带阻尼的二维等熵可压缩欧拉方程组不稳定激波的生成

带阻尼的二维等熵可压缩欧拉方程组不稳定激波的生成

朱婉情^,^*

南京师范大学数学科学学院 210023 南京, 金陵科技学院南京 211112

The Unstable Shock Formation for 2D Isentropic Compressible Euler Equations with Damping

Zhu Wanqing^,^*

School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Nanjing 210023, Department of Mathematics, Jinling Institute of Technology, 211112

通讯作者: *朱婉情, E-mail: zwq15371032536@163.com

基金资助:

金陵科技学院博士科研启动基金(jit-b-202611)

Fund supported:

PhD Research Start-up Fund of Jinling Institute of Technology(jit-b-202611)

摘要

文中主要考虑带阻尼的二维等熵可压缩欧拉方程组在角向对称条件下不稳定激波的生成问题. 对于阻尼欧拉方程组, 作者构造出不同于一般欧拉方程组的自相似坐标变换. 此外, 也选取该方程组的一类初值, 使它渐近收敛于阻尼 Burgers 方程的不稳定 $C^{{1}/{5}}$ 自相似解. 同时也引入调制变量技术和 Newton 迭代的方法来描述不稳定激波. 更进一步地, 爆破型在爆破时间具有 $C^{{1}/{5}}$ Hölder正则性的cusp奇性.

关键词： 可压缩欧拉方程组; 阻尼; 不稳定激波; 调制变量.

Abstract

In this paper, we consider the unstable blowup mechanism for 2D isentropic compressible Euler equations with damping under azimuthal symmetry. We construct a suitable self-similar coordinate transformation for the damped Euler equations which is different from the general Euler equations. Besides, we also choose a kind of initial data which asymptotically converges to the unstable $C^{{1}/{5}}$ self-similar solution of the Burgers equation with damping. In addition, we introduce the modulation variables and the Newton iteration to describe the unstable shock. Further, the blowup profile has a cusp singularity of $C^{{1}/{5}}$ Hölder regularity at the blowup time.

Keywords： compressible Euler equations; damping; unstable shock; modulation variables.

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本文引用格式

朱婉情. 带阻尼的二维等熵可压缩欧拉方程组不稳定激波的生成[J]. 数学物理学报, 2026, 46(6): 2140-2166

Zhu Wanqing. The Unstable Shock Formation for 2D Isentropic Compressible Euler Equations with Damping[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(6): 2140-2166

1 引言

在这篇论文中, 我们研究如下带阻尼的二维等熵可压缩欧拉方程组不稳定激波的生成问题:

(1.1)$\begin{equation} \begin{cases} \partial_t\rho+\mathrm{div}(\rho \mathbf{u})=0,\\ \partial_t \mathbf{u}+\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u}+\frac{1}{\rho}\nabla p(\rho)=- \mathbf{u}, \end{cases}\end{equation}$

这里 $\rho, \mathbf{u}=(u_1, u_2)^\top$ 和 $p$ 分别表示气体的密度, 速度和压力. 同时, 理想气体的状态方程和声速分别为

$\begin{equation*} p(\rho)=\frac{1}{\gamma}\rho^\gamma, \gamma>1,\qquad\sigma(\rho)=\sqrt{p^{\prime}(\rho)}=\rho^{\frac{\gamma-1}{2}}. \end{equation*}$

此外, 我们将构造一类充分光滑的初值

$\begin{equation*} (\rho, \mathbf{u})|_{t=t_0}=(\rho_0,\mathbf{u}_0), \end{equation*}$

使得 $\rho$ 和 $\mathbf{u}$ 在 $[t_0, T^*]$ 中均连续, 而 $\nabla\rho$ 和 $\nabla \mathbf{u}$ 将会在 $T^*$ 处发生爆破.

通过引入如下的极坐标变换

(1.2)$\begin{equation} x_1=r \cos\theta,\quad x_2=r\sin\theta, \end{equation}$

速度 $\mathbf{u}$ 可以重新写为 $ \mathbf{u}=u_r\mathbf{e_r}+u_\theta \mathbf{e_\theta}, $ 这里 $\mathbf{e_r}=(\cos\theta, \sin\theta)^\top, \mathbf{e_{\theta}}=(-\sin\theta, \cos\theta)^\top$, 此时 $\nabla=\mathbf{e_r}\partial_r+\frac{\mathbf{e_{\theta}}}{r}\partial_{\theta}$. 与此同时, (1.1) 可以被重新写作

(1.3)$\begin{equation} \begin{cases} (\partial_t+u_r\partial_r+\frac{1}{r}u_\theta\partial_\theta)u_r-\frac{u_\theta^{2}}{r}+\rho^{\gamma-2}\partial_r\rho+u_r=0,\\ (\partial_t+u_r\partial_r+\frac{1}{r}u_\theta\partial_\theta)u_\theta+\frac{1}{r}u_\theta u_r+\frac{1}{r}\rho^{\gamma-2}\partial_\theta\rho+u_\theta=0,\\ (\partial_t+u_r\partial_r+\frac{1}{r}u_\theta\partial_\theta)\rho+(\partial_r u_r+\frac{1}{r}\partial_\theta u_\theta+\frac{u_r}{r})\rho=0, \end{cases}\label{eq:a3}\end{equation}$

这里 $\theta\in\mathbb{T}=[-\pi,\pi]$ 并且 $r>0$. 受参考文献[2,3]的启发, 我们引入如下的角向对称变换

(1.4)$\begin{equation} u_r=ra(\theta,t), u_\theta=rb(\theta,t), \rho=r^{\frac{2}{\gamma-1}}P(\theta,t), \end{equation}$

对于任意的 $t\in[t_0,T^*]$, 我们记 $\varrho=\frac{\gamma-1}{2}$ 并且将方程组 (1.3) 化为

(1.5)$\begin{equation} \begin{cases} (\partial_t+b\partial_\theta)a+a^{2}-b^{2}+a+\frac{1}{\varrho}P^{2\varrho}=0,\\ (\partial_t+b\partial_\theta)b+2ab+b+P^{\gamma-2}\partial_\theta P=0,\\ (\partial_t+b\partial_\theta)P+\frac{\gamma}{\varrho}aP+(\partial_\theta b) P=0. \end{cases}\label{eq:a5}\end{equation}$

在角向对称的情况下, 为避免由 $r=0$ 处的假奇点所导致的问题, 我们将考虑如下的环形区域

$\begin{equation*} A_{r_0,r_1}=\{(r,\theta):r_0<r<r_1,\theta\in\mathbb{T}\}. \end{equation*}$

固定 $0<r_0<r_1$, 当 $u\in Lip_x$ 时, 我们将引入拉格朗日流 $\eta_u$, 对于 $t>t_0$ 它满足方程 $\partial_t\eta_u=u\circ\eta_u$ 并且 $\eta_u(r,\theta,t_0)=(r,\theta)$. 由常微分方程理论, 我们定义时间依赖区域 $\Omega(t)=\eta_u(A_{r_0,r_1},t),$ 这里 $\Omega(t_0)=A_{r_0,r_1}$. 事实上在这篇论文中, 我们将证明 $\Omega(t)$ 能被延拓到 $\Omega(T^*)$ 并且满足

$\begin{equation*} \Omega(t)\cap\{r=0\}=\emptyset,\quad\forall t\in[t_0, T^*]. \end{equation*}$

从上述讨论知, 区域 $\Omega(t)$ 中(1.5)的解等价于带阻尼的可压缩欧拉方程组(1.1)通过变换(1.2)和(1.4)得到的解.

