Gomes 等^[1]对经典 Ricci 孤立子 (即 Ricci 流的自相似解, 参见文献[2]) 进行了推广, 提出了 $h$-近 Ricci 孤立子的概念. 设 $(M^s,g)$ 是 $s$ 维黎曼流形, 若存在光滑函数 $h,\lambda: M^s\to\mathbb{R}$ 及光滑向量场 $V\in \mathfrak{X}(M)$ 满足如下方程

则称 $(M^s,g)$ 为 $h$-近 Ricci 孤立子, 记作 $(M,g,V,h,\lambda)$, 其中 $\mathrm{Ric}$ 是 Ricci 张量, $\mathcal{L}_V$ 表示沿向量场 $V$ 方向的 Lie 导数, $V$ 称为势向量场.

若 $h\equiv 1$, 视 $\lambda$ 是常数或非常值函数, 方程 (1.1) 退化为经典 Ricci 孤立子方程 (参见文献[3]或近 Ricci 孤立子方程 (参见文献 [4]).

本文研究具有 $h$-近 Ricci 孤立子结构的双重卷积流形, 为此先回忆卷积流形的概念 (参见文献[5]). 设 $(M_1,g_1)$, $(M_2,g_2)$ 分别是 $m_1, m_2$ 维黎曼流形, 其直积流形记作 $M=M_1\times{M_2}$, 并设 $\pi_1: M\to M_1$ 与 $\pi_2: M\to M_2$ 为自然投影. 设 $f:M_1\rightarrow\mathbb{R}^+$ 是 $M_1$ 上的光滑正函数, 则直积流形可赋予卷积度量

此时称 $(M,g)$ 为 $M_1$ 与 $M_2$ 的卷积流形, 记作 $(M=M_1\times_{f}{M_2},g)$, 其中 ${\pi_i}^*(g_i)$ 是 $g_i$ 通过 $\pi_i$ 的拉回, $i\in\{1,2\}$, $f$ 称为卷积函数. 特别地, 当 $f$ 是常数时, 卷积流形即退化为黎曼直积流形.

进一步, 对于 $M_1$ 与 $M_2$ 上的光滑正函数 $f_1:M_1\to\mathbb{R}^+$, $f_2:M_2\to\mathbb{R}^+$,

则可定义双重卷积流形 (参见文献[6]), 其度量形式为

记作 ($M=_{f_2}{M_1}\times_{f_1}{M_2},g)$, 函数 $f_1,f_2$ 称为卷积函数. 若 $f_1$ 或 $f_2$ 是常数, 则 $(M,g)$ 即为卷积流形; 若 $f_1$ 和 $f_2$ 都是常数, 则 $(M,g)$ 即为直积流形.

文献[7] 中, 作者主要讨论了卷积流形成为梯度 $h$-近 Ricci 孤立子(即势向量场 $V$ 是某个光滑函数的梯度向量场) 的充分必要条件.此外, Shenawy 等以及 Kaya 分别在文献[8] 和 [9] 中讨论了近Ricci-Bourguignon 孤立子和双曲 Ricci 孤立子在双重卷积流形上的情况,给出了具有相应孤立子结构的双重卷积流形与 Einstein 流形之间的关系,并在适当的约束条件下, 证明了双重卷积流形以及因子流形均为 Einstein 流形.

受上述工作的启发, 本文探讨了双重卷积流形是 $h$-近 Ricci 孤立子的充要条件 (定理 3.1)以及具有 $h$-近 Ricci 孤立子结构的双重卷积流形与 Einstein 流形之间的关系 (定理 3.2, 定理 3.3),目的是将其与物理中的广义相对论理论相联系, 便于研究与时空几何相关的问题.

为了陈述主要定理, 沿用文献[8] 的记号作如下约定. 设 $M=_{f_2}{M_1}\times_{f_1}{M_2}$ 是具有 Levi-Civita 联络 $\nabla$ 的双重卷积流形, 且 $\nabla^i$ 表示 $g_i$ 的 Levi-Civita 联络, $i\in\{1,2\}$. 用 $\mathcal{L}(M_i)$ 表示 $M_i$ 上向量场在 $M$ 上的提升集, 在不至于引起混淆的情况下, 为了方便, 我们用相同的符号表示向量场及其提升. 因此对于 $M$ 中的任意一个向量场 $X$, 可以表示为 $X=X_1+X_2$ 的形式, 其中 $X_i\in \mathcal{L}(M_i)$, $i\in \{1,2\}$. 类似地, 用相同的符号表示度量及其拉回.每个 $\pi_i$ 都是 (正) 位似的, 所以它保留了 Levi-Civita 联络 (参见文献[10]).因此, 用相同的符号表示 $M_i$ 上的联络及其通过 $\pi_i$ 的拉回.

