设$C$和$Q$分别是 Hilbert 空间$H_{1}$和$H_{2}$的两个非空闭凸子集,$A:H_{1}\rightarrow H_{2}$是一个有界线性算子, 分裂可行性问题(SFP)是找到满足如下性质的一点$x,$ 即

分裂可行性问题由 Censor 和 Elfving 用于对相位检索和医学图像重构中产生的逆问题进行建模, 并首次在有限维空间中提出了相关理论^[1]. 而分裂公共不动点问题(SCFPP) 是分裂可行性问题(SFP) 和凸可行性问题(CFP) 的推广. 设$S:H_{1}\rightarrow H_{1}$ 和$T:H_{2}\rightarrow H_{2}$ 是两个映射, 且满足$F(S)=\left\{x \in H_1: S x=x\right\} \neq \phi$ 和$F(T)=\left\{x \in H_2: T x=x\right\} \neq \phi$, $A:H_{1}\rightarrow H_{2}$ 是一个有界线性算子. 分裂公共不动点问题是找到满足如下性质的一点$x^{*}$, 即

分裂公共不动点问题的提出, 不仅深化了对分裂可行性问题的理解, 也为后续的研究提供了新的视角和挑战. 为了求解 SCFPP, Censor 和 Segal^[2] 建立了 SCFPP 的解与某个算子的不动点之间的等价性, 并提出了如下的迭代算法:

其中$\gamma\in(0,\frac{2}{\lambda})$,$A$是有界线性算子,$A^{*}$是$A$的伴随算子,$\lambda$是算子$A^{*}A$的谱半径, 他们在$U$和$T$是直接算子(direct operator) 的前提下证明了该迭代算法所生成的序列弱收敛到分裂公共不动点问题的解.

受上述工作启发, Moudafi^[3] 针对于求解 Hilbert 空间中一类较直接算子更广泛的拟-非扩张映射的分裂公共不动点问题提出了如下的迭代算法:

其中$ \beta\in(0,1), \alpha_k\in(0,1), \gamma\in\left(0, \frac{1}{\lambda \beta}\right)$,$A$是有界线性算子,$A^{*}$是$A$的伴随算子,$\lambda$是算子$A^{*}A$的谱半径. 他们在给出算法之后进一步证明了算法所生成的序列弱收敛到分裂公共不动点问题的解. 更多地, 为求解 Hilbert 空间中一类比拟-非扩张映射更广泛的半压缩映射的分裂公共不动点问题, Moudafi^[4] 提出了如下的迭代算法:

其中$\gamma\in(0,\frac{1-\mu}{\lambda})$,$a_{k}\in(0,1)$,$A$是有界线性算子,$A^{*}$是$A$的伴随算子,$\lambda$是算子$A^{*}A$的谱半径. 他同时证明了分裂公共不动点问题解的弱收敛定理. 2013 年, Deng^[5] 针对于求解 Hilbert 空间中的可数族全渐进拟-非扩张映射的分裂公共不动点问题提出 Mann 型迭代算法. 2021 年, Taiwo 等^[6]提出求解 Hilbert 空间中关于半压缩映射分裂公共不动点问题的自适应迭代步长的如下迭代算法:

其中$A$是有界线性算子,$A^{*}$是$A$的伴随算子,$U_{n}=(1-\lambda_{n})I+\lambda_{n}U$,$\alpha_{n} \in (0,1)$, $\lim_{n \to \infty}\alpha_{n}=0$,$\Sigma_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=+\infty$, $\rho=\frac {(1-\tau)\|(I-T)Ax_{n}\|^{2}}{2\|A^{*}(I-T)Ax_{n}\|^{2}}$. 值得注意的是, 他们提出的算法在迭代过程中步长不依赖于算子范数, 同时证明了解的强收敛定理. 近年来, 在 Hilbert 空间中不同映射类型的分裂公共不动点问题被诸多学者广泛研究 (参见文献[7,8,9,10,11,12,13,14]). 如 2022 年, Xiao 和 Wang^[12] 为了提高算法的收敛速率, 在算法中引入了惯性技术, 提出了求解 Hilbert 空间中关于半压缩映射的分裂公共不动点问题的惯性黏性迭代算法; 2023 年, Godwin 等^[13]为研究比半压缩映射更广泛的渐近半压缩映射, 提出求解 Hilbert 空间中渐近半压缩映射的分裂公共不动点问题的如下迭代算法:

