变分不等式 (VIs) 作为现代分析和最优化理论的重要工具, 在经济学、力学等多个学科领域中都有着重要的应用. 在与常微分方程 (ODEs) 相结合时, 把变分不等式和常微分方程耦合而成的系统称为微分变分不等式 (DVIs), 这一概念由 Pang 等首次提出并进行了深入研究, 参见文献[1]. 随后, Chen ^[2] 采用正则的时间步进法求解了一类 DVIs, 并证明了该方法的收敛性. 另外, Liu 等 ^[3]利用半群理论和不动点定理证明了偏微分变分不等式 (PDVIs) 的可解性. Zhang 等 ^[4]探讨了随机 DVIs 的可解性. Hao 等 ^[5]分析了一类广义二阶延迟微分变分-半变分不等式的唯一可解性, 并研究了罚系统解的收敛性, 同时给出了相关应用. Migórski^[6] 研究了一类由两个演化包含构成的抽象系统, 该系统可转化为两个变分不等式问题, 其成果为多重拟静态问题和演化包含的研究提供了重要理论支持. 目前, 由于 DVIs 和 PDVIs 在摩擦接触模型, 动态交通, 网络优化和纳什均衡中的关键应用, 引起诸多学者的广泛关注, 已在理论和应用层面均取得了重要成果, 参见文献[7-17].

另一方面, 摩擦接触问题中的磨损现象已成为工业领域备受关注的话题. Andrews 等 ^[18]研究了涉及磨损的摩擦接触问题. 此外, 他们利用 Archard 磨损定律对动态热粘弹性接触问题进行了建模, 并证明了该问题的唯一可解性. 近年来, Sofonea 等 ^[19]基于文献[18] 中使用的广义形式, 建立了拟静态弹性接触问题的模型, 获得了唯一可解性结果. Chen 等 ^[20]利用 Archard 磨损定律对接触问题进行了建模, 并证明了该问题的唯一可解性. Kalita 等^[21]利用广义微分 Archard 条件刻画曲面接触表面的磨损扩散效应. 为了更好的描述磨损的扩散影响, 在本文提出的摩擦接触问题中, 我们利用偏微分方程去描述磨损演化.

在实际生活中, 水泥、橡胶等材料的承载能力会随时间逐渐降低, 这类现象称为材料损伤, 参见文献[22]. 文献[23]首次引入损伤函数, 用于定量描述材料的损伤程度. 关于损伤接触问题, 已有诸多模型被提出, 可参见文献 [24-29]. 近年来, Gasiński 等^[26]利用变分-半变分不等式, 研究了一个含损伤的接触问题.

在摩擦接触问题中, 橡胶、膏体等具有长记忆效应的材料, 可转化为带历史依赖算子的问题进行分析, 相关例子可参见文献 [30-33]. 大量关于拟静态接触的摩擦或无摩擦问题导出了多种历史依赖型变分不等式和演化变分不等式. Sofonea 等^[34]研究了一类广义拟变分不等式, 该变分不等式由描述拟静态接触过程的众多数学模型衍生而来. Wang 等^[35]研究了一种时间依赖混合拟变分-半变分不等式的可解性, 并将结果应用于弹性材料的接触模型以及广义不可压缩 Newtonian 流体的 Oseen 模型. Liang 等^[36]研究了由含扰动算子的拟变分-半变分不等式所驱动的二阶微分包含. 此外, 在动态接触方面, Migórski^[37] 研究了一类与常微分方程耦合的变分- 半变分不等式, 并将其应用于动态单向粘塑性无摩擦接触问题以及具有摩擦和粘附的粘弹性接触问题. Oultou 等^[38]构建了一类新的耦合动力系统, 该系统由历史依赖型变分-半变分不等式与非线性演化方程耦合而成, 并将理论结果应用于含长记忆与磨损的动态粘弹性摩擦接触问题.

值得注意的是, 上述研究主要关注包含变分不等式的双耦合系统, 这些系统由变分不等式与一类微分方程 (常微分、偏微分、分数阶微分方程) 耦合而成, 变分不等式可进一步推广为拟变分不等式或半变分不等式. 近年来, 多重耦合的微分变分不等式系统已开始受到研究者的关注. 例如, Chen 等^[39]研究了一类包含常微分方程, 变分-半变分不等式及抛物型变分不等式的三重耦合常微分变分不等式系统, 并将其应用于平面接触问题. 受上述工作启发, 本文研究一类由偏微分方程、拟变分不等式与抛物型变分不等式构成的三重耦合偏微分变分不等式系统, 并将其应用于曲面接触问题.

设 $X,\ Y,\ Z$ 是可分的自反 Banach 空间, $X^*,\ Y^*,\ Z^*$ 分别是 $X,\ Y,\ Z$ 的对偶空间, $Y_1$ 和 $V$ 是可分 Hilbert 空间并且满足嵌入关系 $Y\subset Y_1\subset Y^*$, 集合 $K_V\subset V$ 和 $K_Y\subset Y$ 是凸的, 且 $I=[T]$, 其中 $T\in\mathbb{R^+}$. 设 $\varphi\colon V\times Y\to\mathbb R$, $A\colon X\times K_V\to V$, $\mathcal R\colon C(I;K_V)\times C(I;K_Y)\to C(I;X)$, $\mathcal S\colon C(I;K_V)$$\to C(I;Z)$, $j\colon Z\times V\times\mathbb R\times K_V\to \mathbb R$, $f\colon I\to V$, $g\colon Y\times Y\to\mathbb R$, $\phi\colon I\times V\to Y_1$, $b\in\mathbb{R}$. 这里考虑如下问题: 求 $\eta\colon I\to K_V$, $\xi \colon I\to K_Y$ 和 $w\colon I\times\Omega\to\mathbb R$ 使得对于每个 $t\in I$ 和 $x\in\Omega\subset\mathbb R^n$, $n=2$, $3$, 满足

本文的主要创新点如下. (i) 研究了一类新型非线性系统, 该系统由 Hilbert 空间中的一个偏微分方程、一个拟变分不等式和一个抛物型变分不等式构成, 不同于已有双耦合系统^[6,37] ; (ii) 现有研究多采用算子半群理论分析偏微分方程, 并借助不动点定理求解此类系统, 参见文献 [3,10,13], 而本文利用解的估计方法研究新系统中的偏微分方程, 并通过 Banach 不动点定理, 证明了系统的唯一可解性; (iii) 将所得理论结果应用于分析一类摩擦接触问题, 证明了其唯一可解性. 需要特别指出的是, 与多数研究采用的平面接触面不同 (见文献 [9,19,39]), 本文研究的是曲面接触面的情形.