下面我们将回顾一些具有光滑初值的可压缩欧拉方程组的结果. Lax^[9] 首次利用特征线方法在有限时间内构造出激波, Alinhac^[1] 和 Sideris^[14] 分别证明在旋转对称的假设下, 对于具有小初值的一维等熵可压缩欧拉方程组, 非平凡经典解的导数会发生爆破. Christodoulou^[5] 表明在无旋相对论背景下, 高维可压缩欧拉方程组的激波会在有限时间内生成. 这一结果在参考文献[6]中被推广到无旋非相对论的情形中. Luk-Speck^[11] 建立了具有旋度的二维等熵可压缩欧拉方程组激波生成的结果. 近期, Buckmaster, Iyer, Shkoller 和 Vicol 在参考文献[2,3,4] 中利用调制变量和自相似分析的方法给出二维和三维可压缩欧拉方程组激波生成的具体爆破时间和位置.

对于具有小初值的一维带阻尼的欧拉方程组, Nishida^[12] 证明, 由于阻尼项的存在, 方程组的解是整体存在的. Hsiao-Liu^[8] 描述了解的长时间行为. 在三维情形中, Sideris-Thomasses-Wang^[15] 证明方程组的解是整体存在的, 并且给出解在 $ L^{\infty}$ 空间中的最优衰减速率为 $(1+t)^{-\frac{3}{2}}$. 对于具有小初值的高维可压缩欧拉方程组, Wang-Yang^[16] 利用格林函数的方法得到方程组的解在 $L^p(1< p\leqslant\infty)$ 空间中的最优衰减速率为 $(1+t)^{-\frac{d}{2}(1-\frac{1}{p})}$, 这里 $d\geqslant2$. 更进一步地, Pan-Zhao^[13] 证明三维有界域的情形中可压缩欧拉方程组的解也是整体存在的. 除此之外, Hou-Yin^[7] 讨论了具有时间依赖阻尼 $-\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho u$ 的可压缩欧拉方程组的柯西问题, 他们证明在小初值的情形下, 具有弱阻尼的欧拉方程组的解会发生爆破, 而具有强阻尼的欧拉方程组具有整体光滑解.

我们对于给定大初值并且具有强阻尼的欧拉方程组的情形十分感兴趣. 受参考文献[2,3,10]的启发, 作者在参考文献[17] 中通过引入适当的自相似坐标变换, 在二维情况下证明了角向对称条件下稳定激波的存在性. 在这篇文章中, 我们将利用类似于参考文献[2] 中 Newton 迭代的方法, 通过选取合适的自相似坐标变换来证明角向对称条件下二维可压缩欧拉方程组不稳定激波会在有限时间内生成.

首先, 我们引入如下的 Riemann 不变量

$\begin{equation*} w=b+\frac{1}{\varrho}P^{\varrho}, z=b-\frac{1}{\varrho}P^{\varrho}, \end{equation*}$

并且取 $\partial_{\tilde{t}}=\frac{2}{1+\varrho}\partial_t$, 不失一般性, 为了方便, 我们仍利用 $\partial_t$ 来代替 $\partial_{\tilde{t}}$.

记

$\begin{equation*} \beta_1=\frac{1}{1+\varrho}, \beta_2=\frac{1-\varrho}{1+\varrho}, \beta_3=\frac{1-2\varrho}{1+\varrho}, \beta_4=\frac{3+2\varrho}{1+\varrho}, \beta_5=\frac{\varrho}{2(1+\varrho)}, \end{equation*}$

则(1.5)中关于 $(a,b,P)$ 的方程组可以化为如下 $(a,z,w)$ 的方程组

(1.6)$\begin{equation} \begin{cases} \partial_t a+\beta_1(w+z)\partial_\theta a=-2\beta_1a^{2}-2\beta_1a-\beta_5(w-z)^{2}+\frac{1}{2}\beta_1(w+z)^{2},\\ \partial_t z+(z+\beta_2w)\partial_\theta z=-\beta_3aw-\beta_4az-\beta_1(w+z),\\ \partial_t w+(w+\beta_2z)\partial_\theta w=-\beta_4aw-\beta_3az-\beta_1(w+z). \end{cases}\label{eq:a6}\end{equation}$

由上述方程组知, 第一个方程是线性退化的, 而其余的方程则是真正非线性方程. 众所周知, 阻尼非线性方程的经典例子就是阻尼 Burgers 方程.

引理 1.1 对于如下带阻尼的 Burgers 方程:

(1.7)$\begin{equation} \partial_tw+w\partial_\theta w=-\frac{1}{2}w, \end{equation}$

存在唯一的非平凡函数 $\overline{W}_i(i\geqslant1)$ 使得下面的自相似坐标变换成立

(1.8)$\begin{equation} w(\theta, t)=({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-1)^{\frac{1}{2i}}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\overline{W}_i\bigg(\frac{\theta}{({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-1)^{\frac{2i+1}{2i}}}\bigg), \end{equation}$

此时函数 $\overline{W}_i(x)$$\Big(x=\frac{\theta}{({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-1)^{\frac{2i+1}{2i}}}\Big)$ 满足如下的常微分方程:

(1.9)$\begin{equation} -\frac{1}{2i}\overline{W}_i+\bigg(\frac{2i+1}{2i}x+2\overline{W}_i\bigg)\overline{W}'_i=0. \end{equation}$

证证明细节详见参考文献[17], 这里我们再重复一遍.

利用特征线方法, 我们定义从点 $(\beta,t_0)$ 出发的时空特征曲线 $l_\beta:={(\theta(\beta, t),t)}$ 为

$\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}=w(\theta(t),t),\\ \theta(t_0)=\beta. \end{cases}\end{equation*}$

沿特征曲线 $l_\beta$, (1.7)的柯西问题可以写作:

$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{{\rm d}w(\theta(t),t)}{{\rm d}t}=-\frac{1}{2}w(\theta(t),t),\\ w(\beta, t_0)=w_0(\beta), \end{cases}\end{equation*}$

解得

(1.10)$\begin{equation} w(\theta,t)=w_0(\beta){\rm e}^{-\frac{1}{2}(t-t_0)}, \theta=\beta+2w_0(\beta)(1-{\rm e}^{-\frac{1}{2}(t-t_0)}). \end{equation}$

如果(1.7)存在光滑解, $l_\beta$ 通过时空区域中的任一点 $(\theta,t)$, 这时 $\beta$ 可由点 $(\theta,t)$ 通过 (1.10) 确定, 即

(1.11)$\begin{equation} \theta=\beta(\theta,t)+2w_0(\beta(\theta,t))(1-{\rm e}^{-\frac{1}{2}(t-t_0)}). \end{equation}$

借助隐函数定理以及 $w_0$ 的光滑性, 式(1.1)中的 $\beta=\beta(\theta,t)$ 是一个定义良好的光滑函数, 只要

$\begin{equation*} \partial_{\beta}\theta=1+2w'_0(\beta)(1-{\rm e}^{-\frac{1}{2}(t-t_0)})\neq0. \end{equation*}$

联立上式, 对式(1.10)中的第一个式子关于 $\theta$ 求导得

$\begin{equation*} \partial_{\theta} w(\theta(t),t)=\frac{w'_0(\beta){\rm e}^{-\frac{1}{2}(t-t_0)}}{1+2w'_0(\beta)(1-{\rm e}^{-\frac{1}{2}(t-t_0)})}. \end{equation*}$

因此, 至少存在一点 $\beta$ 使得 $w'_0(\beta)<0$, 并且当 $t\rightarrow T^*$ 时, $\partial_\theta w(\theta(t),t)=-\infty$, 其中 $T^*=\min\left(-2\ln\left(1+\frac{1}{2w'_0(\beta)}\right)+t_0\right)$ 被定义为爆破时间. 从而, $\lim\limits_{t\rightarrow T^*}\partial_\theta w(\theta(t),t)=-\infty$, 但由 (1.10) 可知 $w(\theta(T^*), T^*)$ 是有界的, 这表明 $w\in C(\mathbb{T}\times[t_0, T^*])\cap C^1(\mathbb{T}\times[t_0， T^*))$.

