自聚焦是物理非线性光学中的概念, 该术语是为了研究激光在介质中的非线性折射现象, 散射模型的方程可简化如下

该方程的解直接反映了光束聚焦的强度, 广泛应用于自聚焦透镜, 光孤子通信和全光通信技术, 因此研究其解的集中行为具有重要意义.

现有研究更多聚焦于方程 (1.1) 中的线性位势函数 $ V $ (即 $ Q=1 $ 的情形). 文献[3] 利用有限维约化方法研究当 $ V $ 有局部退化最大或最小值点 $ x_0 $ 时, 方程 (1.1) 解的存在性. 文献[18,21] 也用相同的方法讨论了类似的情形. Del Pino 和 Felmer 在文献[16] 中引入了罚函数方法, 结合局部山路引理解决方程 (1.1) 在位势满足在 $ \mathbb{R}^{N} $ 上 $ V\geq C>0 $ 以及在有界区域 $ \Omega $ 上 $ \inf_{\Omega}V<\min_{\partial\Omega}V $ 的条件下解的集中性问题. Jeanjean-Tanaka 在文献[23] 中通过变分方法证明存在正解序列集中在位势 $ V $ 的极小值附近. 更多类似结果可参见文献 [26,27]. 特别地, 在文献 [4–6,10,11] 中, 作者解决了位势 $ V $ 在无穷远有适当衰减时解的存在性问题.

本文主要研究方程 (1.1) 中自聚焦部分 $ Q_n(x) $ 对解的行为影响, 即研究如下 Schrödinger 方程

其中, $ Q_n $ 是有界函数, 在某些集合上取正值而在其余区域为负值. 特别地, 集合 $ \{Q_n >0\} $ 会趋于某个点集. $ Q>0 $ 的部分称为自聚焦区域 (对应亮孤子), $ Q<0 $ 的区域称为自散焦区域 (对应暗孤子). 当 $ Q>0 $ 限制于一个尺度很小的集合上时, 便称为自聚焦核. 将 $ Q $ 的正负分开来研究光学材料性质是十分普遍的方法, 详见文献[9]. 更多物理背景可参见文献 [1,9].

文献[19,24] 考虑了 $ Q $ 在变号情形下, 光线会集中在材料自聚焦区域的一个窄形小区域中. 在文献 [8,22] 中, $ Q $ 取形如 $ a_+ - \delta a_- $ 的形式, 文献[25] 则研究 $ \delta \to 0 $ 的情形. 文献[2] 通过扰动参数解决集合 $ \{ x\left| {Q(x) > 0} \right\} $ 解的性质. 在该文献中, 通过在区域 $ Q>0 $ 内嵌入一个直径为 $ \delta >0 $ 的小区域 (此区域内 $ Q\equiv 0 $) 来分析 $ \delta \to 0 $ 时解的行为.

在文献[1] 中, Ackermann 和 Szulkin 考虑了方程 (1.2) 解的集中现象. 他们证明了当自聚焦区域 (表示为 $ \{Q_n >0\} $) 收缩到有限的点集时, 基态解在 $ L^p $-范数下的集中行为, 并给出了解大致的渐进估计. 在 $ Q_n $ 的极限包含多个点的情况下, 他们证明了基态解集中在这些点中的一个, 但集中的具体位置仍然不确定. 在文献[20] 中, Fang 和 Wang 通过极限方程解的性质给出方程 (1.2) 解的精确渐近行为. 他们考虑 $ Q_n $ 的一类特殊情形, 通过对原方程适当地伸缩, 证明了解会趋于极限方程的基态解. 此外, 他们还构造性地证明了当 $ \{Q_n >0\} $ 的极限包含两个点时, 方程存在局部的束缚态解.

通过阅读上面的文章, 自然可提出以下几个问题

Q1 在文献[20] 的条件下是否存在一个最小能量变号解?

Q2 变号解会变号几次?

Q3 是否存在其他非最小能量的解?

这些问题即为本文的动机.

该论文的主要目标是证明: 当自聚焦核为单点集时, 方程 (1.2) 存在极限状态下集中于该点的最小能量变号解; 当自聚焦核为两点集时, 方程 (1.2) 存在集中于其中某一点的最小能量变号解. 此外, 我们还要证明: 当自聚焦核为两点集时, 存在一类集中于极限点中另一点的束缚态变号解. 束缚态变号解的证明更具有挑战性, 证明本文结论利用的是标准的变分方法. 具体而言, 结合文献[15,20]中的方法, 借鉴文献[7,14]的技巧证明了当自聚焦核是两点集时基态变号解只变号一次. 主要困难在于文献[20] 中的罚函数 $ G_\varepsilon (v) $ 在构造本文的束缚态变号解时不再有效. 为此我们构造了类似于文献 [12,13,17]中的一个新的罚函数.

现考虑如下问题

其中, $ p \in \left( {2,{2^*}} \right) $, $ N\geq3 $.

