了获得这样的条件, 我们添加了一些相容的初始数据条件, 例如边界上的 $\nabla\rho_0\cdot n=0$. 与非齐次 Navier-Stokes 方程组情形[6]相比, 由于向量值函数方向的不一致性, 处理边界积分的数学理论有所不同, 例如, 由边界上的 $\omega_u\times n=0, \omega_B\cdot n=0$ 可以推导出 $\int_{\Omega}B\cdot\nabla\omega_B\omega_u+B\cdot\nabla \omega_u\omega_B{\rm d}x=0$, 并且由 $\nabla \times\psi_{u}$ 的切向分量消失和 $\nabla \times \psi_{B}$ 的法向分量消失也可以推导出 $\int_{\partial \Omega} (B \cdot n) \nabla \times\psi_{u} \cdot \nabla \times \psi_{B} {\rm d}s=0$. 此外, 通过一致估计和 Gagliardo-Nirenberg 不等式, 我们得到了在 $W^{2,p}$ ($p\in [2,6)$) 意义下的渐近收敛速率.

我们的主要结果表述如下.

定理1.1 假设 $\rho_0\in H^3$, $u_0\in W\cap H^3$, $B_0\in \hat{W}\cap H^3$, 且在边界上满足 $\nabla\rho_0\cdot n=0$. 存在时间 $T$, 使得 $T_0\in (0,T)$, 则问题 (1.1)—(1.3) 在 $[0,T_0)$ 上存在唯一强解 $(\rho,u,B)$, 满足 $\rho\in L^\infty(0,T;H^3)$, $u\in L^2(0,T;H^4)$, $\sqrt{\rho}(\nabla\times)^3u\in C([0,T);X)$, $B\in L^2(0,T;H^4)\cap C([0,T);H^3)$, $u_t\in L^2(0,T;W)$, $B_t\in L^2(0,T;\hat{W})$, 并且

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\sup_{0\leq t<T_0}\|\rho\|_3^2+\|\nabla\times\psi_u\|^2+\|\nabla\times\psi_B\|^2\\ &+\int_0^t\|\psi_{ut}\|^2+\|\psi_{Bt}\|^2{\rm d}s+\int_0^t\nu\|\Delta\psi_u\|^2+\mu\|\Delta\psi_B\|^2{\rm d}s \leq C, \end{aligned} \end{equation*}$

其中常数 $C>0$ 与 $\nu$ 和 $\mu$ 无关. 当 $\nu,\mu\longrightarrow 0$ 时, $(\rho,u,B)$ 收敛到具有相同初始值的非齐次不可压缩理想磁流体动力学方程组的解 $(\rho^0,u^0,B^0)$, 并且对于所有 $1\leq q<\infty$, 有

$\begin{equation*} \rho(\nu,\mu), u(\nu,\mu), B(\nu,\mu)\longrightarrow \rho^0, u^0, B^0\ \text{在}\ L^q(0,T_0;H^2(\Omega))\ \text{中}, \end{equation*}$
$\begin{equation*} \rho(\nu,\mu), u(\nu,\mu), B(\nu,\mu)\longrightarrow \rho^0, u^0, B^0\ \text{在}\ C(0,T_0;H^2(\Omega))\ \text{中}, \end{equation*}$

对 $\theta\in [0,1)$, 在 $[T_0]$ 上成立

$\begin{equation*} \|\rho(\nu,\mu)-\rho^0\|^2_{W^{2,p}}+\|u(\nu,\mu)-u^0\|^2_{W^{2,p}} +\|B(\nu,\mu)-B^0\|^2_{W^{2,p}}\leq C(T_0)(\nu +\mu)^{\frac{\theta}{2}} \end{equation*}$

其中 $p\in [2,6)$.

本文其余部分结构如下: 在第 2 节, 我们将收集一些基本引理以及与边界条件 (1.2) 和 (1.3) 相关的函数空间. 此外, 我们还将提高非齐次不可压缩磁流体动力学方程组边界条件的高阶正则性. 在第 3 节, 我们将证明方程组 (1.1)—(1.3) 弱解的整体存在性, 并给出局部强解一致适定性的先验估计. 最后, 我们将建立初边值问题 (1.1)—(1.3) 强解的渐近收敛速率, 证明了本文的主要结果.

2 预备知识及正则性理论

在本节中, 我们收集一些基本引理和函数空间, 然后提高非齐次不可压缩磁流体方程组边界条件的正则性. 标准的索伯列夫空间用 $H^s(\Omega)$ 或 $W^{s,p}(\Omega)$ (其中 $s\geq0$) 表示, 其范数为 $\|\cdot\|_m=\|\cdot\|_{H^m}$, $\|\cdot\|_{L^2}=\|\cdot\|$, 而 $H^{-s}(\Omega)$ (其中 $s\geq0$) 表示 $H^s_0(\Omega)$ 的对偶空间. 为了记号简便, 我们用 $[A,B]=AB - BA$ 表示交换子, 其中 $A$ 和 $B$ 是两个算子, 定义平坦区域 $\Omega=\Omega_T=T^2\times(0,1)$, 其中 $T^2$ 是环面. 当我们书写空间且不会引起歧义时, 此记号可省略.

定义希尔伯特空间为

$\begin{equation*} X=\{u\in L^2;\nabla\cdot u=0,u\cdot n=0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}\}, \end{equation*}$

则有

$\begin{equation*} V=H^1\cap X\subset X, \end{equation*}$
$\begin{equation*} W=\{u\in X\cap H^2;(\nabla\times u)\times n=0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}\}\subset X. \end{equation*}$

类似地, 可定义磁场的空间为

$\begin{equation*} \hat{X}=\{x\in L^2;\nabla\cdot B=0\}, \end{equation*} $
$\begin{equation*} \hat{V}=\{B\in H^1;\nabla\cdot B=0,B\times n=0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}\}, \end{equation*} $
$\begin{equation*} \hat{W}=H^2\cap \hat{V}\subset \hat{V}. \end{equation*}$

对于任意光滑函数 $u\in H^s(\Omega)\cap(V\cup\hat{V})$, 以下引理允许我们控制向量值函数 $u$ 的 $H^s$ 范数, 即 $\|u\|_s\cong\|u\|+\|(\nabla\times)^s u\|$, 其中 $s = 1,2,\cdots$.

引理2.1[43] 设 $u\in H^s$ 是向量值函数, $s\geq0$ 是整数. 则有

$\begin{equation}\label{2.1} \|u\|_s\leq C(\|\nabla\cdot u\|_{s - 1}+\|\nabla\times u\|_{s - 1}+\|u\|_{s - 1}+|u\cdot n|_{s-\frac{1}{2}}), \end{equation}$
$\begin{equation}\label{2.2} \|u\|_s\leq C(\|\nabla\cdot u\|_{s - 1}+\|\nabla\times u\|_{s - 1}+\|u\|_{s - 1}+|u\times n|_{s-\frac{1}{2}}). \end{equation}$

接下来, 我们给出以下 Gagliardo-Nirenberg 不等式[16].

引理2.2 设 $\Omega\subset R^n$是有界光滑区域, $p,q,r\in[1,\infty]$, 以及任意整数 $i,j$ 和 $l$, $0\leq i,l\leq j$. 则有

$\begin{equation} \|D^lu\|_{L^p(\Omega)}\leq C\|D^ju\|_{L^q(\Omega)}^\theta\|D^iu\|_{L^r(\Omega)}^{1-\theta}, \end{equation}$

其中

$\begin{equation*} \frac{1}{p}=\frac{l}{n}+\theta\bigg(\frac{1}{q}-\frac{j}{n}\bigg)+(1-\theta)\bigg(\frac{1}{r}-\frac{i}{n}\bigg). \end{equation*}$

且

$\begin{equation*} \theta \in\left\lbrace \begin{aligned} &\left[\frac{l}{j}, 1\right)\!,~ \text{如果}~ j - l-\frac{n}{q}~ \text{是非负整数},\\ &\left[\frac{l}{j}, 1\right]\!,~ \text{其他}. \end{aligned}\right. \end{equation*}$

常数 $C$ 仅依赖于 $l$, $j$, $q$, $p$, $\theta$.

接下来, 我们给出关于斯托克斯算子 $A$ 和 $\hat{A}$ 的一些基本理论.

