数学物理学报, 2026, 46(5): 1751-1768

有界域上四阶 Cahn-Hilliard 方程在二重特征值处的定态分歧

廖睿琳,, 管芳,, 潘志刚,*

西南交通大学数学学院 成都 611756

Steady-State Bifurcation From Double Eigenvalue for the Fourth-Order Cahn-Hilliard Equation on a Bounded Domain

Liao Ruilin,, Guan Fang,, Pan Zhigang,*

School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756

通讯作者: * 潘志刚, E-mail:panzhigang@home.swjtu.edu.cn

收稿日期: 2025-04-27   修回日期: 2025-10-21  

基金资助: 国家自然科学基金(11901408)
国家自然科学基金(7251223)
四川省自然科学青年基金(22NSFSC16338)
中央高校理科创新培育项目(2682026CX185)

Received: 2025-04-27   Revised: 2025-10-21  

Fund supported: NSFC(11901408)
NSFC(7251223)
Sichuan Provincial Natural Science Youth Fund(22NSFSC16338)
Central University Basic Research Innovation Project(2682026CX185)

作者简介 About authors

廖睿琳,E-mail:liaorl02@126.com;

管芳,E-mail:15528026689@163.com

摘要

该文运用规范化的 Lyapunov-Schmidt 约化方法和线性全连续场谱分解定理, 研究 Cahn-Hilliard 方程的定态分歧. 在正方形有界域上, 作者证明了四阶 Cahn-Hilliard 方程在齐次 Dirichlet 边界条件下和齐次 Robin 边界条件下在第一特征值 (二重) 处发生定态分歧, 此时 Cahn-Hilliard 方程有非平凡解, 并得到了两类边界条件下产生超临界分歧和次临界分歧的完整判据、分歧解的具体表达式、正则性以及分歧解图.

关键词： Cahn-Hilliard 方程; Dirichlet 边界; Robin 边界; 线性全连续场; Lyapunov-Schmidt 约化

Abstract

Employing the normalized Lyapunov-Schmidt reduction method and the spectral decomposition theorem for linear completely continuous fields to investigate the steady-state bifurcation of the Cahn-Hilliard equation. On a square bounded domain, we prove that the fourth-order Cahn-Hilliard equation undergoes steady-state bifurcation at the first eigenvalue (double) under homogeneous Dirichlet boundary conditions and homogeneous Robin boundary conditions. In such cases, the Cahn-Hilliard equation admits nontrivial solutions. Furthermore, the complete criteria for supercritical and subcritical bifurcations under both boundary conditions, explicit expressions for the bifurcation solutions, regularity of bifurcation solutions and the bifurcation solutions' diagrams were obtained.

Keywords： Cahn-Hilliard equation; Dirichlet boundary; Robin boundary; linear completely continuous fields; Lyapunov-Schmidt reduction

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本文引用格式

廖睿琳, 管芳, 潘志刚. 有界域上四阶 Cahn-Hilliard 方程在二重特征值处的定态分歧[J]. 数学物理学报, 2026, 46(5): 1751-1768

Liao Ruilin, Guan Fang, Pan Zhigang. Steady-State Bifurcation From Double Eigenvalue for the Fourth-Order Cahn-Hilliard Equation on a Bounded Domain[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(5): 1751-1768

1 引言

Cahn-Hilliard 方程作为描述相分离动力学的核心数学模型, 自被提出以来在材料科学领域产生了深远影响, 该方程是由Cahn-Hilliard[1] 首次于 1958 年提出, 最先用于描述二元合金相分离过程中两相系统的重要定性特征. Cahn-Hilliard 方程通过引入化学势和扩散通量的关系, 考虑了浓度的二阶导数, 能够描述相分离过程中成分的连续变化和相界面的演化. 后来Novick-Segel[2] 基于热力学原理推导出了偏微分方程形式的 Cahn-Hilliard 方程, Novick[3] 提出了用于分析粘性一阶相变动力学的粘性 Cahn-Hilliard 方程. Cahn-Hilliard 方程不仅用于二元合金相分离过程的研究, 还被拓展至多个学科领域, 展现出卓越的普适性, 如在微生物学中, 被用于细菌薄膜现象[4]; 在生物医学领域, 它被用于肿瘤生长动力学[5,6]; 在地质学和生态学中, 分别用于描述河床迁移[7]和生物种群的竞争与排斥现象[8].

近年来, 由于 Cahn-Hilliard 方程在材料科学和化学等领域的重要理论价值与实际意义, 人们对 Cahn-Hilliard 方程的研究在理论方面取得了重要进展, 包括弱解和经典解的存在性, 解的正则性, 空间周期解等成果, 见文献[9-14], 但在分歧方面的研究仍相对不足. 本文将用 Cahn-Hilliard 方程的分歧现象研究二元合金的相分离. 分歧现象广泛存在于非线性动力学系统中, 如生物种群演化、流体力学稳定性分析、阻尼振动系统及化学相变等领域. 该现象描述了当系统的控制参数跨越某一临界阈值时, 定态解会失稳, 导致原有的稳定的定态运动状态发生突变, 跃迁至新的稳定态或周期性运动状态. 在 Cahn-Hilliard 方程所描述的二元合金体系中, 分歧点意味着体系从一种均匀或简单的相结构, 转变为更复杂的多相结构, 这对于理解合金体系的性质至关重要. 从数学角度出发, 这一现象对应于非线性方程中控制参数变化诱导的解集拓扑结构改变, 是研究非线性系统定性行为的核心问题之一. Cahn-Hilliard 方程在不同边界下所对应的二元合金系统的情况也不一样, 张[15]讨论了 Cahn-Hilliard 方程在 Neumann 边界下的定态分歧, 在 Neumann 边界条件下, 边界封闭, 适用于封闭系统的相分离问题. 然而注意到对于边界与外部环境保持恒定浓度和系统与外部环境存在物质交换两种情况下的相分离问题还缺乏系统性研究. 当相分离发生于前一种情形时, 系统通过扩散和相分离在内部达到平衡, 但固定的边界浓度会影响相分离过程和相界面的演化以及内部的浓度分布, 系统总质量保持不变. 当相分离发生于后一种情形时, 物质在一定条件下通过边界进行扩散, 边界上的浓度状态由内部浓度和外部环境共同作用达到平衡, 系统总质量随时间而变化.

在文献[15] 的基础上, 本文将借助由 Ma 和 Wang[16,17] 发展的规范化 Lyapunov-Schmidt 约化方法及跃迁理论讨论在上述两种开放性系统下的相分离问题, 即 Cahn-Hilliard 方程在 Dirichlet 边界条件下和 Robin 边界条件下的定态分歧, 并得到对应的分歧解图. 上述理论可以讨论更广泛的一般非线性方程的分歧, 为本文讨论 Cahn-Hilliard 方程的分歧提供了理论基础. 上述理论与传统理论有所不同, 对于分歧, 古典的方法是对算子的临界特征子空间及其补空间的直和分解, 而这里采用广义特征向量空间与其补空间的直和分解, 利用这种分解可以对定态分歧理论作统一处理. 特别地, 该方法在新建立的偶数阶非退化奇点处对分歧理论起到关键作用, 且该理论不考虑临界特征值的代数重数, 这是与传统理论的一个很大区别.

张[18]和郝[19]运用该方法研究了 FKPP 方程在 Dirichlet 边界、Neumann 边界和 Robin 边界条件下的定态分歧, 潘[20]使用热非平衡模型研究了饱和多孔介质中耦合应力流体的跃迁与分歧, Chen[21] 和 Zheng[21] 研究了具有趋化性的种群模型的定态分歧, 发现该系统会产生超临界分歧和次临界分歧, 扩散种群模型和 Chemostat 模型的分歧问题等结果见文献 [22-34]. 本文在文献[15] 的基础上利用规范化的 Lyapunov-Schmidt 约化方法进一步去研究 Cahn-Hilliard 方程在 Dirichlet 边界和 Robin 边界条件下的定态分歧, 从开放型系统出发, 探讨边界与外部环境保持恒定浓度和系统与外部环境存在物质交换两种情况下的相分离情形, 得到两类边界条件下方程分歧解的具体表达式以及完整判据, 通过分歧解图, 用更直观地视角加深对相分离过程中微观结构形成机理的理论理解. 考虑下面 Cahn-Hilliard 方程的定态分歧

$\begin{equation}\label{eq:a1} \left\{ \begin{array}{l} -\Delta^{2}u - \lambda\Delta u+\alpha_{1}\Delta u^{2}+\alpha_{2}\Delta u^{3}=0\text{, }\\ u(x, 0)=\varphi(x), \end{array} \right. \end{equation}$

其中 $u$ 为物质成分的浓度, $\lambda$ 为控制参数, $\alpha_{1}~\alpha_{2} > 0$ 为常数, $x\in\Omega = [L]\times[L], t\in(0, \infty)$.