设 $(M,g)$ 是黎曼流形, $V$ 是 $M$ 上的光滑向量场. 如果存在光滑函数 $\varphi: M\to\mathbb{R}$使得对 $M$ 上任意向量场 $X$, 有

则称向量场 $V$ 为 $M$ 上的共圆 (concircular) 向量场, $\varphi$ 为 $V$ 的共圆因子 (参见文献[11]).如果存在函数 $\omega:M\to\mathbb{R}$, 使得对 $M$ 上任意向量场 $X,Y$, 有

则称 $V$ 为 $M$ 上的共形 (conformal) 向量场, $\omega$ 称为 $V$ 的共形因子. 若 $\omega=0$, 则 $V$ 称为 Killing 向量场^[9].

引理2.1^[12] 设 $(M=_{f_2}{M_1}\times_{f_1}{M_2},g)$ 是双重卷积流形, $X_1, Y_1\in\mathcal{L}(M_1)$, $X_2,Y_2\in\mathcal{L}(M_2)$. 那么

(1) $\nabla_{X_1}Y_1=\nabla^1_{X_1}Y_1-g(X_1,Y_1)\nabla(\ln f_2)$;

(2) $\nabla_{X_1}X_2=\nabla_{X_2}X_1=X_2(\ln f_2)X_1+X_1(\ln f_1)X_2$;

(3) $\nabla_{X_2}Y_2=\nabla^2_{X_2}Y_2-g(X_2,Y_2)\nabla(\ln f_1)$.

引理2.2^[10] 设 $(M=_{f_2}{M_1}\times_{f_1}{M_2},g)$ 是双重卷积流形, $X_1, Y_1\in\mathcal{L}(M_1)$, $X_2,Y_2\in\mathcal{L}(M_2)$. 那么

(1) $\mathrm{Ric}(X_1,Y_1)= \mathrm{Ric}^1(X_1,Y_1)-\frac{m_2}{f_1}H_1^{f_1}(X_1,Y_1)-g(X_1,Y_1)\Delta(\ln f_2)$;

(2) $\mathrm{Ric}(X_1,X_2)=(m_1+m_2-2)X_1(\ln f_1)X_2(\ln f_2)$;

(3) $\mathrm{Ric}(X_2,Y_2)= \mathrm{Ric}^2(X_2,Y_2)-\frac{m_1}{f_2}H_2^{f_2}(X_2,Y_2)-g(X_2,Y_2)\Delta(\ln f_1)$,

其中 ${\mathrm{Ric}}^1$ 和 ${\mathrm{Ric}}^2$ 分别是 $(M_1,g_1)$ 和 $(M_2,g_2)$ 的 Ricci 曲率张量的提升, $m_1, m_2$ 分别是 $M_1, M_2$ 的维数, $\Delta$ 是 $M$ 上的 Laplace 算子.

引理2.3^[13] 设 $(M,g)$ 是双重卷积流形, 则势向量场 $V=V_1+V_2$ 满足方程

其中 $\mathcal{L}^i_{V_i}g_i$ 是 $M_i$ 上的度量沿 $V_i$ 方向 Lie 导数的提升, $X=X_1+X_2$, $Y=Y_1+Y_2$, $V_i, X_i, Y_i\in \mathcal{L}(M_i)$, $i\in\{1,2\}$.

定理3.1 设 $M=_{f_2}{M_1}\times_{f_1}{M_2}$ 是双重卷积流形, $M_i$ 的维数 $m_i\geq2$. 若 $H_i^{f_i}={\varphi_i}{g_i}$, 则 $(M,g,V,h,\lambda)$ 是 $h$-近 Ricci 孤立子当且仅当以下条件成立

(1) $(M_i,g_i,V_i,h_i,\lambda_i)$ 是 $h_i$-近 Ricci 孤立子;

(2) $X_i(\ln f_i)Y_j(\ln f_j)=0$,

其中 $H_i^{f_i}$ 是 $M_i$ 中关于函数 $f_i$ 的 Hessian 算子, $\varphi_i\in\mathrm{C}^\infty(M_i)$, $V=V_1+V_2$, $\forall X=X_1+X_2, Y=Y_1+Y_2\in \mathfrak{X}(M)$, $V_i, X_i, Y_i\in\mathcal{L}(M_i)$, $h_i=h f_j^2$, $\lambda_i=f_j^2 (\lambda+\Delta(\ln f_j))+\frac{m_j}{f_i} \varphi_i-\frac{h}{2}V_j(f_j^2)$, $i,j\in{\{1,2\}}$, $i\neq j$.