引理2.3[46] 设 $A = I - P\Delta$ 是斯托克斯算子, 其定义域为 $D(A)=W\subset V$, 且

$\begin{equation*} (Au,v)=a(u,v)\equiv(u,v)+\int_\Omega\nabla\times u\cdot\nabla\times v{\rm d}x \end{equation*}$

是正定自伴算子, 其逆算子是紧算子, 其中 $P$ 表示投影算子. 则其特征值和相应的特征向量可列为 $0\leq\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\longrightarrow\infty$ 和 $\{e_j\}\subset W\cap C^\infty$, 即 $Ae_j=(1+\lambda_j)e_j,\ \text{或}\ -\Delta e_j=\lambda_j e_j,$ 它们构成 $X$ 的一组完备正交基.

引理2.4[14] 假设 $\hat{e}_j = \frac{\nabla \times e_j}{\|\nabla \times e_j\|}$, 其中 $\{\hat{e}_j\},~ j \in \mathbb{N}$ 构成 $\hat{X}$ 的一组完备正交基. 记双线性形式为 $ \hat{a}(u, v) = (u, v) + \int_\Omega (\nabla \times u) \cdot (\nabla \times v), u, v \in \hat{V} $ 其中定义域 $D(\hat{a}) = \hat{V}$ 是闭的且正定的. $\hat{A} = I - \Delta$ 是双线性形式 $\hat{a}(u, v)$ 的自伴延拓, 其定义域为 $D(\hat{A}) = \hat{W}$.

在提高边界条件的正则性之前, 我们给出关于密度如下的引理.

引理2.5[6] 假设 $\rho$ 为系统 $(1.1)_1$ 的解, 密度的初值在边界上满足 $\nabla\rho_0\cdot n=0$, 其中 $t>0$. 则 $\rho(t)$ 关于时间具有保持性性质, $\nabla\rho(t)\cdot n=0$ 成立.

引理2.6 设 $\rho, u$ 为系统 (1.1)—(1.3) 的解, 其中 $\rho\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$, $u\in C^{\infty}(\overline{\Omega})\cap W$, 且在边界上满足 $\nabla\rho_0\cdot n=0$. 则 $\nabla\times(\rho u_t)\times n=0$ 成立.

证 注意有 $\nabla\times(\rho u_t)\times n=(\nabla\rho\times u_t+\rho\nabla\times u_t)\times n.$ 由引理 2.5 及 $u\cdot n=0$, 可得 $\nabla\rho\times u_t\times n=0$. 由于 $\rho\nabla\times u_t\times n=0$, 因此 $\nabla\times(\rho u_t)\times n=0$.

引理2.7[14] 设 $u, B$ 为系统 (1.1)—(1.3) 的解, 满足 $\nabla\cdot u = 0$, $\nabla\cdot B = 0$ 于 $\Omega$ 内, 且 $B\times n = 0$; $u\cdot n = 0$, $(\nabla\times u)\times n = 0$. 则成立

$\begin{align*} &\partial_3 u_1 = 0,\ \partial_3 u_2 = 0,\ u_3 = 0\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}, \\ &B_1 = 0,\ B_2 = 0,\ \partial_3 B_3 = 0 \quad~\, \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}. \end{align*}$

且

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\nabla\times(B\times u)\times n = (u\cdot\nabla B - B\cdot\nabla u)\times n = 0\quad &&\text{在}\ \partial\Omega\ \text{上},\\ &\nabla\times(\nabla\times u\times u)\times n=0\quad &&\text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}. \end{aligned} \end{equation*}$

注 2.1 事实上, 记涡量 $\omega_u=\nabla\times u$ 与电流 $\omega_B=\nabla\times B$, 我们关于系统 (1.1)—(1.3) 取旋度, 则满足如下非齐次不可压缩 MHD 涡量方程

$\begin{equation}\label{2.4} \left\lbrace \begin{aligned} &\partial_t\rho+u\cdot\nabla \rho=0,\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\rho(\partial_t\omega_u+u\cdot\nabla \omega_u-\omega_u\cdot\nabla u)+ \nabla\rho\times(\partial_t u+u\cdot\nabla u)\\ & -\nu\Delta\omega_u=B\cdot\nabla \omega_B-\omega_B\cdot\nabla B, \quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\partial_t\omega_B-\mu\Delta\omega_B+\nabla\times(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)=0,\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\nabla\cdot u=0,\nabla\cdot B=0, \quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &(\rho,\omega_u,\omega_B)(x,t=0)=(\rho_0,\omega_{u0},\omega_{B0})(x), \quad && x\in \Omega, \end{aligned}\right. \end{equation}$

其边界条件为

$\begin{equation} u\cdot n=0, \omega_u\times n=0, B\times n=0, \omega_B\cdot n=0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}. \end{equation} $

由引理2.7可得磁场边界条件的更高阶正则性, 即 $\Delta B\times n=0~ \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}$, 此式可直接由 $(1.1)_3$ 推导得出. 它蕴含着

$\begin{equation} \partial^2_{33} B_1 = 0,\ \partial^2_{33} B_2 = 0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}. \end{equation} $

对任意 $u\in W$, $B\in\hat{W}$, 我们注意到

$\begin{equation*} H_1(\rho,u,B)=\rho u\cdot\nabla u-B\cdot\nabla B+\nabla p, \end{equation*}$

其中 $p$ 满足

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\Delta p=-\nabla\cdot(\rho u\cdot\nabla u-B\cdot\nabla B),\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\nabla p\cdot n=-(\rho u\cdot\nabla u-B\cdot\nabla B)\cdot n,\quad &&\text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}, \end{aligned} \end{equation*}$

且

$\begin{equation*} H_2(u,B)=u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u. \end{equation*}$

于是, 可得到如下关于边界的命题.

命题2.1 设 $\rho\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$ 且在边界上满足 $\nabla\rho_0\cdot n=0$, $u, B\in C^{\infty}(\overline{\Omega})\cap W$, 则成立 $\nabla\times H_1(\rho,u,B)\times n=0$, $\nabla\times H_2(u,B)\times n=0$.

证 由旋度的定义, 直接可得 $\nabla\times H_2(u,B)\cdot\tau=0$. 此外, 由引理 2.7, 我们有 $\partial_{i,3}u_{j} = 0, \partial_{i,3}B_{3} = 0, i,j=1,2 \ \text{ 在} \ \partial\Omega$ 上. 进一步地,

$\begin{align*} &(\nabla\times H_1(\rho,u,B))_j=(\nabla\times(\rho u\cdot\nabla u-B\cdot\nabla B))_j\\ =&(\nabla\rho\times(u\cdot\nabla u)+\rho u\cdot\nabla\omega_u-\rho\omega_u\cdot\nabla u -B\cdot\nabla \omega_B+\omega_B\cdot\nabla B)_j. \end{align*}$

首先, 由 $\nabla\rho\cdot n=0$ 及 $(u\cdot\nabla u)\cdot n=0$ 可推得 $\nabla\rho\times(u\cdot\nabla u)\times n=0$. 其次,

$\begin{align*} (\rho u\cdot\nabla\omega_u-\rho\omega_u\cdot\nabla u)_1 &=\rho\sum_{i=1}^3(u_i\partial_i \omega_{u1}-\omega_{ui}\partial_i u_1)\\ &=\rho(\sum_{i=1}^2(u_i\partial_i \omega_{u1}-\omega_{ui}\partial_i u_1) +(u_3\partial_3 \omega_{u1}-\omega_{u3}\partial_3 u_1))\\ &=0. \end{align*}$

类似地, $(\rho u\cdot\nabla\omega_u-\rho\omega_u\cdot\nabla u)_2=0$ 且 $(B\cdot\nabla \omega_B-\omega_B\cdot\nabla B)_j=0$ 对于 $j=1,2$ 成立. 则命题得证.

