1952 年, Calderón 和 Zygmund^[1] 引入了卷积型奇异积分算子, 由 Plancherel 定理可以得到此类卷积型算子是 $L^{2}(\mathbb{R}^n)$ 有界的. 然而, 对于非卷积型奇异积分算子, Plancherel 定理并不能直接使用, 需要引入新的方法来获得该类算子的 $L^{2}(\mathbb{R}^n)$ 有界性. 准确地说, 如果存在常数 $C>0$ 和正则指数 $\varepsilon \in (0,1]$ 使得连续函数 $K(x,y)$ 满足:

则称 $K(x,y)$ 是定义在 $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \backslash \{(x,y):x=y\}$ 上的 Calderón-Zygmund 核. 假设 $T$ 是从 $C_0^\eta(\mathbb{R}^n)$ 到 $(C_0^\eta(\mathbb{R}^n))'$ 的连续线性算子, 它在下述意义下关联于核函数 $K(x,y):$

对所有支集分离的 $C_0^\eta$ 中的试验函数 $f$ 与 $g$ 成立, 则称 $T$ 为 Calderón-Zygmund 奇异积分算子. David 和 Journé^[2] 为 Calderón-Zygmund 奇异积分算子的 $L^{2}$ 有界性提供了判定准则, 即著名的 $T1$ 定理. 若 Calderón-Zygmund 奇异积分算子 $T$ 满足 $L^{2}$ 有界, 称 $T$ 为 Calderón-Zygmund 算子.

然而, $T1$ 定理无法直接应用于某些算子, 如 Lipschitz 曲线上的 Cauchy 积分

其中函数 $a(x)$ 满足 Lipschitz 条件. Meyer注意到若 $b(x)=1+{\rm i} a'(x)$, 则 $C(b)=0$. 因此, 如果将 $T1$ 定理中的函数 $1$ 替换为有界复值函数 $b$, 并且对几乎处处的 $x$ 满足 $\mathrm{Re} b(x)\geq \delta>0$, 则可证明此 Cauchy 积分算子是 $L^{2}$ 有界的.McIntosh 和 Meyer^[3] 将 $T1$ 定理中的函数 $1$ 改进为增长函数 $b$ 并得到了 $Tb$ 定理. David, Journé 和 Semmes^[4] 将 $T1$ 定理中的函数 $1$ 替换成仿增长函数 $b$ (见定义 2.1) 得到了一个新的 $Tb$ 定理, 并证明了 $b$ 的仿增长性是 $Tb$ 定理成立的必要条件. 为了将 $Tb$ 定理延拓到 Hardy 空间, Han, Lee 和 Lin^[5] 引入了与仿增长函数相关的 Hardy 空间 $H^p_b(\mathbb{R}^n)$, 并通过 Littlewood-Paley 刻画和 Plancherel-Pôlya 不等式, 证明了当 $T^{*}b=0$ 时, Calderón-Zygmund 算子 $T$ 从 Hardy 空间 $H^p(\mathbb{R}^n)$ 到与仿增长函数相关的 Hardy 空间 $H^p_b(\mathbb{R}^n)$ 有界, 其中 $\frac{n}{n+\varepsilon}<p\leq1$. Deng 与Yang^[6] 研究了齐型空间上与仿增长函数 $b$ 相关的 Besov 空间与 Triebel-Lizorkin 空间的 $Tb$ 定理. Liao 等^[7] 将此 $Tb$ 定理推广到非齐次 Besov 空间与 Triebel-Lizorkin 空间上. Zheng 和 Tao^[8] 证明了 Calderón-Zygmund 算子 $T$ 从 $H^p_{b}(\mathbb{R}^n)$ 的对偶空间 $\mathrm{Lip}_b(\alpha) (\mathbb{R}^n)$ 到 $\mathrm{Lip}(\alpha)(\mathbb{R}^n)$ 有界当且仅当 $Tb=0$.对于加权的情形, Lan 和 Lin^[9] 引入了与仿增长函数 $b$ 相关的加权 Hardy 空间 $H^p_{b,w}(\mathbb{R}^n)$ 并证明了奇异积分算子的有界性, 其中 $w$ 为 Muckenhoupt 权. Tan^[10] 利用与仿增长函数相关的 Littlewood-Paley g-函数引入了加权变指标 Hardy 空间 $H_ {b,w}^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$$(p\leq\infty)$, 并证明了奇异积分算子在 $H_{b,w}^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 上的有界性. 相关 $Tb$ 定理亦可参考文献[11-14].

本文考虑的乘积奇异积分理论始于 1982 年 Fefferman 和 Stein^[15] 研究的卷积型算子. 1985 年, Journé^[16] 将卷积型乘积算子推广到一般非卷积型乘积算子, 也称为 Journé 类乘积 Calderón-Zygmund 算子 (见定义 4.1), 并得到了算子 $L^2(\mathbb{R}^{n+m})$ 有界的乘积 $T1$ 定理. 利用 Journé 覆盖引理以及 Chang 和 Fefferman^[17,18] 引进的乘积 Hardy 空间的原子分解理论, Fefferman^[19] 证明了 Journé 类乘积 Calderón-Zygmund 算子的 $H^{p}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)\rightarrow L^p(\mathbb{R}^{n+m})$ 有界性. Han 等^[20] 建立了 Journé 类乘积 Calderón-Zygmund 算子 $H^p(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$ 有界的 $T1$ 定理. Lee, Li 和 Lin^[21] 定义了与仿增长函数相关的乘积 Hardy 空间 $H^p_{b_1,b_2}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$, 建立了 $H_{b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)\cap L^2(\mathbb{R}^{n+m})$ 的原子分解, 并得到了一类广义乘积 Calderón-Zygmund 算子的 $H_{b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)\rightarrow H_{b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$ 有界性. 但广义乘积 Calderón-Zygmund 算子的 $H^p_{b_1,b_2}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)\to L^p(\mathbb{R}^{n+m})$ 有界性尚未建立. Zheng 和 Tao^[22] 通过建立与仿增长函数相关的乘积 Lipschitz 空间 $\mathrm{Lip}_ {b_1,b_2}(\alpha_1,\alpha_2)(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$ 的 Littlewood-Paley 刻画和弱稠命题给出了 $\mathrm{Lip} _{b_1,b_2}(\alpha_1,\alpha_2)(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$ 上的 $Tb$ 定理, 其中 $b(x,y)=b_1(x)b_2(y)$. 然而, $H_{b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$ 的对偶空间是否为 $\mathrm{Lip}_ {b_1,b_2}(\alpha_1,\alpha_2)(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$ 这一问题也尚未解决. 相关多参数文章也可参考文献[23-33].