证 必要性 设双重卷积流形 $M=_{f_2}{M_1}\times_{f_1}{M_2}$ 是 $h$-近 Ricci 孤立子, 则方程 (1.1) 成立. 对任意的 $X_1,Y_1\in\mathcal{L}(M_1)$, 由引理 2.1 可知

将方程 (1.1) 代入, 得

由引理 2.3 以及假设可知

整理得

即$ \mathrm{Ric}^1+\frac{h_1}{2}\mathcal{L}_{V_1}^1 g_1=\lambda_1g_1. $

故 $(M_1,g_1,V_1,h_1,\lambda_1)$ 是 $h_1$-近 Ricci 孤立子, 其中 $h_1=hf_2^2$, $\lambda_1=f_2^2\big(\lambda+\Delta(\ln{f_2})\big)+\frac{m_2}{f_1}\varphi_1-\frac{h}{2}V_2^2(f_2^2)$.

再由引理 2.3 结合孤立子方程 (1.1), 类似地可证得 $(M_2,g_2,V_2,h_2,\lambda_2)$ 是 $h_2$-近 Ricci 孤立子.

另外, 对任意的 $X_i\in \mathcal{L}(M_i)$, $Y_j\in \mathcal{L}(M_j)$, $i,j=1,2$, $i\neq j$, 有 $\mathcal{L}_Vg(X_i,Y_j)=0$ 及 $g(X_i,Y_j)=0$, 由引理 2.2 结合孤立子方程 (1.1) 可知

又由于 $m_i\geq2$, 可得 $X_i(\ln{f_i})Y_j(\ln{f_j})=0$. 必要性得证.

充分性 设 $(M_1,g_1,V_1,h_1,\lambda_1)$ 是 $h_1$-近 Ricci 孤立子, 则对任意的 $X_1,Y_1\in\mathcal{L}(M_1)$, 有

其中 $h_1=hf_2^2$, $\lambda_1=f_2^2\big(\lambda+\Delta(\ln{f_2})\big)+\frac{m_2}{f_1}\varphi_1-\frac{h}{2}V_2^2(f_2^2)$. 由引理 2.1 直接计算可得

\begin{equation*} \begin{aligned} \mathrm{Ric}(X_1,Y_1)= &f_2^2\lambda g_1(X_1,Y_1)+f_2^2\Delta(\ln{f_2})g_1(X_1,Y_1)\\ &+\frac{m_2}{f_1}\varphi_1g_1(X_1,Y_1)-\frac{h}{2}V_2(f_2^2)g_1(X_1,Y_1)-\frac{hf_2^2}{2}(\mathcal{L}_{V_1}^1g_1)(X_1,Y_1)\\ &-\frac{m_2}{f_1}H_1^{f_1}(X_1,Y_1)-\Delta(\ln{f_2})g(X_1,Y_1), \end{aligned} \end{equation*}

整理得

同理, 当 $(M_2,g_2,V_2,h_2,\lambda_2)$ 是 $h_2$-近 Ricci 孤立子时, 有

另外, 对任意的 $X_i\in \mathcal{L}(M_i)$, $Y_j\in \mathcal{L}(M_j)$, 由 $X_i(\ln{f_i})Y_j(\ln{f_j})=0$ 及引理 2.2(2) 可知

又由于 $\mathcal{L}_Vg(X_i,Y_j)=0$ 及 $g(X_i,Y_j)=0$, 此时,

综上, 可知 $\mathrm{Ric}(X,Y)$ 的各个分量均满足孤立子方程 (1.1), 即在 $M$ 上有

故 $(M,g,V,h,\lambda)$ 是 $h$-近 Ricci 孤立子. 充分性得证.

注 3.1 当 $m_1=m_2=1$ 时, 由引理 2.2 可知 $\mathrm{Ric}(X_i,Y_j)=0$ 恒成立. 结合定理 3.1 的证明过程不难发现: $(M,g,V,h,\lambda)$ 是 $h$-近 Ricci 孤立子当且仅当 $(M_i,g_i,V_i,h_i,\lambda_i)$ 是 $h_i$-近 Ricci 孤立子.

定理3.2 设 $(M=_{f_2}{M_1}\times_{f_1}{M_2},g,V,h,\lambda)$ 是具有双重卷积结构的 $h$-近 Ricci 孤立子, 其中 $V=V_1+V_2$, $V_i\in\mathcal{L}(M_i)$ ($i\in\{1,2\}$). 假设 $H_i^{f_i}=\varphi_ig_i$, 若以下条件之一成立

(1) $V$ 是 $M$ 上的共形向量场;

(2) $V_i$ 是 $M_i$ 上的共形向量场.

