该文考虑如下加权非线性椭圆型问题

解的整体和边界渐近行为. 这里的边界条件理解为: 当 $d(x)={\rm dist}(x, \partial \Omega)\rightarrow 0$ 时, $u(x) \rightarrow +\infty$. 这样的解称为 "大解'' (large solutions) 或 "爆炸解" (explosive solutions), $\Omega$ 是 $\mathbb R^n$ ($n\geq 2$) 中的有界光滑区域, $\Delta$ 是经典的拉普拉斯算子, $\nabla u(x)$ 表示 $u(x)$ 的梯度, $q\in (0, 2]$, $f(s)=s^p$ ($p>0$), 或者 $f(s)=e^s$, $a, b\in C^\alpha(\Omega)$ ($\alpha\in (0, 1)$), 在 $\Omega$ 内是正的.

问题 (1.1) 有很长的研究历史, 最早可追溯到 1916 年 Bieberbach 和 1943 年 Rademacher 的工作 ($f(s)=e^s$, $n=2, 3$, $a(x)\equiv1, \ \ b(x)\equiv 0, \ x\in \Omega$) (例如, 参见文献[20]). 该问题来源于数学、应用数学、生态学和物理的许多领域. 例如灼热的空心金属壳的电位势、在具有负的曲率常数的黎曼曲面理论和自守函数理论的研究、稳定约束随机控制 (Stochastic control with state constraints) 问题、随机过程中的超扩散过程、基本的 Logistic 模型、化学反应中的高速扩散问题等诸多实际问题, 参见文献 [9,10,27]. 关于问题 (1.1) 解的存在性、唯一性和解的渐近行为, 有大量深入的研究, 参见文献 [1-12,14-36].

一些基本结果如下.

当 $a(x)\equiv b(x)\equiv 1, \ x\in \Omega$, $f(s)=s$ 时, Lasry 和 Lions^[19] 在研究稳定约束随机控制问题时, 首先建立了模型 (1.1), 并应用摄动方法, 构造了恰当的上下解, 证明了

${\bf引理 1.1}$ 模型 (1.1) 存在唯一解 $u\in C^2(\Omega) $ (古典解) 的充分必要条件是 $q\in (1, 2]$. 而且, $\mathbf{(i_1)}$ 当 $1<q<2$ 时, $u$ 满足

$\mathbf{(i_2)}$ 而当 $q=2$ 时, $u$ 满足

随后, 对 $ f(s)=s^p $ ($ p>0 $) 的情形, 应用微分方程理论, 摄动方法和比较原理, Bandle 和 Giarrusso^[3]、Giarrusso^[11,12]得到了完整的古典解的存在性和精确的边界渐近行为. 并且, 当 $ f(s)=e^s $ 时, Bandle 和 Giarrusso^[3] 揭示了 $ |\nabla u(x)|^q $ 不影响问题 (1.1) 古典解在边界附近的一次展式.

接着, 陈等^[5], 张^[32]讨论了比问题 (1.1) 更广泛的加权问题, 得到了古典解的存在性、唯一性和解的一些新的渐近行为. 但其结果对参数 $ p, q $ 和权函数 $ a, b $ 在边界附近变化的指数的分类还存在很大的空隙.

为方便起见, 记 $ \lambda_1>0 $ 是特征值问题

的第一特征值, 对应的第一特征函数 $ \phi_1\in C^1(\bar{\Omega})\cap C^{2+\alpha}(\Omega) $. 由 Höpf 引理可知, $ \nabla \phi_1(x)\neq 0,\ \forall x\in \partial \Omega $, 并且存在 $ \delta_0>0 $ 和正常数 $ c_i $ ($ i=1, 2 $) 使得

这里 $ \Omega_{\delta_0}=\{x\in \Omega: d(x)< \delta_0\} $.

不失一般性, 设

此外, 对 $ \mathbb R^n $ ($ n\geq 2 $) 中的 $ C^2 $ 有界区域 $ \Omega $, 存在 $ \delta_1>0 $ 使得 (参见文献 [13,引理 14.16 和 14.17].)

下面引入一类函数.