分别讨论带有如下两类边界条件的问题 (1.1)

(i) 带有 Dirichlet 边界条件

$\begin{equation}\label{eq:a2} \begin{cases} -\Delta^{2}u - \lambda\Delta u+\alpha_1\Delta u^{2}+\alpha_2\Delta u^{3}=0, \\ u\big|_{\partial\Omega}=\Delta u\big|_{\partial\Omega}=0, \\ u(x, 0)=\varphi(x), \end{cases} \end{equation}$

(ii) 带有自然约束的 Robin 边界条件

$\begin{equation}\label{eq:a3} \begin{cases} -\Delta^{2}u - \lambda\Delta u+\alpha_1\Delta u^{2}+\alpha_2\Delta u^{3}=0, \\ \frac{\partial u}{\partial n}+u\big|_{\partial\Omega}=0, \\ u(x, 0)=\varphi(x), \\ \int_{\Omega}u(x)dx = 0, \end{cases} \end{equation}$

对于 Dirichlet 边界, 取空间

$ H=\left\{u\in L^2(\Omega)\right\}, H_1=\{u\in H^4(\Omega)\cap H\mid u\big|_{\partial\Omega}=\Delta u\big|_{\partial\Omega}=0\}. $

对于 Robin 边界, 取空间

$ H=\left\{u\in L^2(\Omega)\left|\int_{\Omega}u(x){\rm d}x = 0\right.\right\}, H_1=\{u\in H^4(\Omega)\cap H\mid \frac{\partial u}{\partial n}+u\big|_{\partial\Omega}=0\}. $

然后定义算子 $-A:H_1\rightarrow H, B_{\lambda}:H_1\rightarrow H$ 和 $G:H_1\rightarrow H$ 如下

$\begin{align*} & Au=\Delta^2u, B_{\lambda}u = -\lambda\Delta u, \\ & G(u)=\alpha_1\Delta u^2+\alpha_2\Delta u^3. \end{align*}$

令算子 $L_{\lambda}=-A + B_{\lambda}$, 这样问题 (1.2) 或问题 (1.3) 均可化为如下抽象形式

$\begin{equation}\label{eq:a4} L_{\lambda}u+G(u, \lambda)=0. \end{equation}$

2 预备知识

定义 2.1[16] 称方程(1.4) 从 $(u, \lambda)=(0, \lambda_0)$ 处分歧出一个解 $(u_{\lambda}, \lambda)\in X\times R^{1}$, 如果存在(1.4) 式的一个解序列 $(u_n, \lambda_n), u_n\neq 0$, 使得

$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n = \lambda_0, \quad \lim_{n\rightarrow\infty}\|u_n\| = 0. $

此时, $(0, \lambda_0)$ 称为方程(1.4) 的一个分歧点.

定义 2.2[16] 令 $u_{\lambda} \in H_{1}$ 是方程(1.4) 在 $\lambda =$$\lambda_{0}$ 的分歧解, 称该分歧解是正则的, 或者说是非退化的, 如果 $L_{\lambda}+G(\cdot, \lambda)$ 在 $u_{\lambda}$ 的导算子

$ L_{\lambda}+D_{u}G(u_{\lambda}, \lambda):H_{1}\to H. $

对所有 $0 < |\lambda - \lambda_{0}| < \varepsilon$ 充分小是线性同构.

引理 2.1[16] 令 $L:H_{1}\to H$ 是一个线性全连续场, 那么有如下结论

(1) 如果 $\{\lambda_{k}|k\geqslant1\}\subset C$ 是 $L$ 的特征值 (计入重数), 则可取 $L$ 特征向量 $\{\varphi_{k}\}\subset H_{1}$ 和 $L^{*}$ 的特征向量 $\{\varphi_{k}^{*}\}\subset H_{1}^{*}$, 使得

$\begin{equation}\label{eq:a5} \langle\varphi_{i}, \varphi_{j}^{*}\rangle_{H}= \begin{cases} 0, & \text{当 }i\neq j\text{ 时}, \\ \neq0, & \text{当 }i = j\text{ 时}; \end{cases} \end{equation}$

(2) 如果 $ \rho=\lambda_{k}=\cdots=\lambda_{k + n}(n\geqslant1) $ 是 $ L $ 的一个代数重数 $ m = n + 1 $ 和几何重数 $ r = 1 $ 的特征值, 那么对任一数 $ \sigma\neq0 $ 可取 $ L $ 的特征向量 $ \{\varphi_{k}, \cdots, \varphi_{k + n}\} $ 和 $ L^{*} $ 的特征向量 $ \{\varphi_{k}^{*}, \cdots, \varphi_{k + n}^{*}\} $ 满足 (2.1) 式, 并且有

$\begin{equation} \begin{cases} L\varphi_{k}=\rho\varphi_{k}, \\ L\varphi_{k + 1}=\rho\varphi_{k + 1}+\sigma\varphi_{k}, \\ \cdots\\ L\varphi_{k + n}=\rho\varphi_{k + n}+\sigma\varphi_{k + n - 1}, \end{cases} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{cases} L^{*}\varphi_{k + n}^{*}=\rho\varphi_{k + n}^{*}, \\ L^{*}\varphi_{k + n - 1}^{*}=\rho\varphi_{k + n - 1}^{*}+\sigma\varphi_{k + n}^{*}, \\ \cdots\\ L^{*}\varphi_{k}^{*}=\rho\varphi_{k}^{*}+\sigma\varphi_{k + 1}^{*}; \end{cases} \end{equation}$

(3) $ H $ 能够分解为下面的空间直和

$\begin{align*} & H=E_{1}\oplus E_{2}, E_{1}=\text{span}\{\varphi_{k}|k\geqslant1\}, \\ & E_{2}=\{v\in H_{1}|\langle v, \varphi_{k}^{*}\rangle_{H}=0, \forall k\geqslant1\}; \end{align*}$

(4) $ E_{1} $ 和 $ E_{2} $ 是 $ L $ 的不变子空间.

$ L:E_{i}\to\overline{E_{i}}, \quad i = 1, 2, $

并且 $ \mathcal{L}=L|_{E_{2}} $ 有逆 $ \mathcal{L}^{-1}:\overline{E_{2}}\to E_{2}\subset\overline{E_{2}} $, 使得

$ \lim_{n\to\infty}\|\mathcal{L}^{-n}u\|_{\overline{H}} = 0, \quad\forall u\in\overline{E_{2}}; $

(5) 对任何 $ u\in H $, 有如下广义 Fourier 展开

$ u=\sum_{k}^{\infty}x_{k}\varphi_{k}+v, \quad v\in\overline{E_{2}}, \quad x_{k}=\langle u, \varphi_{k}^{*}\rangle_{H}. $

特别地, 如果 $ L:H_{1}\to H $ 有完备谱, 则有下面完全的 Fourier 展开

$ u = \sum_{k = 1}^{\infty}x_{k}\varphi_{k}, \quad x_{k}=\langle u, \varphi_{k}^{*}\rangle_{H}. $

引理 2.2[16] 令 $x_{\lambda}$ 是方程(1.4) 的分歧方程

$\begin{equation}\label{eq:a6} L_{\lambda}^{1}x + P_{1}G(x + \phi(x, \lambda), \lambda) = 0, \end{equation} $

在 $\lambda = \lambda_0$ 处一个分歧解. 那么方程(1.4) 的分歧解 $u_{\lambda} = x + \phi(x, \lambda)$ 是正则的充要条件是 $x_{\lambda}$ 关于方程 (2.4) 是正则的.

