关于非一致椭圆方程的研究起源于一些特殊的模型, 例如极小曲面方程. 该模型来源于积分泛函

的极小, 这里 $0\leq a(x)\in C^{0,\alpha}$, $\alpha\in (0,1]$. 由于 Zhikov 和 Marcellini 著名的工作 ^[1,2]使得这个变分问题引起了广泛的关注. (1.1)的 Euler-Lagrange 方程为

它是非一致椭圆的.

在 2021 年, Mingione-Rădulescu^[3] 对非一致椭圆问题的近期发展做了回顾, 里面提到了许多关于非一致椭圆问题的丰富结论, 例如 Calderón-Zygmund 估计、Besov 正则性、更高阶可积性和 Hölder 连续性等, 参见文献 [4–6]及其中的参考文献. 本文主要考虑具有渐近正则的非一致椭圆方程. 渐近正则问题是在无穷远处有一般的椭圆行为. 自从 Chipot-Evans^[7] 和 Giaquinta-Modica^[8]关于渐近正则的泛函极小问题的开创性工作以来, 关于渐近正则问题的研究活动已经很多. 对于解的更高可积性、Lipschitz 正则性和 Calderón-Zygmund 估计, 可参见文献 [9–14]. 值得一提的是, Scheven-Schmidt^[12,13] 通过用正则问题的解近似渐近正则问题的方法, 分别建立了局部较高可积性和部分 Lipschitz 连续性. Foss^[9]将文献[12]中的局部结果扩展为全局结果. Kuusi-Mingione^[10] 提出了一种新的微扰方法, 获得了一类 $p$-Laplace 型抛物方程组解的渐近正则性结果. Byun-Oh^[14] 利用 Possion 变换研究了在 Reifenberg 平面域中渐近正则的 $p(x)$-Laplace 型椭圆问题, 通过使用一个适当的正则问题来近似给定的渐近正则问题, 从而得到全局 Calderón-Zygmund 估计. 而本文主要考虑具有渐近正则的非一致椭圆方程弱解的 BMO 估计.

关于 $p$-Laplace 方程 (组) 的 BMO 估计是 DiBenedetto-Manfredi^[15] 首先建立的. 他们在 $p\geq2$ 的条件下考虑了方程组

获得了结论

其中 $\textbf{u}=(u_1,u_2,\cdot\cdot\cdot,u_m)$, $\textbf{F}=(F_1,F_2,\cdot\cdot\cdot,F_m)$, 常数 $C$ 仅依赖于 $n$ 和 $p$. Diening-Kaplický-Schwarzacher ^[16] 将文献[15] 的结论推广到 $1<p<\infty$ 以及更一般的情况. Yu-Zheng^[17] 考虑了具有间断系数的方程组 $ {\rm{div}}\Big(\langle A(x)Du,Du\rangle^{\frac{p-2}{2}}A(x)Du \Big) = {\rm{div}}\textbf{F}, $ 在系数矩阵 $A(x)$ 满足一致椭圆条件并属于 VMO 函数类的情况下, 使用极大函数的方法, 获得了结论 $ \|Du\|_{BMO(\mathbb{R}^n)} \leq C \| \textbf{F}\|_{BMO(\mathbb{R}^n)}^{\frac{1}{p-1}}. $ Yao-Zhang-Zhou^[18] 考虑了方程 $ {\rm{div}}\Big(a(|\nabla u|)\nabla u\Big)={\rm{div}} \textbf{f} $ 使用极大函数的方法, 获得了结论: 若 $\textbf{f}\in BMO(\mathbb{R}^n)$, 则 $\nabla u\in BMO(\mathbb{R}^n)$. 更多关于 BMO 估计的结论, 还可参见文献 ^[19,20].