受文献[9,10,21] 启发, 本文研究一类乘积线性算子从与仿增长函数相关的加权乘积 Hardy 空间 ${H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^n \times\mathbb{R}^m)}$ 到加权 Lebesgue 空间 ${L^p_w}(\mathbb{R}^{n+m})$ 上有界的一般性方法, 即基于离散型 Calderón 再生公式和加权乘积 Hardy 空间 $H_ {b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$ 的连续型与离散型的等价刻画 (见定理 3.1) 建立函数 $f$ 在与仿增长函数相关的加权乘积 Hardy 空间上的范数与 $f$ 在加权乘积 Lebesgue 空间上的范数控制关系来得到相关估计. 不同于使用乘积原子分解和 Journé 覆盖引理推导加权 Hardy 空间有界性的经典方法, 本文充分利用了加权离散型 Littlewood-Paley 理论及稠密性命题. 作为应用, 在不加权的情形下, 本文亦证得一类广义乘积 Calderón-Zygmund 算子的 ${H_ {b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)} \to {L^p}(\mathbb{R}^{n+m})$ 有界性.

本文主要结论如下:

定理 1.1 设 $w\in A_{t}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$, $t\geq1$. 若对某些 $q \in (1, \infty)$, 乘积线性算子 $T$ 在 $L^q(\mathbb{R}^{n+m})$ 和 $H_ {b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$ 上有界, 其中 $\max\{\frac{nt} {n+\varepsilon_1}, \frac{mt}{m+\varepsilon_2}\}<p\leq1$, 则 $T$ 可延拓为 $H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$ 到$L^p_w(\mathbb{R}^{n+m})$ 的有界算子.

本文行文如下: 第 2 节, 回顾仿增长函数及试验函数等基本概念, 并基于 Littlewood-Paley 平方函数定义加权乘积 Hardy 空间 $H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$; 第 3 节, 建立稠密性结果 (见命题 3.1) 以及关键的范数控制关系 (见命题 3.2), 由此完成定理1.1的证明; 第 4 节, 应用定理 1.1, 获得广义乘积 Calderón-Zygmund 算子 $TM_{b_1b_2}$ (见定义 4.2) 的 ${H_ {b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)} \rightarrow {L^p}(\mathbb{R}^{n+m})$ 有界性 (见定理 4.1). 符号约定: $C$ 表示可变正常数. $a \approx b$ 指存在常数 $C > 0$ 使得 $C^{-1}a\leq b\leq Ca$. 对于任意的 $s,t \in \mathbb{R}$, $s \wedge t:= \min \{s,t\}$. 当 $q \geq 1$ 时, $\frac{1}{q}+\frac{1}{q'}=1$. $M_b$ 表示乘积算子, 即 $M_bf:=bf$. $\chi_{Q}$ 表示方体 $Q$ 的特征函数.

在本节, 我们将介绍与主要定理相关的定义及记号.

定义 2.1 (仿增长函数^[4]) 有界复值函数 $b$ 称为仿增长函数, 若对任意的方体 $Q\subset\mathbb{R}^n$, 存在正常数 $C,\gamma>0$ 及子方体 $Q'\subset Q$, $\lambda|Q|\leq|Q'|$, 有 $\begin{align*} \frac{1}{|Q|} \Big | \int_{Q'}b(x)\mathrm{d}x \Big | \geq C. \end{align*}$

为了定义与仿增长函数相关的加权乘积 Hardy 空间, 我们回顾与仿增长函数相关的试验函数空间和分布.

定义 2.2 ($\mathbb{R}^{n}$ 上的试验函数^[14]) 固定指标 $\beta \in(0,1)$ 以及 $\gamma\in(0,\infty)$. 设 $b$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的仿增长函数. 如果定义在 $\mathbb{R} ^{n}$ 上的函数 $f$ 满足以下条件:

当 $|x- x'| \le \frac{1}{2}(d+|x-x_0|)$ 时,

则称 $f$ 为中心在 $x_0 \in \mathbb{R}^{n}$ 且带有宽度 $d>0$ 的 $(\beta, \gamma)$ 型试验函数. 此类函数的全体组成的集合记为 $\mathcal{M}{(x_{0}, d;\beta, \gamma)}$. 如果 $f \in \mathcal{M}{(x_{0}, d;\beta, \gamma)}$, 其范数定义为

固定一点 $x_0 \in \mathbb{R}^{n}$, 记 $\mathcal{M}{(\beta, \gamma)}=\mathcal{M}{(x_0, 1;\beta, \gamma)}.$ 易得对所有的 $x \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $d>0$, $\|f\|_{\mathcal{M}{(x, d;\beta, \gamma)}}$ 与 $\|f\| _{\mathcal{M}{(\beta, \gamma)}}$ 等价. 此外, $\mathcal{M}{(\beta, \gamma)}$ 是在范数 $\|f\| _{\mathcal{M}{(\beta, \gamma)}}$ 意义下的 Banach 空间.

