本文研究如下一类非线性 Schrödinger-Poisson 方程

其中 $V\left( x \right)$ 为电势能, $\mu,\ \lambda \in \mathbb{R}$ 为参数, $\lambda>0$, 且 $p\in \left( 1,2 \right) $. 问题 (1.1) 源于对下列非线性 Schrödinger 方程驻波解 $\psi(x, t)=u(x) e^{-i \omega t}$ 的研究

另一方面, 方程 (1.1) 也可改写为由两个局部方程组成的系统, 即 Schrödinger 和 Poisson 方程

其中 $V(x)$ 和 $\phi (x)$ 分别表示为电位势和有效位势, 非线性项 $\left| u \right|^{p-1}u$ 表示离子间的互相作用.

方程 (1.1) 也可视为以下非线性薛定谔泊松方程的特例

此系统 (1.4) 最初由文献[1] 提出, 当 $V\left( x \right) \equiv 1$ 或具有径向对称性时, 问题 (1.4) 在 $f$ 的不同条件下得到了广泛研究, 例如文献[2-4]. 文献[5] 研究了正的且有界的非径向势能 $V(x)$ 的情形. 文献[6] 处理了位势函数 $V(x)$ 为周期势的问题.

在光子晶体中, 势能 $V(x)$ 通常是周期或近似周期的. 若周期结构中存在线性缺陷, 即某种破坏周期性的附加结构, 则光子晶体能够沿该缺陷传导光波^[7]. 此时, 势函数可表示为

其中 $V_{per}$ 是周期势, $V_{loc}$ 是局域势, 在无穷远处趋近于零. 在没有局域势, 即 $V_{loc}\equiv 0$ 的情况下的 $-\varDelta +V=-\varDelta +V_{per}$ 的谱 $\sigma \left( -\varDelta +V \right) $ 是纯连续的, 且下有界, 由闭合的不相交区间组成^[8]. 在这种情况下, 对方程 (1.4) 且 $\phi\equiv 0$ 的研究是许多作者特别感兴趣的^[9,10].

我们引入以下 Sobolev 空间 $ H^1(\mathbb{R}^3) = \left\{ u \in L^2(\mathbb{R}^3) : \nabla u \in L^2(\mathbb{R}^3) \right\}, $ 我们定义其上的内积为 $ \langle u, v \rangle = \int_{\mathbb{R}^3} \left( \nabla u \cdot \nabla v + u v \right){\rm d}x, $ 由此构成一个 Hilbert 空间.

方程 (1.1) 对应的能量泛函 $\mathcal{J}_{\lambda,\mu}: H^1(\mathbb{R}^3) \to \mathbb{R}$ 定义为

容易验证, 能量泛函 $\mathcal{J}_{\lambda,\mu}(u)$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 上是 $C^{1}$-类的. 对应的 Nehari 流形为

其中 $\mathcal{J}^{\prime}_{\lambda,\mu}(u)u$ 表示泛函在 $u$ 处的方向导数. 显然, $\mathcal{N}_\lambda$ 包含问题 (1.1) 的所有非平凡临界点. 若其满足 $ c(\lambda) = \inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda} \mathcal{J}_{\lambda}(u), $ 称非平凡解 $u \in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 为问题 (1.1) 的基态解或最小能量解.

尽管已有大量文献致力于非线性 Schrödinger-Poisson 方程的研究, 但是关于方程 (1.1) 在指标 $p\in \left( 1,2 \right) $ 及周期位势条件下基态解的研究结果较少.

在陈述主要结果前, 我们需要对 $V$ 做如下假设

${\bf(V1)}$$V\in L^{\infty}\left( \mathbb{R}^3 \right) $ 且是 $\mathbb{Z}^3$- 周期的.

${\bf(V2)}$$\operatorname{ess}\inf_{x\in \mathbb{R}^3}V\left( x \right) =V_0\ge V_{\lambda}>0$, 其中 $V_{\lambda}=\left( \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \right) ^{\frac{p-1}{2-p}}+\frac{1}{2}$.

在引理 2.3 中, 我们将证明存在 $\mu^*$, 使得对于所有 $0\le\mu <\mu^*$,

在空间 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 上是正定的.

我们主要结果可表述如下

定理 1.1 假设 (V1) (V2) 成立, 则存在常数 $\mu^*,\lambda _0>0$, 当 $0<\mu <\mu^*$ 且 $0<\lambda <\lambda _0$ 时, 方程 (1.1) 有基态解 $u_{0}^{\lambda}$.