3 主要结果

对于 Dirichlet 边界, 问题 (1.2) 有如下结论

定理 3.1 (1) 当 $ \frac{4}{15} \leq L \leq \frac{4}{3} $ 时, 问题 (1.2) 从 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处分歧出一个正则分歧解, 且分歧解表达式为

$ \overline{u_1}= \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{16\alpha_1(L + 2L^{2})}\sin\frac{\pi x}{L}+ \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{16\alpha_1(L + 2L^{2})}\sin\frac{\pi y}{L}+ o\left(\left|\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right); $

(2) 当 $ 0 < L < \frac{4}{15} \text{ 或 } L > \frac{4}{3} $ 时, 问题 (1.2) 从 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处分歧出三个正则分歧解, 且分歧解表达式为

$ \overline{u_1}= \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{16\alpha_1(L + 2L^{2})}\sin\frac{\pi x}{L}+ \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{16\alpha_1(L + 2L^{2})}\sin\frac{\pi y}{L}+ o\left(\left|\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), $
$ \begin{aligned} \overline{u_2}&=\frac{3\pi(L^{2}\lambda-\pi^{2})(4 - 9L+\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}{4\alpha_1(4L - 3L^{2})(4 - 3L+\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}\sin\frac{\pi x}{L}\\ &~~~+\frac{9\pi(L^{2}\lambda-\pi^{2})}{2\alpha_1(4 - 3L)(4 - 3L+\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}\sin\frac{\pi y}{L}+ o\left(\left|\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), \end{aligned} $
$ \begin{aligned} \hspace{-.7cm} \overline{u_3}&=\frac{3\pi(L^{2}\lambda-\pi^{2})(4 - 9L-\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}{4\alpha_1(4L - 3L^{2})(4 - 3L-\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}\sin\frac{\pi x}{L}\\ &~~~+\frac{9\pi(L^{2}\lambda-\pi^{2})}{2\alpha_1(4 - 3L)(4 - 3L-\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}\sin\frac{\pi y}{L}+ o\left(\left|\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right). \end{aligned} $

则接下来对其结果进行证明

证 按以下步骤进行推导

步骤 1 求出 $ L_{\lambda}=-A +B_{\lambda} $ 的特征值和特征函数.

令 $\rho_i$ 和 $e_i (i = 1, 2, \cdots)$ 是下面问题的第 $i$ 个特征值和特征向量

$\begin{equation}\label{eq:a7} \begin{cases} -\Delta e_i=\rho_i e_i, \\ \left.e_i\right|_{\partial\Omega}=0, \\ \int_{\Omega}e^{2}_{i}{\rm d}x = 1, \end{cases} \end{equation}$

由于 $\Omega=[L]\times[L]$ 为一正方形有界区域, 可得出方程 (3.1) 的特征值 $\{\rho_i\mid i = 1, 2, \cdots\}$ (计入重数) 有如下关系

$ \begin{aligned} 0<\rho_1&=\rho_2<\rho_3<\rho_4=\rho_5<\rho_6=\rho_7<\rho_8\leqslant\cdots, \end{aligned} $

其中 $\rho_i\in\left\{\left(k_1^2 + k_2^2\right)\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\mid k_1 = 0, 1, 2\cdots, k_2 =0, 1, 2, \cdots\right\}$, 即

$ \rho_1=\rho_2=\left(\frac{\pi}{L}\right)^2, \rho_3 = 2\left(\frac{\pi}{L}\right)^2, \rho_4=\rho_5=\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2, $
$ \rho_6=\rho_7=5\left(\frac{\pi}{L}\right)^2, \rho_8= 8\left(\frac{\pi}{L}\right)^2, \rho_9=\rho_{10}=\left(\frac{3\pi}{L}\right)^2, \cdots, $

对应的特征向量 $\{e_i\mid i = 1, 2, 3,\cdots\}$ 为 $e_i\in\left\{\frac{2}{L}\sin\frac{n_1\pi x}{L}, \frac{2}{L}\sin\frac{n_2\pi y}{L}, \frac{2}{L}\sin\frac{n_3\pi x}{L}\sin\frac{n_4\pi y}{L}\right\}$, 其中 $n_1$、$n_2$、$n_3$、$n_4=1, 2, \cdots$, 即

$ e_1=\frac{2}{L}\sin\frac{\pi x}{L}, e_2 = \frac{2}{L}\sin\frac{\pi y}{L}, e_3=\frac{2}{L}\sin\frac{\pi x}{L}\sin\frac{\pi y}{L}, $
$ e_4=\frac{2}{L}\sin\frac{2\pi x}{L}, \cdots, e_9=\frac{2}{L}\sin\frac{3\pi x}{L}, e_{10}=\frac{2}{L}\sin\frac{3\pi y}{L}, \cdots. $

易知 $\rho_i, e_i$ 还满足

$ \begin{cases} \Delta^{2}e_i=\rho_i^2e_i, \\ \left.\Delta e_i\right|_{\partial\Omega}=0, \\ \end{cases} $

即可得到方程(1.4) 中算子 $L_{\lambda}$ 的特征值 $\{\beta_i(\lambda)=\rho_i(\lambda - \rho_i)\mid i = 1, 2, \cdots\}$, 对应的特征向量为 $\{e_i\mid i = 1, 2, \cdots\}$ 构成 $H_1$ 的一组正交基.

易见 $L_{\lambda}$ 的第一特征值为 $\beta_1 = \beta_2=\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\left[\lambda - \left(\frac{\pi}{L}\right)^2\right]$, 对应的特征向量为 $e_1 = \frac{2}{L}\sin\frac{\pi x}{L}$, $e_2=\frac{2}{L}\sin\frac{\pi y}{L}$. 当 $\beta_1(\lambda_0)=0$, 得 $\lambda_0 = \left(\frac{\pi}{L}\right)^2$, 可知 $\beta_j(\lambda_0)\neq0$, $j\geq3$.

步骤 2 应用谱定理 (引理 2.1), 将空间 $ H $ 和算子 $ L_{\lambda} $ 进行分解.

由文献[16] 中的谱定理, 在 $\lambda = \lambda_0$的邻域内, $H$ 能被分解为

$ H_1 = E_1^{\lambda}\oplus E_2^{\lambda}, H = E_1^{\lambda}\oplus \overline{E}_2^{\lambda}, $

其中 $E_1^{\lambda}=\mathrm{span}\{e_1, e_2\}$, $E_2^{\lambda}=\mathrm{span}\{e_3, e_4, e_5, \cdots\}$. 线性算子 $L_{\lambda}$ 在 $\lambda=\lambda_0$ 附近可分解为

$ L_{\lambda}=L_{\lambda}^1\oplus L_{\lambda}^2, $

其中

$ L_{\lambda}^1:E_1^{\lambda}\to E_1^{\lambda}, L_{\lambda}^2:E_2^{\lambda}\to \overline{E}_2^{\lambda}. $

令 $u\in H_1$, 则有 $u = u_1 + u_2$, 其中 $u_1\in E_1^{\lambda}$, $u_2\in E_2^{\lambda}$. 然后再设 $u_1=x_1e_1 + x_2e_2$, $u_2=\sum_{j = 3}^{\infty}y_je_j$, $ x_1, x_2, y_j \in \mathbb{R} $.

步骤 3 由规范化的 Lyapunov-Schmidt 约化方法求出问题 (1.2) 的分歧解.

由 Lyapunov-Schmidt 约化方法, 方程(1.4) 可化为下面两组方程

$\begin{equation}\label{eq:a8} \begin{cases} \beta_1(\lambda)x_1+\alpha_1\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^2, e_1\right\rangle+\alpha_2\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^3, e_1\right\rangle = 0, \\ \beta_2(\lambda)x_2+\alpha_1\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^2, e_2\right\rangle+\alpha_2\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^3, e_2\right\rangle = 0, \end{cases} \end{equation}$
$\begin{equation}\label{eq:a9} \beta_j(\lambda)y_j+\alpha_1\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^2, e_j\right\rangle+\alpha_2\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^3, e_j\right\rangle = 0, j\geq3. \end{equation} $

由方程 (3.3) 的近似方程

$\begin{equation} \beta_j(\lambda)y_j+\alpha_1\left\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2)^2, e_j\right\rangle+o(x_1^2 + x_2^2)= 0, j\geq3 \end{equation}$

可解出

$ y_j = -\beta_j^{-1}\alpha_1\left\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2)^2, e_j\right\rangle+o(x_1^2 + x_2^2). $

又由于

$\begin{align*} &\langle\Delta e_1^2, e_3\rangle=\langle e_1^2, \Delta e_3\rangle = -\rho_3\langle e_1^2, e_3\rangle=-\rho_3\frac{64}{3\pi^2L}, \\ &\langle\Delta e_2^2, e_3\rangle= -\rho_3\langle e_2^2, e_3\rangle=-\rho_3\frac{64}{3\pi^2L}, \\ &\langle\Delta e_1e_2, e_3\rangle= -\rho_3\langle e_1e_2, e_3\rangle=-\rho_3\frac{2}{L}, \\ &\langle\Delta e_1^2, e_9\rangle= -\rho_9\langle e_1^2, e_9\rangle=\rho_9\frac{32}{15\pi L^2}, \\ &\langle\Delta e_2^2, e_9\rangle= -\rho_9\langle e_2^2, e_9\rangle=-\rho_9\frac{8}{3\pi L}, \\ &\langle\Delta e_1^2, e_{10}\rangle= -\rho_{10}\langle e_1^2, e_{10}\rangle=-\rho_{10}\frac{8}{3\pi L}, \\ &\langle\Delta e_2^2, e_{10}\rangle= -\rho_{10}\langle e_2^2, e_{10}\rangle=\rho_{10}\frac{32}{15\pi L^2}, \end{align*}$

