无穷时域最优控制问题的研究最早可追溯至生物学和经济学领域. 对于这类问题的数学研究可以追溯到文献[12]. 此外, 文献[5] 中详细描述了无穷时域上的最优控制问题, 该文介绍了经济学与生物数学领域中无穷时域最优控制问题的重要性, 并给出了一些具体例子.

最优控制问题的庞特里雅金最大值原理是控制理论中一个十分有趣的问题, 实际上它是关于最优控制的一阶必要条件. 对于有限时域上微分方程最优控制问题的庞特里雅金最大值原理, 前人已有非常多的研究^[3,13,14]. 对于无穷时域的情形, 虽然也有许多的研究, 但研究大都集中在常微分方程的最优控制问题^{[1,2,15,16,19]}. 具体而言, 在文献[19] 中作者描述了一类有折现系数且非光滑的无穷时域最优控制问题, 并给出了一个包含 Michel 横截面条件的微分包含型庞特里雅金最大值原理. 在文献[15] 中, 作者得到了有终端约束的非光滑无限时域控制问题的最优控制应当满足的必要条件, 且该必要条件包含一组横截面条件. 在文献[1] 中作者通过有限时域最优控制问题来逼近无穷时域最优控制问题, 得到了庞特里雅金最大值原理, 该方法重点关注共轭量与哈密顿量在无穷远处的表现, 该文还讨论了一些横截面条件在无穷远处成立的特殊情况. 在文献[2] 中作者推广并加强了许多先前有关无穷时域最优控制问题庞特里雅金最大值原理的研究结论. 在文献[16] 中, 作者使用广义针状变分证明加权索伯列夫空间中强局部极小值点应当满足的庞特里雅金最大值原理. 在文献[10] 中, 作者研究了含非线性时滞的 Volterra 积分方程, 有终端约束的无穷时域最优控制问题应当满足的必要条件. 此外, 文献 [6-8]和一些其他文献中的工作也很值得我们关注, 这些文章研究了半线性抛物方程无穷时域最优控制问题的庞特里雅金最大值原理.

据我们所知, 上述我们提到的控制系统都是适定的, 这也就是说, 对于每一个给定的初值与每一个给定的控制, 微分方程都存在唯一的定义在整个无穷时域上的解. 然而值得我们注意的是, 对于有些方程, 给定初值, 在某个特定的控制作用下的解可能会在有限时间爆破, 即趋于无穷. 这类非适定常微分方程控制系统下的无穷时域最优控制问题与我们前面提到的问题都不同, 而本文所研究的就是这一类问题.

首先引入本文接下来所要使用的数学符号. $\mathbb{N}^+\triangleq \{1, 2, 3, \cdots\}$; $\mathbb{R}^+\triangleq (0,+\infty)$; $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 和 $\|\cdot\|$ 分别表示 $\mathbb{R}^\ell$$(\ell\in \mathbb{N}^+)$ 中的内积与欧几里得范数. 对于每个矩阵 $D\in \mathbb{R}^{k\times \ell}$$(k,\ell\in \mathbb{N}^+)$, $D^\top$ 和 $\|D\|$ 分别表示 $D$ 的转置和欧几里得范数. 令 $\rho>0, p>1, n\in \mathbb{N}^+$ 且 $m\in \mathbb{N}^+$. 此外, 令 $B(\cdot)\in L_{{\rm loc}}^p(\mathbb{R}^+;\mathbb{R}^{n\times m})$, 令 $B_r(0)$ 为 $\mathbb{R}^m$ 中以圆心为原点, $r>0$ 为半径的闭球. 在本文中, 我们研究如下常微分方程控制系统

其中 $y_0\in \mathbb{R}^n$ 且 $f: \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^n$ 满足如下假设

($ \boldsymbol{H}_{\mathbf{1}}$) $f\triangleq (f_1,f_2,\cdots,f_n)^\top$ 关于第一个变量可测且关于第二个变量连续可微. 此外, 对于几乎处处的 $t\in \mathbb{R}^+$ 和每一个 $x, w\in \mathbb{R}^n$, 都满足 $\langle f_x(t,x)w,w\rangle\geq 0$, 这里

$(\boldsymbol{H}_{\mathbf{2}})$ 存在一个正常数 $c_0$, 使得对于几乎处处的 $t\in \mathbb{R}^+$ 和每一个 $x\in \mathbb{R}^n$,

这里 $a(\cdot)\in L_{{\rm loc}}^p(\mathbb{R}^+)$, $b(\cdot)\in L_{{\rm loc}}^p(\mathbb{R}^+)\bigcap L_{{\rm loc}}^{\frac{p}{p-1}}(\mathbb{R}^+)$ 是两个非负函数.