令 $\mathcal{\dot{M}}{(\beta, \gamma)}$ 是 $\mathcal{M}{(\varepsilon, \varepsilon)}$ 在 $\mathcal{M}{(\beta, \gamma)}$ 中的完备空间, 其中 $0<\beta, \gamma<\varepsilon$. 若 $f\in\mathcal{\dot{M}}{(\beta, \gamma)}$, 定义 $\|f\|_{\mathcal{\dot{M}}{(\beta, \gamma)}}=\|f\|_{\mathcal{M}{(\beta, \gamma)}}$. 显然, $\mathcal{\dot{M}}{(\beta, \gamma)}$ 是 Banach 空间. 记

若 $f\in b\mathcal{M}{(\beta, \gamma)}$ 且 $f=bg$, 其中 $g \in \mathcal{M}{(\beta, \gamma)}$, 则 $f$ 的范数定义为

对偶空间 $(b\mathcal{\dot{M}}{(\beta, \gamma)})'$ 包含所有的线性泛函 $\mathcal{L}$ : $b\mathcal{\dot{M}}{(\beta, \gamma)}\rightarrow \mathbb{C}$, 此线性泛函满足对所有的 $f\in b\mathcal{\dot{M}}{(\beta, \gamma)}$, 有

定义 2.3 ($\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}$上的试验函数^[22]) 固定四个指标 $\beta_1, \beta_2 \in(0,1)$ 以及 $\gamma_1, \gamma_2\in(0,\infty)$. 设 $b_1$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的仿增长函数, $b_2$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的仿增长函数. 如果定义在 $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}$ 上的函数 $f$ 满足以下条件:

(i) $\|f(\cdot, y)\|_{\mathcal{M}\left( x_{0}, d_{1};\beta_{1}, \gamma_{1}\right)} \leq C \frac{d_{2}^{\gamma_{2}}} {\left(d_{2}+\left|y-y_{0}\right|\right)^{m+\gamma_{2}}};$

(ii) $\text{当 }\left|y-y^{\prime}\right| \leq \frac{d_{2}+\left|y-y_{0}\right|}{2} \text{ 时, 有}$

(iii) 当交换上述性质中第一个变量和第二个变量的位置时, 性质 (i) 和 (ii) 仍成立;

(iv) 对于所有的 $x \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $y\in \mathbb{R}^{m}$, 有 $\int_{\mathbb{R}^{n}} f(x, y)b_1(x)\mathrm{d}x =\int_{\mathbb{R}^{m}} f(x, y)b_2(y)\mathrm{d}y=0$,

则函数 $f$ 被称为中心在 $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}$ 且带有宽度 $d_1, d_2>0$ 的 $(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)$ 型试验函数, 此类函数的全体组成的集合记为 $\mathcal{M}{(x_0, y_0; d_1, d_2;\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$. 若 $f \in \mathcal{M}{(x_0, y_0; d_1, d_2}$; ${\beta_1, \beta_2; \gamma_1,\gamma_2)}$, 其范数定义为

与 $\mathbb{R}^{n}$ 上的试验函数相似, 固定一点 $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}$, 记

易得对所有的 $(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}$, $\|f\|_{\mathcal{M}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}} $ 与 $\|f\|_{\mathcal{M}{(x_1, x_2; d_1, d_2; \beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}}$ 等价. 此外, $\mathcal{M}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$ 是 Banach 空间.

令 $\dot{\mathcal{M}}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$ 是 $\mathcal{M}{(\varepsilon_1, \varepsilon_2; \varepsilon_1, \varepsilon_2)} $ 在 $\mathcal{M}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$ 中的完备空间, 其中 $0<\beta_i, \gamma_i<\varepsilon_i, i=1,2.$ 若 $f\in \dot{\mathcal{M}}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$, 定义 $ \left \| f \right \| _{\dot{\mathcal{M}}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}}= \left \| f \right \| _{\mathcal{M}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}}.$ 显然, $\dot{\mathcal{M}}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$ 是 Banach 空间. 记

若 $f\in b_1b_2\mathcal{M}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$ 且 $f=b_1b_2g$, 其中 $g \in \mathcal{M}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$, 则 $f$ 的范数定义为

对偶空间 $(b_1b_2\mathcal{\dot{M}}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)})'$ 包含所有线性泛函 $\mathcal{L}$：$b_1b_2\mathcal{\dot{M}}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)} \rightarrow \mathbb{C}$, 此线性泛函满足对所有的 $f\in b_1b_2\mathcal{\dot{M}}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$, 有

与仿增长函数相关的恒等逼近如下.

定义 2.4 (恒等逼近^[12,21]) 假设 $b_1$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的仿增长函数. $S_k$ 的核函数 $S_k(x,y)$ 是从 $\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{C}$ 的函数, 称算子族 $\{ S_k \}_{k \in \mathbb{Z}}$ 是一个与 $b_1$ 相关的恒等逼近, 如果存在 $0<\varepsilon_1\leq1$, $C>0$, 使得对所有的 $k \in \mathbb{Z}$ 和所有的 $x,x',y,y'\in \mathbb{R}^{n}$, $S_k(x,y)$ 满足如下条件:

(i)

(ii) 当 $|x-x'|\leq(2^{-k}+|x-y|)/2$ 时,

(iii) 当 $|y-y'|\leq(2^{-k}+|x-y|)/2$ 时,

(iv) 当 $|x-x'|\leq(2^{-k}+|x-y|)/2$及 $|y-y'|\leq(2^{-k}+|x-y|)/2$ 时,

(v) 对所有的 ${k}\in \mathbb{Z}$ 和 $x,y\in \mathbb{R}^{n}$,

设 $D_ {k}=S_{k}-S_{k-1}$. 类似地, 假设 $b_2$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的仿增长函数, 有与 $b_2$ 相关且正则指数为 $\varepsilon_2\in(0,1]$ 的恒等逼近算子族 $\{\dot{S}_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$, 其核函数 $\dot{S}_j(x,y)$ 满足上述类似条件, 并设 $\dot{D} _{j}=\dot{S}_j-\dot{S}_{j-1}$.