从而

$\begin{align*} &y_3=\frac{64}{3\pi^2L}\alpha_1(\lambda - \rho_3)^{-1}\left(x_1^2 + x_2^2+\frac{3\pi^2}{16}x_1x_2\right)+o(x_1^2 + x_2^2), \\ &y_9=\frac{32}{15\pi L^2}\alpha_1(\lambda - \rho_9)^{-1}\left(-x_1^2+\frac{5L}{4}x_2^2\right)+o(x_1^2 + x_2^2), \\ &y_{10}=\frac{32}{15\pi L^2}\alpha_1(\lambda - \rho_{10})^{-1}\left(-x_2^2+\frac{5L}{4}x_1^2\right)+o(x_1^2 + x_2^2), \\ &y_j = o(x_1^2 + x_2^2), j = 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, \cdots. \end{align*}$

将 $ y_j $ 代入 (3.2) 式, 得

$\begin{equation}\label{eq:a10} \begin{cases} \beta_1(\lambda)x_1 + \alpha_1\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2 + y_3e_3 + y_9e_9 + y_{10}e_{10})^2, e_1\rangle+ o(x_1^2 + x_2^2)=0, \\ \beta_2(\lambda)x_2 + \alpha_1\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2 + y_3e_3 + y_9e_9 + y_{10}e_{10})^2, e_2\rangle+ o(x_1^2 + x_2^2)=0, \end{cases} \end{equation}$

由计算可知

$\begin{align*} &\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2 + y_3e_3 + y_9e_9 + y_{10}e_{10})^2, e_1\rangle\\ =&-\rho_1\langle(x_1e_1 + x_2e_2 + y_3e_3 + y_9e_9 + y_{10}e_{10})^2, e_1\rangle\\ =&-\rho_1\left[x_1^2\langle e_1^2, e_1\rangle + x_2^2\langle e_2^2, e_1\rangle+2x_1x_2\langle e_1e_2, e_1\rangle\right]+ o(x_1^2 + x_2^2)\\ =&-\rho_1\left[\frac{32}{3\pi L^2}x_1^2+\frac{8}{\pi L}x_2^2+\frac{16}{\pi L}x_1x_2\right]+ o(x_1^2 + x_2^2)\\ =&-Ax_1^2-Bx_2^2-Cx_1x_2+ o(x_1^2 + x_2^2), \\ &\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2 + y_3e_3 + y_9e_9 + y_{10}e_{10})^2, e_2\rangle\\ =&-\rho_2\left[\frac{8}{\pi L}x_1^2+\frac{32}{3\pi L^2}x_2^2+\frac{16}{\pi L}x_1x_2\right]+ o(x_1^2 + x_2^2)\\ =&-Bx_1^2-Ax_2^2-Cx_1x_2+ o(x_1^2 + x_2^2), \end{align*}$

这里 $ A=\rho_1\frac{32}{3\pi L^2}, B=\rho_1\frac{8}{\pi L}, C=\rho_1\frac{16}{\pi L} $, 则 (3.5) 式可化为

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \beta_1(\lambda)x_1-\alpha_1(Ax_1^{2}+Bx_2^{2}+Cx_1x_2)+o(x_1^{2}+x_2^{2}) = 0, \\ \beta_2(\lambda)x_2-\alpha_1(Bx_1^{2}+Ax_2^{2}+Cx_1x_2)+o(x_1^{2}+x_2^{2}) = 0, \end{array} \right. \end{equation}$

取其近似方程得

$\begin{equation}\label{eq:a11} \left\{ \begin{array}{l} \beta_1(\lambda)x_1-\alpha_1(Ax_1^{2}+Bx_2^{2}+Cx_1x_2) = 0, \\ \beta_2(\lambda)x_2-\alpha_1(Bx_1^{2}+Ax_2^{2}+Cx_1x_2) = 0, \end{array} \right. \end{equation}$

令 $ (x_1, x_2)\neq(0, 0) $, 解得三个分歧点

$\begin{equation}\label{eq:a12} \left( \frac{\beta_1}{\alpha_1(A + B + C)}, \frac{\beta_1}{\alpha_1(A + B + C)} \right), \left( \frac{\beta_1 k}{\alpha_1(A - B)(k + 1)}, \frac{\beta_1}{\alpha_1(A - B)(k + 1)} \right), \end{equation}$

其中 $ k = \frac{-(C - A + B)\pm\sqrt{(C - A + B)^2 - 4B^2}}{2B}. $

在 $\vert\lambda - \lambda_0\vert>0$ 的充分小邻域内讨论如下

(1) 当 $ (C - A + B)^2 - 4B^2\leq0 $ 时, 即 $ 45L^{2}-72L + 16\leq0 时 $, 方程在 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处产生分歧, 分歧出一个分歧解分支

$ (\frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{32\alpha_1(1 + 2L)}, \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{32\alpha_1(1 + 2L)}); $

其对应的问题 (1.2) 的分歧解表达式为

$ \overline{u_1}= \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{16\alpha_1(L + 2L^{2})}\sin\frac{\pi x}{L}+ \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{16\alpha_1(L + 2L^{2})}\sin\frac{\pi y}{L}+ o\left(\left|\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right). $

即问题 (1.2) 在 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处产生分歧, 分歧出一个分歧解, 分歧解图如图 1、图 2 所示.

图1

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图1   当 $ \alpha_1=1, L=1, \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_1} $ 的次临界分歧解


图2

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图2   当 $ \alpha_1=1, L=1, \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_1} $ 的超临界分歧解


(2) 当 $ (C - A + B)^2 - 4B^2>0 $ 时, 即 $ 45L^{2}-72L + 16>0时 $, 方程在 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处产生分歧, 分歧出三个分歧解分支

$ (\frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{32\alpha_1(1 + 2L)}, \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{32\alpha_1(1 + 2L)}), $
$ (\frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})(4 - 9L\pm\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}{8\alpha_1(4 - 3L)(4 - 3L\pm\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}, \frac{9\pi L(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{4\alpha_1(4 - 3L)(4 - 3L\pm\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}). $

其对应的问题 (1.2) 的分歧解表达式为

$ \overline{u_1}= \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{16\alpha_1(L + 2L^{2})}\sin\frac{\pi x}{L}+ \frac{3\pi(L^{2}\lambda - \pi^{2})}{16\alpha_1(L + 2L^{2})}\sin\frac{\pi y}{L}+ o\left(\left|\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), $
$ \begin{aligned} \overline{u_2}=&\frac{3\pi(L^{2}\lambda-\pi^{2})(4 - 9L+\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}{4\alpha_1(4L - 3L^{2})(4 - 3L+\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}\sin\frac{\pi x}{L}\\ &+\frac{9\pi(L^{2}\lambda-\pi^{2})}{2\alpha_1(4 - 3L)(4 - 3L+\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}\sin\frac{\pi y}{L}+ o\left(\left|\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), \end{aligned} $
$ \begin{aligned} \overline{u_3}=&\frac{3\pi(L^{2}\lambda-\pi^{2})(4 - 9L-\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}{4\alpha_1(4L - 3L^{2})(4 - 3L-\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}\sin\frac{\pi x}{L}\\ &+\frac{9\pi(L^{2}\lambda-\pi^{2})}{2\alpha_1(4 - 3L)(4 - 3L-\sqrt{45L^{2}-72L + 16})}\sin\frac{\pi y}{L}+ o\left(\left|\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right). \end{aligned} $

即问题 (1.2) 在 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处产生分歧, 分歧出三个分歧解, 分歧解图如图 3-图 8 所示.

