数学物理学报, 2026, 46(6): 2117-2139

多调和热流的一些局部估计及唯一性结果

高敏,*

澳门大学科技学院数学系 中国澳门 999078

Some Local Estimates and a Uniqueness Result for the Entire Poly-Harmonic Heat Flow

Gao Min,*

Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, University of Macau, Taipa, Macau 999078

通讯作者: 高敏, E-mail: yc47474@um.edu.mo

收稿日期: 2025-08-12   修回日期: 2025-10-21  

基金资助: 国家自然科学基金(11223344)

Received: 2025-08-12   Revised: 2025-10-21  

Fund supported: NSFC(11223344)

摘要

该文研究了 $\mathbb R^n\times (0,T]$ 上多调和热流方程 $\partial_t u+\Delta^{2m}u=0$ 的光滑解. 主要关注一类满足特定全局时间控制条件的解, 即存在常数 $k_0>0$, 使得 $|\Delta u(x,t)|^2\leq k_0t^{-1/m}$ 成立. 该文首先建立了此类解的局部估计, 并阐明了这些估计如何推导出光滑解的唯一性. 最后, 构造了一个具体的示例, 论证了上述控制条件的自然性和必要性.

关键词： 多调和热流; 局部估计; 唯一性.

Abstract

We consider smooth solutions to the poly-harmonic heat equation $\partial_tu+\Delta^{2m}u=0$ on $\mathbb{R} ^n\times (0,T]$. We focus on solutions satisfying a global growth condition: $|\Delta u|(x,t)^2\leq k_0t^{-1/m}$ for some constant $k_0>0$. We establish local estimates (in space and time) for such solutions and demonstrate how these estimates imply uniqueness of smooth solutions within this class. Finally, we provide an example to illustrate the naturalness of this control condition.

Keywords： poly-harmonic heat flow; local estimates; uniqueness

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高敏. 多调和热流的一些局部估计及唯一性结果[J]. 数学物理学报, 2026, 46(6): 2117-2139

Gao Min. Some Local Estimates and a Uniqueness Result for the Entire Poly-Harmonic Heat Flow[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(6): 2117-2139

1 引言

本文探讨以下多调和热流方程在 $\mathbb{R} ^n\times (0,T]$ 上的光滑解:

$\begin{equation} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=-\Delta^{2m}u, & (x,t)\in \mathbb R^n\times (0,T], \\ u(x,0)=u_0, & x\in \mathbb R^n, \end{cases} \end{equation}$

其中 $m\geq 1$ 且 $m\in \mathbb Z^+$, $\Delta=\sum_{j=1}^{n}\partial^2_{x_j}$ 为经典拉普拉斯算子.

1.1 研究问题的背景与动机

方程(1.1)的研究可以追溯至经典的二阶热传导方程:

$\begin{equation} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u, &(x,t)\in \mathbb R^n\times [T], \\ [2mm] u(x,0)=u_0, &x\in\mathbb R^n. \end{cases} \end{equation}$

方程(1.2)是描述自然界扩散现象 (如热量传导、布朗运动等) 的基本模型, 其物理机制源于浓度梯度驱动下的粒子或能量通量. 目前关于方程(1.2)的理论已经相当成熟. 经典热方程的解具有良好的性质, 如极值原理和正性保持, 这为分析解的存在性与正则性提供了强有力的工具. 然而, 即便在经典情形下, 方程(1.2), 解的唯一性也并非无条件成立. Tychonoff[14] 构造了一个著名的反例, 展示了初值为零但在后续时刻非零的解, 这表明光滑解并非总是由其初值唯一确定. 为保证唯一性, 必须对解的增长行为施加特定条件. 例如 D. Widder[15] 证明了(1.5)非负解的唯一性, 但其方法本质上依赖于解的正性, 不具有推广到高阶方程的普适性.

多调和热方程(1.1)用于描述更为复杂的物理系统, 其背景源于弹性力学中的高阶恢复力与耗散机制的耦合, 广泛应用于材料科学中界面和薄膜演化的描述[2,9,10]. 当我们将算子从二阶的 $-\Delta$ 推广到高阶的 $-\Delta^{2m} (m\geq 1)$ 时, 问题的复杂性显著增加. Evgrafov-Postnikov[4] 最早指出, 与经典二阶热算子根本不同的是, 多调和热算子的热核表现出两大特性:

(1) 依赖空间维数: 这使得解的性质分析需针对不同维数进行额外处理.

(2) 热核的变号性: 由于热核不再保持非负, 多调和方程的解会呈现强烈的振荡现象.

热核的变号性导致了本质性的困难: 经典热方程所依赖的正性保持性质以及极值原理对于多调和热流不再成立. 这使得研究高阶方程的唯一性、正则性及解的渐近行为变得极具挑战性, 引起了学术界的广泛关注. 更多对于 $m=1$ 时关于方程(1.1)的结果可以参考[6,8]. 当 $m$ 是任意正数 (包含非整数的情形) 时, Lucas C.F. Ferreira-Vanderley A. Ferreira JR.[5] 研究了解的局部正性保持性质及多项式衰减性质. 关于二阶与高阶热方程的区别及应用, 亦可参考[1,9].

鉴于上述困难, 尤其是极值原理等标准工具的失效, 一个核心的开放问题是: 在什么条件下, 多调和热流(1.1)的解是唯一的? 本文旨在回答这一问题. 不同于 Widder[15] 依赖解的非负性, 我们寻找一个关于解在 $t \to 0$ 时 "爆破速率" 的控制条件. 特别地, 我们关注满足如下全局时间控制条件的解:

$\begin{equation} t^{\frac1m}|\Delta u|^2(x,t)\leq k_0<\infty,\quad (x,t)\in \mathbb{R} ^n\times (0,T], \end{equation}$

其中 $k_0\in \mathbb R^+$. 该条件允许 $|\Delta u(x,t)|^2$ 在 $t\to 0$ 时趋于无穷, 但限制其增长速率. 我们认为增长条件(1.3)是自然的, 因为它具有尺度不变性 (详见第3节). 此外, 这种行为在渐近意义下是可实现的. 本文的第5节构造了一个具体的示例: 存在解 $u\in C^\infty(\mathbb R^n\times (0,T))$, 以及点列 $x(t)\in \mathbb R^n$, 使得对某个固定的 $k_0>0$ 及所有的 $t>0$, 成立

$\Delta^{2m}u(y(t),t)=\frac{k_0}{t},$

这表明(1.3)所描述的增长速率是必要的.

1.2 主要研究方法

本文为解决上述高阶偏微分方程问题, 所采用的主要方法是爆破分析与带权重能量估计相结合的技术. 具体而言, 我们的研究方法可以概述为以下几个关键步骤:

(1) 先验能量估计: 首先在第2节中推导了一系列关键的 "带权重能量" 的先验估计. 我们定义了带权重的能量泛函 $E_\eta^k(u)=\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\eta \mathrm{d}x$, 并通过精细的积分估计和差值不等式, 得到了该能量随时间演化的微分不等式. 这些估计是后续分析的基础;

(2) 爆破分析: 在证明解的局部估计 (定理 1.1) 时, 我们采用了爆破分析技术;

(3) 唯一性的证明: 唯一性定理 (定理 1.3) 是上述局部估计和能量估计的直接应用.

本文所采用的方法是对文献[12]针对 $m=1$ (双调和热流) 所提出的方法的扩展和推广. 受文献[11]的启发, 并结合文献[12]的思想, 我们的方法有以下几个显著特点:

· 全局性假设: 我们对解的假设(1.3)是全局性的, 不局限于解的非负性, 这与[15]的经典方法形成对比;

· 尽管我们研究的是高阶方程, 但我们的关键条件(1.3)是逐点假设, 我们成功地从逐点条件出发得到了所需的估计, 而无需依赖积分条件.

1.3 主要结果

我们的第一个主要结果是如下局部估计.

定理 1.1 设 $u:\mathbb R^n\times (0,T]\to \mathbb R$, 其中 $T<\infty$ 是方程 (1.1) 的一个光滑解, 且满足

$\begin{equation} |\Delta u|^2(x,t)\leq \frac{k_0}{t^{\frac1m}},\quad (x,t)\in \mathbb R^n\times (0,T], \end{equation}$

及

$\sup_{B_1(0)}\sum_{i=1}^{2(n+1)}|\nabla^iu_0|^2\leq k_1<\infty,$

其中 $k_0\in \mathbb{R} ^+$, $k_1\in \mathbb{R} ^+$. 那么存在 $N=N(k_0,k_1,n)>0$, 使得对于所有满足 $x\in \overline{B_1(0)}$, $(1-|x|)^{4}\geq Nt^{\frac1m}$ 且 $t\leq \min\left\{1/N^m,T\right\}$ 的点, 成立

$|\Delta u|^2(x,t)\leq \frac{N}{(1-|x|)^{4}}.$

进一步地, 若附加关于 $t\to 0$ 时高阶导数的控制条件, 则可得到更高阶的正则性结果.

定理 1.2 假设 $s\in \mathbb N$, $s\geq 2$, 且 $u:\mathbb{R} ^n\times(0,T]\to\mathbb{R} $, $T<\infty$ 是方程 (1.1) 的解, 满足

$\left(|\nabla^su|+|\nabla^{s-1}u|^\frac{s}{s-1}\cdots+|\nabla u|^s\right)(x,t)\leq \frac{k_0}{t^{s/(4m)}},\quad (x,t)\in \mathbb{R} ^n\times(0,T]$

及

$\sup_{B_1(0)}\sum_{i=1}^{2n+s+1}|\nabla^iu_0|^2\leq k_1<\infty,$

其中 $k_0\in\mathbb{R} ^+$, $k_1\in \mathbb{R} ^+$. 那么存在 $N=N(k_0,k_1,s,n)$, 使得对于所有的满足 $x\in \overline{B_1(0)}$, $(1-|x|)^{4}\geq Nt^{\frac1m}$ 且 $t\leq \min\left\{1/N^m,T\right\}$ 的点, 成立

$\left(|\nabla^su|+|\nabla^{s-1}|^\frac{s}{s-1}\cdots+|\nabla u|^s\right)(x,t)\leq \frac{N}{(1-|x|)^{s}}.$

最后, 我们得到了满足(1.4)的光滑解由初值唯一确定:

定理 1.3 假设 $u,v:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to \mathbb{R} $, $T<\infty$, 是方程 (1.1) 的光滑解, 满足

$|\Delta v|^2(x,t)+|\Delta u|^2(x,t)\leq \frac{k_0}{t^{\frac1m}},\quad (x,t)\in \mathbb{R} ^n\times (0,T],$

及

$u_0(\cdot)=v_0(\cdot),$

其中 $k_0\in \mathbb{R} ^+$. 那么

$u\equiv v.$

本文的结构安排如下. 在第2节中, 我们将讨论方程(1.1)解的能量估计; 第3节将详细介绍定理1.1和定理1.2的证明过程; 第4节包含了定理1.3的证明. 最后, 在第5节中, 我们将构造一个关键示例, 以说明控制条件(1.3)的自然性与合理性.