记 $ \Lambda $ 表示在 $ (0, \tau] $ 上这样的正的单调函数 $ \theta $ 的集合: $ \theta\in C^1(0, \tau]\cap L^1(0, \tau) $ 满足

这里 $ \tau $ 是由 (1.3) 式定义的. (1.5) 式首先由 Cîrstea 和 Rădulescu^[6] 对单调递增函数引入的. 随后, Mohammed^[28] 将其拓展到单调递减函数. 容易得到, 当 $ \theta $ 单调递增时, $ D_\theta \in [0,1] $; 而当 $ \theta $ 单调递减时, $ D_\theta\geq 1 $. 进一步, 引理 2.1^[33] 刻画了: 当 $ D_\theta>0 $ 时, $ \theta $ 和 $ \Theta $ 分别在 $ 0 $ 处以指数 $ \frac {1-D_\theta}{D_\theta} $ 和 $ \frac {1}{D_\theta} $ 标准正规变化; 而当 $ D_\theta=0 $ 时, $ \theta $ 和 $ \Theta $ 在 $ 0 $ 处迅速变化到 $ 0 $. 而且, 成立

对 $ \beta\geq 0 $ 和 $ x\in \Omega $, 记

由 $ \Lambda $ 的性质, (1.2) 和 (1.7) 式可知, 当 $ \beta+D_\theta>0 $ 时,

$ \theta \in\Lambda $ 的 5 个基本例子.

$ \mathbf{(i_1)} $$ \theta(t)=t^\gamma $, $ t\in [0, \tau] $, $ \gamma \geq 0 $, $ \Theta(t)=(1+\gamma)^{-1}t^{1+\gamma} $, $ D_\theta=(1+\gamma)^{-1}=E_\theta $;

$ \mathbf{(i_2)} $$ \theta(t)=(-\ln t)^{-\gamma} $, $ t\in (0, \tau] $, $ \gamma>0 $; 或者 $ \theta(t)=e^{-(-\ln t)^{\gamma}} $, $ t\in (0, \tau] $, $ \gamma\in (0, 1) $; $ D_\theta=1 $;

$ \mathbf{(i_3)} $$ \theta(t)=e^{-t^{-\gamma}} $, $ t\in (0, \tau] $, $ \gamma>0 $, $ D_\theta=0 $;

$ \mathbf{(i_4)} $$ \theta(t)=t^{-\gamma} $, $ t\in (0, \tau] $, $ \gamma \in (0, 1) $; $ \Theta(t)=(1-\gamma)^{-1}t^{1-\gamma} $; $ D_\theta=(1-\gamma)^{-1}=E_\theta $;

$ \mathbf{(i_5)} $$ \theta(t)=(-\ln t)^{\gamma} $, $ t\in (0, \tau] $, $ \gamma>0 $; 或者 $ \theta(t)=e^{(-\ln t)^{\gamma}} $, $ t\in (0, \tau] $, $ \gamma\in (0, 1) $; $ D_\theta=1 $.

在上述文献的基础上, 本文在权函数 $ a, b $ 满足条件: 存在 $ \theta\in \Lambda $ 和正常数 $ a_i, b_{i} $ ($i$=1, 2 ) 使得

$ \mathbf{ (A_1)} $$ a_{1}:=\lim_{d(x) \rightarrow 0 }\inf \frac{a(x)}{\theta^{2}(d(x))}\leq a_{2}:=\lim_{d(x) \rightarrow 0 }\sup \frac{a(x)}{\theta^{2}(d(x))}; $

$ \mathbf{ (B_1)} $$ b_{1}:=\lim_{d(x) \rightarrow 0 }\inf \frac{b(x)}{(\theta(d(x)))^{2-q}}\leq b_{2}:=\lim_{d(x) \rightarrow 0 }\sup \frac{b(x)}{(\theta(d(x)))^{2-q}}, $

下, 将 Lasry 和 Lions^[19], Bandle 和 Giarrusso^[3], Giarrusso^[11,12] 的结果推广到加权问题 (1.1), 对解进行了完全分类. 而且, 当 $ p>1 $, $ q\in (1, 2] $, $ a, b $ 满足条件: 存在 $ \theta\in \Lambda $ 和正常数 $ a_i, b_{i} $ ($ i=1, 2 $) 使得

$ \mathbf{(A_2)} $$ a_1 \theta^{2}(\phi_1(x)) \leq a(x)\leq a_2 \theta^{2}(\phi_1(x)), \ x\in \Omega; $

$ \mathbf{(B_2)} $$ b_1 (\theta(\phi_1(x)))^{2-q} \leq b(x)\leq b_2 (\theta(\phi_1(x)))^{2-q},\ x\in \Omega, $

时, 得到了解的存在性和整体渐近估计.