定理 1.2 假设 (V1) 成立, 若 $\mu <0$, 则方程 (1.1) 没有基态解.

本节给出证明主要定理所需要的重要引理.

引理2.1^[11] (Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式) 设 $ p, \ r > 1 $, $ 0 < \lambda < n $, 且满足

若 $ f \in L^p (\mathbb{R}^N) $ 且 $ h \in L^r (\mathbb{R}^N) $, 则存在与 $ f $ 和 $ h $ 无关的常数 $ C $, 使得

引理2.2^[12] 设 $ 1 \leq p < \infty $. 若 $ q < N $ 满足 $ 0 \leq q \leq p $, 则对任意 $ u \in W^{1,p} (\mathbb{R}^N) $, 有

且进一步成立

注 2.1 令 $ q = 1 $, $ p = 2 $. 由引理 2.2 可知, 对任意 $ u \in H^1 (\mathbb{R}^3) $, 有

引理2.3 存在常数 $\mu^{*} > 0$, 使得对任意 $0 \le \mu < \mu^{*}$, 以下二次型

在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 上是正定的, 且其诱导的范数与标准范数等价.

证 根据 $V(x)$ 的假设条件, 对任意 $u \in H^{1}(\mathbb{R}^{3})$, 有

另一方面, 取 $\mu^{*} = \min\left\{1, V_0\right\}$, 则对任意 $0 \le \mu < \mu^{*}$, 利用引理2.1可得下界估计

由此可知, $Q_u$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 上正定且与标准范数等价.

根据引理 2.3, 我们可在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{3}) $ 上引入范数

在下文中, 记 $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mu}$ 为对应于二次型 $ Q_{\mu} $ 的内积. 进一步定义

显然 $\mathcal{D}(u)$ 在 $ H^{1}(\mathbb{R}^{3}) $ 上是有定义的. 由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式和 Sobolev 不等式可知, 存在常数 $ C > 0 $, 使得

由此可将能量泛函改写为下列形式

定义2.1 (Cerami序列) 称序列 $\{u_n\}_{n} \subset E$ 为能量泛函 $\mathcal{J}$ 在水平 $c$ 处的 Cerami 序列, 若其满足

我们将用下面的定理来得到 Cerami 序列的存在性.

定理2.1^{[13,定理 2.1]} 假设满足下列条件

${\bf(J1)}$ 存在 $r>0$, 使得 $\underset{\lVert u \rVert_{E} =r}{\text{inf}}\mathcal{J}\left( u \right) > 0; $

${\bf(J2)}$ 对于任意的 $u\ne 0$, 存在 $t_0>0$ 使得 $ \mathcal{J}(t_0u)<0; $

${\bf(J3)}$ 对任意的 $t\in \left( 0,+\infty \right) $ 和 $u\in\mathcal{N}$, 有 $ \mathcal{J}(u)\ge \mathcal{J}(tu). $

则 $\inf_{u \in \mathcal{N}} \mathcal{J}(u) > 0$, 且存在 $\mathcal{J}$ 在 $\mathcal{N}$ 上的有界极小化序列, 即存在序列 $\{u_n\}_n \subset \mathcal{N}$ 满足

引理 2.4 设 $ p \in (1, 2) $, $ 0 \le \mu < \mu^{*} $ 且 $0 < \lambda < \lambda_0$, 并假设条件 (V1) (V2) 成立, 则对于空间 $(E, \|\cdot\|_E) = \left( H^{1}(\mathbb{R}^3), \|\cdot\|_\mu \right)$, 条件 (J1)-(J3) 成立.

证 (J1) 考虑能量泛函在序列上的取值

由 $\lambda>0$, 可得

由 Sobolev 嵌入定理, 可得下界估计

由于 $ p \in (1, 2) $, 令 $Cr^{p-1}=\dfrac{1}{4}$, 即 $ r = \left[\frac{1}{4C}\right]^{\frac{1}{p-1}}$. 因此

(J2) 考虑能量泛函

此为 (1.5) 式中取 $\lambda = 0$ 时的特例. 对固定非零元 $u \in H^{1}(\mathbb{R}^{3})\setminus\{0\}$, 由于当 $t \to +\infty$ 时, 有

可选取充分大的 $t_0 > 0$ 使得 $t_0 u$ 满足 $E(t_0 u) < 0$. 进一步, 存在 $\lambda_1 > 0$, 使得对任意 $0 < \lambda < \lambda_1$, 有

