在本文中, $(X, f)$ 是指拓扑动力系统 (简称 TDS), 其中 $X$ 表示一个紧致度量空间, $f: X \to X$ 表示一个连续的自映射. 令 $M(X)$, $M(X, f)$ 分别表示所有 Borel 概率测度和 $f$-不变 Borel 概率测度的集合. 在 1958 年, Kolmogorov^[1] 在动力系统引入了测度熵 $h_\mu(f)$. 后来 Adler 等^[2]在拓扑动力系统 $(X, f)$ 定义了一个拓扑共轭的不变量——拓扑熵 $h_{\text{top}}(f)$. 拓扑熵和测度熵之间存在一个基本关系: 若 $(X, f)$ 是拓扑动力系统, 则

Goodman^[3] 证明了这一变分原理, 并在遍历理论和动力系统中起着基础性作用 (参见[4,5]). 1973 年, 类似于 Hausdorff 维数的方式, Bowen^[6] 引入了子集 $Z$ 的拓扑熵 $h^B_{\text{top}}(f, Z)$, 也被称之为 Bowen 拓扑熵, 并且证明了 $h^B_{\text{top}}(f, X) = h_{\text{top}}(f)$. 受 Bowen 方法的启发, Pesin 和 Pitskel^[7] 给出了任意子集的拓扑压的概念. 之后, 人们对 Bowen 拓扑熵和子集拓扑压进行了深入研究. 其中, Feng 和 Huang 证明子集 Bowen 拓扑熵和局部测度熵之间的变分原理^[8], 并且给出了 Packing 拓扑熵的定义, 证明了其子集的变分原理. 这个结果引起了许多科学工作者的研究, 例如: Kong 和 Chen^[9] 建立了慢熵的子集变分原理. Xu 和 Zhou^[10] 给出了非自治动力系统 Bowen 拓扑熵的子集变分原理. Billingsley 定理是分形几何中的一个重要结果, 它给出了估计 Hausdorff 维数上界和下界的方法. 2008 年, Ma 和 Wen^[11] 给出了 Bowen 拓扑熵的 Billingsley 定理.

受分形几何中自仿射维数的启发^[12,13,14], Feng 和 Huang^[15] 引入了加权拓扑压, 并建立了其变分原理. 设 $(X_{i}, T_{i})$($1\leq i \leq k$, $k\geq 2$)) 是拓扑动力系统. 设 $d_{i}$ 是 $X_{i}$ 的度量, $u: X_{1}\rightarrow \mathbb{R}$ 是一个正的连续函数. 对于每个 $1\leq i\leq k - 1$, 取因子映射 $\pi_{i} : X_{i}\to X_{i + 1}$. 也就是说, $\pi_{1}, \cdots, \pi_{k - 1}$ 是连续映射, 可以使得以下图表可交换:

为方便起见, 我们用 $\pi_{0}$ 来表示 $X_{1}$ 上的恒等映射. 定义 $\tau_{i}: X_{1}\to X_{i+1}$. 对于 $i=0, 1, \cdots, k-1$, 有 $\tau_{i}=\pi_{i}\circ\pi_{i-1}\circ\cdots\circ\pi_{0}$. 设 $M(X_{i}, T_{i})$ 表示在 $X_{i}$ 上的所有 $T_{i}$-不变 Borel 概率测度的集合, $E(X_{i}, T_{i})$ 表示遍历测度的集合. 固定 ${\bf{a}}=(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k})\in \mathbb{R}^{k}$, 其中 $a_{1}>0$ 且对于 $i\geq 2$ 有 $a_{i}\geq 0$. 设 $\varphi: X_{1}\rightarrow \mathbb{R}$ 是一个连续函数, 加权拓扑压和测度熵之间的关系为:

2000 年, Barreira 和 Schmeling^[16] 在子集上引入了 BS 维数的概念, 并证明 BS 维数是由势函数的拓扑压定义的方程的唯一根. 之后, Wang 和 Chen^[17] 研究了 BS 维数性质并建立了子集变分原理. 本文主要目的是将 BS-维数和加权思想结合起来, 定义加权 BS-维数, 并且建立对应的 Billingsley 定理和变分原理. 首先, 我们定义加权上下 BS- 局部测度维数: 令 $\mu \in M(X_1)$, 加权上下 BS-局部测度维数定义为

其中

具体而言, 本文的第一个结果是建立加权 BS-Covering 维数的 Billingsley 定理.