在假设 $(H_1)$ 条件下, 对于每一个 $y_0\in \mathbb{R}^n$ 和每一个 $u(\cdot)\in L^\infty(\mathbb{R}^+;B_r(0))$, (2.1) 都存在唯一的解, 我们记该解为 $y(\cdot;y_0,u)$ 并将 $[0,T(y_0,u))$ 记作其最大存在区间. 当 $T(y_0,u)<+\infty$, $\|y(t;y_0,u)\|$ 在 $t\to T(y_0,u)$ 时趋于无穷, 此时我们称解 $y(\cdot;y_0,u)$ 在有限时间 $T(y_0,u)$ 爆破. 对于这种情况, 我们称解 $y(\cdot;y_0,u)$ 有爆破行为.

关于假设 $(H_1)$ 与 $(H_2)$, 我们给出以下几点注释

($a_1$) 若 $f: \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ 为如下形式

显然, $f$ 满足上述假设 $(H_1)$ 与 $(H_2)$. 特别得, 当 $n=m=1$ 且 $y_0>0$ 时, 我们直接求解该常微分方程可得 $y(t;y_0,0)=[y_0^{1-p}-(p-1)t]^{\frac{1}{1-p}}$, 可以发现当 $t\rightarrow y_0^{1-p}/(p-1)$ 时有 $y(t;y_0,0)\rightarrow +\infty$. 因此我们认为, 假设 $(H_1)$ 与 $(H_2)$ 包含了爆破情形.

($a_2)$ 令 $A$ 为常矩阵并满足对于任意的 $x\in \mathbb{R}^n$, $\langle Ax,x\rangle\geq 0$. $f: \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ 定义为

显然, $f$ 满足本文上述假设 $(H_1)$ 与 $(H_2)$. 在这种情况下, 方程 (2.1) 是适定的.

令 $y_d(\cdot)\in L^p(0,+\infty;\mathbb{R}^n)$. 本文所考虑的最优控制问题如下

其中, $(y,u)\in C([0,+\infty);\mathbb{R}^n)\times L^\infty(0,+\infty;B_r(0))$ 满足方程 (2.1).

我们令

在本文中, 我们假设 $(P_{ad})\not=\emptyset$. 这个假设是合理的, 例如, 令 $n=m=1$. 对于任意的 $(t,x)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}$, 定义 $f(t,x)\triangleq |x|^{p-1}x$; $B(\cdot)\equiv 1$; 令 $y_0>0$ 且 $r>y_0^p$; 对于任意的 $t\in \mathbb{R}^+$, 定义 $v(t) \equiv -r$. 可以直接证明: 存在 $t_0>0$, 使得对于任意的 $t\in [0,t_0)$ 都有 $y(t;y_0,v)>0$, 且 $y(t_0;y_0,v)=0$. 记

显然, $(y(\cdot;y_0,\widetilde{v}),\widetilde{v}(\cdot))\in (P_{ad})$. 这就说明 $(P_{ad})\not=\emptyset$. 进一步, 我们可以证明 $(P)$ 至少有一个最优控制, 这也就是说, 存在 $(y^*,u^*)\in (P_{ad})$ 使得对于任意的 $(y,u)\in (P_{ad})$ 都满足 $J(y^*,u^*)\leq J(y,u)$(见如下引理 4.1).