本文的结构如下. 在第 2节, 我们给出预备知识, 回顾相关定义与重要结论. 在第3节, 我们证明了问题 (1.1)-(1.5) 解的存在唯一性. 在第4节, 我们研究了一类具有长记忆效应、 磨损演化与损伤的粘弹性摩擦接触问题, 该问题可转化为系统 (1.1)-(1.5). 进一步, 利用第3节所得理论结果, 我们证明了新类型的摩擦接触问题具有唯一解.

在本节中, 我们将回顾一些必要的定义和结果, 这些结果可参见文献[40,41]. $\langle \cdot,\cdot\rangle_X$ 和 $\|\cdot\|_X$ 分别表示内积空间$X$上的内积和由其诱导的范数.

定义 2.1 设 $\mathcal X$ 和 $\mathcal Y$ 是非空集合. 单值映射 $S\colon\mathcal X\to\mathcal Y$ 的图像 $Gr(S)$ 定义如下

引理 2.1^[40] 设 $\mathcal X$ 和 $\mathcal Y$ 是两个非空集合, $\mathcal P\subset\mathcal X\times\mathcal Y$, 且对于所有 $b\in\mathcal Y$, 有 $Ab=\{a\in\mathcal X \mid (a,b)\in\mathcal P\}$. 假设 $S\colon \mathcal X\to\mathcal Y$ 是一个单值映射, 并且对于每个 $b \in\mathcal{Y}$, 都存在唯一的 $a \in \mathcal{X}$, 使得 $(a,b)\in\mathcal{P}$. 那么 $P\cap Gr(S)\neq\emptyset$ 是单点集当且仅当 $\Lambda := S A$ 具有唯一的不动点.

引理 2.2^[40] 设 $X$ 是一个 Hilbert 空间, $y \in X$, $K\subset X$ 是非空闭凸集, $A \colon K\to X$ 是强单调的且是 Lipschitz 连续的, $j\colon K \to \mathbb{R}$ 是下半连续的, 那么存在唯一的 $b$ 满足

定义 2.2 设 $I$ 是时间区间, 若 $S\colon C(I;X)\to C(I;Y)$ 满足: 对于每一个紧集 $K\subset I$, 都存在 $l_K\in[0,1)$ 和 $L_K>0$ 使得对于每一个 $t\in K$,

\begin{equation*} \|Sa(t)-Sb(t)\|_Y\leq l_K\|a(t)-b(t)\|_X + L_K \int_0^t\|a(s)-b(s)\|_X \,{\rm d}s \end{equation*}

对于所有 $a$, $b\in C(I;X)$ 成立, 则称 $S$ 是历史依赖算子.

引理 2.3^[40] 设 $X$ 是一个 Banach 空间, $I$ 是一个时间区间, 若 $A\colon C(I;X)\to C(I;X)$ 是几乎处处历史依赖的. 那么 $A$ 有唯一不动点.

引理 2.4^[41] 设 $\Omega\subset\mathbb R^N$ 是一个有界的连通区域, 其边界为 $\partial\Omega$, $N\geq 2$. 令 $a_{ij}\in L^\infty(\Omega)$, $b_j$, $c_i\in L^q(\Omega)$, $d\in L^{\frac{q}{2}}(\Omega)$ 和 $\beta\in L^{q-1}(\partial\Omega)$, 其中 $q>N$. 假设存在 $m>0$ 使得 $\sum_{i,j=1}^{N}a_{ij}\zeta_i\zeta_j\geq m|\zeta|^2$ 对于所有 $\zeta\in\mathbb R^N$ 都成立. 若 $T>0$, $w_0\in L^2(\Omega)$, $h\in L^2([T];L^2(\Omega))$ 以及 $p\in L^2([T];L^2(\partial\Omega))$, 那么以下 Robin 问题 (2.1) 存在唯一弱解 $w\in C([T];L^2(\Omega))\cap L^2([T];H^1(\Omega))$.

其中 $\nu=(\nu_j)_{j=1}^N$ 表示边界 $\partial\Omega$ 上的外单位法向量,

这里 $D_iw=\frac{\partial w}{\partial x_i}$.

引理 2.5^[41] 假设 $T>0$, $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2\in[2,+\infty)$ 满足 $\frac{1}{a_1}+\frac{N}{2b_1}<1$ 和 $\frac{1}{a_2}+\frac{N-1}{2b_2}<\frac{1}{2}$, $h\in L^{a_1}([T];L^{b_1}(\Omega))$, $p\in L^{a_2}([T];L^{b_2}(\partial\Omega))$ 以及 $w_0\in L^\infty(\Omega)$. 那么 (2.1) 式的弱解 $w$ 满足

其中 $c$ 只取决于 $T$, $N$, $\Omega$, $a_1$, $b_1$, $a_2$, $b_2$ 以及方程的系数.

引理 2.6^[41] 假设 $T>0$, $h$ 和 $p$ 满足引理 2.5 的条件且 $w_0\in C(\overline{\Omega})$, 那么 (2.1) 式的弱解 $w\in C([T];C(\overline{\Omega}))$. 特别地, 当 $t\to 0$ 时, $w(t)$ 在 $\overline{\Omega}$ 上一致收敛到 $w_0$.

在本节, 我们将证明问题 (1.1)-(1.5) 具有唯一解. 给出假设如下

H($A$)]: $A\colon X\times K_V\to V$ 满足

(a) 对任意 $b\in K_V$ 有 $A(\cdot,b)$ 在 $X$ 上是 Lipschitz 连续的, 即存在 $L_1>0$ 使得

对于所有 $a_1,\ a_2\in X$ 都成立;

(b)] 对于任意 $a\in X$, $A(a,\cdot)$ 是强单调的, 即存在 $m>0$ 使得

对于所有 $b_1,\ b_2\in K_V$ 都成立.

