数学物理学报, 2026, 46(5): 1785-1799

关于资本诱导劳动迁移的趋化型索洛-斯旺经济增长模型的一些进展

刘令,1, 郑甲山,2,*

1 吉林建筑大学基础科学部 长春 130118

2 烟台大学数学与信息科学学院 山东烟台 264005

Some Progress on the Chemotaxis-Type Solow-Swan Model for Economic Growth with Capital-Induced Labor Migration

Liu Ling,1, Zheng Jiashan,2,*

1 Department of Basic Science, Jilin Jianzhu University, Changchun 130118

2 School of Mathematics and Information Sciences, Yantai University, Shandong Yantai 264005

通讯作者: * 郑甲山, E-mail:zhengjiashan2008@163.com

收稿日期: 2024-10-21   修回日期: 2025-08-27  

基金资助: 国家自然科学基金(11601215)
山东省自然科学基金(ZR2022JQ06)
山东省自然科学基金(ZR2025MS14)

Received: 2024-10-21   Revised: 2025-08-27  

Fund supported: NSFC(11601215)
Shandong Provincial Natural Science Foundation(ZR2022JQ06)
Shandong Provincial Natural Science Foundation(ZR2025MS14)

作者简介 About authors

刘令,E-mail:liuling2004@sohu.com

摘要

该文研究了在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ ($N \geq 1$) 中, 在齐次 Neumann 边界条件下, 如下形式的空间 Solow 系统

$ \begin{cases} u_{t} = \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v) + \mu u (1 - u^{\sigma}), & x \in \Omega, \, t > 0, \\ v_{t} = \Delta v - v + k u^{1 - \alpha} v^{\alpha}, & x \in \Omega, \, t > 0, \end{cases} $

其中 $\chi > 0$, $\mu > 0$, $k > 0$, $\alpha \in (0,1)$ 且 $\sigma > 0$. 首先证明当 $N \leq 2$ 时, 对于所有适当正则的初始数据, 对应的 Neumann 初边值问题存在全局有界的经典解 $(u, v)$, 且 $(u, v)|_{t=0} = (u_0, v_0)$. 其次, 当 $N \geq 3$ 时, 在附加假设 $\mu > 0$ 且

$ \max\left\{\sigma, \frac{2}{N}\right\} > \frac{(1 - \alpha)N}{N - \alpha(N - 2)} $

成立的情况下, 上述问题也存在唯一的全局有界经典解.

关键词： 索洛-斯旺模型; 趋化性系统; 全局存在性; 有界性

Abstract

In this paper, we consider the spatial Solow system

$ \begin{cases} u_t = \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v) + \mu u(1 - u^\sigma), & x \in \Omega, \; t > 0, \\ v_t = \Delta v - v + k u^{1-\alpha} v^\alpha, & x \in \Omega, \; t > 0 \end{cases} $

under homogeneous Neumann boundary conditions in a bounded domain $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ with $N \geq 1$, where $\chi > 0$, $\mu > 0$, $k > 0$, $\alpha \in (0, 1)$, and $\sigma > 0$. We first establish that for $N \leq 2$, the corresponding Neumann initial-boundary value problem admits a global bounded classical solution $(u, v)$ with initial data $(u, v)|_{t=0} = (u_0, v_0)$ for all sufficiently regular initial data. Furthermore, for $N \geq 3$, under the additional hypotheses that

$ \mu > 0 \quad \text{and} \quad \max\left\{\sigma, \frac{2}{N}\right\} > \frac{(1 - \alpha)N}{N - \alpha(N - 2)}, $

we demonstrate that the aforementioned problem also possesses a unique global bounded classical solution.

Keywords： Spatial Solow-Swan model; Chemotaxis system; Global existence; Boundedness

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本文引用格式

刘令, 郑甲山. 关于资本诱导劳动迁移的趋化型索洛-斯旺经济增长模型的一些进展[J]. 数学物理学报, 2026, 46(5): 1785-1799

Liu Ling, Zheng Jiashan. Some Progress on the Chemotaxis-Type Solow-Swan Model for Economic Growth with Capital-Induced Labor Migration[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(5): 1785-1799

1 介绍

我们考虑如下抛物型初边值问题的经典解

$ \begin{cases} u_{t} = \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v) + \mu u (1 - u^{\sigma}), & x \in \Omega, \, t > 0, \\ v_{t} = \Delta v - v + k u^{1 - \alpha} v^{\alpha}, & x \in \Omega, \, t > 0, \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} = \frac{\partial v}{\partial \nu} = 0, & x \in \partial \Omega, \, t > 0, \\ u(x, 0) = u_0(x), \quad v(x, 0) = v_0(x), & x \in \Omega, \end{cases} $

其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ ($N \geq 1$) 为有界区域, 初始数据 $u_0$ 和 $v_0$ 非负, 且满足

$ u_0 \in C^{0}(\bar{\Omega}), \quad v_0 \in W^{1,\infty}(\bar{\Omega}), \quad u_0, v_0 \geq 0 \text{ 在 } \bar{\Omega} \text{ 上}. $

该系统最初由文献[7] 提出, 是空间 Solow-Swan 经济增长模型的重要进展. 通过耦合反应-扩散方程, 它建立了一个双因素空间动力学框架, 整合了劳动迁移和资本流动: 第一个方程 $u_{t} = \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v) + \mu u (1 - u^{\sigma})$ 精确刻画-了劳动分布密度 $u(x,t)$ 的时空演化; 第二个方程 $v_{t} = \Delta v - v + k u^{1 - \alpha} v^{\alpha}$ 全面阐述了资本集聚密度 $v(x,t)$ 的扩散机制和正反馈效应. 空间 Solow 模型在经济界被广泛认可, 常用于剖析经济增长的根本来源和机制, 并评估其政策含义. 由于其简洁性和实用性, 该模型获得了广泛认可, 并在许多国家的经济政策框架中发挥了关键作用. 其中, 符号 $\chi > 0$ 表示资本诱导的劳动迁移系数; 表达式 $\mu u (1 - u^{\sigma})$ 表示劳动力的内在增长率, 其中 $\mu \geq 0$ 表示每个区域经济中的最大劳动容量, $\sigma > 0$; 项 $k u^{1 - \alpha} v^{\alpha}$ 是 Cobb-Douglas 生产函数, 其中 $k > 0$ 是常数全要素生产率, $\alpha \in (0,1)$ 是资本的产出弹性[7].

在正式提出结论之前, 我们先对问题的背景进行必要的说明.