2 能量的先验估计

在本节中, 我们将证明带权重能量的一些估计. 具体而言, 我们考虑如下定义的带权能量:

$\begin{equation} E_\eta^k(u)=\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^k u|^2\eta \mathrm{d}x,\quad \eta\in C_c^\infty(\mathbb{R} ^n),\ \mathrm{supp}\eta\subset\subset \mathbb{R} ^n, \end{equation}$

其中 $k\in \mathbb{N}_0$ 且 $u:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to \mathbb{R} $ 是方程(1.1)的光滑解. 因此对于所有的 $k\in \mathbb N_0$ 及 $t\in (0,T]$, $E_\eta^k(u)$ 都是有限的.

本节的主要目标是通过估计 $E_\eta^k(u)$ 来量化解 $u$ 在流 (1.1) 过程中的各种 Sobolev 范数等全局量的表现.

引理 2.1 假设 $u:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to \mathbb{R} $ 是方程 (1.1) 的光滑解. 那么, 对所有的 $t\in (0,T]$ 及 $k\in \mathbb N_0 $, 成立

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^k(u)+2E_\eta^{k+m}(u)= & \ 2\sum_{a=k}^{k+m-1}\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^au)(\nabla_i\Delta^{2k+2m-1-a}u)\cdot(\nabla_i\eta )\mathrm{d}x\\ &-2\sum_{a=k}^{k+m-1}\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{2k+2m-1-a}u)(\nabla_i\Delta^au)\cdot(\nabla_i\eta) \mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation}$

证 对(2.1)微分得

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^k(u)\\ =&-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^ku)(\Delta^{k+2m}u)\eta \mathrm{d}x\\ =&2\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\Delta^{k+2m-1}u)\eta \mathrm{d}x +\underbrace{2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^ku)(\nabla_i\Delta^{k+2m-1}u)\cdot(\nabla_i\eta) \mathrm{d}x}_{I_{11}}\\ =&-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+1}u)(\Delta^{k+2m-1}u)\eta \mathrm{d}x\underbrace{-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2m-1}u)(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x}_{I_{12}}+I_{11}\\ =&\cdots\\ =&-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+m-1}u)(\Delta^{k+m+1}u)\eta \mathrm{d}x+\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{l=1}^2I_{jl}\\ =&2\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta^{k+m-1}u)\cdot(\nabla_i\Delta^{k+m}u)\eta \mathrm{d}x+\underbrace{2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+m-1}u)(\nabla_i\Delta^{k+m}u)\cdot(\nabla_i\eta ) \mathrm{d}x}_{I_{m1}}+\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{l=1}^2I_{jl}\\ =&-2\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m}u|^2\eta \mathrm{d}x \underbrace{-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+m}u)(\nabla_i\Delta^{k+m-1}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x}_{I_{m2}}+I_{m1}+\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{l=1}^2I_{jl}\\ =&-2E_\eta^{k+m}(u)+\sum_{j=1}^{m}\sum_{l=1}^2I_{jl}, \end{aligned} \end{equation*}$

其中

$\begin{equation*} \begin{aligned} &I_1=\sum_{j=1}^{m}I_{j1}=2\sum_{a=k}^{k+m-1}\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^au)(\nabla_i\Delta^{2k+2m-1-a}u)\cdot(\nabla_i\eta ) \mathrm{d}x,\\ &I_2=\sum_{j=1}^{m}I_{j2}=-2\sum_{a=k}^{k+m-1}\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{2k+2m-1-a}u)(\nabla_i\Delta^au)\cdot(\nabla_i\eta) \mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

整理以上等式即可得到我们的结论.

现在, 我们将对(2.3)右侧的每一项进行估计. 首先, 我们假设 $\eta=\gamma^s$, 其中 $s>0$ 是待定的参数, 而 $\gamma\in C_c^\infty(\mathbb{R} ^n)$ 满足以下条件

$\begin{equation} \begin{cases} \gamma=1, & x\in B_\rho(0), \\ 0\leq \gamma(x)\leq1, & x\in B_{2\rho}(0), \\ |\nabla^i \gamma|\leq \frac {c_\gamma}{\rho^i}, & i=1,2,\cdots, \end{cases} \end{equation}$

其中 $\rho>0, c_\gamma\geq 1$ 是仅依赖于 $n$ 的常数. 在后续的证明过程中, 我们将频繁使用如下不等式:

$ab\leq \varepsilon a^2+\frac{1}{4\varepsilon }b^2,$

其中 $a,b$ 是实数, $\varepsilon >0$. 此外, 我们还将多次引用以下结果.

引理 2.2 ([12,引理 2.2]) 设 $u\in C_{loc}^\infty(\mathbb{R} ^n)$, 并令 $\eta=\gamma^s$, 其中 $s>8$, $\gamma$ 在 (2.3) 给出. 那么对于任意的 $\varepsilon >0$ 及 $k\in \mathbb N$, 我们有以下不等式:

$-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+1}u)(\nabla_i\Delta^{k}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x \leq \varepsilon E_\eta^{k+1}(u)+\frac{c_1(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k-1}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x.$

现在我们对 $I_1$ 和 $I_2$ 逐一进行估计.

引理 2.3 设 $u\in C^\infty_{loc}(\mathbb{R} ^n)$, 且 $\eta=\gamma^s$, 其中 $s>8$. 那么对于任意的 $\varepsilon >0$ 及 $k\in \mathbb N$, 我们有

$I_2\leq \varepsilon E_\eta^{k+m}(u)+\frac{c(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m-2}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x.$

证 当 $m=1$ 时, 根据文献 [12,引理 2.2], 上述不等式已经得到证明. 我们仅处理 $m=2$ 的情形, 其他情形的证明方法类似. 因此我们的目标是证明

$\begin{equation} I_2\leq \varepsilon E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

此时,

$\begin{equation*} I_2=-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k+1}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+3}u)(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x. \end{equation*}$

在整个证明过程中, $\delta_i$ 表示待定的正参数. 首先, 根据引理2.2, 我们可以得到,

$\begin{equation} -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k+1}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x \leq \frac\varepsilon 4 E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_1(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

另外, 注意到

$\begin{equation*} \begin{aligned} & -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+3}u)(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x\\ &=2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+1}u)(\nabla_i\Delta^{k+2}u)\cdot\nabla_i\eta \mathrm{d}x+2\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta^{k+2}u)\cdot(\nabla_i\Delta^ku)\Delta\eta \mathrm{d}x\\ &=-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2})(\nabla_i\Delta^{k+1}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x-4\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+1}u)(\Delta^{k+2}u)\Delta\eta \mathrm{d}x\\ &\quad -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k}u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

现在我们逐一估计上述各项.

(1) 根据引理2.2, 我们有以下不等式:

$\begin{equation*} -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k+1}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x \leq \frac\varepsilon 4 E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_1(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation*}$

(2) 根据文献[12,(2.10)], 我们可以得到 以下估计:

$\begin{equation} -4\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+1}u)(\Delta^{k+2}u)\Delta\eta \mathrm{d}x \leq \frac\varepsilon 4 E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_2(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

(3) 通过直接计算, 我们可得以下结果:

$\begin{equation*} \begin{aligned} -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k}u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x &= -2c(s)\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k}u)\cdot(\nabla^3_i\gamma)\gamma^{s-3}\mathrm{d}x\\ &\leq\delta_1E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c^2(s)c_\gamma^2}{\delta_1\rho^6}\int_{\mathbb{R} ^n}|\nabla\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-6}\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

此外,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \int_{\mathbb{R} ^n}|\nabla\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-6}\mathrm{d}x &=-\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^ku)(\Delta^{k+1}u)\gamma^{s-6}\mathrm{d}x-(s-6)\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^ku)(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\gamma)\gamma^{s-7}\mathrm{d}x\\ &\leq \frac{1}{\rho^2}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x+\frac{\rho^2}{4}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+1}u|^2\gamma^{s-4}\mathrm{d}x\\ &\quad+\frac12\int_{\mathbb{R} ^n}|\nabla\Delta^ku|^2\gamma^{s-6}\mathrm{d}x+\frac{c_\gamma^2(s-6)^2}{2\rho^2}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

将右边的第三项吸收到左边, 我们得到

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R} ^n}|\nabla\Delta^ku|^2\gamma^{s-6}\mathrm{d}x \leq \frac{2+c_\gamma^2(s-6)^2}{\rho^2}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x+\frac{\rho^2}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+1}u|^2\gamma^{s-4}\mathrm{d}x. \end{equation}$

因此我们得到

$\begin{equation} \begin{aligned} -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k}u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x \leq& \delta_1E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c^2(s)c_\gamma^2(2+c_\gamma^2(s-6)^2)}{\delta_1\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x\\ &+\frac{c^2(s)c_\gamma^2}{2\delta_1\rho^4}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+1}u|^2\gamma^{s-4}\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation}$

现在我们需要一个插值不等式. 根据 [12,引理 7.2], 我们知道

$\begin{equation} \frac{1}{\rho^4}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+1}u|^2\gamma^{s-4}\mathrm{d}x\leq \delta_2\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+2}u|^2\gamma^s\mathrm{d}x+\frac{c_{\delta_2}}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

将此应用到 (2.8), 我们得到

$\begin{equation*} \begin{aligned} & -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k}u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x\\ &\leq \left(\delta_1+\frac{c^2(s)c_\gamma^2\delta_2}{2\delta_1}\right)E_\eta^{k+2}(u) +\frac{1}{\rho^8}\left(\frac{c^2(s)c_\gamma^2(2+c_\gamma^2(s-6)^2)}{\delta_1}+\frac{c^2(s)c_\gamma^2c_{\delta_2}}{2\delta_1}\right)\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

选择 $\delta_i(\varepsilon,n,s)$, $i=1,2$ 使得

$\delta_1+\frac{c^2(s)c_\gamma^2\delta_2}{2\delta_1}=\frac\varepsilon 4,$

从而

$-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k}u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x\leq \frac\varepsilon 4 E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_3(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x.$

因此我们得到

$\begin{equation} -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+3}u)(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x\leq \frac{3\varepsilon }{4} E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_4(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

结合(2.5)及(2.10), 我们得到(2.4).

