量子微积分由 Jackson 于二十世纪初创立, 是离散数学的重要分支^[1-5]. $q$-微积分基于有限差分重标思想, 是量子微积分的一种具体实现形式. 随着信息技术的发展, $q$-微积分理论在自然科学与工程领域的应用日益广泛^[6-9]. 时滞 $q$-微积分方程作为 $q$-差分理论的重要分支, 已成为重要的数学工具. 但值得注意的是, 时滞 $q$-微分方程直到最近才受到广泛关注.

通常, 时滞微分方程的一般形式为 $D^{\alpha}y(t)=f(t,y(t),y(t-\tau))$, 其中时滞 $\tau$ 为非常数时变或状态依赖项, $\alpha$ 是方程的阶数. 特别地, 当 $\tau(t)=(1-p)t,\ 0<p<1$ 时, 该方程退化为比例时滞微分方程 $D^{\alpha}y(t)=f(t,y(t),y(pt))$. 在物理背景下, 比例时滞 $(1-p)t$ 是随时间线性增长, 可用于模拟导线上传播的波对受电弓的持续作用, 故得名 "比例时滞". 比例时滞方程 (亦称受电弓方程) $y'(t)=f(t,y(t),y(pt))$ 最早由 Ockendon 和 Tayler 在其开创性工作文献[10] 中提出. 此后, 该类方程因其独特的数学性质, 在数学与工程领域引起了广泛研究兴趣^[11-18]. 鉴于比例时滞非线性微分方程的重要性, 以及 $q$-微积分在极限情形下与经典微积分的相容性 (即 $\lim_{q\to1}D_{q}y(t)=\frac{{\rm d}y(t)}{{\rm d}t}=y'(t)$), 本文进一步研究更为一般的形式-比例时滞非线性分数阶 $q$-微分方程 $D_{q}^{\alpha}y(t)=f(t,y(t),y(pt))$, 其中 $D_q^{\alpha}$ 表示分数阶 $q$-导数, 该模型拓展了经典受电弓方程的理论框架.

另一方面, 求解具有比例时滞的非线性分数阶微分方程初值问题, 是数学理论与应用研究中的重要课题, 这也促使本文聚焦于比例时滞非线性分数阶 $q$-微分方程初值问题幂级数形式解的研究. 自 20 世纪 30 年代以来, 分数阶微积分的理论体系逐步建立. 英国数学家 Feinlieb 提出的超收敛条件, 巧妙地将分数阶积分方程与微分方程初值问题联系起来, 为后续研究奠定了重要基础^[19-21]. 分数阶微分方程初值问题的求解, 不仅有助于揭示系统演化的内在规律, 也在多个应用领域中展现出广泛价值. 在分数阶 $q$-微分方程的框架下, 已有诸多关于初值问题的研究成果: 许多学者借助不动点定理 (如 Banach 压缩映射原理, Leray-Schauder 非线性选择, Altman 不动点定理等) 系统分析了 Caputo 型分数阶 $q$-微分方程初值解的存在性和唯一性见文献[5,22]. 同时, 一些有效的数值方法 (如变步长分数阶 Adams 法, 差分法, Adomian 分解法, 变分迭代法等) 被提出, 用于构造初值问题的数值解并估计其误差见文献 [5,23,24]. 特别值得关注的是, 文献[24] 通过解析方法获得分数阶 $q$-微分方程初值问题的精确解, 并提出了相应的 Caputo 型数值解法; 文献[25] 利用差分格式证明了该类问题差分解的唯一存在性与稳定性, 并给出收敛性分析. 文献[26] 则提出了一种高效的分数阶 $q$-微分方程数值解法. 受上述研究启发, 本文将进一步探讨比例时滞的分数阶 $q$-微分方程初值问题解的存在唯一性. 并采用逐次逼近法讨论分数阶 $q$-微分受电弓方程和分数阶 $q$-微分 Ambartsumian 方程初值问题幂级数形式的解, 进而分析解的相关性质. 与文献[15] 不同, 我们将结果还推广至分数阶 $q$-微分方程组的情形.

