1 引言
曲面或流形沿法向速度为曲面平均曲率随时间的演化是平均曲率流, 这是一个非线性几何热流. 很多经典的结果已经被 Brakke, Huisken 与朱等[1 3] 取得. 作为一个强有效的工具, 它已经被广泛应用到几何、拓扑、图像处理及晶体增长中. Huisken 和 Ilmanen[4 ] 通过逆平均曲率流的弱解理论证明了广义相对论中的 Riemannian-Penrose 不等式. 在 K$\ddot{\rm a}$ [5 ] 证明了只要平均曲率流存在光滑解, 辛结构一定能保持.
双曲平均曲率流是非线性双曲偏微分方程理论与微分几何、物理学、生物医学、图像处理等领域相交叉的前沿课题. 例如, Bellettini 与 Hoppe[6 ] 运用双曲平均曲率流的数学思想, 分析了相对论闭弦的几何特性. Ishida 等[7 ] 将薄膜动力学方程转化为体积守恒的双曲几何流, 成功模拟了肥皂泡的演化过程, 该模型简洁稳定且符合普拉托原理. Alias 与 Buenzli[8 ] 首次提出并研究了细胞与组织演化的双曲曲率流模型. 董等[9 ] 率先将一类阻尼二阶水平集平均曲率方程应用于图像去噪与校正位移误差. Yau[10 ] 则首次指出双曲几何方程
(1.1) $\begin{equation}\label{eq:1.1} \frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}}=-H\vec{n} \end{equation}$
与振动膜之间的关系, 其中 $F(\cdot,t): M^{n}\to R^{n+1}$ $R^{n+1}$ $H$ $F(\cdot,t)$ $\vec{n}$ $F(\cdot,t)$ [11 ] 证明了双曲流 (1.1) 的短时间存在性并分析了其与 Minkowski 时空极值曲面的关系. Ginder 与 Svadlenka[12 ] 对 (1.1) 式进行数值模拟. Notz[13 ] 首次探讨了由几何方程
(1.2) $\begin{equation}\label{eq:1.2} \overline{\nabla}_{\partial t}\partial_{t}F=\frac{{\rm d}\mu_{t}}{{\rm d}\mu_{0}}\left(-H+\frac{k}{Vol(F)}\right)\vec{n},\end{equation}$
(1.3) $\begin{equation}\label{eq:1.3}\mathcal{S}(F)=\int_{0}^{T}(\mathcal{K}(F)-\mathcal{A}(F)-k\mathcal{I}(F)){\rm d}t,\end{equation}$
推导得出, 其中 $\mathcal{K}(F)$ $\mathcal{A}(F)$ $\mathcal{I}(F))$
Notz 证明了几何流的局部存在定理, 并在满足延拓准则的充分条件下, 将解的适用时间区间扩展至更长. 此外, 闫[14 ] 证明了局部适定性以及中心力作用下闭超曲面演化的初始稳定性. 最近, 邵[15 ] 在作用量 (1.3) 式中引入了阻尼项
(1.4) $\begin{equation}\label{eq:1.4}\mathcal{S}(F)=\int_{0}^{T}e^{bt}\Big[\mathcal{K}(F)-\mathcal{A}(F)-k\mathcal{I}(F)\Big]{\rm d}t,\end{equation}$
(1.5) $\begin{equation}\label{eq:1.5} \overline{\nabla}_{\partial t}\partial_{t}F+bX_{\partial t}=\frac{{\rm d}\mu_{t}}{{\rm d}\mu_{0}}\left(-H+\frac{k}{Vol(F)}\right)\vec{n},\end{equation}$
其中 $b\geq 0$ $\ddot{o}$ $\varepsilon^{-\frac{1}{6}}$ [16 ] 研究了受外摩擦与内摩擦驱动的闭超曲面动力学, 发现受微小扰动的闭超曲面会平滑收缩为唯一确定的光滑浸入.
Gurtin 等[17 ] 首次提出双曲曲线流模拟氦晶体融化的震荡现象. Rostein 等[18 ] 引入一个双曲结晶算法模拟闭凸多项式曲线的演化. 一个双曲几何演化方程
(1.6) $\begin{equation}\label{eq:1.6}\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}}=eH\vec{n}-\nabla e \end{equation}$
被 Lefloch 与 Smoczyk[19 ] 提出, 其中局部能量 $e$
他们证明了法向双曲平均曲率流将在有限时间内爆破, 并且在图的情况下, 根据弱解证明了在一大类熵解中经典解是唯一的, 在一维图及初始值 BV 模很小的情况下证明了整体解的存在性定理. 李与王[20 ] 进一步研究了 (1.6) 式经典解的生命跨度. LeFloch 与闫[21 ] 证明了该几何流在球对称情况下一族爆破解的非线性稳定性. 高等[22 ] 考虑了一维情形下群不变解及守恒律. 当 $2\leq n\leq 7$ [23 ] 证明了该几何流作用下超曲面的整体存在性及其稳定性. 孔等[24 ] 首次提出双曲曲线流,
(1.7) $\begin{equation}\label{eq:1.7} \gamma_{tt} =k\vec{n}-\left(\gamma_{ts}, \gamma_{t}\right)\vec{t},\end{equation}$
其中 d$s=\Big|\gamma_{u}|{\rm d}u$ $k, \vec{n}$ $\vec{t}$ $\gamma(\cdot,t)$ [25 ] 研究了几何流 (1.7) 的奇性形成及解的生命跨度估计. 何等[26 ] 进而构造了其自相似解. 高等人利用李对称方法[27 ] 研究了群不变解. 基于文献[11 ] 与文献[24 ] 结论, 双曲幂曲线流与带有不同外力场的双曲平均曲率流被毛等[28 32] 研究. 最近, 吕与王[33 ] 证明了带有耗散项双曲曲率流经典解的生命跨度
(1.8) $\begin{equation}\label{eq:1.8}\gamma_{tt}+\alpha\gamma_{t} =k\vec{n}-\left(\gamma_{ts}, \gamma_{t}\right)\vec{t},\\ \end{equation} $
王等[34 ] 分析了在耗散双曲曲率流作用下平面曲线的演化问题. 夏与王[35 ] 进一步研究了一类骨组织生长几何控制的数学模型
(1.9) $\begin{equation}\label{9}\gamma_{tt}+\alpha\gamma_{t} =\frac{1}{2}|\gamma_{t}|^2k\vec{n}-\left(\gamma_{ts}, \gamma_{t}\right)\vec{t},\\ \end{equation}$
基于参数方法, Deckelnick 与 Nürnberg[36 ] 提出了一类有限差分网格方法逼近演化曲线 (1.8). 进而, 在文献[37 ] 中他们数值模拟了 (1.6) 式作用下曲面演化. Benes 等[38 ] 利用解析解与半离散有限卷积方法分析了双曲曲率流解的行为.