引理 2.4 设 $u\in C^\infty_{loc}(\mathbb{R} ^n)$, 且 $\eta=\gamma^s$, 其中 $s>8$. 那么对于任意的 $\varepsilon >0$ 及 $k\in \mathbb N$, 我们有

$I_1\leq \varepsilon E_\eta^{k+m}(u)+\frac{c(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m-2}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x.$

证 类似地我们仅考虑 $m=2$ 的情况. 因此, 我们的目标是证明

$\begin{equation} I_1\leq \varepsilon E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

此时,

$\begin{equation} I_1=2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+1}u)(\nabla_i\Delta^{k+2}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x+2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^ku)(\nabla_i\Delta^{k+3}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x. \end{equation}$

我们首先处理(2.12)右边的第一项. 注意到

$\begin{equation*} \begin{aligned} & 2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+1}u)(\nabla_i\Delta^{k+2}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x\\ &=-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\nabla_i\Delta^{k+1}u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+2}u)(\Delta^{k+1}u)\Delta\eta \mathrm{d}x\\ &\leq \frac\varepsilon 5 E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_5(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x, \end{aligned} \end{equation*}$

这里我们使用了(2.5)和(2.6)的结果.

接下来, 我们估计(2.12)右边的第二项. 通过分部积分, 可以得到

$\begin{equation} \begin{aligned} 2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^ku)(\nabla_i\Delta^{k+3}u)\cdot(\nabla_i\eta) &=-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+3}u)(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\eta)-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+3}u)(\Delta^ku)\Delta\eta. \end{aligned} \end{equation}$

对于(2.13)的第一项, 根据(2.10), 我们已经得到

$ -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+3}u)(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x\leq \frac\varepsilon 5 E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_4(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x.$

对于(2.13)的第二项, 注意到

$\begin{equation*} \begin{aligned} &-2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+3}u)(\Delta^ku)\Delta\eta \mathrm{d}x\\ =& 2\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta^{k+2}u)\cdot(\nabla_i\Delta^ku)\Delta\eta \mathrm{d}x +2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^ku(\nabla_i\Delta^{k+2}u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x\\ =&-2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^{k+2}u\Delta^{k+1}u\Delta\eta \mathrm{d}x-4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^{k+2}u(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x -2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^{k+2}u\Delta^ku\Delta^2\eta \mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

现在我们逐一估计右边的每一项.

(1) 根据文献[12,(2.10)], 我们可以得到

$\begin{equation*} -2\int_{\mathbb{R} ^n}(\Delta^{k+1}u)(\Delta^{k+2}u)\Delta\eta \mathrm{d}x \leq \frac\varepsilon 5 E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_2(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^ku|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation*}$

(2) 另外, 利用(2.7)和(2.9), 我们可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} & -4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^{k+2}u(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x\\ &=-4c(s)\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^{k+2}u(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i^3\gamma)\gamma^{s-3}\mathrm{d}x\\ &=\delta_3E_\eta^{k+2}(u)+\frac{4c^2(s)c_\gamma^2}{\delta_3\rho^6}\int_{\mathbb{R} ^n}|\nabla\Delta^ku|^2\gamma^{s-6}\mathrm{d}x\\ &=\delta_3E_\eta^{k+2}(u)+\!\frac{1}{\rho^8}\frac{4c^2(s)c_\gamma^2}{\delta_3}(2+c_\gamma^2(s-6)^2)\int_{\mathbb{R} ^n}\!|\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x+\!\frac{2c^2(s)c_\gamma^2}{\delta_3\rho^4}\int_{\mathbb{R} ^n}\!\!|\Delta^{k+1}u|^2\gamma^{s-4}\mathrm{d}x\\ &\leq\! \left(\delta_3\!+\!\frac{2c^2(s)c_\gamma^2\delta_2}{\delta_3}\right)\!\!E_\eta^{k+2}(u)+\!\!\frac{1}{\rho^8}\left[\frac{4c^2(s)c_\gamma^2}{\delta_3}(2+c_\gamma^2(s-6)^2)+\!\frac{2c^2(s)c_\gamma^2c_{\delta_2}}{\delta_3}\right]\!\!\int_{\mathbb{R} ^n}\!\!|\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

选择 $\delta_2$ 及 $\delta_3$, 使得

$\delta_3+\frac{2c^2(s)c_\gamma^2\delta_2}{\delta_3}=\frac\varepsilon 5,$

我们得到

$\begin{equation} -4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^{k+2}u(\nabla_i\Delta^ku)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x\leq \frac\varepsilon 5 E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_6(\varepsilon, s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

(3) 最后,

$\begin{equation*} \begin{aligned} -2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^{k+2}u\Delta^ku\Delta^2\eta \mathrm{d}x&=-2c(s)\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^{k+2}u\Delta^ku|\nabla^4\gamma|\gamma^{s-4}\mathrm{d}x\\ &\leq \delta_4E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c^2(s)c_\gamma^2}{\delta_4\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x\\ &=\frac\varepsilon 5 E_\eta^{k+2}(u)+\frac{c_7(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x, \end{aligned} \end{equation*}$

其中我们选择 $\delta_4=\frac\varepsilon 5 $. 将上述所有估计结果综合起来, 我们可以得出(2.11).

在引理2.3和引理2.4的基础上, 我们选择 $\varepsilon =\frac14$, 从而得出以下结论.

推论2.1 设 $u:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to\mathbb{R} $ 是方程(1.1)的光滑解, 且 $\eta=\gamma^s$, 其中 $s>8$. 那么对于任意的 $k\in \mathbb N$, 我们有

$\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^k(u)+\frac3 2E_\eta^{k+m}(u)\leq \frac{c}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m-2}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x, \end{equation*}$

其中 $c$ 是依赖于 $(n,s)$的常数.

引理 2.5 设 $u:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to \mathbb{R} $ 是方程(1.1)的光滑解. 假设 $k\in\mathbb{N}$, $\eta=\gamma^s$, 其中 $s>4(k+m-1)$, 则有

$\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^k(u)+E_\eta^{k+m}(u)\leq \frac{c}{\rho^{4(k+m-1)}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-4(k+m-1)}\mathrm{d}x, \end{equation}$

其中 $k\in \mathbb{N}$, $c$ 是依赖于 $(n,s)$ 的常数.

证 我们首先考虑 $k=1$ 的情况. 利用引理2.1及分部积分, 我们得到

$\begin{equation*} \begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^1(u)+2E_\eta^{m+1}(u)\\ &= \sum_{a=1}^{m}\left(2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^au(\nabla_i\Delta^{2m+1-a}u)\cdot(\nabla_i\eta )\mathrm{d}x-2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^{2m+1-a}u(\nabla_i\Delta^au)\cdot(\nabla_i\eta)\right)\mathrm{d}x\\ &=\sum_{a=1}^{m}\left(-4\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta^a u)\cdot (\nabla_i\eta) \Delta^{2m+1-a}u \mathrm{d}x -2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^a u \Delta^{2m+1-a}u\Delta\eta \right)\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

我们断言对于任意的 $\varepsilon >0$, 则有

$\begin{equation} \begin{aligned} &\sum_{a=1}^{m}-4\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta^a u)\cdot (\nabla_i\eta) \Delta^{2m+1-a}u \mathrm{d}x\leq \varepsilon E_\eta^{m+1}(u)+\frac{c(\varepsilon,n,s)}{\rho^{4m}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-4m}\mathrm{d}x,\\ &\sum_{a=1}^{m}-2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^a u \Delta^{2m+1-a}u\Delta\eta \mathrm{d}x \leq \varepsilon E_\eta^{m+1}(u)+\frac{c(\varepsilon,n,s)}{\rho^{4m}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-4m}\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation}$

如上所述, 我们只关注 $m=2$ 的情况, 其他情形可采用类似的方法处理. 我们的目标是证明以下两个不等式:

$\begin{equation} -4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^4u(\nabla_i\Delta u)\cdot (\nabla_i\eta)\mathrm{d}x -4\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta^2 u)\cdot (\nabla_i\eta) \Delta^3u \mathrm{d}x\leq \varepsilon E_\eta^{3}(u)+\frac{c(\varepsilon,n,s)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x, \end{equation}$

以及

$\begin{equation} -2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u \Delta^4u\Delta\eta \mathrm{d}x-2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^2 u \Delta^3u\Delta\eta \mathrm{d}x\leq \varepsilon E_\eta^{3}(u)+\frac{c(\varepsilon,n,s)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

我们现在证明(2.17). 为此, 我们进行如下计算

$\begin{equation*} \begin{aligned} -4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^4u(\nabla_i\Delta u)\cdot (\nabla_i\eta)\mathrm{d}x=&~4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^2u(\nabla_i\Delta^3u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x+4\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta^3u)\cdot(\nabla_i\Delta u)\Delta\eta \mathrm{d}x\\ =&-4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u(\nabla_i\Delta^2u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x-8\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u\Delta^2u\Delta\eta \mathrm{d}x\\ &-4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u(\nabla_i\Delta u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x, \end{aligned} \end{equation*}$

接下来, 我们对上述表达式中的每一项进行详细的估计.

(1) 根据(2.5), 我们得到以下不等式:

$\begin{equation} -4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u(\nabla_i\Delta^2u)\cdot(\nabla_i\eta)\mathrm{d}x\leq \frac\varepsilon 4 E_\eta^3(u)+\frac{c_1(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

(2) 利用(2.6), 我们进一步得到

$\begin{equation} -8\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u\Delta^2u\Delta\eta \mathrm{d}x\leq \frac\varepsilon 4 E_\eta^3(u)+\frac{c_2(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

(3) 借助(2.14), 我们有

$\begin{equation} -4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u(\nabla_i\Delta u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x\leq \frac\varepsilon 4E_\eta^3(u)+\frac{c_6(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

将上述三个不等式(2.19)-(2.21)结合起来, 我们得到:

$\begin{equation} -4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^4u(\nabla_i\Delta u)\cdot (\nabla_i\eta)\mathrm{d}x\leq \frac {3\varepsilon }{4}E_\eta^3(u)+\frac{c(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

对于(2.17)左边的第二项, 根据(2.5), 我们有

$\begin{equation} -4\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta^2 u)\cdot (\nabla_i\eta) \Delta^3u \mathrm{d}x\leq \frac\varepsilon 4E_\eta^3(u)+\frac{c(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

结合(2.22)和(2.23), 我们最终得到(2.17).