令 $0<q<1$,

那么 $q$-伽马函数定义为

且 $\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x).$

定义 2.1^[1] 令 $\alpha\geqslant0$ 且 $f$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数. 那么 Riemann-Liouville 型分数阶 $q$-积分定义为 $(I^{0}_q f)(x)=f(x)$,

对 $\forall x,y>0$, $q$-贝塔函数定义为

定义 2.2^[2] $\alpha\geqslant0$ 时 Riemann-Liouville 型分数阶 $q$-导数分定义为

其中 $m$ 表示大于或等于 $\alpha$ 的最小整数.

引理 2.1^[1] 令 $\alpha,\gamma\geqslant0$, $f$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数, 那么

定义 2.3^[1] 令 $\alpha>0$, $p$ 是一个正整数, 那么

引理 2.2^[1] 令 $\beta\in R^+, \lambda\in(1,+\infty), 0\leq a<t\leq b$, 那么

特别地, 对 $\lambda=0, a=0$, $(I_q^{\beta}1)(t)=\frac{1}{\Gamma_q(\beta)}\int_{0}^{t}(t-qx)^{(\beta-1)}{\rm d}_q x=\frac{1}{\Gamma_q(\beta+1)}(t)^{\beta}.$

定义 2.4^[1]$q$-Mittag-Leffler 函数定义为

其中 $D_{q}^{\alpha}$ 表示 Caputo 分数阶 $q$-导数, $0<\alpha\leq1, 0<q<1$ 是 $q$-微分基底, $0<p<1$ 是独立的比例时滞参数, $f$ 在 3 维长方体区域 $P=\{|t|\leq a,|y(t)-y_0|\leq b,|y(qt)-y_0|\leq b,a>0,b>0\}$ 上是连续的. 显然, (3.1) 式的解等价于

令 $\Phi_0(t)=y_0$, 则

继续这样下去, 有

定理 3.1 假设在 $P$ 上 $|f|\leq M$, 则 (3.2) 式的逐次逼近存在且在 $I=[-\eta,\eta]$ 上是连续的, 其中 $\eta=\min\{a,(\frac{b\Gamma_{q}(\alpha+1)}{M})^{\frac{1}{\alpha}}\}$. 且有 $t\in I$,

证 下面将用数学归纳法来证明. 令 $\Phi_0(t)=y_0$, 则

同时,

假设 $k=n$ 时, $|\Phi_n(t)-y_0|\leq M\frac{|t|^{\alpha}}{\Gamma_{q}(\alpha+1)}$ 和 $|\Phi_n(pt)-y_0|\leq M\frac{|t|^{\alpha}p^{\alpha}}{\Gamma_{q}(\alpha+1)}$ 都成立. 则对 $k=n+1$,

定理 3.2 假设在 $P$ 上 $|f|\leq M$ 且 $f$ 满足 Lipschitz 条件, 即存在 Lipschitz 常数 $L_1$, $L_2$, $(L_1+L_2)\eta^{\alpha}<1$ 使得

则 (3.2) 式的逐次逼近在 $I=[-\eta,\eta]$ 上收敛, 其中 $\Phi$ 是 (3.1) 式在 $I$ 上的解,

证 由定理 3.1 可知, (3.2) 式的逐次逼近 $\Phi_k$ 存在且在 $I$ 上是连续的. 由于 $\Phi_k(t)=\Phi_0(t)+\sum_{n=1}^{k}[\Phi_n(t)-\Phi_{n-1}(t)]$, 则 $\{\Phi_k\}$ 的收敛性只需证明下式的收敛性

由 $|\Phi_1(t)-\Phi_0(t)|\leq M\frac{|t|^{\alpha}}{\Gamma_{q}(\alpha+1)}$, $|\Phi_1(pt)-\Phi_0(pt)|\leq M\frac{|t|^{\alpha}p^{\alpha}}{\Gamma_{q}(\alpha+1)}$, 可得

从而由数学归纳法可得

令 $ a_n(t)=M(L_1+L_2)^{n-1}\frac{|t|^{n\alpha}}{\Gamma_{q}(n\alpha+1)}\prod_{j=1}^{n-1}(1+p^{j\alpha}). $ 从而当 $(L_1+L_2)\eta^{\alpha}<1$ 时有

因此, $a_{n}(t)$ 是收敛的. 则, $\sum_{n=1}^{\infty}[\Phi_n(t)-\Phi_{n-1}(t)]$ 是收敛的, 进而证明 (3.3) 式的收敛性.