其中$A$是有界线性算子,$A^{*}$是$A$的伴随算子,$U_{\lambda}^{n}=(1-\lambda_{n})I+\lambda_{n}U^{n}, \alpha_{n}, \delta_{n}, \gamma_{n} \in (0,1) \text{ 且满足} \alpha_{n}+\delta_{n}+\gamma_{n}=1, \rho\in (0,\frac {1-\beta}{\|A\|^{2}})$. 他们在拓宽算子性质的同时也得到了解的强收敛定理; Zhu 等^[14]构造了一个用于求解 Hilbert 空间中三个半压缩算子的分裂公共不动点问题的 Halpern 型迭代算法, 并证明提出的算法所生成的序列强收敛到分裂公共不动点问题的解.

综上, 在具有线性结构的 Hilbert 空间上分裂公共不动点问题已经得到广泛研究, 但有些非凸问题往往因缺乏有效的处理手段而难以处理. 而测地空间为解决这类问题提供了新的途径, 通过巧妙的转化, Hilbert 空间上的一些非凸问题可以转化为CAT(0)空间(一类特殊的测地空间)上的测地凸问题. 相较于一般的非凸问题, 测地凸问题在理论分析和算法设计上都更为简便. 通过转化到CAT(0) 空间上的测地凸问题后, 利用测地空间中的性质进行求解 Hilbert 空间和 Banach 空间上的非凸问题, 从而为解决 Hilbert 空间上的复杂的非凸问题提供了全新的视角.

CAT(0) 空间作为一类特殊的度量空间, 其特性使得它在很多领域中有着广泛的应用. 随着数学研究的深入, 不动点理论的研究逐渐拓展到 CAT(0) 空间上. 2003 年, Kirk^[15,16] 率先提出并研究了 CAT(0) 空间中的不动点理论, 并证明了定义在完备的 CAT(0) 空间中的有界闭凸子集上的单值或集值非扩张映射都存在不动点. 从此, CAT(0) 空间中的单值和集值映射的不动点理论得到广泛研究并迅速发展.

2017 年, Deng^[17] 针对于求解 CAT(0) 空间中的拟-非扩张映射的分裂公共不动点问题提出了如下的迭代算法:

其中$ \beta\in(0,1), \alpha_k\in(0,1), \gamma\in\left(0, \frac{1}{\lambda \beta}\right)$,$A$是有界线性算子,$A^{*}$是$A$的伴随算子,$\lambda$是算子$A^{*}A$的谱半径. 他们在给出算法之后进一步证明了算法所生成的序列弱收敛到分裂公共不动点问题的解. 近些年, 学者们也针对于 CAT(0) 空间中的一些分裂问题进行研究, 但研究内容相对于 Hilbert 空间而言相对较少, 且其中还有部分研究成果存在明显的错误, 如 2019 年, Abbas 等^[18]在 CAT(0)空间中为研究一类多值映射的分裂变分包含问题和不动点问题, 提出如下迭代算法:

其中$A$是有界线性算子,$A^{*}$是$A$的伴随算子,$U$和$S$是一致连续极大单调算子,$f$是压缩映射,$T$是一致连续多值全渐近严格伪压缩映射,$\gamma>0$,$ B_{\gamma}^{U}, B_{\gamma}^{S}$分别是$U$和$S$的预解式,$P_{\overrightarrow{AC_{n}Ax_{n}}}$是度量投影, $\lambda_{n}, \alpha_{n}, \beta_{n}\in [0,1]$. 他们宣称该迭代算法所生成的序列强收敛到分裂变分包含问题和不动点问题的解. 但迭代算法的构造中, 显然,$\overrightarrow{P_{\overrightarrow{AC_{n}Ax_{n}}}B^{S}_{\gamma_{n}}(Ax_{n})Ax_{n}}$ 是空间$X_{2}\times X_{2}$中的一个点, 而$A^{*}$是$X_{2}$到$ X_{1}$的有界线性算子, 所以, 算法中$A^{*}$是无法作用于$X_{2}\times X_{2}$中的点$\overrightarrow{P_{\overrightarrow{AC_{n}Ax_{n}}}B^{S}_{\gamma_{n}}(Ax_{n})Ax_{n}}$. 因此, 该迭代算法是错误的.

