Vasicek 模型是 1977 年由 ^[1] 提出的一种描述利率演变的数学模型, 描述了只有一种市场风险情况下的利率变动过程, 满足以下随机微分方程

其中漂移参数 $\theta\in \mathbb{R},\mu \in \mathbb{R},$$\sigma>0$ 为波动参数, $(W_{t})_{t \geq 0} $ 是 Wiener 过程. 特别地, 当 $\mu=0$ 时, 模型 (1.1) 称为 Ornstein-Uhlenbeck(O-U) 方程,

其解称为 Ornstein-Uhlenbeck(O-U) 过程, 该方程可用于模拟金融资产的随机波动性, 在过去几十年里被广泛应用于金融领域. 由 Wiener 过程驱动的 O-U 方程的统计推断已经得到广泛的研究, 各种估计方法可参考文献 [2-4] 等. 但 Wiener 过程驱动的 O-U 方程无法刻画金融市场的长期相依性等特征.

分数布朗运动 $(B_{t}^H)_{t \geq 0}$ 可描述长相依性, 当数据是连续观察时, Hu 和 Nualart^[5] 研究了由分数布朗运动驱动 O-U 方程的参数估计问题, 通过构造最小二乘估计, 在 $H\geq \frac{1}{2}$ 和遍历的条件下, 证明了漂移参数的强相合性和渐近性质, 同时利用多重 Wiener 积分的中心极限定理, 得到了 $H\in(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ 时的收敛速率. Hu 和 Song^[6] 则通过构造参数 $\theta$ 的矩估计量, 证明估计量具有强相合性, 特别地, 在 $H\in(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ 时, 他们得到了该估计量的中心极限型定理和 Berry-Esséen 型定理. 2019 年, Hu 等^[7]把估计量的一些推断结果推广到 $H \in(0,1)$ 的情形. Es-Sebaiy^[8] 将最小二乘估计量作为参数 $\theta$ 的估计量, 证明了其相合性: 当 $H\in(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ 时, 作者通过 Malliavin 分析得到了 Kolmogorov 距离的 Berry-Esséen 界. 对于连续观测数据的情形, Berry-Esséen 界则由 Chen 等 ^[9]得出. 根据漂移系数的符号不同, 可分为遍历和非遍历的情况, 其研究方法也会有所差异. Es-Sebaiy 等^[10]考虑了非遍历 O-U 情形下的最小二乘估计问题. 而在 Vasicek 模型中, 当 Hurst 参数满足 $H\geq \frac{1}{2}$, Xiao 和 Yu^[11] 证明了不同情况下的最小二乘估计量的强相合性和渐近性质.

基于连续时间观察数据是不易获取的, 在金融应用中, 随着高频数据广泛应用, 可通过离散的数据来近似连续数据. 文献[12–15]从离散观测值出发研究分数 O-U 方程的参数估计问题. 在 $H\in(0,\frac{3}{4})$ 下, 文献[16] 研究了固定步长的离散情况下高斯过程驱动的 O-U 方程矩估计量的 Berry-Esséen 界. 最近文献[17,18]分别探讨了离散数据下的分数和次分析 Vasicek 模型的统计推断. Wiener 过程和分数布朗运动是一般高斯过程 $(G_{t})_{t \geq 0}$ 的特殊情形, 也就是等度正规高斯过程 (isonormal Gaussian process). 当金融市场缺乏自相似和稳态特征时, 需要考虑一般的高斯过程. 对于连续时间观察, Chen 和 Zhou^[19] 研究了由一维中心高斯过程驱动的 O-U 方程的统计推断, 通过对协方差函数进行限制, 得到了参数的最小二乘估计量和二阶矩估计量, 证明了它们的强相合性和渐近正态性, 并得到了 Berry-Esséen 界. 2023 年, Chen 等则证明了在 $H\in(0,\frac{1}{2})$ 时参数的最小二乘估计量和矩估计量的强相合性, 以及 $H$ 在不同参数范围下的渐近正态性和 Berry-Esséen 界^[20,21], 并把该结果推广到 Vasicek 模型 ^[22]. Es-Sebaiy 等 ^[23,24]研究非遍历高斯 O-U 过程的参数估计问题, 基于高斯过程的性质, 给出了估计量在连续和离散时的强相合性和渐近分布.