我们现在证明(2.18). 通过直接计算, 我们得到以下结果

$\begin{equation*} \begin{aligned} & -2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u \Delta^4u\Delta\eta \mathrm{d}x-2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^2 u \Delta^3u\Delta\eta \mathrm{d}x\\ &=2\int_{\mathbb{R} ^n}(\nabla_i\Delta u)\cdot(\nabla_i\Delta^3u)\Delta\eta \mathrm{d}x+2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u(\nabla_i\Delta^3u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x -2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^2 u \Delta^3u\Delta\eta \mathrm{d}x\\ &=-4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u\Delta^2u\Delta\eta \mathrm{d}x-4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u(\nabla_i\Delta u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x-2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u\Delta u\Delta^2\eta \mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

类似地, 我们将逐一估计上述表达式中的各项.

(1) 利用(2.6), 我们有

$\begin{equation} -4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u\Delta^2u\Delta\eta \mathrm{d}x\leq \frac\varepsilon 3 E_\eta^3(u)+\frac{c_2(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

(2) 由(2.14)可得

$\begin{equation} -4\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u(\nabla_i\Delta u)\cdot(\nabla_i\Delta\eta)\mathrm{d}x\leq \frac\varepsilon 3 E_\eta^3(u)+\frac{c_6(\varepsilon,s,n)}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{equation}$

(3) 注意到

$\begin{equation} \begin{aligned} -2\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u\Delta u\Delta^2\eta \mathrm{d}x&=-2c(s)\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta^3u\Delta u|\nabla^4\gamma|\gamma^{s-4}\mathrm{d}x\\ &\leq \frac\varepsilon 3 E_\eta^3(u)+\frac{c^2(s)c_\gamma^2}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation}$

结合上述估计(2.24)-(2.26)}, 我们可以得到(2.18).

现在我们对 $k=1$ 的情况得出如下结论. 在(2.16)中, 令 $\varepsilon =\frac12$, 我们得到

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^1(u)+2E_\eta^{m+1}(u)\leq E_\eta^{m+1}(u)+\frac{c(n,s)}{\rho^{4m}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-4m}\mathrm{d}x, $

通过两边减去 $E_\eta^{m+1}(u)$, 我们得到了所需的估计.

接下来, 我们继续考虑 $k\geq 2$ 的情况. 在这种情况下, 我们有 $k-1\in\mathbb N$, 且 $s>4(k+m-1)$. 这意味着 $s-4>4(k+m-2)$. 利用这些条件以及文献 [12,推论 7.3], 我们得到

$\begin{equation*} \frac{1}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m-2}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x\leq \frac{1}{\rho^4}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m-1}u|^2\gamma^{s-4}\mathrm{d}x+\frac{1}{\rho^{4(k+m-1)}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-4(k+m-1)}\mathrm{d}x, \end{equation*}$

再一次利用文献[12,推论 7.3], 我们进一步得到

$\begin{equation*} \frac{1}{\rho^4}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m-1}u|^2\gamma^{s-4}\mathrm{d}x\leq \delta_5\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m}u|^2\gamma^s \mathrm{d}x+\frac{1}{\rho^{4(k+m-1)}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-4(k+m-1)}\mathrm{d}x. \end{equation*}$

选择 $\delta_5=\frac{1}{2c}$, 这里的 $c$ 与(2.15)中的 $c$ 相同, 从而得到

$\begin{equation} \frac{c}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m-2}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x\leq \frac12\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m}u|^2\gamma^s\mathrm{d}x+\frac{\tilde c(n,s)}{\rho^{4(k+m-1)}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-4(k+m-1)}\mathrm{d}x. \end{equation}$

利用上述(2.27)来估计推论2.1的右边项, 我们得到

$\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^k(u)+\frac32E_\eta^{k+m}(u) &\leq \frac{c}{\rho^8}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m-2}u|^2\gamma^{s-8}\mathrm{d}x\\ &\leq \frac12\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{k+m}u|^2\gamma^s\mathrm{d}x+\frac{\tilde c(n,s)}{\rho^{4(k+m-1)}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-4(k+m-1)}\mathrm{d}x. \end{aligned} \end{equation*}$

将右边的第一项吸收到左边后, 我们得到

$\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^k(u)+E_\eta^{k+m}(u)\leq \frac{ c(n,s)}{\rho^{4(k+m-1)}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta u|^2\gamma^{s-4(k+m-1)}\mathrm{d}x. \end{equation*}$

因此我们完成了引理2.5的证明.

3 爆破分析

假设 $u:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to \mathbb{R} $ 是方程(1.1)的光滑解. 我们考虑以下尺度不变量:

$e(u):B_1(0)\times [T]\to \mathbb{R},\quad e(u)(x,t):=d^{4}(x)|\Delta u|^2(x,t),$

其中 $d(x):=1-|x|$ 表示从边界 $\partial B_1(0)=\{x\in \mathbb{R} ^n:|x|=1\}$ 到球 $B_1(0)$ 内点 $x$ 的距离. 定义

$\tilde{u} (\tilde{x},\tilde{t} ):=u(c\tilde{x},c^{4m}\tilde{t} )-c_0,$

其中 $c_0$ 是 $\mathbb{R} $ 中的任意常数. 则 $\tilde{u} :\mathbb{R} ^n\times [0]$ 仍然是方程 (1.1) 的光滑解. 进一步定义 $\tilde{e} (\tilde{x},\tilde{t} ):=\tilde{e} (\tilde{u} )(\tilde{x},\tilde{t} )$ 为

$\tilde{e} (\tilde{u} )(\tilde{x},\tilde{t} ):=\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} )|\Delta \tilde{u} |^2(\tilde{x},\tilde{t} ) \quad (x,t)\in \mathbb{R} ^n\times [0,\tilde{T} ],$

其中

$x=c\tilde{x},\ t=c^{4m}\tilde{t},\ T=c^{4m}\tilde{T},$

以及

$\tilde{d} (\tilde{x} ):=\frac1c-|\tilde{x} |=\frac 1c (1-|c\tilde{x} |)=\frac 1c (1-|x|)=\frac 1cd(x).$

因此,

$\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} )|\Delta \tilde{u} |^2(\tilde{x},\tilde{t} )=\frac{1}{c^{4}}d^{4}(x)|c^{2}\Delta u|^2(x,t)=d^{4}(x)|\Delta u|^2(x,t),$

即

$\tilde{e} (\tilde{x},\tilde{t} )=e(x,t).$

我们首先注意到以下等价关系:

$x\in B_1(0),\ d^{4}(x)\geq Nt^{\frac1m}\Leftrightarrow \tilde{x} \in B_{1/c}(0),\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} )\geq N\tilde{t} ^{\frac1m}.$

接下来, 我们假设对于 $(x,t)\in\mathbb{R} ^n\times (0,T]$,

$\begin{equation} b(u)(x,t):=t^{\frac1m}|\Delta u|^2(x,t)\leq k_0<\infty,\quad \forall (x,t)\in \mathbb{R} ^n\times (0,T], \end{equation}$

其中 $k_0\in \mathbb{R} ^+$. 当 $t\to 0$ 时, 我们注意到

$Q(x,t):=Q(u)(x,t):=|\Delta u|^2(x,t)$

可能接近无穷大. 因为

$e(x,t)=d^{4}Q(x,t),\quad b(x,t)=t^{\frac1m}Q(x,t),$

且 $b(x,t)$ 也是尺度不变的, 因此对于 $(\tilde{x},\tilde{t} )\in \mathbb{R} ^n\times (0,\tilde{T} ]$, 有 $\tilde{b} (\tilde{x},\tilde{t} )\leq k_0<\infty$.我们对满足条件(3.1)的方程(1.1)的解 $u$ 的局部行为进行研究. 特别地, 如果初始条件 $u_0$ 满足

$\begin{equation} \sup_{B_1(0)}\sum^{2n+2}_{i=0}|\nabla^iu_0|^2\leq k_1<\infty \end{equation}$

其中 $k_1\in \mathbb{R} ^+$, 我们将在一个较小的球内和一个定义明确的短时间间隔内, 证明解 $u$ 满足相应的估计值.

引理 3.1 设 $u:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to \mathbb{R} $, $T<\infty$ 是(1.1)的光滑解, 满足条件(3.1)和(3.2). 那么存在 $N=N(n,k_0,k_1)>0$, 使得对所有满足 $x\in \bar{B}_1(0)$, $d^{4}(x)\geq Nt^{\frac1m}$ 及 $t^{\frac1m}\leq \frac 1N$, $t\leq T$ 的 $x, t$, 成立

$e(x,t)\leq N.$

证 为了证明我们的结论, 我们将采用反证法. 首先, 定义函数 $d(x)$ 如下

$d(x)= \left\{ \begin{aligned} & 1-|x|,\quad~~\, x\in B_1(0),\\ &0, \hspace{1.46cm} x\in \mathbb{R} ^n\backslash B_1(0). \end{aligned} \right. $

注意到

$e(x,0)=d^{4}(x)|\Delta u_0|^2\leq |\Delta u_0|^2\leq k_1,\quad \forall x\in \overline{B_1(0)}, $

其中 $k_1$ 是 (3.2) 中的常数. 不失一般性, 我们可以假设 $N>k_1$. 接下来, 定义集合 $K$ 为

$K=\left\{(x,t)\in \overline{B_1(0)}\times (0,T]\Big|Nt^{\frac1m}\leq d^{4}\leq 1\right\}.$

由于 $K$ 的紧致性和 $e$ 的连续性, 可以断言存在第一个时间 $t_0\in (0,N^{-m}]$ 以及至少一点 $x_0\in B_1(0)$, 使得