为建立文中的主要结论, 还需引入离散型 Calderón 再生公式, 其在处理 $p\leq1$ 时尤为关键.

引理 2.1^[21] 假设 $b_1$ 和 $b_2$ 分别是 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 上的仿增长函数. $\{{S}_k\}_{k\in\mathbb{Z}}$ 和 $\{\dot{S} _j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ 是如定义2.4所述的恒等逼近. 存在四个线性算子族 $\{\widetilde{D}_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$, $\{\widetilde{\widetilde{ D}}_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$, $\{\widetilde {\dot{D}}_j\}_{j \in \mathbb{Z}}$ 和 $\{\widetilde{\widetilde{ \dot{D}}}_j\}_{j \in \mathbb{Z}},$ 使得对所有 $f \in (b_1 b_2 {\mathcal{\dot{M}}}(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2))',$$0<\beta_i<\gamma_i<\varepsilon_i, i=1,2$, 有

其中, ${Q_ {k}}$ 和 ${Q_ {j}}$ 分别是 $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 中边长为 $l(Q_k)=2^{-k-N}$ 和 $l(Q_j)=2^{-j-N}$ 的二进方体, $N$ 是充分大的正整数, $x_{Q_{k}}$ 和 $y_{Q_{j}}$ 分别是 ${Q_ {k}}$ 和 ${Q_ {j}}$ 中的任意固定点. 级数在分布 $(b_1 b_2 {\mathcal{\dot{M}}}(\beta'_1, \beta'_2; \gamma'_1, \gamma'_2))'$ 意义下收敛, 其中 $\beta'_i>\beta_i$, $\gamma'_i>\gamma_i$, $i=1,2$. 此外, $\widetilde D_{k}$ 的核函数 $\widetilde D_{k}(x,y)$ 满足以下估计: 对于 $\varepsilon_1'\in(0,\varepsilon_1)$, 其中 $\varepsilon_1$ 是 $\{{S}_k\}_{k\in\mathbb{Z}}$ 的正则指数, 存在常数 $C>0$ 使得

(i)

(ii) 当

$|x-x'|\leq(2^{-k}+|x-y|)/2$ 时,

(iii) 对于所有的 ${k}\in \mathbb{Z}$和 $y\in \mathbb{R}^{n},$

(iv) 对于所有的 ${k}\in \mathbb{Z}$和 $x\in \mathbb{R}^{n},$

$\widetilde{\widetilde{ D}}_k$ 的核函数 $\widetilde{\widetilde{ D}}_k(x,y)$ 满足的条件与 $\widetilde D_{k}(x,y)$ 相同, 但需交换 $x$ 和 $y$ 的位置.

类似地, $\widetilde{\dot{D}}_j$ 的核函数 $\widetilde{\dot{D}}_j(x,y)$ 满足以下估计: 对于 $\varepsilon_2'\in(0,\varepsilon_2)$, 其中 $\varepsilon_2$ 是 $\{{\dot{S}}_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ 的正则指数, 存在常数 $C>0$ 使得

(i)

(ii) 当 $|x-x'|\leq(2^{-j}+|x-y|)/2$ 时,

(iii) 对于所有的 ${j}\in \mathbb{Z}$和 $y\in \mathbb{R}^{m},$

(iv) 对于所有的 ${j}\in \mathbb{Z}$和 $x\in \mathbb{R}^{m},$

$\widetilde{\widetilde{ \dot{D}}}_j$ 的核函数 $\widetilde{\widetilde{ \dot{D}}}_j(x,y)$ 满足的条件与 $\widetilde{\dot{D}}_j(x,y)$ 相同, 但需交换 $x$ 和 $y$ 的位置.

与单参数情形类似, 我们需在双参数情形下引入强极大函数, 进而引入乘积权函数.

定义 2.5 设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}$ 上的可测函数. 强极大函数 $\mathcal{{M}}_S(f)$ 定义为

其中, $I$ 和 $J$ 分别是 $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 中的方体.

通过强极大函数, 我们可引入乘积权函数的相关定义.

定义 2.6^[32]当 $1<t<\infty$ 时, 设 $w\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m)$ 是 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m$ 上的非负函数, 则称 $w$ 是 $A_t(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m)$ 权, 若存在一个常数 $C>0$, 使得

若权函数 $w$ 满足

则称 $w$ 是 $A_1(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$ 权函数, 记作 $w\in A_1(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m})$. $w\in A_\infty(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$ 当且仅当存在 $1\leq t<\infty$ 使得 $w\in A_t(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$, 即

记 $w(Q)=\int_{Q}w(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. 关于 $A_t(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m})$, 下列性质成立:

(1) 若 $w(x, y) \in A_t(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m})$, 则 $w(x, \cdot)$ 对于几乎处处的 $x\in \mathbb{R}^{n}$ 均满足 $A_t(\mathbb{R}^{m})$ 条件的性质. 同样地, $w(\cdot, y)$ 对于几乎处处的 $y\in\mathbb{R}^{m}$ 均满足 $A_t(\mathbb{R}^{n})$ 条件的性质.