图3

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图3   当 $ \alpha_1=1, L=2, \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_1} $ 的次临界分歧解


图4

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图4   当 $ \alpha_1=1, L=2, \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_1} $ 的超临界分歧解


图5

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图5   当 $ \alpha_1=1, L=2, \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_2} $ 的次临界分歧解


图6

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图6   当 $ \alpha_1=1, L=2, \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_2} $ 的超临界分歧解


图7

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图7   当 $ \alpha_1=1, L=2, \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_3} $ 的次临界分歧解


图8

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图8   当 $ \alpha_1=1, L=2, \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_3} $ 的超临界分歧解


Cahn-Hilliard 方程在 Dirichlet 边界条件下产生分歧的物理意义

(1) 当 $ \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时, Cahn-Hilliard 方程在 Dirichlet 边界条件下产生超临界分歧, 表示边界与外部环境处于恒定浓度的开放系统在分歧点之后会出现稳定的相分离状态. 当 $ \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时, 原本均匀的状态变得不稳定, 系统会自发地演化到具有不同相区的非均匀状态, 且这种相分离结构在一定条件下是稳定存在的. 这种相变过程是平滑且可逆的, 系统在临界点附近没有突变的能量跃迁.

(2) 当 $ \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时, Cahn-Hilliard 方程在 Dirichlet 边界条件下产生次临界分歧, 表示边界与外部环境处于恒定浓度的开放系统系统在分歧点附近的相分离状态可能是不稳定的, 容易受到微小扰动的影响从而发生改变. 这种相变过程是突变的, 系统在临界点附近可能存在能量势垒, 导致滞后现象.

步骤 4 讨论问题 (1.2) 的分歧解的正则性.

方程组 (3.7) 的 Jacobi 矩阵为

$ F=\begin{pmatrix} \beta_1(\lambda)-2\alpha_1Ax_1 - \alpha_1Cx_2 & - 2\alpha_1Bx_2-\alpha_1Cx_1 \\ -2\alpha_1Bx_1-\alpha_1Cx_2 & \beta_1 - 2\alpha_1Ax_2-\alpha_1Cx_1 \end{pmatrix}, $

将 (3.8) 式中的三个分歧点代入 $ F $ 中, 可得在 $\vert\lambda - \lambda_0\vert>0$ 充分小邻域内, $ |F|\neq0 $, 即说明这三个点都是正则的, 由引理 2.2 可知, 问题 (1.2) 的分歧解也是正则的.

综上所述, 定理 3.1 得证.

对于 Robin 边界条件, 问题 (1.3) 有以下结果

定理 3.2 (1) 当 $ \left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}\leq0 $ 时, 问题 (1.3) 从 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处分歧出一个正则分歧解, 且分歧解表达式为

$ \begin{aligned} \overline{u_1}=&\frac{ 3\pi\left(\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{2}}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x+\sin\frac{\pi}{L}x\right)\\ &+\frac{3\pi\left(\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{2}}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y+\sin\frac{\pi}{L}y\right)+o\left(\left|\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), \end{aligned} $

(2) 当 $ \left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}>0 $ 时, 问题 (1.3) 从 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处分歧出三个正则分歧解, 且分歧解表达式为

$\begin{align*} \overline{u_1}=&\frac{ 3\pi\left(\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{2}}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x+\sin\frac{\pi}{L}x\right)\\ &+\frac{3\pi\left(\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{2}}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y+\sin\frac{\pi}{L}y\right)+o\left(\left|\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), \\ \overline{u_2}=&\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{2}a_+}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x+\sin\frac{\pi}{L}x\right)\\ &+\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{2}b_+}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y+\sin\frac{\pi}{L}y\right)+o\left(\left|\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), \\ \overline{u_3}=&\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{2}a_-}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x+\sin\frac{\pi}{L}x\right)\\ &+\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{2}b_-}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y+\sin\frac{\pi}{L}y\right)+o\left(\left|\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), \end{align*}$

其中

$ \begin{aligned} a_+&=\frac{-\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)+\sqrt{\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}}}{\left(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}-\pi-\frac{L^{2}}{\pi}\right)+\sqrt{\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}}}, \\ b_+&=\frac{2(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})}{(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi})-(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})+\sqrt{(3(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})-(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}))^{2}-4(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})^{2}}}, \\ a_-&=\frac{-\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)-\sqrt{\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}}}{\left(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}-\pi-\frac{L^{2}}{\pi}\right)-\sqrt{\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}}}, \\ b_-&=\frac{2(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})}{(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi})-(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})-\sqrt{(3(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})-(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}))^{2}-4(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})^{2}}}. \end{aligned} $

则接下来对其结果进行证明

证 按以下步骤进行推导

步骤 1 求出 $ L_{\lambda}=-A +B_{\lambda} $ 的特征值和特征函数.

令 $\rho_i$ 和 $e_i (i = 1, 2, \cdots)$ 是下面问题的第 $i$ 个特征值和特征向量

$\begin{equation}\label{eq:a13} \begin{cases} -\Delta e_{i}=\rho_{i} e_{i}, \\ \frac{\partial e_{i}}{\partial n}+\left.e_{i}\right|_{\partial \Omega}=0, \\ \int_{\Omega} e_{i}^{2} \mathrm{d}x = 1. \end{cases} \end{equation}$

由于 $\Omega=[L]\times[L]$ 为一正方形有界区域, 可得出方程 (3.9) 的特征值 $\{\rho_i\mid i = 1, 2, \cdots\}$ (计入重数) 有如下关系 $ 0<\rho_1=\rho_2<\rho_3\leqslant\cdots, $ 其中 $\rho_i\in\{\left(k_1^2 + k_2^2\right)\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\mid k_1 = 0, 1, 2,\cdots, k_2 =0, 1,$$2, \cdots\}$, 即 $ \rho_1=\rho_2=\left(\frac{\pi}{L}\right)^2, \rho_3 = 2\left(\frac{\pi}{L}\right)^2, \cdots, $ 对应的特征向量 $\{e_i\mid i = 1, 2, 3,\cdots\}$ 为

$ \begin{aligned} e_i \in \Bigg\{&\frac{2L}{n_1^2\pi^2 + L^2}\left(-\frac{n_1\pi}{L}\cos\frac{n_1\pi}{L}x+\sin\frac{n_1\pi}{L}x\right), \frac{2L}{n_2^2\pi^2 + L^2}\left(-\frac{n_2\pi}{L}\cos\frac{n_2\pi}{L}y+\sin\frac{n_2\pi}{L}y\right), \\ &\frac{2L}{\sqrt{(n_3^2\pi^2 + L^2)(n_4^2\pi^2 + L^2)}}\left(\frac{n_3n_4\pi^2}{L^2}\cos\frac{n_3\pi}{L}x\cos\frac{n_4\pi}{L}y + \sin\frac{n_3\pi}{L}x\sin\frac{n_4\pi}{L}y\right.\\ &\left.-\frac{n_3\pi}{L}\cos\frac{n_3\pi}{L}x\sin\frac{n_4\pi}{L}y-\frac{n_4\pi}{L}\cos\frac{n_4\pi}{L}y\sin\frac{n_3\pi}{L}x\right)\Bigg\}, \end{aligned} $

其中 $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4=1, 2, \cdots$, 即

$ \begin{aligned} e_1&=\frac{2L}{\pi^{2}+L^{2}}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x + \sin\frac{\pi}{L}x\right), \\ e_2&=\frac{2L}{\pi^{2}+L^{2}}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y+\sin\frac{\pi}{L}y\right), \\ e_3&=\frac{2L}{\pi^{2}+L^{2}}\left(\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\cos\frac{\pi}{L}x\cos\frac{\pi}{L}y + \sin\frac{\pi}{L}x\sin\frac{\pi}{L}y-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x\sin\frac{\pi}{L}y\right.\\ &~~~\left.-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y\sin\frac{\pi}{L}x\right). \end{aligned} $

易知 $\rho_i, e_i$ 还满足

$ \begin{cases} \Delta^{2}e_{i}=\rho_{i}^{2}e_{i}, \\ \frac{\partial e_{i}}{\partial n}+\left.e_{i}\right|_{\partial\Omega}=0, \end{cases} $

即可得到方程(1.4) 中算子 $L_{\lambda}$ 的特征值 $\{\beta_i(\lambda)=\rho_i(\lambda - \rho_i)\mid i = 1, 2, \cdots\}$, 对应的特征向量为 $\{e_i\mid i = 1, 2, \cdots\}$ 构成 $H_1$ 的一组正交基.

易见 $L_{\lambda}$ 的第一特征值为 $\beta_1 = \beta_2=\left(\frac{\pi}{L}\right)^2\left[\lambda - \left(\frac{\pi}{L}\right)^2\right]$, 对应的特征向量为 $ e_1, e_2 $. 当 $\beta_1(\lambda_0)=0$, 得 $\lambda_0 = \left(\frac{\pi}{L}\right)^2$, 可知 $\beta_j(\lambda_0)\neq0$, $j\geq3$.