注意到, 当 $ q=2 $, $ b $ 满足 $ \mathrm{(B_2)} $ 时, $ b $ 在 $ \Omega $ 上是正的有界函数.

具体地, 当 $ q\in (0, 2] $, $ f(s)=s^p $ ($ p>0 $) 时, 结果如下.

定理 1.1 设 $ a,b $ 满足条件 $ \mathrm{ (A_1)} $ 和 $ \mathrm{ (B_1)} $.

$ \mathbf{(i_1)} $ 如果 $ p>1 $ 且 $ q<\frac {2p}{p+1} $, 则问题 (1.1) 的任一古典解 $ u $ 满足

这里,

特别地, 当 $ a_1=a_2=a_0 $ 时, $ u $ 满足

$ \mathbf{(i_2)} $ 如果 $ q\in (1, 2) $ 且 $ q>\frac {2p}{p+1} $, 则问题 (1.1) 的任一古典解 $ u $ 满足

其中,

$ \mathbf{(i_3)} $ 如果 $ p>1 $ 且 $ q=\frac {2p}{p+1} $, 则问题 (1.1) 的任一古典解 $ u $ 满足

其中, $ \xi_5 $ 是方程

的唯一正解; $ \xi_6 $ 是方程

的唯一正解.

$ \mathbf{(i_4)} $ 如果 $ q=2 $ 且 $ D_\theta>0 $, 则问题 (1.1) 的任一古典解 $ u $ 满足

注 1.1 定理1.1 $ \mathrm{(i_1)} $ 表明, $ b(x)|\nabla u(x)|^q $ 不影响问题 (1.1) 解在边界附近的一次展式; $ \mathrm{(i_2)} $ 表明, $ a(x) (u(x))^p $ 不影响问题 (1.1) 解在边界附近的一次展式; 而 $ \mathrm{(i_3)} $ 表明, 问题 (1.1) 的解在边界附近的一次展式由 $ a(x) (u(x))^p $ 和 $ b(x)|\nabla u(x)|^q $ 共同决定； $ \mathrm{(i_4)} $ 则表明, 当 $ \mathrm{ (A_1)} $ 和 $ \mathrm{ (B_1)} $ 中的 $ \theta $ 在 $ 0 $ 处标准正规变化时, $ a(x) (u(x))^p $ 不影响问题 (1.1) 解在边界附近的一次展式.

定理 1.2 设 $ a, b $ 满足条件 $ \mathrm{(A_2)} $ 和 $ \mathrm{(B_2)} $.

$ \mathbf{ (i_1)} $ 如果 $ p>1 $ 且 $ q\in (1, \frac {2p}{p+1}] $, 则问题 (1.1) 存在古典解 $ u $ 满足

这里, $ C_1\geq 1 $ 满足

$ c_1\in (0, 1) $ 满足

其中的 $ m_\beta $ 和 $ M_\beta $ 是由 (1.8) 式给出的.

$ \mathbf{ (i_2)} $ 如果 $ p>1 $ 且 $ q\in [\frac {2p}{p+1}, 2) $, 则问题 (1.1) 存在古典解 $ u $ 满足

这里, $ c_2\in (0, 1) $ 满足

$ C_2\geq 1 $ 满足

$ \mathbf{ (i_3)} $ 如果 $ p>1 $, $ q=2 $ 且 $ D_\theta>0 $, 则问题 (1.1) 存在古典解 $ u $ 满足

这里, $ c_3\in (0, 1) $ 满足

$ C_3\geq 1 $ 满足

对 $ q\in (0, 2] $ 和 $ f(s)=e^s $ 的情形, 结果是

定理 1.3 如果条件 $ \mathrm{(A_1)} $ 和 $ \mathrm{(B_1)} $ 成立, 则问题 (1.1) 的任一古典解 $ u $ 满足

注 1.2 该定理表明, $ b(x)|\nabla u(x)|^q $ 不影响问题 (1.1) 解在边界附近的一次展式.