2024 年, Rashid 等^[19]在 CAT(0)空间中为研究带有多集输出的非扩张映射的分裂公共不动点问题而提出了如下的迭代算法:

他们也宣称得到解的强收敛定理, 但在该结论的证明中,$\{x_{n}\}$有界的证明过程存在明显错误.

受上述工作的激励与启发, 本文主要研究在 CAT(0)空间中求解可数族拟-非扩张映射的分裂公共不动点问题. 设 $\left\{U_i\right\}_{i=1}^{\infty}: X_1 \rightarrow$$X_1$ 和 $\left\{T_i\right\}_{i=1}^{\infty}: X_2 \rightarrow X_2$ 是两族映射, 且分别满足 $\cap_{i=1}^{\infty} F\left(U_i\right) \neq \emptyset, \bigcap_{i=1}^{\infty} F\left(T_i\right) \neq \emptyset$, $A$ 是 $X_{1}$ 到 $X_{2}$ 的有界线性算子. 关于 $\left\{U_i\right\}$ 和 $\left\{T_i\right\}$ 的分裂公共不动点问题是指寻求一点 $q \in X_1$ 有以下性质:

本文旨在求解可数族非线性算子的分裂公共不动点问题, 该问题可转换为: 以迭代算法逼近两族非线性算子的分裂公共不动点问题的解. 并在 $\operatorname{CAT}(0)$ 空间背景下建立了收敛定理. 该结果推广了分裂公共不动点问题仅为有限多个的情形. 同时, 本文的结构安排如下: 第 2 节中主要讲述了关于 CAT(0) 空间中的一些基本概念, 以及在后续证明过程中需要用到的定义与引理; 第 3 节将给出我们的主要结论, 其中包括我们所提出的算法与对算法收敛性的证明过程; 第 4 节将针对本文研究内容做出一个总结与阐述.

设 $(X,d)$ 是一个度量空间. 如果对所有的 $t, t^{\prime} \in[0, l]$, 映射 $c:[0,l]\subset \mathbb{R}\rightarrow X$ 使得 $c(0)=x, c(l)=y$ 与 $d\left(c(t), c\left(t^{\prime}\right)\right)=\left|t-t^{\prime}\right|$, 则称映射$c$ 为连接$x\in X$ 和$y\in X$ 的测地路径. 特别地, $c$ 是等距映射且$d(x,y)=l$. 测地路径的像称为测地线段, 当 $x, y$ 之间的测地线段唯一时, 记测地线段为$[x,y]$. 度量空间$X$ 称为 (唯一) 测地空间, 如果$X$ 中的每两个点是被一个测地线段连接. 连接$x$ 和$y$ 的测地线段上并且满足条件$d(z,x)=td(x,y)$ 和$d(z,y)=(1-t)d(x,y)$,$\forall t \in[0,1]$ 的唯一一点$z$ 记为$(1-t) x \oplus t y$. 用$[x,y]$ 表示连接$x$ 和$y$ 的测地线段, 即$[x, y]:=\{(1-t) x \oplus t y: t \in[0,1]\}$. CAT(0) 空间的子集$C$ 是凸的, 如果对所有$x,y\in C$, 都有$[x, y] \subseteq C$. 子集包含连接任意两点的所有测地线段.

在测地空间$X$ 中测地三角形$\triangle\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 由$X$ 中三个点$x_1, x_2, x_3$ 和连接每对顶点的三条测地线段组成. 测地三角形$\triangle\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的比较三角形是欧式空间$\mathbb{R}^{2}$ 的一个三角形$\bar{\triangle}\left(x_1, x_2, x_3\right):=\triangle\left(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \bar{x}_3\right)$ 使得$d\left(x_i, x_j\right)=d_{\mathbb{R}^2}\left(\bar{x}_i, \bar{x}_j\right)$, $i, j \in 1,2,3$, 其中$\bar{x}_i$ 称为$x_i, i=1,2,3$ 比较顶点. 测地空间 $X$ 是 CAT(0) 空间. 如果 $X$ 中的每个测地三角形 $\triangle:=\triangle\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 和它的 $\mathbb{R}^2$ 中的比较三角形 $\bar{\triangle}:=\triangle\left(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \bar{x}_3\right)$, 对于所有的$x, y \in \triangle$ 以及比较点$\bar{x}, \bar{y} \in \bar{\triangle}$ 都有 CAT(0) 不等式

CAT(0) 不等式意味着 $X$ 中的每一个测地三角形都至少比它欧式空间中的比较三角形瘦.