Chen 等^[19]研究了连续时间观察下高斯过程驱动的 O-U 方程的参数估计问题, 本文考虑离散观测值情况下遍历高斯过程驱动下 O-U 方程的参数估计问题, 非高斯过程驱动下的 O-U 方程的参数估计问题可参考文献[25,26]. 本文考虑基于离散数据, 构造参数的矩估计量和最小二乘估计量, 矩估计量的渐近分布是在大样本前提下 (即观测次数 $n\to\infty$, 采样间隔 $\Delta_n\to0$, 总观测时间 $T=n\Delta_n\to\infty$) 得到的. 而最小二乘估计量的渐近分布则是在固定时间区间 $T=1$ 且噪声系数 $\sigma\to0$ 的条件下, 利用小扰动方法得到的. 这两种方法在证明过程中有着不同的渐近设定和技术处理, 我们将在第 4 节详细阐述.

本文的结构如下: 第 2 节介绍了一些基本概念和基本引理, 主要包括高斯过程以及协方差函数. 第 3 节中证明了在不同条件下, 矩估计量的一致性和渐近性质. 第 4 节介绍最小二乘估计量的一致性和渐近性质.

为了本文研究的需要, 本节介绍高斯过程的一些基本知识^[19].

给定完备的概率空间 $(\Omega$, $\mathcal{F}$, $ \mathit{P})$, 其中 $\mathcal{F}$ 由高斯族 $\mathit{G}$ 生成, $G=\left\{G_t, t\in [T]\right\}$ 为中心化连续高斯过程, 并假设协方差函数 $\mathit{R}$ 是连续的,

令 $\mathcal{E}$ 为 [T] 上所有实值阶梯函数所组成的空间, Hilbert 空间 $\mathfrak{H}$ 是空间 $\mathcal{E}$ 的闭包, 其内积定义为

记 $G=\{G(h), h\in\mathfrak{H}\}$ 为概率空间 $(\Omega$, $\mathcal{F}$, $ \mathit{P})$ 上的等正态高斯过程, 则 $G$ 为满足如下等距性质的高斯随机变量族,

假设 1 对任意 $\beta \in (\frac{1}{2}, 1)$, $t\neq s \in [0,\infty)$, 协方差函数 $\mathbb{E}(G_tG_s)=\mathit{R}(t, s)$ 满足

而

其中 $C_{\beta}$, $C_{\beta}^{'}$ 是大于 0 且不依赖于 $\mathit{T}$ 的常数. 此外, 对任意 $t\geq 0,$ 有 $\mathit{R}(0, t)=0.$

例 2.1 对于分数布朗运动 $\{B^H(t), t \geq 0\}$, 其协方差函数为 $ R(s, t)=\frac{1}{2}(|s|^{2H}+|t|^{2H}-|t - s|^{2H}) $ 令 $\beta := H > \frac{1}{2}$, 满足假设 1.

例 2.2 对于次分数布朗运动 $\{S^H(t), t \geq 0\}$, 其协方差函数为

其中 $H \in (0, 1)$. 当 $H > \frac{1}{2}$ 时, 令 $\beta := H$, 则满足假设 1.

如下命题是文献 [19,命题 2.1], 该命题给出了 Hilbert 空间 $\mathfrak{H}$ 内积的表示.

命题 2.1 记 $\mathcal{V}_{[T]}$ 为 [T] 上的有界变差函数, 则 $\mathcal{V}_{[T]}$ 为 $\mathfrak{H}$ 上的稠子集, 且有

其中 $v_g$ 是与 $g^{0}$ 关联的 Lebegue-Stieljes 测度, 定义为

此外, 如果协方差函数 $\mathit{R}(t, s)$ 满足假设 1, 则

下面命题来自文献 [19,引理 3.3].