$\textbf{Keller-Segel 模型}$. 趋化性是生物体朝向某种称为化学吸引物的物质梯度移动的现象. 1970 年, Keller 和 Segel 提出了描述这种现象的数学模型. 例如, 在考虑化学吸引物消耗的最简单趋化系统中, 系统为

$ \begin{cases} u_{t} = \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v), & x \in \Omega, \, t > 0, \\ v_{t} = \Delta v - v + u, & x \in \Omega, \, t > 0, \end{cases} $

其中化学物质不仅被消耗, 还由细胞产生. 许多作者研究了系统 (1.3) 的性质, 最重要的结果涉及在某些适当假设下的解的存在性、有界性、爆破性和长时间行为. 众所周知, 细胞聚集的形成会导致空间维数 $N \geq 2$ 时细胞密度在有限时间内爆破见文献[1–3,10,18]. 实际上, 关于二维及高维区域中爆炸解存在的已知结果清楚地说明了由于引入交叉扩散项 $-\chi \nabla \cdot (u \nabla v)$ 而对原-线性系统 (1.3) 产生的强烈失稳效应[11]. 参考文献 [4,16,21,23]表明, 逻辑-源项可以阻止细胞密度的无限增长.

$\textbf{空间 Solow 模型}$. 在文献[7] 中, 作者根据逻辑-律 $\mu u (1 - u)$ 和 Cobb-Douglas 生产函数 $k u^{1 - \alpha} v^{\alpha}$ 研究了劳动力的自然增长率, Juchem Neto 和 Claeyssen 在其工作中引入并探讨了带逻辑-源的完全抛物型空间 Solow 模型. 当该系统定义在具有光滑边界的有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ ($N \geq 1$) 上时, 表示为

$ \begin{cases} u_{t} = \Delta u - \chi \nabla \cdot (u \nabla v) + \mu u (1 - u), & x \in \Omega, \, t > 0, \\ v_{t} = \Delta v - v + k u^{1 - \alpha} v^{\alpha}, & x \in \Omega, \, t > 0. \end{cases} $

Li-Li[5] 证明了若 $\mu > 0$ 或 $1 - \alpha < \frac{2}{N}$ ($N \geq 1$) 且 $\Omega$ 为光滑有界凸区域, 则系统 (1.4) 存在唯一的全局一致有界经典解. 我们观察到模型 (1.4) 与数学生物学文献中记录的趋化模型之间的相似性. 因此, 基于对趋化模型的研究, 我们参考文献 [7–9]了解一般背景知识, 并参考文献[5]了解空间 Solow 模型的研究. 在最近的观察中, 我们发现了 (1.4) 式的一个新变体, 其特征是将第一个方程替换为 $u_{t} = \Delta (\phi(v) u) + \mu u (1 - u^{\sigma})$, 其中 $\sigma > 0$, $\phi \in C^{3}([0,\infty))$, 且对所有 $s \geq 0$ 有 $\phi(s) > 0$. 为全面理解这一新形式, 我们强烈推荐参考文献[6], 它为我们的研究提供了宝贵的灵感来源.

$\textbf{主要结果}$.

受这些研究的启发, 本文致力于将经典 Solow 模型扩展至空间维度. 我们严格建立了以下核心结果

定理 1.1 设 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ ($N \geq 1$) 为具有光滑边界的光滑有界区域. 假设 $\alpha \in (0,1)$, $\sigma > 0$ 且 $\mu > 0$. 若 $N \in \{1, 2\}$, 则系统 (1.1) 存在经典解 $(u, v)$, 该解在 $\Omega \times (0, \infty)$ 上全局有界. 此外, 若 $N \geq 3$ 且以下条件成立

$ \max\left\{\sigma, \frac{2}{N}\right\} > \frac{(1 - \alpha)N}{N - \alpha(N - 2)}, $

则问题 (1.1) 也存在全局有界经典解 $(u, v)$, 即存在正常数 $C$ 使得

$ \|u(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)} + \|v(\cdot, t)\|_{W^{1,\infty}(\Omega)} \leq C \quad \text{对所有 } t \in (0, \infty) \text{ 成立}. $

2 论文计划

定理 1.1 的证明策略如下: 我们从构造局部近似解和系统 (1.1) 的一系列先验估计开始 (见第 2 节). 值得注意是, 在获取 $u$ 的 $L^{p}$ 估计过程中, 主要困难在于处理第一个方程中的趋势项 $-\chi \nabla \cdot (u \nabla v)$. 为此, 我们采用了两种方法: 利用自扩散项 $\Delta u$ 和利用逻辑-源项 $\mu u (1 - u^{\sigma})$. 更理想的结果是, 当 $N \leq 2$ 时, 我们可以通过使用 $\Delta u$ 处理趋势项 $-\chi \nabla \cdot (u \nabla v)$ 而在不提任何条件的情况下获得 $u$ 的 $L^{p}$ 估计 (见引理 8). 此外, 当 $N \geq 3$ 时, 通过利用这两种估计方法并提出一些适当条件, 我们也能获得 $u$ 的 $L^{p}$ 估计 (见引理 9). 随后, 合适的自举论证将提供更高的正则性质, 从而从定理 1.1 得出全局存在性和有界性结果 (见第 3.3 节).

3 预备知识

我们首先系统性地回顾几个基本引理, 这些引理构成了后续定量分析的核心理论框架.

引理 3.1 (文献 [12,引理 3.10] 设 $a \in (0,1)$, 且 $M > 0$, $C_1 > 0$, $C_2 > 0$ 为满足

$ M \leq C_1 + C_2 M^{a} $

的常数. 则

$ M \leq \max\left\{2C_1, (2C_2)^{\frac{1}{1 - a}}\right\}. $

引理 3.2 (文献 [22,引理 2.2]) 设 $\gamma \in (1, \infty)$, $g \in L^{\gamma}((0,T); L^{\gamma}(\Omega))$, 且 $v$ 是以下初边值问题的解

$ \begin{cases} v_{t} - \Delta v + v = g, \\ \frac{\partial v}{\partial \nu} = 0, \\ v(x, 0) = v_0(x). \end{cases} $

则存在正常数 $C_{\gamma}$, 使得若 $s_0 \in [0, T)$, $v(\cdot, s_0) \in W^{2,\gamma}(\Omega)$ 且 $\frac{\partial v(\cdot, s_0)}{\partial \nu} = 0$, 则

$\begin{align*} & \int_{s_0}^{t} e^{\gamma s} \|\Delta v(\cdot, s)\|_{L^{\gamma}(\Omega)}^{\gamma} \,{\rm d}s\\ & \leq C_{\gamma} \left( \int_{s_0}^{t} e^{\gamma s} \|g(\cdot, s)\|_{L^{\gamma}(\Omega)}^{\gamma} \,{\rm d}s + e^{\gamma s_0} \left( \|v_0(\cdot, s_0)\|_{L^{\gamma}(\Omega)}^{\gamma} + \|\Delta v_0(\cdot, s_0)\|_{L^{\gamma}(\Omega)}^{\gamma} \right) \right). \end{align*}$

3.1 局部解的存在性

根据已知的论证, 可以得出关于系统 (1.1) 解的局部可解性和可延拓性的以下基本陈述. 完整证明依赖于精细的分析技术, 详细推导见文献 [17,引理 1.1](处理先验估计)、文献 [15,定理 3.1] (建立延拓准则) 和文献 [11,引理 2.1] (分析正则性质). 补充论证亦可见于文献 [22,引理 2.3] 的比较-原理. 这些结果共同为后续的全局解分析奠定了基础.