注 2.2 应用命题 2.1, 可得到速度场与磁场的高阶正则性: $\nabla\times\Delta u\times n=0$, $\nabla\times\Delta B\cdot n=0$. 记 $\psi_u=-\Delta u$, $\psi_B=-\Delta B$, 则

$\begin{equation}\label{2.7} \left\lbrace \begin{aligned} &\partial_t\rho+u\cdot\nabla \rho=0,\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\rho\psi_{ut}-\nu\Delta\psi_u+\rho u\cdot\nabla \psi_u\\ & =-[-\Delta,\rho\partial_t]u-[-\Delta,\rho u\cdot\nabla]u -\Delta(B\cdot\nabla B),\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\psi_{Bt}-\mu\Delta\psi_B-\Delta(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)=0,\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\nabla\cdot\psi_u=0, \nabla\cdot\psi_B=0, \quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &(\rho,\psi_u,\psi_B)(x,t=0)=(\rho_0,\psi_{u0},\psi_{B0})(x), \quad && x\in \Omega. \end{aligned}\right. \end{equation}$

此外, $\psi_u=-\Delta u$, $\psi_B=-\Delta B$ 具有边界条件

$\begin{equation}\label{2.8} \psi_u\cdot n=0, \psi_B\cdot\tau=0,(\nabla\times\psi_u) \times n=0, (\nabla\times\psi_B)\cdot n=0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}. \end{equation}$

为建立当粘性趋于零时, 非齐次不可压缩 MHD 的解渐近收敛于非齐次不可压缩理想 MHD 解的解, 从技术路线上分析需要建立关于粘性系数和磁扩散系数的一致性能量估计. 实际上, 一致于粘性的能量估计至少需要建立三阶能量方程. 然而, 磁场的边界条件 2.8 明显不足以处理积分 $\int_{\partial\Omega}-\Delta(\nabla\times\psi_B)\cdot (\nabla\times\psi_B){\rm d}s$. 因此, 我们需要建立关于磁场的更高阶的正则性.

命题2.2 设 $u$, $B$ 在边界上满足条件 2.8. 则成立

$\begin{equation}\label{2.9} \Delta \psi_B\times n=0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}. \end{equation}$

证 我们可参考文献 [14,引理 5.3], 其指出

$ (\nabla\times)^2H_2(u,B)\times n = 0,\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}. $

由方程 $2.7_3$, 我们完成了结论的证明.

注 2.3 在文献[4] 中, 对整数 $k\geq 1, k\in [1,\frac{k_0+1}{2}]$, 作者在平坦区域上将边界条件的正则性提升至 $\omega^k\times n=0$, $\zeta^k\cdot n=0$, 其中 $\omega^{k+1}=\text{curl } \zeta^k$ 且 $\zeta^{k+1}=\text{curl } \omega^{k+1}$. 然而, 由于密度的强耦合效应, 在此框架下难以进一步提升速度场方程在边界附近的正则性.

最后, 我们展示如下微分不等式, 其将在后文中使用.

引理2.8[37] 设 $\phi(0)=\phi_0$, 且满足 $\frac{{\rm d} \phi(t)}{{\rm d} t}+\Psi(t) \leq g(\phi(t))+f(t)$ 对于 $t \geq 0$, 其中 $g$ 是定义于 $\phi \geq 0$ 上的非负 Lipschitz 连续函数, 则 $\phi(t) \leq F\left(t ; \phi_0\right)$ 对于 $t \in\left[0, T\left(\phi_0\right)\right.$ ) 成立, 其中 $F\left(t; \phi_0\right)$ 是初值问题 $\frac{{\rm d} F(t)}{{\rm d} t}=g(F(t))+f(t) ; F(0)=\phi_0$ 的解, 且 $\left[0, T\left(\phi_0\right)\right)$ 是其可延拓的最大区间. 此外, 若 $g$ 是非减函数, 则成立

$ \int_0^t \Psi(\tau) {\rm d} \tau \leq \tilde{F}\left(t ; \phi_0\right), $

其中

$ \tilde{F}\left(t ; \phi_0\right)=\phi_0+\int_0^t\left[g\left(F\left(\tau ; \phi_0\right)\right)+f(\tau)\right] {\rm d} \tau. $

3 适定性理论

接下来, 我们将通过标准的 Galerkin 逼近方法研究系统 (1.1)—(1.3) 在一般光滑有界域中弱解的全局存在性, 以及在平坦域中一致强解的局部存在性. 注意 $H^*$ 是 $H$ 的对偶空间, 常数 $C$ 表示行间的值可能不同.

定义3.1 设 $(\rho,u,B)$ 是系统 (1.1)—(1.3) 在时间区间 $[0,T)$ 上的一个弱解, 其中初值 $\rho_0\in L^2\cap L^\infty$, $u_0\in X$, $B_0\in \hat{X}$. 若 $\rho\in C_w([0,T);L^p)\cap L^\infty(0,T;\Omega)$, $\sqrt{\rho}u\in C_w([0,T);X)$, $u\in L^2(0,T;V)$ 且 $B\in L^2(0,T;\hat{V})\cap C_w([0,T);\hat{X})$ 满足 $u'\in L^1(0,T;V^*)$, $B'\in L^1(0,T;\hat{V}^*)$, 使得对所有的 $\varphi\in H^1_0$, $\phi\in V$, $\psi\in \hat{V}$ 和几乎所有的 $t\in[0,T)$, 成立

$\begin{equation}\label{ws} \begin{aligned} &(\rho^{\prime}, \varphi)+(u\cdot\nabla\rho,\varphi)=0,\\ &(\rho u^{\prime}, \phi) + \nu(\nabla\times u,\nabla\times \phi)+(\rho u\cdot\nabla u-B\cdot\nabla B,\phi)=0,\\ &(B',\psi)+\mu(\nabla\times B,\nabla\times\psi)+(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u,\psi)=0 \end{aligned} \end{equation}$

且满足初值条件

$\begin{equation*} \rho(0)=\rho_0,\quad u(0)=u_0,\quad B(0)=B_0. \end{equation*}$

则称 $(\rho,u,B)$ 为弱解.

定理3.1 设 $\rho_0\in L^\infty$, $u_0\in X$, $B_0\in \hat{X}$ 且 $T>0$. 则存在系统 (1.1)—(1.3) 在 $[0,T)$ 上的至少一个弱解 $(\rho,u,B)$, 该解满足分布意义下的能量不等式

$\begin{equation}\label{3.1} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\rho\|^2+\|\sqrt{\rho}u\|^2+\|B\|^2) +2(\nu\|\nabla\times u\|^2+\mu\|\nabla\times B\|^2)\leq 0. \end{equation}$

证 此定理将基于引理 2.3 和引理 2.4 通过标准的 Galerkin 逼近方法证明. 我们仅写出逼近序列 $\rho^m$, $u^m$ 和 $B^m$ 满足的能量估计

$\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\rho^m\|^2+\|\sqrt{\rho^m}u^m\|^2+\|B^m\|^2)+2(\nu\|\nabla \times u^m\|^2+\mu\|\nabla \times B^m\|^2)=0. \end{equation}$

接下来, 我们可以使用 Constantin 和 Foias 在文献[11] 中的类似论证来完成定理3.1的证明.由于证明相当标准, 我们在此不给出详细过程.

接下来, 我们将获得系统 (1.1)—(1.3) 的 $H^3$ 一致局部强解, 对应的初边值条件为 $\rho_0\in H^3$, $u_0\in W\cap H^3$, $B_0\in \hat{W}\cap H^3$ 且在边界上 $\nabla\rho_0\cdot n=0$.在平坦域的情形下, 存在的时间区间 $[0,T^*)$ 独立于参数 $\nu$ 和 $\mu$. 我们证明如下的一致适定性定理

定理3.2 设 $\rho_0\in H^3$, $u_0\in W\cap H^3$, $B_0\in \hat{W}\cap H^3$, 且在 $\partial\Omega$ 上 $\nabla\rho_0\cdot n=0$. 则存在时间 $T$, 使得对任意 $T_0\in (0,T)$, 问题 (1.1)—(1.3) 在 $[0,T_0)$ 上存在唯一的强解 $(\rho,u,B)$, 满足 $\rho\in L^\infty(0,T;H^3)$, $u\in L^2(0,T;H^4)$, $\sqrt{\rho}(\nabla\times)^3u\in C([0,T);X)$, $B\in L^2(0,T;H^4)\cap C([0,T);H^3)$, $u'\in L^2(0,T;W)$, $B'\in L^2(0,T;\hat{W})$ 且

$\begin{aligned} &\sup_{0\leq t<T_0}\Big(\|\rho\|_3^2+\|\nabla\times\psi_u\|^2+\|\nabla\times\psi_B\|^2\Big)\\ &+\int_0^t\Big(\|\psi_{ut}\|^2+\|\psi_{Bt}\|^2\Big){\rm d}s+\int_0^t\Big(\nu\|\Delta\psi_u\|^2+\mu\|\Delta\psi_B\|^2\Big){\rm d}s \leq C, \end{aligned}$

其中常数 $C>0$ 独立于 $\nu$ 和 $\mu$.