步骤 2 应用谱定理 (引理 2.1), 将空间 $ H $ 和算子 $ L_{\lambda} $ 进行分解.

由文献[16] 中的谱定理, 在 $\lambda = \lambda_0$ 的邻域内, $H$ 能被分解为 $ H_1 = E_1^{\lambda}\oplus E_2^{\lambda}, H = E_1^{\lambda}\oplus \overline{E}_2^{\lambda}, $ 其中 $E_1^{\lambda}=\mathrm{span}\{e_1, e_2\}$, $E_2^{\lambda}=\mathrm{span}\{e_3, e_4, e_5, \cdots\}$. 线性算子 $L_{\lambda}$ 在 $\lambda=\lambda_0$ 附近可分解为 $ L_{\lambda}=L_{\lambda}^1\oplus L_{\lambda}^2, $ 其中 $ L_{\lambda}^1:E_1^{\lambda}\to E_1^{\lambda}, L_{\lambda}^2:E_2^{\lambda}\to \overline{E}_2^{\lambda}. $ 令 $u\in H_1$, 则有 $u = u_1 + u_2$, 其中 $u_1\in E_1^{\lambda}$, $u_2\in E_2^{\lambda}$. 然后再设 $u_1=x_1e_1 + x_2e_2$, $u_2=\sum_{j = 3}^{\infty}y_je_j$, $ x_1, x_2, y_j \in \mathbb{R} $.

步骤 3 由规范化的 Lyapunov-Schmidt 约化方法求出问题 (1.3) 的分歧解.

由 Lyapunov-Schmidt 约化方法, 方程(1.4) 可化为下面两组方程

$\begin{equation}\label{eq:a14} \begin{cases} \beta_1(\lambda)x_1+\alpha_1\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^2, e_1\right\rangle+\alpha_2\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^3, e_1\right\rangle = 0, \\ \beta_2(\lambda)x_2+\alpha_1\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^2, e_2\right\rangle+\alpha_2\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^3, e_2\right\rangle = 0, \end{cases} \end{equation}$
$\begin{equation}\label{eq:a15} \beta_j(\lambda)y_j+\alpha_1\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^2, e_j\right\rangle+\alpha_2\left\langle\Delta(u_1 + u_2)^3, e_j\right\rangle = 0, j\geq3. \end{equation}$

由方程 (3.11)的近似方程

$\begin{equation} \beta_j(\lambda)y_j+\alpha_1\left\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2)^2, e_j\right\rangle+o(x_1^2 + x_2^2)= 0, j\geq3, \end{equation}$

可解出 $ y_j = -\beta_j^{-1}\alpha_1\left\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2)^2, e_j\right\rangle+o(x_1^2 + x_2^2). $ 又由于

$\begin{align*} &\langle\Delta e_1^2, e_3\rangle=\langle e_1^2, \Delta e_3\rangle = -\rho_3\langle e_1^2, e_3\rangle= -\rho_{3}\left(\frac{2L}{\pi^{2}+L^{2}}\right)^{3}\left(4 + \frac{8L^{2}}{3\pi^{2}}\right), \\ &\langle\Delta e_2^2, e_3\rangle= -\rho_3\langle e_2^2, e_3\rangle= -\rho_{3}\left(\frac{2L}{\pi^{2}+L^{2}}\right)^{3}\left(4 + \frac{8L^{2}}{3\pi^{2}}\right), \\ &\langle\Delta e_1e_2, e_3\rangle= -\rho_3\langle e_1e_2, e_3\rangle=-\rho_{3} \cdot \frac{2L}{{\pi}^{2}+L^{2}}, \end{align*}$

从而

$\begin{align*} &y_3=\frac{2L}{\pi^{2}+L^{2}}(\lambda - \rho_{3})^{-1}\alpha_{1}\left[\left(\frac{2L}{\pi^{2}+L^{2}}\right)^{2}\left(4 + \frac{8L^{2}}{3\pi^{2}}\right)(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) + 2x_{1}x_{2}\right]+ o(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}), \\ &y_j = o(x_1^2 + x_2^2), j = 4, 5, 6, \cdots. \end{align*}$

将 $ y_j $ 代入 (3.10) 式, 得

$\begin{equation}\label{eq:a16} \begin{cases} \beta_1(\lambda)x_1 + \alpha_1\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2 + y_3e_3)^2, e_1\rangle+ o(x_1^2 + x_2^2)=0, \\ \beta_2(\lambda)x_2 + \alpha_1\langle\Delta(x_1e_1 + x_2e_2 + y_3e_3)^2, e_2\rangle+ o(x_1^2 + x_2^2)=0. \end{cases} \end{equation}$

由计算可知

$\begin{align*} &\langle \Delta(x_1e_1 + x_2e_2+y_3e_3)^2, e_1\rangle\\ =&-\rho_1\langle(x_1e_1 + x_2e_2 + y_3e_3)^2, e_1\rangle\\ =&-\rho_1\left[x_1^2\langle e_1^2, e_1\rangle+x_2^2\langle e_2^2, e_1\rangle + 2x_1x_2\langle e_1e_2, e_1\rangle\right]+ o(x_1^2 + x_2^2)\\ =&-\rho_1\left(\frac{2L}{\pi^2+L^2}\right)^3\left[\left(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}\right)x_1^2+\left(\pi+\frac{L^2}{\pi}\right)(x_2^2 + 2x_1x_2)\right]+ o(x_1^2 + x_2^2)\\ =&-Ax_1^2 - Bx_2^2-2Bx_1x_2+ o(x_1^2 + x_2^2), \\ &\langle \Delta(x_1e_1 + x_2e_2+y_3e_3)^2, e_2\rangle\\ =&-\rho_2\left(\frac{2L}{\pi^2+L^2}\right)^3\left[\left(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}\right)x_2^2+\left(\pi+\frac{L^2}{\pi}\right)(x_1^2 + 2x_1x_2)\right]+ o(x_1^2 + x_2^2)\\ =&-Ax_2^2 - Bx_1^2-2Bx_1x_2+ o(x_1^2 + x_2^2), \end{align*}$

这里 $ A=\rho_1\left(\frac{2L}{\pi^2+L^2}\right)^3\left(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}\right), B=\rho_1\left(\frac{2L}{\pi^2+L^2}\right)^3\left(\pi+\frac{L^2}{\pi}\right), $ 则 (3.13) 式可化为

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \beta_1(\lambda)x_1-\alpha_1(Ax_1^{2}+Bx_2^{2}+2Bx_1x_2)+o(x_1^{2}+x_2^{2}) = 0, \\ \beta_2(\lambda)x_2-\alpha_1(Bx_1^{2}+Ax_2^{2}+2Bx_1x_2)+o(x_1^{2}+x_2^{2}) = 0, \end{array} \right. \end{equation}$

取其近似方程得

$\begin{equation}\label{eq:a17} \left\{ \begin{array}{l} \beta_1(\lambda)x_1-\alpha_1(Ax_1^{2}+Bx_2^{2}+2Bx_1x_2) = 0, \\ \beta_2(\lambda)x_2-\alpha_1(Bx_1^{2}+Ax_2^{2}+2Bx_1x_2) = 0, \end{array} \right. \end{equation}$

令 $ (x_1, x_2)\neq(0, 0) $, 解得三个分歧点

$\begin{equation}\label{eq:a18} \left( \frac{\beta_1}{\alpha_1(A +3B)}, \frac{\beta_1}{\alpha_1(A +3B)} \right), \left( \frac{\beta_1 k}{\alpha_1(A - B)(k + 1)}, \frac{\beta_1}{\alpha_1(A - B)(k + 1)} \right), \end{equation}$

其中 $ k = \frac{-(3B- A)\pm\sqrt{(3B - A)^2 - 4B^2}}{2B}. $

在 $\vert\lambda - \lambda_0\vert>0$ 的充分小邻域内讨论如下

(1) 当 $ (3B- A)^2 - 4B^2\leq0 $ 时, 即 $ \left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}\leq0 $ 时, 方程在 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处产生分歧, 分歧出一个分歧解分支

$ \left(\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{3}}{8\alpha_{1}L^{2}(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}, \frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{3}}{8\alpha_{1}L^{2}(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\right); $

其对应的问题 (1.3) 的分歧解表达式为

$ \begin{aligned} \overline{u_1}=&\frac{ 3\pi\left(\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{2}}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x+\sin\frac{\pi}{L}x\right)\\ &+\frac{3\pi\left(\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{2}}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y+\sin\frac{\pi}{L}y\right)+o\left(\left|\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), \end{aligned} $

即问题 (1.3) 在 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处产生分歧, 分歧出一个分歧解, 分歧解图如图 9-图 10 所示.