本文考虑下面的非一致椭圆方程

其中 $A:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 为非线性算子, ${\bf{F}}=(f^{1}, f^{2},\cdots,f^{n})$ 为给定的可测向量函数. 当 $|\xi|$ 趋于无穷时, $A(x,\xi)$ 对某正则算子 $B(x,\xi)$ 是渐近$~\delta$-正则的. 这里正则算子 $B=B(x,\xi):\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 为 Carathéodory 向量算子, 它关于 $\xi\in\mathbb{R}^n$ 和所有 $x,y\in\mathbb{R}^n$ 是 ${C^{1}}\left(\mathbb{R}^n \backslash \left\{0\right\}\right)$-正则的, 且满足下列条件

其中 $0<\mu\leq 1\leq L<\infty$, $\xi\in {\mathbb{R}^n}\backslash \left\{ {\bf0 } \right\}{\kern 1pt} $, $\eta\in {\mathbb{R}^n}$, $p$, $q$ 和函数 $a(\cdot)$ 满足

这里 $a(x)\in C^{0,\alpha}({\mathbb{R}^n})$ 指的是 $a(x)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的非负 Hölder 连续函数, 具有有界范数

首先引入渐近 $\delta$-正则条件, 见文献[21].

定义 1.1 令正则算子 $B(x,\xi)$ 满足 (1.3) 式. 称非线性算子 $A(x,\xi)$ 对 $B(x,\xi)$ 是渐近 $\delta$-正则的, 若存在一致有界的非负函数 $\omega:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$, 使得

和

对几乎每一个 $x, \xi\in {\mathbb{R}^n}$ 均成立.

注 1.1 若 $B(x,\xi)$ 满足 (1.3) 式, 且 $A(x,\xi)$ 对算子 $B(x,\xi)$ 是渐近 $\delta$-正则的, 则对每一个 $x\in {\mathbb{R}^n}$, 有

这表明, 当 $|\xi|$ 充分大, 对任意充分小的 $\delta>0 $, $A (x, \xi) $ 在正则范围之内.

令 $x\in \mathbb{R}^n$, $z\in \mathbb{R}^n$, 定义

上述函数 $H$ 是一个 Musielak-Orlicz 函数, 其定义参见文献 [22–24]. Musielak-Orlicz 类 $K^{H}(\Omega)$ 是所有满足 $\displaystyle\int_{\Omega}H(x,v(x)){\rm d}x<\infty$ 的可测函数 $v:\Omega\rightarrow \mathbb{R}^n$ 的集合. Musielak-Orlicz 空间 $L^{H}(\Omega)$ 是由 $K^{H}(\Omega)$ 生成的向量空间. $L^{H}(\Omega )$ 上的 Luxemburg 范数 $\| \cdot\|_{L^{H}( \Omega)}$ 定义为

Musielak-Orlicz-Sobolev 空间 $W^{1,H}(\Omega)$ 是由所有梯度分布向量 $Dv\in L^{H}(\Omega )$ 的可测函数 $v\in L^{H}(\Omega)$ 构成的函数空间. 若 $v \in W^{1,H}(\Omega)$, 定义其范数 $\left \| v\right \|_{W^{1,H}\left ( \Omega\right )}:=\left \| v\right \|_{L^{H}\left ( \Omega\right )}+\left \| Dv\right \|_{L^{H}\left ( \Omega;\mathbb{R}^{n}\right )}$. 空间 $W_{0}^{1,H}(\Omega)$ 定义为 $C_{0}^{\infty }(\Omega)$ 在 $W^{1,H}( \Omega)$ 中的闭包, 见文献[25].

定义 1.2 称 $u\in{W^{1,H}}(\mathbb{R}^n)$ 为 (1.2) 式的弱解, 若

对所有 $ \varphi\in W_0^{1,H}({\mathbb{R}}^n )$ 均成立.

注 1.2 若 $u\in{W^{1,H}}(\mathbb{R}^n)$ 为 (1.2) 式的弱解, 则由 (1.5) 式可知, 存在常数 $K=K(\delta)>1$ 使得对 $x\in {\mathbb{R}^n}$, 有

下面回顾 BMO 函数类的定义, 见文献[17,26].

定义 1.3 令 $B_{r}(x)\subset\mathbb{R}^n$ 为中心 $x\in \mathbb{R}^n $、半径为 $r$ 的球. 对给定的 $u(x)\in L^{1}_{loc}(\mathbb{R}^n)$, 记

称函数 $u$ 属于 $BMO(\mathbb{R}^n)$,

本文主要受文献[27] 中处理具有渐近正则的非一致椭圆方程的方法启发, 使用文献[17,18]中处理椭圆方程的 BMO 估计的技巧, 获得了全空间 $\mathbb{R}^n$ 上具有渐近正则的非一致椭圆方程 (1.2) 的全局 BMO 估计. 下面是本文主要结论.