H($j$): $j\colon Z\times V\times\mathbb R\times K_V\to\mathbb R$ 满足

(a) 对于任意 $a\in Z$, $b\in V$ 和 $c\in\mathbb R,$$j(a,b,c,\cdot)$ 在 $K_V$ 上是凸下半连续的;

(b) 存在 $\alpha>0,\ \beta>0,\ \gamma>0$ 使得

对于任意 $a_1,\ a_2\in Z,\ b_1,\ b_2\in V,\ c_1,\ c_2\in\mathbb R$ 和 $d_1,\ d_2\in K_V$ 都成立.

H($\mathcal R$): $\mathcal R\colon C(I;K_V)\times C(I;K_Y)\to C(I;X)$ 是历史依赖的, 即存在 $r_{1J}>0,r_{2J}>0$ 使得对于任意紧集 $J\subset I$,

和

对于所有 $a_1,\ a_2,\ a\in C(I;K_V),\ b_1,\ b_2,\ b\in C(I;K_Y)$ 和 $t\in J$ 都成立.

H($\mathcal S$)]: $S\colon C(I;K_V)\to C(I;Z)$ 是历史依赖的, 即存在 $s_J>0$ 使得对于任意紧集 $J\subset I$,

对于所有 $a_1,\ a_2\in C(I;K_V)$ 和 $t\in J$ 都成立.

H($f$): $f\colon I\to V$ 是连续的.

H($\varphi$): $\varphi\colon V\times Y\to\mathbb R$ 满足

(a) $\varphi(\cdot,\cdot)$ 在 $L_\varphi$ 下是 Lipschitz 连续的, 即存在 $L_\varphi>0$ 使得

对于所有 $a_1,\ a_2\in V$ 和 $b_1,\ b_2\in Y\subset Y_1$ 都成立;

(b) $\varphi(0_V,0_Y)<+\infty$.

H($\phi$): $\phi\colon I\times V\to Y_1$ 满足

(a) $\phi(t,\cdot)$ 在 $L_\phi$ 下是 Lipschitz 连续的, 即存在 $L_\phi>0$ 使得 $\|\phi(t,b_1)-\phi(t,b_2)\|_{Y_1}\leq L_\phi\|b_1-b_2\|_V$ 对于所有 $b_1,\ b_2\in V$ 和 $t\in I$ 都成立;

(b) $\phi(t,0_V)\in L^2(I;Y_1)$.

H($g$): $g\colon Y\times Y\to\mathbb R$ 满足

(a) $g(\cdot,\cdot)$ 是连续的, 双线性和对称的;

(b) 存在 $h_1\in\mathbb R$ 和 $h_2 >0$ 使得 $g(a,a)+h_1\|a\|^2_{Y_1}\geq h_2\|a\|^2_Y$ 对于所有 $a\in Y$ 都成立.

为了证明问题 (1.1)-(1.5) 具有唯一解, 我们首先考虑以下子问题.

问题 3.1 对于给定的 $w\in C(I;C(\overline\Omega))$ 和 $\xi\in H^1(I;Y_1)\cap L^2(I;Y)$, 找 $\eta_{w\xi}\colon I\to K_V$ 使得对于每一个 $t\in I$, 有

定理 3.1 假设 H($A$), H($j$),H($\mathcal R$), H($\mathcal S$), H($f$) 成立且 $m>\beta$, 那么对于任意给定的 $w\in C(I;C(\overline\Omega))$ 和 $\xi\in H^1(I;Y_1)\cap L^2(I;Y)$, 问题 3.1 有唯一解 $\eta_{w\xi}\in C(I;K_V)$.

证 为了方便, 我们假设 $\mathcal X=C(I;K_V)$ 和 $\mathcal Y=C(I;K_V)$. 对任意的 $u\in C(I;K_V)$, 函数 $y_{u\xi}\in C(I;X)$ 和 $z_u\in C(I;Z)$ 定义如下: 对于所有的 $t\in I$, $ y_{u\xi}(t)=\mathcal R(u(t),\xi(t)),\ z_u(t)=\mathcal Su(t). $ 定义集合 $\mathcal P$ 如下

定义算子 $M:\mathcal X\to\mathcal Y$ 如下

我们分以下几步证明

第一步 证明对任意的 $u\in C(I;K_V)$, 都存在唯一的 $\eta_{uw\xi}\in C(I;K_V)$ 满足

事实上, 对任意固定的 $t\in I$, 由引理 2.2 及假设条件 H($A$) 和 H($j$)(a), 可知 (3.2) 式存在唯一解 $\eta_{uw\xi}(t)$. 下证 $\eta_{uw\xi}(t)\in C(I;K_V)$. 为了方便, 令 $u(t_i)=u_i$, $\eta_{uw\xi}(t_i)=\eta_i$, $y_{u\xi}(t_i)=y_i$, $z_{u}(t_i)=z_i$, $w(t_i,x)=w_i$, $f(t_i)=f_i,$ 其中, $i=1,\ 2$. 由 (3.2) 式可知

和

对于所有 $v\in K_V$ 都成立. 在 (3.3) 和 (3.4) 式中分别令 $v=\eta_2$ 和 $v=\eta_1$. 因此有

和

将 (3.5) 和 (3.6) 式相加可得

利用 H($A$) 我们有

另外, 由 H($j$) 可知

结合 (3.8), (3.9) 和 (3.7) 式可得

由 $y_{u\xi}$ 和 $z_u$ 的定义, 结合 $w$ 和 H($f$) 可知 $\eta\in C(I;K_V)$.

第二步 为了建立断言 (3.2) 和问题 3.1 的关系, 需证明如下定义的算子 $\Lambda\colon C(I;K_V)\to C(I;K_V)$$ \Lambda u=\eta_{uw\xi}, \ \forall u\in C(I;V) $ 有唯一不动点.