(2) 对于 $1 < t < s < \infty$, $A_1 \subset A_t \subset A_s \subset A_{\infty}$.

(3) 以下加权 Fefferman-Stein 向量值不等式成立:

其中 $1<p,q<\infty$, $w\in A_t(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m})$, 且 $f=(f_1, f_2,...)\in l^q.$

基于以上与仿增长函数相关的恒等逼近和乘积权函数, 我们可以定义与仿增长函数相关的连续型加权乘积 Hardy 空间 ${H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})}$.

定义 2.7 假设 $b_1$ 和 $b_2$ 分别是 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 上的仿增长函数. $\{ S_k \}_{k \in \mathbb{Z}}$ 和 $\{ \dot{S}_j \}_{j \in \mathbb{Z}}$ 是如定义2.4所述的恒等逼近且 ${D} _{k}={S}_k-{S}_{k-1}$, $\dot{D} _{j}=\dot{S}_j-\dot{S}_{j-1}$. 令 $w\in A_t(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$, $t\geq1$, $\max\{\frac{nt} {n+\varepsilon_1},\frac{mt}{m+\varepsilon_2}\}<p<\infty$. 对于 $0<\beta_i<\gamma_i<\varepsilon_i, i=1,2$, $f \in (b_1 b_2 {\mathcal{\dot{M}}}(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2))'$,与仿增长函数相关的加权乘积 Hardy 空间定义为

其中 $\mathcal{G}_{b_1b_2}(f)$ 是 $f$ 在 $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}$ 上的 Littlewood-Paley 平方函数,

并且有

当 $w\equiv 1$ 时, 记 ${H_{b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})}:= {H_{b_1,b_2}^{p,1}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})}$.

定义 2.7} 中与仿增长函数相关的连续型加权乘积 Hardy 空间 ${H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})}$ 的良定性将在本节验证, 即证明上述空间定义的合理性, 需要指出范数 $\|\cdot\| _{H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})}$ 独立于恒等逼近的选取. 为此, 我们将利用已有的离散型 Calderón 再生公式, 引入离散型 Littlewood-Paley 平方函数 $\mathcal{G}^d_{b_1b_2}(f)$ (见定义 3.1), 并建立空间 ${H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})}$ 连续范数与其离散范数的等价性: $\|f\| _{H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})} \approx \|\mathcal{G}^d_{b_1b_2}(f)\|_{L^{p}_w(\mathbb{R}^{n+m})}$.此等价性具有关键应用, 即当 $p\leq1$ 时, 离散型 Littlewood-Paley 平方函数对于建立离散型 Plancherel-Pôlya 不等式较为便捷. 结合连续型与离散型的等价刻画, 即可证明 ${H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})}$ 空间为良定的.

定义 3.1 假设 $b_1$ 和 $b_2$ 分别是 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 上的仿增长函数, $\{ S_k \}_{k \in \mathbb{Z}}$ 和 $\{ \dot{S}_j \}_{j \in \mathbb{Z}}$ 分别是 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 上的恒等逼近且 ${D} _{k}={S}_k-{S}_{k-1}$, $\dot{D} _{j}=\dot{S}_j-\dot{S}_{j-1}$. ${Q_ {k}}$ 和 ${Q_ {j}}$ 为引理2.1中所述的二进方体. 对于 $f \in (b_1 b_2 {\mathcal{\dot{M}}}(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2))'$, $0<\beta_i<\gamma_i<\varepsilon_i, i=1, 2$, 离散型 Littlewood-Paley 平方函数定义为

定理 3.1

假设 $b_1$ 和 $b_2$ 分别是 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 上的仿增长函数. $\{ S_k \}_{k \in \mathbb{Z}}$ 和 $\{ \dot{S}_j \}_{j \in \mathbb{Z}}$ 是如定义2.4所述的恒等逼近且 ${D} _{k}={S}_k-{S}_{k-1}$, $\dot{D} _{j}=\dot{S}_j-\dot{S}_{j-1}$.令 $w\in A_t(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$,$t\geq1$, $\max\{\frac{nt} {n+\varepsilon_1},\frac{mt}{m+\varepsilon_2}\}<p<\infty$. 对于 $f \in (b_1 b_2 {\mathcal{\dot{M}}}(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2))'$, $0<\beta_i<\gamma_i<\varepsilon_i, i=1,2$,

为了证明此等价刻画, 我们需要建立 Hardy 空间的离散型 Plancherel-Pôlya 不等式.

引理 3.1 假设 $b_1$ 和 $b_2$ 分别是 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 上的仿增长函数. $\{ S_k \}_{k \in \mathbb{Z}}$, $\{ \dot{S}_j \}_{j \in \mathbb{Z}}$, $\{ P_k \}_{k \in \mathbb{Z}}$ 和 $\{ \dot{P}_j \}_{j \in \mathbb{Z}}$ 是如定义2.4所述的恒等逼近. 取 ${D} _{k}={S}_k-{S}_{k-1}$, $\dot{D} _{j}=\dot{S}_j-\dot{S}_{j-1}$, ${E} _{k}={P}_k-{P}_{k-1}$ 和 $\dot{E} _{j}=\dot{P}_j-\dot{P}_{j-1}$.令 $w\in A_t(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$,$t\geq1$, $\max\{\frac{nt} {n+\varepsilon_1},\frac{mt}{m+\varepsilon_2}\}<p<\infty$. 存在常数 $C>0$ 使得对所有的 $f \in (b_1 b_2 {\mathcal{\dot{M}}}(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2))'$, $0<\beta_i<\gamma_i<\varepsilon_i, i=1,2$,

在证明上述引理之前, 我们还需要引入强极大函数的相关估计.