本文的主要结果如下

定理 3.1 假设 $(P_{ad})\not=\emptyset$. 设 $(y^*,u^*)$ 是问题 $(P)$ 的一个最优对. 则存在一个函数 $\varphi(\cdot)\in C([0,+\infty);\mathbb{R}^n)$ 与一个常数 $\lambda_0\geq 0$ 使得

对于几乎处处的 $t\in \mathbb{R}^+$, 我们有

本文中当 $z=0$ 且 $1<p\leq 2$ 时, $\|z\|^{p-2}z\triangleq 0$.

注意到方程 (2.1) 的解可能爆破. 我们无法直接利用以往的方法来研究的问题 $(P)$ 的庞特里雅金最大值原理. 为此, 我们首先把问题 $(P)$ 转化成定义在有限时域 $(0,T_k)$ 上的问题 $(P_k)$, 此处问题 $(P_k)$ 有终端约束 $y(T_k)=y^*(T_k)$ (见 (4.16) 式). 我们可以证明 $(P_k)$ 有一个最优对, 而且问题 $(P_k)$ 的最优对 $(y_k, u_k)$ 就是 $(y^*,u^*)$ 的截断 (见性质 4.1). 这是本文的主要创新之处. 一方面, 由于在问题 $(P_k)$ 中引入了终端约束 $y(T_k)=y^*(T_k)$, 我们可以得到对偶方程的更多信息, 详细地说, 我们能够得到有关 $\psi_k(0),~ \psi_k(T_k)$ 与拉格朗日乘子 $\lambda_k$ 的信息 (见 (5.34) 与 (5.35) 式). 我们可以运用一种非常 "自然" 的方法在区间 $[0,+\infty)$ 延展共轭量 $\psi_k(\cdot)$ (见 (5.35) 式). 将延展后的函数记为 $\varphi_k(\cdot)$ (见 (6.3) 式). 另一方面, 由于问题 $(P_k)$ 的最优对就是 $(y^*,u^*)$ 在区间 $[0, T_k]$ 上的截断, 我们可以运用上述提到的关于 $\psi_k(0)$ 的信息来获得 $\varphi_k(\cdot)$在$[0,+\infty)$ 上的一个估计, 该估计在取极限 $k\rightarrow +\infty$ 得到定理 3.1 的过程中发挥非常重要的作用.

由于状态方程的解 (见 (4.16) 式, 并从该方程中去掉终端约束 $y(T_k)=y^*(T_k)$) 可能会爆破, 我们不能直接使用在文献 [3,4,9,11] 中使用到的逼近方法来得到问题 $(P_k)$ 的庞特里雅金最大值原理. 对于这个难题, 本文的想法是把有约束的控制问题 $(P_k)$ 转化为关于变量 $y$ 与 $u$ 的无约束优化问题. 详细地说, 我们定义一个罚函数, 通过该罚函数我们把问题 $(P_k)$ 转化为优化问题 $(P_{k,\varepsilon})$, 该优化问题没有方程约束. 我们可以证明优化问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 的最优解最终会逼近问题 $(P_k)$ 的最优解. 然后, 计算得到问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 最优解所应满足的必要条件, 再通过取极限 $\varepsilon\rightarrow 0$, 得到问题 $(P_k)$ 的庞特里雅金最大值原理. 该想法来源于文献[17,18]. 最后, 对问题 $(P_k)$ 的庞特里雅金最大值原理进一步取极限 $k \to +\infty$, 得到定理 3.1.

我们首先证明问题 $(P)$ 最优对的存在性.

引理 4.1 假设 $(P_{ad})\not=\emptyset$. 则问题 $(P)$ 至少有一个最优对.

证 令 $d\triangleq \inf J(y, u)$, 其中 $(y, u)\in (P_{ad})$. 显然 $0\leq d<+\infty$, 于是存在一个极小化序列 $\{(y_\ell,u_\ell)\}_{\ell\geq 1}$ 使得

此处 $y_\ell(\cdot)\triangleq y(\cdot;y_0,u_\ell)\in C([0,+\infty);\mathbb{R}^n)$ 且 $u_\ell(\cdot)\in L^\infty(0,+\infty;B_r(0))$. 不失一般性, 我们假定