$e(x_0,t_0)=N,\quad (x_0,t_0)\in K.$

因此, 对于所有 $(x,t)\in K$ 且 $t<t_0$, 有

$e(x,t)<N.$

令

$\tilde{u} (\tilde{x},\tilde{t} ):=u(c\tilde{x},c^{4m}\tilde{t} )-u(c\tilde{x} _0,0),\quad c^{4}=\frac{d^{4}(x_0)}{N},$

则有 $\tilde{u} (\tilde{x} _0,0)=0$, $\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} _0)=N$, 且当 $N\to \infty$ 时, $c\to 0$. 注意到

$N=e(x_0,t_0)=\tilde{e} (\tilde{x} _0,\tilde{t} _0)=\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} _0)\tilde{Q} (\tilde{x} _0,\tilde{t} _0)=N \tilde{Q} (\tilde{x} _0,\tilde{t} _0),$

因此

$\tilde{Q} (\tilde{x} _0,\tilde{t} _0)=1.$

类似地, 对于所有的 $(x,t)\in K$, 满足 $t\leq t_0$, 有

$N\geq e(x,t)=\tilde{e} (\tilde{x},\tilde{t} )=\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} )\tilde{Q} (\tilde{x},\tilde{t} ),$

从而对于所有的 $\tilde{x} \in B_{1/c}(0)$ 满足 $\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} )\geq N\tilde{t} ^{\frac1m}$ 且 $\tilde{t} \leq \tilde{t} _0$, 我们有

$\begin{equation} \tilde{Q} (\tilde{x},\tilde{t} )\leq \frac{N}{\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} )}. \end{equation}$

我们考虑以下两种情形.

情况 1:$\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} _0)\geq 2N\tilde{t} _0^{\frac1m}$, 等价于 $\tilde{t} _0^{\frac1m}\leq \frac 12$.

在这种情形下, 对于所有满足 $\tilde{d} ^{4}(\tilde{y} )\geq \frac N2$ 的 $\tilde{y} $, 我们有

$\tilde{d} ^{4}(\tilde{y} )\geq \frac N2\geq N\tilde{t} _0^{\frac1m}\geq N\tilde{t} ^{\frac1m},\quad \forall \tilde{t} _0\geq \tilde{t}.$

因此, 根据 (3.3), 对于所有的 $\tilde{t} \leq \tilde{t} _0$, 我们有

$\tilde{Q} (\tilde{y},\tilde{t} )\leq \frac{N}{\tilde{d} ^{4}(\tilde{y} )}\leq 2.$

直接计算可得,

$\begin{equation} \frac N2\leq \tilde{d} ^{4}(\tilde{y} )=\left(\frac 1c-|\tilde{y} |\right)^{4}\Leftrightarrow |\tilde{y} |\leq \frac 1c-\frac{N^{1/4}}{2^{1/4}}, \end{equation}$

利用 $\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} _0)=N$, 可得 $|\tilde{x} _0|=\frac 1c-N^{1/4}$. 因此, 对于所有的 $\tilde{y} \in B_{N^{1/4}/M}(\tilde{x} _0)$, 我们有

$\begin{equation} |\tilde{y} |\leq |\tilde{x} _0|+|\tilde{y} -\tilde{x} _0|\leq \frac 1c-N^{1/4}+\frac{N^{1/4}}{M}\leq \frac 1c-\frac{N^{1/4}}{2^{1/4}}, \end{equation}$

其中 $M$ 可以取的足够大, 使得 $1-\frac 1M\geq \frac{1}{2^{1/4}}$. 从而, 由(3.4)可得 $\tilde{d} ^{4}(\tilde{y} )\geq \frac N2$. 因此, 对于所有的 $\tilde{y} \in B_{N^{1/4}/M}(\tilde{x} _0)$ 及 $\tilde{t} ^{\frac1m}\leq \tilde{t} _0^{\frac1m}\leq \frac 12$, 有

$\tilde{Q} (\tilde{y},\tilde{t} )\leq 2,\quad \tilde{Q} (\tilde{x} _0,\tilde{t} _0)=1.$

情况 2:$N\tilde{t} _0^{\frac1m}\leq \tilde{d} ^{4}(\tilde{x} _0)< 2N\tilde{t} _0^{\frac1m}$, 等价于 $\frac 12<\tilde{t} _0^{\frac1m}\leq 1$.

在这种情形下, 对于所有的满足 $\tilde{t} ^{\frac1m}\leq \frac12$ 及 $\tilde{d} ^{4}(\tilde{y} )\geq \frac N2$ 的 $\tilde{y} $, 我们有

$\tilde{d} ^{4}(\tilde{y} )\geq \frac N2\geq N\tilde{t} ^{\frac1m},$

结合(3.3), 可以得到

$\begin{equation} \tilde{Q} (\tilde{y},\tilde{t} )\leq \frac{N}{\tilde{d} ^{4}(\tilde{y} )}\leq 2. \end{equation}$

对于 $\tilde{t} _0^{\frac1m}\geq \tilde{t} ^{\frac1m}\geq \frac 12$, 我们有

$\begin{equation} \tilde{Q} (\tilde{y},\tilde{t} )\leq \frac{\tilde b}{\tilde{t} ^{\frac1m}}\leq \frac{k_0}{\tilde{t} ^{\frac1m}}\leq 2k_0. \end{equation}$

不失一般性, 假设 $k_0\geq 1$, 利用(3.6)和(3.7),可以得到

$\begin{equation} \tilde{Q} (\tilde{y},\tilde{t} )\leq 2k_0 \tilde{e} xt{,}\quad \tilde{Q} (\tilde{x} _0,\tilde{t} _0)=1,\quad \forall y\in B_{N^{1/4}/M}(\tilde{x} _0),\ \tilde{t} \in [0,\tilde{t} _0]. \end{equation}$

我们已经证明了情况 1 和情况 2 中的(3.8). 接下来, 我们将利用引理2.5得出矛盾.

我们用 $v:B_R(0)\times [0,\tilde{t} _0]\to \mathbb{R} $ 表示伸缩解 $\tilde{u} :B_{N^{1/4}/M}(\tilde{x} _0)\times [0,\tilde{t} _0]\to \mathbb{R} $, 即

$ v(\cdot,\cdot)=\tilde{u} (\cdot-\tilde{x} _0,\cdot),\quad R=\frac{N^{1/4}}{M},\quad \tilde{t} _0\leq 1.$

注意到 $\tilde{u} (\tilde{x} _0,0)=0$ 意味着 $v(0,0)=0$. 利用 $c^{4}=\frac{d^{4}(x_0)}{N}\leq \frac 1N$, $N>1$ 及(3.2), 我们可以得到

$\begin{equation*} \begin{aligned} \sup_{B_{1/c}(0)}\sum_{i=1}^{2(n+1)}|\nabla^iv(\cdot,0)|^2 &=\sup_{B_1(x_0)}\sum_{i=1}^{2(n+1)}c^{2i}|\nabla^iu(\cdot,0)|^2\\ &\leq \sup_{B_1(x_0)}\sum_{i=1}^{2(n+1)}\frac{1}{N^{i/2}}|\nabla^iu(\cdot,0)|^2\leq \frac{k_1}{N^{1/2}}. \end{aligned} \end{equation*}$

因此, 结合 $v(0,0)=0$ 并且选取 $N$ 足够大, 我们可以假设

$\begin{equation} \sup_{B_{1/c}(0)}\sum_{i=1}^{2(n+1)}|\nabla^iv(\cdot,0)|^2\leq \tilde{e} ps(N), \end{equation}$

其中当 $N\to \infty$ 时, $\tilde{e} ps(N)\to 0$. 定义

$2\rho=R=\frac{N^{1/4}}{M}\leq \frac 1c,$

因此当 $N\to\infty$ 时, $\rho\to \infty$. 利用当 $p=p(n)=n+1$ 时的引理 2.5, 对于所有的 $t\leq \tilde{t} _0$, $s>4(p+m-1)=4(n+m)$, 我们可得

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^p(v)+E_\eta^{p+m}(v)\leq \frac{C}{\rho^{4(p+m-1)}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta v|^2\gamma^{s-4(p+m-1)}\mathrm{d}x. $

在 $B_R(0)\times [0,\tilde{t} _0]$ 中, 我们已经由 (3.8) 得到 $Q(v)=|\Delta v|^2\leq 2k_0$, 因此

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^p(v)+E_\eta^{p+m}(v) &\leq \frac{C}{\rho^{4(p+m-1)}}\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta v|^2\gamma^{s-4(p+m-1)}\mathrm{d}x\\ &\leq \frac{C}{\rho^{4(p+m-1)}}\int_{B_{2\rho}}2k_0\mathrm{d}x\\ &=2w_nk_0C\rho^{n-4(p+m-1)}=2w_nk_0C \rho^{-3n-4m}. \end{aligned} \end{equation}$

此外,

$\begin{aligned} E_{\eta}^{p}(v)(0) & =\int_{\mathbb{R}^{n}}\left|\Delta^{p} v_{0}\right|^{2}(\tilde{x}) \gamma^{s} \mathrm{~d} \tilde{x} \leq \int_{B_{2 \rho}(0)}\left|\Delta^{p} v_{0}\right|^{2}(\tilde{x}) \mathrm{d} \tilde{x} \leq \int_{B_{1 / c}(0)}\left|\Delta^{p} v_{0}\right|^{2}(\tilde{x}) \mathrm{d} \tilde{x} \\ & =c^{4 p-n} \int_{B_{1}(0)}\left|\Delta^{p} u_{0}\right|^{2}(x) \mathrm{d} x \leq w_{n} k_{1} c^{4 p-n} \leq w_{n} k_{1} \rho^{-3 n-4} \end{aligned}$

因此我们得出

$E_\eta^p(v)(t)\leq 2w_nk_0C\rho^{-3n-4m}+w_nk_1\rho^{-3n-4},\quad t\leq \tilde{t} _0\leq 1.$

特别地,

$\int_{B_\rho(0)}|\Delta^pv|^2\mathrm{d}\tilde{x} \leq 2w_nk_0C\rho^{-3n-4m}+w_nk_1\rho^{-3n-4}\to 0,\quad \tilde{e} xt{当}\ \rho\to \infty.$

我们已经证明

$\int_{B_\rho(0)}|\Delta^pv|^2\mathrm{d}\tilde{x} \leq \varepsilon _p(k_0,k_1,n,\rho),\quad \forall t\leq \tilde{t} _0\leq 1,$