下面, 在 CAT(0) 空间 $X$ 中引入以下定义的两种运算 $\circ$ 和 $\oplus$:

定义 2.1 (1) 对任意 $\alpha \in \mathbb{R}$ 和任意 $x \in X, \alpha \circ x$ 表示唯一一点 $u \in X$ 使得

其中$\bar{\cdot}$ 是$\Delta(\cdot,\mathbf{0}, \cdot)$ 的比较三角形$\Delta(\bar{\cdot},\bar{\mathbf{0}}, \bar{\cdot})=\Delta(\bar{\cdot},\bar{\mathbf{0}}, \bar{\cdot})$ 的比较顶点, $\mathbf{0}$ 表示 $X$ 中的原点.

(2) 对任意 $x, y \in X, x \oplus y$ 表示唯一一点 $v \in X$ 使得

其中 $\bar{v}$ 是 $\Delta(x, \mathbf{0}, v)$ 和 $\Delta(y, \mathbf{0}, v)$ 的比较三角形 $\Delta(\bar{x}, \bar{\mathbf{0}}, \bar{v})$ 和 $\Delta(\bar{y}, \bar{\mathbf{0}}, \bar{v})$ 的比较顶点.

定义 2.2 唯一的测地空间 $X$ 有两种符号 $\circ$ 和 $\oplus$ 形成一个向量空间的势不大于 $N$ 时 (即连续统势), 这样的空间称为测地向量空间.

因为 $X$ 和 $\mathbb{R}^2$ 等价, 映射 $x \mapsto \bar{x}$ 和 $v \mapsto \bar{v}$ 由映射 $\triangle(x, \mathbf{0}, x) \mapsto \Delta(\bar{x}, \bar{\mathbf{0}}, \bar{x})$ 和 $(\triangle$$(x, \mathbf{0}, v), \Delta(y, \mathbf{0}, v)) \mapsto(\Delta(\bar{x}, \bar{\mathbf{0}}, \bar{v}), \Delta(\bar{y}, \bar{\mathbf{0}}, \bar{v}))$, 这样定义是合理的.

由测地向量 $x$ 的任意数的负元素的唯一性, 定义符号 $\ominus$,

$\operatorname{CAT}(0)$空间是唯一的测地空间且具有两种符号$\circ$ 和$\oplus$, 当$\mathrm{CAT}(0)$ 空间的势不超过 $\mathbb{R}^2$ 的势 (即连续统势) 时, 则称为 $\mathrm{CAT}(0)$ 向量空间. 设 $X$ 是一个 CAT(0) 向量空间, 关于它给出如下定义:

定义 2.3 类内积 $\langle\cdot, \cdot\rangle: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ 定义如下

其中 $\bar{x}, \bar{y}$ 是 $\triangle(x, \mathbf{0}, y)$ 的比较三角形 $\triangle(\bar{x}, \bar{\mathbf{0}}, \bar{y})$ 的比较顶点, 且定义的 $\langle\cdot, \cdot\rangle$有以下性质: 对任意 $x, y, z \in X$ 和任意 $\alpha \in \mathbb{R}$,

(1) $\langle x, x\rangle \geq \mathbf{0},\langle x, x\rangle=\mathbf{0} \Leftrightarrow x=\mathbf{0};$

(2) $\langle x, y\rangle=\langle y, x\rangle ;$

(3) $\langle\alpha \circ x, y\rangle=\alpha\langle x, y\rangle ;$

(4) $\langle x \oplus y, z\rangle=\langle x, z\rangle+\langle y, z\rangle$.

在$X$ 上的距离$\rho$ 定义为

其恰好与 CAT(0) 空间中原有的测地距离$d$ 相互契合. 因为 $\mathbb{R}^2$ 上的距离 $d_{\mathbb{R}^2}$ 是由 $\langle\cdot ，\cdot\rangle_{\mathbb{R}^2}$ 和 $d(x, y)=d_{\mathbb{R}^2}(\bar{x}, \bar{y})$ 诱导的.