定理 1.4 如果条件 $ \mathrm{(A_2)} $ 和 $ \mathrm{(B_2)} $ 成立, 则问题 (1.1) 存在古典解 $ u $ 满足

这里,

$ c_4 $ 满足

其中的 $ M_0 $ 和 $ m_0 $ 是由 (1.8) 式给出的, 对应 $ \beta=0 $.

本节证明定理 1.1—1.4. 首先, 我们需要下列引理.

设 $ \Omega $ 是 $ \mathbb R^n $ ($ n\geq2 $) 中的有界光滑区域, $ q\in (0, 2] $, $ a, b \in C^\alpha(\Omega) $ 在 $ \Omega $ 内是正的, $ f\in C^1(0, \infty)\cap C[0, \infty) $ (或者 $ f\in C^1(\mathbb R) $) 是严格单调递增的. 再设 $ \Omega_0\subseteq \Omega $ 是光滑区域, 考虑方程

定义 2.1 称函数 $ \underline {u}\in C^2(\Omega_0) $ 是方程 (2.1) 的一个下解是指

如果 $ \Omega_0=\Omega $ 且 $ \underline{u}|_{\partial\Omega}=+\infty $, 则称 $ \underline {u} $ 是问题 (1.1) 的一个下解.

定义 2.2 称函数 $ \bar{u}\in C^2(\Omega_0) $ 是方程 (2.1) 的一个上解是指

如果 $ \Omega_0=\Omega $ 且 $ \bar{u}|_{\partial\Omega}=+\infty $, 则称 $ \bar{u} $ 是问题 (1.1) 的一个上解.

引理 2.1 (比较原理) (文献 [33,引理 3.1]) 如果 $ \bar{u} $ 和 $ \underline{u} $ 分别是方程 (2.1) 的上解和下解, 且满足

$ \lim_{x \rightarrow \partial \Omega_0} \sup(\underline{u}(x)-\bar{u}(x)) \leq 0 $, 则 $ \underline{u}(x)\leq \bar{u}(x), \ x\in\Omega_0. $

引理 2.2(文献 [35,定理 4.1]) 如果问题 (1.1) 存在上解 $ \bar{u} $ 和下解 $ \underline{u} $, 且 $ \underline{u}(x)\leq \bar{u}(x),\ x\in \Omega $, 则问题 (1.1) 在序区间 $ [\underline{u},\bar{u}] $ 存在古典解 $ u $.

定理 1.1 的证明 $ \mathbf{(i_1)} $ 当 $ p>1 $ 且 $ q<\frac {2p}{p+1} $ 时, 取 $ \mu=\frac {2}{p-1} $. 此时, $ \mu +2=p\mu>q(\mu+1) $.

${\bf (I)}$$ \theta $ 单调递增的情形. 对任意的 $ \varepsilon\in (0, \min\{a_1, b_1, \mu+D_\theta\}/2) $, 由 $ \mathrm{(A_1)} $, $ \mathrm{ (B_1)} $, (1.10) 式和

可知, 存在 $ \delta_{\varepsilon} \in (0, \delta_1/2) $ 使得当 $ x\in \Omega_{2\delta_{\varepsilon}} $ 时,

任取 $ \sigma \in (0,\delta _{\varepsilon}) $, 记

这里,

直接计算可知, 当 $ x\in D_\sigma^- $ 时, 成立

即 $ \bar{u}_\varepsilon $ 是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^- $ 上的一个上解. 类似地, 可以证明 $ \underline {u}_\varepsilon(x)= \xi_{+\varepsilon} (\Theta(d_2(x)))^{-\mu} $ 是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^+ $ 上的一个下解. 设 $ u $ 是问题 (1.1) 的任一古典解. 我们断言, 存在正常数 $ M $ 使得