定理 1.1 设 $(X_1, T_1)$ 为拓扑动力系统, $\mu$ 为 $X_1$ 上的 Borel 概率测度, $E$ 是 $X_1$ 的 Borel 子集且 $0 < s < \infty$.

(1) 若对所有 $x \in E$ 有 $\underline{P}^{\mathbf{a}}_{\mu}(x) \leq s$, 则 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} E \leq s$,

(2) 若 $\mu(E) > 0$ 和对所有 $x \in E$, 有 $\underline{P}^{\mathbf{a}}_{\mu}(x) \geq s$, 则 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} E \geq s$.其中 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} E$ 的定义详见本文第二节.

本文的第二个结果是通过加权的 BS Frostman 引理, 建立加权 BS-局部测度维数与加权 BS-Covering 维数之间的变分原理.

定理 1.2 设 $(X_1, T_1)$ 为拓扑动力系统, 若 $K \subset X_1$ 是非空紧子集, 则

其中 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} E$ 的定义详见本文第二节.

在本节我们介绍了加权度量和加权 Bowen 球, 并定义出加权 BS-Covering 维数. 对于任意 $x, y \in X_1$, $n \in \mathbb{N}$ 和 $\epsilon > 0$, 定义

和$ \begin{align*} B_{n}^{\mathbf{a}}(x, \epsilon) := \left\{ y \in X_1 : d_{n}^{\mathbf{a}}(x, y) < \epsilon \right\}, \end{align*} $

其中 $\lceil u \rceil$ 表示不小于 $u$ 的最小整数. 我们称 $B_{n}^{\mathbf{a}}(x, \epsilon)$ 是球心在 $x$ 处, 半径为 $\epsilon$ 的 $n$ 次 $\mathbf{a}$-加权 Bowen 球. 对于 $n \geq 1$ 和 $\epsilon>0$, 我们记

为便于后续讨论, 对于任意 $B^{\mathbf{a}}=B_{n}^{\mathbf{a}}(x, \epsilon )\in \mathcal{W} _{n}^{\mathbf{a}}(\epsilon, Z)$, 记 $B^{\mathbf{a}}$ 的长度为整数 $n(B_{n}^{\mathbf{a}}(x, \epsilon)) = n$, $B^{\mathbf{a}}$ 的球心为 $x_{B^{\mathbf{a}}}$.对于任意 $B^{\mathbf{a}}\in \mathcal{W} _{n}^{\mathbf{a}}(\epsilon, Z)$, 函数 $u$ 可诱导出一个函数, 定义为:

令

定义 2.1 设 $Z \subseteq X_1$, 对于任意 $\alpha > 0$, $N \in \mathbb{N}$ 和 $\epsilon > 0$, 我们定义

其中下确界取遍所有覆盖 $Z$ 的有限或可数集族 $\mathcal{G} \subseteq \bigcup_{j\geqslant N}{\mathcal{W}^{\mathbf{a}} _j\left( \epsilon, Z \right)}$. 由定义可知 $ M^{\mathbf{a}}(Z, \alpha, N, \epsilon )$ 是 $X_1$ 上的一个有限外测度, 并且随着 $N$ 的增加而增加. 定义

和$ \begin{align*} \dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC}(Z, \epsilon) = \inf\{\alpha : m^{\mathbf{a}}(Z, \alpha, \epsilon) = 0\} = \sup\{\alpha : m^{\mathbf{a}}(Z, \alpha, \epsilon) = \infty\}\textit{. } \end{align*} $

当 $\epsilon_1 < \epsilon_2$ 时, $m^{\mathbf{a}}(Z, \alpha, \epsilon_1) \geq m^{\mathbf{a}}(Z, \alpha, \epsilon_2)$, 进而可得 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC}(Z, \epsilon_1) \geq \dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC}(Z, \epsilon_2)$, 这保证了极限 $\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}\mathrm{dim}_{\mathrm{BSC}}^{\mathbf{a}}(Z, \epsilon )$ 的存在性. 称 $\mathrm{dim}_{\mathrm{BSC}}^{\mathbf{a}}Z=\underset{\epsilon \rightarrow 0}{\lim}\mathrm{dim}_{\mathrm{BSC}}^{\mathbf{a}}(Z, \epsilon )$ 为加权 BS-Covering 维数.