定理 1.1 令 $u\in{W^{1,H}}(\mathbb{R}^n)$ 为方程 (1.2) 的弱解, $A(x,\xi)$ 满足渐近 $\delta$-正则条件, $B(x,\xi)$ 满足 (1.3) 和 (1.4) 式. 若 ${|{\bf{F}}|}^{p-2}{\bf{F}}+a(x){|{\bf{F}}|}^{q-2}{\bf{F}} \in BMO(\mathbb{R}^n)$, 则 $\nabla u \in BMO(\mathbb{R}^n)$, 且存在常数 $C$, 使得

其中 $C = C(n,p,q,\mu,L,K, \|\omega(\cdot)\|_{L^\infty}, \|a(x)\|_{C^{0,\alpha}})$.

注 1.3 特别地, 当 $a(x)\equiv0$ 且 $A(x,\nabla u)=\left|\nabla u\right|^{p-2}\nabla u$, (1.10) 式即为

这里常数 $C$ 仅依赖于 $n, p, q, \mu, L,K, \|\omega(\cdot)\|_{L^\infty}$.

本文内容安排如下. 先给出弱解的梯度估计和扰动讨论, 最后给出主要定理的证明.

下面的引理在证明中反复应用, 参见文献[28,29].

引理 2.1 对每个 $x\in\Omega$ 和 $z_1, z_2\in \mathbb{R}^n$, 有

对所有 $\varepsilon\in(0,1)$ 均成立, 这里 $c(\varepsilon)=c(p,q,\varepsilon)$.

我们需要下述迭代引理, 参见 Giaquinta-Giusti 的著作 ^[30].

引理 2.2 令 $\phi (x)$ 为定义在 $0 \le {T_0} \le t \le {T_1}$ 上的非负函数, 假设对 ${T_0} \le t < s \le {T_1}$, 有

其中 $A, B,\sigma,\theta $($\theta<1)$ 为非负常数, $\theta<1$. 那么存在仅依赖于 $\sigma,\theta $ 的常数 $C$, 使得对每个 $\rho,R$: ${T_0} \le \rho < R \le {T_1}$, 有

下面用 ${|{\bf{F}}|}^{p-2}{\bf{F}}+a(x){|{\bf{F}}|}^{q-2}{\bf{F}}$ 的 BMO 范数建立 (1.2) 式的弱解的梯度估计. 下文将省略球心.

引理 2.3 若 $u\in W^{1,H}(\mathbb{R}^n)$ 为方程 (1.2) 的弱解, ${|\nabla u|}^{p}+a(x){|\nabla u|}^{q}\in L^1(\mathbb{R}^n)$, 且 ${|{\bf{F}}|}^{p-2}{\bf{F}}+a(x){|{\bf{F}}|}^{q-2}{\bf{F}}\in BMO(\mathbb{R}^n)$, 则

其中常数 $C$ 与半径 $R$ 无关, 仅依赖于 $n, p, q, \mu, L, K, \|\omega(\cdot)\|_{L^\infty}, \|a(x)\|_{C^{0,\alpha}}, \|\nabla u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}$.

证 令 $B_R$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中半径为 $R$ 的球. 不失一般性, 可以假设 $4R \leq1$. 若 $4R>1$, 可以通过缩放讨论使得 $4R\leq 1$. 令常数 $s,t$ 满足 $2R\leq s<t\leq 4R$. 首先方程 $ (1.2)$ 可以写为

令 $\eta\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ 为截断函数, 满足

取

为方程 (2.2) 弱解定义中的检验函数, 其中

于是有

于是有

上述方程可记为

估计 $I_{0}$: 由引理 2.1, 对某常数 $\varepsilon\in(0,1)$, 有

估计 $I_{1}$: 由 (1.3)$_1$ 式, Young 不等式和 $\eta$ 的定义, 并注意到在 $B_s$ 中 $|\nabla \eta|=0$, 且 $\displaystyle\frac{\left(q-1\right)p}{p-1}>q$, 于是有