当 $ n \to \infty $ 时, $ \varepsilon _n \to 0 $. 假设 $ Q_n $ 满足

其中, $ r $ 是正常数, 定义 $ Q_n(x)=Q(x/\varepsilon_n) $, 以及

定义空间 $ E=D^{1,2}(\mathbb{R}^{N})\cap L^p(\mathbb{R}^{N}) $, 其范数如下

空间 $ H_n $ 是空间 $ C^{\infty}_0(\mathbb{R}^{N}) $ 关于范数 $ \|\cdot\|_{\varepsilon_n} $ 的完备化. 空间 $ H^1 $ 是 $ C^{\infty}_0(\mathbb{R}^{N}) $ 关于范数 $ \|v\|^2=\int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla v|^2+v^2{\rm d}x $ 的完备化. 对给定的 $ \varepsilon_n $, $ H_{\varepsilon_n}(\mathbb{R}^{N}) $ 等价于 $ H^1(\mathbb{R}^{N}) $. 在有界区域上, $ E $ 连续嵌入到 $ H^1 $.

定义泛函

对任意 $ w, \varphi \in E(\mathbb{R}^N) $, 定义泛函

$ w\in \mathcal{M} $ 的一个必要条件为 $ u^+, u^- \in \mathcal{A} $, 其中,

本文主要结果如下

定理 1.1 假设 $ p \in \left( {2,{2^*}} \right) $. 若 (1.4) 式成立, 则 (1.3) 式存在一个基态变号解 $ u_n $, 并且 $ {w_n} = \varepsilon _n^{\frac{2}{{p - 2}}}u_n({\varepsilon _n}x) $ 在 $ E $ 中收敛到下面方程的最小能量变号解

对任意 $ \delta>0 $,

并且基态变号解 $ u_n $ 仅变号一次.

接着考虑自聚焦核为两点集时基态变号解的集中情形. 假设对正常数 $ s_1, s_2, r_1, r_2, x_1\in\mathbb{R}^N, x_2\in\mathbb{R}^N, x_1\neq x_2 $,

不失一般性, 假设 $ s_1\leq s_2 $. 同时定义

关于两点集的主要结论如下

定理 1.2 设 $ p \in \left( {2,{2^*}} \right) $. 若 (1.15) 式成立, 并且 $ \beta\leq1 $, 则 (1.3) 式存在一个集中在点 $ x_2 $ 处的基态变号解 $ u_n $. 进一步, 令 $ {w_n} = \varepsilon _n^{\frac{2}{{p - 2}}}u_n({\varepsilon _n}x) $, 则有 $ w_n(x+\frac{{{x_2}}}{{{\varepsilon _n}}}) $ 在 $ E $ 中收敛到下面方程的最小能量变号解

其中, $ {K_2}(x) = \left\{ \renewcommand{\arraystretch}{1.25} \begin{array}{ll} s_2, & x \in B_{r_2}(0),\\ -1,\ & \mbox{其余区域}. \end{array} \right. $ 对任意 $ \delta>0 $,

并且基态变号解 $ u_n $ 只变号一次.

给定条件 (1.15), 已知有一个基态变号解集中在 $ x_2 $. 然而, 我们自然要问: 是否存在一个束缚态变号解, 其集中点为 $ x_1 $ 而非 $ x_2 $? 接下来的定理将对此问题给出解答.

定理 1.3 令 $ p\in ( \frac{2N-2}{N-2},2^*) $. 假设 (1.15) 式成立且 $ s_2=1 $. 则 (1.3) 式存在一个集中在点 $ x_1 $ 处的束缚态变号解 $ u_n $. 进一步, 令 $ {w_n} = \varepsilon _n^{\frac{2}{{p - 2}}}u_n({\varepsilon _n}x) $, 有 $ w_n(x+\frac{{{x_1}}}{{{\varepsilon _n}}}) $ 在 $ E $ 中收敛到方程 (1.16) 的最小能量解, 其中方程中的 $ K_2(x) $ 需替换为 $ {K_1}(x) = \left\{ \renewcommand{\arraystretch}{1.25} \begin{array}{ll} s_1, & x \in B_{r_1}(0),\\ -1,\ & x \in B^c_{r_1}(0). \end{array} \right. $

注 1.1 不失一般性, 本文假设 $ x_1=0 $. 附加条件 $ s_2=1 $ 是源于本文构造的罚函数需要该条件. 本文的罚函数与文献[20] 中的完全不同. 此外, 在定理 1.3 的证明中可以看到为何 $ p $ 有 $ p>\frac{2N-2}{N-2} $ 的限制.

本文的结构如下: 第 2 节给出了一些对证明主要定理至关重要的预备引理. 第 3 节证明了定理 1.1 并用极小极大方法和集中紧方法推导了定理1.2. 第 4 节通过在方程 (1.2)中引入罚函数来证明定理 1.3. 方法是通过证明含罚函数的方程解的多项式的衰减性质, 从而得到原问题的解.

本节给出后面两节需要用的预备引理以及一些定义.