由 [4,定理 2.1 和 2.4] 得如下命题.

命里 2.1 (1) $\mathrm{dim}_{\mathrm{BSC}}^{\mathbf{a}}Z\geq 0$;

(2) 如果 $Z_{1} \subset Z_{2} \subset X_1$, 则 $\mathrm{dim}_{\mathrm{BSC}}^{\mathbf{a}}Z_1 \leq\mathrm{dim}_{\mathrm{BSC}}^{\mathbf{a}}Z_2$ (单调性);

(3) 设 $Z \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}Z_i$, 其中 $Z_i \subset X_1$, 则 $\mathrm{dim}_{\rm BSC}^{\mathbf{a}}Z\le \mathop {\sup} \limits_{i}\mathrm{dim}_{\rm BSC}^{\mathbf{a}}Z_i$ (可数稳定性).

引理 3.1^[18] 设 $r>0$, 定义 $\mathcal{B}(r)=\{ B_{n}^{\mathbf{a}}(x, r): x\in X_{1}, n=1, 2, \ldots \}$. 对任意子族 $\mathcal{F} \subset \mathcal{B}(r)$, 存在两两不交的球 $B_{n}^{\mathbf{a}}(x, r)$ 构成的子族 $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$, 使得

下面给出定理1.1 的证明.

证 (1) 固定 $r>0$. 因为对任意 $x \in E$ 有 $\underline{P}^{\mathbf{a}}_{\mu}(x) \leq s$, 所以 $E = \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$, 其中

固定 $k \geq 1$ 且 $0 < \epsilon < \frac{1}{3k}$. 对所有 $x \in E_k$, 存在严格递增序列 $\{n_j(x)\}_{j=1}^{\infty}$, 使得

对于任意 $N \geq 1$, 令 $ \mathcal{F}_{N} = \left\{ B^{\mathbf{a}}_{n_j(x)}(x, \epsilon) : x \in E_k, \ n_j(x) \geq N \right\}$, 则 $E_{k}\subset \bigcup_{B^a\in \mathcal{F}_{N}}B^a.$ 根据引理3.1, 存在有限或可数个互不相交的球构成的子族 $\mathcal{G}=\left\{B^{\mathbf{a}}_{n_{i}}\left(x_{i}, \epsilon\right)\right\}_{i \in I} \subset \mathcal{F}_{N}$ 使得

且对所有 $i \in I$, 有

因为 $\mu$ 是概率测度且 $\mathcal{G}$ 是由互不相交的集合构成的族, 且每个集合都具有 $\mu$-正测度, 所以指标集 $I$ 至多可数. 因此, $\{B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, 3\epsilon)\}$ 是 $E_k$ 的至多可数覆盖, 从而

其中最后一个不等式利用了 $\{B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, \epsilon)\}_{i \in I}$ 的不交性. 由此可得

这意味着对任意 $0 < \epsilon < \frac{1}{3k}$, 有 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC}(E_k, 3\epsilon) \leq s+r$. 令 $\epsilon \to 0$ 可得

由命题 2.1 得, 加权 BS-Covering 维数具有可数稳定性, 即

由于 $r > 0$ 是任意的, 故 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} E \leq s$.

(2) 固定 $r > 0$, 对所有 $k \geq 1$, 令

由于对所有 $x \in E$ 有 $\underline{P}^{\mathbf{a}}_{\mu}(x) \geq s$, 集合序列 $\{E_k\}_{k=1}^{\infty}$ 单调递增且 $\bigcup_{k=1}^{\infty} E_{k}=E$. 因此, 根据测度的连续性^[19], 我们有

取 $k \geq 1$ 使得 $\mu(E_{k}) > \frac{1}{2} \mu(E)$.对任意 $N \geq 1$, 定义

因为 $E_{k,N}\subset E_{k,N+1}$ 且 $\bigcup_{N=1}^{\infty} E_{k,N}=E_{k}$, 我们可选取 $N^{*} \geq 1$ 使得 $\mu(E_{k, N^{*}}) > \frac{1}{2} \mu(E_k)$. 令 $E^{*} = E_{k, N^{*}}$ 且 $\epsilon^{*} = \frac{1}{k}$, 所以 $\mu(E^{*}) > 0$. 对所有 $x \in E^{*}$, $0 < \epsilon \leq \epsilon^{*}$ 和 $n \geq N^{*}$, 有