取一个严格单调递增的序列 $\{T_i\}_{i \ge 1}$, 其中 $T_i > 0, i = 1, 2, \cdots$, 并且 $T_i \to +\infty$. 对于每一个正整数 $i$, 固定之, 并在 $[0,T_i]$ 上考虑序列 $\{y_\ell\}_{\ell\geq 1}$. 由 (4.1) 式, 显然

在该引理的证明中, $C_i$ 表示一个与 $\ell$ 无关的常数. 注意到

由假设 $(H_2)$, (4.2)-(4.4) 式以及 Gronwall 不等式我们可以得到

以及

由 (4.5) 和 (4.6) 式可得 $\{y_\ell\}_{\ell\geq 1}$ 在 $[0,T_i]$ 上一致有界且等度连续, 且在 $W^{1,p}(0,T_i;\mathbb{R}^n)$ 上有界. 不失一般性, 我们假设存在 $\{\ell\}_{\ell\geq 1}$ 的一个子列, 不妨仍以它自身记, 以及一个函数 $y^*_{(i)}\in C([0,T_i];\mathbb{R}^n)$ 满足

上式联立假设 $(H_1)$, $(H_2)$ 可得

由 (4.2), (4.7), (4.8) 式, 并在下列方程

中取极限, 我们可以得到

即对于任意的 $t\in [0,T_i]$, 都有

由于 $i\geq 1$ 是任意的, 由 (4.9) 式与方程 (2.1) 解的唯一性我们可知对于任意的 $t\in [0,T_i]$ 与 $i'\geq 1$ 都有

现在我们定义

由 (4.10)-(4.12) 式可知 $y^*(\cdot)\in C([0,+\infty);\mathbb{R}^n)$ 满足

由 (4.1) 式, 我们有

在上式中令 $\ell \to +\infty$, 联立 (4.2), (4.7) 和 (4.12) 式可得

从而

由 (4.14) 和 (4.13) 式, 我们可以得到 $y^*(\cdot)=y(\cdot;y_0,u^*)$ 且 $(y(\cdot;y_0,u^*),u^*(\cdot))$ 是问题 $(P)$ 的一个最优对.

为了证明定理 3.1, 我们首先要引入一列逼近最优控制问题. 令 $\{T_k\}_{k\geq 1}$ 是满足 $0<T_1<T_2<\cdots<T_k<\cdots$ 且 $T_k\rightarrow +\infty$ 的一个实数列. 任取 $k\geq 1$, 我们定义如下逼近最优控制问题

其中 $(y,u)\in W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)\times L^\infty(0,T_k;B_r(0))$ 满足如下常微分方程

我们接下来证明问题 $(P_k)$ 最优对的存在性.

引理 4.2 任取 $k\geq 1$, 问题 $(P_k)$ 至少有一个最优对.

证 令 $d_k\triangleq\inf J_k(y,u)$. 显然 $0\leq d_k<+\infty$. 令 $\{(y_\ell,u_\ell)\}_{\ell\geq 1}\subseteq W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)\times L^\infty(0,T_k;B_r(0))$ 是问题 $(P_k)$ 的一个极小化序列, 满足

其中

并且

不失一般性, 我们假定

由条件 $(H_2)$, (4.17)-(4.19) 式, $Gronwall$ 不等式与 (4.16) 式, 类似于引理 4.1 中的证明, 我们可以得到

与

此处 $C$ 表示一个与 $\ell$ 无关的正常数. 由 (4.20) 与 (4.21) 式可得 $\{y_\ell\}_{\ell\geq 1}$ 在闭区间 $[0,T_k]$ 上一致有界且等度连续, 在 $W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$ 上有界. 不失一般性我们假设存在 $\{\ell\}_{\ell\geq 1}$ 的一个子列 (不妨仍以它自身记), 和 $\widetilde{y}\in W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$ 使得

(4.22) 式与假设 $(H_1)$ 和 $(H_2)$ 联立可得

在 (4.16) (其中 $y$ 与 $u$ 分别替换为 $y_\ell$ 与 $u_\ell$) 与 (4.17) 式中令 $\ell \to +\infty$, 由 (4.19), (4.22) 和 (4.23) 式, 我们就可以得到

和 $J_k(\widetilde{y},\widetilde{u})\leq d_k$. 从而 $(\widetilde{y},\widetilde{u})$ 是问题 $(P_k)$ 的一个最优对.