令 $ w = \varepsilon _n^{\frac{2}{{p - 2}}}u_n({\varepsilon _n}x) $, 则方程 (1.3) 变为

形式上, 极限方程 (2.1) 为

简单起见, 后续 $ \varepsilon_n $ 写成 $ \varepsilon $.

引理 2.1 对任意 $ w\in \mathcal{A} $, 存在唯一 $ t>0 $, 使得 $ tw\in \mathcal{N} $, 其中, $ \mathcal{A} $ 定义见 (1.12) 式, $ \mathcal{N} $ 定义见 (1.8) 式.

证 对 $ w\in \mathcal{A} $, 定义

由于 $ w\in \mathcal{A} $, 有

则当 $ t>0 $ 充分小时, $ p\in (2,2^*) $, $ h(t)>0 $; 当 $ t>0 $ 充分大时, $ h(t)<0 $. 故存在 $ t_0>0 $, 使得 $ h(t)=0 $, 即 $ tw\in \mathcal{N} $.

假设 $ t_1, t_2>0 $, 使得 $ t_1 w\in \mathcal{N} $, $ t_2 w\in \mathcal{N} $, 即

这表明

也即 $ t_1=t_2 $.

引理 2.2 如果 $ w\in E(\mathbb{R}^N) $, $ w^+,w^-\in \mathcal{A} $, 那么存在唯一正数对 $ (s,t) $, 使得 $ sw^+ + tw^- \in \mathcal{M} $.

证 对 $ w^+ \in \mathcal{A} $, 有 $ \int_{{\mathbb{R}^N}} Q(x)\left| w^+\right|^p{\rm d}x >0 $,

根据引理2.1, 易得 $ sw^+\in \mathcal{N} $, 类似地, $ sw^-\in \mathcal{N} $. 则存在 $ (s,t) \in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ $, 使得 $ sw^+ + tw^- \in \mathcal{N} $.

接下来证明 $ (s,t) $ 的唯一性.

情形 1 $ w\in \mathcal{M} $. 设 $ (s^*,t^*)\neq (1,1) $ 是另一对正数对使得 $ s^*u^+ +t^*u^-\in\mathcal{M} $, 则

不失一般性, 假设 $ s^*\geq t^* >0 $, 则

因为 $ w\in \mathcal{M} $, 故

所以有 $ (s^*,t^*)= (1,1) $.

情形 2 $ w\notin \mathcal{M} $ 但 $ w^+, w^- \in \mathcal{A} $, 则存在 $ (s,t)\in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ $ 使得 $ sw^+ + tw^- \in \mathcal{M} $. 假设 $ (\mathop s\limits^ -,\mathop t\limits^ -)\in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ $ 同样满足 $ \mathop s\limits^ -w^+ + \mathop t\limits^ -w^- \in \mathcal{M} $. 则有

根据本引理证明的开头部分, 有 $ \frac{{\mathop s\limits^ - }}{s}=\frac{{\mathop t\limits^ - }}{t}=1 $, 故 $ \mathop s\limits^ -=s, \mathop t\limits^ -=t $.

引理 2.3 假设 $ w^+,w^-\in \mathcal{A} $, 使得

则存在引理 2.2 中得到满足 $ 0< s,t \leq1 $ 的唯一正数对 $ (s,t) $.

证 假设 $ s\geq t >0 $, 由于 $ sw^+ + tw^- \in \mathcal{M} $, 则有

结合两个不等式,

可得 $ s\leq1 $. 完成证明.

通过上面引理, 可得 $ \mathcal{N} \neq \emptyset, \mathcal{M} \neq \emptyset $.

引理 2.4 $ m_0 $ 可由某个 $ w\in E $ 达到, 其中, $ m_0 $ 定义见 (1.11) 式.

证 首先, 对任意 $ w\in \mathcal{M} $, $ \mathcal{M} \neq \emptyset $, 有

以及

所以

从而 $ \left|\nabla w \right|_2\geq C_0 $, 其中, $ C_0 $ 是正常数, 故

$ m_0 = \mathop {\inf }\limits_\mathcal{M} I(w)>0 $.

当 $ n\rightarrow\infty $ 时, 取序列 $ \{w_n\}\subset \mathcal{M} $ 使得 $ I(w_n)\rightarrow m_0>0 $. 另一方面,

所以 $ \{ w_n\} $ 在 $ D^{1,2}(\mathbb{R}^N) $ 有界, 并且,

由式 (2.3), 可得 $ \int_{B_r(0)} \left| w_n \right|^p{\rm d}x $ 有界, 因此 $ \int_{B_r^c(0)} \left| w_n \right|^p{\rm d}x $ 有界, 即 $ \{w_n\} $ 在 $ L^p(\mathbb{R}^N) $ 中有界.

综上所述, $ \{w_n\} $ 在 $ E(\mathbb{R}^N) $ 中有界, 故

接着证明 $ w^+, w^- \in \mathcal{A} $. 简单起见, 仅考虑 $ w^+ $.