其中当 $\rho\to\infty$ 时, $\varepsilon _p(k_0,k_1,n,\rho)\to 0$. 更进一步,

$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{B_\rho(0)}|\Delta^{p-2m}v|^2\mathrm{d}\tilde{x} &=-2\int_{B_\rho(0)}(\Delta^{p-2m}v)(\Delta^pv)\mathrm{d}\tilde{x} \\ &\leq \int_{B_\rho(0)}|\Delta^{p-2m}v|^2\mathrm{d}\tilde{x} +\int_{B_\rho(0)}|\Delta^pv|^2\mathrm{d}\tilde{x} \\ &\leq \int_{B_\rho(0)}|\Delta^{p-2m}v|^2\mathrm{d}\tilde{x} +\varepsilon _p, \end{aligned} $

从 $0$ 到 $\tilde{t} _0$ 关于时间积分, 我们可以从(3.9)看出

$\int_{B_\rho(0)}|\Delta^{p-2m}v|^2\mathrm{d}\tilde{x} \leq \varepsilon _{p-2m}(N),\quad \forall t\in [0,\tilde{t} _0],\ \tilde{t} _0\leq 1,$

其中当 $N\to \infty$ 时, $\varepsilon _{p-2m}(N)\to 0$. 以此类推, 当 $N$ 足够大时, 我们可以得到

$\int_{B_\rho(0)}|\Delta^lv|^2\mathrm{d}\tilde{x} \leq \varepsilon _l(N),\quad \tilde{e} xt{}\ l=p,~p-2m,~p-4m,\cdots,1 (\tilde{e} xt{或}\ 0).$

通过将 $p$ 替换为 $p-1$, 我们可以得到以下不等式

$\int_{B_\rho(0)}|\Delta^{p-1}v|^2\mathrm{d}\tilde{x} \leq \varepsilon _{p-1}(k_0,k_1,n,\rho),\quad \forall t\leq \tilde{t} _0\leq 1.$

进一步地, 我们有

$\int_{B_\rho(0)}|\Delta^lv|^2\mathrm{d}\tilde{x} \leq \varepsilon _l(N),\quad \tilde{e} xt{}\ l=p-1,~p-2m-1,~p-4m-1,\cdots,1 (\tilde{e} xt{或}\ 0).$

综上所述, 我们得到:

$\int_{B_\rho(0)}|\Delta^lv|^2\mathrm{d}\tilde{x} \leq \varepsilon _l(N),\quad \tilde{e} xt{}\ l=0,\cdots,p,$

其中当 $N\to\infty$ 时, $\varepsilon _l(N)\to 0$.

利用文献[12,引理 7.1]中的 $L^2$ 估计, 我们可以得到对于所有的 $0\leq l\leq 2p=2n+2$, 以下不等式成立

$\int_{B_{\rho /2}(0)}|\nabla^lv|^2\mathrm{d}\tilde{x} \leq \hat{\varepsilon }(N),$

其中当 $N\to\infty$ 时, $\hat{\varepsilon }(N)\to 0$. 进一步利用 $p=2$ 及 $k=2n+2$ 时的 Sobolev-Morrey 不等式, 参见文献[3] 中 5.6.3 节中的定理 6, 我们可以得出以下结论

$\tilde{Q} (0,\tilde{t} _0)=|\Delta v|^2(0,\tilde{t} _0)\leq C(n)\sum_{l=0}^{2(n+1)}\int_{B_{\rho /2}(0)}|\nabla^lv|^2(\cdot,\tilde{t} _0)\mathrm{d}\tilde{x} \leq C(2(n+1)+1)\hat \varepsilon.$

这与 $\tilde{Q} (v)(0,\tilde{t} _0)=1$ 矛盾, 因此我们完成了证明.

在我们的高阶正则性定理中, 我们对某些量进行了修正. 设 $s\in \mathbb N$, 且 $s\geq 2$ 是给定的固定数, 定义

$\begin{equation*} \begin{aligned} &Q_s(u)(x,t)=\left(|\nabla^su|+|\nabla^{s-1}u|^{\frac{s}{s-1}}+\cdots+|\nabla u|^s\right)^{\frac{4}{s}}(x,t),\\ &e_s(u)(x,t)=d^{4}Q_s(u)(x,t),\\ &b_s(u)(x,t)=t^{\frac1m}Q_s(u)(x,t), \end{aligned} \end{equation*}$

这些量在上述定义的意义下是尺度不变的, 设 $\tilde{u},\tilde{T},\tilde{t},\tilde{x},\tilde{d} $ 定义如上, 并令 $\tilde{Q} _s(\tilde{x},\tilde{t} ):=Q_s(\tilde{u} )(\tilde{x},\tilde{t} )$. 注意到

$\tilde{Q} _s(\tilde{x},\tilde{t} )=c^{4}Q_s(x,t),$

则有

$\tilde{e} _s(\tilde{x},\tilde{t} ):=\tilde{d} ^{4}(\tilde{x} )\tilde{Q} _s(\tilde{x},\tilde{t} )=\frac{1}{c^4}d^{4}(x)c^4Q_s(x,t)=e_s(x,t),$

且

$\tilde{b} _s(\tilde{x},\tilde{t} ):=\tilde{t} ^{\frac1m} \tilde{Q} _s(\tilde{x},\tilde{t} )=\frac{1}{c^4}t^{\frac1m} c^4Q_s(x,t)=b_s(x,t).$

为此, 我们需要满足以下条件:

$\begin{equation} b_s(u)(x,t)\leq k_0<\infty, \quad (x,t)\in \mathbb{R} ^n\times [T], \end{equation}$

其中 $k_0\in \mathbb{R} ^+$, $s\geq 2$, $s\in \mathbb N$, 且对于固定的 $k_1\in \mathbb{R} ^+$, 有

$\begin{equation} \sup_{B_1(0)}\sum_{i=0}^{2n+1+s}|\nabla^iu_0|^2\leq k_1<\infty. \end{equation}$

在上述条件下, 我们得到了定理3.1的如下变形.

定理 3.2 假设 $u:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to \mathbb{R} $, $T<\infty$ 是方程 (1.1) 的光滑解. 对于 $s\in \mathbb N$, 且 $s\geq 2$, 假设条件(3.11)和(3.12)成立. 那么存在 $N=N(n,k_0,k_1,s)>0$, 使得对于所有满足 $x\in \overline{B_1(0)}$, $d^{4}(x)\geq Nt^{\frac1m}$ 及 $t^{\frac1m}\leq \frac 1N$, $t\leq T$ 的 $x, t$ 都有

$e_s(x,t)\leq N.$

在定理3.2相同假设下, 如果进一步假设 $s\geq 4m$, 我们还可以得到 $|u|$ 的局部上界.

推论 3.1 假设条件与定理3.2相同, 但 $s\geq 4m$. 那么对于所有满足 $x\in \bar{B}_1(0)$, $d^{4}(x)\geq Nt^{\frac1m}$, 及 $t^{\frac1m}\leq \frac 1N$ 的 $x, t$, 有,

$|u(x,t)|\leq \sqrt{k_1}+1,$

其中 $N$ 同定理3.2的结论相同.

我们首先利用定理3.2证明推论3.1.

证

假设 $(x,t_0)$ 是满足 $d^{4}(x)\geq Nt_0^{\frac1m}$ 及 $t_0^{\frac1m}\leq \frac 1N$ 的一点. 则对于所有的 $t\leq t_0$, 有 $d^{4}(x)\geq Nt^{\frac1m }$ 且 $t^{\frac1m}\leq \frac 1N$. 因此, 在定理3.2中取 $s=4m$, 对于所有的 $t\leq t_0$, 我们有

$|\Delta^{2m}u(x,t)|\leq \frac{N^m}{d^{4m}(x)}$

及

$|u(x,0)|\leq \sqrt{k_1.}$

从 $0$ 到 $t_0$ 对(1.1)积分, 并利用上述两个估计, 可得

$|u(x,t_0)|\leq \frac{N^m}{d^{4m}(x)}t_0+\sqrt{k_1}\leq \sqrt{k_1}+1.$

从而得到了结论.

定理3.2 的证明与定理3.1类似.

定理3.2 的证明 将 $Q(x,t), e(x,t)$ 和 $b(x,t)$ 分别替换为 $Q_s(x,t), e_s(x,t)$ 和 $b_s(x,t)$. 在不等式(3.10)中, 考虑在 $B_R\times [0,\tilde{t} _0]$ 上满足 $|\Delta v|^2=Q(v)\leq 2k_0$ 的点, 将其替换为 $|\Delta v|^2\leq |\nabla^2v|^2\leq Q_s(v)\leq 2k_0$. 同时, 选取 $p(n)=n+\frac s2$ 或 $p(n)=n+\frac{s+1}{2}$, 以确保 $p$ 是整数. 在证明的最后一部分, 即利用 Morrey 嵌入定理的地方, 需稍作修改: 若 $Q_s(v)(0,\tilde{t} _0)=1$, 则对任意的 $r\in \{1,\cdots,s\}$ 以及任意小的正数 $\delta(s)>0$, 有 $|\nabla^rv|(0,\tilde{t} _0)\geq \delta(s)>0$, 否则 $Q_s(v)(0,\tilde{t} _0)$ 中出现的项之和将小于 1.

利用 $p=2$, $k=2n+s$ 时的 Sobolev-Morrey 不等式(见文献[3] 中 5.6.3 的定理 6), 我们可以得到

$\begin{equation*} 0<\delta^2(s)\leq |\nabla^rv|^2(0,\tilde{t} _0)\leq C(n,s)\sum_{l=0}^{2n+s}\int_{B_{1/2}(0)}|\nabla^lv|^2(\cdot,\tilde{t} _0) \leq C(2n+1+s)\hat\varepsilon (N), \end{equation*}$

如果选取 $N$ 足够大, 就会产生矛盾.

4 唯一性

在本节中, 我们将证明满足 $|\Delta u|^2(\cdot,t)\leq \frac{k_0}{t^{\frac1m}}$ 的方程(1.1)的光滑解由其初值唯一确定.