引理 3.3 设 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ ($N \geq 1$) 为光滑有界区域. 假设 $\mu \geq 0$, $\alpha \in (0,1)$, $\sigma > 0$, $u_0$ 和 $v_0$ 满足 (1.2) 式. 则存在最大 $T_{\text{max}} \in (0, \infty]$ 和函数对 $(u, v)$:

$ \begin{aligned} & u \in C^{0}(\bar{\Omega} \times [0, T_{\text{max}})) \cap C^{2,1}(\bar{\Omega} \times (0, T_{\text{max}})), \\ & v \in \bigcap_{q > N} C^{0}([0, T_{\text{max}}); W^{1,q}(\Omega)) \cap C^{2,1}(\bar{\Omega} \times (0, T_{\text{max}})), \end{aligned} $

满足 $u \geq 0$ 和 $v \geq 0$ 在 $\bar{\Omega} \times (0, T_{\text{max}})$ 上, 使得 $(u, v)$ 在 $\bar{\Omega} \times (0, T_{\text{max}})$ 上经典地求解系统 (1.1), 且要么 $T_{\text{max}} = \infty$, 要么若 $T_{\text{max}} < +\infty$, 则

$ \|u(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)} + \|v(\cdot, t)\|_{W^{1,q}(\Omega)} \to \infty \quad \text{当 } t \nearrow T_{\text{max}}. $

此外, 基于文献[22] 建立的理论框架 (结合近期工作[14,20,24] 的额外见解), 我们推导出以下关于方程局部解存在的引理. 该结果严格遵循-经典存在性理论范式, 其证明采用成熟技术: 通过构造适当的迭代序列并应用压缩映射原理及先验能量估计, 我们在局部时间区间内建立了解的存在唯一性. 此类方法在当代非线性偏微分方程理论中被视为标准 (技术细节见所引参考文献).

引理 3.4 [文献 [22,引理 4.2] 设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{N}$ ($N \geq 1$) 的有界区域. 此外, 假设 $T_{\text{max}} \in (0, \infty)$, 取任意 $s_0 \in (0, T_{\text{max}})$ 且 $s_0 \leq 1$, 则对任意 $p > 1$, 存在 $C > 0$ 使得

$ \|u(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)} + \|\Delta v(\cdot, t)\|_{L^{p}(\Omega)} \leq C \quad \text{对所有 } t \in (0, s_0) \text{ 成立}. $

4 定理 1.1 的证明

我们致力于证明系统 (1.1) 经典解的存在性. 由于第一个方程中存在 $\sigma$ 次幂衰减项, 因此基本的有界性信息至关重要. 通过直接检查初始条件和非线性项的结构性质, 以下基本性质是直接的

引理 4.1 设 $\mu > 0$. 在引理 3.3 的假设下, 我们推导出存在正常数 $C$, 使得系统 (1.1) 的解满足

$ \int_{\Omega} u(\cdot, t) \, {\rm d}x \leq C \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, $

且

$ \int_{\Omega} v(\cdot, t) \, {\rm d}x \leq C \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

此外, 设 $\lambda > 0$ 表示 Neumann 边界条件下 $\Omega$ 中 $-\Delta$ 的第一个非零特征值. 对所有 $t \in (0, T_{\text{max}})$, 有

$ \int_{0}^{t} e^{-\lambda(t - s)} \int_{\Omega} u^{\sigma + 1}(\cdot, s) \, {\rm d}x \, {\rm d}s \leq C. $

证 对系统 (1.1) 的第一个方程积分, 我们得到

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u = \mu \int_{\Omega} u - \mu \int_{\Omega} u^{\sigma + 1} \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

因此, 对 (4.4) 式应用 Young 不等式, 我们推导出存在正常数 $C_1$ 使得

$ - \mu \int_{\Omega} u^{\sigma + 1} \leq -2\mu \int_{\Omega} u + C_1 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

将 (4.5) 式代入 (4.4) 式, 我们有

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u + \mu \int_{\Omega} u \leq C_1 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

通过 ODE 比较论证, 存在正常数 $C_2$ 使得

$ \int_{\Omega} u \leq C_2 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

对系统 (1.1) 的第二个方程在 $\Omega$ 上积分, 然后利用 (4.7) 式和 Young 不等式, 我们得到

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} v \\ = &- \int_{\Omega} v + k \int_{\Omega} u^{1 - \alpha} v^{\alpha} \\ \leq& - \int_{\Omega} v + C_3 \int_{\Omega} v^{\alpha} \leq - \int_{\Omega} v + \frac{1}{2} \int_{\Omega} v + C_4 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

由于 $\alpha \in (0,1)$, 其中 $C_3$ 和 $C_4$ 为正常数. 显然, 我们可以找到 $C_5 > 0$ 满足

$ \int_{\Omega} v \leq C_5 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

对每个 $t \in (0, T_{\text{max}})$, 我们在 $(0, t)$ 上积分 (4.4) 式并回顾 (4.7) 式, 推断存在 $C_6 > 0$ 使得

$\begin{align*} &\mu \int_{0}^{t} e^{-\lambda(t - s)} \int_{\Omega} u^{\sigma + 1}(\cdot, s) \,{\rm d}x \, {\rm d}s\\ = &\mu \int_{0}^{t} e^{-\lambda(t - s)} \int_{\Omega} u(\cdot, s) \,{\rm d}x \, {\rm d}s - \int_{0}^{t} e^{-\lambda(t - s)} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u(\cdot, s) \,{\rm d}s\\ \leq &(\mu + 1) \int_{0}^{t} e^{-\lambda(t - s)} \int_{\Omega} u(\cdot, s) \,{\rm d}x \, {\rm d}s + \left[ e^{-\lambda(t - s)} \int_{\Omega} u(\cdot, s) \, {\rm d}x \right]_{s = 0}^{s = t}\\ \leq& C_6. \end{align*} $

引理 4.1 证毕.

基于已建立的 $u$ 和 $v$ 的先验估计, 可以有效改进参数 $v$ 的光滑性.

引理 4.2 假设 $N \geq 1$. 存在 $\beta \in [1, \frac{N}{(N - 2)_{+}})$ 和 $C > 0$ 使得

$ \|v(\cdot, t)\|_{L^{\beta}(\Omega)} \leq C \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

证 定义

$ f(\cdot, t) := k u^{1 - \alpha}(\cdot, t) v^{\alpha}(\cdot, t) \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

由 Young 不等式, 我们推导

$ \|f\|_{L^{1}(\Omega)} = \int_{\Omega} k u^{1 - \alpha} v^{\alpha} \,{\rm d}x \leq \int_{\Omega} u \, {\rm d}x + C_1 \int_{\Omega} v \, {\rm d}x \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, $

其中 $C_1 > 0$. 由于 (4.1) 和 (4.2) 式, 易知 $f$ 在 $L^{\infty}((0, T_{\text{max}}); L^{1}(\Omega))$ 中有界. 首先固定 $\eta \in [1, \frac{N}{(N - 1)_{+}})$ 满足 $-\frac{1}{2} - \frac{N}{2}(1 - \frac{1}{\eta}) > -1$. 实际上, 利用 $v$ 的常数变易公式, 我们有