这表明 $ \int_{B_r(0)} \left| w^+ \right|^p{\rm d}x= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }\int_{B_r(0)} \left| w_n^+ \right|^p{\rm d}x\geq C_0 >0 $, 则由 (2.4) 式,

根据范数的弱下半连续性,

故

即 $ w^+ \in \mathcal{A} $, 同样地, $ w^- \in \mathcal{A} $.

由引理 2.3 和 (2.5) 式, 存在 $ (s,t)\in (0,1]\times (0,1] $, 使得 $ sw^+ +tw^-\in \mathcal{M} $. 则

这表明 $ s=t=1 $. 所以 $ I(w)=m_0 $.

通过 $ m_0 $ 的构造和上述证明可得, 达到函数 $ w $ 是方程 (2.2) 的最小能量变号解.

令

注 2.1 对泛函 $ I_\varepsilon \left( w \right) $, $ w $ 的范围在 $ \mathcal{N} $, $ \mathcal{M} $ 和 $ \mathcal{A} $ 中可以是 $ w\in H_\varepsilon \cap L^p (\mathbb{R}^N) $. 为简单起见, 后面将用 $ \mathcal{N}_\varepsilon $, $ \mathcal{M}_\varepsilon $ 和 $ \mathcal{A}_\varepsilon $ 来表示.

引理 2.5 $ m_\varepsilon $ 可由某个 $ w_\varepsilon \in H_\varepsilon \cap L^p $ 达到.

证 由引理 2.2 和引理 2.3, 易得 $ m_\varepsilon \neq \emptyset $, 则对任意 $ w_\varepsilon \in \mathcal{M}_\varepsilon $, 有

由

得

所以有 $ \left|\nabla w_\varepsilon \right|_2\geq C_1 $, 其中, $ C_1 $ 是正常数, 并且

因此 $ m_\varepsilon = \mathop {\inf }\limits_{\mathcal{M}_\varepsilon} I_\varepsilon(w)>0 $.

令序列 $ \{w_{\varepsilon,n}\}\subset \mathcal{M}_\varepsilon $ 满足当 $ n\rightarrow \infty $ 时, $ I_\varepsilon(w_{\varepsilon,n})\rightarrow m_\varepsilon>0 $. 另一方面,

所以 $ \{ w_{\varepsilon,n}\} $ 在 $ H_\varepsilon(\mathbb{R}^N) $ 中有界, 并且,

由 (2.8) 式得 $ \int_{B_r(0)} \left| w_{\varepsilon,n} \right|^p{\rm d}x $ 有界, 故 $ \int_{B_r^c(0)} \left| w_{\varepsilon,n} \right|^p{\rm d}x $ 有界, 即 $ \{w_{\varepsilon,n}\} $ 在 $ L^p(\mathbb{R}^N) $ 中有界.

综上所述, $ \{w_{\varepsilon,n}\} $ 在 $ H_\varepsilon (\mathbb{R}^N)\cap L^p(\mathbb{R}^N) $ 中有界, 所以在 $ E(\mathbb{R}^N) $ 中有界, 从而

下面证明 $ w_\varepsilon^+, w_\varepsilon^- \in \mathcal{A}_\varepsilon $. 简单起见, 这里仅考虑 $ w_\varepsilon^+ $.

这表明 $ \int_{{\mathbb{R}^N}} \left| w_{\varepsilon,n}^+ \right|^p{\rm d}x\geq C_1 >0 $, 所以由 (2.9) 式,

根据范数的弱下半连续性,

即 $ w_\varepsilon^+ \in \mathcal{A}_\varepsilon $, 同样地, $ w_\varepsilon^- \in \mathcal{A}_\varepsilon $.

由引理 2.3 和 (2.10) 式, 存在 $ (s,t)\in (0,1]\times (0,1] $ 使得 $ sw_\varepsilon^+ +tw_\varepsilon^-\in \mathcal{M}_\varepsilon $. 所以

这表明 $ s=t=1 $. 故 $ I_\varepsilon(w_\varepsilon)=m_\varepsilon $.

通过 $ m_\varepsilon $ 的构造和上述证明可得达到函数 $ w_\varepsilon $ 是方程 (2.1) 的最小能量变号解.

引理 2.6 $ \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} {m_\varepsilon } = {m_0} $.

证 显然, $ m_\varepsilon \geq m_0 $. 取 $ \chi (x)\in [0,1] $, 在 $ B_r(0) $ 上 $ \chi (x)=1 $,在 $ B_{2r}^c(0) $ 上 $ \chi (x)=0 $. 由 $ m_0 $ 的定义, 存在 $ w_0 $ 使得

对固定的 $ \varepsilon>0 $, 取 $ c_n $ 使得 $ c_n\chi_n w_0\in H_\varepsilon \cap L^p $, 其中, $ \chi_n (x)=\chi(\frac{x}{n}) $,

可见, 在 $ E(\mathbb{R}^N) $ 中, $ c_n\rightarrow1 $, $ \chi w_0\rightarrow w_0 $. 根据 $ m_\varepsilon $ 的定义, 对每个 $ n $,

令 $ n\rightarrow \infty $, 有

所以 $ \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} {m_\varepsilon } = {m_0} $.