假设 $\mathcal{F} = \left\{ B^{\mathbf{a}}_{n_i}(y_i, \frac{\epsilon}{2}) \right\}_{i=1}^\infty$ 是 $E^*$ 的一个覆盖, 且满足

对任意 $i \geq 1$, 存在 $x_i \in E^* \cap B^{\mathbf{a}}_{n_i}(y_i, \frac{\epsilon}{2})$, 对任意 $z_{i}\in B_{n}^a(y_{i}, \frac{\epsilon}{2})$, 由三角不等式

得$ B^{\mathbf{a}}_{n_i}\left(y_i, \frac{\epsilon}{2}\right) \subset B^{\mathbf{a}}_{n_i}\left(x_i, \epsilon\right). $

结合(3.1)可得,

于是,

因此,

这表明 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC}(E^{*}, \frac{\epsilon}{2}) \geq s-r$. 令 $\epsilon \to 0$ 可得 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} E^{*} \geq s-r$, 从而 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} E \geq \dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} E^{*} \geq s-r$. 由于 $r > 0$ 是任意的, 故 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} E \geq s$.

定义 4.1 对于任意函数 $h: X_1 \to [0, \infty)$, $s \geq 0$, $N \in \mathbb{N}$ 及 $\epsilon > 0$, 定义

其中下确界取遍所有有限或可数族 $\{(B^{\mathbf{a}}_{n_{i}}(x_{i}, \epsilon), c_{i})\}$, 满足 $0 < c_{i} < \infty$, $x_{i} \in X$, $n_{i} \geq N$ 且

其中 $B^{\mathbf{a}}_{i} = B^{\mathbf{a}}_{n_{i}}(x_{i}, \epsilon)$, $\mathcal{X}_{A}$ 表示集合 $A$ 的特征函数.

对于 $Z \subset X_1$ 和 $h = \mathcal{X}_{Z}$, 我们定义 $W^{\mathbf{a}}(Z, s, \epsilon, N) = W^{\mathbf{a}}(\mathcal{X}_{Z}, s, \epsilon, N)$. $W^{\mathbf{a}}(Z, s, \epsilon, N)$ 随着 $N$ 的增大和 $\epsilon$ 的减小而增加, 因此下列极限存在:

显然, 参数 $s$ 存在一个临界值, 记为 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm WBS} Z$, 使得 $W^{\mathbf{a}}(Z, s)$ 从 $\infty$ 跳跃到 $0$, 即

我们称 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm WBS}Z$ 为 $Z$ 的加权 WBS 维数.

接下来, 我们证明 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC}$ 与 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm WBS}$ 的等价性. 我们使用的方法源自 Federer^[20], Mattila^[19], 以及 Feng 和Huang^[8].

引理 4.1 设 $Z \subset X_1$, $s \geq 0$, $\epsilon$, $\delta > 0$. 当 $N$ 足够大时, 有

因此,

证 设 $Z \subset X_1$, $s \geq 0$, $\epsilon$ 和 $\delta > 0$. 在 (4.1) 中取 $h = \mathcal{X}_{Z}$ 且 $c_{i} \equiv 1$, 可知对任意 $N \in \mathbb{N}$, 有

接着, 我们证明当 $N$ 足够大时,

假设 $N \geq 2$ 且满足当 $n \geq N$ 时, $n^{2} \exp(-\underline{u} n \delta) \leq 1$. 给定集族 $\{(B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, \epsilon), c_i)\}_{i \in I}$ 满足 $I \subset \mathbb{N}$, $x_i \in X_1$, $0 < c_i < \infty$, $n_i \geq N$, 并且

其中 $B^{\mathbf{a}}_i = B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, \epsilon)$. 为了证明 $M^{\mathbf{a}}(Z, s + \delta, 6\epsilon, N) \leq W^{\mathbf{a}}(Z, s, \epsilon, N)$, 我们只需证明

对 $n \geq N$ 和 $k \in \mathbb{N}$, 定义 $\mathcal{I}_n = \{i \in {I}: n_i = n\}$ 和 $\mathcal{I}_{n, k} = \{i \in \mathcal{I}_n: i \leq k\}$. 为简化书写, 对任意 $i \in \mathcal{I}$, 记 $B^{\mathbf{a}}_i = B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, \epsilon)$ 和 $5B^{\mathbf{a}}_i = B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, 5\epsilon)$. 我们可假设当 $i \neq j$ 时 $B^{\mathbf{a}}_i \neq B^{\mathbf{a}}_j$. 对 $t > 0$, 令

我们将(4.3)的证明分为以下三个步骤.