接下来, 我们将对式(1.7)的变换不变性进行分析, 这将大大减少计算量.

· 类伽利略对称性: 若 $w(\theta,t)$ 是方程(1.7)的解, 则对于任意 $v\in \mathbb{R}$, $w(\theta+2v{\rm e}^{-\frac{1}{2}t},t)+v{\rm e}^{-\frac{1}{2}t}$ 都是方程(1.7)的解.

· 时间平移不变性: 若 $w(\theta,t)$ 是方程(1.7)的解, 则对于任意的 $t_0\in \mathbb{R}$，$w(\theta,t-t_0)$ 都是方程(1.7)的解.

· 空间平移不变性: 若 $w(\theta,t)$ 是方程 (1.7)的解, 则对于任意的 $\theta_0\in \mathbb{T}=[-\pi,\pi]$, $w(\theta-\theta_0,t)$ 都是方程(1.7)的解.

· 空间伸缩不变性: 若 $w(\theta,t)$ 是方程(1.7)的解, 则对于任意的 $\lambda\in\mathbb{R}$, $\lambda^{-1}w(\lambda\theta,t)$ 都是方程(1.7)的解.

利用空间平移不变性, 我们设 $w_0$ 的最小斜率在 $\beta=0$ 处取得且满足 $w'_0(0)=-\sigma$ (其中 $\sigma > \frac{1}{2}$), 并且 $w''_0(0)=\cdots=w^{(2i)}_0(0)=0$, $w^{(2i+1)}_0(0)=\nu>0$. 我们选取初始时间为 $t_0=2\ln\frac{2\sigma-1}{2\sigma}<0$, 那么我们有 $T^*=0$. 利用类伽利略对称性, 我们可以假设 $w_0(0)=0$. 从而由特征线方法, 我们得到爆破点 $(\theta(T^*), T^*)=(0, 0)$.

为了更好地研究爆破点 $(\theta(T^*), T^*)$ 附近的性质, 我们引入带阻尼项的 Burgers 方程(1.7)的自相似变换. 首先考虑 (1.11)的结构, 令 $t' = 2(1 - {\rm e}^{-\frac{1}{2}(t - t_0)})$, 则有 $(T^*)' = \frac{1}{\sigma}$, 并且

因此, 我们将方程(1.7)的自相似变换写成类似于参考文献[2]中式 (1.6) 的形式, 具体如下:

(1.12)$\begin{matrix} & w(\theta,t) \\&=\Big(\frac{\nu}{(2i+1)!}\Big)^{-\frac{1}{2i}}((T^{*})'-t')^{\frac{1}{2i}} {\rm e}^{-\frac{t}{2}} \overline{W}_i\left(\Big(\frac{\nu}{(2i+1)!}\Big)^{\frac{1}{2i}}\frac{\theta}{((T^{*})'-t')^{\frac{2i+1}{2i}}}\right)\\ &=\Big(\frac{\nu}{(2i+1)!}\Big)^{-\frac{1}{2i}}\Big(\frac{2\sigma-1}{\sigma}\Big)^{\frac{1}{2i}}({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-1)^{\frac{1}{2i}} {\rm e}^{-\frac{t}{2}} \overline{W}_i\left(\Big(\frac{\nu}{(2i+1)!}\Big)^{\frac{1}{2i}}\frac{\theta}{(\frac{2\sigma-1}{\sigma})^{\frac{2i+1}{2i}}({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-1)^{\frac{2i+1}{2i}}}\right), \end{matrix}$

其中 $\overline{W}_i$ 是由 $x=(\frac{\nu}{(2i+1)！})^{\frac{1}{2i}}\frac{\theta}{(\frac{2\sigma-1}{\sigma})^{\frac{2i+1}{2i}}({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-1)^{\frac{2i+1}{2i}}}$ 定义的函数, 且该函数满足以下常微分方程:

(1.13)$\begin{equation} -\frac{1}{2i}\overline{W}_i+\Big(\frac{2i+1}{2i}x+\frac{2\sigma}{2\sigma-1}\overline{W}_i\Big)\overline{W}'_i=0. \end{equation}$

通常, 我们在(1.12)和(1.13)中选择 $\sigma=1$ 和 $\nu=(2i+1)!$, 从而得到(1.8)和(1.9).

注 1.1 对于 $i=1$ 的情况, 我们在参考文献[17] 中进行了讨论, 并将这种奇性称为稳定激波. 而对于 $i>1$ 的情况, 初值

$\begin{equation*} w_0(0)=0,w'_0(0)=-\sigma, w^{(n)}_0(0)=0(n=2,\cdots,2i), w^{(2i+1)}_0(0)=\nu, \end{equation*}$

的小扰动将会变成 $i=1$ 这种情形, 即

$\begin{equation*} w_0(0)=0,w'_0(0)=-\sigma, w^{''}_0(0)=0, w^{'''}_0(0)=\nu_1, \end{equation*}$

因此, 我们得出结论: 当 $i > 1$ 时, $\overline{W}_i$ 是不稳定的.

在本文中, 我们考虑的是 $i=2$ 的情况, 为了方便起见将 $\overline{W}_2$ 写作 $\overline{W}$.

通过求解方程组(1.9)中关于 $i=2$ 的部分, 我们得到

$\begin{equation*} x=-C\overline{W}^5-2\overline{W}, \end{equation*}$

其中 $C$ 是一个常数. 为便于讨论, 我们不妨设 $C=1$, 即

(1.14)$\begin{equation} x=-\overline{W}^5-2\overline{W}. \end{equation}$

通过与参考文献 [2,引理 3.1] 所采用的相同方法, 我们得到了背景解 $\overline{W}(x)$ 的以下性质:

引理 1.2 对于在(1.14)中定义的 $\overline{W}(x)$, 当 $l$ 充分小时, 我们有

(1.15)$\begin{eqnarray*} \hspace{-3.2cm}{\rm(i)}&&\overline{W}'(0)=-\frac{1}{2},\quad \overline{W}^{(k)}(0)=0 \quad (k=2, 3, 4), \quad \overline{W}^{(5)}(0)=\frac{15}{8}, \label{eq:a15}\end{eqnarray*}$

(1.16)$\begin{eqnarray*} \hspace{-3.2cm}{\rm(ii)}&&|\overline{W}(x)|\leqslant (1+x^4)^{\frac{1}{20}}, |\overline{W}'(x)|\leqslant\frac{1}{2}(1+x^4)^{-\frac{1}{5}}, \label{eq:a16}\end{eqnarray*}$