$ v(\cdot, t) = e^{(\Delta - 1)t} v_0 + \int_{0}^{t} e^{(\Delta - 1)(t - s)} f(s) \,{\rm d}s \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

接下来, 我们断言存在 $C_2 > 0$ 和 $C_3 > 0$ 使得

$\begin{align*} &\|\nabla v(\cdot, t)\|_{L^{\eta}(\Omega)}\\ \leq &\| e^{(\Delta - 1)t} v_0 \|_{L^{\eta}(\Omega)} + \int_{0}^{t} \| e^{(\Delta - 1)(t - s)} f(s) \|_{L^{\eta}(\Omega)} \,{\rm d}s \\ \leq & C_2 + C_3 \int_{0}^{t} \left(1 + (t - s)^{-\frac{1}{2} - \frac{N}{2}(1 - \frac{1}{\eta})} \right) e^{-\lambda(t - s)} \|f(s)\|_{L^{1}(\Omega)} \,{\rm d}s \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

由于 $\int_{0}^{\infty} \left(1 + \varrho^{-\frac{1}{2} - \frac{N}{2}(1 - \frac{1}{\eta})} \right) e^{-\lambda \varrho} \, {\rm d}\varrho < \infty$, 因 $-\frac{1}{2} - \frac{N}{2}(1 - \frac{1}{\eta}) > -1$ 而有限, 因此我们得到

$ \|\nabla v(\cdot, t)\|_{L^{\eta}(\Omega)} \leq C_4 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, $

其中 $C_4$ 为正常数. 然后, 利用嵌入 $W^{1,\eta}(\Omega) \hookrightarrow L^{\beta}(\Omega)$ 对所有 $\beta \in [1, \frac{N}{(N - 2)_{+}})$ 的连续性, 我们可以选取正常数 $C_5$ 使得

$ \|v(\cdot, t)\|_{L^{q}(\Omega)} \leq C_5 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

证明完成.

作为先验估计的基本步骤, 我们通过将标准测试程序应用于系统 (1.1) 的第一个方程来建立主要不等式.

引理 4.3 设 $N \geq 1$, $\mu > 0$ 且 $p > 1$. 存在 $K > 0$ 使得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u^{p} + K \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \leq \chi (p - 1) \int_{\Omega} u^{p} |\Delta v| - \mu p \int_{\Omega} u^{p + \sigma} + \mu p \int_{\Omega} u^{p} \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

证 我们首先将系统 (1.1) 的第一个方程乘以 $u^{p - 1}$ 并分部积分, 得到

$\begin{align*} & \frac{1}{p} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u^{p} + (p - 1) \int_{\Omega} u^{p - 2} |\nabla u|^{2}\\ & \leq \frac{\chi (p - 1)}{p} \int_{\Omega} u^{p} |\Delta v| - \mu \int_{\Omega} u^{p + \sigma} + \mu \int_{\Omega} u^{p} \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

为处理 (4.18) 式的右边, 我们使用 Gagliardo-Nirenberg 不等式和引理 4.1 选取某些常数 $C_1 > 0$ 和 $C_2 > 0$ 使得

$\begin{align*} &\|u\|_{L^{p + \frac{2}{N}}(\Omega)}^{p + \frac{2}{N}}\\ = &\| u^{\frac{p}{2}} \|_{L^{\frac{2pN + 4}{pN}}(\Omega)}^{\frac{2pN + 4}{pN}}\\ \leq& C_1 \| \nabla u^{\frac{p}{2}} \|_{L^{2}(\Omega)}^{2} \| u^{\frac{p}{2}} \|_{L^{\frac{4}{p}}(\Omega)}^{\frac{4}{pN}} + C_1 \| u^{\frac{p}{2}} \|_{L^{\frac{4}{p}}(\Omega)}^{\frac{2pN + 4}{pN}}\\ \leq& C_2 \left( \| \nabla u^{\frac{p}{2}} \|_{L^{2}(\Omega)}^{2} + 1 \right) = C_2 \left( \frac{p^{2}}{4} \int_{\Omega} u^{p - 2} |\nabla u|^{2} + 1 \right) \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

这意味着

$ \int_{\Omega} u^{p - 2} |\nabla u|^{2} \geq \frac{4}{p^{2}} \left( \frac{1}{C_2} \| u \|_{L^{p + \frac{2}{N}}(\Omega)}^{p + \frac{2}{N}} - 1 \right) \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

因此, 可以找到 $C_3 > 0$ 满足

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u^{p} + \frac{4(p - 1)}{p C_2} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \\ \leq& \chi (p - 1) \int_{\Omega} u^{p} |\Delta v| - \mu p \int_{\Omega} u^{p + \sigma} + \mu p \int_{\Omega} u^{p} \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, \end{align*}$

从而精确得到 (4.17) 式.

现在我们处理经典解的全局有界性以证明定理 1.1. 为此, 下文我们将使用引理 4.1 和 4.2 中建立的微分不等式推导 $\|u(\cdot, t)\|_{L^{p}(\Omega)}$ 对任意 $p > 1$ 的一致时间界. 有了这个界, 自举论证将隐含 $\|u(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}$ 的一致时间界, 这在证明主要结果中起关键作用.

4.1 $u$ 的 $L^{p}$ 正则性

为建立 $u$ 的一致 $L^{p}$ 界 ($1 < p \leq \infty$), 需要基于空间维数 $N$ 进行情况区分.

4.1.1 情况 $N \in \{1, 2\}$ (低维空间)

我们现在首先关注一维和二维情况. 在此情况下, 无需考虑 (4.17) 式右边的第二项, 因此利用此估计意味着适当使用 (4.17) 式右边的第二项. 这是建立以下陈述的核心技术目标.

引理 4.4 设 $N \in \{1, 2\}$ 且 $\mu > 0$. 则对任意 $p > 1$, 存在正常数 $C$ 使得

$ \int_{\Omega} u^{p}(\cdot, t) \,{\rm d}x \leq C \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

证 首先, 由引理 4.2, 对所有 $1 \leq \epsilon < \infty$ 且 $N \in \{1, 2\}$, 有

$ \|v(\cdot, t)\|_{L^{\epsilon}(\Omega)} \leq C_1 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, $

其中 $C_1 > 0$. 然后由引理 4.3 和 Young 不等式, 对某些正常数 $C_2$、$C_3$ 和 $C_4$, 我们有

$ \chi (p - 1) \int_{\Omega} u^{p} |\Delta v| \,{\rm d}x \leq \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_2 \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x, $
且$ \mu p \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \leq \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_3, $

以及

$ \frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \leq \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_4 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

总之, 我们得到

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u^{p} + \frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} \int_{\Omega} u^{p}\\ \leq& - \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} + C_2 \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x + C_3 + C_4 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

从 (4.27) 式我们推断

$ y(t) := \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x, \quad H(t) := - \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_2 \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x + C_3 + C_4 $

满足

$ y'(t) + \frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} y(t) \leq H(t) \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