不同于以上的双曲曲率流, 曹与沃[39 ] 首次提出双曲高斯曲率流, 这是一个保法向流, 在这个流作用下的曲面的图所满足的双曲偏微分方程给出了一类完全非线性 Euclid 不变量双曲方程. 在适当条件下证明了解的局部存在性以及几何流的爆破与渐进行为. 进一步, 沃等[40 ] 考虑了双曲仿射流. 王[41 ] 研究了耗散双曲仿射流. 高等[42 ] 基于李对称方法构造了一维情形下的群不变解.
(1.10) $\begin{equation}\label{eq:1.10} \frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}}+\mu\frac{\partial F}{\partial t}=H\vec{n}.\end{equation}$
如果 $t$ $\mu t$ $\mu\to\infty$ $\mu$
论文结构如下. 在第二章节, 基于 DeTurk 技巧, 得到解的局部存在唯一性定理并分析了二维球的演化行为. 在第三章节, 研究了定义在维数大于 2 的欧式空间中的耗散双曲平均曲率流的非线性稳定性. 最后一个章节, 我们推导出超曲面一些几何量满足的非线性波动方程, 这些方程显示了曲率的波性质.
2 解的局部存在
假设 $\{x^{i}\}(1\leq i\leq n)$ $F(\cdot,t)$
其中 $(g^{ij})$ $(g_{ij})$ $F(\cdot,t)$ $v$
由高斯 Gauss 方程, 黎曼曲率张量 $R_{ijkl}$ $R_{ik}$ $R$
其中 $|A|^{2}=g^{ij}g^{kl}h_{ik}h_{jl}$ . 由 Gauss-Weingarten 关系式
(2.1) $\begin{equation}\label{eq:2.1} \frac{\partial^{2}F}{\partial t^{2}}+\mu\frac{\partial F}{\partial t}=\Delta_{g(t)}F,\end{equation}$
其中 $\Delta_{g(t)}$ $F(\cdot)F(\cdot,t)$ $g_{ij}$
Laplacian 算子沿着切反向是退化的. 因此演化方程
(2.2) $\begin{equation}\label{eq:2.2} \frac{\partial^{2}F}{\partial t^{2}}+\mu\frac{\partial F}{\partial t}=\Delta_{g(t)}F=g^{ij}\frac{\partial^{2}F}{\partial x^{i}\partial x^{j}}-g^{ij}g^{kl}\left(\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{i}\partial x^{j}},\frac{\partial F}{\partial x^{l}}\right)\frac{\partial F}{\partial x^{k}}\end{equation}$
是一个几何流且与超曲面的参数选取无关. 由 De Turk[43 ] 技巧, 通过 $M^{n}$
假设 $\phi_{t}:M^{n}\to M^{n}$ $M^{n}$ $F(x,t)$
其中 $\phi_{t}^{*}$ $\phi_{t}$
(2.3) $\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} y^{\alpha}}{\partial t^{2}}+\mu \frac{\partial y^{\alpha}}{\partial t}=\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{k}} g^{j l}\left(\Gamma_{j l}^{k}-\bar{\Gamma}_{j l}^{k}\right), \\ \left.y^{\alpha}\right|_{t=0}=x^{\alpha},\left.\quad y_{t}^{\alpha}\right|_{t=0}=0, \end{array}\right.$
其中 $\bar{\Gamma}_{jl}^{k}$ $\bar {g}_{ij}|_{t=0}=\left(\frac{\partial F}{\partial x^{i}},\frac{\partial F}{\partial x^{j}}\right)(x,0)$ . 根据
(2.4) $\begin{equation}\label{eq:2.4} \begin{cases}\frac{\partial^2 y^\alpha}{\partial t^2}+\mu\dfrac{\partial y^{\alpha}}{\partial t}=g^{jl}\Big(\frac{\partial^2 y^\alpha}{\partial x^j\partial x^l} +\frac{\partial y^\beta}{\partial x^j}\frac{\partial y^\gamma}{\partial x^l}\hat{\Gamma}^\alpha_{\beta\gamma}-\frac{\partial y^\alpha}{\partial x^k}\bar {\Gamma}^k_{jl} \Big),\\ y^{\alpha}\Big|_{t=0}=x^{\alpha},~~ y^{\alpha}_{t}\Big|_{t=0}=0.\end{cases}\end{equation}$
则由双曲方程组的标准理论, 一定存在满足初值问题 (2.3) 的微分同胚簇 $\phi_{t}$ . 另一方面, 我们有
这是一个严格双曲方程. 由标准的双曲型方程理论[44 ] , 我们得到解的局部存在唯一性定理.
定理2.1 (局部存在性 ) 假设 $M$ $n$ - 维光滑紧流形, $X_0$ $M$ $\mathbb{R}^{n+1}$ $X_{0}$ $X_{1}$ $M$ $\omega$
(2.5) $\begin{equation}\label{eq:2.5}\begin{cases} \dfrac{\partial^2 X }{\partial t^2}(x,t)+d\dfrac{\partial X}{\partial t}(x,t)=H(x,t)\vec{n}(x,t),\\ X\big |_{t=0}=X_0(x), \quad\dfrac{\partial X}{\partial t}(x,t)\Big |_{t=0}=X_1(x)\end{cases}\end{equation} $
有定义在 $M\times[0,\omega)$ $X(\cdot,t)$ .
例 2.1 假设 $F(\cdot,t):S^{n}\times[0,T)\to \mathbb{R}^{n+1}$ $ F_{0}:S^{n}\to \mathbb{R}^{n+1}$ $r_{0}>0$ $ \dfrac{{\rm d}F}{{\rm d}t}(x,0)=r_{1}\vec{n}_{0}$ . $F(\cdot,t)$ $H=\dfrac{n}{r(t)}$
(2.6) $\left\{\begin{array}{l} r^{\prime \prime}(t)+\mu r^{\prime}(t)=-\frac{n}{r(t)}, \\ r(0)=r_{0}>0, \quad r^{\prime}(0)=r_{1} \end{array}\right.$
引理2.1 当 $\mu\geq0$ $r_{1}\leq0$ $r(t)$ $0$ . 如果 $\mu=0$ $r_{1}=0$ $T_{c}=\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}r_{0}$ $\mu\to\infty$ $r(t)$ $T_{c}=\dfrac{\mu r_{0}^{2}}{2}$ $r_{1}>0$ $r(t)$ $0$ .