事实上, 我们选取正常数 $ M $ 满足

显然, $ \bar{u}_\varepsilon+M $ 也是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^- $ 上的一个上解. 由于 $ \bar{u}_\varepsilon|_{\Gamma_{\sigma}:=\{x\in \Omega:\ d(x)=\sigma\}}=+\infty $, 而 $ u $ 在 $ \Gamma_{\sigma} $ 上有界, 应用引理 2.1, 即可得到 (2.10) 式. 类似地, 可以证明 (2.11) 式. 从而, 当 $ x\in D_\sigma^-\cap D_\sigma^+ $ 时, 令 $ \sigma \rightarrow 0 $, 得到

在(2.12) 式中, 令 $ \varepsilon\rightarrow 0 $, 得到 (1.9) 式.

${\bf (II)}$$ \theta $ 单调递减的情形. 此时, 由 $ \Lambda $ 的定义可知, 要么 $ \lim_{t\rightarrow 0^+}\theta(t)=+\infty $, 要么 $ \lim_{t\rightarrow 0^+}\theta(t):=\theta(0)\in (0, \infty) $. 对后者, $ \mathrm{ (A_1)} $ 和 $ \mathrm{ (B_1)} $ 就是

这样, 就可以将其归为情形(I), $ \theta(t)\equiv 1,\ \Theta(t)=t $, 并分别以 $ a_{i}\theta^2(0) $ ($ i=1, 2 $) 替代 $ a_{i} $, $ b_{i}(\theta(0))^{2-q} $ 替代 $ b_{i} $. 因此, 下面就只讨论 $ \lim_{t\rightarrow 0^+}\theta(t)=+\infty $ 的情形. 令

这里, $ \mu, \xi_{-\varepsilon}, \xi_{+\varepsilon} $, $ D_\sigma^-, D_\sigma^+ $ 同 (I). 应用 (1.7), $ \theta'\leq 0 $, 结合 $ \Theta(d(x))<\Theta(d(x))+\Theta(\sigma)<2\Theta(\tau) $, 得到

$ - \frac{\theta'(d(x))(\Theta(d(x))+\Theta(\sigma))}{\theta^2(d(x))}\geq -\frac{\Theta(d(x))\theta'(d(x))}{\theta^2(d(x))}; $$ \lim_{d(x)\rightarrow0} \frac{1}{\theta(d(x))}|\Delta d(x)|(\Theta(d(x))+\Theta(\sigma)) =0. $

直接计算可知, 当 $ x\in D_\sigma^+ $ 时, 成立

即 $ \underline{u}_\varepsilon $ 是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^+ $ 上的一个下解. 类似地, 可以证明 $ \bar{u}_\varepsilon(x)= \xi_{-\varepsilon} (\Theta(d(x))-\Theta(\sigma))^{-\mu} $ 是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^- $ 上的一个上解. 余下的证明同 (I).

$ \mathbf{(i_2)} $ 对 $ q\in (1, 2) $ 且 $ q>\frac {2p}{p+1} $ 的情形, 选取 $ \mu=\frac{2-q}{q-1} $. 此时, $ \mu +2=q(1+\mu)>\mu p $. 当 $ \theta $ 单调递增时, 令

而当 $ \theta $ 单调递减时, 令

其中,

可以证明 $ \bar{u}_\varepsilon $ 和 $ \underline{u}_\varepsilon $ 分别是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^- $ 上的一个上解和在 $ D_\sigma^+ $ 上的一个下解. 余下的证明同 $ \mathrm{(i_1)} $.

$ \mathbf{(i_3)} $ 对 $ p>1 $ 且 $ q=\frac {2p}{p+1} $ 的情形, 选取 $ \mu=\frac {2}{p-1}=\frac{2-q}{q-1}=\frac{q}{p-q} $. 此时, $ \mu +2=\mu p =q(1+\mu) $. 当 $ \theta $ 单调递增时, 令

而当 $ \theta $ 单调递减时, 令

这里,

同样可以证明 $ \bar{u}_\varepsilon $ 和 $ \underline{u}_\varepsilon $ 分别是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^- $ 上的一个上解和在 $ D_\sigma^+ $ 上的一个下解. 余下的证明同 $ \mathrm{(i_1)} $.