证 记 $\Phi(t)=\int_0^t[1+\|\rho (s)\|_3^2+\|u(s)\|_3^2+\|B(s)\|_3^2]^2{\rm d}s$, $A=1+\|\rho_0\|_3^2$ 和 $Z=\|u_0\|_3^2+\|B_0\|_3^2$. 我们也可以应用 Galerkin 逼近标准程序的正式分析, 为系统 (1.1)—(1.3) 的高阶局部强解建立严格的证明. 相应的逼近序列关于 $m$ 的一致界也可以获得, 通过取极限我们可以建立所需的先验估计. 适定性理论的详细过程可参见文献[14] 及其参考文献. 在此, 我们仅给出一个先验估计的证明.

首先, 对方程 (1.1) 应用算子 $D^\alpha(\alpha\leq3)$, 可得

$\begin{align*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\rho(t)\|_3^2+\sum_{\alpha\leq3}(D^\alpha(u\cdot\nabla\rho) -u\cdot\nabla D^\alpha\rho,D^\alpha\rho)=0. \end{align*}$

于是, 可得

$\begin{align*} \frac{1}{2} \frac{\rm d}{{\rm d} t}\left\|D^{3} \rho\right\|^{2} &=-\left(\left[D^{3}, u \cdot \nabla\right] \rho, D^{3} \rho\right) \\ &=\left(D u \cdot \nabla D^{2} \rho+D^{2} u\cdot \nabla D \rho+D^{3} u \cdot \nabla \rho, D^{3}\rho\right) \\ & \leqslant\|\rho\|_{H^{3}}^{2}\left(\|D u\|_{L^{\infty }}+\left\|D^{2} u\right\|_{L^{3}}+\left\|D^{3} u\right\|_{L^{2}}\right) \\ & \leq C\|\rho\|_{H^{3}}^{2}\|u\|_3\leq C(\|\rho\|_{H^{3}}^{4}+\|u\|_3^2), \end{align*}$

因此, 有

$\begin{equation}\label{3.5} \sup_{0\leq s< T_0}\|\rho (s)\|_3^2\leq C(1+\Phi(t)). \end{equation}$

将方程 (1.2), (1.3) 分别乘以 $u_t, B_t$, 并在 $\Omega$ 上积分, 得到

$\begin{align*} &\int_{\Omega}\rho|u_t|^2+|B_t|^2{\rm d}x+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\nu}{2}\|\nabla\times u\|^2+\frac{\mu}{2}\|\nabla\times B\|^2\right)\\ =&-\int_{\Omega}(\rho u\cdot\nabla u+B\cdot\nabla B)\partial_tu{\rm d}x -\int_{\Omega}(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)\partial_tB{\rm d}x. \end{align*}$

由 Hölder 不等式、Young 不等式, 可得

$\begin{equation}\label{3.6} m\|u_t\|^2+\|B_t\|^2+\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times u\|^2 +\frac{\mu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times B\|^2 \leq C(\|u\|_1^4+\|u\|_2^4+\|B\|_1^4+\|B\|_2^4), \end{equation}$

其中 $C$ 是仅依赖于嵌入定理、$m$ 和 $M$ 的正常数.

将方程 $(2.4)_2, (2.4)_3$ 分别乘以 $\omega_u, \omega_B$, 可得

$\begin{align*} &\frac{1 }{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}\omega_u\|^2+\|\omega_B\|^2) +\nu\|\nabla\times\omega_u\|^2+\mu\|\nabla\times\omega_B\|^2\\ =&\int_{\Omega}(\rho\omega_u\cdot\nabla u+B\cdot\nabla \omega_B-\omega_B\cdot\nabla B)\omega_u -\nabla\rho\times(\partial_t u+u\cdot\nabla u)\omega_u{\rm d}x \\ &+\int_{\Omega}\nabla\times(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)\omega_B{\rm d}x, \end{align*}$

其中我们使用了

$\begin{align*} - \int_{\Omega } \Delta \omega_u \cdot \omega_u{\rm d}x = \int_{\Omega} \nabla\times \omega_u \cdot \nabla\times \omega_u{\rm d}x + \int_{\partial \Omega} (n\times\nabla\times\omega_u)\cdot(\nabla \times \omega_u) {\rm d} x =\|\nabla\times\omega_u\|^2 \end{align*}$

和

$\begin{align*} -\int_{\Omega } \Delta \omega_B \cdot \omega_B{\rm d}x =\int_{\Omega} \nabla\times \omega_B \cdot \nabla\times \omega_B{\rm d}x +\int_{\partial \Omega}n\times\nabla \times\omega_B\cdot\omega_B{\rm d}x =\|\nabla\times\omega_B\|^2. \end{align*}$

简单处理可得

$\begin{align*} \int_{\Omega}\left(\rho \omega_u \cdot \nabla u\right) \omega_u{\rm d}x &\leqslant\|\rho\|_{L^{\infty}}\left\|\omega_u\right\|_{L^{2}} \left\|\nabla u\right\|_{L^{3}}\left\|\omega_u\right\|_{L^{6}}\\ &\leqslant\|\rho\|_2\left\|\omega_u\right\|^\frac{3}{2} \left\|\nabla \times \omega_u\right\|^\frac{3}{2}\\ &\leqslant C\left(\|\rho\|_{2}^{4}+\left\|\omega_u\right\|^{4}+\left\|\nabla \times\omega_u\right\|^{4}\right), \end{align*}$

以及

$\begin{equation*} \int_{\Omega}\nabla \rho \times(u_t+u \cdot \nabla u) \omega_u{\rm d}x \leq C\left(\|\rho\|_{2}^{4}+\left\|\omega_u\right\|^{4}+\left\|\nabla \times\omega_u\right\|^{4}+\|u_t\|^2\right), \end{equation*}$

由边界条件 $\omega_u\times n=0, \omega_B\cdot n=0$ 可得 $\int_{\Omega}B\cdot\nabla\omega_B\omega_u+B\cdot\nabla \omega_u\omega_B {\rm d}x=0$, 于是

$\begin{equation*} \int_{\Omega}\left(B\cdot\nabla \omega_B-\omega_B\cdot\nabla B\right) \omega_u+ \nabla\times(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)\omega_B{\rm d} x \leqslant C\left(\|B\|_{2}^{4}+\|u\|_{2}^{4}+\|u\|_{2}^{2}\right). \end{equation*}$

因此, 有

$\begin{align*}\label{3.7} &\frac{1 }{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}\omega_u\|^2+\|\omega_B\|^2) +\nu\|\nabla\times\omega_u\|^2+\mu\|\nabla\times\omega_B\|^2\nonumber\\ \leq&C(\|\rho\|^4_2+\|u\|^4_2+\|B\|^4_2+\|u\|^2_2)+\frac{m}{2}\|u_t\|^2. \end{align*}$

因此, 将 3.6 与 3.7 式相加, 并在 $[0, t]$ 上积分, 注意到 $\nu,\mu\leq1$, 我们有

$\begin{align*}\label{3.8} &\int_0^t\Big(\|u_t(s)\|^2+\|B_t(s)\|^2+\nu\|\nabla\times\omega_u(s)\|^2+ \mu\|\nabla\times\omega_B(s)\|^2\Big){\rm d}s +\|\omega_u\|^2+\|\omega_B\|^2 \nonumber\\ \leq& C[Z+\Phi(t)]. \end{align*}$

将方程 $(2.4)_2, (2.4)_3$ 分别乘以 $\omega_{ut}, \omega_{Bt}$, 并考虑边界条件 2.8, 在 $\Omega$ 上积分, 可得

$\begin{align*} &\int_{\Omega}\rho|\omega_{ut}|^2+|\omega_{Bt}|^2{\rm d}x +\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{u}\|^2 +\frac{\mu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{B}\|^2\\ =&\int_{\Omega}\rho(\omega_u\cdot\nabla u-u\cdot\nabla \omega_u)\omega_{ut} -\nabla\rho\times(\partial_t u+u\cdot\nabla u)\omega_{ut}{\rm d}x\\ &+\int_{\Omega}(B\cdot\nabla \omega_B-\omega_B\cdot\nabla B)\omega_{ut}{\rm d}x -\int_{\Omega}\nabla\times(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)\omega_{Bt}{\rm d}x. \end{align*}$

通过简单计算, 可以推导出

$\begin{align*} &\int_{\Omega}\rho(\omega_u\cdot\nabla u-u\cdot\nabla \omega_u)\omega_{ut} -\nabla\rho\times(\partial_t u+u\cdot\nabla u)\omega_{ut}{\rm d}x\\ \leq& \frac{1}{4}\|\sqrt{\rho}\omega_{ut}\|^2+C\|u\|^4_3+\|\rho\|^2_3(\|u_t\|^2+\|u\|_3^4),\\ &\int_{\Omega}(B\cdot\nabla \omega_B-\omega_B\cdot\nabla B)\omega_{ut}{\rm d}x -\int_{\Omega}\nabla\times(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)\omega_{Bt}{\rm d}x\\ \leq& \frac{1}{4}\|\sqrt{\rho}\omega_{ut}\|^2+\frac{1}{2}\|\omega_{Bt}\|^2 +C\|u\|^4_3+C\|B\|^4_3. \end{align*}$