事实上, 假设集合 $J\subset I$ 是紧集. 对于任意的 $u_1,u_2\in C(I;K_V),\ t\in J$, 类似于 (3.10) 式, 可得

现在, 利用 H($\mathcal R$) 和 H($\mathcal S$) 有

和

结合不等式 (3.12) 和 (3.13), 利用 $\Lambda$ 的定义, 由 (3.11) 式可知

结合条件 $m>\beta$, $\Lambda$ 满足定义 2.2, 其中 $l_K=\frac{\beta}{m}$ 和 $L_K=\frac{L_1r_{1J}+\alpha s_J}{m}$. 因此, 通过引理 2.3 可知, $\Lambda$ 有唯一不动点 $\eta^*\in C(I;K_V)$ 使得 $\Lambda\eta^*=\eta^*$.

第三步显然, 第一步的断言可作为引理 2.1 的条件. 第二步阐明了 $\Lambda$ 有唯一不动点. 因此利用引理 2.1 可得, $\mathcal P\cap Gr(M)$ 是一个单点集. 因此, 存在唯一 $\eta^*$ 满足 $(\eta^*,M\eta^*)\in\mathcal P$, 即 $\eta^*$ 是 (3.1) 式的唯一解.

接下来, 考虑如下子问题

问题 3.2 对一个给定的 $\xi\in H^1(I;Y_1)\cap L^2(I;Y)$, 求 $\eta_\xi\colon I\to K_V$ 和 $w_\xi\colon I\times\Omega\to \mathbb R$, 使得: 对于所有 $t\in I$, 有

成立.

定理 3.2 设 $w_0(x)\in C(\overline{\Omega})$ 且 $m>\beta+T(L_1r_{1J}+\alpha s_J)+\gamma cL_\varphi$. 假设 H($\varphi$) 和定理 3.1 的所有假设成立, 那么对于任意给定的 $\xi\in H^1(I;Y_1)\cap L^2(I;Y)$, 问题 3.2 有唯一解 $(w_\xi,\eta_\xi)\in C(I;C(\overline{\Omega}))\times C(I;K_V)$.

证 对于任意给定的 $\xi\in H^1(I;Y_1)\cap L^2(I;Y)$, 为了求解问题 3.2, 定义 $\Theta\colon C(I;K_V)\to C(I;K_V)$ 使得 $\Theta\eta_\xi(t)=\eta_{w_{\xi\eta}}(t)$, 其中 $\eta_{w_{\xi\eta}}$ 是问题 3.1 在 $w=w_{\xi\eta}$ 下的解, 而 $w_{\xi\eta}$ 是方程 (3.14) 的解. 现在, 我们将按照以下步骤证明.

第一步我们证明方程 (3.14) 的唯一可解性.

对任意的 $\eta_\xi\in C(I;K_V)$, 令 $\bar\varphi(t)=\varphi(\eta_\xi(t),\xi(t))$. 利用 H($\varphi$)(a), 对于所有 $t\in I$, 可得

利用 H($\varphi$)(b), 由 (3.16) 式可得

这里 $\|\eta_\xi(t)\|_C=\sup\limits_{t\in I}\|\eta_\xi(t)\|_V$ 是 $C(I;V)$ 的范数. 因此 $\bar\varphi(t)\in L^2(I)$, 也就是说 $\varphi\in L^2(I)$. 除此之外, 由于 $\varphi$ 不依赖 $x$, 所以 $\varphi$ 关于 $x$ 是一个常数, 因此有 $\varphi\in L^a(\Omega)$ 且 $a$ 是任意正常数. 因此, 引理 2.6 的条件能被满足, 其中 $a_1=2$ 和 $b_1=a$. 那么, 方程 (3.14) 存在唯一的解 $w_{\xi\eta}\in C(I;C(\overline\Omega))$.

第二步 证明问题 3.2 有唯一解.

事实上, 为了证明问题 3.2 的唯一可解性, 只需要证明算子 $\Theta$ 有唯一不动点. 为了方便, 令 $w_1=w_{\xi\eta_1}$ 和 $w_2=w_{\xi\eta_2}$ 分别表示 (3.14) 关于 $\eta_1$ 和 $\eta_2$ 的唯一解, 这里我们省略 $\xi$. 假设集合 $J\subset I$ 是紧的, 从 (3.15) 式我们可以得到两个不等式: 对于任意的 $t\in J$ 和 $v\in K_V$ 有

和

在 (3.17) 式中令 $v=\eta_{w_2}$ 以及 (3.18) 式中 $v=\eta_{w_1}$. 因此

由内积的性质, 结合条件 H($A$)(b) 和 H($\mathcal R$) 有

利用 (3.20) 式和 H($j$)(b), 由 (3.19) 式可知

结合 H($\mathcal S$), 可以推断出

由引理 2.5 知

其中 $c$ 依赖于 $T,\ N,\ \Omega,\ a$ 和方程 (3.14) 的系数.

因为 $\varphi$ 是连续的, 利用 H($\varphi$) 和 (3.22) 式我们有

接下来, 利用 (3.23) 和 (3.21) 式有

对 (3.24) 式两端取上确界, 利用 $\Theta$ 的定义可得

从而, 有 $ \|\Theta\eta_1-\Theta\eta_2\|_C\leq L\|\eta_1-\eta_2\|_C, $ 其中 $L=\frac{\gamma cL_\varphi}{m-\beta-T(L_1r_{1J}+\alpha s_J)}<1$. 利用 Banach 不动点定理可得, 算子 $\Theta$ 在 $C(I;K_V)$ 有唯一不动点.

最后, 我们回到问题 (1.1)-(1.5) 的可解性证明. 为此, 我们给出抛物型变分不等式 (1.3) 的相关结果.

引理 3.1^[42] 设 $p\in L^2(I;Y_1)$ 和 H($g$) 成立. 那么存在唯一的 $\xi\in H^1(I;Y_1)\cap L^2(I;Y)$ 使得对所有 $\delta\in K_Y$ 满足

并且 $\xi(0)=\xi_0\in K_Y$. 另外, 对于 $p=p_i\in L^2(I;Y_1),\ i=1,\ 2$, 以及对应的不等式 (3.26) 的解 $\xi_i$, 我们有对几乎处处 $t\in(0,T)$ 满足

这里常数 $d_1>0$.