且 $(e^{\mu t}y)^{'}=-\dfrac{ne^{\mu t}}{r(t)}$
假设 $a(t)=e^{-\mu t}$ $(2.6)$
(2.7) $\begin{equation}\label{2.7} \begin{cases}r'(t)=r_{1}a(t)-\int_{0}^{t}a(t-s)\dfrac{n}{r(s)}{\rm d}s~,\\ r(0)=r_0>0.\end{cases}\end{equation}$
类似于文献 [34 ,例 2.1] 中的证明方法. 假设对所有的 $t\in[0,\infty)$ $r(t)>0$
(2.8) $\begin{equation}\label{eq:2.8}\begin{cases}r''(t)=-\dfrac{n}{r(t)},\\ r(0)=r_0>0,~~~r_t(0)=r_{1}\leq 0.\end{cases}\end{equation}$
方程两边 (2.8) 式中的第一个中第一个式子两边同乘以 $2r'(t)$
(2.9) $\begin{equation}\label{eq:2.9}r'(t)=-\sqrt{r_{1}^{2}+2n\ln{\dfrac{r_{0}}{r}}},\end{equation}$
令 $u=\sqrt{\ln\dfrac{r_{0}}{r}}$ $r=r_{0}e^{-u^2}$
$T_{c}=\sqrt{\frac{\pi}{2n}}r_{0}$ .
如果 $\mu\to\infty$
(2.10) $\begin{equation}\label{eq:2.10}\begin{cases}r'(t)=-\dfrac{n}{\mu r(t)}~,\\ r(0)=r_0>0.\end{cases}\end{equation}$
i.e., $T_{c}=\dfrac{\mu r_{0}^2}{2n}$ .
如果 $0<\mu<\infty$ $r'(t)<0$
如果 $-\dfrac{n}{\mu r_{0}}\leq r_{1}\leq0$
意味着存在一个 $t_{*}<\infty$ $f(t_{*})=0$ . 则对任意 $t>t_{*}$ $r(t)<0$
如果 $r_{1}<-\dfrac{n}{\mu r_{0}}$
且 $f''(t)=-\Big(r_{1}+\dfrac{n}{\mu r_{0}}\Big)\mu e^{-\mu t}>0.$
则当 $t\to \infty$ $f'(t)$ $-\dfrac{n}{\mu r_{0}}$ $t\geq 0$ $f'(t)<0$ . 进而, 存在一个 $t_{*}<\infty$ $f(t_{*})=0$ . 因此对所有的 $t>t_{*}$ $r(t)<0$
情况 (II) $r_{1}>0$ . $r''(t)=-\mu r'(t)-\dfrac{n}{r(t)}$ $r''(0)=-\mu r_{1}-\dfrac{n}{r_{0}}<0$ $r''(t)$ $\delta>0$ $r''(t)<0$ $t\in [0,\delta)$ . 因此我们有 $r'(\hat{t})=0$ $r(\hat{t})=r_{\max}$ . 通过分析方程
(2.11) $\begin{equation}\label{21}\begin{cases}r''(t)+\mu r'(t)=-\dfrac{n}{r(t)},~ t\geq \hat{t},\\ r(\hat{t})=r_{\max}>0,~~~r'(\hat{t})=0.\end{cases}\end{equation}$
我们可得 $r=r(t)$
注 2.1 对于初始速度为零及 $\mu>0$ $T_{c}(\mu)$ $T_{c}(\mu)$ $\dfrac{\mu r_{0}^2}{2n}$ $\mu$ 37 ] 中的结果一致.
注 2.2 如果 $\mu<0$
(i) $r_{1}\leq0.$ $r''(t)=-\Big(\mu r_{1}+\dfrac{1}{r}\Big)<0$ $r'(t)<0$ $r(t)$ $0$
如果 $0<r_{1}\leq-\dfrac{n}{\mu r_{0}}$ $t>0$
因为 $r''(t)$ $r(t)$ $\Omega$ $r_{\max}$ $r'(\Omega)=0$ . 因此, 对任意的 $t\in [0,\Omega)$ $r'(t)>0$ $r(t)$ $r_{\max}$ . 进而, $r(t)$ $\bar{t}_{c}$ $0$ .
如果 $ r_{1}>-\dfrac{n}{\mu r_{0}}$ $r'(t)>0$ $r(t)$ $t\to\infty$ $r(t)$ $\infty$
注 2.3 由例子 2.1, 球的演化行为依赖于初始速度和耗散系数 $\mu$ .
注 2.4 在文献[11 ] 中, 作者考虑了 $\mu=0$ 18 ] 中, 作者只考虑 $r_{1}=0$
3 非线性稳定性
本节中, 我们将考虑定义在维数大于 2 欧式空间中的耗散双曲平均曲率流的非线性稳定性. 假设超曲面 $F_1(x)$ $F_2(x)$ $M^{n}$
(3.1) $\begin{equation}\label{eq:3.1}\begin{cases} \dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}F+\mu\dfrac{\partial F}{\partial t}=H\vec n,\\ F\Big|_{t=0}=F_0(x)+\epsilon F_1(x),~~~\dfrac{\partial F}{\partial t}\Big|_{t=0}=\epsilon F_2(x),\end{cases}\end{equation}$
其中 $\epsilon$
定义在 $(M^{n},g)$ $(x^{1},\cdots,x^{n})$
DeTurck[43 ] 证明了坐标卡 $(x^{1},\cdots,x^{n})$ $\Longleftrightarrow \Delta x^j=g^{ik}\dfrac{\partial^2 x^j}{\partial x^i\partial x^k}-g^{ik}\Gamma_{ik}^{l}\dfrac{\partial x^j}{\partial x^l}=-\Gamma^j_{ik}g^{ik}=-\Gamma^j=0.$
定义 3.1 我们称 $F_0(x)$ $(F_1(x),F_2(x))$ $(F_1(x),F_2(x))$ $\epsilon_0$ $F(x,t)$ .
定理 3.1 $F_0(x)$ ( $n>2$ ) 是非线性稳定的.
证 由定理 2.1 及调和坐标存在性定理[43 ] , 存在一个固定时间 $t\in \mathbb{R}^+$ $p\in M^n$ $(x^{1},\cdots,x^{n})$
(3.2) $\begin{equation}\label{eq:3.2}\begin{cases} \dfrac{\partial^2 F}{\partial t^2}+\mu\dfrac{\partial F}{\partial t}=g^{ij}\dfrac{\partial^2F}{\partial x^i\partial x^j},\\ F(x,0)=F_0(x)+\varepsilon F_1(x),~~~\dfrac{\partial F}{\partial t}(x,0)=\varepsilon F_2(x).\end{cases}\end{equation}$
定义 $Y(x,t)=(y^1,\cdots,y^n,y^{n+1})$
对任意小的 $Y(x,t)$ $g_{ij}$
(3.3) $\begin{equation}\label{24}g_{ij}=\Big(\dfrac{\partial F}{\partial x^i}, \dfrac{\partial F}{\partial x^j}\Big)=\delta_{ij}+\dfrac{\partial y^j}{\partial x^i}+\dfrac{\partial y^i}{\partial x^j}+y_{ij}~\end{equation}$
(3.4) $\begin{equation}\label{25}g^{ij}=\delta^{ij}-\dfrac{\partial y^j}{\partial x^i}-\dfrac{\partial y^i}{\partial x^j}-y_{ij}+O(\|\lambda\|^2),\end{equation} $
(3.5) $\begin{equation}\label{26}\begin{cases} \dfrac{\partial^2 Y}{\partial t^2}+\mu\dfrac{\partial Y}{\partial t}=\Big(\delta^{ij}-\dfrac{\partial y^j}{\partial x^i}-\dfrac{\partial y^i}{\partial x^j}-y_{ij}+O(\|\lambda\|^2)\Big)\dfrac{\partial^2Y}{\partial x^i\partial x^j},\\ Y\Big|_{t=0}=\varepsilon F_1(x),~~~\dfrac{\partial Y}{\partial t}\Big|_{t=0}=\varepsilon F_2(x).\end{cases}\end{equation}$
由耗散波方程理论 (见文献[45 ,46 ]), 对充分小的 $\epsilon >0$ $\mathbb{R}^{n}(n >2)$ $Y=Y(x,t)$ .