因此可得

$\begin{equation}\label{3.9} \begin{aligned} &m\|\omega_{ut}\|^2+\|\omega_{Bt}\|^2 +\nu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{u}\|^2 +\mu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{B}\|^2\\ \leq& C(\|u\|_3^4+\|B\|_3^4+\|\rho\|^2_3(\|u_t\|^2+\|u\|_3^4)). \end{aligned} \end{equation}$

将方程 $2.7_2, 2.7_3$ 分别乘以 $\psi_u,\psi_B$, 并在 $\Omega$ 上积分, 得到

$\begin{align*} &\frac{1 }{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}\psi_u\|^2+\|\psi_B\|^2) +\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2+\mu\|\nabla\times\psi_B\|^2\nonumber\\ =&\int_{\Omega}-[-\Delta,\rho\partial_t] u\psi_u-[-\Delta,\rho u\cdot\nabla]u\psi_u+ \Delta(B\cdot\nabla B)\psi_u {\rm d}x\\ &+\int_{\Omega}\Delta(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)\psi_B{\rm d}x. \end{align*}$

类似地, 通过简单计算可得

$\begin{align*}\label{3.10} &\frac{1 }{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\sqrt{\rho}\psi_u\|^2+\|\psi_B\|^2) +\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2+\mu\|\nabla\times\psi_B\|^2\nonumber\\ \leq&C(\|\rho\|^4_3+\|u\|^4_3+\|u\|^2_3+\|B\|^4_3+\|u_t\|^2) +\frac{m}{2}\|\omega_{ut}\|^2. \end{align*}$

如果将 3.9 与 3.10 式相加, 则有

$\begin{equation}\label{5.9} \begin{aligned} &m\|\omega_{ut}\|^2+\|\omega_{Bt}\|^2+2\nu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{u}\|^2 +2\mu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\omega_{B}\|^2\\ &+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\rho}\psi_u\|^2+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\psi_B\|^2 +2\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2 +2\mu\|\nabla\times\psi_B\|^2\\ \leq& C(\|\rho\|^4_3+\|u\|^4_3+\|B\|^4_3+\|u\|^2_3+\|B\|^2_3+\|u_t\|^2 +\|\rho\|^2_3(\|u\|^4_3+\|u_t\|^2)), \end{aligned} \end{equation}$

在 $[0, t]$ 上积分, 可得

$\begin{equation}\label{3.12} \begin{aligned} &\int_0^t\Big(\|\omega_{ut}\|^2+\|\omega_{Bt}\|^2\Big){\rm d}s +\nu\|\nabla\times\omega_{u}\|^2+\mu\|\nabla\times\omega_{B}\|^2\\ &+\|\sqrt{\rho}\psi_u\|^2+\|\psi_B\|^2 +\int_0^t\Big(\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2+\mu\|\nabla\times\psi_B\|^2\Big){\rm d}s\\ \leq& C[AZ+(A+Z)\Phi(t)+\Phi(t)^2]. \end{aligned} \end{equation}$

将方程 $2.7_2, 2.7_3$ 分别乘以 $\psi_{ut}, \psi_{Bt}$, 并在 $\Omega$ 上积分, 可得

$\begin{align*} &\int_{\Omega}\rho|\psi_{ut}|^2+|\psi_{Bt}|^2{\rm d}x +\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_u\|^2 +\frac{\mu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_B\|^2\nonumber\\ =&\int_{\Omega}-\rho u\cdot\nabla \psi_{u}\psi_{ut}-[-\Delta,\rho\partial_t]u\psi_{ut} -[-\Delta,\rho u\cdot\nabla]u\psi_{ut}{\rm d}x\nonumber\\ &+\int_{\Omega}-\Delta(B\cdot\nabla B)\psi_{ut} +\Delta(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)\psi_{Bt}{\rm d}x, \end{align*}$

其中我们使用了

$\begin{align*} -\int \Delta \psi_u \cdot \psi_{ut}{\rm d}x =\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d} t}\|\nabla \times \psi_u\|^{2}+\int_{\partial \Omega} n \times(\nabla \times \psi_u)\cdot \psi_{ut}{\rm d}x =\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d} t}\|\nabla \times \psi_u\|^{2}, \end{align*}$
$\begin{align*} -\int \Delta \psi_B \cdot \psi_{Bt}{\rm d}x =\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d} t}\|\nabla \times \psi_B\|^{2}+\int_{\partial \Omega} \psi_{Bt}\times n \cdot(\nabla \times \psi_B) {\rm d} x =\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d} t}\|\nabla \times \psi_B\|^{2}. \end{align*}$

因此, 可得

$\begin{equation}\label{3.13} \begin{aligned} &m\|\psi_{ut}\|^2+\|\psi_{Bt}\|^2+\nu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_u\|^2 +\mu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_B\|^2\\ \leq& C(\|u\|^4_3+\|B\|^4_3+\|\rho\|^2_3(\|u\|^4_3+\|\omega_{ut}\|^2+\|u_t\|^2)). \end{aligned} \end{equation}$

在封闭上述能量估计之前, 我们需要进一步建立三阶能量估计. 对系统 (2.8) 应用旋度算子 $\nabla\times$, 可得

$\begin{equation}\label{3.14} \left\lbrace \begin{aligned} &\partial_t\rho+u\cdot\nabla \rho=0,\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\rho\nabla\times\psi_{ut}-\nu\Delta\nabla\times\psi_u+\rho u\cdot\nabla \nabla\times\psi_u =-\nabla\rho\times\psi_{ut}-[\nabla\times,\rho u\cdot\nabla]\psi_u\\ & -\nabla\times[-\Delta,\rho\partial_t]u-\nabla\times[-\Delta,\rho u\cdot\nabla]u -\nabla\times\Delta(B\cdot\nabla B), \quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\nabla\times\psi_{Bt}-\mu\Delta\nabla\times\psi_B-\Delta\nabla\times(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u)=0,\quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &\nabla\cdot\nabla\times\psi_u=0, \nabla\cdot\nabla\times\psi_B=0, \quad &&\text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ &(\rho,\nabla\times\psi_u,\nabla\times\psi_B)(x,t=0)=(\rho_0,\nabla\times\psi_{u0},\nabla\times\psi_{B0})(x), \quad &&x\in \Omega. \end{aligned}\right. \end{equation}$

此外, $\nabla\times\psi_u=-\Delta\nabla\times u,\nabla\times\psi_B=-\Delta\nabla\times B$ 满足以下边界条件

$\begin{equation}\label{3.15} (\nabla\times\psi_u) \times n=0, (\nabla\times\psi_B)\cdot n=0, \nabla\times(\nabla\times\psi_B)\times n=0\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}. \end{equation}$

将方程 $3.14_2, 3.14_3$ 分别乘以 $\nabla\times\psi_u,\nabla\times\psi_B$, 并在 $\Omega$ 上积分, 我们有

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\rho}\nabla\times\psi_u\|^2+ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_B\|^2+ \nu\|\Delta\psi_u\|^2+\mu\|\Delta\psi_B\|^2\\ =&\left(\nabla \rho \times \psi_{u t}, \nabla \times \psi_{u}\right) +\left([\nabla \times, \rho u \cdot \nabla] \psi_{u}, \nabla \times \psi_{u}\right)\\ &+\left(-\nabla\times[-\Delta,\rho\partial_t]u-\nabla\times[-\Delta,\rho u\cdot\nabla]u -\Delta\nabla\times(B\cdot\nabla B),\nabla\times\psi_u\right)\\ &+(\Delta\nabla\times(u\cdot\nabla B-B\cdot\nabla u),\nabla\times\psi_B). \end{aligned} \end{equation*}$

由3.15式可得

$\begin{align*} &-(\Delta\nabla\times\psi_u,\nabla\times\psi_u)=\|\Delta\psi_u\|^2+\int_{\partial\Omega}\nabla\times\psi_u\times n \cdot \Delta\psi_u{\rm d}s=\|\Delta\psi_u\|^2, \\ &-(\Delta\nabla\times\psi_B,\nabla\times\psi_B)=\|\Delta\psi_B\|^2+\int_{\partial\Omega}\nabla\times\psi_B\cdot n \times \Delta\psi_B{\rm d}s=\|\Delta\psi_B\|^2. \end{align*}$