现在我们将给出问题 (1.1)-(1.5) 解的存在唯一性结果. 为了方便, 我们令

定理 3.3 设 H($A$), H($j$), H($\mathcal R$), H($\mathcal S$), H($f$),H($\phi$), H($g$) 和 H($\varphi$) 成立. 令 $m>m_0$. 那么问题 (1.1)-(1.5) 有唯一解 $(\xi,\eta,w)\in H^1(I;Y_1)\cap L^2(I;Y)\times C(I;K_V)\times C(I;C(\overline{\Omega}))$.

证 首先, 我们证明不等式(1.3) 的唯一可解性. 对于任意给定的 $\kappa\in C(I;K_V)$, 通过引理 3.2, 我们只需要证明 $\phi\in L^2(I;Y_1)$. 令 $\bar\phi(t)=\phi(t,\kappa(t))$. 由 H($\phi$)(a) 我们得到对于所有 $t\in I$,

由假设 H($\phi$)(b) 及 (3.27) 式, 可得

因此 $\bar\phi(t)\in L^2(I;Y_1)$.

为了解决问题 (1.1)-(1.5) 的可解性问题, 我们定义 $\Pi\colon C(I;K_V)\to C(I;K_V)$ 使得 $\Pi\kappa(t)=\eta_{\xi_\kappa,w_{\xi\kappa}}(t)$, 这里 $\xi_\kappa$ 是抛物型变分不等式 (1.3) 关于 $\eta=\kappa$ 的解, $w_{\xi\kappa}$ 是抛物方程 (1.1) 关于 $\eta=\kappa$ 和 $\xi=\xi_\kappa$ 的解, 且 $\eta_{\xi_\kappa,w_{\xi\kappa}}$ 是拟变分不等式 (1.2) 的解. 定理 3.1 和 3.2 的证明表明这样定义的 $\Pi$ 是有意义的. 为了证明问题 (1.1)-(1.5) 的唯一可解性, 我们只需证明算子 $\Pi$ 具有不动点. 假设 $\xi_1=\xi_{\kappa_1}, \xi_2=\xi_{\kappa_2}$ 和 $ w_1=w_{\xi_1\kappa_1}$, $w_2=w_{\xi_2\kappa_2}$ 分别表示 (1.3) 和 (1.1) 式关于 $\kappa_1$ 和 $\kappa_2$ 的唯一解, 另外我们记 $\eta_1=\eta_{\xi_1,w_1}$ 和 $\eta_2=\eta_{\xi_2,w_2}$ 分别为 (1.2) 关于 $\kappa_1$ 和 $\kappa_2$ 的唯一解. 假设集合 $J\subset I$ 是紧的. 用类似定理 3.2 的证明方法, 我们能够推断出: 对于所有 $t\in J$,

考虑 H($\mathcal S$) 成立, 由 (3.28) 式可以推断

使用引理 3.2, 结合 H($\phi$) 可知

类似于 (3.23) 式, 使用 H($\varphi$) 和 (3.22) 式, 有

利用 (3.30), (3.31) 及 (3.29) 式, 可得

接下来, 对不等式 (3.32) 两端同时取上确界, 我们有

这里 $L=\frac{\gamma cL_\varphi+(L_1r_{2J}T+\gamma cL_\varphi)\sqrt{d_1L_\phi T}}{m-\beta-T(L_1r_{1J}+s_J)}$. 通过使用 Banach 不动点定理, 我们推断 $\Pi$ 在 $C(I;K_V)$ 上有唯一不动点.

在本节, 我们利用前一节的结果研究具有长记忆效应、磨损演化与损伤效应的粘弹性摩擦接触问题的唯一可解性.

设 $\Omega$ 是空间 $\mathbb R^d$ ($d=2$, $3$) 上的有界开区域, 并伴有光滑边界 $\Gamma$. 边界 $\Gamma$ 被分成 $\bar\Gamma_1$, $\bar\Gamma_2$ 和 $\bar\Gamma_3$, 其中 $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ 和 $\Gamma_3$ 是互不相交的. 除此之外, 假设 $\Gamma_1$ 满足 $meas(\Gamma_1)>0$. 向量和张量用粗体字母表示. 例如, $\Gamma$ 上的外单位法线向量记为 $\nu$, 而 $\mathbb R^d$ 中的一个点表示为 $ x=(x_i)$. 时间区间记为 $I$, 也能写作 $[T]$ 或 $\mathbb R_+ = [0,+\infty)$, 其中 $T>0$. 另外, 时间变量的导数用该字母上方的点表示, 例如 $\dot u$. 我们记 $\mathbb S^d$ 为 $\mathbb R^d$ 上的二阶对称张量空间, 它等价于 $d$ 阶对称矩阵空间. 我们记 $\mathbb R^d$ 和 $\mathbb S^d$ 上的标准内积和相关范数如下

此外, 位移向量, 应力张量和线性化应变张量分别被记为 $ u$, $\sigma$ 和 $\varepsilon( u)$. 线性化应变张量用 $\varepsilon_{ij}( u)=\frac{1}{2}( u_{i,j}+ u_{j,i}) $ 表示, 其中 $ u_{i,j}=\frac{\partial{ u_i}}{\partial{ x_j}}$. 虽然, 这些函数依赖空间和时间变量, 在以下内容中, 我们并未明确指出 $\sigma$ 代替了 $\sigma( x)$ 或 $\sigma( x,t)$.
我们研究一个位于上述区域 $\Omega$ 上的可形变物体. 该物体的整个内部在 $\Omega$ 区域内受到密度为 $ f_0(t)$ 的体积力作用, 并在 $\Gamma_2$ 区域内受到密度为 $ f_2(t)$ 的表面拉力作用. 该物体固定在 $\Gamma_1$ 上, 并在边界 $\Gamma_3$ 处与一个完全刚体接触, 该刚体表面与形变物体有着厚度为 $g$ 的间隙层. 随着时间演化, 该柔性覆盖层会因摩擦作用产生磨损. 更多关于摩擦接触问题的说明见下文.
现在我们介绍以下接触问题的数学表达式.