其中 $0<\alpha\leq1,0<q,p<1, a',b'\in \mathbb{R}$. 显然, (3.4) 式的解等价于

假设 $\Phi_{k}(t)$ 是 $k^{th}$ 近似解, 其中 $\Phi_{0}(t)=1$ 是初始近似解. 因此,

同理可得

当 $k\rightarrow\infty$ 时, $ \Phi_{k}(t)\rightarrow1+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{t^{m\alpha}}{\Gamma_{q}(m\alpha+1)}\prod_{j=0}^{m-1}(a'+b'p^{j\alpha}). $ 令 $y(t)=1+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{t^{m\alpha}}{\Gamma_{q}(m\alpha+1)}$$\prod_{j=0}^{m-1}(a'+b'p^{j\alpha}).$ 若对 $m=1$ 定义 $\prod_{j=0}^{m-1}(a'+b'q^{j\alpha})=1$, 则

定理 3.3若 $0<p<1$, $a^{\alpha}(|a'|+|b'|)<1,$ 则 (3.5) 式对 $ t\in P$ 的所有确定的有限值是收敛的.

定理 3.4 若 $0<p<1, a',b'\geq0$, 则

考虑

其中 $p>1$. (3.6) 式的解为

定理 3.5 若 $p>1$, $a^{\alpha}<1,$ 则 (3.7) 式对 $t\in P$ 的所有确定的有限值是收敛的.

其中 $D_{q}^{\alpha_i}$($0<\alpha_i\leq1$) 是分数阶 Cauto 导数,

$f=(f_1f_2,\cdots,f_n)$ 表示 $R=\{|t|\leq a, |y_i(t)-y_0^i|\leq b_i, |y_i(pt)-y_0^i|\leq b_i, 0<a, b_i>0, 1\leq i\leq n\}$ 上的连续函数. 显然, (4.1) 式的解 $\widetilde{\phi}=(\phi^1, \phi^2, \cdots,\phi^n)$ 等价于 $\phi^i$ 是

的解.

定理 4.1 假设在 $R$ 上 $\|f\|=M$, 那么逐次逼近 $\Phi_0^i(t)=y_0^i,$

存在且在 $I=[-\zeta,\zeta]$ 上连续, 其中

从而, 对

和

证明略. 证明与定理 3.1 类似.

定理 4.2 假设在 $R$ 上 $f$ 是连续的, 且 $f$ 关于第二和第三变量满足 Lipschitz 条件, 即存在 Lipschitz 常数 $L_1$, $L_2$, $(L_1+L_2)\zeta^{\alpha_{i}}<1, 1\leq i\leq n$ 使得

则 (4.2) 式的逐次逼近在 $I=[-\zeta,\zeta]$ 上收敛.

证 由定理 4.1 可知, (4.2) 式的逐次逼近 $\Phi_k^i$ 存在且在 $I$ 上连续. 由于 $\Phi_k^i(t)=\Phi_0^i(t)+\sum_{n=1}^{k}[\Phi_n^i(t)-\Phi_{n-1}^i(t)]$, 则 $\{\Phi_k^i\}$ 的收敛性只需要证明下式的收敛性

$ |\Phi_1^{i}(t)-\Phi_0^{i}(t)|\leq M\frac{|t|^{\alpha_i}}{\Gamma_{q}(\alpha_i+1)},. $ 由定理 4.1 可得

数学归纳法易得下面结果成立

令 $ b_m(t)=M(L_1+L_2)^{m-1}\sum_{k=1}^{n}\frac{|t|^{(m-1)\alpha_{i}+\alpha_{k}}}{\Gamma_{q}((m-1)\alpha_i+\alpha_k+1)}, $ 那么

因此, $b_{m}(t)$ 是收敛的. 则 $\sum_{n=1}^{\infty}[\Phi_n(t)-\Phi_{n-1}(t)]$ 是收敛的, 进而证明 (4.3) 式的收敛性.