通过简单计算, 有

$\begin{align*} &\left(\nabla \rho \times \psi_{u t}, \nabla \times \psi_{u}\right) \leq \|\rho\|_3^4+\|u\|_3^{{4}}+ \frac{m}{2}\|\psi_{ut}\|^2,\\ &\left([\nabla \times, \rho u \cdot \nabla] \psi_{u}, \nabla \times \psi_{u}\right) \leq \|\rho\|_3^4+\|u\|_3^4,\\ &\left(-\nabla \times\left[-\Delta, \rho \partial_{t}\right] u,\nabla \times \psi_{u}\right) \leq \|\rho\|_3^4+\| \nabla \times \psi_{u} \|^{4}+ (\|u_{t}\|^2+\|\omega_{ut}\|^2),\\ &\nabla\times\left([-\Delta, \rho u \cdot \nabla] u, \nabla\times \psi_{u}\right) \leq\|\rho \|_{{3}}\|u\|_{3}\|u\|_{3} \leqslant C(\|\rho \|_{3}^{4}+\|u\|_{3}^{4}+\|u\|_{3}^{2}),\\ &(-\Delta\nabla\times(u \cdot \nabla B),\nabla\times \psi_{B}) \leq\|u \|_{3}\|B\|_{3}\|B\|_{3} \leqslant C(\|B \|_{3}^{4}+\|u\|_{3}^{2}). \end{align*}$

此外

$\begin{align*} &\left(-\Delta\nabla\times(B \cdot \nabla B),\nabla\times \psi_{{u}}\right)+\left(-\Delta\nabla\times(B \cdot \nabla u),\nabla\times \psi_{{B}}\right) \\ =&\left(B \cdot \nabla \nabla \times \psi_{{B}},\nabla \times \psi_{{u}}\right)+\left(B \cdot \nabla \nabla \times \psi_{{u}}, \nabla \times \psi_{{B}}\right)\\ &+\left([-\Delta\nabla\times, B \cdot \nabla] B,-\Delta \psi_{{u}}\right) +\left([-\Delta\nabla\times, B\cdot \nabla] u,-\Delta \psi_{{B}}\right), \end{align*}$

我们有

$\begin{align*} \left([-\Delta\nabla\times, B \cdot \nabla] B,-\Delta \psi_{{u}}\right) +\left([-\Delta\nabla\times, B\cdot \nabla] u,-\Delta \psi_{{B}}\right) \leq C\|u\|_3\|B\|^2_3, \end{align*}$

由边界条件 $\nabla \times\psi_{{u}}\times n=0$, $\nabla \times\psi_{{B}}\cdot n=0$ 可得

$\begin{align*} &\left(B \cdot \nabla \nabla \times \psi_{{B}},-\nabla \times \psi_{{u}}\right)+\left(B \cdot \nabla \nabla \times \psi_{{u}}, \nabla \times \psi_{{B}}\right)\\ =&\int_{\partial \Omega} B \cdot \nabla (\nabla \times\psi_{{u}} \cdot \nabla \times \psi_{{B}}) {\rm d}s=0. \end{align*}$

于是

$\begin{equation}\label{3.16} \begin{aligned} &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\rho}\nabla\times\psi_u\|^2+ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\times\psi_B\|^2+ \nu\|\Delta\psi_u\|^2+\mu\|\Delta\psi_B\|^2\\ \leq&C(\|\rho\|^4_3+\|u\|^4_3+\|B\|^4_3+\|u\|^2_3+\|u_{{t}}\|^2+\|\omega_{ut}\|^2) + \frac{m}{2}\|\psi_{ut}\|^2. \end{aligned} \end{equation}$

将3.5, 3.13 与 3.16 式相加, 并结合3.8 和 3.12 式, 可得

$\begin{equation}\label{3.17} \begin{aligned} &\int_0^t\Big(\|\psi_{ut}\|^2+\|\psi_{Bt}\|^2\Big){\rm d}s+ \int_0^t\Big(\nu\|\Delta\psi_u\|^2+\mu\|\Delta\psi_B\|^2\Big){\rm d}s\\ &+\|\rho\|_3^2+\nu\|\nabla\times\psi_u\|^2+\mu\|\nabla\times\psi_B\|^2+\|\sqrt{\rho}\nabla\times\psi_u\|^2 +\|\nabla\times\psi_B\|^2\\ \leq& C[A^2Z+A(A+Z)\Phi(t)+(A+Z)\Phi(t)^2+\Phi(t)^3]. \end{aligned} \end{equation}$

存在 $T_0$, 使得 $T_0\leq T^*<T$, 其中 $T$ 和 $T^*$ 分别代表全局弱解的最大存在时间和 $H^3$ 强解的局部存在时间. 由引理2.8, 可知(3.4)式成立.

现在我们通过标准方法证明方程组 1.1—1.3 强解的唯一性.

设 $(\rho,u,B)$ 和 $(\rho^0,u^0,B^0)$ 是方程组 (1.1)—(1.3) 的两个不同强解. 令 $\bar{\rho}=\rho-\rho^0$, $\bar{u}=u-u^0$, $\bar{B}=B-B^0$, 则有

$\partial_t\bar{\rho}+u\cdot\nabla \overline{\rho}+\overline{u}\cdot\nabla \rho^0=0,$
$\rho\partial_t\bar{u}+\overline{\rho}\partial_tu^0-\nu\Delta \bar{u} +\rho u\cdot\nabla \overline{u}+\rho \overline{u}\cdot\nabla u^0+\overline{\rho} u^0\cdot\nabla u^0 -(B\cdot\nabla \overline{B}+\overline{B}\cdot\nabla B^0)=0,$
$\partial_t\bar{B}-\mu\Delta \bar{B}+u\cdot\nabla \overline{B}+\overline{u}\cdot\nabla B^0 -(B\cdot\nabla \overline{u}+\overline{B}\cdot\nabla u^0)=0.$

分别用 $\bar{\rho}$ 与 (3.18)、$\bar{u}$ 与 (3.19)、$\bar{B}$ 与 (3.20) 作内积, 结合边界条件 $\bar{u}\cdot n=0$, $\bar{B}\times n=0$ 可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\bar{\rho}\|^2+\|\sqrt{\rho}\bar{u}\|^2+\|\bar{B}\|^2\right)+2\nu\|\nabla\times\bar{u}\|^2+2\mu\|\nabla\times\bar{B}\|^2 +\left(u\cdot\nabla \rho-u^0\cdot\nabla \rho^0,\overline{\rho}\right)\\ &+\left(\overline{\rho}\partial_tu,\bar{u}\right)+\left(\rho \overline{u}\cdot\nabla u^0 +\overline{\rho} u^0\cdot\nabla u^0,\bar{u}\right) -\left(B\cdot\nabla \overline{B}+\overline{B}\cdot\nabla B^0,\bar{u}\right)\\ &+\left(u\cdot\nabla \overline{B}+\overline{u}\cdot\nabla B^0,\bar{B}\right)-\left(B\cdot\nabla \overline{u}+\overline{B}\cdot\nabla u^0,\bar{B}\right)=0. \end{aligned} \end{equation*}$

通过简单运算可得

$\begin{align*} &\left(u\cdot\nabla \rho-u^0\cdot\nabla \rho^0,\overline{\rho}\right)+\left(\overline{\rho}\partial_tu,\bar{u}\right) \leq C\left(\|\rho^0\|_3+\|\partial_tu\|_2\right)\overline{\rho} \bar{u}, \end{align*}$

以及

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\left|\left(\rho \overline{u}\cdot\nabla u^0+\overline{\rho} u^0\cdot\nabla u^0,\bar{u}\right) -\left(B\cdot\nabla \overline{B}+\overline{B}\cdot\nabla B^0,\bar{u}\right)\right.\\ &\left.+\left(u\cdot\nabla \overline{B}+\overline{u}\cdot\nabla B^0,\bar{B}\right)-\left(B\cdot\nabla \overline{u}+\overline{B}\cdot\nabla u^0,\bar{B}\right)\right|\\ \leq &C\left(\|\bar{\rho}\|+\|\bar{u}\|+\|\bar{B}\|\right)\left(\|\bar{\rho}\|+\|\bar{u}\|+\|\bar{B}\|\right) \left(\|\rho\|_3+\|u\|_3+\|B\|_3+\|u^0\|_3+\|B^0\|_3\right), \end{aligned} \end{equation*}$

其中用到了边界条件 $B\times n=0$, $B^0\times n=0$, $u\cdot n=0$ 和 $u^0\cdot n=0$.