接下来, 定义函数$\varphi: X \times X \rightarrow \mathbb{R}^{+}$

有以下性质:

设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个有类内积 $\langle\cdot, \cdot\rangle$ 的完备 $\mathrm{CAT}(0)$ 向量空间. 设 C 和 Q 分别是 $X_1$ 和$X_2$ 的非空闭凸子集. 分裂可行性问题 (SFP) 是找到一点$x^{*}$ 有以下性质:

其中 $A: X_1 \rightarrow X_2$ 是有界线性算子, 定义如下:

(1) $A(\alpha \circ x)=\alpha \hat{\circ} A x ; A(x \oplus y)=A x \oplus A y, \forall \alpha \in \mathbb{R}, x, y \in X_1$;

(2) $\sup _{d_1\left(x, \mathbf{0}_1\right)=1}\left\{d_2\left(A x, \mathbf{0}_2\right)\right\}<\infty$;

(3) $d_2\left(A x, \mathbf{0}_2\right) \leq \sup _{d_1\left(x, \mathbf{0}_1\right)=1}\left\{d_2\left(A x, \mathbf{0}_2\right)\right\} d_1\left(x, \mathbf{0}_1\right)$.

分裂公共不动点问题(SCFP) 是分裂可行性问题(SFP) 和凸可行性问题(CFP) 的推广. 设 $S: X_1 \rightarrow X_1$ 和 $T: X_2 \rightarrow X_2$ 是两个映射, 且分别满足 $F(S)=\left\{x \in X_1: S x=\right.$$x\} \neq \emptyset$ 和 $F(T)=\left\{x \in X_2: T x=x\right\} \neq \emptyset$. 分裂公共不动点问题是找到一点 $q \in X_1$, 使得满足如下性质:

其中 $A$ 是 $X_1$ 到 $X_2$ 的有界线性算子.

设 $X$ 是一个完备的 $\mathrm{CAT}(0)$ 向量空间. 映射 $T: X \rightarrow X$ 称为半闭于零, 如果任意序列 $\left\{x_n\right\} \subset X$ 有 $x_n \rightharpoonup x^*$ 和 $d\left((I \ominus T) x_n, \mathbf{0}\right) \rightarrow 0$, 那么 $x^*=T x^*$, 其中 $x_n \rightharpoonup x^*$ 表示 $\left\{x_n\right\}$ 弱收敛 $x^*$. 即 $X$ 上所有线性泛函 $f\left(x_n\right) \rightarrow f(x^*)$.

完备的 CAT(0) 向量空间 $X$ 称满足 $Opial's$ 条件, 如果 $X$ 中任意序列 $\left\{x_n\right\}, x_n \rightharpoonup$$x^*$, 有

定义 2.4 设 $T: X \rightarrow X$ 是一个映射, $T$ 的不动点集 $F(T)$ 非空. $T$ 是拟-非扩张映射, 如果 $\forall(x, q) \in X \times F(T)$, 都有以下不等式成立:

定理 2.1^[20] ($Opial$定理) 设 $X$ 是一个完备的 $\mathrm{CAT}(0)$ 向量空间, $\left\{x_n\right\}$ 是 $X$ 中的序列, 使得存在一个非空集 $S \subset X$ 满足如下性质:

(1) 对每个 $y \in S, \lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y\right)$ 存在.

(2) 序列 $\left\{x_n\right\}$ 的任意弱聚点属于 $S$.

那么, 存在 $\tilde{x} \in S$ 使得 $\left\{x_n\right\}$ 弱收敛 $\tilde{x}$.

定理 2.2^[3] 设 $T: X \rightarrow X$ 是拟-非扩张映射, 设 $T_\alpha:=(1-\alpha) \circ I \oplus \alpha\circ T$, $\alpha \in(0,1]$. 那么对 $q \in F(T)$ 和 $x \in X$, 有 $F\left(T_\alpha\right)=F(T)$, 且以下不等式均成立:

定理 2.3^[21] 一个测地空间 $(X, d)$ 是 $\operatorname{CAT}(0)$ 空间, 当且仅当满足以下不等式:

特别地, 如果$x,y,z$ 是 CAT(0) 空间的三个点且$t\in[0,1]$, 那么

引理 2.1^[22] 正整数方程

的唯一解是

其中 $[x]$ 代表不超过 $x$ 的最大整数.