积分得

$\begin{align*} &\int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \\ \leq &e^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} (s_0 - t)} \int_{\Omega} u^{p}(\cdot, s_0) \,{\rm d}x \\ &+ \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} (s - t)} \left( - \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_2 \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x + C_3 + C_4 \right) {\rm d}s \end{align*}$

对所有 $t \in (s_0, T_{\text{max}})$ 成立, 其中 $s_0$ 如引理 3.4 所述. 根据引理 3.2, 我们有

$\begin{align*} & \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}(s-t)} C_2 \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}s \\ &\leq C_5 \Bigg( \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} s} \| k u^{1-\alpha} v^{\alpha} \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}s\\ & + e^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} s_0} \Bigg( \| v_0(\cdot, s_0) \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} + \| \Delta v_0(\cdot, s_0) \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \Bigg) \Bigg) \\ &\leq C_5 \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} s} \| k u^{1-\alpha} v^{\alpha} \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}s + C_6 \quad \text{对所有 } t \in (s_0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, \end{align*}$

其中 $C_5 > 0$ 和 $C_6 > 0$. 实际上, 对所有 $N \in \{1, 2\}$ 满足

$ \frac{(1 - \alpha)(p + \frac{2}{N})}{\frac{2}{N}} < p + \frac{2}{N}, $

我们可以应用 Young 不等式和 (4.23) 式推导存在某些 $C_7 > 0$ 和 $C_8 > 0$ 使得

$\begin{align*} & \left\| k u^{1-\alpha} v^{\alpha} \right\|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \\ &= k^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \int_{\Omega} u^{\frac{(1-\alpha)(p+\frac{2}{N})}{\frac{2}{N}}} v^{\frac{\alpha(p+\frac{2}{N})}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x \quad \text{(4.30)} \\ &\leq \frac{K}{8C_5} \int_{\Omega} u^{p+\frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_7 \int_{\Omega} v^{\frac{\alpha(p+\frac{2}{N})}{\frac{2}{N}+\alpha-1}} \,{\rm d}x \\ &\leq \frac{K}{8C_5} \int_{\Omega} u^{p+\frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_8 \quad \text{对所有 } t \in (0,T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*} $

因此, 结合 (4.28)-(4.30) 式, 看到

$\begin{align*} \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \leq& e^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} (s_0 - t)} \int_{\Omega} u^{p}(\cdot, s_0) \,{\rm d}x \\ &+ \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} (s - t)} \left( - \frac{K}{8} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_3 + C_4 + C_5 C_8 + C_6 \right){\rm d}s \quad \end{align*}$

对所有 $t \in (s_0, T_{\text{max}})$ 成立. 结合引理 3.4, 断言得证.

4.1.2 情况 $N \geq 3$ (高维空间)

对于空间维数 $N \geq 3$, Gagliardo-Nirenberg 不等式和最大 Sobolev 正则性 (见引理 3.2) 为正则性分析引入了本质挑战.

引理 4.5 设 $N \geq 3$ 且 $\mu > 0$. 若

$ \max\left\{\sigma, \frac{2}{N}\right\} > \frac{(1 - \alpha)N}{N - \alpha(N - 2)}, $

则对任意 $p > 1$, 存在正常数 $C$ 使得

$ \|u(\cdot, t)\|_{L^{p}(\Omega)} \leq C \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

证 首先, Young 不等式表明存在 $C_1 > 0$ 和 $C_2 > 0$ 使得

$ \chi (p - 1) \int_{\Omega} u^{p} |\Delta v| \,{\rm d}x \leq \frac{\mu p}{4} \int_{\Omega} u^{p + \sigma} \,{\rm d}x + C_1 \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} \,{\rm d}x \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, $
且$ \mu p \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \leq \frac{\mu p}{4} \int_{\Omega} u^{p + \sigma} \,{\rm d}x + C_2 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

将 (4.34) 和 (4.35) 式代入 (4.17) 式, 推断

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u^{p} \leq C_1 \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} \,{\rm d}x - \frac{\mu p}{2} \int_{\Omega} u^{p + \sigma} \,{\rm d}x + C_2 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, $

与 Young 不等式结合意味着存在 $C_3 > 0$ 使得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u^{p} + \frac{p + \sigma}{\sigma} \int_{\Omega} u^{p} \leq C_1 \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} \,{\rm d}x - \frac{\mu p}{4} \int_{\Omega} u^{p + \sigma} \,{\rm d}x + C_3 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

根据标准 ODE 比较论证, 存在正常数 $C_4 > 0$ 使得

$\begin{align*} \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x &\leq C_4 + \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \sigma}{\sigma} (s - t)} \bigg( C_1 \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} \,{\rm d}x \\ & - \frac{\mu p}{4} \int_{\Omega} u^{p + \sigma} \,{\rm d}x + C_3 \bigg){\rm d}s \quad \text{对所有 } t \in (s_0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, \end{align*}$

其中 $s_0$ 如引理 3.4 所述. 由于引理 3.2 给出 $C_5 > 0$, $C_6 > 0$ 和 $C_7 > 0$ 使得

$\begin{align*} &C_1 \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \sigma}{\sigma} (s - t)} \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} \,{\rm d}x \,{\rm d}s \\ = &C_1 \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \sigma}{\sigma} (s - t)} \| \Delta v \|_{L^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} (\Omega)}^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} \,{\rm d}s \\ \leq &C_5 \left( \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \sigma}{\sigma} (s - t)} \| k u^{1 - \alpha} v^{\alpha} \|_{L^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} (\Omega)}^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} \,{\rm d}s + e^{\frac{p + \sigma}{\sigma} s_0} \left( \| v_0(\cdot, s_0) \|_{L^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} (\Omega)}^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} + \| \Delta v_0(\cdot, s_0) \|_{L^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} (\Omega)}^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} \right) \right)\\ \leq &C_6 \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \sigma}{\sigma} (s - t)} \int_{\Omega} u^{(1 - \alpha) \frac{p + \sigma}{\sigma}} v^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{\sigma}} \,{\rm d}x \,{\rm d}s + C_7 \quad \text{对所有 } t \in (s_0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

$\textbf{情况 1}$$\sigma > \frac{(1 - \alpha)N}{N - \alpha(N - 2)}$: 由于 $\sigma > 1 - \alpha$, 我们可以调用 Young 不等式找到正常数 $C_8$ 使得

$\begin{align*} &C_6 \int_{\Omega} u^{\frac{(1 - \alpha)(p + \sigma)}{\sigma}} v^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{\sigma}} \,{\rm d}x\\ \leq &\frac{\mu p}{16} \int_{\Omega} u^{p + \sigma} \,{\rm d}x + C_8 \int_{\Omega} v^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1}} \,{\rm d}x \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

令 $\gamma \in [1, \frac{N}{N - 2})$ 充分接近 $\frac{N}{N - 2}$. 则由 Gagliardo-Nirenberg 不等式和引理 4.2, 存在 $C_9 > 0$ 和 $C_{10} > 0$ 使得