(1.17)$\begin{eqnarray*} \hspace{-3.2cm}{\rm(iii)}&&|\overline{W}^{(n)}(x)|\leqslant M (1+x^4)^{-\frac{1}{5}-\frac{n-1}{4}}, n\geqslant2, \label{eq:a17}\end{eqnarray*}$

(1.18)$\begin{eqnarray*} \hspace{-3.2cm}{\rm(iv)}&&|\overline{W}'(x)|\leqslant \frac{1}{2}-\frac{l^8}{20}, |x|\geqslant l. \label{eq:a18} \end{eqnarray*}$

接下来, 我们给出用于构建方程(1.6)中激波形成的以下初值. 我们将选择初始时间 $t_0 = -2\ln(1+\varepsilon)$ 并将其表示为

(1.19)$\begin{equation} a(\theta,-2\ln(1+\varepsilon))=a_0(\theta), z(\theta,-2\ln(1+\varepsilon))=z_0(\theta), w(\theta,-2\ln(1+\varepsilon))=w_0(\theta). \end{equation}$

我们希望这种激波只会发生在 $w$ 的方向上, 所以在初始时刻对 $a$ 和 $z$ 的限制较少. 我们期望 $a$ 和 $z$ 的初值与 $w$ 相比是充分小的, 即

(1.20)$\begin{equation} \|a_0\|_{C^8(\mathbb{T})}+\|z_0\|_{C^8(\mathbb{T})}\leqslant \varepsilon^2, \end{equation}$

而且我们假设

(1.21)$\begin{equation} w_0=\varepsilon^{\frac{1}{4}}(1+\varepsilon)(\overline{W}(\varepsilon^{-\frac{5}{4}}\theta)\chi(\varepsilon^{-1}\theta)+\widehat{W}_0(\varepsilon^{-\frac{5}{4}}\theta)+(\alpha(\varepsilon^{-\frac{5}{4}}\theta)^2+\beta(\varepsilon^{-\frac{5}{4}}\theta)^3)\chi(\varepsilon^{-\frac{5}{4}}\theta))+\kappa_0, \end{equation}$

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是两个待定的常数, $\chi$ 是一个在半径为 2 的球内定义的光滑函数, 并且满足当 $|x|\leqslant 1$ 时, $\chi(x)=1$. 函数 $\widehat{W}_0$ 满足

(1.22)$\begin{eqnarray*} &&|\widehat{W}_0^{(n)}(x)|\leqslant \varepsilon (1+x^4)^{-\frac{1}{5}}, \quad |x|\leqslant \varepsilon^{-\frac{1}{4}}, n=0, 1,\cdots,8, \\ &&|\widehat{W}_0^{(n)}(0)|\leqslant \varepsilon, \quad n=2, 3, \\ &&\widehat{W}_0^{(n)}(0)=0, \quad n=0, 1, 4, 5. \end{eqnarray*}$

并且初值 $a_0$, $z_0$, $w_0-\kappa_0$ 具有紧支集, 即

$\begin{equation*} \text{supp}(a_0)\cup \text{supp}(z_0)\cup \text{supp}(w_0-\kappa_0)\subseteq\left(-M\varepsilon, M\varepsilon\right), \end{equation*}$

这里的 $M$ 是一个充分大的常数.

最后, 为了确保不存在真空区域 (即初始密度必须为正值), 我们还做出如下假设:

(1.23)$\begin{equation} \|w_0(\cdot)-\kappa_0\|_{L^\infty(\mathbb{T})}\leqslant\dfrac{\kappa_0}{2}. \end{equation}$

下面我们将给出描述 $(a,z,w)$ 系统 (1.6) 中激波形成情况的主要定理:

定理 1.1 我们假设 $(a_0, z_0, w_0)$ 是满足(1.19)-(1.23)的方程组(1.6)的初值, 那么存在充分大的常数 $M$ 和充分小的常数 $\varepsilon$, 使得解 $(a, z, w) \in C^1([-2\ln(1+\varepsilon), T^*]; C^8(\mathbb{T}))$, 而且该解将在有限时间 $T^*$ 和特定位置 $\theta^*$ 处爆破. 此外, 它们还具有以下性质:

·$\sup_{t\in[-2\ln(1+\varepsilon),T^*]}(\|a\|_{W^{1,\infty}(\mathbb{T})} +\|z\|_{W^{1,\infty}(\mathbb{T})}+\|w\|_{L^{\infty}(\mathbb{T})})\leqslant 5M;$

·$\lim\limits_{t\rightarrow T^*}\partial_{\theta}w(\theta^*(t),t)=-\infty$ 且 $\frac{1}{4(1-{\rm e}^{-\frac{(T^*-t)}{2}})}\leqslant\|\partial_{\theta}w(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\mathbb{T})} \leqslant\frac{4}{1-{\rm e}^{-\frac{(T^*-t)}{2}}}$, 当 $t\rightarrow T^*$;

·$w(\cdot,T^*)$ 具有 $C^{{1}/{5}}$ H$\ddot{\mathrm{o}}$lder 正则性的 cusp 奇性.

为了证明这一主要定理, 我们在第2节中将引入自相似坐标变换、调制变量以及 bootstrap 假设. 第3-4节将探讨针对调制变量、自相似变量 $A, Z, W$ 及其更高阶导数 bootstrap 假设的封闭性. 在第5节中, 我们将完成主要定理的证明.

2 自相似变量, 调制变量以及 bootstrap 假设

在本节中, 我们将提前为方程组(1.6)在自相似坐标系下的先验估计做一些准备工作. 首先, 引入自相似变量和变换. 受 Buckmaster 课题组在参考文献[2,3] 中所采用方法的启发, 引入了调制变量, 这样就可以利用调制变量与初值之间的关系来证明相关估计. 最后, 在本节中给出了证明过程中所使用的 bootstrap 假设.

自相似变量 首先, 令 $s_0=-\ln \varepsilon$, 并定义调制变量 $\tau(t)$, $\xi(t)$, $\kappa(t):[t_0, T^*] \rightarrow R$ 来控制爆破时间, 爆破位置和爆破振幅. 假设

$ \begin{align*} &\tau(t_0)=0, \xi(t_0)=0, \kappa(t_0)=\kappa_0; \\ &\tau(T^*)=T^*, \xi(T^*)=\xi_*, \kappa(T^*)=\kappa_*; \end{align*} $

这里爆破时间 $T^*$ 对所有的 $t\in[t_0, T^*]$ 均满足 $T^*-t=\mathcal{O}(\varepsilon^{\frac{3}{2}})$.

与带阻尼的 Burgers 方程类似, 引入

(2.1)$\begin{equation} s=-\ln({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-{\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}), x=\frac{\theta-\xi(t)}{({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-{\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}})^{\frac{5}{4}}}. \end{equation}$

直接计算得

(2.2)$\begin{equation} \frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}=\frac{{\rm e}^s}{2}\beta_{\tau}^{-1}, \frac{\partial x}{\partial t}=-\dot{\xi}(t){\rm e}^{\frac{5s}{4}}+\frac{5}{8}x{\rm e}^s\beta_{\tau}^{-1}, \frac{\partial x}{\partial \theta}={\rm e}^{\frac{5}{4}s}, \end{equation}$

这里 $\beta_\tau=({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-\dot{\tau}(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}})^{-1}$.