定理 1.1 的证明

证 令 $ w_\varepsilon \in H_\varepsilon \cap L^p $ 满足

由引理 2.5, 有 $ (w_\varepsilon) $ 在 $ E $ 中有界, 那么存在子列, $ w_\varepsilon \rightharpoonup w $ 于 $ E $ 并且 $ w_\varepsilon \neq 0 $. 因为 $ w_\varepsilon $ 是方程 (3.7) 的一个变号解, 利用引理 2.6 和弱收敛性, $ w $ 是方程 (2.2) 的解. 根据范数的弱下半连续性和引理 2.5, 有

所以,

则 $ {u_n} = \varepsilon _n^{-\frac{2}{{p - 2}}}w_n(\frac{x}{\varepsilon_n}) $ 是方程 (1.3) 的解.

由 (3.1) 式, 对任意 $ \delta>0 $, 当 $ \varepsilon\rightarrow 0 $ 时,

回忆 $ m_\varepsilon = I_\varepsilon(w_\varepsilon) > 0 $, 则根据 (3.1), (3.2) 式和引理 2.6, 当 $ \varepsilon_n\rightarrow 0 $ 时, 有

接下来证明 $ u_n $ 只会变号一次. 综上, 仅需证明方程 (1.13) 的变号解 $ w $ 有两个节点域. 反证, 假设

对 $ i\neq j, \, i,j=1,2,3 $,

令 $ v=w_1+w_2 $, 可见 $ v^{+}=w_1 $, $ v^{-}=w_2 $, 即 $ v^{\pm}\not\equiv 0 $. 则 $ v^{\pm}\in \mathcal{A} $. 由引理 2.2, 存在唯一正数对 $ (s_v,t_v) $, 使得

或者, 等价地,

所以,

由引理 2.3,

另一方面,

则利用 (3.3) 式和 $ s_v w_1 + t_v w_2 \in \mathcal{M} $, 可得

根据 (3.4), (3.5) 和 (3.6) 式, 有

矛盾. 所以, $ w_3=0 $, 且 $ w $ 有两个节点域, 变号一次.

现在证明定理 1.2.

$ Q_n(x) $ 定义见 (1.15) 式. 令 $ {w_n} = \varepsilon _n^{\frac{2}{{p - 2}}}u_n({\varepsilon _n}x) $, 则 (1.3) 式变成

简单起见, 定义 $ Q_n(\varepsilon_n x)=Q_\varepsilon(x) $. 不失一般性, 假设 $ x_1=0 $. 考虑下述方程

其中,

定义

以及

定义变分泛函

由引理 2.4 和 2.5, $ m_2 $ 可由某个 $ w_2\in E $ 达到并且 $ \overline m_\varepsilon $ 可由某个 $ \overline w_\varepsilon \in H_\varepsilon \cap L^p $ 达到. 达到函数 $ w_2 $ 是方程 (3.8) 的最小能量变号解, 达到函数 $ \overline m_\varepsilon $ 是方程 (3.7) 的最小能量变号解.

引理 3.1 $ \mathop {\lim \sup }\limits_{\varepsilon \to 0} {\overline m_\varepsilon }\leq m_2 $.

证 令 $ w_2\in E $ 满足

和

对固定的 $ \varepsilon>0 $, 考虑

其中, 在 $ B_1(0) $ 上 $ 0\leq \chi(x) \leq 1 $, 在 $ B_2^c(0) $ 上 $ \chi (x)=0 $, $ \chi_n(x)=\chi(\frac{x}{n}) $, 选取 $ c_n $ 使得

显然 $ \chi_nw_2\rightarrow w_2 $ 于 $ E $ 并且当 $ n\rightarrow \infty $ 时 $ c_n\rightarrow 1 $. 则对每个 $ n<\frac{1}{2}\left( \frac{|x_2|}{\varepsilon}-r_1\right) $ 以及充分小的 $ \varepsilon $, 因为当 $ Q_\varepsilon (x+\frac{x_2}{\varepsilon})=s_1 $ 时, $ \chi_n(x)=0 $,

由平移不变性,

令 $ n\rightarrow \infty $, 可得 $ \mathop {\lim \sup }\limits_{\varepsilon \to 0} {\overline m_\varepsilon }\leq m_2 $.

引理 3.2 假设 $ \overline w_\varepsilon $ 满足 $ \overline m_\varepsilon = \mathop {\inf }\limits_{\mathcal{M}_\varepsilon} J_\varepsilon(w) $, 则在这种情形下, 对某个 $ C>0 $, 有 $ \int_{B_{r_1}(0)}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\rightarrow0 $, $ \int_{B_{r_2}(\frac{x_2}{\varepsilon})}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\geq C >0 $.

证 通过排除另外三种可能的情况来证明该引理.