(J3) 由于 $u\in\mathcal{N}_\lambda$, 可得

即

令 $\varphi (t)=\mathcal{J}_{\lambda,\mu}(tu)$. 由于 $\varphi (1)= \mathcal{J}_{\lambda,\mu}(u)$, 我们只用证 $t=1$ 是全局最大值点, 即当 $t\in (0,+\infty)\setminus \{1\}$ 时, 有 $\varphi (t)<\varphi (1)$. 考虑

将 (2.4) 式代入(2.5) 式, 可得

当 $t>1$ 时, 存在常数 $C>0$, 有

取 $\lambda_2:= \dfrac{1}{C\lVert u \rVert _{\mu}^{2}}\cdot \underset{t>1}{\min}\left(\dfrac{t^p-t}{t^3-t^p}\right) $ 可得 $\varphi ^{\prime}( t ) <0$.

当 $0<t<1$ 时, 取上述 $\lambda_2$, 同理可证 $\varphi ^{\prime}( t ) >0$.

因此, 对于 $t\in \left( 0,+\infty \right) $, 有 $\mathcal{J}(u)\ge \mathcal{J}(tu)$.

综上所述, 取 $\lambda_0=\min\{\lambda_1,\lambda_2\}$, 可使 (J2) (J3) 同时成立, 故引理 2.4 得证.

引理2.5 设 $ p \in (1, 2) $, $ 0<\lambda <\lambda _0 $ 且 $ 0 \le \mu < \mu^{*} $, 并假设条件 (V1) (V2) 成立. 若 $\{u_n\}_n \subset H^1(\mathbb{R}^3)$ 是 Cerami 序列, 则该序列在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中是有界的.

证 根据文献 [14,(20) 式], 我们有如下不等式成立

其中 $\mathcal{D}(u)$ 是由 (2.1) 式所定义的, 并且 $c_{\lambda}=\sqrt{\lambda / 8}>0$.

由 Cerami 序列的定义, 当 $n$ 充分大时, 有

同 (2.7) 式, 我们可推导

因此

其中 $g(u_n)=\dfrac{2V_0-1}{2}|u_n|^2+\sqrt{\lambda}|u_n|^3-|u_n|^{p+1}.$

由引理 2.3, 存在 $c_0>0$, 使得

所以

对于 $ p \in (1, 2) $, 以及任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $C_{\varepsilon}=\left( \frac{1}{\varepsilon} \right) ^{\frac{p-1}{2-p}}$, 使得

因此

且

取 $\varepsilon=\sqrt{\lambda}$, 则 $C_\varepsilon=\left( \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \right) ^{\frac{p-1}{2-p}}$. 再取 $V_{\lambda}=\dfrac{2C_\varepsilon+1}{2}=\left( \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \right) ^{\frac{p-1}{2-p}}+\frac{1}{2}$, 当 $V_0\ge V_{\lambda}>0$ 时,

由 (2.10) 式可得

所以 $\{\lVert u_n \rVert _{\mu}\}_n$ 是有界的. 再由引理 2.3 可得, $\{u_n\}_n$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中是有界的.

引理 2.6 如果 $|x_n| \to \infty$, 则对任意 $u \in H^1(\mathbb{R}^N)$, 有

证 类似文献 [15,引理 2.5] 中证明过程, 在此省略.

在此节我们将给出有界极小化序列的分解.

定义

其中 $ \mathcal{J}_{\lambda,\mu}(u) $ 为公式 (1.5) 中令 $\mu \equiv 0$ 时的能量泛函.

引理 3.1 设 $\{u_n\}_n \subset H^1(\mathbb{R}^3)$ 为有界序列, 且在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中 $u_n \rightharpoonup u_0$, 则

证 类似文献 [16,引理 2.2] 中证明过程, 在此省略.

引理 3.2 假设 $\{u_n\}_ n \subset H^1(\mathbb{R}^3)$, $\ell \geq 1$, 且对 $k = 1, \cdots, \ell$, 存在一个序列 $\{y_n^k\}_n \subset \mathbb{Z}^3$ 与函数 $\omega^k \in H^1(\mathbb{R}^3)$, 使得在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中, 有 $u_n \rightharpoonup u_0 $ 且 $u_n(\cdot - y_n^k) \rightharpoonup \omega^k$. 若进一步满足范数收敛条件

则 $ \mathcal{D}(u_n) \to \mathcal{D}(u_0) + \sum_{k=1}^{\ell} \mathcal{D}(\omega^k). $

证 类似文献 [17,引理 3.4] 中证明过程, 在此省略.