定理 3.1 设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个完备的 $\mathrm{CAT}(0)$ 向量空间, $A: X_1 \rightarrow X_2$ 是有界线性算子, $\left\{U_i\right\}_{i=1}^{\infty}: X_1 \rightarrow X_1$ 和 $\left\{T_i\right\}_{i=1}^{\infty}: X_2 \rightarrow X_2$ 是两族拟-非扩张映射且 $\cap_{i=1}^{\infty} F\left(U_i\right) \neq$$\emptyset, \bigcap_{i=1}^{\infty} F\left(T_i\right) \neq \emptyset$. 假设 $U_i \ominus I(i=1,2, \cdots)$ 和 $T_i \ominus I(i=1,2, \cdots)$ 半闭于零. 如果 $\Gamma=$$\left\{q \in \bigcap_{i=1}^{\infty} F\left(U_i\right), \mathrm{A} q \in \bigcap_{i=1}^{\infty} F\left(T_i\right)\right\} \neq \emptyset$, 设序列 $\left\{x_n\right\}$ 由以下算法生成

其中 $\gamma \in\left(0, \frac{1}{\lambda \beta}\right)$ 且 $\left\{\alpha_n\right\} \subset[\delta, 1-\delta], \delta>0, A^*(T \ominus I) A x_n:=A^* T A x_n \ominus A^* A x_n, A^*$ 表示 $A$ 的伴随, $T_n^*=T_{i_n}, U_n^*=U_{i_n}$, $i_n$ 和 $m_n$ 满足正整数方程, 即 $i_n=n-\frac{(m_n-1) m_n}{2}$ 且 $m_n \geq i_n, i=1,2, \cdots$, 即对每一个 $n \geq 1$, 存在唯一的 $i_n$ 和 $m_n$, 使得

那么下列结论成立:

(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y\right)$ 和 $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(u_n, y\right)$ 存在且相等.

(2) 对每个 $i \geq 1$, 存在 $\left\{x_n\right\}$ 的一个对应的子序列 $\left\{x_n\right\}_{n \in \mathbb{N}_i}$ 使得

其中 $\mathbb{N}_i:=\left\{n \in \mathbb{N}: n=i+\frac{(m-1) m}{2}, m \geq i, m \in \mathbb{N}\right\}$.

证 取 $y \in \Gamma$, 即, $y \in C, A y \in Q$, 利用定理 2.2 的性质 (2), 得到

和

由 $\lambda$ 的定义, 有

设 $\eta=2 \gamma \beta\left\langle x_n \ominus y, A^*\left(\left(T_n^*\right)^{m_n} \ominus I\right) A x_n\right\rangle$, 利用定理 2.2 的性质 (1), 得到

把(3.5)和(3.4)代入(3.3), 化简得到

把(3.6)代入(3.2), 化简得到

最后, 由 $\gamma$ 和 $\alpha_n$ 的假设, $\gamma \in\left(0, \frac{1}{\lambda \beta}\right)$ 和 $\left\{\alpha_n\right\} \subset[\delta, 1-\delta], \delta>0$,

得到

因此, $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y\right)$ 存在.

接下来证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(u_n, y\right)$ 存在. 因为 $\lim_{n\rightarrow\infty} d\left(x_n, y\right)$ 存在, 所以$d^2\!\left(x_n, y\right)-d^2\!\left(x_{n+1}, y\right)$$\rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$. 由(3.7)得到

和

因此, 由(3.3)可以得到, $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(u_n, y\right)$ 存在且 $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(u_n, y\right)$.

(2) 先证 $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_{n+1}, x_n\right)=0$ 和 $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(u_{n+1}, u_n\right)=0$. 由(3.1), 有

由(3.9)和(3.10), 有

类似地, 由(3.1)和(3.9)和(3.10), 有

对每个 $i \in N$, 考虑 $\left\{u_n\right\}$ 的子序列 $\left\{u_n\right\}_{n \in \mathbb{N}_i}$, 由正整数方程定义 $\mathbb{N}_1$, 有 $\mathbb{N}_1=$$\{1,2,4,7$, $11,16, \cdots \cdots\}$ 且 $i_1=i_2=i_4=i_7=i_{11}=i_{16}=\cdots=1$. 注意到有 $\left\{m_n\right\}_{n \in \mathbb{N}_i}=$$\{i, i+1, i+2, \cdots \cdots\}$, 即 $m_n-1=m_{n-1}$, 且 $U_n^*=U_{i_n}=U_i$, 其中 $n \in \mathbb{N}_i$. 设 $\eta_n:=$$d\left(u_n, U_i^{m_n} u_n\right)$, 因为 $\left\{U_i\right\}$ 是拟非扩张映射且 $m_n \geq 1$, $n \geq 1$, 所以对每个 $n \in \mathbb{N}_i$ 和 $n \geq 2$, 可以得到