问题 4.1 求位移场 $ u\colon \Omega\times I\to\mathbb R^d$, 应力场 $\sigma\colon \Omega\times I\to\mathbb S^d$, 损伤场 $\xi\colon \Omega\times I\to[0,1]$ 和磨损场 $w\colon \Gamma_3\times I\to\mathbb R$ 使得

对于每一个 $t\in I$ 都成立. (4.1) 式给出了粘弹性本构关系, 其中 $\mathcal{A}$ 表示粘性算子, $\mathcal{B}$ 表示弹性算子, $\mathcal{C}$ 表示松弛张量, 而 $\varepsilon$ 表示形变算子. (4.2) 式给出了损伤函数 $\xi$ (详情参见文献[28]), 其中 $\kappa>0$, $\partial I_{[0,1]}$ 表示 $I_{[0,1]}$ 的凸次微分, 而 $\phi$ 表示依赖于 $\varepsilon$ 的损伤源. 特别地, 损伤函数能被具体表示为

\begin{equation*} \phi(\varepsilon({\dot u}))=\lambda_w-\frac{1}{2}\lambda_E\|\varepsilon({\dot u})\|^2, \end{equation*}

这里 $\lambda_E$ 和 $\lambda_w$ 是正常数 (参见文献[22,23]). (4.3) 式是 $\xi$ 在边界 $\Sigma$ 上的 Neumann 条件. (4.4) 式是除去惯性项的平衡方程. (4.5) 与 (4.6) 式分别表示 $\Gamma_1$ 上的位移为 $0$ 以及 $\Gamma_2$ 上的牵引条件. (4.7)-(4.9) 式描述了具有法向柔度以及库仑干摩擦定律, 其中 $\sigma_\nu$ 表示法向应力, $\sigma_\tau$ 表示切向摩擦力, ${\dot u}_\tau$ 表示速度场的切向分量. 此外, 间隙函数用 $g$ 表示, 正常柔度函数用 $p$ 表示, 而摩擦系数则根据速度场和磨损情况用 $\mu$ 表示. (4.10) 式描述了磨损过程, 并考虑了损伤效应 (详情参见文献[21]). 这里, $\Delta$ 是 $\Gamma_3$ 上的Laplace 算子, $\varphi$ 是右侧引入的一个双线性泛函, 用于量化因摩擦接触产生的磨损. 这种磨损的产生受材料固有损伤状态 $\zeta$ 和位移速率 $\dot{u}$ 的影响. 该方程是 Archard 定律的扩展形式, 并结合了 (4.11) 式中给出的 Robin 边界条件. 最后, (4.12), (4.13) 式表示 $w$, $\xi$ 和 $ u$ 的初值条件.

为了得到以上问题的变分公式. 首先给出如下符合说明, $W^{k,p}(\Omega;\mathbb R^d)$ 表示 Sobolev 空间, 其各分量至多 $k$ 阶弱导数在 $\Omega$ 中是 $p$ 阶可积的. 另外, 记 $H^k=W^{k,2}(\Omega;\mathbb R^d)$, $H=L^2(\Omega;\mathbb R^d)$ 以及

并且它们分别有如下内积

除此之外, 它们的范数分别定义为 $\|\cdot\|_V$ 和 $\|\cdot\|_Q$, 并且形变算子 $\varepsilon \colon H^1(\Omega;\mathbb R^d)\to Q$ 即为上述线性化应变张量的定义. 由于 $meas(\Gamma_1)>0$, 利用 Korn's 不等式, 我们可以得到以下关系,

对于每一个元素 $ u\in V$, 法向和切向部分定义如下 $ u_\nu= u\cdot\nu,\ u_\tau= u-u_\nu\nu. $ 因为 $u_\nu\in L^2(\Gamma)$, $ u_\tau\in L^2(\Gamma;\mathbb R^d)$ 且迹算子是连续的, 可以推导出 $ \| u\|_{L^2(\Gamma_3;\mathbb R^d)}\leq\|\rho\|\| u\|_V, $ 这里 $\rho\colon V\to L^2(\Gamma_3;\mathbb R^d)$ 是迹算子.

除此之外, 令 $Y=H^1(\Omega;\mathbb R)$ 和 $Y_1=L^2(\Omega;\mathbb R)$, 这两个空间的内积定义如下

另外, 记 $K_{V}=\left\{u \in V \mid u_{\nu} \leq g \text { a.e. 在 } \Gamma_{3}\right\}$ 和 $K_{Y}=\{\xi \in Y \mid 0 \leq \xi \leq 1 \text { a.e. 在 } \Omega\}$.

接下来, 我们推导上述问题的变分形式. 设 $ u,\ \sigma,\ \xi$ 和 $w$ 是足够光滑的函数且满足 (4.1)-(4.13) 式. 使用如下 Green 公式

由 $\Gamma$ 的性质, 结合 Green 公式, 利用 (4.4) 和 (4.6) 式我们能得到

利用 (4.5) 式和内积的结论, 我们得到以下等式

利用这些等式, 可将 (4.15) 式转化为

对于 $\int_{\Gamma_3}\sigma_\tau\cdot( v_\tau-{\dot u}_\tau(t)){\rm d}\Gamma$, 利用 (4.8) 和 (4.9) 式有

由 (4.1) 和 (4.7) 式, 利用 (4.16) 和 (4.17) 式我们有

为了方便, 速度场 ${\dot u}$ 记为 $\eta$. 结合初值条件我们有

这里 $\mathcal I\colon C(I;V)\to \mathbb R_+$ 是积分算子. 采用上述记号, 由变分公式 (4.18) 可推导出原问题的如下变分形式.

问题 4.2 求 $\eta\colon I\to V$, $\xi \colon I\to K_Y$ 满足对于每一个 $t\in I$, 有

为了获得问题 4.1 的变分形式, 接下来我们对 (4.2) 式进行变形. 利用凸次微分的性质, 从 (4.2) 式我们可以得到

结合分部积分公式

以及双线性泛函 $g$ 的定义

由 (4.20) 式我们可以得到

现在我们获得了问题 4.1 的变分形式. 为了方便, 我们将这些公式写在一起, 记为如下问题.