引理 3.2^[31] 假设 $0<r\leq1, \lambda_1>n/r, \lambda_2>m/r$. 令 $Q_k$ 与 $Q_{k'}$ 分别是 $\mathbb{R}^n$ 中边长为 $\ell(Q_k)=2^{-k-N}, \ell(Q_{k'})=2^{-{k'-N}}$ 的二进方体, $Q_j$ 与 $Q_{j'}$ 分别是 $\mathbb{R}^m$ 中边长为 $\ell(Q_j)=2^{-j-N}, \ell(Q_{j'})=2^{-{j'-N}}$ 的二进方体, $N$ 是充分大的正整数, $\varepsilon_i'\in(0,\varepsilon_i), i=1,2$, 则对任意的 $a(Q')\in\mathbb{C}$, $x\in Q_{k}$ 和 $ y \in Q_{j}$, 我们有

其中, $x_{Q_{k'}}$ 和 $y_{Q_{j'}}$ 分别是二进方体 ${Q_ {k'}}$ 和 ${Q_ {j'}}$ 的任意固定点.

下面给出引理3.1的证明.

证 假设 $f \in (b_1 b_2 {\mathcal{\dot{M}}}(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2))'$, $g\in b_1b_2 {\dot{\mathcal{M}}}{(\beta_1, \beta_2; \gamma_1, \gamma_2)}$, 由离散型 Calderón 再生公式 (2.4) 可得

因此,

选取 $\varepsilon_i'\in (0,\varepsilon_i), i=1,2$, 利用 [22, pp.1043]的几乎正交估计可知, 对于任意的 $x \in Q_{k}$ 和 $y \in Q_{j}$, 存在一个常数 $C$ 使得

因此,

其中 $z_1$ 和 $z_2$ 分别是 $Q_k$ 和 $Q_j$ 的任意固定点. 应用引理3.2, 可得

由于

则$ \begin{matrix} & \Bigg\{ \sum_{{k}\in \mathbb{Z}}\sum_{{j}\in \mathbb{Z}} \sum_{Q={Q_{k}}\times{Q_{j}}} \bigg[ \sup_{{(z_1,z_2) \in Q}} |D_k M_{b_{1}} D_j M_{b_{2}}(f)(z_1, z_2) \chi_{Q}(x,y)| \bigg]^2 \Bigg\}^\frac{1}{2} \\ & \leq C \Bigg\{ \sum_{{k}\in \mathbb{Z}}\sum_{{j}\in \mathbb{Z}} \sum_{{k'}\in \mathbb{Z}}\sum_{{j'}\in \mathbb{Z}} 2^{-|k-k^{\prime}|\varepsilon_1^{\prime}} 2^{-|j-j^{\prime}|\varepsilon_2^{\prime}} 2^{[(k\wedge k^{\prime})-k^{\prime}]n(1-\frac{1}{r})} 2^{[(j\wedge j^{\prime})-j^{\prime}]m(1-\frac{1}{r})}\\ &\quad \times \Bigg\{ \mathcal{M}_S\bigg( \sum_{Q'={Q_{k'}}\times{Q_{j'}}} | { E}_{k^{\prime}} M_{b_1} {{\dot{E}}}_{j^{\prime}} M_{b_2} (f)(x_{Q_{k'}},y_{Q_{j'}})|^r {\chi}_{Q'}\bigg)(x,y) \Bigg \}^{\frac{2}{r}} \Bigg\}^\frac{1}{2} \\ & \leq C \Bigg\{ \sum_{{k'}\in \mathbb{Z}}\sum_{{j'}\in \mathbb{Z}} \Bigg\{ \mathcal{M}_S\bigg( \sum_{Q'={Q_{k'}}\times{Q_{j'}}} | { E}_{k^{\prime}} M_{b_1} {{\dot{E}}}_{j^{\prime}} M_{b_2} (f)(x_{Q_{k'}},y_{Q_{j'}})|^r {\chi}_{Q'}\bigg)(x,y) \Bigg \}^{\frac{2}{r}} \Bigg\}^\frac{1}{2}. \end{matrix} $

选取适当的 $r$ 使得 $\max\{\frac{nt}{n+{\varepsilon_1'}}, \frac{mt}{m+{\varepsilon_2'}}\}<r\leq1$, $ w \in A_{p/r}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m)$ 时, 利用 $\mathcal{M}_S$ 的 $L_{w}^{p/r}(l^{2/r})$ 有界性, 我们有以下估计:

基于引理3.1, 现给出定理3.1的证明.

证

和

结合(3.5), (3.6)式和引理3.1, 可以得到定理3.1.

为了得到定理1.1, 接下来我们将结合离散型 Calderón 再生公式及定理3.1证明下面的稠密性结论.

命题 3.1 假设 $w\in A_{t}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m), t\geq1$. 当 $\max\{\frac{nt} {n+\varepsilon_1},\frac{mt}{m+\varepsilon_2}\}<p\leq1$ 以及 $1<q<\infty$ 时, $L^q(\mathbb{R}^{n+m}) \cap H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$ 在 $H_ {b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$ 中稠密.