由 $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(u_{n+1}, u_n\right)=0$ 和 $d\left(\left(U_n^*\right)^{m_n} u_n, u_n\right) \rightarrow 0$, 对任意 $i \geq 1$, 有

同理, 对任意 $i \geq 1$, 有

定理 3.2$X_1, X_2, A,\left\{U_i\right\},\left\{T_i\right\}$ 的定义与定理 3.1 相同, 序列 $\left\{x_n\right\}$ 由算法 (3.1) 定义. 如果 $\Gamma \neq \emptyset$, 存在算子 $U_{i_0} \in\left\{U_i\right\}, T_{i_0} \in\left\{T_i\right\}$ 和非递减函数 $f, h:[0, \infty) \rightarrow$$[0, \infty)$ 且 $f(0)=h(0)=0$, 对所有 $r \in(0, \infty)$, 有 $f(r), h(r)>0$, 使得 $f\left(d\left(x_n, \Gamma\right)\right) \leq$$d\left(u_n, U_{i_0} u_n\right)$ 和 $h\left(d\left(A x_n, Q\right)\right) \leq d\left(A x_n, T_{i_0} A x_n\right)$, 对所有 $n \geq 1$, 那么 $\left\{x_n\right\}$ 强收敛于 $\Gamma$ 中的某一点.

证 由定理 3.1, 存在 $\left\{u_n\right\}$ 的子序列 $\left\{u_n\right\}_{n \in \mathbb{N}_{i_0}}$ 使得

对所有 $n \in \mathbb{N}_{i_0}$, 有

上述不等式两边取上极限, 当 $\mathbb{N}_{i_0} \ni n \rightarrow \infty$, 有

由函数 $f$ 的定义, 那么

现在证明 $\left\{x_n\right\}_{n \in \mathbb{N}_{i_0}}$ 是柯西序列. 由定理 3.1, 我们考虑存在常数 $M>0$ 使得 $d^2\left(x_n, y\right) \leq M d^2\left(x_m, y\right)$, 对任意 $y \in \Gamma$ 和所有 $n \geq m$. 对任意 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $N$, 使得 $d\left(x_n, \Gamma\right)<\frac{\varepsilon}{4 M}$. 那么对任意 $y \in \Gamma$ 和 $n, m \geq N$ 和 $n, m \in \mathbb{N}_{i_0}$, 有

取下极限, 对所有 $y \in \Gamma$,

所以, $\left\{x_n\right\}_{n \in \mathbb{N}_{i_0}}$ 是柯西序列. 由于 $X_1$ 是完备的, 故存在一个 $y \in X_1$, 使得 $x_n \rightarrow y$, 当 $\mathbb{N}_{i_0} \ni n \rightarrow \infty$.

现在, 证明 $y\in C$. 因为 $\Gamma \subset C$, $\lim _{\mathbb{N}_i \ni n \rightarrow \infty} d\left(x_n, \Gamma\right)=0$, 那么 $d(y, \Gamma)=0$. 因此 $y \in C$.

接下来, 证明 $A y \in Q$. 因为 $\left\{x_n\right\}_{n \in \mathbb{N}_{i_0}}$ 收敛于 $y$ 且 $h\left(d\left(A x_n, \mathrm{Q}\right)\right) \leq d\left(A x_n, T_{i_0} A x_n\right)$, 对所有 $n \in \mathbb{N}_{i_0}$, 那么 $d(A y, Q)=0$. 由 $Q$ 的闭性. 则 $A y \in Q$. 因此 $y \in \Gamma$. 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, y\right)$ 存在, 当 $x_n \rightarrow y, n \rightarrow \infty$.