引理 2.1 假设 $\beta\in(0,1)$, 则存在常数 $C>0$, 使得任意 $s \in[0,\infty)$, 有

类似于文献 [27,引理 3.1] 的证明, 下面命题对高斯过程驱动的 O-U 方程的参数 $\beta$ 也是成立的.

引理 2.2 对任意 $0<b_2\leq b_1\leq a_1, 0<b_2\leq a_2\leq a_1, b_{1}-b_{2}=a_{1}-a_{2}$, 存在仅依赖 $\theta\neq0$ 和 $\beta $ 的常数 $C$, 使得

引理 2.3 设 $X_n$ 和 $Y_n$ 是两个随机变量序列, 若 $X_n\stackrel{{D}}{\rightarrow}X$ (${D}$ 表示依分布收敛), $Y_n\stackrel{P}{\rightarrow}c$ ($P$ 表示依概率收敛, $c$ 为常数), 则有

(1) $X_n+ Y_n\xrightarrow{D }X+ c;$

(2) $X_{n}Y_{n}\xrightarrow{D }cX;$

(3) $\frac {X_n}{Y_n}\xrightarrow{D }\frac Xc( c\neq 0). $

类似文献 [5,6,19]中关于矩估计的构造, 我们考虑下面的矩估计量,

为得到最小二乘估计量, 先引入以下函数,

其中 $\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}=\frac{T}{n}, i=1,2,\cdots,n.$

然后对 $\theta$ 求偏导,可得

解上式得到

我们假设离散观测数据是 $\left\{X_t, t\geq0 \right\}$, 在时间上以步长 $\Delta_n$ 进行等距观测: $t_i = i\Delta_n, i = 0, 1, \cdots, n, T = n\Delta_n$ 为 "观测窗口" 的长度, 可参考文献[28] 的处理. 同时还假设当 $n\rightarrow \infty$ 时, $\Delta_n \rightarrow 0$. 考虑基于离散采样数据 $X_{t_i}$, $i = 0, 1, \cdots, n$, 构造参数 $\theta$ 的矩估计量 $\widehat{\theta}$ 和最小二乘估计量 $\widetilde{\theta}$. 本文主要介绍以上两种估计的一致性和渐近性质.

考虑随机微分方程式 (1.1) 的解

式 (3.1) 离散化后为

下面命题出自文献 [22,引理 2.8], 可参考具体证明方法.

引理 3.4 对任意 $s, t>0$, 有

其中 $C>0$ 且和 $T$ 无关.

由引理 2.2 和引理 3.4 可得到以下的重要命题, 其证明方式可参考文献[22].

命题 3.2 当 $\beta \in (\frac{1}{2}, 1)$ 时, 有

其中 C 为依赖 $\beta$ 的常数.

在研究 $\widehat{\theta}$ 和 $\widetilde{\theta}$ 的相合性前, 先给出下列相关基础知识和引理, 其中关于多重积分的定义和定理, 可参考文献[19,29]这里不多赘述.

记 $f_T(t_{i},\cdot)=\mathrm{e}^{-\theta(t_{i}-\cdot)}$, 则 $ X_{t_{i}}=\sigma\int_0^{t_i}\mathrm{e}^{-\theta(t_{i}-s)}\mathrm{d}G_s=\sigma I_1(f_T(t_{i},\cdot)\mathbb{1}_{[0,t_{i}]}(\cdot)). $ 由多重随机积分的乘积公式得

所以由随机 $F\ddot{u}bini$ 定理

定理 3.1 当假设 1 成立时, $\beta \in(\frac{1}{2},1)$ 且当 $n\to \infty, T \to \infty$ 时, 参数 $\theta$ 的矩估计量具有强相合性,

证 根据式 (3.6) 所列出的 $\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{t_{i}}^2}{n}$ 表达式, 对于 $A_1$, 根据文献 [19,命题 3.8] 可知

其中 $g_T(t,s)=\frac{1}{2\theta T}(f_T-h_T), h_T(t,s)=e^{-\theta(T-t)-\theta(T-s)}\mathbb{1}_{(0\leq s,t\leq T)}.$

记 $F_t:=I_2(f_T(r,s)\mathbb{1}_{0\leq r,s\leq t})$, $H_t:=I_2(h_T(r,u)\mathbb{1}_{0\leq r,u\leq t})$.