问题 4.3 求 $\eta\colon I\to V$, $\xi\colon I\to K_Y$ 和 $w\colon \Gamma_3\times I\to L^2(\Gamma_3;\mathbb R)$, 对于每一个 $t\in I$, 以下关系都成立

为了获得问题 4.3 的可解性, 我们给出以下假设.

$\textbf{ H($\mathcal A$)}: \left\{ \begin{aligned} &\mathcal A\colon \Omega\times\mathbb S^d\to\mathbb S^d\text{ 满足}\\ &\text{(a) 存在 $m_\mathcal A>0$, 对于所有 $ b_1, b_2\in\mathbb S^d,\text{ a.e. } x\in\Omega$ 有}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\mathcal A( x, b_1)-\mathcal A( x, b_2))\cdot( b_1- b_2)\geq m_\mathcal A\| b_1- b_2\|^2,\\ &\text{(b) 对于任意 $ b\in\mathbb S^d$, $\mathcal A( x, b)$ 在 $\Omega$ 上是可测的,}\\ &\text{(c) $\mathcal A( x, 0)$ 属于 $Q$}. \end{aligned} \right.$

$\textbf{ H($\mathcal B$)}: \left\{ \begin{aligned} &\mathcal B\colon \Omega\times\mathbb S^d\to\mathbb S^d \text{ 满足}\\ &\text{(a) 存在 $L_\mathcal B>0$, 对于所有 $ b_1, b_2\in\mathbb S^d$, a.e. $ x\in\Omega$ 有}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|\mathcal B( x, b_1)-\mathcal B( x, b_2)\|\leq L_\mathcal B\| b_1- b_2\|,\\ &\text{(b) 对于任意 $ b\in\mathbb S^d$, $\mathcal B( x, b)$ 在 $\Omega$ 上是可测的,}\\ &\text{(c) $\mathcal B( x, 0)$ 属于 $Q$}. \end{aligned} \right.$

$\textbf{ H($\mathcal C$)}: \left\{ \begin{aligned} &\mathcal C\colon \Omega\times I\times\mathbb S^d\times\mathbb R\to\mathbb S^d\text{ 满足}\\ &\text{(a) 存在 $L_\mathcal C>0$, 对于所有 $ c_1, c_2\in\mathbb S^d,\ d_1,d_2\in\mathbb R,\ t\in I$, a.e. $ x\in\Omega$ 有}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \|\mathcal C( x,t, c_1,d_1)-C( x,t, c_2,d_2)\|\leq L_{\mathcal C}(\| c_1- c_2\|+|d_1-d_2|),\\ &\text{(b) 对于任意 $t\in I, c\in\mathbb S^d,d\in\mathbb R$, $\mathcal C( x,t, c,d)$ 在 $\Omega$ 上是可测的,}\\ &\text{(c) $\mathcal C( x,t, 0,d)$ 属于 $Q$}. \end{aligned} \right.$

$\textbf{ H($p$)}: \left\{ \begin{aligned} &p\colon \Gamma_3\times\mathbb R\to\mathbb R_+\text{ 满足}\\ &\text{(a) 存在 $L_p>0$, 对于所有 $b_1,b_2\in\mathbb R$, a.e. $ x\in\Gamma_3$ 有}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |p( x,b_1)-p( x,b_2)|\leq L_p|b_1-b_2|,\\ &\text{(b) 存在 $p^*>0$, 对于所有 $b\in\mathbb R$, a.e. $ x\in\Gamma_3$ 有 } p( x,b)\leq p^*,\\ &\text{(c) 对于任意 $b\in\mathbb R$, $p( x,b)$ 在 $\Gamma_3$ 上是可测的,}\\ &\text{(d) }\text{对于所有 $b\leq 0$, a.e. $ x\in\Gamma_3$}, p( x,b)=0. \end{aligned} \right.$

$\textbf{ H($g'$)}: \begin{aligned} &g\in L^2(\Gamma_3)\text{ 和 }g( x)\geq 0\text{ a.e. } x\in\Gamma_3. \end{aligned} $

$\textbf{ H($\mu$)}: \left\{ \begin{aligned} &\mu\colon \Gamma_3\times\mathbb R_+\times\mathbb R\to\mathbb R_+\text{ 满足}\\ &\text{(a) 存在 $L_\mu>0$, 对于所有 $b_1,b_2\in\mathbb R_+,\ c_1,c_2\in\mathbb R$ a.e. $x\in\Gamma_3$ 有}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\mu( x,b_1,c_1)-\mu( x,b_2,c_2)|\leq L_{\mu}(|b_1-b_2|+|c_1-c_2|),\\ &\text{(b) 存在 $\mu^*>0$, 对于所有 $b\in\mathbb R_+,\ c\in\mathbb R$, a.e. $ x\in\Gamma_3$ 有 }\mu( x,b,c)\leq \mu^*,\\ &\text{(c) 对于任意 $b\in\mathbb R$, $\mu( x,b,c)$ 在 $\Gamma_3$ 上是可测的}.\\ \end{aligned} \right.$

$\textbf{ H($\varphi'$)}: \left\{ \begin{aligned} &\varphi\colon \Gamma_3\times\mathbb R^d\times\mathbb R\to\mathbb R\text{ 满足}\\ &\text{(a) 存在 $L\varphi>0$, 对于所有 $ b_1, b_2\in\mathbb R^d,\ c_1,c_2\in\mathbb R$, a.e. $ x\in\Gamma_3$ 有}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ |\varphi( x, b_1,c_1)-\varphi( x, b_2,c_2)|\leq \bar L_\varphi(\| b_1- b_2\|+|c_1-c_2|),\\ &\text{(b) 对于任意 $ b\in\mathbb R^d,\ c\in\mathbb R$, $\varphi( x, b,c)$ 在 $\Gamma_3$ 上是可测的}. \end{aligned} \right.$

$\textbf{ H($\phi'$)}: \left\{ \begin{aligned} &\phi\colon \Omega\times I\times\mathbb S^d\to\mathbb R\text{ 满足}\\ &\text{(a) 存在 $\bar L_\phi>0$, 对于所有 $t\in I,\ c_1, c_2\in\mathbb S^d,$ a.e. $ x\in\Omega$ 有}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\phi( x,t, c_1)-\phi( x,t, c_2)|\leq \bar L_\phi\| c_1- c_2\|,\\ &\text{(b) $\phi(\cdot,\cdot, 0_{\mathbb S^d})\in L^2(I;L^2(\Omega;\mathbb R))$},\\ &\text{(c) 对于任意 $t\in I,\ c\in\mathbb S^d$, $\phi( x,t, c)$ 在 $\Omega$ 上是可测的}. \end{aligned} \right.$

现在, 我们给出问题 4.3 的唯一可解性结果.