$ \mathbf{(i_4)} $ 对 $ q=2 $ 且 $ D_\theta>0 $ 的情形, 当 $ \theta $ 单调递增时, 令

其中,

直接计算可知, 当 $ x\in D_\sigma^- $ 时,

即 $ \bar{u}_\varepsilon $ 是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^- $ 上的一个上解. 类似地, 可以证明 $ \underline {u}_\varepsilon(x)= -\xi_{+\varepsilon} \ln (\Theta(d_2(x))) $ 是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^+ $ 上的一个下解.

而当 $ \theta $ 单调递减时, 令

余下的证明同 $ \mathrm{(i_1)} $.

定理 1.2 的证明 由引理 2.2, 我们只需构造问题 (1.1) 的上下解 $ \bar{u} $ 和 $ \underline{u} $, 使得 $ \underline{u}(x)\leq \bar{u}(x),\ x\in \Omega $. 为此, 令 $ \underline{u}_\beta(x)=c (\Theta(\phi_1(x)))^{-\beta}, \ x\in \Omega $, 这里 $ c, \beta>0 $. 由 $ \mathrm{ (A_2)} $, $ \mathrm{ (B_2)} $, (1.8) 和直接计算可知, $ \underline{u}_\beta $ 满足

\begin{eqnarray*} \Delta \underline{u}_\beta(x)&=&c \beta \theta^{2}(\phi_1(x)) (\Theta(\phi_1(x)))^{-(\beta +2)}\Big(\big(1+\beta-\frac{\Theta (\phi_1(x))\theta'(\phi_1(x))}{\theta^{2}(\phi_1(x))} \big)|\nabla \phi_1(x)|^2\\ &&+\lambda_1\phi_1(x) \frac{\Theta (\phi_1(x))}{\theta(\phi_1(x))} \Big)\geq m_\beta c \beta \theta^{2}(\phi_1(x)) (\Theta(\phi_1(x)))^{-(\beta +2)},\ \ x\in \Omega; \\ &&a(x)(\underline{u}_\beta(x))^{p}+b(x) |\nabla \underline{u}_\beta(x)|^q\\ &=&c^p a(x)(\Theta(\phi_1(x)))^{-\beta p}+b(x)(c \beta )^q\theta^q(\phi_1(x))(\Theta(\phi_1(x)))^{-q(1+\beta)}|\nabla \phi_1(x)|^q \\ &\leq & c \theta^{2}(\phi_1(x)) (\Theta(\phi_1(x)))^{-(\beta +2)} \big(a_2 c^{p-1}(\Theta(\phi_1(x)))^{\beta +2-\beta p}\\ &&+b_2 \beta^q c^{q-1}(\Theta(\phi_1(x)))^{\beta +2-q(1+\beta)}|\nabla \phi_1(x)|^q\big), \ \ x\in \Omega. \end{eqnarray*}

$ \mathbf{(i_1)} $ 当 $ p>1 $ 且 $ q\in (1, \frac {2p}{p+1}] $ 时, 选取 $ \beta=\frac {2}{p-1} $ 和 $ c=c_1 $, $ c_1 $ 由 (1.11) 式给出. 此时, 成立 $ \beta +2=\beta p\geq q(1+\beta) $;

即, $ \underline{u}_\beta $ 是问题 (1.1) 的一个下解. 同理, $ \bar{u}_\beta(x)=C_1 (v(x))^{-\beta} $ 是问题 (1.1) 的一个上解, 这里, $ C_1 $ 是由 (1.10) 式给出的. 明显地, $ \underline{u}_\beta(x)\leq \bar{u}_\beta(x),\ \ x\in \Omega $.