图9

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图9   当 $ \alpha_1=1, L=1, \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_1} $ 的次临界分歧解


图10

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图10   当 $ \alpha_1=1, L=1, \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_1} $ 的超临界分歧解


(2) 当 $ (3B- A)^2 - 4B^2>0 $ 时, 即 $ \left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}>0 $ 时, 方程在 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处产生分歧, 分歧出三个分歧解分支

$ \left(\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{3}}{8\alpha_{1}L^{2}(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}, \frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{3}}{8\alpha_{1}L^{2}(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\right), $
$ \left(\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{3}a_+ }{8\alpha_{1}L^{2}(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}, \frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{3}b_+ }{8\alpha_{1}L^{2}(6\pi^{2}+4L^{2}-3\lambda^{2}L - 3L^{3})}\right), $
$ \left(\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{3}a_- }{8\alpha_{1}L^{2}(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}, \frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{3}b_- }{8\alpha_{1}L^{2}(6\pi^{2}+4L^{2}-3\lambda^{2}L - 3L^{3})}\right), $

其中

$ \begin{aligned} a_+&=\frac{-\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)+\sqrt{\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}}}{\left(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}-\pi-\frac{L^{2}}{\pi}\right)+\sqrt{\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}}}, \\ b_+&=\frac{2(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})}{(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi})-(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})+\sqrt{(3(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})-(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}))^{2}-4(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})^{2}}}, \\ a_-&=\frac{-\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)-\sqrt{\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}}}{\left(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}-\pi-\frac{L^{2}}{\pi}\right)-\sqrt{\left(3\pi+\frac{3L^{2}}{\pi}-\frac{2\pi}{L}-\frac{4L}{3\pi}\right)^{2}-4\left(\pi+\frac{L^{2}}{\pi}\right)^{2}}}, \\ b_-&=\frac{2(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})}{(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi})-(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})-\sqrt{(3(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})-(\frac{2\pi}{L}+\frac{4L}{3\pi}))^{2}-4(\pi+\frac{L^{2}}{\pi})^{2}}}. \end{aligned} $

其对应的问题 (1.3) 的分歧解表达式为

$ \begin{aligned} \overline{u_1}=&\frac{ 3\pi\left(\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{2}}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x+\sin\frac{\pi}{L}x\right)\\ &+\frac{3\pi\left(\lambda-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L^{2})^{2}}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}+9\pi^{2}L + 9L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y+\sin\frac{\pi}{L}y\right)+o\left(\left|\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), \\ \overline{u_2}=&\frac{-3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{2}a_+}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x+\sin\frac{\pi}{L}x\right)\\ &+\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{2}b_+}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y+\sin\frac{\pi}{L}y\right)+o\left(\left|\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right), \\ \overline{u_3}=&\frac{-3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{2}a_-}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}x+\sin\frac{\pi}{L}x\right)\\ &+\frac{3\pi\left(\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right)(\pi^{2}+L)^{2}b_-}{4\alpha_1L(6\pi^{2}+4L^{2}-3\pi^{2}L - 3L^{3})}\left(-\frac{\pi}{L}\cos\frac{\pi}{L}y+\sin\frac{\pi}{L}y\right)+o\left(\left|\lambda - \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right|^{2}\right). \end{aligned} $

即问题 (1.3) 在 $ (u, \lambda)=(0, (\frac{\pi}{L})^{2}) $ 处产生分歧, 分歧出三个分歧解, 分歧解图如图 11-图 16 所示.

图11

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图11   当 $ \alpha_1=1, L=3, \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_1} $ 的次临界分歧解


图12

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图12   当 $ \alpha_1=1, L=3, \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_1} $ 的超临界分歧解


图13

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图13   当 $ \alpha_1=1, L=3, \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_2} $ 的次临界分歧解


图14

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图14   当 $ \alpha_1=1, L=3, \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_2} $ 的超临界分歧解


图15

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图15   当 $ \alpha_1=1, L=3, \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_3} $ 的次临界分歧解


图16

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图16   当 $ \alpha_1=1, L=3, \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时 $ \overline{u_3} $ 的超临界分歧解


Cahn-Hilliard 方程在 Robin 边界条件下产生分歧的物理意义

(1) 当 $ \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时, Cahn-Hilliard 方程在 Robin 边界条件下产生超临界分歧, 表示边界与外部环境存在物质的交换的开放系统在分歧点之后会出现稳定的相分离状态. 当 $ \lambda>\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时, 原先的均匀态失去稳定性, 系统自发地形成具有空间异质性的相分离结构, 这种非均匀态在满足特定条件时能够保持稳定存在. 值得注意的是, 该相变过程表现为连续转变特征:系统状态随参数变化平滑过渡, 且在临界点附近不发生突变的能量跃迁, 整个过程具有热力学可逆性.

(2) 当 $ \lambda<\frac{\pi^{2}}{L^{2}} $ 时, Cahn-Hilliard 方程在 Robin 边界条件下产生次临界分歧, 表示边界与外部环境存在物质的交换的开放系统系统在分歧点附近的相分离状态呈现亚稳态特性, 其空间构型对微扰具有敏感性. 相变过程表现为非连续转变特征, 系统状态可能发生突变性跃迁, 在临界参数区间内存在显著的热力学势垒, 系统演化呈现路径依赖性, 可能观察到明显的滞后效应.

步骤 4 讨论问题 (1.3) 的分歧解的正则性.

方程组 (3.15) 的 Jacobi 矩阵为

$ F=\begin{pmatrix} \beta_1(\lambda)-2\alpha_1Ax_1 - 2\alpha_1Bx_2 & - 2\alpha_1Bx_2-2\alpha_1Bx_1 \\ -2\alpha_1Bx_1-2\alpha_1Bx_2 & \beta_1 - 2\alpha_1Ax_2-2\alpha_1Bx_1 \end{pmatrix}, $

将 (3.16) 式中的三个分歧点代入 $ F $ 中, 可得在 $\vert\lambda - \lambda_0\vert>0$ 充分小邻域内, $ |F|\neq0 $, 即说明这三个点都是正则的, 由引理 2.2 可知, 问题 (1.3) 的分歧解也是正则的.

综上所述, 定理 3.2 得证.

4 总结与展望

本文采用由 Ma 和 Wang[16,17] 发展的规范化 Lyapunov-Schmidt 约化方法及跃迁理论研究了 Cahn-Hilliard 方程在 Dirichlet 边界条件与 Robin 边界条件下的定态分歧现象. 在 Dirichlet 边界下, Cahn-Hilliard 方程在 $ \lambda=\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 $ 时发生分歧, 表明边界浓度固定且无物质交换, 系统总质量守恒, 边界条件直接影响相分离过程及内部浓度分布. 在 Robin 边界下, Cahn-Hilliard 方程也在 $ \lambda=\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 $ 时发生分歧, 表明边界与环境存在动态物质交换, 系统总质量不守恒, 边界浓度由内外平衡共同决定. 通过研究 Cahn-Hilliard 方程, 深化了对相分离过程中微观结构形成机制的理论认识, 同时也期望进一步探索多学科交叉领域的非线性动力学, 如地质学中的河床迁移动力学、生态学中的种群竞争与空间分布等复杂现象, 为相关领域的实际问题研究提供理论框架.

基于本文利用规范化 Lyapunov-Schmidt 约化方法对有界域上四阶 Cahn-Hilliard 方程在 Dirichlet 和 Robin 边界条件下定态分岔现象的研究, 以及相分离微观结构形成机制的揭示, 在后续研究中, 可以考虑将理论框架拓展到高维空间和复杂几何域中的分岔行为分析, 这将为实际物理系统的建模提供更精确的理论基础. 同时, 该理论方法在多物理场耦合问题中的应用值得深入探讨, 特别是在生物膜生长动力学和肿瘤演化等跨学科研究领域具有重要价值. 此外, 发展高效数值计算方法对于模拟大规模复杂系统的时空演化规律至关重要. 这些研究的推进不仅能够深化对非线性动力学行为的理论认知, 还将为材料科学和生物医学等应用领域提供重要的理论支撑和技术指导.

参考文献

Cahn J W, Hilliard J E.

Free energy of a nonuniform system: Interfacial energy

Journal of Chemical Physics, 1958, 28(2): 258-267

DOI:10.1063/1.1744102      URL     [本文引用: 1]

Novick-Cohen A, Segel L A.