更进一步地, 我们定义如下的自相似坐标变换

(2.3)$\begin{equation} a(\theta, t)=A(x,s), z(\theta, t)=Z(x,s), w(\theta, t)={\rm e}^{-\frac{s}{4}-\frac{t}{2}}W(x,s)+\kappa(t), \end{equation}$

则(1.6)可化为如下 $(A,Z,W)$ 的方程组

(2.4)$\begin{equation} \begin{cases} \partial_s A+\nu_A\partial_x A=F_A,\\ \partial_s Z+\nu_Z\partial_xZ=F_Z,\\ (\partial_s-\frac{1}{4}-\beta_\tau {\rm e}^{-s})W+\nu_W\partial_xW=F_W-2\beta_\tau {\rm e}^{-\frac{3s}{4}+\frac{t}{2}}\dot{\kappa}, \end{cases}\label{eq:b4}\end{equation}$

这里的传输速度 $(\nu_A, \nu_Z, \nu_W)$ 为

(2.5)$\begin{equation} \begin{cases} \nu_A=\frac{5}{4}x+2\beta_\tau \beta_1{\rm e}^{-\frac{t}{2}}W+G_A,\\ \nu_Z=\frac{5}{4}x+2\beta_\tau \beta_2{\rm e}^{-\frac{t}{2}}W+G_Z,\\ \nu_W=\frac{5}{4}x+2\beta_\tau {\rm e}^{-\frac{t}{2}}W+G_W, \end{cases}\label{eq:b5}\end{equation}$

其中

(2.6)$\begin{equation} \begin{cases} G_A=2\beta_\tau {\rm e}^{\frac{s}{4}}(\beta_1Z+\beta_1\kappa-\dot{\xi}(t)), \\ G_Z=2\beta_\tau {\rm e}^{\frac{s}{4}}(Z+\beta_2\kappa-\dot{\xi}(t)),\\ G_W=2\beta_\tau {\rm e}^{\frac{s}{4}}(\beta_2Z+\kappa-\dot{\xi}(t)), \end{cases}\label{eq:b6}\end{equation}$

并且外力项 $(F_A, F_Z, F_W)$ 为

$\begin{equation*} \begin{cases} F_A=-2\beta_\tau {\rm e}^{-s}(2\beta_1(A^2+A)+\beta_5({\rm e}^{-\frac{s}{4}-\frac{t}{2}}W+\kappa-Z)^2-\frac{1}{2}\beta_1({\rm e}^{-\frac{s}{4}-\frac{t}{2}}W+\kappa+Z)^2),\\ F_Z=-2\beta_\tau {\rm e}^{-s}(\beta_3A({\rm e}^{-\frac{s}{4}-\frac{t}{2}}W+\kappa)+\beta_4AZ+\beta_1({\rm e}^{-\frac{s}{4}-\frac{t}{2}}W+\kappa+Z)),\\ F_W=-2\beta_\tau {\rm e}^{-\frac{3s}{4}+\frac{t}{2}}(\beta_4A({\rm e}^{-\frac{s}{4}-\frac{t}{2}}W+\kappa)+\beta_3AZ+\beta_1({\rm e}^{-\frac{s}{4}-\frac{t}{2}}W+\kappa+Z)). \end{cases}\end{equation*}$

此外, 通过对式(2.4)关于 $x$ 求 $n$ 次导 (其中 $n \geqslant 1$), 我们得到

(2.7)$\begin{equation} \begin{cases} & \left(\partial_s+\frac{5n}{4}+2n\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W\right)\partial^n_x A+\nu_A\partial^{n+1}_x A \\ &=\partial^{n}_x F_A-2_{n\geqslant2}\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\sum\limits^{n}_{j=2}{n\choose j} \partial_x^j W \partial_x^{n-j+1}A-\sum\limits_{j=1}^n {n\choose j}\partial_x^j G_A\partial_x^{n-j+1}A:=F^{(n)}_A,\\ & \left(\partial_s+\frac{5n}{4}+2n\beta_2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W\right)\partial^n_x Z+\nu_Z\partial^{n+1}_xZ\\ &=\partial^{n}_x F_Z-2_{n\geqslant2}\beta_2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\sum\limits_{j=2}^n{n\choose j}\partial_x^jW \partial_x^{n-j+1}Z-\sum\limits_{j=1}^n{n\choose j}\partial_x^j G_Z\partial_x^{n-j+1}Z:=F^{(n)}_Z,\\ & \left(\partial_s+\frac{5n-1}{4}+2(n+1_{n\geqslant 2})\beta_\tau {\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W-\beta_\tau {\rm e}^{-s}\right)\partial^n_x W+\nu_W\partial^{n+1}_x W\\ &=\partial^{n}_x F_W-2_{n\geqslant 3}\beta_\tau {\rm e}^{-\frac{t}{2}}\sum\limits^{n-1}_{j=2}{n\choose j} \partial_x^j W\partial^{n-j+1}_x W-\sum\limits_{j=1}^n {n\choose j}\partial_x^j G_W\partial_x^{n-j+1}W:=F^{(n)}_W. \end{cases}\label{eq:b7}\end{equation}$

为了保证 $W$ 渐近等价于 $\overline{W}$, 我们定义误差项 $\widetilde{W}:=W-\overline{W}$, 联立(1.9)和(2.4)中的第三个方程, 我们得到下面关于 $\widetilde{W}$ 的方程

(2.8)$\begin{matrix} (\partial_s-\frac{1}{4}+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\overline{W}'-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})\widetilde{W}+\nu_W\partial_x\widetilde{W}=&F_W-2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{3}{4}s+\frac{t}{2}}\dot{\kappa}+\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\overline{W} \\ &+(2(1-\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}})\overline{W}-G_W)\overline{W}':=\widetilde{F}_W, \end{matrix}$

和它的高阶导数 $\partial^n_x\widetilde{W}(n\geqslant1)$ 的方程:

(2.9)$\begin{matrix} & \bigg(\partial_s+\frac{5n-1}{4}+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\overline{W}'+2n\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\bigg)\partial^n_x\widetilde{W} +\nu_{W}\partial^n_x\widetilde{W} \\ &=\partial^n_x F_W+\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\overline{W}^{(n)}+2(1-\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}})\sum\limits_{j=0}^n {n\choose j}\overline{W}^{(j)}\overline{W}^{(n-j)}- \sum\limits_{j=0}^n {n\choose j}\partial^j_x G_W\overline{W}^{(n-j+1)} \\ & -\sum\limits_{j=1}^n{n\choose j}\partial^j_x G_W\partial^{n-j+1}_x\widetilde{W} -2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\sum\limits_{j=1}^n{n\choose j}\overline{W}^{(j+1)}\partial^{n-j}_x \widetilde{W} \\ & -2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\sum\limits_{j=2}^n{n\choose j}\partial^j_xW\partial^{n-j+1}_x\widetilde{W}:=\partial^n_x\widetilde{F}_W. \end{matrix}$

由于

(2.10)$\begin{equation} W(0, s)=0, \partial_x W(0, s)=-\frac{1}{2}, \partial^4_x W(0, s)=0 \end{equation}$