则 $(M_i,g_i)$ 是 Einstein 流形, 其中 $H_i^{f_i}$ 是 $M_i$ 中关于函数 $f_i$ 的 Hessian 算子, $\varphi_i\in\mathrm{C}^\infty(M_i)$, $V_i\in\mathcal{L}(M_i)$, $i\in\{1,2\}$.

证 设 $V$ 是 $M$ 上的共形向量场, 则由方程 (2.2) 可知 $\mathcal{L}_Vg=2\omega g$, 其中 $\omega$ 是共形因子. 于是, 对任意的 $X=X_1+X_2,$$Y=Y_1+Y_2\in\mathfrak{X}(M)$, $X_i,Y_i\in \mathcal{L}(M_i)$, $i\in\{1,2\}$, 由孤立子方程 (1.1) 有

由定理 3.1 的证明过程可知, 对 $X_1,Y_1\in\mathcal{L}(M_1)$, 方程 (3.1) 成立, 将上式代入方程 (3.1) 得

整理得

即 $(M_1,g_1)$ 是 Einstein 流形.

同理可得 $(M_2,g_2)$ 是 Einstein 流形. 情形 (1) 得证.

设 $V_1$ 是 $M_1$ 上共形向量场, 则由方程 (2.2) 可知 $\mathcal{L}_{V_1}^1g_1=2\omega_1g_1$, 其中 $\omega_1$ 是共形因子. 对 $X_1,Y_1\in\mathcal{L}(M_1)$, 由方程 (3.2) 可知

整理得

即 $(M_1,g_1)$ 是 Einstein 流形.

当 $V_2$ 是 $M_2$ 上共形向量场时, 同理可得 $(M_2,g_2)$ 是 Einstein 流形. 情形 (2) 得证.

注 3.2 上述定理中的条件 $H_i^{f_i}={\varphi_i}{g_i}$ 等价于 $\nabla^i{f_i}$ 是共圆向量场 (定义参见第 2 节), 且共圆因子是 $\varphi_i$. 事实上, 设 ${\nabla}^1f_1$ 和 ${\nabla}^2f_2$ 分别是共圆因子为 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 的共圆向量场, 对任意的 $X=X_1+X_2\in \mathfrak{X}(M)$, $X_i\in \mathcal{L}(M_i)$, $i\in\{1,2\}$, 由方程 (2.1)可知 $\nabla_{X_i}(\nabla^if_i)=\varphi_iX_i$. 于是有

即 $H_i^{f_i}(X_i,Y_i)=\varphi_ig_i(X_i,Y_i)$.

在系统分析 $h$-近 Ricci 孤立子的势向量场的水平分量 (沿基流形) 和垂直分量 (沿纤维流形) 的几何特性后, 本文进一步研究具有双重卷积结构的 $h$-近 Ricci 孤立子的整体几何特征, 得到如下定理.

定理3.3 设 $(M=_{f_2}{M_1}\times_{f_1}{M_2},g,V,h,\lambda)$ 是具有双重卷积结构的 $h$-近 Ricci 孤立子, 其中 $V=V_1+V_2$, $V_i\in\mathcal{L}(M_i)$ ($i\in\{1,2\}$). 若以下条件之一成立

(1) $V_2=0$, $V_1$ 是 $M_1$ 上的 Killing 向量场且 $V_1(f_1^2)=0$;

(2) $V_1=0$, $V_2$ 是 $M_2$ 上的 Killing 向量场且 $V_2(f_2^2)=0$;

(3) $V_1,V_2$ 分别是 $M_1$, $M_2$ 上的 Killing 向量场, 且 $V_1(f_1^2)=0$, $V_2(f_2^2)=0$.

则 $(M,g)$ 是 Einstein 流形.

证 由于 $M$ 是 $h$-近 Ricci 孤立子, 方程 (1.1) 成立. 假设 $V_1$ 是 $M_1$ 上的 Killing 向量场, 则有 $\mathcal{L}_{V_1}^1g_1=0$. 由引理 2.3 可知

又由于 $V_2=0$ 且 $V_1(f_1^2)=0$, 可得上式为零. 此时方程 (1.1) 变为

故 $(M,g)$ 是 Einstein 流形. 类似可证明在条件 (2) 下结论也成立.

最后, 设 $V_1,V_2$ 分别是 $M_1,M_2$ 上的 Killing 向量场, 则有 $\mathcal{L}_{V_i}^ig_i=0$, 由引理 2.3 结合假设条件 $V_i(f_i^2)=0$ 可知

于是方程 (1.1) 变为 $\mathrm{Ric}(X,Y)=\lambda g(X,Y)$. 故 $(M,g)$ 是 Einstein 流形.