$\begin{align*} &C_8 \int_{\Omega} v^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1}} \,{\rm d}x\\ = &C_8 \| v \|_{L^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1}} (\Omega)}^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1}}\\ \leq &C_9 \| \Delta v \|_{L^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} (\Omega)}^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1} \cdot \xi} \| v \|_{L^{\gamma}(\Omega)}^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1} (1 - \xi)} + C_9 \| v \|_{L^{\gamma}(\Omega)}^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1}} \leq C_{10} \| \Delta v \|_{L^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} (\Omega)}^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1} \cdot \xi} + C_{10} \end{align*}$

对所有 $t \in (0, T_{\text{max}})$ 成立, 其中 $\xi = \frac{\frac{1}{\gamma} - \frac{\sigma + \alpha - 1}{\alpha(p + \sigma)}}{\frac{1}{\gamma} + \frac{\alpha}{N} - \frac{\sigma}{p + \sigma}} \in (0,1)$. 为估计 $C_{10} \| \Delta v \|_{L^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} (\Omega)}^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1} \cdot \xi}$, 我们回顾 $\sigma \geq \frac{(1 - \alpha)N}{N - \alpha(N - 2)}$ 和 $N \geq 3$ 的选择, 这确保

$ \frac{\alpha(p + \sigma)}{\sigma + \alpha - 1} \cdot \xi \leq \frac{p + \sigma}{\sigma}. $

对右边第一项应用 Young 不等式, 我们找到正常数 $C_{11}$ 满足

$ C_{10} \| \Delta v \|_{L^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} (\Omega)}^{\frac{\alpha(p + \sigma)}{p + \alpha - 1} \cdot \xi} \leq \frac{C_1}{2} \| \Delta v \|_{L^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} (\Omega)}^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} + C_{11} \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

使用 (4.39)-(4.42) 式, 可以找到正常数 $C_{12}$ 使得

$ C_1 \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \sigma}{\sigma} (s - t)} \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \sigma}{\sigma}} \,{\rm d}x \,{\rm d}s \leq \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \sigma}{\sigma} (s - t)} \left( \frac{\mu p}{8} \int_{\Omega} u^{p + \sigma} \,{\rm d}x + C_{12} \right){\rm d}s $

对所有 $t \in (s_0, T_{\text{max}})$ 成立. 将 (4.43) 式代入 (4.38) 式, 我们可以选取 $C_{13} > 0$ 和 $C_{14} > 0$ 使得

$ \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \leq C_{13} + \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \sigma}{\sigma} (s - t)} \left( - \frac{\mu p}{8} \int_{\Omega} u^{p + \sigma} \,{\rm d}x + C_3 \right){\rm d}s \leq C_{14} $

对所有 $t \in (s_0, T_{\text{max}})$ 成立.

$\textbf{情况 2}$$\frac{2}{N} > \frac{(1 - \alpha)N}{N - \alpha(N - 2)}$: 再次查看引理 4.3, 使用 Young 不等式, 对某些正常数 $C_{15}$、$C_{16}$ 和 $C_{17}$, 我们有

$ \chi (p - 1) \int_{\Omega} u^{p} |\Delta v| \,{\rm d}x \leq \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{15} \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x, $

且

$ \mu p \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \leq \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{16}, $

以及

$ \frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \leq \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{17} \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

总之, 得到

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} u^{p} + \frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} \int_{\Omega} u^{p}\\ \leq& - \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{15} \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x + C_{16} + C_{17} \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

从 (4.48) 式推断

$ y(t) := \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x, \quad H(t) := - \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{15} \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x + C_{16} + C_{17} $

满足

$ y'(t) + \frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} y(t) \leq H(t) \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

积分得

$\begin{align*} &\int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x\\ \leq &e^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} (s_0 - t)} \int_{\Omega} u^{p}(\cdot, s_0) \,{\rm d}x \\ &+ \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} (s - t)} \left( - \frac{K}{4} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{15} \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x + C_{16} + C_{17} \right){\rm d}s \end{align*}$

对所有 $t \in (s_0, T_{\text{max}})$ 成立. 根据引理 3.2, 有

$\begin{align*} &\int_{s_0}^{t} e^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}(s-t)} C_{15} \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}} \,{\rm d}s \\ &\leq C_{18} \left( \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}s} \| k u^{1-\alpha} v^{\alpha} \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}} \,{\rm d}s \right. \\ &\quad \left. + e^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}s_0} \left( \| v_0(\cdot, s_0) \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}} + \| \Delta v_0(\cdot, s_0) \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}} \right) \right) \\ &\leq C_{18} \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}s} \| k u^{1-\alpha} v^{\alpha} \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{K}} \,{\rm d}s + C_{19} \quad \text{对所有 } t \in (s_0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, \end{align*} $

其中 $C_{18} > 0$ 和 $C_{19} > 0$. 由于 $\frac{2}{N} > \frac{(1 - \alpha)N}{N - \alpha(N - 2)}$, 易见

$ \frac{(1 - \alpha)(p + \frac{2}{N})}{\frac{2}{N}} < p + \frac{2}{N}, $

因此我们可以使用 Young 不等式、Gagliardo-Nirenberg 不等式和引理 4.2, 我们总能找到 $l \in [1, \frac{N}{N - 2})$ 充分接近 $\frac{N}{N - 2}$ 使得

$\begin{align*} &\| k u^{1-\alpha} v^{\alpha} \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \\ &\leq \frac{K C_{15}}{16 C_{18}} \int_{\Omega} u^{p+\frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{20} \int_{\Omega} v^{\frac{\alpha(p+\frac{2}{N})}{\frac{2}{N}+\alpha-1}} \,{\rm d}x \\ &\leq \frac{K C_{15}}{16 C_{18}} \int_{\Omega} u^{p+\frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{21} \left( \| \Delta v \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{\alpha(p+\frac{2}{N})}{\frac{2}{N}+\alpha-1} \cdot \xi} \| v \|_{L^{l}(\Omega)}^{\frac{\alpha(p+\frac{2}{N})}{\frac{2}{N}+\alpha-1} \cdot (1-\xi)} + \| v \|_{L^{l}(\Omega)}^{\frac{\alpha(p+\frac{2}{N})}{\frac{2}{N}+\alpha-1}} \right) \\ &\leq \frac{K C_{15}}{16 C_{18}} \int_{\Omega} u^{p+\frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{22} \| \Delta v \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{\alpha(p+\frac{2}{N})}{\frac{2}{N}+\alpha-1} \cdot \xi} + C_{22} \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, \end{align*} $

其中 $C_{20} > 0$, $C_{21} > 0$ 和 $C_{22} > 0$, 且 $\xi = \frac{\frac{1}{l} - \frac{\frac{2}{N} + \alpha - 1}{\alpha(p + \frac{2}{N})}}{\frac{1}{l} + \frac{2}{N} - \frac{\frac{2}{N}}{p + \frac{2}{N}}} \in (0,1)$. 由于 $\frac{2}{N} > \frac{(1 - \alpha)N}{N - \alpha(N - 2)}$ 且

$ \frac{\alpha(p + \frac{2}{N})}{\frac{2}{N} + \alpha - 1} \cdot \xi < \frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}, $