成立, 我们可以通过(2.4)的第三个方程和(2.7)分别推导出调制变量所满足的方程. 为了方便书写, 我们设 $q^{(n)}(s)=\partial_x^n W(0, s)$ (其中 $n=0,1,2,3,4,5$). 将 (2.10) 代入 $\partial^n_xW$ 的方程并定义 $\mu = G_W(0, s)$, 我们得出这些调制变量 $\tau(t)$, $\xi(t)$ 和 $\kappa(t)$ 的方程如下:

(2.11)$\begin{matrix} &-\frac{1}{2}\mu=-2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{3s}{4}+\frac{t}{2}}\dot{\kappa}+F_W(0, s), \end{matrix}$

(2.12)$\begin{matrix}&-\frac{1}{2}(1-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}+\partial_x G_W(0, s))+\mu q^{(2)}(s)=\partial_x F_W(0, s), \end{matrix}$

(2.13)$\begin{matrix}&(\partial_s+\frac{9}{4}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-3\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}+2\partial_x G_W(0, s))q^{(2)}(s)+\mu q^{(3)}(s)=\partial_x^2 F_W(0, s)+\frac{1}{2}\partial_x^2G_W(0, s), \end{matrix}$

(2.14)$\begin{matrix}& (\partial_s+\frac{14}{4}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-4\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}+3\partial_xG_W(0,s))q^{(3)}(s) \\&=\partial_x^3 F_W(0, s)-6\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}(q^{(2)}(s))^2 -\sum\limits_{j=2}^3{3 \choose j}\partial_x^j G_W(0, s)q^{(4-j)}(s), \end{matrix}$

(2.15)$\begin{matrix}&\mu q^{(5)}(s)+20\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(2)}(s)q^{(3)}(s)=\partial_x^4 F_W(0, s)-\sum\limits_{j=2}^4{4 \choose j}\partial_x^j G_W(0, s)q^{(5-j)}(s), \end{matrix}$

(2.16)$\begin{matrix}& (\partial_s+6(1-\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}})-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}+5\partial_xG_W(0,s)) q^{(5)}(s) \\ &=-\mu q^{(6)}(s)+\partial_x^5F_W(0, s)-20\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}(q^{(3)}(s))^2-\sum\limits_{j=2}^5{5\choose j} \partial_x^jG_W(0, s)q^{(6-j)}(s). \end{matrix}$

Bootstrap 假设 在自相似坐标下, 我们利用连续性方法可以得到 $A,Z,W$ 的整体解, 因此我们给出如下的 bootstrap 假设.

对于调制变量, 我们有如下的估计:

(2.17)$\begin{matrix} &|\kappa|\leqslant2\kappa_0, |\tau|\leqslant \varepsilon^{\frac{1}{2}}, |\mu|\leqslant \varepsilon^{\frac{1}{8}}{\rm e}^{-\frac{3}{4}s},\end{matrix}$

(2.18)$\begin{matrix}&|\dot{\kappa}|\leqslant 3\beta_1\kappa_0, |\dot{\tau}|\leqslant \varepsilon^{\frac{1}{6}}{\rm e}^{-\frac{3}{4}s}, |\dot{\xi}|\leqslant 3\kappa_0. \end{matrix}$

对于 $A$ 和 $Z$ 的导数, 我们有关于时间衰减的 bootstrap 假设

(2.19)$\begin{matrix} &\|A(\cdot, s)\|_{L^{\infty}}\leqslant M \varepsilon, \quad \|\partial^j_xA(\cdot, s)\|_{L^{\infty}}\leqslant M{\rm e}^{-\frac{5}{4}s},\end{matrix}$

(2.20)$\begin{matrix}&\|Z(\cdot, s)\|_{L^{\infty}}\leqslant \varepsilon^{\frac{3}{4}}, \quad \|\partial^j_xZ(\cdot, s)\|_{L^{\infty}}\leqslant M{\rm e}^{-\frac{5}{4}s}, \label{eq:b20} \end{matrix}$

这里 $1\leqslant j\leqslant 8$, $M>0$ 是一个待定充分大的常数.

而且我们有如下关于 $W$ 的各阶导数的时空加权估计:

(2.21)$\begin{matrix} &|W(x, s)|\leqslant M (1+x^4)^{\frac{1}{20}}, \quad \quad \quad |\partial_xW(x, s)|\leqslant l\log M (1+x^4)^{-\frac{1}{5}}, \end{matrix}$

(2.22)$\begin{matrix}&|\partial^n_xW(x, s)|\leqslant M^{n^2} (1+x^4)^{-\frac{1}{5}},\quad n=2,\cdots,8,\label{eq:b22} \end{matrix}$

我们假设 $l$ 是充分小的常数, 并且对于 $|x|\leqslant l$, $\widetilde{W}$ 的各阶导数满足

(2.23)$\begin{equation} |\partial^n_x\widetilde{W}|\leqslant 2\varepsilon^{\frac{1}{4}}|x|^{6-n}(0\leqslant n\leqslant5), |\partial^6_x\widetilde{W}|\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{4}}, \end{equation}$

在区间 $l\leqslant |x|\leqslant \varepsilon^{-\frac{1}{4}}$ 中, 我们给出下面的 bootstrap 假设

(2.24)$\begin{equation} |\widetilde{W}|\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{9}}(1+x^4)^{\frac{1}{20}}, |\partial_x\widetilde{W}|\leqslant \varepsilon^{\frac{1}{50}}(1+x^4)^{-\frac{1}{5}}. \end{equation}$

并且对于任意的 $s\in[-\ln\varepsilon,\infty)$, 当 $x=0$ 时, 我们假设

(2.27)$\begin{matrix} & |q^{(2)}(s)|\leqslant \varepsilon^{\frac{1}{9}} {\rm e}^{-\frac{3}{4}s}, \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad |q^{(3)}(s)|\leqslant M^5 {\rm e}^{-s}, \end{matrix}$

(2.26)$\begin{matrix} & \frac{3}{2}\leqslant\frac{15}{8}-\varepsilon^{\frac{1}{4}}\leqslant q^{(5)}(s)\leqslant\frac{15}{8}+\varepsilon^{\frac{1}{4}}.\label{eq:b26} \end{matrix}$

此外, 我们假设解的支集满足:

(2.27)$\begin{equation} \text{supp}A(\cdot, s)\cup \text{supp}Z(\cdot, s)\cup \text{supp}W(\cdot, s)\subseteq B\bigg(2M \varepsilon {\rm e}^{\frac{5s}{4}}\bigg). \end{equation}$

3 关于调制变量, $A$, $Z$ 和 $W$ 的估计

在本节中, 我们将封闭调制变量 $A$, $Z$ 和 $W$ 的 bootstrap 假设, 除了 $q^{(2)}(s)$ 和 $q^{(3)}(s)$. 实际上, 这些在(2.25)中的 bootstrap 假设将在下一节通过类似于参考文献[2]的牛顿迭代法来封闭. 本节的后续小节组织如下: 首先, 在 3.1 小节中, 将封闭关于调制变量 $\tau$, $\xi$ 和 $\kappa$ 的 bootstrap 假设. 在 3.2 小节估计 $A$ 和 $Z$ 之前, 将定义 $A$, $Z$ 和 $W$ 的特征线, 并精确分析这些特征的上下界. 最后在 3.3 小节中, 将封闭 $W$ 的 bootstrap 假设(2.21)-(2.24)和(2.26).