下面的结论讨论了问题 $(P_k)$ 与问题 $(P)$ 最优对之间的关系.

命题 4.1 任取 $k\geq 1$, 令 $(y_k^*,u_k^*)$ 是 $(P_k)$ 的一个最优对. 则对任意的 $t\in [0,T_k]$, 都有 $y_k^*(t)=y^*(t)$, 并且对于几乎处处的 $t\in (0,T_k)$, $u_k^*(t)=u^*(t)$. 因此, 问题 $(P_k)$ 的最优对是唯一的.

证 由方程 $(2.1)$ 与 $(H_2)$, 我们有 $y^*\in W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$. 一方面考虑到 $(y_k^*,u_k^*)$ 是问题 $(P_k)$ 的最优对, 从而 $J_k(y_k^*,u_k^*)\leq J_k(y^*,u^*)$, 即

另一方面, 令

则 $(\widetilde{y}_k^*,\widetilde{u}_k^*)\in C([0,+\infty);\mathbb{R}^n)\times L^\infty(0,+\infty;B_r(0))$ 且满足方程 (2.1). 由于 $(y^*,u^*)$ 是问题 $(P)$ 的最优对, 我们有 $J(y^*,u^*)\leq J(\widetilde{y}_k^*,\widetilde{u}_k^*)$, 即

注意到在区间 $(T_{k}, \infty)$ 上, $\widetilde{y}_k^*(t) = y^*(t), \widetilde{u}_k^*(t) = u^*(t)$, 从而

上式联立 (4.24) 式, 我们可以得到对于几乎处处的 $t\in (0,T_k)$ 都有 $u_k^*(t)=u^*(t)$. 考虑到方程 (4.16) (没有约束条件 $y(T_k) = y^*(T_k)$) 解的唯一性, 可得对于任意的 $t\in [0,T_k]$ 都有 $y_k^*(t)=y^*(t)$.

本节致力于得到问题 $(P_k)\;(k\geq 1)$ 的庞特里雅金最大值原理. 任取 $\varepsilon>0$, 我们引入下述优化问题

其中, $J_{k,\varepsilon}(\cdot,\cdot): W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)\times L^\infty(0,T_k;B_r(0))\rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

我们首先证明问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 最优对的存在性.

引理 5.1 任取 $\varepsilon>0$, 问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 至少有一个最优对.

证 令 $d_{k,\varepsilon}=\inf J_{k,\varepsilon}(y,u)$. 显然 $0\leq d_{k,\varepsilon}<+\infty$. 令 $\{(y_\ell,u_\ell)\}_{\ell\geq 1}\subseteq W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)\times L^\infty(0,T_k;B_r(0))$ 是问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 的极小化序列, 满足

其中

不失一般性, 我们假定

由 (5.1) 和 (5.2) 式可得

在该引理的证明中, $C$ 表示一个与 $\ell$ 无关的正常数. 注意到

由 (5.2)-(5.5) 式, 假设 $(H_2)$ 与 Gronwall 不等式, 类似于引理 4.1 中的证明, 我们可得

以及

由 (5.6) 与 (5.7) 式可得 $\{y_\ell\}_{\ell\geq 1}$ 在闭区间 $[0,T_k]$ 上一致有界且等度连续, 在 $W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$ 中有界. 不失一般性我们假设存在 $\{\ell\}_{\ell\geq 1}$ 的一个子列 (不妨仍以它自身记), 以及 $\widetilde{y}\in W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$, 使得

上式联立 $(H_1)$ 和 $(H_2)$ 可得

在 (5.1) 式中令 $\ell\rightarrow +\infty$, 由 (5.2), (5.3), (5.8) 和 (5.9) 式可得 $J_{k,\varepsilon}(\widetilde{y},\widetilde{u})\leq d_{k,\varepsilon}$. 因此, $(\widetilde{y},\widetilde{u})$ 是问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 的一个最优对.