对于 $A_2$, 同样借助文献 [19,命题 3.9], 可得

所以, 综上可得

进而由矩估计的表达式,

表明矩估计量的强相合性成立, 同时一致性成立.

引理 3.5 当假设 1 成立时, $\beta \in(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$, 当 $n\to \infty, T\to \infty$ 时, 有

其中 $a=\sigma^2C_\beta\Gamma(2\beta-1)\theta^{-2\beta}$, $\sigma_{\beta}^2=\left ( 4\beta-1 \right ) \left ( 1+\frac{\Gamma\left ( 3-4\beta \right ) \Gamma\left ( 4\beta-1 \right ) }{\Gamma\left ( 2\beta \right ) \Gamma\left ( 2-2\beta \right ) } \right )$.

证 由式 (3.6), $\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{t_{i}}^2}{n}$ 由两部分组成, 先考虑 $A_2$.

结合定理 3.1 证明过程有

结合文献 [19,性质 3.9,注 3.10] 和文献[9,引理 3.2] 得, $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\Vert \mathrm{e}^{-\theta(t_{i}-\cdot)}\mathbb{1}_{[0,t_{i})}(\cdot)\Vert^2_\mathfrak{H}-a$ 的收敛速度至少为 $\frac{1}{T^{2(1-\beta)}}.$ 所以, 当 $\beta \in(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ 时,

根据文献 [19,性质 3.8 和定理 2.1] 可得引理 3.5 成立.

推论 3.1 当假设 1 成立时, $\beta \in(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$, 当 $n\to \infty,T\to \infty$ 时, 有

证 结合引理 3.5 与式 (2.9) 可知

那么, 有

利用 delta 方法, 取 $g(x)=x^{-\frac{1}{2\beta}}$, 得到最终结论

上面的分布是初值为零的情况, 为保证渐进分布的一般性, 以下的证明设初值 $ X_0=x_0$, $X_t^0=x_0\mathrm{e}^{-\theta t}$. 基于小扰动方法, 下面研究离散遍历情形最小二乘估计量的强相合性和渐近分布, 而由于分布受到 $\sigma$ 的影响见文献[30,31], 为了方便计算, 没有特别指出我们固定在有限时间 $T=1$ 的情形下考虑.

定理 4.1 当假设 1 成立时, $\beta \in(\frac{1}{2},1)$ 且当 $n\to \infty$, $\sigma^2 n^{1-\beta} \to 0$ 时, 参数 $\theta$ 的最小二乘估计具有一致性, 即

进一步地, 当 $\beta > \frac{5}{8}$, $n\to \infty, \Delta_n\to 0, T = n\Delta_n\to \infty$, $\sigma^2 n^{1-\beta}\log n \to 0$ 时, 最小二乘估计量具有强相合性,

证 由式 (3.2) 可得 $X_{t_{i}}$ 和 $X_{t_{i-1}}$ 的关系如下

直接对最小二乘估计的估计量进行分析, 有

当 $n\to \infty$ 时,

当 $n\to \infty$ 时,

对 $\forall \delta>0$, 由命题 3.2 得

所以, 当 $n\to \infty$, $\sigma^2 n^{1-\beta} \to 0$ 时, 有 $\widetilde{\theta}\stackrel{P}{\rightarrow}\theta.$

下面证明当 $\beta > \frac{5}{8}$, $n\to \infty, \Delta_n\to 0, T = n\Delta_n\to \infty$, $\sigma^2 n^{1-\beta}\log n \to 0$ 时, 最小二乘估计量的强相合性.