与文献 [18,引理 4.3,推论 4.4] 相似, 我们还可以得到下面的引理与推论.

引理 3.3 $ \mathcal{D}^{\prime}: H^1(\mathbb{R}^3) \to \big( H^1(\mathbb{R}^3) \big)^* $ 是弱* 连续的. 即若序列 $\{u_n\}_n \subset H^1(\mathbb{R}^3)$ 有界且在 $ H^1(\mathbb{R}^3) $ 中 $ u_n \rightharpoonup u_0 $, 则对任意 $\varphi \in H^1(\mathbb{R}^3)$, 有

推论 3.1 $ \mathcal{J}_{\lambda,\mu}^{\prime}(u): H^1(\mathbb{R}^3) \to \big( H^1(\mathbb{R}^3) \big)^* $ 是弱* 连续的.

定理 3.1 假设条件 (V1) (V2) 成立, $ 0 < \mu < \mu^{*} $ 且 $0 < \lambda < \lambda_0$. 令 $\{u_n\}_n$ 是 $ H^{1}(\mathbb{R}^{3}) $ 中的有界 Cerami 序列, 则存在一个子列仍记为 $\{u_n\}_n$, 整数 $\ell \geq 0$ 以及序列 $\{y_n^k\}_n \subset \mathbb{Z}^{3}$, 函数列 $\{w^{k}\}_{k=1}^{l} \subset H^{1}(\mathbb{R}^{3}), \ k = 1, \cdots, \ell$, 满足下面的条件

(1) $u_n \rightharpoonup u_0$ 且 $\mathcal{J}^{\prime}_{\lambda,\mu}(u_0) = 0$;

(2) 当 $k \neq k^{\prime}$ 时, 有 $|y_n^k| \to +\infty$ 和 $|y_n^k - y_n^{k^{\prime}}| \to +\infty$;

(3) 对于 $1 \leq k \leq \ell$, $\omega^{k} \neq 0$ 且 $\mathcal{J}^{\prime}_{\lambda,0}(\omega^{k}) = 0$;

(4) 当 $n \to \infty$ 时, 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中 $ u_n - u_0 - \sum_{k=1}^{\ell} \omega^{k}(\cdot - y_n^k) \to 0; $

(5) $ \mathcal{J}_{\lambda,\mu}(u_n) \to \mathcal{J}_{\lambda,\mu}(u_0) + \sum_{k=1}^{\ell} \mathcal{J}_{\lambda,0}(\omega^{k}). $

证步骤 1 由于序列 $\{u_n\}_n$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中是有界的, 则在抽取一个子列之后, 存在 $u_0 $ 使得在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中 $ u_n \rightharpoonup u_0 $. 又因为 $\mathcal{J}_{\lambda,\mu}^{\prime}(u_n) \to 0$, 由推论 3.1 可得 $ \mathcal{J}_{\lambda,\mu}^{\prime}(u_0) = 0. $

步骤 2 令 $v_{n}^{1}=u_n-u_0$. 假设

下证在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中 $u_n\rightarrow u_0$, 并且当 $\ell =0$ 时, 结论 1-4 成立. 由于

因为 $\mathcal{J}_{\lambda,\mu}^{\prime}\left( u_0 \right) =0$, 即

因此

由于 $\left\{ v_{n}^{1} \right\} _n$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中是有界的, 又因为 $\mathcal{J}_{\lambda,\mu}^{\prime}\left( u_n \right) \rightarrow 0 $, 则 $ \mathcal{J}_{\lambda,\mu}^{\prime}\left( u_n \right) \left( v_{n}^{1} \right) \rightarrow 0. $ 通过 Hölder 不等式和 Lions 集中紧性原理可得

由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式可得

因此在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中 $\lVert v_{n}^{1} \rVert _{\mu}^{2}\rightarrow 0$ 且 $u_n\rightarrow u_0$. 由此可得 $ \mathcal{J}_{\lambda,\mu}(u_n) \to \mathcal{J}_{\lambda,\mu}(u_0), $ 则当 $\ell = 0$ 时, 定理结论成立.

$\textbf{步骤 3 }$ 假设存在一个序列 $\left\{ z_n \right\} _n\subset \mathbb{Z}^3$ 使得

则存在 $\omega \in H^1(\mathbb{R}^3)$ 在抽取一个适当子列意义下使得

(i) $|z_n| \to +\infty$; (ii) $u_n(\cdot + z_n) \rightharpoonup \omega \neq 0$; (iii) $\mathcal{J}_{\lambda,0}'(\omega) = 0$.