$ \mathbf{(i_2)} $ 当 $ p>1 $ 且 $ q\in [ \frac {2p}{p+1}, 2) $ 时, 选取 $ \beta=\frac {2-q}{q-1} $ 和 $ c=c_2 $, $ c_2 $ 由 (1.12) 式给出. 此时, $ \beta +2= q(1+\beta)\geq \beta p $,

即, $ \underline{u}_\beta $ 是问题 (1.1) 的一个下解. 同理可知, $ \bar{u}_\beta(x)=C_2 (v(x))^{-\beta} $ 是问题 (1.1) 的一个上解, 其中 $ C_2 $ 是由 (1.13) 式确定的.

$ \mathbf{(i_3)} $ 当 $ p>1 $, $ q=2 $ 且 $ D_\theta>0 $ 时, 令 $ \underline{u}(x)=-c_3 \ln (\Theta(\phi_1(x))), \ x\in \Omega $, 其中 $ c_3 $ 是由 (1.14) 式确定的. 直接计算可知, $ \underline{u} $ 在 $ \Omega $ 上满足

即, $ \underline{u} $ 是问题 (1.1) 的一个下解. 类似地, $ \bar{u}(x)=-C_3 \ln (\Theta(\phi_1(x))) $ 是问题 (1.1) 的一个上解, 其中的 $ C_3 $ 由 (1.15) 式给出. 明显地, $ \underline{u}(x)\leq \bar{u}(x),\ x\in \Omega $.

定理 1.3 的证明 当 $ \theta $ 单调递增时, 选取

这里,

直接计算可知, 对 $ x\in D_\sigma^+ $, 成立

即, $ \underline{u}_\varepsilon $ 是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^+ $ 上的一个下解. 类似地, 可以证明 $ \bar{u}_\varepsilon(x)= \xi_{-\varepsilon}-2\ln (\Theta(d_1(x))) $ 是方程 (2.1) 在 $ D_\sigma^- $ 上的一个上解. 余下的证明同定理 1.1 的 $ \mathrm(I) $.

当 $ \theta $ 单调递减时, 选取

余下的证明同定理 1.1 的 $ \mathrm{(II)} $.

定理 1.4 的证明 由引理 2.2, 我们只需构造问题 (1.1) 的上下解 $ \bar{u} $ 和 $ \underline{u} $, 使得 $ \underline{u}(x)\leq \bar{u}(x),\ x\in \Omega $. 为此, 令 $ \underline{u}(x)=-c_4-2 \ln (\Theta(\phi_1(x))), \ x\in \Omega $, 其中, $ c_4 $ 由 (1.17) 式给出. 直接计算可知, $ \underline{u} $ 满足

\begin{eqnarray*} && \Delta \underline{u}(x)=2 \theta^{2}(\phi_1(x)) (\Theta(\phi_1(x)))^{-2} \big(\lambda_1\phi_1(x)\frac {\Theta(\phi_1(x))}{\theta(\phi_1(x))}+\big(1-\frac {\Theta(\phi_1(x))\theta'(\phi_1(x))}{\theta^2(\phi_1(x))}\big)|\nabla \phi_1(x)|^2\big)\\ &\geq& 2m_0 \theta^{2}(\phi_1(x)) (\Theta(\phi_1(x)))^{-2}\\ &\geq&\theta^{2}(\phi_1(x)) (\Theta(\phi_1(x)))^{-2}\max_{x\in \bar{\Omega}}\big(a_2\exp (-c_4)+ 2^qb_2 (\Theta(\phi_1(x)))^{2-q}|\nabla \phi_1(x)|^q\big)\\ &\geq& e^{-c_4}a(x)(\Theta(\phi_1(x)))^{-2}+ 2^q b(x)(\theta(\phi_1(x)))^{q} (\Theta(\phi_1(x)))^{-q} |\nabla \underline{u}(x)|^q\\ &=&a(x)e^{\underline{u}(x)}+ b(x) |\nabla \underline{u}(x)|^q, \ x\in \Omega, \end{eqnarray*}

即, $ \underline{u} $ 是问题 (1.1) 的一个下解. 类似地可证明, $ \bar{u}(x)=C_4-2 \ln (\Theta(v(x))) $ 是问题 (1.1) 的一个上解, 其中 $ C_4 $ 是由 (1.16) 式给出的. 明显地, 在 $ \Omega $ 上, $\underline{u}\leq \bar{u}$. 证毕.