3.1 关于调制变量的估计

在本小节中, 先利用(2.15), (2.20), (2.25)和 (2.26)来估计 $\mu$, 从而封闭(2.17)和(2.18)的 bootstrap 假设

$ \begin{align*} |\mu|&\leqslant|\mu q^{(5)}(s)|=|-20\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(2)}(s)q^{(3)}(s)-\sum\limits_{j=2}^4 {4\choose j}\partial^j_x G_W(0, s)q^{(5-j)}(s)+\partial^4_x F_W(0, s)| \\ &\leqslant |\frac{1}{2}\partial^4_xG_W(0,s)|+M{\rm e}^{-\frac{7}{4}s}\lesssim {\rm e}^{-s}. \end{align*} $

由于 $\beta_{\tau}=\bigg({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-\dot{\tau}(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}\bigg)^{-1}$, 在 $\tau(t)$, $\dot{\tau}(t)$ 的 bootstrap 假设以及 $|t|\leqslant \varepsilon^{\frac{3}{2}}$ 的估计下, 我们得出 $\beta_{\tau} \sim 1$. 由(2.12), 我们有

(3.1)$\begin{equation} \frac{1}{2}\beta_{\tau}\dot{\tau}(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}=\frac{1}{2}(\partial_x G_W(0, s)-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})-\mu q^{(2)}+\partial_x F_W(0, s), \end{equation}$

这就意味着

$\begin{equation*} \bigg|\frac{1}{2}\beta_{\tau}\dot{\tau}(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}\bigg|\leqslant \bigg|\frac{1}{2}\partial_x G_W(0, s)\bigg|+\bigg|\frac{1}{2}\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\bigg|+(\beta_4A(0,s)+\beta_1)\beta_{\tau}{\rm e}^{-s} +{\rm e}^{-\frac{3}{2}s}\lesssim {\rm e}^{-s}. \end{equation*}$

更进一步地, 我们有

$\begin{equation*} |{\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}-1|\!=\!\Big|\int^t_{-2\ln(1+\varepsilon)}({\rm e}^{-\frac{\tau(t')}{2}})'{\rm d}t'\Big|\leqslant\int^t_{-2\ln(1+\varepsilon)}\bigg|\frac{1}{2}\beta_{\tau}\dot{\tau}(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}\bigg|{\rm d}t'\lesssim \int^t_{-2\ln(1+\varepsilon)}\varepsilon {\rm d}t'\lesssim \varepsilon^{2}, \end{equation*}$

从而有估计 $1-C\varepsilon^{2}\leqslant {\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}\leqslant1+C\varepsilon^{2}.$ 因此, 我们得到

$\begin{equation*} |\dot{\tau}(t)|\lesssim {\rm e}^{-s}. \end{equation*}$

在 $[-\ln(1+\varepsilon), t]$ 上关于时间积分即得

$\begin{equation*} |\tau(t)|\leqslant\int^t_{-2\ln(1+\varepsilon)}|\dot{\tau}(t')|{\rm d}t' \lesssim \varepsilon (t+2\ln(1+\varepsilon))\lesssim \varepsilon^{2}. \end{equation*}$

接下来我们估计 $\dot{\kappa}$ 和 $\kappa$. 由(2.11), 我们有 $\dot{\kappa}=\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{3}{4}s-\frac{t}{2}}\beta_{\tau}^{-1}(F_W(0, s)+\frac{1}{2}\mu),$ 从而

$\begin{equation*} |\dot{\kappa}|\leqslant |(\beta_4 A(0, s)+\beta_1)\kappa|+\varepsilon^{\frac{3}{2}} \leqslant 3\beta_1\kappa_0. \end{equation*}$

因此,

$\begin{equation*} |\kappa(t)-\kappa_0|=\bigg|\int^t_{-2\ln(1+\varepsilon)}\dot{\kappa}(t'){\rm d}t'\bigg|\leqslant3\beta_1\kappa_0(t+2\ln(1+\varepsilon))\leqslant 7\beta_1\kappa_0\varepsilon, \end{equation*}$

更进一步地, 我们有 $|\kappa(t)|\leqslant 7\beta_1\kappa_0\varepsilon+\kappa_0\leqslant\dfrac{3}{2}\kappa_0$.

最后, 我们来封闭 $\dot{\xi}$ 的 bootstrap 假设. 利用 $\mu=G_W(0,s)=2\beta_{\tau}{\rm e}^{\frac{s}{4}}(\beta_2Z(0,s)+\kappa-\dot\xi(t))$, 联立(2.17)和(2.20), 我们有

$\begin{equation*} |\dot{\xi}-\kappa|=\bigg|\frac{1}{2}\beta_{\tau}^{-1}{\rm e}^{-\frac{s}{4}}\mu-\beta_2 Z(0, s)\bigg|\lesssim\varepsilon^{\frac{3}{4}}, \end{equation*}$

从而

$\begin{equation*} |\dot{\xi}|\leqslant 2\kappa_0. \end{equation*}$

因此我们封闭了关于调制变量(2.17)-(2.18)的所有 bootstrap 假设.

3.2 关于特征线, $A$ 和 $Z$ 的估计

在本小节中, 我们将估计 $A$ 和 $Z$. 在此之前, 先给出特征线的定义.

$\begin{equation*} \partial_s\Phi^{x_0}(s)=\nu\circ\Phi^{x_0}, \quad \Phi^{x_0}(s_0)=x_0, \end{equation*}$

这里 $\nu$ 表示 $\nu_A,\nu_Z$ 和 $\nu_W$. 如果取 $|x_0|\leqslant M \varepsilon^{-\frac{1}{4}}$, 则由方程组(2.4), 得到解 $(A(\cdot,s), Z(\cdot,s), W(\cdot,s))$ 的支集. 更精确地, 由于

(3.2)$\begin{equation} \partial_s \Phi_W=\nu_W\circ\Phi_W=\frac{5}{4}\Phi_W+2\beta_\tau {\rm e}^{-\frac{t}{2}}W\circ\Phi_W+G_W\circ\Phi_W, \end{equation}$

由 bootstrap 假设(2.20), (2.21)和(2.27)知

(3.3)$\begin{equation} |2\beta_\tau {\rm e}^{-\frac{t}{2}}W|\leqslant 3{\rm e}^{\frac{s}{4}},\quad |G_W|\leqslant 10\kappa_0{\rm e}^{\frac{s}{4}}, \end{equation}$

在(3.2)的两边同乘 ${\rm e}^{-\frac{5s}{4}}$, 然后从 $s_0$ 到 $s$ 对其进行积分, 再联立(3.3), 我们便得到了

$ \begin{align*} |\Phi_W(s)|&=|x_0 \varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^{\frac{5s}{4}}+{\rm e}^{\frac{5}{4}s}\int^s_{s_0}(2\beta_\tau {\rm e}^{-\frac{t}{2}}W\circ\Phi_W+G_W\circ\Phi_W){\rm e}^{-\frac{5}{4}s'}{\rm d}s'| \\ &\leqslant M \varepsilon {\rm e}^{\frac{5s}{4}}+(3+10\kappa_0)\varepsilon {\rm e}^{\frac{5s}{4}} \\ &\leqslant \frac{3}{2}M \varepsilon {\rm e}^{\frac{5s}{4}}, \end{align*} $

这里我们取 $M\geqslant 4(3+10\kappa_0)$. 重复上述过程, 我们有

$\begin{equation*} |\Phi_A(s)|\leqslant \frac{3}{2}M \varepsilon {\rm e}^{\frac{5s}{4}}, \quad |\Phi_Z(s)|\leqslant \frac{3}{2}M \varepsilon {\rm e}^{\frac{5s}{4}}. \end{equation*}$

故而

$\begin{equation*} \text{supp}A(\cdot, s)\cup \text{supp}Z(\cdot, s)\cup \text{supp}W(\cdot, s)\subseteq B\bigg(\frac{3}{2}M \varepsilon {\rm e}^{\frac{5s}{4}}\bigg), \end{equation*}$

这样我们就封闭了 bootstrap 假设(2.27).