所以可以再次依赖 Young 不等式看到

$\begin{align*} C_{10} \| \Delta v \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{\alpha(p+\frac{2}{N})}{\frac{2}{N}+\alpha-1} \cdot \xi} &\leq \frac{C_{15}}{2C_{18}} \| \Delta v \|_{L^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}}(\Omega)}^{\frac{p+\frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} + C_{23} \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, \end{align*} $

其中 $C_{23} > 0$, 我们可以结合 (4.50)-(4.52) 式推断

$ e^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} (s - t)} \int_{\Omega} |\Delta v|^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}}} \,{\rm d}x \leq \frac{K}{8} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{15} C_{18} C_{22} + C_{15} C_{19} $

对所有 $t \in (0, T_{\text{max}})$ 成立. 因此, 将 (4.53) 式代入 (4.49) 式, 有

$\begin{align*} &\int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x\\ \leq&e^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} (s_0 - t)} \int_{\Omega} u^{p}(\cdot, s_0) \,{\rm d}x \\ &+ \int_{s_0}^{t} e^{\frac{p + \frac{2}{N}}{\frac{2}{N}} (s - t)} \left( - \frac{K}{8} \int_{\Omega} u^{p + \frac{2}{N}} \,{\rm d}x + C_{16} + C_{17} + C_{15} C_{18} C_{22} + C_{15} C_{19} \right){\rm d}s \end{align*}$

对所有 $t \in (s_0, T_{\text{max}})$ 成立. 结合引理 3.4, 这立即导致 (4.33) 式成立.

4.2 $v$ 的 $L^{p}$ 正则性分析

基于已建立的正则性质和 $u$ 与 $v$ 的先验估计, 本节通过调和分析技术发展 $v$ 的 $L^{p}$ 范数控制.

引理 4.6 则对所有 $p > 1$, 可以找到 $C > 0$ 使得

$ \|v(\cdot, t)\|_{L^{p}(\Omega)} \leq C \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

证 我们将系统 (1.1) 的第二个方程乘以 $v^{p - 1}$, 得到

$\begin{align*} & \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} v^{p} + p(p - 1) \int_{\Omega} v^{p - 2} |\nabla v|^{2} \,{\rm d}x \\ & \leq - \int_{\Omega} v^{p} \,{\rm d}x + k \int_{\Omega} u^{1 - \alpha} v^{p + \alpha - 1} \,{\rm d}x \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

由于 $p + \alpha - 1 < p$ (因 $\alpha \in (0,1)$), Young 不等式提供 $C_1 > 0$ 使得

$ k \int_{\Omega} u^{1 - \alpha} v^{p + \alpha - 1} \,{\rm d}x \leq \frac{1}{2} \int_{\Omega} v^{p} \,{\rm d}x + C_1 \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

代入 (4.56) 式, 并由引理 4.4 和 4.5 我们知道存在 $C_2 > 0$ 使得

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} v^{p} + p(p - 1) \int_{\Omega} v^{p - 2} |\nabla v|^{2} \,{\rm d}x \\ \leq &- \frac{1}{2} \int_{\Omega} v^{p} \,{\rm d}x + C_1 \int_{\Omega} u^{p} \,{\rm d}x \\ \leq& - \frac{1}{2} \int_{\Omega} v^{p} \,{\rm d}x + C_2 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*} $

因此从 (4.58) 式我们得到 $y(t) := \int_{\Omega} v^{p}(\cdot, t) \,{\rm d}x$, $t \in (0, T_{\text{max}})$, 满足常微分不等式

$ y'(t) + \frac{1}{2} y(t) \leq C_2 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

积分我们推断

$ y(t) \leq e^{-\frac{1}{2} t} y(0) + \int_{0}^{t} e^{\frac{1}{2} (s - t)} C_2 \, {\rm d}s \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

这证明了 (4.55) 式.

4.3 $u$ 和 $v$ 的高正则性、全局存在性和有界性

本节通过分层正则性增强框架, 实现了从局部存在性到全局有界性的关键步骤, 完成了定理 1.1 的证明.

引理 4.7 设 $N \geq 1$. 基于引理 4.4 和 4.5, 可以找到常数 $C > 0$ 使得

$ \|u(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)} + \|v(\cdot, t)\|_{W^{1,\infty}(\Omega)} \leq C \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

证 为证明 (4.61) 式, 记

$ f(\cdot, t) := k u^{1 - \alpha}(\cdot, t) v^{\alpha}(\cdot, t) \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. $

因此, 由 Hölder 不等式, 我们可以找到 $C_1 > 0$ 和 $C_2 > 0$ 使得

$ \|f\|_{L^{2N}(\Omega)} \leq C_1 \|u\|_{L^{2N}(\Omega)}^{1 - \alpha} \|v\|_{L^{2N}(\Omega)}^{\alpha} \leq C_2 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, $

因此, 对 $v$ 应用常数变易公式并利用与 Neumann 热半群相关的 $L^{p}$ 估计, 得到

$\begin{align*} &\|\nabla v(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)} \\ \leq &\| e^{(\Delta - 1)t} v_0 \|_{L^{\infty}(\Omega)} + \int_{0}^{t} \| e^{(\Delta - 1)(t - s)} f(s) \|_{L^{\infty}(\Omega)} \,{\rm d}s\\ \leq &C_3 + C_4 \int_{0}^{t} \left(1 + (t - s)^{-\frac{3}{4}} \right) e^{-\lambda(t - s)} \|f(s)\|_{L^{2N}(\Omega)} \,{\rm d}s \leq C_5 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}, \end{align*}$

其中 $C_i$ ($i = 3, 4, 5$) $> 0$. 此后, Neumann 热半群的标准平滑估计、Hölder 不等式的应用、引理 4.4、引理 4.5 和 (4.64) 式产生正常数 $C_6$、$C_7$ 和 $C_8$ 满足

$\begin{align*} &\|u(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\\ = &\left\| e^{\Delta t} u_0 + \int_{0}^{t} e^{\Delta t} \left( - \chi \nabla \cdot (u(\cdot, s) \nabla v(\cdot, s)) + \mu u(\cdot, s) (1 - u^{\sigma}(\cdot, s)) \right) \,{\rm d}s \right\|_{L^{\infty}(\Omega)} \\ \leq& \| e^{\Delta t} u_0 \|_{L^{\infty}(\Omega)} + \int_{0}^{t} \| e^{\Delta t} \left( - \chi \nabla \cdot (u(\cdot, s) \nabla v(\cdot, s)) + \mu u(\cdot, s) \right) \|_{L^{\infty}(\Omega)} \,{\rm d}s\\ \leq &C_6 + C_6 \int_{0}^{t} \left(1 + (t - s)^{-\frac{3}{4}} \right) e^{-\lambda(t - s)} \| u(\cdot, s) \nabla v(\cdot, s) \|_{L^{2N}(\Omega)} \,{\rm d}s\\ &+ C_6 \int_{0}^{t} \left(1 + (t - s)^{-\frac{1}{4}} \right) e^{-\lambda(t - s)} \| u(\cdot, s) \|_{L^{2N}(\Omega)} \,{\rm d}s \\ \leq &C_7 + C_7 \int_{0}^{t} \left(1 + (t - s)^{-\frac{3}{4}} \right) e^{-\lambda(t - s)} \| u(\cdot, s) \|_{L^{2N}(\Omega)} \| \nabla v(\cdot, s) \|_{L^{\infty}(\Omega)} \,{\rm d}s\\ \leq &C_8 \quad \text{对所有 } t \in (0, T_{\text{max}}) \text{ 成立}. \end{align*}$

由此, 证明易完成.