注 3.1 如果 $\mu=0$ 11 ]). 因此, 耗散项 $\mu$
4 $F(\cdot,t)$
根据耗散双曲平均曲率流 (1.10), 我们可以推导出超曲面 $F(\cdot,t)$
(4.1) $\begin{equation}\label{eq:4.1} \bigtriangleup h_{ij}=\nabla_i\nabla_jH+Hh_{il}g^{lm}h_{mj}-|A|^2h_{ij}, \end{equation} $
(4.2) $\begin{equation}\label{eq:4.2}\dfrac{1}{2}\Delta |A|^2=g^{ik}g^{jl}h_{kl}\nabla_i\nabla_jH+|\nabla A|^2 +HZ,\end{equation} $
(4.3) $\begin{equation}\label{eq:4.3}\dfrac{\partial^2 g_{ij}}{\partial t^2}+\mu\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial t}=-2Hh_{ij}+2 \Big(\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^i},\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^j}\Big),\end{equation}$
(4.4) $\begin{aligned} \frac{\partial^{2} \vec{n}}{\partial t^{2}}+\mu \frac{\partial \vec{n}}{\partial t}= & -g^{i j} \frac{\partial H}{\partial x^{i}} \frac{\partial F}{\partial x^{j}}+g^{i j}\left(\vec{n}, \frac{\partial^{2} F}{\partial t \partial x^{i}}\right)\left[2 g^{k l}\left(\frac{\partial F}{\partial x^{j}}, \frac{\partial^{2} F}{\partial t \partial x^{l}}\right) \frac{\partial F}{\partial x^{k}}\right] \\ & +g^{i j}\left(\vec{n}, \frac{\partial^{2} F}{\partial t \partial x^{i}}\right)\left[g^{k l}\left(\frac{\partial F}{\partial x^{l}}, \frac{\partial^{2} F}{\partial t \partial x^{j}}\right) \frac{\partial F}{\partial x^{k}}-\frac{\partial^{2} F}{\partial t \partial x^{j}}\right] \end{aligned}$
(4.5) $\begin{aligned} \frac{\partial^{2} h_{i j}}{\partial t^{2}}+\mu \frac{\partial h_{i j}}{\partial t}= & \Delta h_{i j}-2 H h_{i l} h_{m j} g^{l m}+|A|^{2} h_{i j} \\ & +g^{k l} h_{i j}\left(\vec{n}, \frac{\partial^{2} F}{\partial t \partial x^{k}}\right)\left(\vec{n}, \frac{\partial^{2} F}{\partial t \partial x^{l}}\right)-2 \frac{\partial \Gamma_{i j}^{k}}{\partial t}\left(\vec{n}, \frac{\partial^{2} F}{\partial t \partial x^{k}}\right). \end{aligned}$
根据第二基本形式定义与 Gauss-Weingarten 关系, 我们有
定理 4.2 耗散双曲平均曲率流 (1.10) 作用下,
(4.6) $\begin{equation}\label{eq:4.6}\begin{aligned} &~~~~\dfrac{\partial^2H}{\partial t^2}+\mu\dfrac{\partial H}{\partial t} \\&=\bigtriangleup H+H|A|^2-2g^{ik}g^{jl}h_{ij}\Big(\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^k},\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^l}\Big)\\&~~~+Hg^{kl}\Big(\vec{n},\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^k}\Big)\Big(\vec{n},\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^l}\Big) -2g^{ij}\dfrac{\partial\Gamma^k_{ij}}{\partial t}\Big(\vec{n},\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^k}\Big)\\&~~~+2g^{ik}g^{jp}g^{lq}h_{ij}\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial t}\dfrac{\partial g_{kl}}{\partial t}-2g^{ik}g^{jl}\dfrac{\partial g_{kl}}{\partial t}\dfrac{\partial h_{ij}}{\partial t},\end{aligned}\end{equation}$
(4.7) $\begin{equation}\label{eq:4.7}\begin{aligned} &~~~~\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}|A|^2 +\mu\dfrac{\partial}{\partial t}|A|^2\\&=\bigtriangleup|A|^2-2|\nabla A|^2+2|A|^4+2 g^{pq}\Big(\vec{n},\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^p}\Big)\Big(\vec{n},\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^q}\Big)|A|^2\\ &~~~+2g^{ij}g^{kl}\dfrac{\partial h_{ik}}{\partial t}\dfrac{\partial h_{jl}}{\partial t}-8g^{im}g^{jn}g^{kl}h_{jl}\dfrac{\partial g_{mn}}{\partial t} \dfrac{\partial h_{ik}}{\partial t}\\&~~~-4g^{im}g^{jn}g^{kl}h_{ik}h_{jl}\Big(\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^m},\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^n}\Big)+2g^{im}\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial t} \dfrac{\partial g_{mn}}{\partial t}h_{ik}h_{jl}\\&~~~\times\Big(2g^{jp}g^{nq}g^{kl}+g^{jn}g^{kp}g^{lq}\Big)-4g^{ij}g^{kl}h_{jl}\dfrac{\partial\Gamma^p_{ik}}{\partial t}\Big(\vec n,\dfrac{\partial^2F}{\partial t\partial x^p}\Big).\end{aligned}\end{equation} $
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Nishida T Global smooth solutions for the second-order quaslinear wave equations with the first-order dissipation
Publications Math$\acute{e}$ , 1978
[本文引用: 1]
The Motion of a Surface by Its Mean Curvature
1
1978
... 曲面或流形沿法向速度为曲面平均曲率随时间的演化是平均曲率流, 这是一个非线性几何热流. 很多经典的结果已经被 Brakke, Huisken 与朱等[1 3 ] 取得. 作为一个强有效的工具, 它已经被广泛应用到几何、拓扑、图像处理及晶体增长中. Huisken 和 Ilmanen[4 ] 通过逆平均曲率流的弱解理论证明了广义相对论中的 Riemannian-Penrose 不等式. 在 K$\ddot{\rm a}$ [5 ] 证明了只要平均曲率流存在光滑解, 辛结构一定能保持. ...