估计 $I_{2}$: 由 (1.8) 式和定义 1.1,

由 Young 不等式, 可得

估计 $I_{3}$: 由 (1.8) 式, Young 不等式和 $\eta$ 的定义,

估计 $I_{4}$: 由 Young 不等式,

估计 $I_{5}$: 由 Young 不等式和 $\eta$ 的定义,

综合估计式 (2.4)—(2.11), 并注意到 $a(x)\geq0$, 有

令 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 足够小, 使得 $\Big(qL\varepsilon+2\delta(\varepsilon+1)+(2\delta+\|\omega(\cdot)\|_{L^{\infty}})q\varepsilon+\varepsilon\Big)<c$, 可得

于是对 (2.13) 式取积分平均, 并由 John-Nerenberg 不等式, 可得

下面估计上述不等式右侧的第一个积分. 注意到 $0\leq a(x)\in C^{0,\alpha}({\mathbb{R}^n})$ 和 $\alpha\in(0,1]$, 则有

和 $|a(x_{1})-a(x_{2})|\leq 4[a]_{0,\alpha}t^{\alpha}$ 在 $B_t\backslash {B_s}$ 上成立, $ \mathop {\textrm{osc}}\limits_{ x\in B_t\backslash B_s} a(x) \leq 4[a]_{0,\alpha}t^{\alpha}$. 考虑下面两种情况.

(1) $\mathop {\inf }\limits_{x \in {{B_t}\backslash {B_s}}} a(x)>4[a]_{0,\alpha}t^{\alpha}$ (这种情况属于 $(p-q)$ 相位). 由于

有

于是由 Poincaré 不等式,

(2) $\mathop {\inf }\limits_{x \in {{B_t}\backslash {B_s}}}a(x) \leq 4[a]_{0,\alpha}t^{\alpha}$ (这种情况属于 $p$ 相位). 考虑到

于是由 Poincaré 不等式, 并注意到 $\displaystyle\alpha-n(\frac{q}{p}-1)>0$, $q>p$, $|\nabla u|^p+a(x)|\nabla u|^q \in L^1(\mathbb{R}^n)$, 有

结合估计式 (2.14)—(2.16), 可得

在上述不等式两端加 $\displaystyle \mathop C -\!\!\!\!\!\!\int_{B_s}{\Big(|{\nabla u}|^{p}+a(x)\left|{\nabla u}\right|^{q}\Big){\rm{d}}x}$, 然后除以 $C+1$, 可得

于是由迭代引理 2.2 可得引理 2.3.

令 $v,w\in W^{1,H}(B_{2R})$ 分别为下述两个边值问题

的弱解. 取检验函数 $\varphi = w-u\in W_0^{1,H}({B_{2R}})$, 于是由引理 2.1, (1.3) 式和 Young 不等式, 可得

其中常数 $C$ 仅依赖于 $n, p, q, \mu, L$.

为完成证明, 需要下述引理.

引理 3.1 若 $u\in W^{1,H}(\mathbb{R}^n)$ 为 (1.2) 式的弱解, $v\in W^{1,H}(B_{2R})$ 为边值问题 (3.1) 的弱解, ${|{\bf{F}}|}^{p-2}{\bf{F}}+a(x){|{\bf{F}}|}^{q-2}{\bf{F}}\in BMO(\mathbb{R}^n)$, 于是有

其中 $C$ 仅依赖于 $n, p, q, \mu, L, K, \|\omega(\cdot)\|_{L^\infty}, \|a(x)\|_{C^{0,\alpha}}$.

证 令 $v=u$ 在 $\mathbb{R}^n\backslash B_{2R}$ 中, 于是可以延拓 $v$ 到整个 $\mathbb{R}^n$. 由于 $u$ 为 (1.2) 式的弱解, 那么 $u$ 也是 (2.2) 式的弱解. 对 (2.2) 和 (3.1) 式中分别取检验函数为 $v-u\in W^{1,H}_0(B_{2R})$, 有

由引理 2.1, 对任何常数 $\varepsilon>0$,

另一方面, 由定义 1.1, (1.5), (1.8) 式和 Young 不等式, 可得

于是, 结合估计式 (3.5)—(3.7), 并注意到 $a(x)\geq0$,

令 $\varepsilon_{i}(i=1,2)$ 和 $\varepsilon$ 足够小, 并对上述不等式取积分平均, 于是由引理 2.3 可得

引理 3.1 证毕.

引理 3.2 若 $v,w\in W^{1,H}(B_{2R})$ 分别为边值问题 (3.1) 和 (3.2) 的弱解, 则有

其中常数 $C$ 仅依赖于 $n, p, q, \mu, L,K,\|\omega(x)\|_{L^\infty},\|a(x)\|_{C^{0,\alpha}},\|\nabla u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}$.