第一步: 对于每个 $n \geq N$, $k \in \mathbb{N}$ 和 $t > 0$, 存在有限集 $\mathcal{J}_{n, k, t} \subset \mathcal{I}_{n, k}$, 使得球 $B^{\mathbf{a}}_i$($i \in \mathcal{J}_{n, k, t}$) 两两不交, $Z_{n, k, t} \subset \cup_{i \in \mathcal{J}_{n, k, t}} 5B^{\mathbf{a}}_i$, 且

由于 $\mathcal{I}_{n, k}$ 是有限集, 通过从右方逼近 $c_i$, 我们可以假设每个 $c_i$ 都是正有理数, 再乘以公分母, 进而可假设每个 $c_i$ 都是正整数. 设 $m$ 是满足 $m \geq t$ 的最小整数. 记 $\mathcal{B} = \{B^{\mathbf{a}}_i : i \in \mathcal{I}_{n, k}\}$, 用 $v(B^{\mathbf{a}}_i) = c_i$ 来定义 $v: \mathcal{B} \to \mathbb{Z}$. 令 $v_0 = v$, 我们在 $\mathcal{B}$ 上归纳定义整数值函数 $v_0, v_1, \dots, v_m$ 和 $\mathcal{B}$ 的子族 $\mathcal{B}_1, \dots, \mathcal{B}_m$. 适当调整引理 3.1} 的证明可得, 存在 $\mathcal{B}$ 的两两不交子族 $\mathcal{B}_1$, 使得 $\cup_{B^a \in \mathcal{B}} B^{\mathbf{a}} \subset \cup_{B^a \in \mathcal{B}_1} 5B^{\mathbf{a}}$ 且 $Z_{n, k, t} \subset \cup_{B^{a} \in \mathcal{B}_1} 5B^{\mathbf{a}}$. 然后通过反复使用引理 3.1, 对 $j = 1, \dots, m$ 归纳定义出 $\mathcal{B}$ 的两两不交的子族 $\mathcal{B}_j$, 使得

且函数 $v_j$ 满足

对于 $j<m$, 我们有

因此,

选择 $j_0 \in \{1, \dots, m\}$ 使得 $\sum_{B^{\mathbf{a}} \in \mathcal{B}_{j_0}} \exp\left( -\frac{s}{a_1} \sum_{k=0}^{\lceil a_1n \rceil -1} u(T_1^{k}x_{B^{\mathbf{a}}}) \right)$ 是最小的. 因此

因此, 所要找的集合为 $\mathcal{J}_{n, k, t} = \{i \in \mathcal{I}: B^{\mathbf{a}}_i \in \mathcal{B}_{j_0}\}$.

第二步: 对于任意 $n \geq N$ 和 $t > 0$, 将证明

为了证明这一点, 假设 $Z_{n, t} \neq \emptyset $, 否则无需证明. 由于 $Z_{n, k, t} \uparrow Z_{n, t}$, 当 $k$ 足够大时 $Z_{n, k, t} \neq \emptyset$. 令 $\mathcal{J}_{n, k, t}$ 为第一步中构造的集合, 则当 $k$ 足够大时 $\mathcal{J}_{n, k, t} \neq \emptyset$. 定义 $E_{n, k, t} = \{x_i : i \in \mathcal{J}_{n, k, t}\}$. $X$ 的非空紧子集构成的集族关于 Hausdorff 距离是紧的 (参见 Federer ^[20]). 因此存在正整数子列 $\{k_j\}$ 和非空紧子集 $E_{n, t} \subset X_1$, 使得当 $j \to \infty$ 时, $E_{n, k_j, t}$ 在 Hausdorff 距离下收敛到 $E_{n, t}$. 由于 $E_{n, k, t}$ 中任意两点 (关于 $d^{\mathbf{a}}_n$) 的距离不小于 $\epsilon$, $E_{n, t}$ 中的点也是如此. 因此 $E_{n, t}$ 是有限集, 此外, 当 $j$ 足够大时, $\#(E_{n, k_j, t}) = \#(E_{n, t})$. 于是当 $j$ 足够大时,