Asymptotic behavior for singularities of the mean curvature flow
0
1990
Lectures on Mean Curvature Flows
1
2002
... 曲面或流形沿法向速度为曲面平均曲率随时间的演化是平均曲率流, 这是一个非线性几何热流. 很多经典的结果已经被 Brakke, Huisken 与朱等[1 3 ] 取得. 作为一个强有效的工具, 它已经被广泛应用到几何、拓扑、图像处理及晶体增长中. Huisken 和 Ilmanen[4 ] 通过逆平均曲率流的弱解理论证明了广义相对论中的 Riemannian-Penrose 不等式. 在 K$\ddot{\rm a}$ [5 ] 证明了只要平均曲率流存在光滑解, 辛结构一定能保持. ...
The inverse mean curvature flow and the Riemannian Penrose inequality
1
2001
... 曲面或流形沿法向速度为曲面平均曲率随时间的演化是平均曲率流, 这是一个非线性几何热流. 很多经典的结果已经被 Brakke, Huisken 与朱等[1 3 ] 取得. 作为一个强有效的工具, 它已经被广泛应用到几何、拓扑、图像处理及晶体增长中. Huisken 和 Ilmanen[4 ] 通过逆平均曲率流的弱解理论证明了广义相对论中的 Riemannian-Penrose 不等式. 在 K$\ddot{\rm a}$ [5 ] 证明了只要平均曲率流存在光滑解, 辛结构一定能保持. ...
Two-dimensional graphs moving by mean curvature flow
1
2002
... 曲面或流形沿法向速度为曲面平均曲率随时间的演化是平均曲率流, 这是一个非线性几何热流. 很多经典的结果已经被 Brakke, Huisken 与朱等[1 3 ] 取得. 作为一个强有效的工具, 它已经被广泛应用到几何、拓扑、图像处理及晶体增长中. Huisken 和 Ilmanen[4 ] 通过逆平均曲率流的弱解理论证明了广义相对论中的 Riemannian-Penrose 不等式. 在 K$\ddot{\rm a}$ [5 ] 证明了只要平均曲率流存在光滑解, 辛结构一定能保持. ...
Compactness and convexity results for closed relativistic strings
1
2010
... 双曲平均曲率流是非线性双曲偏微分方程理论与微分几何、物理学、生物医学、图像处理等领域相交叉的前沿课题. 例如, Bellettini 与 Hoppe[6 ] 运用双曲平均曲率流的数学思想, 分析了相对论闭弦的几何特性. Ishida 等[7 ] 将薄膜动力学方程转化为体积守恒的双曲几何流, 成功模拟了肥皂泡的演化过程, 该模型简洁稳定且符合普拉托原理. Alias 与 Buenzli[8 ] 首次提出并研究了细胞与组织演化的双曲曲率流模型. 董等[9 ] 率先将一类阻尼二阶水平集平均曲率方程应用于图像去噪与校正位移误差. Yau[10 ] 则首次指出双曲几何方程 ...
A hyperbolic geometric flow for evolving films and foams
1
2017
... 双曲平均曲率流是非线性双曲偏微分方程理论与微分几何、物理学、生物医学、图像处理等领域相交叉的前沿课题. 例如, Bellettini 与 Hoppe[6 ] 运用双曲平均曲率流的数学思想, 分析了相对论闭弦的几何特性. Ishida 等[7 ] 将薄膜动力学方程转化为体积守恒的双曲几何流, 成功模拟了肥皂泡的演化过程, 该模型简洁稳定且符合普拉托原理. Alias 与 Buenzli[8 ] 首次提出并研究了细胞与组织演化的双曲曲率流模型. 董等[9 ] 率先将一类阻尼二阶水平集平均曲率方程应用于图像去噪与校正位移误差. Yau[10 ] 则首次指出双曲几何方程 ...
Modelling the effect of curvature on the collective behaviour of cells growing new tissue
1
2017
... 双曲平均曲率流是非线性双曲偏微分方程理论与微分几何、物理学、生物医学、图像处理等领域相交叉的前沿课题. 例如, Bellettini 与 Hoppe[6 ] 运用双曲平均曲率流的数学思想, 分析了相对论闭弦的几何特性. Ishida 等[7 ] 将薄膜动力学方程转化为体积守恒的双曲几何流, 成功模拟了肥皂泡的演化过程, 该模型简洁稳定且符合普拉托原理. Alias 与 Buenzli[8 ] 首次提出并研究了细胞与组织演化的双曲曲率流模型. 董等[9 ] 率先将一类阻尼二阶水平集平均曲率方程应用于图像去噪与校正位移误差. Yau[10 ] 则首次指出双曲几何方程 ...
A class of second-order geometric quasilinear hyperbolic PDEs and their application in imaging science
1
2021
... 双曲平均曲率流是非线性双曲偏微分方程理论与微分几何、物理学、生物医学、图像处理等领域相交叉的前沿课题. 例如, Bellettini 与 Hoppe[6 ] 运用双曲平均曲率流的数学思想, 分析了相对论闭弦的几何特性. Ishida 等[7 ] 将薄膜动力学方程转化为体积守恒的双曲几何流, 成功模拟了肥皂泡的演化过程, 该模型简洁稳定且符合普拉托原理. Alias 与 Buenzli[8 ] 首次提出并研究了细胞与组织演化的双曲曲率流模型. 董等[9 ] 率先将一类阻尼二阶水平集平均曲率方程应用于图像去噪与校正位移误差. Yau[10 ] 则首次指出双曲几何方程 ...
Review of geometry and analysis
1
2000
... 双曲平均曲率流是非线性双曲偏微分方程理论与微分几何、物理学、生物医学、图像处理等领域相交叉的前沿课题. 例如, Bellettini 与 Hoppe[6 ] 运用双曲平均曲率流的数学思想, 分析了相对论闭弦的几何特性. Ishida 等[7 ] 将薄膜动力学方程转化为体积守恒的双曲几何流, 成功模拟了肥皂泡的演化过程, 该模型简洁稳定且符合普拉托原理. Alias 与 Buenzli[8 ] 首次提出并研究了细胞与组织演化的双曲曲率流模型. 董等[9 ] 率先将一类阻尼二阶水平集平均曲率方程应用于图像去噪与校正位移误差. Yau[10 ] 则首次指出双曲几何方程 ...
Hyperbolic mean curvature flow
4
2009
... 与振动膜之间的关系, 其中 $F(\cdot,t): M^{n}\to R^{n+1}$ $R^{n+1}$ $H$ $F(\cdot,t)$ $\vec{n}$ $F(\cdot,t)$ [11 ] 证明了双曲流 (1.1) 的短时间存在性并分析了其与 Minkowski 时空极值曲面的关系. Ginder 与 Svadlenka[12 ] 对 (1.1) 式进行数值模拟. Notz[13 ] 首次探讨了由几何方程 ...