证 由边值问题 (3.1) 和 (3.2) 可得

取检验函数 $v-w\in W_{0}^{1,H}(B_{2R})$, 有

由引理 2.1, 对任何常数 $\varepsilon>0$,

由 Young 不等式,

结合估计式 (3.12)—(3.14) 并注意到 $a(x)\geq0$, 可得

其中最后一个积分中使用了 (3.3) 式. 令 $\varepsilon_{1}$ 足够小, 并对上述不等式取积分平均, 由引理 2.3 和 John-Nirenberg 不等式, 可得 (3.10) 式.

下述文献[31] 中的引理在内插讨论中起重要作用.

引理 3.3 假设 (1.4) 和 (1.3) 式成立, 考虑函数 $w_0\in W^{1,1}(\mathcal{B})$, 其中 $\mathcal{B}\subset\Omega$ 为开子集, 满足 $H(x, Dw_0) \in L^1(\mathcal{B})$. 球 $\widetilde{B}\subset\subset \mathcal{B}$. 于是, Dirichlet 问题

存在唯一一个分布解 $w\in w_0+W^{1,p}_0(\widetilde{B})$, 满足 $H(x, Dw)\in L^1(B)$. 而且, 对每个 $\beta<\alpha$ 有局部正则性结论

和能量估计

\begin{equation*} \int_{\widetilde{B}} H(x,Dw){\rm{d}}x \leq c \int_{\widetilde{B}} H(x,Dw_0){\rm{d}}x \end{equation*}

成立, 这里常数 $c \equiv c(n, p, q, \mu, L)$. 特别地, 有

下面考虑点 $x_0\in\overline{B_R}$, 满足

令 $h\in W^{1,q}(B_{R})$ 为边值问题

的弱解. 由引理 3.3 中的 (3.16) 式, 可知 (3.2) 式的弱解 $w$ 属于 $W^{1,q}(B_{R})$. 于是可取检验函数 $\varphi = h-w\in W_0^{1,q}(B_{R})$, 得到下述结论

其中常数 $C$ 仅依赖于 $n, p, q, \mu, L$. 于是有

引理 3.4 若 $h\in W^{1,q}(B_R)$ 是 (3.18) 式的弱解, 则存在常数 $\sigma\in (0,1)$, 对任意 $0<r\leq R$, 满足

其中常数 $C$ 仅依赖于 $n, p, q, \mu, L$.

证 由于 $a_{0}$ 如 (3.17) 式所定义, 根据文献[32,33], 若 $g\in C^{1}$ 满足 $0<\delta\leq\frac{g'(t)t}{g(t)}\leq g_{0}$, 则

其中常数与 $\delta, g_{0}$ 和 $a_{0}$ 无关. 令 $G\left(t\right)=t^{p}+a_{0}t^{q}$, $g\left(t\right)={p}t^{p-1}+a_{0}{q}t^{q-1}$, 由文献 [33,引理 5.1], 并结合 $G(t)$ 的定义, 可知

引理 3.4 证毕.

我们需要下述极大函数的定义, 见文献[17].

定义 3.1 设 $p\geq 1$, 对给定的 $u(x) \in L_{{\rm loc}}^p(\mathbb{R}^n)$, 极大函数 $M_p^\# \left( {u,x} \right)$ 定义为

引理 3.5 (文献[15,17,26]) 对给定的 $u(x) \in L^p(\mathbb{R}^n)\left(p>1\right)$, 存在两个仅依赖于 $n$ 和 $1 \le p < \infty $ 的正常数 ${C_1}$ 和 ${C_2}$, 使得

定理 1.1 的证明 对任意 $\kappa\in \mathbb{R}^n$ 和常数 $r$, 由三角不等式, 有

取待定常数 $\rho\in(0,1)$, 由 (4.1) 式和引理 3.4 可得

于是由引理 3.1, 引理 3.2, (3.20), (3.3) 式和引理 2.3, 以及

可得

令 $\rho$ 足够小, 满足 $C {\rho ^{\sigma }}= \theta < 1 $. 由迭代引理 2.2 和极大函数的定义, 可得

最后, 使用引理 3.5 可得

定理 1.1 证毕.