证 假设 $f\in H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$, 令

其中 $k',j'$ 是正整数, $B(x_0,r)$是在 $\mathbb{R}^n$ 上半径为 $r>0$ 且中心在 $x_0\in\mathbb{R}^{n}$ 的球, $B(y_0,r)$是在 $\mathbb{R}^m$ 上半径为 $r>0$ 且中心在 $y_0\in\mathbb{R}^{m}$ 的球. 容易得到

是对于任意固定的 $L_1, L_2, r$ 的 $L^q$ 函数, $1<q<\infty$. 要证明命题3.1, 只需证明当 $L_1, L_2, r\rightarrow\infty$ 时,

在 $H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$ 的范数意义下趋于 0. 事实上, 根据定理3.1中 $H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$ 的离散形式与连续形式的等价刻画, 我们得到

结合(3.3), (3.4)式及引理3.2, 我们可以得到

由于 $f\in H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$, 结合式(3.7)可知: 当 $L_1, L_2, r\rightarrow\infty$ 时, (3.8)右端收敛于 0. 至此完成了命题3.1的证明.

函数 $f$ 的 $H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$ 范数控制其稠密子集 $ L^q(\mathbb{R}^{n+m})\cap H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$ (即 $H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$ 的紧子集) 上 $L_w^p(\mathbb{R}^{n+m})$ 范数的思想, 源于 Han 等^[25]在非加权情形 ($w\equiv1$)且无仿增长函数条件下对于 flag 奇异积分的研究. 本文将其推广至与仿增长函数相关的加权乘积 Hardy 空间.

命题3.2 假设 $w\in A_{t}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m), t\geq1$. 当 $\max\{\frac{nt} {n+\varepsilon_1},\frac{mt}{m+\varepsilon_2}\}<p\leq1$ 以及 $1<q<\infty$ 时, 如果 $f\in L^q(\mathbb{R}^{n+m})\cap H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$, 那么 $f\in L^p_w(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$, 且存在独立于 $f$ 的一个常数 $C_p>0$ 使得

证 假设 $w\in A_t(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}), t\geq1$. 我们定义平方函数

对于 $f\in L^q(\mathbb{R}^{n+m}) \cap H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$, 根据定理3.1可得

令$ \Omega_i:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m}: \widetilde{\widetilde{g}}_{b_1b_2}(f)(x,y)>2^i\}, $

因为 $f\in L^q(\mathbb{R}^{n+m})$, 则通过引理2.1中的离散 Calderón 再生公式, 我们有

级数在 $L^q$ 中按范数收敛. 我们断言

其中 $\max\{\frac{nt} {n+\varepsilon_1},\frac{mt}{m+\varepsilon_2}\}<p\leq1$, 进而可得出

为了完成这个证明, 还需要证明断言(3.9). 注意到 Coifman 的构造表明 $D_{k}(x,x_{Q_{k}})$ 和 $\dot{D}_{j}(y,y_{Q_{j}})$ 分别是关于 $x$ 和 $y$ 的函数, 且具有紧支集 $\{x\in \mathbb{R}^n:|x-x_{Q_{k}}|\leq2^{-k-N}\}$ 和 $\{y\in \mathbb{R}^m:|y-y_{Q_{j}}|\leq2^{-j-N}\}$. 因此当 $Q=Q_k \times Q_j\in B_i$ 时, $D_{k}(x,x_{Q_{k}}) \dot{D}_{j}(y,y_{Q_{j}})$ 的支集在如下集合中,

使用 Hölder 不等式, 我们有

我们现在开始估计 $\sum_{k\in \mathbb{Z}} \sum_{j\in \mathbb{Z}} \sum_{Q\in B_i} |Q_{k}| |Q_{j}| D_{k}(x,x_{Q_{k}}) \dot{D}_{j}(y,y_{Q_{j}}) \widetilde{\widetilde{ D}}_k M_{b_1} \widetilde{\widetilde{ \dot{D}}}_j M_{b_2} (f)(x_{Q_{k}},$$y_{Q_{j}}) b_{1Q_{k}} b_{2Q_{j}}$ 的 $L^q_w$ 范数. 通过对偶方法, 对于所有 $h\in L^{q'}_{w^{1-q'}}(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m})$, $\|h\|_{L^{q'}_{w^{1-q'}}}\leq1$,

首先估计 $I_1$. 重复定理3.1证明中的方法, 使用加权 Fefferman-Stein 向量值不等式(2.6), 我们有以下估计

对于 $I_2$, 注意到 $\Omega_i\subseteq\widetilde{\Omega}_i$, 并且由 $\mathcal{M}_S$ 的 $L^q_w$ 有界性可知, $w(\widetilde{\Omega}_i)\leq Cw({\Omega}_i)$. 如果 $(x,y)\in Q=Q_k\times Q_j\in B_i$, $\mathcal{M}_S(\chi_{Q\cap\widetilde{\Omega}_i\setminus \Omega_{i+1}})(x,y)>\frac{1}{2}$, 我们就得到 $\chi_Q(x,y)\leq2 \mathcal{M}_S(\chi_{Q\cap\widetilde{\Omega}_i\setminus \Omega_{i+1}})(x,y)$, 这意味着 $\chi_Q(x,y)\leq 4\mathcal{M}_S^2(\chi_{Q\cap\widetilde{\Omega}_i\setminus \Omega_{i+1}})$. 因此, 再次使用加权 Fefferman-Stein 向量值不等式, 我们有

结合(3.10)与(3.11), 可得断言(3.9)成立, 即完成命题3.2的证明.

定理 1.1的证明如下.

证 对于 $f\in L^q(\mathbb{R}^{n+m})\cap H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$, 由假设知 $T(f)\in L^q(\mathbb{R}^{n+m})\cap H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$, 根据命题3.2, 有 $\|T(f)\|_{L^p_w(\mathbb{R}^{n+m})}\leq C \|T(f)\|_{H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m)} $. 因 $T$ 在 $H_ {b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$ 上有界, 故 $\|T(f)\| _{H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m)} \leq C \|f\|_{H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m)} $. 利用命题3.1中的稠密性, $T$ 可延拓为 ${H_{b_1,b_2}^{p,w}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m)} \rightarrow {L^p_w(\mathbb{R}^{n+m})}$ 的有界算子.