从而 $\bigcup_{x \in E_{n, t}} B^{\mathbf{a}}_n(x, 6\epsilon) \supset Z_{n, t}$. 由于当 $j$ 足够大时 $\#(E_{n, k_j, t}) = \#(E_{n, t})$, 故

这使得

第三步: 对于任意 $t \in (0, 1)$, 有

则(4.3)成立.

固定 $t \in (0, 1)$. 注意到 $\sum_{n=N}^{\infty} n^{-2} < 1$. 由 (4.2) 可得 $Z \subset \cup_{n=N}^{\infty} Z_{n, n^{-2} t}$. 因此, 根据 (4.4) 且 $M^{\mathbf{a}}(\cdot, s+\delta, 6 \epsilon, N)$ 是外测度可知

这就完成了引理的证明.

为了证明加权 BS-Covering 维数的变分原理, 我们还需要引入如下加权 BS Frostman 引理.

引理 4.2 (^[21]引理 4.2) 设 $K \subset X_{1}$ 是非空紧子集, $s \geq 0$, $N \in \mathbb{N}$, $\epsilon > 0$. 如果 $c :=W^{\mathbf{a}}(K, s, \epsilon, N) > 0$, 则存在 Borel 概率测度 $\mu \in M(X_{1})$, 使得 $\mu(K) = 1$, 且对任意 $x \in X_{1}$, $n \geq N$, 有

定理1.2的证明: 首先证明, 对任意 $\mu \in M(X_1)$ 且 $\mu(K) = 1$, 有 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC}(K) \geq \underline{P}^{\mathbf{a}}_{\mu}(T_1)$. 给定这样的测度 $\mu$, 对 $x \in X_1$, $n \in \mathbb{N}$ 和 $\epsilon > 0$, 记

显然, $\underline{P}^{\mathbf{a}}_{\mu}(T_1, x, \epsilon)$ 非负且随着 $\epsilon$ 减小而增加. 因此, 结合单调收敛定理可得,

从而, 要证明 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} K \geq \underline{P}^{\mathbf{a}}_{\mu}(T_1)$, 只需对任意 $\epsilon > 0$ 证明

固定 $\epsilon > 0$ 和 $l \in \mathbb{N}$. 记

则存在 Borel 集 $A_{l} \subset X_1$ 满足 $\mu(A_{l}) > 0$ 和 $N \in \mathbb{N}$, 使得

现在, 设 $\{B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, \frac{\epsilon}{2})\}$ 为可数或有限族, 使得 $x_i \in X_1$, $n_i \geq N$ 且 $\cup_i B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, \frac{\epsilon}{2}) \supset K \cap A_l$. 我们可假设对任意 $i$, 有 $B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, \epsilon) \cap (K \cap A_l) \neq \emptyset$, 并选取 $y_i \in B^{\mathbf{a}}_{n_i}(x_i, \frac{\epsilon}{2}) \cap (K \cap A_l)$. 于是由 (4.5) 得,

由此可得

因此

令 $l \to \infty$, 可得

所以

我们接下来需要证明

不失一般性, 假设 $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} K > 0$, 否则无需证明. 根据引理 4.1, $\dim^{\mathbf{a}}_{\rm BSC} K = \dim^{\mathbf{a}}_{\rm WBS} K$. 任取 $0 < s < \dim^{\mathbf{a}}_{\rm WBS} K$, 则存在 $\epsilon > 0$ 和 $N \in \mathbb{N}$ 使得

根据引理 4.2, 存在 $\mu \in M(X_1)$ 且 $\mu(K) = 1$, 使得

显然, 对任意 $x \in X_1$, 有 $\underline{P}^{\mathbf{a}}_{\mu}(T_1, x) \geq \underline{P}^{\mathbf{a}}_{\mu}(T_1, x, \epsilon) \geq s$, 因此,

这便完成了定理1.2的证明.