... 其中 d$s=\Big|\gamma_{u}|{\rm d}u$ $k, \vec{n}$ $\vec{t}$ $\gamma(\cdot,t)$ [25 ] 研究了几何流 (1.7) 的奇性形成及解的生命跨度估计. 何等[26 ] 进而构造了其自相似解. 高等人利用李对称方法[27 ] 研究了群不变解. 基于文献[11 ] 与文献[24 ] 结论, 双曲幂曲线流与带有不同外力场的双曲平均曲率流被毛等[28 32 ] 研究. 最近, 吕与王[33 ] 证明了带有耗散项双曲曲率流经典解的生命跨度 ...
... 注 2.4 在文献[11 ] 中, 作者考虑了 $\mu=0$ 18 ] 中, 作者只考虑 $r_{1}=0$
... 注 3.1 如果 $\mu=0$ 11 ]). 因此, 耗散项 $\mu$
Wave-type thershold dynamics and the hyperbolic mean curvature flow
1
2016
... 与振动膜之间的关系, 其中 $F(\cdot,t): M^{n}\to R^{n+1}$ $R^{n+1}$ $H$ $F(\cdot,t)$ $\vec{n}$ $F(\cdot,t)$ [11 ] 证明了双曲流 (1.1) 的短时间存在性并分析了其与 Minkowski 时空极值曲面的关系. Ginder 与 Svadlenka[12 ] 对 (1.1) 式进行数值模拟. Notz[13 ] 首次探讨了由几何方程 ...
Closed hypersurfaces driven by mean curvature and inner pressure
1
2013
... 与振动膜之间的关系, 其中 $F(\cdot,t): M^{n}\to R^{n+1}$ $R^{n+1}$ $H$ $F(\cdot,t)$ $\vec{n}$ $F(\cdot,t)$ [11 ] 证明了双曲流 (1.1) 的短时间存在性并分析了其与 Minkowski 时空极值曲面的关系. Ginder 与 Svadlenka[12 ] 对 (1.1) 式进行数值模拟. Notz[13 ] 首次探讨了由几何方程 ...
The motion of closed hypersurfaces in the central force fields
1
2016
... Notz 证明了几何流的局部存在定理, 并在满足延拓准则的充分条件下, 将解的适用时间区间扩展至更长. 此外, 闫[14 ] 证明了局部适定性以及中心力作用下闭超曲面演化的初始稳定性. 最近, 邵[15 ] 在作用量 (1.3) 式中引入了阻尼项 ...
Long time behavior of a quasilinear hyperbolic system modelling elastic membranes
2
2022
... Notz 证明了几何流的局部存在定理, 并在满足延拓准则的充分条件下, 将解的适用时间区间扩展至更长. 此外, 闫[14 ] 证明了局部适定性以及中心力作用下闭超曲面演化的初始稳定性. 最近, 邵[15 ] 在作用量 (1.3) 式中引入了阻尼项 ...
... 受文献 [15 ,16 ,33 ,34 ,41 ]的启发, 我们研究带有耗散项的双曲平均曲率流 ...
Dynamics of the closed hypersurfaces in central force fields
2
2024
... 其中 $b\geq 0$ $\ddot{o}$ $\varepsilon^{-\frac{1}{6}}$ [16 ] 研究了受外摩擦与内摩擦驱动的闭超曲面动力学, 发现受微小扰动的闭超曲面会平滑收缩为唯一确定的光滑浸入. ...
... 受文献 [15 ,16 ,33 ,34 ,41 ]的启发, 我们研究带有耗散项的双曲平均曲率流 ...
A hyperbolic theory for the evolution of plane curves
1
1991
... Gurtin 等[17 ] 首次提出双曲曲线流模拟氦晶体融化的震荡现象. Rostein 等[18 ] 引入一个双曲结晶算法模拟闭凸多项式曲线的演化. 一个双曲几何演化方程 ...
Hyperbolic flow by mean curvature
2
1999
... Gurtin 等[17 ] 首次提出双曲曲线流模拟氦晶体融化的震荡现象. Rostein 等[18 ] 引入一个双曲结晶算法模拟闭凸多项式曲线的演化. 一个双曲几何演化方程 ...
... 注 2.4 在文献[11 ] 中, 作者考虑了 $\mu=0$ 18 ] 中, 作者只考虑 $r_{1}=0$
The hyperbolic mean curvature flow
1
2008
... 被 Lefloch 与 Smoczyk[19 ] 提出, 其中局部能量 $e$
双曲平均曲率流 Cauchy 问题经典解的生命跨度
1
2017
... 他们证明了法向双曲平均曲率流将在有限时间内爆破, 并且在图的情况下, 根据弱解证明了在一大类熵解中经典解是唯一的, 在一维图及初始值 BV 模很小的情况下证明了整体解的存在性定理. 李与王[20 ] 进一步研究了 (1.6) 式经典解的生命跨度. LeFloch 与闫[21 ] 证明了该几何流在球对称情况下一族爆破解的非线性稳定性. 高等[22 ] 考虑了一维情形下群不变解及守恒律. 当 $2\leq n\leq 7$ [23 ] 证明了该几何流作用下超曲面的整体存在性及其稳定性. 孔等[24 ] 首次提出双曲曲线流, ...
The lifespan of classical solution to the cauchy problem for the hyperbolic mean curvature flow
1
2017
... 他们证明了法向双曲平均曲率流将在有限时间内爆破, 并且在图的情况下, 根据弱解证明了在一大类熵解中经典解是唯一的, 在一维图及初始值 BV 模很小的情况下证明了整体解的存在性定理. 李与王[20 ] 进一步研究了 (1.6) 式经典解的生命跨度. LeFloch 与闫[21 ] 证明了该几何流在球对称情况下一族爆破解的非线性稳定性. 高等[22 ] 考虑了一维情形下群不变解及守恒律. 当 $2\leq n\leq 7$ [23 ] 证明了该几何流作用下超曲面的整体存在性及其稳定性. 孔等[24 ] 首次提出双曲曲线流, ...
Nonlinear stability of blow-up solutions to the Hyperbolic Mean Curvature flow
1
2020
... 他们证明了法向双曲平均曲率流将在有限时间内爆破, 并且在图的情况下, 根据弱解证明了在一大类熵解中经典解是唯一的, 在一维图及初始值 BV 模很小的情况下证明了整体解的存在性定理. 李与王[20 ] 进一步研究了 (1.6) 式经典解的生命跨度. LeFloch 与闫[21 ] 证明了该几何流在球对称情况下一族爆破解的非线性稳定性. 高等[22 ] 考虑了一维情形下群不变解及守恒律. 当 $2\leq n\leq 7$ [23 ] 证明了该几何流作用下超曲面的整体存在性及其稳定性. 孔等[24 ] 首次提出双曲曲线流, ...