Nonlinear aspects of the Cahn-Hilliard equation

Physica D: Nonlinear Phenomena, 1984, 10(3): 277-298

DOI:10.1016/0167-2789(84)90180-5      URL     [本文引用: 1]

Novick-Cohen A.

On the Viscous Cahn-Hilliard Equation

Material Instabilities in Continuum Mechanics and Related Mathematical Problems. New York: Oxford Science Press, 1988

[本文引用: 1]

Klaper I, Dockery J.

Role of cohesion in the material description of biofilms

Physical Review E, 2006, 74(3): Art 031902

DOI:10.1103/PhysRevE.74.031902      URL     [本文引用: 1]

Khain E, Sander L M.

Generalized Cahn-Hilliard equation for biological applications

Physical Review E, 2008, 77(5): Art 051129

DOI:10.1103/PhysRevE.77.051129      URL     [本文引用: 1]

Aristotelous A C, Karakashiano O A, Wise S M.

Adaptive, second-order in time, primitive-variable discontinuous Galerkin schemes for a Cahn-Hilliard equation with a mass source

IMA Journal of Numerical Analysis, 2015, 35(3): 1167-1198

DOI:10.1093/imanum/dru035      URL     [本文引用: 1]

Hazewinkel M, Kaashoek J F, Leynse B.

Pattern formation for a one-dimensional evolution equation based on Thom's river basin model

Berlin: Springer Netherlands, 1986

[本文引用: 1]

Cohen D S, Murray J D.

A generalized diffusion model for growth and dispersal in a population

Journal of Mathematical Biology, 1981, 12(2): 237-249

DOI:10.1007/BF00276132      URL     [本文引用: 1]

Elliott C, Zheng S.

On the Cahn-Hilliard equation

Arch Rational Mesh Anal, 1986, 96: 339-357

[本文引用: 1]

Yin J.

On the Cahn-Hilliard equation with nonlinear principal part

J Part Diff Equ, 1994, 7(1): 77-96

Laugesen R S. Pugh M C.

Linear stability of steady states for thin film and Cahn-Hilliard type equations

Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2000, 154(1): 3-51

DOI:10.1007/PL00004234      URL    

Yin J X, Liu C C.

Regularity of solutions of the Cahn-Hilliard equation with concentration dependent mobility

Nonlinear Analysis, 2001, 45(45): 543-554

DOI:10.1016/S0362-546X(99)00406-X      URL    

Miranville A.

Some models of Cahn-Hilliard equations, in nonisotropic media

ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 2000, 34(3): 539-554

DOI:10.1051/m2an:2000155      URL    

Miranville A.

Consistent models of Cahn-Hilliard-Gurtin equations with Neumann boundary conditions

Physica D Nonlinear Phenomena, 2001, 158(1): 233-257

DOI:10.1016/S0167-2789(01)00317-7      URL     [本文引用: 1]

张正丽, 张强.

一类 Cahn-Hilliard 方程的定态分歧

四川大学学报 (自然科学版), 2011, 48(4): 729-732

[本文引用: 3]

Zhang Z L, Zhang Q.

Steady-state bifurcation of a class of Cahn-Hilliard equations

Journal of Sichuan University (Natur Sci Edi), 2011, 48(4): 729-732

[本文引用: 3]

马天, 汪守宏. 非线性演化方程的稳定性与分歧. 北京: 科学出版社, 2007

[本文引用: 8]

Ma T, Wang S H. Stability and Bifurcation of Nonlinear Evolutionary Equations. Beijing: Science Press, 2007

[本文引用: 8]

Ma T, Wang S H.

Bifurcation Theory and Applications

Singapore: World Scientific, 2005

[本文引用: 2]

张强, 雷开洪, 向丽.

Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov 方程的定态分歧

四川大学学报 (自然科学版), 2013, 50(1): 6-10

[本文引用: 1]

Zhang Q, Lei K H, Xiang L.

Steady-state bifurcation of the Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation

Journal of Sichuan University (Natur Sci Edi), 2013, 50(1): 6-10

[本文引用: 1]

郝清明, 潘志刚, 朱超.

带 Robin 边界条件 Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov 方程的定态分歧

西华大学学报 (自然科学版), 2025, 44(3): 102-106

[本文引用: 1]

Hao Q M, Pan Z G, Zhu C.

Steady-state bifurcation of Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equations with Robin boundary conditions

Journal of Xihua University (Natural Science Edition), 2025, 44(3): 102-106

[本文引用: 1]

Pan Z G, Jia L, Mao Y Q, et al.

Transitions and bifurcations in couple stress fluid saturated porous media using a thermal non-equilibrium model

Applied Mathematics and Computation, 2022, 415: Art 126727

DOI:10.1016/j.amc.2021.126727      URL     [本文引用: 1]

Chen M, Zheng Q.

Steady state bifurcation of a population model with chemotaxis

Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2023, 609: Art 128381

DOI:10.1016/j.physa.2022.128381      URL     [本文引用: 2]

Chen M, Li X, Wu R.

Steady state bifurcation and pattern formation of a diffusive population model

Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2024, 135: Art 108048

DOI:10.1016/j.cnsns.2024.108048      URL     [本文引用: 1]

李海侠.

一类具有毒素的非均匀 chemostat 模型正解的存在性和唯一性

数学物理学报, 2020, 40A(5): 1175-1185

Li H X.

Existence and uniqueness of positive solutions for a non-uniform chemostat model with toxins

Acta Math Sci, 2020, 40A(5): 1175-1185

钟承奎, 范先令, 陈文塬. 非线性泛函分析引论. 兰州: 兰州大学出版社, 2004

Zhong C K, Fan X L, Chen W Y. Introduction to Nonlinear Functional Analysis. Lanzhou: Lanzhou University Press, 2004

帅鲲, 蒲志林, 潘志刚.

一类带平均值约束的二元方程组的定态分歧

四川师范大学学报: 自然科学版, 2013, 36(6): 820-823

Shuai K, Pu Z L, Pan Z G.

Steady-state bifurcation of a system of binary equations with mean-value constraint

Journal of Sichuan Normal University (Natural Science Edition), 2013, 36(6): 820-823

Pan Z G, Mao Y Q, Wang Q, et al.

Transitions and bifurcations of darcy-brinkman-marangoni convection

Discrete and Continuous Dynamical Systems-B, 2022, 27(3): 1671-1694

DOI:10.3934/dcdsb.2021106      URL    

Pan Z G, Sengul T, Wang Q.

On the viscous instabilities and transitions of two-layer model with a layered topography

Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2020, 80: Art 104978

DOI:10.1016/j.cnsns.2019.104978      URL    

Ma R Y, Wei L P, Chen Z C.

Evolution of bifurcation curves for one-dimensional Minkowski-curvature problem

Applied Mathematics Letters, 2020, 103: Art 106176

DOI:10.1016/j.aml.2019.106176      URL    

Şengül T, Tiryakioglu B.

Dynamic transitions and bifurcations of 1D reaction-diffusion equations: The non-self-adjoint case

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2023, 523: Art 127114

DOI:10.1016/j.jmaa.2023.127114      URL    

Pan Z G, Chanh K, Wang Q.

Hopf bifurcations and transitions of two-dimensional quasi-geostrophic flows

Communications on Pure and Applied Analysis, 2021, 20(4): 1385-1412

朱超, 郝清明, 潘志刚, 王艳华.

一类具有合作与自限效应的 Extended Fisher-Kolmogorov 系统的定态分歧

数学物理学报, 2025, 45A(5): 1432-1443

Zhu C, Hao Q M, Pan Z G, Wang Y H.

Steady state bifurcation of an Extended Fisher-Kolmogorov system with cooperation and self-limiting effects

Acta Math Sci, 2025, 45A(5): 1432-1443

刘佳, 包雄雄.

非局部时滞扩散方程棱锥形波前解的渐近稳定性

数学物理学报, 2025, 45A(1): 44-53

Liu J, Bao X X.

The asymptotic stability of the pyramidal front solutions for Non-local delay diffusion equations

Acta Math Sci, 2025, 45A(1): 44-53

Liu M, Zheng Z, Ma C Q, et al.

Hopf and Bogdanov-Takens bifurcations of a delayed Bazykin model

Qualitative Theory of Dynamical Systems, 2024, 23(3): Art 138

DOI:10.1007/s12346-024-00996-z     

Von Der Gracht S, Nijholt E, Rink B.

Amplified steady state bifurcations in feedforward networks

Nonlinearity, 2022, 35(4): 2073-2120

DOI:10.1088/1361-6544/ac5463      [本文引用: 1]

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