定理 4.1 若假设 H($\mathcal A$)-H($\phi'$) 成立, $ f_2\in C(I;L^2(\Gamma_2;\mathbb R^d))$, 且 $ f_0\in C(I;L^2(\Omega;\mathbb R^d))$. 那么问题4.3和问题 (1.1)-(1.5)} 是等价的, 并且问题 4.3 具有唯一解.

证 为了方便, 我们定义以下算子: $A\colon Q\times V\to V$, $\mathcal R\colon C(I;V)\times C(I;Y)\to C(I;Q)$, $\mathcal S\colon C(I;V)\to C(I;L^2(\Gamma_3))$, $\phi\colon I\times V\to Y_1$, $j\colon L^2(\Gamma_3)\times V\times\mathbb R\times V\to \mathbb R$, $f\colon I\to V$ 且

从而, (4.23) 式可转化为, 求 $\eta\colon I\to V$ 满足对于每一个 $t\in I$, 有

请注意, (4.30) 式描述了形式为 (1.2) 的拟变分不等式, 其中 $X=Q$, 前文的 $V$ 和 $K_V$ 在此处均等于 $V$, 且 $Z=L^2(\Gamma_3)$. 此外, 前三节中的 $\Omega$ 在此处等于 $\Gamma_3$. 接下来, 我们将验证问题 4.1 中的算子在上述定义下满足定理 3.3 给定的假设.

利用 (4.24) 式, 对于所有 $a_1,\ a_2\in X$, $b,\ c\in V$, 我们有 $ \langle A(a_1,b)-A(a_2,b),c\rangle_V=\langle a_1-a_2,\varepsilon(c)\rangle_X. $ 令 $c=A(a_1,b)-A(a_2,b)$, 我们能得到

使用 (4.14) 式, 我们有 $ \|A(a_1,b)-A(a_2,b)\|_V\leq\|a_1-a_2\|_X, $ 这满足条件 H($A$)(a), 其中 $L_1=1$. 除此之外, 由 (4.14) 式我们有

这满足条件 H(A)(b), 其中 $m=m_\mathcal A$.

利用 (4.27) 式, 结合 H($p$), H($\mu$) 以及范数和迹算子的性质, H($j$)(a) 显然满足, 另外, 我们有

对于所有 $a_1,\ a_2\in Z,\ {b_1,\ b_2,\ d_1,\ d_2}\in V,\ c_1,\ c_2\in\mathbb R$ 都成立, 这满足条件 H($j$)(b), 其中 $\alpha=L_p\|\rho\|(1+\mu^*)$, $\beta=L_{\mu}p^*\|\rho\|^2$ 以及 $\gamma=L_{\mu}p^*\|\rho\|$.

利用 (4.25) 式, 令 $J\subset I$ 以及 $t\in J$, 由 H($\mathcal B$) 和 H($\mathcal C$) 可得

和

对于所有 ${a,\ a_1,\ a_2}\in C(I;V),\ b,\ b_1,\ b_2\in C(I;Y)$ 都成立, 这满足条件 H($\mathcal R$), 其中 $r_{1J}=L_{\mathcal B}+L_{\mathcal C}$ 以及 $r_{2J}=L_{\mathcal C}$.

利用 (4.26) 式, 令 $J\subset I$ 以及 $t\in J$, 由边界上的法向分量和切向分量的分解我们得到

对于所有 $ a_1,\ a_2\in C(I;V)$ 都成立, 这满足条件 H($\mathcal S$), 其中 $s_J=1$.

利用 (4.28) 式, 可得

由于 $f$ 的连续性依赖于 $f_0$ 和 $f_2$. 因此, 由条件 $ f_2\in C(I;L^2(\Gamma_2;\mathbb R^d))$ 和 $ f_0\in C(I;L^2(\Omega;\mathbb R^d))$, 我们知道条件 H($f$) 成立.

利用条件 H($\varphi'$)(b), 根据可测性性质, H($\varphi$)(b) 显然满足. 另外, 我们能得到

对于所有 $a_1,\ a_2\in V$ 以及 $b_1,\ b_2\in Y\subset Y_1$ 都成立, 这满足条件 H($\varphi$)(a), 其中 $L_\varphi=\bar L_\varphi$.

利用 (4.29) 式, 从 H($\phi'$) 中可以看出 H($\phi$)(b) 显然成立. 另外, 结合 $Y_1$ 中的内积, 由 (4.14) 式我们能得到

对于所有 $ b_1,\ b_2\in V,\ t\in I$ 都成立, 这满足条件 H($\phi$), 其中 $L_\phi=\bar L_\phi$.

最后, 通过 (4.21) 式和 $Y$ 中的内积, 我们有

从而, $g(a,a)+\kappa\|a\|_{Y_1}=\kappa\|a\|_Y$, 因此 H($g$) 成立, 其中 $h_1=h_2=\kappa$.

综上所述, 我们可得问题 (1.1)-(1.5) 与问题 4.3 之间的等价关系. 进一步, 根据定理 3.3, 我们知道问题 4.3 具有唯一解.

本文研究了一个新的非线性系统, 该系统包含 Hilbert 空间中的一个偏微分方程, 一个拟变分不等式以及一个抛物型变分不等式. 利用解的估计性质和 Banach 不动点定理, 我们在某些恰当的条件下证明了该系统的唯一可解性. 最后, 我们将新系统的研究结果应用于解决曲面接触的摩擦接触问题的唯一可解性. 该类非线性系统能够有效刻画多源交互作用下的复杂动态行为, 为实际工程问题的建模与分析提供了重要的理论框架和数学工具.