下面的引理关于问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 最优对的收敛性.

引理 5.2 令 $(y_{k,\varepsilon}^*,u_{k,\varepsilon}^*)$ 是问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 的一个最优对. 则存在序列 $\{\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 的一个子列 (不妨仍以它自身记) 满足

且有

证 由于 $(y_{k,\varepsilon}^*,u_{k,\varepsilon}^*)$ 是问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 中的最优对, 从而

这表明

考虑到 $J_{k, \varepsilon}(y, u)$ 的定义, 我们从中分别截取中间项与最后一项即可以得到

以及

在该引理的证明中, $C$ 表示一个与 $\varepsilon$ 无关的正常数. 由条件 $(H_2)$, (5.12), (5.14), (5.15) 式, 类似于引理 4.1 的证明我们可以得到 $\{\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 的一个子列 (不妨仍以它自身记), 以及 $(\widetilde{y},\widetilde{u})\in W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)\times L^\infty(0,T_k;B_r(0))$ 使得

以及

在 (5.14) 与 (5.15) 式中令 $\varepsilon\rightarrow 0$, 由 (5.16)-(5.18) 式, 我们可以得到

令

考虑到 (5.19) 式, 显然 $(\widehat{y},\widehat{u})\in C([0,+\infty);\mathbb{R}^n)\times L^\infty(0,+\infty;B_r(0))$ 满足方程 (2.1). 由于 $(y^*,u^*)$ 是问题 $(P)$ 的最优对, 从而

所以

由 (5.16), (5.18) 与 (5.20) 式可得

上式联立 (5.13) 式表明

从而由 (5.18) 式可得 (5.11) 式, 并且对于几乎处处的 $t\in (0,T_k)$, $\widetilde{u}(t)=u^*(t)$. 因此, 由 (5.19) 式, 方程 (4.16) (没有约束条件 $y(T_k) = y^*(T_k)$) 解的唯一性和 (5.16) 式, 可得对于所有的 $t\in [0,T_k]$, $\widetilde{y}(t)=y^*(t)$, 并且 (5.10) 式成立.

接下来证明问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 的庞特里雅金最大值原理.

定理 5.1设 $(y_{k,\varepsilon}^*,u_{k,\varepsilon}^*)$ 是问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 的一个最优对. 则存在 $\psi_{k,\varepsilon}\in W^{1,\frac{p}{p-1}}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$ 以及常数 $\lambda_{k,\varepsilon}\geq 0$ 满足

对于几乎处处的 $t\in (0,T_k)$, 有

证 任取 $(z,v)\in W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)\times L^\infty(0,T_k;B_r(0))$, 固定之. 对于任意的 $\delta\in (0,1)$, 令 $y_{k,\varepsilon}^\delta\triangleq y_{k,\varepsilon}^*+\delta z$ 且 $u_{k,\varepsilon}^\delta\triangleq u_{k,\varepsilon}^*+\delta (v-u_{k,\varepsilon}^*)$. 由于 $(y_{k,\varepsilon}^*,u_{k,\varepsilon}^*)$ 是问题 $(P_{k,\varepsilon})$ 的最优对, 从而

在 (5.24) 式中取极限 $\delta\rightarrow 0$, 由假设 $(H_1)$ 与 $(H_2)$, 可得

令

对于任意的 $t \in (0, T_k)$, 定义

由 (5.25)-(5.28) 式, 通过计算可得

在 (5.29) 式中令 $z=0$, 我们可以得到 (5.23) 式. 在 (5.29) 式中取 $v=u_{k,\varepsilon}^*$, 可得对于任意的 $z\in W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$, 有

令 $\widetilde{\psi}_{k,\varepsilon}\in W^{1,\frac{p}{p-1}}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$ 是如下方程

在 $(0, T_k)$ 上的的唯一解. (5.31) 式的第一个方程左右两端同乘 $z$, 然后在 $(0,T_k)$ 上积分, 由 (5.30), 我们得到对于任意的 $z\in W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$, 有

任取 $w\in L^p(0,T_k;\mathbb{R}^n)$, 令 $z\in W^{1,p}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$ 为下述方程的唯一解

联立 (5.32) 与 (5.33) 式可得对于几乎处处的 $t \in (0, T_k)$, 有

从而 (5.31), (5.26) 式以及 (5.27) 式即证 (5.22) 与 (5.21) 式.