$\textbf{定理 1.1 的完整证明}$ 基于引理 4.4 (建立情况 $N \in \{1, 2\}$ 的能量耗散不等式)、引理 4.5 (建立情况 $N \geq 3$ 的能量耗散不等式) 和引理 4.7 (解的有界性估计), 我们可以证明定理 1.1 中所述的有界性估计 (1.6), 从而完成定理的严格证明.

参考文献

Cieslak T, Stinner C.

Finite-time blowup and global-in-time unbounded solutions to a parabolic-parabolic quasilinear Keller-Segel system in higher dimensions

J Differ Equ, 2012, 252: 5832-5851

DOI:10.1016/j.jde.2012.01.045      URL     [本文引用: 1]

Horstmann D, Wang G.

Blow-up in a chemotaxis model without symmetry assumptions

European J Appl Math, 2001, 12: 159-177

DOI:10.1017/S0956792501004363      URL    

Jin C.

Boundedness and global solvability to a chemotaxis model with nonlinear diffusion

J Differ Equ, 2017, 263: 5759-5772

DOI:10.1016/j.jde.2017.06.034      URL     [本文引用: 1]

Lankeit J.

Eventual smoothness and asymptotics in a three-dimensional chemotaxis system with logistic source

J Differ Equ, 2015, 258: 1158-1191

DOI:10.1016/j.jde.2014.10.016      URL     [本文引用: 1]

Li B, Li Y.

On a chemotaxis-type Solow-Swan model for economic growth with capital-induced labor migration

J Math Anal Appl, 2022, 511: Art 126080

DOI:10.1016/j.jmaa.2022.126080      URL     [本文引用: 2]

Li S, Liu C, Mei M.

Global dynamics of a spatial Solow-Swan model with density-dependent motion

Acta Math Sci, 2025, 45B(3): 982-1004

[本文引用: 1]

Juchem Neto J P, Claeyssen J C R.

Capital-induced labor migration in a spatial Solow model

J Economics, 2015, 115(1): 25-47

[本文引用: 4]

Juchem Neto J P, Claeyssen J C R, Pôrto Júnior S S.

Economic agglomerations and spatio-temporal cycles in a spatial growth model with capital transport cost

Physica A: Mechanics and it's Applications Claeyssen J C R, 2018, 494: 76-86

Juchem Neto J, Claeyssen J, Porto Junior S.

Returns to scale in a spatial Solow-Swan economic growth model

Physica A: 2019, 533: Art 122055

DOI:10.1016/j.physa.2019.122055      URL     [本文引用: 1]

Senba T, Suzuki T.

Parabolic system of chemotaxis: blowup in a finite and the infinite time

Methods Appl Anal, 2001, 8(2): 349-367

DOI:10.4310/MAA.2001.v8.n2.a9      URL     [本文引用: 1]

Tao Y, Winkler M.

Finite-time blow-up in the higher-dimensional parabolic-parabolic Keller-Segel system

J Math Pures Appl, 2013, 100(5): 748-767

DOI:10.1016/j.matpur.2013.01.020      URL     [本文引用: 2]

Tao Y, Winkler M.

Blow-up prevention by quadratic in a two-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system

Z Angew Math Phys, 2016, 67(6): 1-23

DOI:10.1007/s00033-015-0604-0      URL     [本文引用: 1]

Tao Y, Winkler M.

Global smooth solvability of a parabolic-elliptic nutrient taxis system in domains of arbitrary dimension

J Differ Equ, 2019, 267(1): 388-406

DOI:10.1016/j.jde.2019.01.014      URL    

Wang Y, Xiang Z.

Global existence and boundedness in a Keller-Segel-Stokes system involving a tensor-valued sensitivity with saturation: the 3D case

J Differ Equ, 2014, 261(9): 4944-4973

DOI:10.1016/j.jde.2016.07.010      URL     [本文引用: 1]

Winkler M. Boundedness vs.

blow-up in a chemotaxis system

J Differ Equ, 2005, 215(1): 52-107

DOI:10.1016/j.jde.2004.10.022      URL     [本文引用: 1]

Winkler M.

Chemotaxis with logistic source: Very weak global solutions and their boundedness properties

J Math Anal Appl, 2008, 348(2): 708-729

DOI:10.1016/j.jmaa.2008.07.071      URL     [本文引用: 1]

Winkler M.

Boundedness in the higher-dimensional parabolic-parabolic chemotaxis system with logistic source

Commun Partial Differ Equ, 2010, 35(8): 1516-1537

DOI:10.1080/03605300903473426      URL     [本文引用: 1]

Winkler M.

Finite-time blow-up in the higher-dimensional parabolic-parabolic Keller-Segel system

J Math Pures Appl, 2013, 100(5): 748-767

DOI:10.1016/j.matpur.2013.01.020      URL     [本文引用: 1]

Winkler M.

Small-mass solutions in the two-dimensional Keller-Segel system coupled to the Navier-Stokes equations

SIAM J Math Anal, 2020, 52(2): 2041-2080

DOI:10.1137/19M1264199      URL    

Zheng J.

A note on boundedness of solutions to a higher-dimensional quasi-linear chemotaxis system with logistic source

Z Angew Math Mech, 2017, 97(4): 414-421

DOI:10.1002/zamm.v97.4      URL     [本文引用: 1]

Zheng J, Ke Y.

Large time behavior of solutions to a fully parabolic chemotaxis-haptotaxis model in N dimensions

J Differ Equ, 2019, 266(4): 1969-2018

DOI:10.1016/j.jde.2018.08.018      URL     [本文引用: 1]

Zheng J, Li Y Y, Bao G, et al.

A new result for global existence and boundedness of solutions to a parabolic-parabolic Keller-Segel system with logistic source

J Math Anal Appl, 2018, 462(1): 1-25

DOI:10.1016/j.jmaa.2018.01.064      URL     [本文引用: 4]

Zheng J, Liu X, Zhang P.

Boundedness of solutions for parabolic-elliptic predator-prey chemotaxis-fluid system with logistic source term

J Differ Equ, 2024, 383: 96-129

DOI:10.1016/j.jde.2023.11.015      URL     [本文引用: 1]

Zheng J, Zhang P.

Blow-up prevention by logistic source an $N$-dimensional parabolic-elliptic predator-prey system with indirect pursuit-evasion interaction

J Math Anal Appl, 2023, 519(1): Art 126741

DOI:10.1016/j.jmaa.2022.126741      URL     [本文引用: 1]

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