Symmetries and conservation laws associated with a hyperbolic mean curvature flow
1
2022
... 他们证明了法向双曲平均曲率流将在有限时间内爆破, 并且在图的情况下, 根据弱解证明了在一大类熵解中经典解是唯一的, 在一维图及初始值 BV 模很小的情况下证明了整体解的存在性定理. 李与王[20 ] 进一步研究了 (1.6) 式经典解的生命跨度. LeFloch 与闫[21 ] 证明了该几何流在球对称情况下一族爆破解的非线性稳定性. 高等[22 ] 考虑了一维情形下群不变解及守恒律. 当 $2\leq n\leq 7$ [23 ] 证明了该几何流作用下超曲面的整体存在性及其稳定性. 孔等[24 ] 首次提出双曲曲线流, ...
Remarks on the normal hyperbolic mean curvature flow
1
2024
... 他们证明了法向双曲平均曲率流将在有限时间内爆破, 并且在图的情况下, 根据弱解证明了在一大类熵解中经典解是唯一的, 在一维图及初始值 BV 模很小的情况下证明了整体解的存在性定理. 李与王[20 ] 进一步研究了 (1.6) 式经典解的生命跨度. LeFloch 与闫[21 ] 证明了该几何流在球对称情况下一族爆破解的非线性稳定性. 高等[22 ] 考虑了一维情形下群不变解及守恒律. 当 $2\leq n\leq 7$ [23 ] 证明了该几何流作用下超曲面的整体存在性及其稳定性. 孔等[24 ] 首次提出双曲曲线流, ...
Hyperbolic mean curvature flow: Evolution of plane curves
2
2009
... 他们证明了法向双曲平均曲率流将在有限时间内爆破, 并且在图的情况下, 根据弱解证明了在一大类熵解中经典解是唯一的, 在一维图及初始值 BV 模很小的情况下证明了整体解的存在性定理. 李与王[20 ] 进一步研究了 (1.6) 式经典解的生命跨度. LeFloch 与闫[21 ] 证明了该几何流在球对称情况下一族爆破解的非线性稳定性. 高等[22 ] 考虑了一维情形下群不变解及守恒律. 当 $2\leq n\leq 7$ [23 ] 证明了该几何流作用下超曲面的整体存在性及其稳定性. 孔等[24 ] 首次提出双曲曲线流, ...
... 其中 d$s=\Big|\gamma_{u}|{\rm d}u$ $k, \vec{n}$ $\vec{t}$ $\gamma(\cdot,t)$ [25 ] 研究了几何流 (1.7) 的奇性形成及解的生命跨度估计. 何等[26 ] 进而构造了其自相似解. 高等人利用李对称方法[27 ] 研究了群不变解. 基于文献[11 ] 与文献[24 ] 结论, 双曲幂曲线流与带有不同外力场的双曲平均曲率流被毛等[28 32 ] 研究. 最近, 吕与王[33 ] 证明了带有耗散项双曲曲率流经典解的生命跨度 ...
Formation of singularities in the motion of plane curves under hyperbolic mean curvature flow
1
2009
... 其中 d$s=\Big|\gamma_{u}|{\rm d}u$ $k, \vec{n}$ $\vec{t}$ $\gamma(\cdot,t)$ [25 ] 研究了几何流 (1.7) 的奇性形成及解的生命跨度估计. 何等[26 ] 进而构造了其自相似解. 高等人利用李对称方法[27 ] 研究了群不变解. 基于文献[11 ] 与文献[24 ] 结论, 双曲幂曲线流与带有不同外力场的双曲平均曲率流被毛等[28 32 ] 研究. 最近, 吕与王[33 ] 证明了带有耗散项双曲曲率流经典解的生命跨度 ...
Self-similar solutions to the hyperbolic mean curvature fiow
1
2017
... 其中 d$s=\Big|\gamma_{u}|{\rm d}u$ $k, \vec{n}$ $\vec{t}$ $\gamma(\cdot,t)$ [25 ] 研究了几何流 (1.7) 的奇性形成及解的生命跨度估计. 何等[26 ] 进而构造了其自相似解. 高等人利用李对称方法[27 ] 研究了群不变解. 基于文献[11 ] 与文献[24 ] 结论, 双曲幂曲线流与带有不同外力场的双曲平均曲率流被毛等[28 32 ] 研究. 最近, 吕与王[33 ] 证明了带有耗散项双曲曲率流经典解的生命跨度 ...
Invariant solutions of the normal hyperbolic mean curvature flow with dissipation
1
2020
... 其中 d$s=\Big|\gamma_{u}|{\rm d}u$ $k, \vec{n}$ $\vec{t}$ $\gamma(\cdot,t)$ [25 ] 研究了几何流 (1.7) 的奇性形成及解的生命跨度估计. 何等[26 ] 进而构造了其自相似解. 高等人利用李对称方法[27 ] 研究了群不变解. 基于文献[11 ] 与文献[24 ] 结论, 双曲幂曲线流与带有不同外力场的双曲平均曲率流被毛等[28 32 ] 研究. 最近, 吕与王[33 ] 证明了带有耗散项双曲曲率流经典解的生命跨度 ...
Forced hyperbolic mean curvature flow
1
2012
... 其中 d$s=\Big|\gamma_{u}|{\rm d}u$ $k, \vec{n}$ $\vec{t}$ $\gamma(\cdot,t)$ [25 ] 研究了几何流 (1.7) 的奇性形成及解的生命跨度估计. 何等[26 ] 进而构造了其自相似解. 高等人利用李对称方法[27 ] 研究了群不变解. 基于文献[11 ] 与文献[24 ] 结论, 双曲幂曲线流与带有不同外力场的双曲平均曲率流被毛等[28 32 ] 研究. 最近, 吕与王[33 ] 证明了带有耗散项双曲曲率流经典解的生命跨度 ...
Hyperbolic curve flows in the plane
0
2019
The lifespan of classical solution to the Cauchy problem for the hyperbolic mean curvature flow with linear forcing term
0
2013
Symmetries and solutions of hyperbolic mean curvature flow with a constant forcing term
0
2014
Hyperbolic mean curvature flow with a forcing term: evolution of plane curves
1
2014
... 其中 d$s=\Big|\gamma_{u}|{\rm d}u$ $k, \vec{n}$ $\vec{t}$ $\gamma(\cdot,t)$ [25 ] 研究了几何流 (1.7) 的奇性形成及解的生命跨度估计. 何等[26 ] 进而构造了其自相似解. 高等人利用李对称方法[27 ] 研究了群不变解. 基于文献[11 ] 与文献[24 ] 结论, 双曲幂曲线流与带有不同外力场的双曲平均曲率流被毛等[28 32 ] 研究. 最近, 吕与王[33 ] 证明了带有耗散项双曲曲率流经典解的生命跨度 ...
The Cauchy problems for dissipative hyperbolic mean curvature flow
2
2019
... 其中 d$s=\Big|\gamma_{u}|{\rm d}u$ $k, \vec{n}$ $\vec{t}$ $\gamma(\cdot,t)$ [25 ] 研究了几何流 (1.7) 的奇性形成及解的生命跨度估计. 何等[26 ] 进而构造了其自相似解. 高等人利用李对称方法[27 ] 研究了群不变解. 基于文献[11 ] 与文献[24 ] 结论, 双曲幂曲线流与带有不同外力场的双曲平均曲率流被毛等[28 32 ] 研究. 最近, 吕与王[33 ] 证明了带有耗散项双曲曲率流经典解的生命跨度 ...