下面的定理给出问题 $(P_k)$ 的庞特里雅金最大值原理.

定理 5.2 存在 $\psi_k\in W^{1,\frac{p}{p-1}}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$ 与常数 $\lambda_k\geq 0$ 使得

且对于几乎处处的 $t\in (0,T_k)$,

证 令 $\Phi_{k,\varepsilon}(\cdot)\in C([0,T_k];\mathbb{R}^{n\times n})$ 是下述方程的唯一解

可以直接验证

(5.38) 式的第一个方程左右两端同乘 $2\Phi_{k,\varepsilon}(t)z_0$, 然后在 $(s,t)$$(0\leq s\leq t\leq T_k)$ 上积分, 可得

联立上式与假设 $(H_1)$ 得到 $ \|\Phi_{k,\varepsilon}(t)z_0\|\leq \|\Phi_{k,\varepsilon}(s)z_0\|,\;\forall\;z_0\in \mathbb{R}^n,\;\forall\;0\leq s\leq t\leq T_k. $ 从而

因此, 我们有

考虑到 (5.22) 与 (5.37) 式, 显然对于任意的 $t\in [0,T_k]$,

上式联立 (5.39), (5.21) 式, 引理 5.2 和 $(H_2)$ 可得

并且

在该定理的证明中, $C$ 是不依赖于 $\varepsilon$ 的正常数. 由 (5.41) 式, 我们有

由 (5.40)-(5.42), (5.21) 式, 以及 $\lambda_{k,\varepsilon}$ 的非负性, 存在 $\{\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 的一个子列 (不妨仍以它自身记), $\psi_k\in W^{1,\frac{p}{p-1}}(0,T_k;\mathbb{R}^n)$ 以及一个非负常数 $\lambda_k$, 使得

与

根据 $(H_1), (H_2)$, (5.43) 式以及引理 5.2, 可以得到

在 (5.21)-(5.23) 式中令 $\varepsilon\rightarrow 0$, 由引理 5.2 与 (5.43)-(5.45) 式, 我们就可以得到 (5.34)-(5.36) 式.

证 令 $\Phi(\cdot)\in C([0,+\infty);\mathbb{R}^{n\times n})$ 为下述方程的唯一解

类似于 (5.39) 式的证明, 有

令 $\varphi_k\in C([0,+\infty);\mathbb{R}^n)$ 是下述方程的唯一解

由 (6.3), (5.35) 与 (5.36) 式, 显然

并且对于几乎处处的 $t\in (0,T_k)$, 有

对于任意的 $t\in [0,+\infty)$,

由 (5.34) 式, $\lambda_k$ 的非负性以及 (6.4) 式, 存在 $\{k\}_{k\geq 1}$ 的一个子列 (不妨仍以它自身记), 非负常数 $\lambda_0$, $a_0\in \mathbb{R}^n$ 与 $b_0\in \mathbb{R}^n$ 使得

以及

对于任意的 $t\in [0,+\infty)$, 我们记

则 $\varphi(\cdot)$ 满足 (3.2) 式. 此外, 由 (6.6), (6.9), (6.2) 与 (6.7) 式, 利用 $H\ddot{o}lder$ 不等式, 可以得到

注意到 $\lambda_k\rightarrow \lambda_0$, $T_k\rightarrow +\infty$, 从而由 (6.5), (6.10) 式以及 (6.7) 式可得 (3.3) 式.

接下来证明 (3.1) 式. 反之, 存在 $t_0\geq 0$ 使得 $\lambda_0^2+\|\varphi(t_0)\|^2=0$. 考虑到 (3.2) 与 (6.8) 式, 我们有

上式与 (6.10) 式联立可得

从而与 (6.7) 式结合可得 $b_0=0$, 与 (6.11) 中 $b_0 \not=0$ 矛盾.