定理 4.1 假设 $v:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to \mathbb{R} $, 其中 $T<\infty$, 是方程(1.1)的光滑解, 并且满足条件

$|\Delta v|^2(x,t)\leq \frac{k_0}{t^{\frac1m}},\quad (x,t)\in \mathbb{R} ^n\times (0,T],$

其中 $k_0>0$, 且初值 $v_0\equiv 0$. 那么, 我们有

$v\equiv 0.$

证 对于所有的 $p>0$, 我们有

$\sup_{B_1(0)}\sum_{i=0}^{p}|\nabla^iv_0|^2=0.$

根据定理 3.1, 对于所有的 $t^{\frac1m}\leq \frac 1N$, 我们有

$|\Delta v|^2(0,t)\leq N,$

其中 $N=N(n,k_0)\in \mathbb{R} $. 引理2.5表明

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}E_\eta^p(v)+E_\eta^{p+m}(v)\leq CNw_n\rho^{n-4(p+m-1)}=CNw_n\rho^{-3n-4m},$

其中 $p$ 是固定的. 我们可以选择 $p(n)=n+1$. 利用 $v_0=0$, 我们得到

$E_\eta^p(v)(t)\leq CNw_n\rho^{-3n-4m},\quad \forall t\leq \frac {1}{N^m}\leq 1.$

令 $\rho\to\infty$, 我们得到

$\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^pv|^2\mathrm{d}x=0,\quad \forall t\leq \frac {1}{N^m}.$

类似地,

$\int_{\mathbb{R} ^n}|\Delta^{p-1}v|^2\mathrm{d}x=0,\quad \forall t\leq \frac {1}{N^m}.$

接下来, 我们利用以下关系

$\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\int_{B_1(0)}|\Delta^{p-2m}v|^2\mathrm{d}x&=-2\int_{B_1(0)}\Delta^pv\Delta^{p-2m}v\mathrm{d}x \leq \int_{B_1(0)}|\Delta^pv|^2+|\Delta^{p-2m}v|^2\mathrm{d}x\\ &=\int_{B_1(0)}|\Delta^{p-2m}v|^2\mathrm{d}x, \end{aligned} \end{equation*}$

通过积分可得

$\int_{B_1(0)}|\Delta^{p-2m}v|^2\mathrm{d}x=0,\quad \forall t\leq \frac {1}{N^m}.$

以此类推, 可以得到

$\int_{B_1(0)}|\Delta^lv|^2\mathrm{d}x=0,\quad \tilde{e} xt{for}\ l=1,\cdots,p,\ t\leq \frac{1}{N^m}.$

特别地, 当 $l=0$ 时, 我们得到对于所有的 $t\leq \frac {1}{N^m},t\leq T$, 有 $v(\cdot,t)=0$. 进一步, 对 $\tilde{v} (\cdot,\tilde{t} )=v(\cdot,\tilde{t} +\frac {1}{N^m})$ 重复这上述过程, 可以得到

$v(\cdot,t)=0\quad \forall \ t<T.$

结合定理4.1, 我们得出以下的唯一性结论.

推论 4.1 假设 $u,v:\mathbb{R} ^n\times (0,T]\to\mathbb{R} $, $T<\infty$ 是 (1.1) 的光滑解, 对所有的 $t\in (0,T]$, $x\in \mathbb{R} ^n$, 满足

$ \left\{ \begin{aligned} &|\Delta v|^2(x,t)+|\Delta u|^2(x,t)\leq \frac{k_0}{t^{\frac1m}}, \\ &u_0(x)=v_0(x), \end{aligned} \right. $

则 $u\equiv v$.

5 示例

假设 $u_0:\mathbb{R} ^n\to \mathbb{R} $ 定义为

$\begin{equation} u_0(x_1,\cdots,x_n):= \left\{ \begin{aligned} &1, \quad x_1>0,\\ &0, \quad x_1\leq 0. \end{aligned} \right. \end{equation}$

进一步假设

$u(x,t):=\int_{\mathbb{R} ^n}u_0(x-y)\mathcal H(y,t)\mathrm{d}y,$

其中 $\mathcal H:\mathbb{R} ^n\times (0,\infty)\to \mathbb{R} $ 是 $\mathbb{R} ^n$ 上的多调和热核. 我们的目标是

· 函数 $u:\mathbb{R} ^n\times (0,T)\to \mathbb{R} $ 是方程 (1.1) 在 $(x,t)\in \mathbb{R} ^n\times (0,\infty)$ 上的光滑解;

· 在 $\mathbb{R} ^n\setminus \{x\in\mathbb{R} ^n:x_1=0\}$ 上的任意紧集 $K$ 中, $u(\cdot,t)$ 一致收敛于 $u_0(\cdot)$;

· 存在常数 $k_0>0$, 使得对于任意的 $s>0$, 存在 $x_s\in \mathbb{R} ^n$ 使得

$|\Delta u|^2(x_s,s)=\frac{k_0}{s^{\frac1m}}.$

为了验证上述性质, 我们首先回顾关于多调和热核 $\mathcal H$ 的一些基本事实, 这些事实由文献[7] 给出. 多调和热核 $\mathcal H$ 可以表示为

$\begin{equation*} \mathcal H(x,t)=\mathcal F^{-1}\left(\mathrm{e}^{-|w|^{4m}t}\right)=(2\pi)^{- n}t^{-\frac{n}{4m}}\int_{\mathbb{R} ^n}\mathrm{e}^{{\rm i}\langle w,x\rangle t^{-\frac{1}{4m}}-|w|^{4m}}{\rm d}w. \end{equation*}$

接下来, 我们将详细验证关于 $\mathcal H(x,t)$ 的上述性质.

引理 5.1 对于所有的 $l,k,h\in \mathbb N_0$, 以及 $p(k,l)\in \mathbb N$, 我们有

$\begin{equation} \left|\left(\frac{\partial}{\partial_t}\right)^l(\nabla^k)\mathcal H(x,t)\right|\leq c(k,l,h)\left(t^{-p(k,l)+\frac{h}{4m}}+t^{\frac{h-1}{4m}}\right)|x|^{-h},\quad \forall \ (x,t)\in \mathbb{R} ^n\times (0,\infty). \end{equation}$

证 令

$\begin{equation*} f:\mathbb{R} ^n\to \mathbb{R},\quad f(y):=(2\pi)^{- n}\int_{\mathbb{R} ^n}\mathrm{e}^{-{\rm i}\langle w,y\rangle-|w|^{4m}}{\rm d}w, \end{equation*}$

从而

$\begin{equation} \mathcal H(x,t)=t^{-\frac{n}{4m}}f\left(-\frac{x}{t^{\frac{1}{4m}}}\right). \end{equation}$

注意到 $f$ 是 $l(w):=\mathrm{e}^{-|w|^{4m}}$ 的傅里叶变换, 而函数 $l$ 在施瓦茨空间 $\mathcal S$ 中 (见[13]中 I.3 节), 因此 $f$ 也在 $\mathcal S$ 中 (见[13]中 I.3 节的定理 3.2). 特别地, 对所有的 $h\in \mathbb N_0$ 以及多重指标 $\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$: $\alpha_i\in\mathbb N_0$, 其中 $\alpha_i\in \mathbb N_0, i=1,\cdots,n$, 且 $|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$, 有

$\begin{equation*} |\nabla_\alpha f|(x)\leq \frac{c(|\alpha|,h)}{|x|^h}. \end{equation*}$

利用(5.3)以及 $f\in \mathcal S$, 可得

$\begin{equation*} \begin{aligned} \left|\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^l(\nabla^k)\mathcal H(x,t)\right| &\leq (t^{-p(k,l)}+t^{-\frac{1}{4m}})\sum_{0\leq |\alpha|\leq k+l}|\nabla_\alpha f|\left(-\frac{x}{t^{\frac{1}{4m}}}\right)\\ &\leq (t^{-p(k,l)}+t^{-\frac{1}{4m}})\frac{c(k,l,h)}{|\frac{x}{t^{1/(4m)}}|^h}\\ &=c(k,l,h)\frac{t^{-p(k,l)+\frac{h}{4m}}+t^{\frac{h-1}{4m}}}{|x|^h}. \end{aligned} \end{equation*}$

由于 $h$ 的任意性, 我们完成了引理5.1的证明.

引理 5.2 对于(5.3)给出的多调和热核 $\mathcal H(x,t)$, 我们有

$\int_{\mathbb{R} ^n}\mathcal H(x,t)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R} ^n}\mathcal H(z,1)\mathrm{d}z=1.$

证 我们首先从傅里叶分析的角度证明当 $t\to 0$ 时, 在 $L^2$ 空间中 $u(\cdot,t)\to u_0(\cdot)$.

考虑方程 $\partial_t\mathcal H=-\Delta^{2m}\mathcal H$, 可以理解如下. 观察到

$-|x|^{4m}\mathrm{e}^{-|x|^{4m}t}=\partial_t(\mathrm{e}^{-t|x|^{4m}})=\left(\partial_t\hat {\mathcal H}\right)(x,t)=\widehat{\partial_t\mathcal H}(x,t)=\widehat{-\Delta^{2m}\mathcal H}(x,t),$

其中我们使用了勒贝格控制收敛定理以及当 $\left(\partial_t\hat {\mathcal H}\right)(x,t)=\widehat{\partial_t\mathcal H}(x,t)$ 时的(5.2). 然后由傅里叶变换的逆, 我们得到

$\partial_t\mathcal H=-\Delta^{2m}\mathcal H,$

其中关于傅里叶变换逆的存在性可以参考[13,I.1 节,推论 1.21].

令 $u_0:\mathbb{R} ^n\to\mathbb{R} $ 是光滑函数, 定义为

$\begin{equation*} u_0= \begin{cases} 1, & x\in B_1(0), \\ 0, & x\in\mathbb{R} ^n\backslash B_2(0). \end{cases} \end{equation*}$

从而 $u_0\in \mathcal S$, 因此傅里叶变换 $\hat{u}_0\in\mathcal S$. 由于 $u(x,t)=(\mathcal H(\cdot,t)*u_0)(x)$, 则

$\hat u(x,t)=\hat {\mathcal H}(x,t)\hat {u}_0(x)=\mathrm{e}^{-t|x|^{4m}}\hat {u}_0(x),$

因此当 $t\to 0$ 时, 在 $L^2$ 空间中,

$\hat u(\cdot,t)\to \hat {u}_0(x).$

进而根据文献 [13,I.2 节,定理 2.1,定理 2.4], 我们有

$u(\cdot,t)\to u_0(\cdot) \quad \tilde{e} xt{于}\ L^2, \ \tilde{e} xt{当}\ t\to 0.$

现在我们利用反证法证明结论. 我们可以分为以下两种情况.