... 受文献 [15 ,16 ,33 ,34 ,41 ]的启发, 我们研究带有耗散项的双曲平均曲率流 ...
Dissipative hyperbolic mean curvature flow for closed convex plane curves
3
2023
... 王等[34 ] 分析了在耗散双曲曲率流作用下平面曲线的演化问题. 夏与王[35 ] 进一步研究了一类骨组织生长几何控制的数学模型 ...
... 受文献 [15 ,16 ,33 ,34 ,41 ]的启发, 我们研究带有耗散项的双曲平均曲率流 ...
... 类似于文献 [34 ,例 2.1] 中的证明方法. 假设对所有的 $t\in[0,\infty)$ $r(t)>0$
The Cauchy problem of dissipative hyperbolic mean curvature flow
1
2024
... 王等[34 ] 分析了在耗散双曲曲率流作用下平面曲线的演化问题. 夏与王[35 ] 进一步研究了一类骨组织生长几何控制的数学模型 ...
Discrete hyperbolic curvature flow in the plane
1
2023
... 基于参数方法, Deckelnick 与 Nürnberg[36 ] 提出了一类有限差分网格方法逼近演化曲线 (1.8). 进而, 在文献[37 ] 中他们数值模拟了 (1.6) 式作用下曲面演化. Benes 等[38 ] 利用解析解与半离散有限卷积方法分析了双曲曲率流解的行为. ...
On the numerical approximation of hyperbolic mean curvature flows for surfaces
2
2025
... 基于参数方法, Deckelnick 与 Nürnberg[36 ] 提出了一类有限差分网格方法逼近演化曲线 (1.8). 进而, 在文献[37 ] 中他们数值模拟了 (1.6) 式作用下曲面演化. Benes 等[38 ] 利用解析解与半离散有限卷积方法分析了双曲曲率流解的行为. ...
... 注 2.1 对于初始速度为零及 $\mu>0$ $T_{c}(\mu)$ $T_{c}(\mu)$ $\dfrac{\mu r_{0}^2}{2n}$ $\mu$ 37 ] 中的结果一致. ...
Computational aspects of hyperbolic curvature flow
1
2025
... 基于参数方法, Deckelnick 与 Nürnberg[36 ] 提出了一类有限差分网格方法逼近演化曲线 (1.8). 进而, 在文献[37 ] 中他们数值模拟了 (1.6) 式作用下曲面演化. Benes 等[38 ] 利用解析解与半离散有限卷积方法分析了双曲曲率流解的行为. ...
On hyperbolic gauss curvature flows
1
2011
... 不同于以上的双曲曲率流, 曹与沃[39 ] 首次提出双曲高斯曲率流, 这是一个保法向流, 在这个流作用下的曲面的图所满足的双曲偏微分方程给出了一类完全非线性 Euclid 不变量双曲方程. 在适当条件下证明了解的局部存在性以及几何流的爆破与渐进行为. 进一步, 沃等[40 ] 考虑了双曲仿射流. 王[41 ] 研究了耗散双曲仿射流. 高等[42 ] 基于李对称方法构造了一维情形下的群不变解. ...
A hyperbolic-type affine invariant curve flow
1
2014
... 不同于以上的双曲曲率流, 曹与沃[39 ] 首次提出双曲高斯曲率流, 这是一个保法向流, 在这个流作用下的曲面的图所满足的双曲偏微分方程给出了一类完全非线性 Euclid 不变量双曲方程. 在适当条件下证明了解的局部存在性以及几何流的爆破与渐进行为. 进一步, 沃等[40 ] 考虑了双曲仿射流. 王[41 ] 研究了耗散双曲仿射流. 高等[42 ] 基于李对称方法构造了一维情形下的群不变解. ...
A dissipative hyperbolic affine flow
2
2018
... 不同于以上的双曲曲率流, 曹与沃[39 ] 首次提出双曲高斯曲率流, 这是一个保法向流, 在这个流作用下的曲面的图所满足的双曲偏微分方程给出了一类完全非线性 Euclid 不变量双曲方程. 在适当条件下证明了解的局部存在性以及几何流的爆破与渐进行为. 进一步, 沃等[40 ] 考虑了双曲仿射流. 王[41 ] 研究了耗散双曲仿射流. 高等[42 ] 基于李对称方法构造了一维情形下的群不变解. ...
... 受文献 [15 ,16 ,33 ,34 ,41 ]的启发, 我们研究带有耗散项的双曲平均曲率流 ...
Symmetries of the one-dimensional hyperbolic Lagrangian mean curvature flow
1
2023
... 不同于以上的双曲曲率流, 曹与沃[39 ] 首次提出双曲高斯曲率流, 这是一个保法向流, 在这个流作用下的曲面的图所满足的双曲偏微分方程给出了一类完全非线性 Euclid 不变量双曲方程. 在适当条件下证明了解的局部存在性以及几何流的爆破与渐进行为. 进一步, 沃等[40 ] 考虑了双曲仿射流. 王[41 ] 研究了耗散双曲仿射流. 高等[42 ] 基于李对称方法构造了一维情形下的群不变解. ...
Some regularity theorems in Riemannian geometry
3
1981
... 是一个几何流且与超曲面的参数选取无关. 由 De Turk[43 ] 技巧, 通过 $M^{n}$
... DeTurck[43 ] 证明了坐标卡 $(x^{1},\cdots,x^{n})$ $\Longleftrightarrow \Delta x^j=g^{ik}\dfrac{\partial^2 x^j}{\partial x^i\partial x^k}-g^{ik}\Gamma_{ik}^{l}\dfrac{\partial x^j}{\partial x^l}=-\Gamma^j_{ik}g^{ik}=-\Gamma^j=0.$
... 证 由定理 2.1 及调和坐标存在性定理[43 ] , 存在一个固定时间 $t\in \mathbb{R}^+$ $p\in M^n$ $(x^{1},\cdots,x^{n})$
Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations
1
1997
... 这是一个严格双曲方程. 由标准的双曲型方程理论[44 ] , 我们得到解的局部存在唯一性定理. ...
Global existence and asymptotics of the solution of the second-order quasilinear hyperbolic equations with the first-order dissipation
1
1977
... 由耗散波方程理论 (见文献[45 ,46 ]), 对充分小的 $\epsilon >0$ $\mathbb{R}^{n}(n >2)$ $Y=Y(x,t)$ . ...
Global smooth solutions for the second-order quaslinear wave equations with the first-order dissipation
1
1978
... 由耗散波方程理论 (见文献[45 ,46 ]), 对充分小的 $\epsilon >0$ $\mathbb{R}^{n}(n >2)$ $Y=Y(x,t)$ . ...