于是有

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\bar{\rho}\|^2+\|\sqrt{\rho}\bar{u}\|^2+\|\bar{B}\|^2\right)+2\nu\|\nabla\times\bar{u}\|^2+2\mu\|\nabla\times\bar{B}\|^2\\ \leq& C\left(1+\|\partial_tu\|_2+\|\rho\|_3+\|u\|_3+\|B\|_3+\|u^0\|_3+\|B^0\|_3\right)\left(\|\bar{\rho}\|^2+\|\bar{u}\|^2+\|\bar{B}\|^2\right) \end{aligned} \end{equation*}$

在区间 $[0,T^*)$ 上成立.

因此, 由初始条件 $\bar{\rho}(0)=\bar{u}(0)=\bar{B}(0)=0$, $\psi_{ut}\in L^2(0,T_0)$ 及 Gronwall 引理可知, 对 $t\in (0,T_0)$ 有 $\rho=\rho^0$, $u=u^0$, $B=B^0$.

4 粘性消失极限

在证明渐近行为时, 我们通过 Aubin-Lions 引理建立了初边值问题 (1.1)—(1.3) 的一致强解收敛到对应非齐次不可压缩理想 MHD 系统的结果, 并给出主定理的收敛速率 ($\nu,\mu\to0$).

基于定理 3.2 的一致正则性估计, 我们建立如下粘性与耗散消失极限

定理4.1 设 $\rho_0\in H^3(\Omega)$, $u_0\in W\cap H^3(\Omega)$, $B_0\in \hat{W}\cap H^3(\Omega)$ 且 $\nabla\rho_0\cdot n=0$ 于 $\partial\Omega$. 若 $(\rho,u,B)=(\rho(\nu,\mu),u(\nu,\mu),B(\nu,\mu))$ 是 $[T_0]$ 上系统 (1.1)—(1.3) 的强解, 则当 $\nu,\mu\to0$ 时, $(\rho,u,B)$ 收敛到具有相同初值的非齐次不可压缩理想 MHD 系统的解 $(\rho^0,u^0,B^0)$, 且满足

$\begin{align*} \rho(\nu,\mu), u(\nu,\mu), B(\nu,\mu) &\to \rho^0, u^0, B^0 \quad \text{于 } L^q(0,T_0;H^2(\Omega)) \\ \rho(\nu,\mu), u(\nu,\mu), B(\nu,\mu) &\to \rho^0, u^0, B^0 \quad \text{于 } C(0,T_0;H^2(\Omega)), \end{align*}$

其中 $1\leq q<\infty$.

证 由定理3.2可知, $(\rho(\nu,\mu), u(\nu,\mu), B(\nu,\mu))$ 以及 $(\rho_t(\nu,\mu), u_t(\nu,\mu), B_t(\nu,\mu))$ 分别在 $C([T_0];H^3(\Omega))$ 空间和 $L^2(0,T_0;H^2(\Omega))$ 空间中一致有界. 应用 Aubin-Lions 引理, 则存在 $\nu,\mu$ 的子列 $\nu_n$, $\mu_n$ 及极限 $(\rho^0,u^0,B^0)$ 使得

$\begin{align*} (\rho(\nu_n,\mu_n),u(\nu_n,\mu_n),B(\nu_n,\mu_n)) &\to (\rho^0,u^0,B^0) \quad \text{于 } L^p(0,T_0;H^2(\Omega)) \\ (\rho(\nu_n,\mu_n),u(\nu_n,\mu_n),B(\nu_n,\mu_n)) &\to (\rho^0,u^0,B^0) \quad \text{于 } C([T_0];H^2(\Omega)) \end{align*}$

当 $\nu_n,\mu_n\rightarrow 0$ 时, 对任意 $1\leq p<\infty$ 成立. 极限函数 $(\rho^0,u^0,B^0)$ 满足以下非齐次不可压缩理想 MHD 系统

$\begin{equation}\label{4.1} \begin{cases} \partial_{t}\rho^0 + u^0\cdot\nabla \rho^0 = 0, & \quad \text{在}\ \Omega\ \text{中}, \\ \rho\partial_{t}u^0 + \rho^0 u^0\cdot\nabla u^0 + \nabla (\pi^0+\frac{1}{2}|B^0|^2) = B^0\cdot\nabla B^0, & \quad \text{在}\ \Omega\ \text{中}, \\ \partial_t B^0 + u^0\cdot\nabla B^0 - B^0\cdot\nabla u^0 = 0, & \quad \text{在}\ \Omega\ \text{中},\\ \nabla\cdot u^0 = 0,\ \nabla\cdot B^0 = 0, &\quad \text{在}\ \Omega\ \text{中}, \\ (\rho^0,u^0,B^0)|_{t=0} = (\rho^0_0,u^0_0,B^0_0), &\quad x\in \Omega \end{cases} \end{equation}$

及边界条件

$\begin{equation}\label{4.2} \begin{aligned} &u^0\cdot n=0,\quad (\nabla\times u^0)\times n=0, & \quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}, \\ &B^0\times n=0,\quad \Delta B^0\times n=0, & \quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}, \end{aligned} \end{equation}$

其中 $p^0=\pi^0+\frac{1}{2}|B^0|^2$ 满足

$\begin{equation}\label{4.3} \begin{aligned} &\mathrm{div}((\rho^0)^{-1} \nabla p^0) = \mathrm{div}\big((\rho^0)^{-1}(B^0\cdot\nabla B^0) - u^0\cdot\nabla u^0\big), && \quad \text{在}\ \Omega\ \text{中}, \\ &\nabla p^0\cdot n = 0, &&\quad \text{在}\ \partial\Omega\ \text{上}. \end{aligned} \end{equation}$

下证非齐次不可压缩理想 MHD 系统解的唯一性: 设 $(\rho,u,B)$ 与 $(\rho^0,u^0,B^0)$ 均为 (4.1)—(4.3) 式的强解. 令 $\bar{\rho}=\rho-\rho^0$, $\bar{u}=u-u^0$, $\bar{B}=B-B^0$, 则

$\begin{equation}\label{4.4} \begin{cases} \partial_t\bar{\rho} + u\cdot\nabla \bar{\rho} + \bar{u}\cdot\nabla \rho^0 = 0 \\ \rho\partial_t\bar{u} + \bar{\rho}\partial_tu^0 + \rho u\cdot\nabla \bar{u} + \rho \bar{u}\cdot\nabla u^0 + \bar{\rho} u^0\cdot\nabla u^0 - (B\cdot\nabla \bar{B} + \bar{B}\cdot\nabla B^0) = 0 \\ \partial_t\bar{B} + u\cdot\nabla \bar{B} + \bar{u}\cdot\nabla B^0 - (B\cdot\nabla \bar{u} + \bar{B}\cdot\nabla u^0) = 0. \end{cases} \end{equation}$

对 $4.4_1$ 式与 $\bar{\rho}$、$4.4_2$ 式与 $\bar{u}$、$4.4_3$ 式与 $\bar{B}$ 作内积得

$\begin{align*} &~~~~\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left( \|\bar{\rho}\|^2 + \|\sqrt{\rho}\bar{u}\|^2 + \|\bar{B}\|^2 \right) \\ &= -\left( u\cdot\nabla\rho - u^0\cdot\nabla\rho^0, \bar{\rho} \right) - \left( \bar{\rho}\partial_tu, \bar{u} \right) - \left( \rho \bar{u}\cdot\nabla u^0 + \bar{\rho} u^0\cdot\nabla u^0, \bar{u} \right) \\ &\quad + \left( B\cdot\nabla \bar{B} + \bar{B}\cdot\nabla B^0, \bar{u} \right) - \left( u\cdot\nabla \bar{B} + \bar{u}\cdot\nabla B^0, \bar{B} \right) + \left( B\cdot\nabla \bar{u} + \bar{B}\cdot\nabla u^0, \bar{B} \right). \end{align*}$

由此导出能量估计

$\begin{align*} &~~~~\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left( \|\bar{\rho}\|^2 + \|\sqrt{\rho}\bar{u}\|^2 + \|\bar{B}\|^2 \right) + 2\nu\|\nabla\times\bar{u}\|^2 + 2\mu\|\nabla\times\bar{B}\|^2 \\ &\leq C\left(1 + \|\partial_tu\|_2 + \|\rho\|_3 + \|u\|_3 + \|B\|_3 + \|u^0\|_3 + \|B^0\|_3 \right) \left( \|\bar{\rho}\|^2 + \|\bar{u}\|^2 + \|\bar{B}\|^2 \right). \end{align*}$

由初值 $\bar{\rho}(0)=\bar{u}(0)=\bar{B}(0)=0$ 及 Gronwall 引理即得唯一性.