情况 1: 如果

$1\neq \frac{1}{c_0}:=\int_{\mathbb{R} ^n}\mathcal H(x,t)\mathrm{d}x\neq 0,$

那么对于 $x\in B_{1/2}(0)$, 我们有

$\begin{equation*} \begin{aligned} \left|u(x,t)-\frac{1}{c_0}\right| &=\left|\int_{\mathbb{R} ^n}\mathcal H(x-y,t)(u_0(y)-1)\mathrm{d}y\right| =\left|\int_{\mathbb{R} ^n\backslash B_1(0)}\mathcal H(x-y,t)(u_0(y)-1)\mathrm{d}y\right|\\ &\leq C\int_{\mathbb{R} ^n\backslash B_1(0)}|\mathcal H(x-y,t)|\mathrm{d}y =C\int_{\mathbb{R} ^n\backslash B_1(x)}|\mathcal H(z,t)|\mathrm{d}z\\ &\leq C\int_{\mathbb{R} ^n\backslash B_{1/2}(0)}|\mathcal H(z,t)|\mathrm{d}z\to 0,\quad \tilde{e} xt{当}\ t\to 0, \end{aligned} \end{equation*}$

其中我们使用了(5.2). 因此当 $t\to 0$ 时, 在 $B_{1/2}(0)$ 中,

$u(\cdot,t)\to \frac{1}{c_0}\neq 1,$

这与当 $t\to 0$ 时, 在 $L^2$ 空间中 $u(\cdot,t)\to u_0$ 矛盾.

情况 2: 如果

$\int_{\mathbb{R} ^n}\mathcal H(x,t)\mathrm{d}x=0,$

利用类似情况 1 的理论, 我们可得当 $t\to 0$ 时, 在 $B_{1/2}(0)$ 中,

$u(\cdot,t)\to 0,$

这与当 $t\to 0$ 时, 在 $L^2$ 空间中 $u(\cdot,t)\to u_0$ 矛盾. 结合以上两种情况, 我们完成了整个证明.

有了以上事实, 我们可以证明如下结果.

命题 5.1 对于任意可测的, 在(5.1)定义的 $L^\infty$ 函数 $u_0:\mathbb{R} ^n\to \mathbb{R} $, 对于所有的 $t>0$, 当 $t\to 0$ 时, 我们有

$u(\cdot,t)\to u_0,\quad x\in K\subseteq \mathbb{R} ^n\backslash \{x\in\mathbb{R} ^n:x_1=0\}.$

证 根据引理5.1}, 对于定义在(5.1)的函数 $u_0$ 及所有 $ t>0$, 表达式

$\begin{equation} u(x,t):=\int_{\mathbb{R} ^n}u_0(x-y)\mathcal H(y,t)\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R} ^n}u_0(z)\mathcal H(x-z,t)\mathrm{d}z, \end{equation}$

是有意义的. 此外,

$\begin{equation*} \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^l(\nabla^k)u(x,t)=\int_{\mathbb{R} ^n}u_0(z)\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^l(\nabla^k)\mathcal H\right)(x-z,t)\mathrm{d}z. \end{equation*}$

利用 $\partial_t\mathcal H=-\Delta^{2m}\mathcal H$, 我们得到 $u:\mathbb{R} ^n\times (0,\infty)\to\mathbb{R} $ 是光滑的, 并且满足 $\partial_tu=-\Delta^{2m}u$. 注意到

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R} ^n}\mathcal H(x,t)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R} ^n}t^{-\frac{n}{4m}}f\left(-\frac{x}{t^{\frac{1}{4m}}}\right)\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R} ^n}f(-z)\mathrm{d}z=\int_{\mathbb{R} ^n}\mathcal H(z,1)\mathrm{d}z=1. \end{equation*}$

因此, 对于 $x\in B_\varepsilon (z)$, 其中 $z=(z_1,\cdots,z_N)$ 且 $z_1>2\varepsilon $, 对于 $h>2+\frac{n}{4m}$ 以及 $t<1$, 我们有

$\begin{equation*} \begin{aligned} |u(x,t)-1|&=\left|\int_{\mathbb{R} ^n}\mathcal H(x-y,t)(u_0(y)-1)\mathrm{d}y\right|\\ &=\left|\int_{B_\varepsilon (x)}\mathcal H(x-y,t)(u_0(y)-1)\mathrm{d}y\right|+\left|\int_{\mathbb{R} ^n\backslash B_\varepsilon (x)}\mathcal H(x-y,t)(u_0(y)-1)\mathrm{d}y\right|\\ &=0+\left|\int_{\mathbb{R} ^n\backslash B_\varepsilon (x)}\mathcal H(x-y,t)(u_0(y)-1)\mathrm{d}y\right|\\ &\leq 2\int_{\mathbb{R} ^n\backslash B_\varepsilon (x)}|\mathcal H(x-y,t)|\mathrm{d}y \leq \int_{\mathbb{R} ^n\backslash B_\varepsilon (x)}\frac{c(h,n)t^{h-\frac{n}{4m}}}{|x-y|^{4mh}}\mathrm{d}y\\ &\leq C(\varepsilon,h,n)t^{h-\frac{n}{4m}}\leq C(\varepsilon,h,n)t^{2} \end{aligned} \end{equation*}$

当 $t\to 0$ 时, $ |u(x,t)-1|\to 0$. 类似地,

$|u(x,t)|\leq C(\varepsilon,h,n)t^2,\quad x\in B_\varepsilon (z),\ z_1<-2\varepsilon.$

因此当 $t\to 0$ 时,

$u(\cdot,t)\to u_0,\quad\tilde{e} xtrm{对任意紧集} K\subset \mathbb{R} ^n\backslash \{x_1=0\} \tilde{e} xtrm{一致收敛}.$

引理 5.3 对于所有的 $c,t>0$, 有 $u(cx,c^{4m}t)=u(x,t)$ 成立, 其中 $u_0$ 和 $u$ 分别在(5.1)和(5.4)中定义.

证 我们首先证明对于所有的 $x\in\mathbb{R} ^n$ 及 $c>0$, 都有 $\mathcal H(cx,c^{4m}t)=c^{-n}\mathcal H(x,t)$. 注意到

$\begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal H(cx,c^{4m}t) &=(2\pi)^{-\frac n2}(c^{4m}t)^{-\frac{n}{4m}}\int_{\mathbb{R} ^n}\mathrm{e}^{{\rm i}(c^{4m}t)^{-\frac{1}{4m}}\langle w,cx\rangle-|w|^{4m}}\mathrm{d}w\\ &=c^{-n}(2\pi)^{-\frac n2}t^{-\frac{n}{4m}}\int_{\mathbb{R} ^n}\mathrm{e}^{{\rm i}t^{-\frac{1}{4m}}\langle w,x\rangle-|w|^{4m}}\mathrm{d}w\\ &=c^{-n}\mathcal H(x,t). \end{aligned} \end{equation*}$

另外, 对于 $z\in \mathbb{R} ^n$ 以及 $c>0$, 我们有

$u_0(cz)=u_0(z).$

因此

$\begin{equation*} \begin{aligned} u(cx,c^{4m}t)&=\int_{\mathbb{R} ^n}u_0(cx-y)\mathcal H(y,c^{4m}t)\mathrm{d}y =\int_{\mathbb{R} ^n}u_0(cx-cw)\mathcal H(cw,c^{4m}t)c^n\mathrm{d}w\\ &=\int_{\mathbb{R} ^n}u_0(x-w)\mathcal H(w,t)\mathrm{d}w=u(x,t). \end{aligned} \end{equation*}$

最后, 我们将证明(1.3)的控制是自然的.

命题 5.2 存在 $k_0>0$, 使得对于所有的 $s>0$, 存在 $x_s\in\mathbb{R} ^n$, 使得 $|\Delta u(x_s,s)|^2=\frac{k_0}{s^{\frac1m}}$.

证 首先, 我们断言存在一点 $(x_0,t_0)\in \mathbb{R} ^n\times \mathbb{R} ^+$, 满足 $\Delta u(x_0,t_0)\neq 0$. 事实上, 如果结论不成立, 则对于所有的 $t>0$, 有 $\partial_tu(x,t)=-\Delta^{2m}u(x,t)=0$, 因此对所有的 $0< s<t$, 有 $u(x,t)=u(x,s)$. 因此, 借助命题 5.1, 对于所有的 $t >0$, 我们有

$\begin{equation*} u(x,t)=\left\{ \begin{aligned} & 1,\quad \mathbb{R} ^n\cap \{x\in \mathbb{R} ^n:x_1>0\},\\ & 0,\quad \mathbb{R} ^n\cap \{x\in \mathbb{R} ^n:x_1<0\}, \end{aligned} \right. \end{equation*}$

这与对所有的 $t>0$, $u(\cdot,t):\mathbb{R} ^n\to\mathbb{R} $ 是光滑的发生矛盾.

因此存在一点 $(x_0,t_0)\in \mathbb{R} ^n\times \mathbb{R} ^+$ 满足 $|\Delta u(x_0,t_0)|^2\neq 0$. 因为

$|\Delta u|^2(cx,c^{4m}t)=\frac{1}{c^{4}}|\Delta u|^2(x,t),$

选取 $t=t_0$, $c^{4}=\left(\frac{s}{t_0}\right)^{\frac1m}$ 以及 $x=x_0$, 我们得到

$|\Delta u|^2\left(\left(\frac{s}{t_0}\right)^{\frac{1}{4m}}x_0,s\right)=\frac{t_0^{\frac1m}}{s^{\frac1m}}|\Delta u|^2(x_0,t_0).$

因此

$|\Delta u|^2(x_s,s)=\frac{k_0}{s^{\frac1m}},$

其中 $k_0=t_0^{\frac1m}|\Delta u(x_0,t_0)|^2\neq 0$, $x_s=\left(\frac{s}{t_0}\right)^{\frac{1}{4m}}x_0$.

利用与命题5.2类似的论证, 我们可以得出对所有的 $t>0$, 一定存在一点 $y(t)\in \mathbb{R} ^n$ 使得对于某个固定的 $k_0\neq 0$, 有

$\Delta^{2m}u(y(t),t)=\frac{k_0}{t}.$

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