在本文的最后, 我们举两个特例. 对于第一个例子, 可以证明定理 3.1 中的 $\lambda_0\not=0$. 对于第二个例子, 可以证明 $\lambda_0\not=0$, 并且 $t\rightarrow +\infty$ 时, $\varphi(t)\rightarrow 0$, 也就是说横截面条件成立.${\it {例1.}}$ 令 $n=m=1$; 任取 $(t,x)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}$, 令 $f(t,x)\triangleq |x|^{p-1}x$; $B(\cdot) \equiv 1$, $y_0>0$ 且 $r>y_0^p$. 可以直接验证该特例确实在本文假设 $(H_1)$ 与 $(H_2)$ 的框架内. 此时, 由定理 3.1 可得

设 $(y^*,u^*)$ 是问题 $(P)$ 的最优对. 则存在 $\varphi(\cdot)\in C[0,+\infty)$ 以及常数 $\lambda_0\geq 0$ 使得

且对于几乎处处的 $t\in \mathbb{R}^+$, 有

此时必然有

若不然, $\lambda_0=0$. 由 (6.12)-(6.14) 式可得

以及

从而 $u^*(\cdot)\equiv r$ 或者 $u^*(\cdot)\equiv -r$. 我们分两种情况进行讨论

情形一 $u^*(\cdot)\equiv r$. 此时, $y^*(\cdot)$ 严格单调递增, 因此

由此可以得到对于任意的 $t\geq 0$, 都有 $(y^*)^\prime(t) (y^*(t))^{-p}>1$. 把上式在 $(0,t)$ 上积分可得: $y^*(t)>[y_0^{1-p}-(p-1)t]^{-\frac{1}{p-1}}$. 因此, $y^*(\cdot)$ 在 $t=y_0^{1-p}/(p-1)$ 爆破. 这与 $y^*\in C[0,+\infty)$ 矛盾.

情形二 $u^*(\cdot)\equiv -r$. 此时, $y^*(\cdot)$ 严格单调递减, 且存在 $t_0\in \mathbb{R}^+$ 使得对于任意的 $t\in [0,t_0)$ 有 $y^*(t)>0$; 对于任意的 $t>t_0$ 都有 $y^*(t)<0$; 且有 $y^*(t_0)=0$. 令 $z(t)\triangleq -y^*(t),\;t\geq t_0$, 则 $z(\cdot)$ 满足如下初值问题

类似于情形一的讨论得到 $z(\cdot)$ 会在有限时间爆破, 从而矛盾.

因此, (6.15) 式成立.

${\it {例2.}}$ 令 $n=m=1$; $p=2$; $1<\rho\leq 2$; 对于 $(t,x)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}$ 令 $f(t,x)\triangleq x$; $B(\cdot)\equiv 1$; $r>y_0>0$. 令

则 $(v(\cdot),y(\cdot;y_0,v))\in (P_{ad})$. 因此, 该例子在本文框架内, 由定理 3.1 有

设 $(y^*,u^*)$ 是问题 $(P)$ 的最优对. 则存在 $\varphi(\cdot)\in C[0,+\infty)$ 与常数 $\lambda_0\geq 0$ 一同满足

且对于几乎处处的 $t\in \mathbb{R}^+$,

此时必然有

若不然, 我们假设 $\lambda_0=0$. 由 (6.16)-(6.18) 式可得

且

从而 $u^*(\cdot)\equiv r$ 或 $u^*(\cdot)\equiv -r$. 我们分两种情形进行讨论

情形一 $u^*(\cdot)\equiv r$. 此时, 对于任意的 $t\in [0,+\infty)$, $y^*(t)=(y_0+r)e^t-r$ 并且

上式右端的第一项与第二项均为有限的, 而第三项是发散的. 这也就是说 $J(y^*,u^*)=+\infty$. 矛盾.

情形二 $u^*(\cdot)\equiv -r$. 对于这种情形, 类似于情形一的讨论也可以导出矛盾.

因此, (6.19) 式成立.

接下来我们证明

事实上, 由 (6.17) 式即得

由于

从而

这与 (6.21) 式联立可得 (6.20) 式.