显然 $|z_n| \to +\infty$, 且存在 $\omega \in H^1(\mathbb{R}^3)$ 满足在抽取一个适当子列意义下 $u_n(\cdot + z_n) \rightharpoonup \omega \neq 0$. 我们断言 $\mathcal{J}_{\lambda,0}'(\omega) = 0$.

事实上, 令 $v_n = u_n(\cdot + z_n)$, 对任意试验函数 $\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$, 表示如下

由弱收敛性 $\langle v_n - \omega, \varphi \rangle_\mu \to 0$. 仿照步骤 2 的方法可得

根据引理 2.2, 在 $L^2\left(\mathbb{R}^3, \dfrac{{\rm d}x}{|x|}\right)$ 中是有界的, 因此可假设 $v_n\rightharpoonup \omega $, 可得

则 $\mathcal{J}_{\lambda,0}^{\prime}(v_n)(\varphi) \to \mathcal{J}_{\lambda,0}^{\prime}(\omega)(\varphi)$. 为了证明 $\mathcal{J}_{\lambda,0}^{\prime}(\omega)=0$, 我们只需要证明 $\mathcal{J}_{\lambda,0}^{'}(v_n)(\varphi) \to 0$. 事实上, 由于

进一步展开可得

由引理 2.2 可知 $\{u_n\}_n$ 在 $L^2\left(\mathbb{R}^3; \frac{{\rm d}x}{|x|}\right)$ 中是有界的结合引理 2.6, 可得当 $n \rightarrow \infty $ 时

可得 $\mathcal{J}_{\lambda,0}(v_n)(\varphi) \to 0$. 因此 $\mathcal{J}_{\lambda,0}^{\prime}\left( \omega \right) =0$.

$\textbf{步骤 4 }$ 假设存在整数 $ m \geq 1 $, 序列 $\{y_n^k\}_n \subset \mathbb{Z}^3$ 及 $ \omega^k \in H^1(\mathbb{R}^3), \ 1 \leq k \leq m$, 使得

对任意 $ k \neq k' $, 有 $ |y_n^k| \to +\infty, \ |y_n^k - y_n^{k'}| \to +\infty ; $

对每个 $ 1 \leq k \leq m $, 成立 $ u_n(\cdot + y_n^k) \rightharpoonup \omega^k \neq 0 ; $

对每个 $ 1 \leq k \leq m $, 有 $ \mathcal{J}_{\lambda,0}^{\prime}(\omega^k) = 0. $

(1) 若

则

(2) 若存在序列 $\{z_n\}_n \subset \mathbb{Z}^3$ 使得

则存在 $ \omega^{m+1} \in H^1(\mathbb{R}^3) $ 在子列意义下满足

(i) 对每个 $ 1 \leq k \leq m $, 有 $\left|z_{n}\right| \rightarrow \infty,\left|z_{n}-y_{n}^{k}\right| \rightarrow \infty $;

(ii) $ u_n(\cdot + z_n) \rightharpoonup \omega^{m+1} \neq 0 $;

(iii)] $\mathcal{J}_{\lambda,0}^{\prime}(\omega^{m+1}) = 0 $.

定义

(1) 由于

根据 $ \mathcal{J}_{\lambda,\mu}^{\prime}(u_0)(\xi_n) = 0, $ 可得

因此 $\| \xi_n \|_\mu^2$ 可表示为

由于 $ \mathcal{J}_{\lambda,\mu}^{\prime}(u_n)(\xi_n) \to 0.$ 并且对于每个 $\omega^k$ 是 $\mathcal{J}_{\lambda,0}(u)$ 的临界点, 可得

因此

根据引理 2.6 可知

仿照文献 [19,引理 4.3] 相似的方法, 可得

由此可得

为证明 $|\mathcal{D}^{\prime}(u_n)(\xi_n)| \to 0$, 利用 Hardy-Littlewood-Sobolev 和 Hölder 不等式

同理可证

因此, 在 $H^1\left( \mathbb{R}^3 \right) $ 中 $\xi_n \to 0$.