定理 3.3 设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个完备的 $\operatorname{CAT}(0)$ 向量空间, $A: X_1 \rightarrow X_2$ 是有界线性算子, $\left\{U_i\right\}_{i=1}^{\infty}: X_1 \rightarrow X_1$ 和 $\left\{T_i\right\}_{i=1}^{\infty}: X_2 \rightarrow X_2$ 是两族拟-非扩张映射且

假设 $U_i \ominus I(i=1,2, \cdots \cdots)$ 和 $T_i \ominus I(i=1,2,\cdots)$ 半闭于零. 如果

设序列 $\left\{x_n\right\}$ 由以下算法生成:

其中 $\gamma \in\left(0, \frac{1}{\lambda \beta}\right)$ 且

$A^*$表示$A$ 的伴随, $T_n^*=T_{i_n}, U_n^*=U_{i_n}$, $i_n$ 满足正整数方程, 即

那么序列 $\left\{x_n\right\}$ 弱收敛于分裂公共不动点问题的解 $x^* \in \Gamma$.

证 由定理 3.1, 有

由数学归纳法, 对任意非负整数 $k$

对每个 $k \geq 1$, 我们有

由(3.24)和(3.27), 得到

进而, 对每个 $i \geq 1$, 有

事实上, 设 $n=N_m+i$, 其中 $N_m=\frac{(m-1) m}{2}, m \geq i_n$, 得到

因为 $N_m \rightarrow \infty$, 当 $n \rightarrow \infty$, (3.27), (3.29), (3.30) 成立.

同理, 对每个 $i \geq 1$, 有

因为 $\left\{u_n\right\}$ 有界, 那么存在一个子序列 $\left\{u_{n_i}\right\} \subset\left\{u_n\right\}$ 使得 $u_{n_i} \rightharpoonup x^* \in X_1$. 由(3.30), 对每个 $j \geq 1$, 有

由于 $U_j \ominus I$ 半闭于零, 故 $x^* \in \cap_{j=1}^{\infty} F\left(U_j\right)$.

另外, 由(3.23)和(3.25)可得

因为 $A$ 是有界线性算子, 所以有 $A x_{n_i} \rightharpoonup A x^*$. 由 (3.32), 对任意 $j \geq 1$, 有

因 $T_j \ominus I$ 半闭于零, 所以 $A x^* \in \bigcap_{j=1}^{\infty} F\left(T_j\right)$. 因此 $x^* \in \Gamma$, 即 $x^*$ 是分裂公共不动点问题的解.

下面证序列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{u_n\right\}$ 都弱收敛于点 $x^*$. 若不然, 则存在子列 $\left\{u_{n_j}\right\} \subset\left\{u_n\right\}$, 使得 $u_{n_j} \rightharpoonup u^* \in \Gamma$ 且 $u^* \neq x^*$. 由 Opial 性质, 有

矛盾. 故序列 $\left\{u_n\right\}$ 弱收敛于点 $x^*$. 由(3.23)和(3.35), 有

故序列 $\left\{x_n\right\}$ 弱收敛于点 $x^*$. 因为不存在多个弱聚点, 且由 Opial 定理得 $S:=\Gamma$. 故而序列 $\left\{x_n\right\}$ 弱收敛于分裂公共不动点 $x^* \in \Gamma$.

本文研究了 CAT(0) 空间中可数族拟-非扩张映射的分裂公共不动点问题, 并提出了一种 Mann 型迭代算法来求解该问题. 在适当的假设下, 证明了该算法生成的迭代序列具有强收敛性, 确保了算法的有效性和可行性. 该研究不仅在 CAT(0) 空间这一更广泛的背景下构造了迭代算法, 还推广了分裂公共不动点问题的求解方法, 并改进了现有的一些理论结果.

与已有的方法相比, 本文的主要贡献体现在几个方面: 首先, 本文提出的 Mann 型迭代算法适用于更一般的空间结构, 使得分裂公共不动点问题的求解得到了扩展; 其次, 通过严谨的推导, 证明了迭代序列的强收敛性, 进一步完善了该领域的相关理论; 最后, 研究结果为不动点理论、非线性分析、优化问题以及变分不等式等方向的研究提供了新的思路和方法.

未来的研究可以进一步探讨在其他具有不同几何结构的空间中的分裂公共不动点问题, 或将所提出的迭代方法应用于更广泛的非线性算子问题, 从而扩展其在非线性分析中的应用.

高冬雪与严亮两人在主要定理的提出与证明、算法构造以及论文的撰写等方面承担了同等重要的工作, 贡献相当, 排序不分先后. 邓伟奇作为通讯作者, 提出问题并提供了解决问题的思路, 同时负责论文质量的把关、论文修改与投稿等相关工作.