情形 1 $ \int_{B_{r_1}(0)}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\rightarrow0, \int_{B_{r_2}(\frac{x_2}{\varepsilon})}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\rightarrow0 $.

由于

故该情形不成立.

情形 2 $ \int_{B_{r_1}(0)}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\geq C>0, \int_{B_{r_2}(\frac{x_2}{\varepsilon})}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\geq C>0 $.

定义

则

存在子列, $ \overline w_{1,\varepsilon}\rightharpoonup \overline w^1\neq 0 $, $ \overline w_{2,\varepsilon}\rightharpoonup \overline w^2\neq 0 $ 于 $ E\cap L^p $. 因为 $ \overline m_\varepsilon $ 可由某个 $ \overline w_\varepsilon \in H_\varepsilon \cap L^p $ 达到并且 $ \left|\overline w_{i,\varepsilon} \right| >0 $, 有 $ \left| \overline w^i\right| \geq 0 $, $ i=1,2 $. 如果 $ \int_{{\mathbb{R}^N}} \left|\nabla \overline w^1 \right|^2 = 0 $, 则 $ \overline w^1 $ 是常数, 这不可能. 所以, $ \int_{{\mathbb{R}^N}} \left|\nabla \overline w^1 \right|^2 > 0 $. $ \int_{{\mathbb{R}^N}} \left|\nabla \overline w^2 \right|^2 > 0 $ 类似可得.

对每个 $ R< \frac{1}{2}\left( \frac{|x_2|}{\varepsilon}-r_2\right) $, 因为对充分小的 $ \varepsilon >0 $, 有 $ B_R(\frac{x_2}{\varepsilon})\cap B_{r_1}(0)=\emptyset $. 故在 $ R_R(0) $ 上, $ Q_\varepsilon^-=K_1^- $ 且 $ Q_\varepsilon^-(x+\frac {x_2}{\varepsilon})=K_2^- $ 则

另一方面,

根据 (3.14) 和 (3.15) 式, 令 $ R\rightarrow \infty $ 有

即

由 (3.16) 式的两个积分表达式, 有以下三个子情形.

(1) 如果 $ \int_{{\mathbb{R}^N}}K_2\left| \overline w^2\right|^p\rightarrow0 $, 则 $ \int_{{\mathbb{R}^N}}\beta^{-1}K_3\left|\overline w^1\right|^p>0 $. 则根据引理 3.1,

令 $ R\rightarrow \infty $, 有

矛盾. 所以 $ \int_{{\mathbb{R}^N}}K_2\left| \overline w^2\right|^p>0 $;

(2) 如果 $ \int_{{\mathbb{R}^N}}\beta^{-1}K_3\left|\overline w^1\right|^p\rightarrow0 $, 则 $ \int_{{\mathbb{R}^N}}K_2\left| \overline w^2\right|^p>0 $, 和 (1) 类似, 容易得到矛盾. 所以 $ \int_{{\mathbb{R}^N}}\beta^{-1}K_3\left|\overline w^1\right|^p>0 $;

(3) 因为 $ \int_{{\mathbb{R}^N}}\beta^{-1}K_3\left|\overline w^1\right|^p>0 $ 以及 $ \int_{{\mathbb{R}^N}}K_2\left| \overline w^2\right|^p>0 $, 由引理 3.1, 有

因为 $ m_2\neq 0 $, 矛盾. 所以情形 2 不成立.

情形 3 $ \int_{B_{r_1}(0)}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\geq C>0, \int_{B_{r_2}(\frac{x_2}{\varepsilon})}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\rightarrow 0 $.

回忆 (3.13) 式, $ \overline w^1 $ 是 $ \overline w_{1,\varepsilon} $ 的弱极限. 断言本情形下有 $ \left|\overline w^1 \right|>0 $. 事实上假设 $ {\overline m_\varepsilon }\rightarrow m^1 \geq0 $. 如果 $ \left|\overline w^1 \right|=0 $, 因为 $ \overline w^1 $ 是方程

的解. 则 $ m^1=\frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^N}} \left|\nabla \overline w^1 \right|^2-\frac{1}{p}\int_{{\mathbb{R}^N}}K_3(x)\left| \overline w^1\right|^p=0 $, 但 $ \int_{{\mathbb{R}^N}} \left|\nabla \overline w^1 \right|^2 > 0 $, 矛盾. 所以本情形, $ \left|\overline w^1 \right|>0 $.

因为在 $ B_R(0) $ 上 $ Q_\varepsilon^- =\frac{s_1}{s_2}K_3^- $, 对每个 $ R< \frac{1}{2}\left( \frac{|x_2|}{\varepsilon}-r_2\right) $,

其中, 当 $ R\rightarrow \infty $ 时, $ o(1)\rightarrow 0 $. 令 $ \varepsilon\rightarrow0 $ 和 $ R\rightarrow \infty $, 注意到 $ \int_{{\mathbb{R}^N}}\beta^{-1}K_3\left|\overline w^1 \right|^p >0 $. 则由引理 3.1,

矛盾, 所以情形 3 排除.