对任意 $\epsilon >0$, 定义事件序列 $A_n = \left\{ \left| {\Lambda_1} \right| > \epsilon \right\}$, 由 Markov 不等式可得 4 阶的估计

由 Cauchy-Schwarz 不等式得四阶矩展开的估计

其中

由广义 Hölder 不等式和高斯随机变量高阶矩的估计得

对 $ \mathbb{E}[\zeta_i \zeta_j \zeta_k \zeta_l]^2 $ 应用 Wick 公式和命题 3.2 得到上述四阶矩的估计为

其中 $K$ 为常数. 利用 $t_{i-1} = (i-1)\Delta_n$, 有:

因此

代入得

由 $\Delta_n = T/n$ 得

其中 $C' = K / (\beta+1)^4$.

所以

代入 $T = n \Delta_n$,

在条件 $\sigma^2 n^{1-\beta} \log n \to 0$ 下, 存在 $K'>0$ 使 $\sigma^2 \leq \frac{K'}{n^{1-\beta} \log n}$, 故

因此, 对于 $\beta > \frac{5}{8}$, 我们总可以选择 $1> \gamma >\frac 1 {8\beta-4}$, 使得 $\Delta_n=n^{-\gamma}$, 且有

根据比较判别法可得级数 $\sum\limits_{n=1}^n \mathbb{P}(A_n) \leq M_\epsilon \sum\limits_{n=1}^n n^{-\alpha} (\log n)^{-2}< \infty$. 由 Borel-Cantelli 引理得

所以

记$ T_n:= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{t_{i-1}}^2. $

则$ \frac{\Lambda_1 }{T_n } \xrightarrow{\mathrm{a.s.}} \frac{0}{a} = 0, $

而 $a = \sigma^2 C_\beta \Gamma(2\beta-1) \theta^{-2\beta} > 0$. 由最小二乘估计量的表达式可得强相合性.

引理 4.1 若 $\sigma\to 0$, 则可得

证

所以通过命题 3.2 证明可知

因此, 对任意给定 $\delta>0$, 有

定理 4.2 若 $n \to \infty,\sigma \to 0$ 且 $n\sigma \to \infty$, 则有

证

当 $n \to \infty,\sigma \to 0$ 且 $n\sigma \to \infty$ 时, 有

而

记$ H_n(s) = \sum_{k=1}^{n} X_{t_{k-1}} \mathrm{e}^{-\theta(t_k - s)}\mathbb{1}_{[t_{i-1},t_{i})}(s). $

对固定 $s \in [0,1]$, 设 $s \in [t_{k-1}, t_k)$, 则 $H_n(s)$ 为 $X_{t_{k-1}} \mathrm{e}^{-\theta(t_k - s)}. $ 当 $n \to \infty$时, $\Delta_n = \frac{1}{n} \to 0$, 故 $t_k - s \leq \Delta_n \to 0$ 且

由引理 4.1, 存在子列 $\sigma_n \to 0$ 可得

根据高斯过程的路径连续性可进一步得到

构造 $Y(s) =\sup_{0 \leq u \leq 1} |X_u|$, 则由高斯过程最大值不等式得 $\mathbb{E}[Y(s)^2] < \infty$.

由随机控制收敛定理可得

由 $X_{t_{i-1}}$ 的表达式和定理的证明过程有

那么

易得

再有

利用 Markov 不等式, 可得

若 $n \to \infty,\sigma \to 0$ 且 $n\sigma \to \infty$, 则有

${\textbf{注：}}$ 离散观察数据且固定 $T=1$ 的框架下, 次分数 Vasicek 模型的最小二乘估计相关推断可参考文献[18], 在连续观察数据且 $T\to\infty$ 情形下, 最小二乘估计量的渐近分布理论可参考文献[19].