(2) 假设存在序列 $\{z_n^{m+1}\}_n \subset \mathbb{Z}^3$, 使得

令 $ v_n = u_n(\cdot + z_n^{m+1}) $, 通过类似于步骤 3 的方法可得 (i) (ii) 成立. 对任意试验函数 $\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$ 有

由于 $\mathcal{J}_{\lambda,0}^{\prime}(v_n)(\varphi) \to 0$. 由此可知 $\omega^{m+1}$ 是 $\mathcal{J}_{\lambda,0}(u)$ 的临界点, 即 $ \mathcal{J}_{\lambda,0}^{\prime}(\omega^{m+1}) = 0. $

$\textbf{步骤 5 }$ 我们证明上述分解过程将在有限步后终止. 通过重复步骤 4, 构造非零函数 $\omega^k$ 和序列 $\{y_n^k\}_n$. 由于 $\omega^k$ 是泛函 $\mathcal{J}_{\lambda,0}(u)$ 的临界点, 且存在 $\rho > 0$ 使得

根据弱收敛性质, 可得

进一步由序列 $\{u_n\}_n$ 的有界性, 存在上界

因此

这表明分解步数 $\ell$ 必须为有限值, 过程终将在有限步后终止.

$\textbf{步骤 6 }$ 接下来证明 (5) 成立

将能量泛函展开为

由于 $u_n \rightharpoonup u_0$, 当 $n \to \infty$ 时

根据引理 3.1 可得

由 Brezis-Lieb 引理可得

注意到

根据引理 2.2, 在 $L^2\left(\mathbb{R}^3, \dfrac{dx}{|x|}\right)$ 中是有界的, 因此可假设 $u_n\rightharpoonup u_0 $, 可得

对于第一项, 利用分解 $u_n = u_0 + \sum_{k=1}^m \omega^k(\cdot - y_n^k) + \xi_n$, 可得

由 Hölder 不等式, 我们可得

剩余项满足

因此

接下来我们证明

通过展开能量泛函并分离各项, 可得

根据引理 3.1 和引理 3.2 及其迭代过程可得

类似地有

最终可得

综上

这样我们就完成了该定理的证明.

存在有界极小化序列 $\{u_n^\lambda\} \subset \mathcal{N}_\lambda$ 使得

令 $c_0(\lambda) = \inf_{u\in\mathcal{N}_0} \mathcal{J}_{\lambda,0}(u)$, 其中 $\mathcal{N}_0$ 为对应 $\mathcal{J}_{\lambda,0}(u)$ 的 Nehari 流形. 根据定理 3.1 (3) (5), 可得

由于 $0 < \mu < \mu^*$, 对几乎处处的 $x \in \mathbb{R}^3$ 有 $V(x) - \frac{\mu}{|x|} < V(x)$. 选取 $\mathcal{J}_{\lambda,0}(u)$ 的非零临界点 $u'=u'(\lambda) $ 使得 $\mathcal{J}_{\lambda,0}(u') = c_0(\lambda)$, 并令 $t > 0$ 满足 $tu' \in \mathcal{N}_\lambda$, 则

因此 $c_0(\lambda) > c(\lambda)$.

定义函数 $g:\left( 0,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} $ 为

由引理 2.4 (J3) 可知, 对任意的 $t\in \left( 0,+\infty \right) $, 有

即 $g(t)$ 在 $t=1$ 达到全局最大值. 由于 $\underset{t\rightarrow 0^+}{\lim}g\left( t \right) \rightarrow 0 $, 可得 $g(1) \ge \underset{t\rightarrow 0^+}{\lim}g(t)=0$, 即

由 (4.1) 式可得

如果 $\ell \ge 1$, 则 $c(\lambda) \ge \ell c_0(\lambda) > \ell c(\lambda)$, 矛盾. 因此 $\ell = 0$ 且 $u_0^\lambda$ 是基态解.

反证法: 假设存在 $\mathcal{J}_{\lambda,\mu}$(u) 的基态解 $u_0^\lambda$, 则有

由于 $\mu < 0$, 对几乎处处的 $x \in \mathbb{R}^3$, 有 $V(x) - \frac{\mu}{|x|} > V(x).$

仿照先前论证可得 $c_0(\lambda) < c(\lambda)$. 另一方面, 固定 $u =u(\lambda)\in \mathcal{N}_0$. 对任意 $z \in \mathbb{Z}^3$, 选取 $t_z > 0$ 使得 $t_z u(\cdot - z) \in \mathcal{N}$, 则

由于 $\mathcal{J}_{\lambda,0}(u)$ 在 $\mathcal{N}_0$ 上的强制性及不等式

可得

根据引理 2.6, 当 $|z| \to +\infty$ 时

因此

对 $u \in \mathcal{N}_0$ 取下确界得

这与 $c_0 < c$ 矛盾, 故原假设不成立.