综上所述, 对某个 $ C>0 $, 有 $ \int_{B_{r_1}(0)}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\rightarrow0 $ 和 $ \int_{B_{r_2}(\frac{x_2}{\varepsilon})}\left|\overline w_\varepsilon\right|^p\geq C >0 $.

引理 3.3 $ \mathop {\lim \sup }\limits_{\varepsilon \to 0} {\overline m_\varepsilon }= m_2 $.

证 因为

由引理 3.2, 有

即 $ \int_{\mathbb{R}^N} K_2 \left|\overline w_\varepsilon^2\right|^p>0 $. 和定理 1.1 的证明相似, 当 $ \varepsilon\rightarrow0 $ 时, 有

和

故得到 $ \mathop {\lim \sup }\limits_{\varepsilon \to 0} {\overline m_\varepsilon }= m_2 $.

依据引理 3.3, 易证定理 1.2.

定理 1.2 的证明

证 根据 (3.17) 式, 对任意 $ \delta>0 $, 有

同样根据 (3.17) 和 (3.18) 式, 有 $ {u_n} = \varepsilon _n^{-\frac{2}{{p - 2}}}w_n(\frac{x}{\varepsilon_n}) $ 是 (1.3) 式的解. 回忆 $ \overline m_\varepsilon = J_\varepsilon(\overline w_\varepsilon) $, 则根据 (3.19) 式, 引理 3.3 以及 $ s_1\leq s_2 $, 当 $ \varepsilon_n\rightarrow 0 $ 时, 有

和

和定理 1.1 的证明相同, 基态变号解 $ u_n $ 仅有两个节点域且仅变号一次.

在定理 1.2 的条件下, 得到一个基态变号解集中在 $ x_2 $. 和文献[20] 类似, 同样想得到一个束缚态变号解集中在 $ x_1 $. 但如果使用文献[20] 中的罚函数 $ G_\varepsilon (v) $, 则修正的最小能量会比 0 小. 为此构造了一个新的罚函数 $ f(u) $ 使得修正问题的变号解可由椭圆估计得到.

考虑下列修正问题

其中,

作变换 $ w = \varepsilon ^{\frac{2}{{p - 2}}}u({\varepsilon}x) $, 则 (4.1) 式变成

其中, $ Q_\varepsilon (x)=Q_n(\varepsilon_n x) $, $ f_\varepsilon (x)=\chi_{B^c_{ r_2}(\frac{x_2}{\varepsilon})}\left|w \right|^{p-2}w+\chi_{B_{r_2}(\frac{x_2}{\varepsilon})}\min\{\left|w \right|^{p-2}w, \varepsilon^2w\} $.

定义

其中, $ F_\varepsilon(x)=\frac{1}{p}\chi_{B^c_{ r_2}(\frac{x_2}{\varepsilon})}\left|w \right|^p+\chi_{B_{r_2}(\frac{x_2}{\varepsilon})}\min\{\frac{1}{p}\left|w \right|^p, \frac{1}{2}\varepsilon^2w^2\} $. 定义

和引理2.1, 2.2 和 2.3 的证明类似. 易证下面引理.

引理 4.1 对任意 $ w\in \mathcal{B} $, 存在唯一 $ t>0 $ 使得 $ tw\in \mathcal{N}_\varepsilon $, 其中, $ \mathcal{B} $ 定义见 (4.5) 式, $ \mathcal{N}_\varepsilon $ 定义见 (1.8) 式.

引理 4.2 如果 $ w \in H_\varepsilon \cap L^p(\mathbb{R}^N) $ 和 $ w^+,w^-\in \mathcal{B} $, 则存在唯一正数对 $ (s,t) $ 使得 $ sw^+ + tw^- \in \mathcal{M}_\varepsilon $.

引理 4.3 假设 $ w^+,w^-\in \mathcal{B} $, 使得

则存在引理 4.2 中的唯一正数对 $ (s,t) $ 满足 $ 0< s,t \leq1 $.

因为有引理 4.1, 4.2 和 4.3, 接下来自然要考虑 $ \widehat{m_\varepsilon} $ 是否可达.

引理 4.4 $ \widehat{m_\varepsilon} $ 可由某个 $ \widehat{w_\varepsilon} \in H_\varepsilon \cap L^p(\mathbb{R}^N) $ 达到, 其中 $ \widehat{m_\varepsilon} $ 定义见 (4.4) 式.

证 由引理 4.2 和 4.3, 可得 $ \widehat{m_\varepsilon} \neq \emptyset $, 则对任意 $ \widehat{w_\varepsilon} \in \mathcal{M}_\varepsilon $, 有

并且

所以有

因此可得 $ \left|\nabla \widehat{w_\varepsilon} \right|_2\geq C_2 $, 其中, $ C_2 $ 是一个正常数, 且 $ \Gamma_\varepsilon(\widehat{w_\varepsilon})>0 $. 所以, $ \widehat{m_\varepsilon} = \mathop {\inf }\limits_{\mathcal{M}_\varepsilon} \Gamma_\varepsilon(w) >0 $.