最后建立 $H^2(\Omega)$ 范数下的收敛速率

定理4.2 在定理 4.1 条件下, 成立估计

$\begin{equation*} \|\rho(\nu,\mu)-\rho^0\|^2_2 + \|u(\nu,\mu)-u^0\|^2_2 + \|B(\nu,\mu)-B^0\|^2_2 \leq C(T_0)(\nu + \mu) \end{equation*}$

于 $[T_0]$ 上一致成立.

证 令 $a=\rho-\rho^0$, $v=u-u^0$, $M=B-B^0$, $q=p-p^0=\pi-\pi^0+\frac{1}{2}[(B+B^0)\cdot M]$, 则满足

$\begin{equation}\label{4.5} \begin{cases} a_t + u\cdot\nabla a = -v\cdot\nabla\rho^0 \\ \rho(v_t \!+\! u\cdot\nabla v) \!+\! \nabla q - \nu\Delta u - B\cdot\nabla M = M\cdot\nabla B^0 - a u^0_t - \rho v\cdot\nabla u^0 - a u^0\cdot\nabla u^0 \equiv F \\ M_t + u\cdot\nabla M - \mu\Delta B - B\cdot\nabla v = v\cdot\nabla B^0 - M\cdot\nabla u^0 \equiv G \\ \mathrm{div}\ v = 0,\ \mathrm{div}\ M = 0 \end{cases} \end{equation}$

初值 $(a,v,M)|_{t=0}=0$, 边界含 $\nabla\times v\times n=0$, $(\nabla\times)^3 u\times n=0$, $\Delta B\times n=0$, $\Delta B^0\times n=0$.

步骤 1 密度差估计 对 $4.5_1$ 式应用 $D^\alpha(|\alpha|\leq2)$ 后与 $D^\alpha a$ 作内积, 通过 H\"{o}lder 不等式, Young 不等式, 有

$\begin{align*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|a(t)\|_2^2 &= -\sum_{|\alpha|\leq2} \left( [D^\alpha, u\cdot\nabla]a, D^\alpha a \right) - \sum_{|\alpha|\leq2} \left( D^\alpha(v\cdot\nabla\rho^0), D^\alpha a \right) \\ &\leq C\left( \|a(s)\|_2^2 + \|v(s)\|_2^2 \right). \end{align*}$

由 Gronwall 不等式, 可得

$\begin{equation}\label{4.6} \|a(t)\|_2^2 \leq C\int_0^t \|v(s)\|_2^2 {\rm d}s. \end{equation}$

步骤 2 涡量能量估计 令 $\Psi_v = -\Delta v$, $\Psi_M = -\Delta M$, 对 $4.5_2$ 和 $4.5_3$ 式作用 $-\Delta$ 后分别与 $\Psi_v$, $\Psi_M$ 作内积

$\begin{align*}\label{4.7} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left( \|\sqrt{\rho}\Psi_v\|^2 + \|\Psi_M\|^2 \right) &= \underbrace{(-\Delta(\nu\Delta u),\Psi_v) + (-\Delta(\mu\Delta B),\Psi_M)}_{R_1+R_2} \\ &\quad \underbrace{-([-\Delta,\rho u\cdot\nabla]v,\Psi_v)}_{R_3} \underbrace{-([-\Delta,\rho \partial_t]v,\Psi_v)}_{R_4} \\ &\quad + \underbrace{(B\cdot\nabla \Psi_M,\Psi_v) + (B\cdot\nabla \Psi_v,\Psi_M)}_{=0 \text{ (由边界条件}\Psi_v\cdot n=0 \text{和} \Psi_M \times n=0)} \\ &\quad \underbrace{+([-\Delta,B\cdot\nabla]M,\Psi_v) + ([-\Delta,B\cdot\nabla]v,\Psi_M)}_{R_7+R_8} \\ &\quad \underbrace{-([-\Delta,u\cdot\nabla] M,\Psi_M)}_{R_9} \\ &\quad \underbrace{+(\Delta F,\Psi_v) + (\Delta G,\Psi_M)}_{R_{10}+R_{11}}~, \end{align*}$

其中 $F=M\cdot\nabla B^0 - a u^0_t - \rho v\cdot\nabla u^0 - a u^0\cdot\nabla u^0$ 和 $G=v\cdot\nabla B^0 - M\cdot\nabla u^0$.

步骤 3 项界估计 下面我们逐项估计右边的非线性项.

$ \bullet $$R_1+R_2 \leq C(\nu+\mu)(\|u\|_3^2 + \|B\|_3^2) \leq C(\nu+\mu)$

$ \bullet $$R_3 \leq C(\|\rho\|_3 + \|u\|_3)^2\|v\|_2^2 \leq C\|v\|_2^2$

$ \bullet $$R_4 \leq C\|\rho\|_3\|v_t\|_1\|v\|_2 \leq C(\|v\|_2^2 + \|\nabla\times v_t\|^2)$

$ \bullet $$R_7+R_8 \leq C(\|v\|_2^2 + \|M\|_2^2)$

$ \bullet $$R_9 \leq C\|M\|_2^2$

$ \bullet $$R_{10}+R_{11} \leq C(\|F\|_2^2 + \|G\|_2^2) \leq C(\|a\|_2^2 + \|v\|_2^2 + \|M\|_2^2)$

代入 4.7式得

$\begin{equation}\label{4.8} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left( \|\sqrt{\rho}\Psi_v\|^2 + \|\Psi_M\|^2 \right) \leq C\left( \nu + \mu + \|a\|_2^2 + \|v\|_2^2 + \|M\|_2^2 + \|\nabla\times v_t\|^2 \right). \end{equation}$

步骤 4 时间导数估计 为了封闭能量方程 (4.8), 由 $(4.5)_2$ 式可得

$\begin{equation}\label{4.9} \nu\|\Delta v(t)\|^2 + \int_0^t \|\nabla\times v_t\|^2 {\rm d}s \leq C\nu + C\int_0^t \left( \|a\|_2^2 + \|v\|_2^2 + \|M\|_2^2 \right) {\rm d}s. \end{equation}$

步骤 5 Gronwall 综合 联立 (4.6), (4.8), (4.9) 式并应用 Gronwall 引理, 得

$\begin{equation}\label{4.11} \|a(t)\|_2^2 + \|\Psi_v(t)\|^2 + \|\Psi_M(t)\|^2 \leq C(T_0)(\nu + \mu). \end{equation}$

定理得证.

进一步给出高阶收敛速率估计

推论4.1 在定理4.2条件下, 对 $\theta\in [0,1)$ 和 $p\in [2,6)$, 则下面的结论成立

$\begin{equation*} \|\rho-\rho^0\|_{W^{2,p}}^2 + \|u-u^0\|_{W^{2,p}}^2 + \|B-B^0\|_{W^{2,p}}^2 \leq C(T_0)(\nu + \mu)^{\frac{\theta}{2}}. \end{equation*}$

证 由引理2.2 和 (4.10) 式, 对 $p=\frac{6}{2\theta+1}\in(2,6)$:

$\begin{align*} \|\rho-\rho^0\|_{W^{2,p}} &\leq C\|\rho-\rho^0\|_2^\theta \|\rho-\rho^0\|_3^{1-\theta} \\ &\leq C(\nu+\mu)^{\frac{\theta}{2}} (\|\rho\|_3 + \|\rho^0\|_3)^{1-\theta} \\ &\leq C(T_0)(\nu+\mu)^{\frac{\theta}{2}}. \end{align*}$

当 $p=2$ ($\theta=1$) 时收敛性由 (4.10) 式直接保证, 但 $p=6$ ($\theta=0$) 时不能建立相关的收敛率估计.

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In this paper, we investigate the solvability, regularity and the vanishing dissipation limit of solutions to the three-dimensional viscous magnetohydrodynamic (MHD) equations in bounded domains. On the boundary, the velocity field fulfills a Navier-slip condition, while the magnetic field satisfies the insulating condition. It is shown that the initial boundary value problem has a global weak solution for a general smooth domain. More importantly, for a flat domain, we establish the uniform local well-posedness of the strong solution with higher-order uniform regularity and the asymptotic convergence with a rate to the solution of the ideal MHD equation as the dissipations tend to zero.

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