在非加权情形下, Lee 等^[21]利用 Calderón 再生公式、Littlewood-Paley 理论、几乎正交估计、 Fefferman 的矩形原子分解以及 Journé 覆盖引理得到了广义乘积 Calderón-Zygmund 算子 (见定义 4.2) 在空间 $H_ {b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m) \rightarrow H_ {b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$ 上有界的充要条件. 作为定理1.1的应用, 本文建立了该类广义乘积 Calderón-Zygmund 算子的 $H_ {b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m) \rightarrow L^p(\mathbb{R} ^{n+m})$ 有界性. 相关算子定义如下:

定义 4.1 (Journé 类乘积 Calderón-Zygmund 算子^[16]) 假设 $K\left(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\right)$ 是定义在 $ \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \setminus \{ (x_1, x_2, y_1,$$y_2): x_1=y_1~ \text{或}~~x_2=y_2\} $ 上的局部可积函数, 称 $K$ 是一个乘积奇异积分核, 如果存在常数 $C>0$ 以及正则指数 $\varepsilon_i\in(0,1], i=1,2$, 使得

(i)

(ii) 当 $2|x_{1}-x_{1}^{\prime}|\leq|x_{1}-y_{1}|$ 时,

当 $2|y_{1}-y_{1}^{\prime}|\leq|x_{1}-y_{1}|$ 时,

当 $ 2|x_{2}-x_{2}^{\prime}|\leq|x_{2}-y_{2}|$ 时,

当 $2|y_{2}-y_{2}^{\prime}|\leq|x_{2}-y_{2}|$ 时,

(iii) 当 $2|x_{1}-x_{1}^{\prime}|\leq |x_{1}-y_{1}|$ 和$2|x_{2}-x_{2}^{\prime}|\leq |x_{2}-y_{2}|$ 时,

当 $2|y_{1}-y_{1}^{\prime}|\leq |x_{1}-y_{1}|$ 和 $2|y_{2}-y_{2}^{\prime}|\leq |x_{2}-y_{2}|$ 时,

设 $T$ 是 $C^{\eta}_{0}(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m) \rightarrow (C^{\eta}_{0}(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m))^{\prime}$ 的线性算子, 核函数 $K\left(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\right)$ 满足 (i)-(iii), 若算子 $T$ 可表示成

则称 $T$ 是联系于核函数 $K\left(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\right)$ 的 Journé 类乘积 Calderón-Zygmund 奇异积分算子, 其中 $f_1, g_1\in C^{\eta}_{0}(\mathbb{R}^{n}),$$ \operatorname{supp}\left(f_{1}\right) \cap \operatorname{supp}\left(g_{1}\right)=\varnothing, $ 且 $f_2, g_2 \in C^{\eta}_{0}(\mathbb{R}^{m}),$$ \operatorname{supp}\left(f_{2}\right) \cap \operatorname{supp}\left(g_{2}\right)=\varnothing. $ 若 $T$ 还满足 $L^2(\mathbb{R}^{n+m})$ 有界性, 则称 $T$ 为Journé 类乘积 Calderón-Zygmund 算子.

我们有以下符号表示,

以及

对所有的 $\phi^1 \in C_{b_1,0}^\eta(\mathbb{R}^{n})$, $\phi^2 \in C_{b_2,0}^\eta(\mathbb{R}^{m})$, 若有

成立, 则称 ${T^*_1 (b_1) =0}$. 类似地, 若有

成立, 则称 ${T^*_2 (b_2) =0}$.

定义 4.2 (广义乘积 Calderón-Zygmund 算子) 假设 $b_1$ 和 $b_2$ 分别是 $\mathbb{R}^{n}$ 和 $\mathbb{R}^{m}$ 上的仿增长函数,$T$ 是定义 4.1中联系于核函数 $K\left(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\right)$ 的 Journé 类乘积 Calderón-Zygmund 算子, 若算子 $TM_{b_1b_2}$ 定义为

则称 $TM_{b_1b_2}$ 是广义乘积 Calderón-Zygmund 算子.

Lee 等^[21] 建立了 $TM_{b_1b_2}$ 在与仿增长函数相关的乘积 Hardy 空间上的有界性:

定理 A1 (^[21]) 设 $TM_{b_1b_2}$ 是定义4.2中的广义乘积 Calderón-Zygmund 算子, 则 $TM_{b_1b_2}$ 在 $H_ {b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$ 上有界当且仅当 $T_1^{*}(b_1)=T_2^{*}(b_2)=0$, 其中 $\max\{\frac{n} {n+\varepsilon_1},$$\frac{m}{m+\varepsilon_2}\}<p\leq1$.

作为定理1.1的应用, 我们得到以下结果:

定理 4.1 设 $TM_{b_1b_2}$ 是定义4.2 中的广义乘积 Calderón-Zygmund 算子且有 $T_1^ {*}(b_1)=T_2^{*}(b_2)=0,$ 则 $TM_{b_1b_2}$ 是 $H_ {b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m) \rightarrow L^p(\mathbb{R}^{n+m})$ 的有界算子, 其中 $\max\{\frac{n} {n+\varepsilon_1},$$\frac{m}{m+\varepsilon_2}\}<p\leq1$.

证 注意到 $TM_{b_1b_2}$ 是 $L^2(\mathbb{R} ^{n+m})$ 有界的, 结合定理 A1 的 $H_ {b_1,b_2}^{p}(\mathbb{R} ^n\times\mathbb{R}^m)$ 有界性与定理 1.1 的延拓性即得结论.