令序列 $ \{\widehat{w_{\varepsilon,n}}\}\subset \mathcal{M}_\varepsilon $ 满足当 $ n\rightarrow \infty $ 时, $ \Gamma_\varepsilon(\widehat{w_{\varepsilon,n}})\rightarrow \widehat{m_\varepsilon}>0 $, 另一方面, $ \Gamma_\varepsilon( \widehat{w_{\varepsilon,n}} )\leq \widehat{m_\varepsilon}+1 $. 所以 $ \{ \widehat{w_{\varepsilon,n}}\} $ 在 $ H_\varepsilon\bigcap L^p(\mathbb{R}^N) $ 有界, 故在 $ E(\mathbb{R}^N) $ 有界. 因此

下面证明 $ \widehat{w_\varepsilon}^+, \widehat{w_\varepsilon}^- \in \mathcal{B} $. 简单起见, 仅考虑 $ \widehat{w_\varepsilon}^+ $. 注意到

这表明 $ \int_{{\mathbb{R}^N}} \left| \widehat{w_{\varepsilon,n}}^+ \right|^p{\rm d}x\geq C >0 $, 则根据 (4.6) 式, 有

由范数的弱下半连续性,

故有

即 $ \widehat{w_{\varepsilon}}^+ \in \mathcal{B} $, 同样地, 可得 $ \widehat{w_{\varepsilon}}^- \in \mathcal{B} $.

由引理 4.3 和 (4.8) 式, 存在 $ (s,t)\in (0,1]\times (0,1] $ 使得 $ s\widehat{w_{\varepsilon}}^+ +t\widehat{w_{\varepsilon}}^-\in \mathcal{M}_\varepsilon $. 则

这表明 $ s=t=1 $. 所以 $ \Gamma_\varepsilon(w_\varepsilon)=\widehat{m_\varepsilon} $.

根据 $ \widehat{m_\varepsilon} $ 的构造和以上证明, 可得达到函数 $ \widehat{w_\varepsilon} $ 是方程 (4.2) 的最小能量变号解.

引理 4.5 在条件 $ p\in (\frac{2N-2}{N-2},2^*) $ 下, 存在 $ C>0 $, 使得在充分小的 $ \varepsilon $ 下, 对于 $ \frac{2}{p-2}\leq t \leq N-2 $ 和 $ x\in B_{r_2}({\frac{x_2}{\varepsilon}}) $, 有 $ \left|\widehat{w_\varepsilon} \right|\leq C\varepsilon^t $ 一致成立.

证 因为对 $ x\in B_{r_2}({\frac{x_2}{\varepsilon}}) $,

则$-\Delta \widehat{w_\varepsilon} \leq (Q_\varepsilon-1)\varepsilon^2 \widehat{w_\varepsilon}= (s_2-1)\varepsilon^2 \widehat{w_\varepsilon}.$

在定理 1.3 的条件下, 可得 $ s_2=1 $, 所以在 $ B_{r_2}({\frac{x_2}{\varepsilon}}) $ 中, $-\Delta \widehat{w_\varepsilon} \leq 0 $. 同时对所有正常数 $ M>0 $ 和 $ 0<t\leq N-2 $, 当 $ \left|x \right|\ge r_1 $ 时, $ w(x)=\frac{M}{\left| x\right|^t} $ 满足 $ \Delta w \leq 0 $. 根据比较原理对 $ x\in B_{r_2}({\frac{x_2}{\varepsilon}}) $, $ \left| \widehat{w_\varepsilon}\right| \leq w $. 所以

根据 $ p $ 和 $ t $ 的范围, 有 $ t(p-2)\ge 2 $, 再由引理 4.5, 便可去掉罚函数. 现证明定理 1.3.

定理 1.3 的证明

证 通过上述分析, $ \widehat{w_\varepsilon} $ 是原问题

的解. 存在子列, $ \widehat{w_\varepsilon}\rightharpoonup \widehat{w_0} $. 显然, $ \widehat{w_0} $ 在弱意义下满足 $-\Delta w = K_1(x)w^{p-1} $. 由引理 4.5 和 Fatou 引理可得,

所以 $ \int_{{\mathbb{R}^N}} \left|\nabla \widehat{w_\varepsilon} \right|^2 \rightarrow \int_{{\mathbb{R}^N}} \left|\nabla \widehat{w_0} \right|^2 $ 并且 $ \int_{{\mathbb{R}^N}} \widehat{w_\varepsilon}^p \rightarrow \int_{{\mathbb{R}^N}} \widehat{w_0}^p $, 即 $ \widehat{w_\varepsilon}\rightarrow \widehat{w_0} $ 于 $ E$. 则由 (4.9) 式, $u_n(x)=\varepsilon_n^{-\frac{2}{p-2}}\widehat{w_{\varepsilon_n}}(\frac{x}{\varepsilon_n})$ 是 (1.3) 式的解. 和定理 1.1 的讨论类似, 完成证明.