其中 $D_{q}^{\alpha}$ 表示 Caputo 分数阶 $q$-导数, $0<\alpha\leq1,0<q,p<1, A=(a_{ij})_{n\times n}, B=(b_{ij})_{n\times n}$, $y=[y_1, y_2, \cdot\cdot\cdot,y_n]^{T}, \lambda=[\lambda_1, \lambda_2, \cdot\cdot\cdot, \lambda_n]^{T}$, $A$ 的范数为 $\|A\|=\max_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|$. 显然, (4.4) 式的解等价于

假设 $\Phi_{k}(t)$ 是 $k^{th}$ 近似解, 其中 $\Phi_{0}(t)=\lambda$ 是初始近似解. 对 $k\geq1$,

因此,

采用相同的方法, 可以得到

令 $k\rightarrow\infty$, 则 $ \Phi_{k}(t)\rightarrow[I+\sum_{m=1}^{\infty}\prod_{j=1}^{m}(A+p^{(m-j)\alpha}B)\frac{t^{m\alpha}}{\Gamma_{q}(m\alpha+1)}]\lambda. $ 令

若定义 $m=0$ 时, $\prod_{j=1}^{m}(A+p^{(m-j)\alpha}B)=I$, 那么

定理 4.3 若 $0<p<1$, $(\|A\|+\|B\|)a^{\alpha}<1$, 那么 (4.5) 式对于 $t\in R$ 的所有确定的有限值是收敛的.

证 由于 $\|A+p^{(m-j)\alpha}B\|\leq\|A\|+p^{(m-j)}\|B\|\leq\|A\|+\|B\|$, 则

从而

则当 $(\|A\|+\|B\|)a^{\alpha}<1$ 时, (4.5) 式对于 $t\in R$ 所有确定的有限值是收敛的.

定理 4.4 若 $0<p<1$, $\lambda>0$, 那么

考虑以下方程

其中 $D_{q}^{\alpha}$ 为 Caputo 分数阶 $q$-导数, $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $0<\alpha\leq1, p>1$,

(4.6) 式的解为

定理 4.5 若 $p>1$, $a^{\alpha}<1$, 那么 (4.7) 对于 $t\in R$ 的所有确定的有限值是收敛的.

例 5.1

这里 $\alpha=1, a=0, b=\frac{1}{2}, p=\frac{1}{2}$, 由定理 3.2 中 (3.5) 式得到方程 (5.1) 的解为

易见, 通过利用逐次逼近法得到幂级数形式的解与利用 $q$-级数法求 (5.1) 式的精确的解析解一致.

当 $q\to1$ 时, $\Gamma_q(m+1)\to\Gamma(m+1),$ 从而解退化为经典受电弓方程的解

实际方程 5.1 也退化为经典的整数阶比例时滞微分方程 (受电弓方程).

$q$-级数法更适用于线性 $q$-微分方程求精确的解析解, 而对非线性 $q$-微分方程的精确解一般不易获得, 因此利用逐次逼近法得到非线性 $q$-微分方程幂级数形式解就是有意义的.

例 5.2

由定理 3.2 中 (3.5) 式得到方程 (5.2) 的解为

取其前 $N$ 项作为近似解, 不同截断项数的近似解由下表给出.

从表中可以看出: 级数解在 $N=10$ 时已经达到数值收敛, $N=10$ 与 $N=100$ 的差值处于精度范围, $N=5$ 与 $N=10$ 的差值随时间的增加而增大, 在 $t=2.00$ 时达到最大差值 0.00197433.

例 5.3

(5.3) 式等价于

通过连续逼近法可以得到

当 $q\to1$ 时, (5.3) 式就退化为经典的整数阶比例时滞微分方程见文献 [18,例 7.1], 且 $\lim_{q\to1}\Phi_i(t)(i=0,1,2,\cdot\cdot\cdot)$ 就是文献 [18,例 7.1] 的解.