下面我们来讨论 $\Phi_A(s)$, $\Phi_Z(s)$ 和 $\Phi_W(s)$ 的下界. 由(2.5)并结合(2.18), (2.20), (2.21), 我们发现, 在 $\nu_W$ 中 $\kappa$ 的系数为 1, 而在 $\nu_A$ 和 $\nu_Z$ 中则小于 1 (即 $\beta_1$, $\beta_2<1$), 这将导致不同的下界估计. 接下来, 我们将给出详细的证明.

引理 3.1 对于 $|x_0|\leqslant M\varepsilon^{-\frac{1}{4}}$, 我们有

· $|\Phi_j(s)|\geqslant\min({\rm e}^{\frac{s}{4}}, {\rm e}^{\frac{s}{4}}-{\rm e}^{\frac{s_*}{4}})$, 这里 $s_*\geqslant s_0$, $j$ 取自于 $A$ 和 $Z$;

· $|\Phi_W(s)|\geqslant|x_0|\varepsilon^{\frac{1}{5}}{\rm e}^{\frac{s}{5}}$, 这里 $|x_0|\geqslant l$.

证该引理的证明在参考文献[2]中由引理 6.16 和引理 6.17 给出, 此处我们略去具体细节.

引理 3.2 由引理3.1知

(3.4)$\begin{equation} \int^s_{s_0}(1+(\Phi_j(s'))^4)^{-\frac{1}{5}}{\rm d} s'\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{50}},\quad\forall s\geqslant s_0. \end{equation}$

证事实上, 对于 $|\Phi_j(s)|\geqslant {\rm e}^{\frac{s}{4}}-{\rm e}^{\frac{s_*}{4}}$ 的情况, 计算 (3.4)是比较困难的. 这里利用 Young 不等式对其进行估计, 具体如下:

$ \begin{align*} \int^s_{s_0}(1+(\Phi_j(s'))^4)^{-\frac{1}{5}}{\rm d} s'&\leqslant\int^{\infty}_{s_0}(1+(\Phi_j(s))^4)^{-\frac{1}{5}}{\rm d} s=\int^{\infty}_{\varepsilon^{-\frac{1}{4}}}\frac{4}{r}(1+|r-{\rm e}^{\frac{s_*}{4}}|^4)^{-\frac{1}{5}}{\rm d}r \\ &\leqslant\int^{\infty}_{\varepsilon^{-\frac{1}{4}}}\frac{5}{6}(\frac{4}{r})^{\frac{6}{5}}{\rm d}r+\int^{\infty-{\rm e}^{\frac{s_*}{4}}}_{\varepsilon^{-\frac{1}{4}}-{\rm e}^{\frac{s_*}{4}}}\frac{1}{6}(1+|r-{\rm e}^{\frac{s_*}{4}}|^4)^{-\frac{6}{5}}{\rm d}(r-{\rm e}^{\frac{s_*}{4}}) \\ &\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{50}}. \end{align*} $

完成了上述准备工作后, 我们便可以开始对 $A$, $Z$ 及其更高阶导数进行估计. 首先, 通过特征线方法并结合(2.4)的第一项, 我们有

$ \begin{align*} \|A(\Phi_A(x(s), s))\|_{L^{\infty}}&\leqslant \|A(x_0, s_0)\|_{L^{\infty}}+\int_{-\ln \varepsilon}^{s}\|F_A(\Phi_A(x(s'), s'))\|_{L^{\infty}} {\rm d}s' \\ &\leqslant \varepsilon^2+\int_{-\ln \varepsilon}^{s}4(\beta_1+2\beta_5)(\kappa_0+1)^2{\rm e}^{-s'}{\rm d} s' \\ &\leqslant \varepsilon^2+4(\beta_1+2\beta_5)(\kappa_0+1)^2 \varepsilon \\ &\leqslant M\varepsilon, \end{align*} $

这里我们取 $M\geqslant 2C_0, C_0=4(\beta_1+2\beta_5)(\kappa_0+1)^2$.

对于更高阶导数, 可对(2.7)中的第一个方程利用特征线方法, 并且结合(2.19)-(2.22)和(3.4)来进行分析

(3.5)$\begin{aligned} \left\|\partial_{x}^{n} A\left(\Phi_{A}(s), s\right)\right\|_{L^{\infty}} \leqslant & \left\|\mathrm{e}^{-\int_{s_{0}}^{s}\left(\frac{5 n}{4}+2 n \beta_{1} \beta_{\tau} \mathrm{e}^{-\frac{t}{2}} \partial_{x} W \circ \Phi_{A}\right) d s^{\prime}} \partial_{x}^{n} A\left(x_{0}, s_{0}\right)\right\|_{L^{\infty}} \\ & +\int_{s_{0}}^{s}\left\|\mathrm{e}^{-\int_{s^{\prime}}^{s}\left(\frac{5 n}{4}+2 n \beta_{1} \beta_{\tau} \mathrm{e}^{-\frac{t}{2}} \partial_{x} W \circ \Phi_{A}\right) d s^{\prime \prime}} F_{A}^{(n)} \circ \Phi_{A}\right\|_{L^{\infty}} \mathrm{d} s^{\prime} \\ \leqslant & \frac{1}{2} C_{n} \varepsilon^{\frac{5}{4}} \mathrm{e}^{-\frac{5}{4}\left(s-s_{0}\right)}+C_{n} \mathrm{e}^{-\frac{5}{4} s} \int_{s_{0}}^{s} M^{n}\left(1+\left(\Phi_{A}\left(s^{\prime}\right)\right)^{4}\right)^{-\frac{1}{5}} \mathrm{~d} s^{\prime} \\ \leqslant & M \mathrm{e}^{-\frac{5}{4} s} \end{aligned}$

这里我们取 $M\geqslant 2C_n, C_n={\rm e}^{2nM\beta_1\varepsilon^{\frac{1}{50}}}$. 类似地, 在(2.20)中关于 $\|Z\|_{L^{\infty}}$ 和 $\|\partial^n_xZ\|_{L^{\infty}}$ 的 bootstrap 假设我们也可同理进行封闭.

3 关于 $W$ 和它高阶导数的估计

在本小节中, 我们将封闭关于 $W$ 的 bootstrap 假设(2.21)-(2.24)和 (2.26). 事实上, (2.16)中 $q^{(5)}(s)$ 的方程包含强耗散项, 我们将首先对其进行估计.

关于 $q^{(5)}(s)$ 的估计 我们将重新写(2.16)中关于 $q^{(5)}(s)$ 的方程如下并且联立(2.17)-(2.20), (2.23), (2.25)和 (2.26), 我们得到

(3.6)$\begin{matrix} \partial_sq^{(5)}(s)&=-6(1-\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}})q^{(5)}(s)+\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}q^{(5)}(s)-\mu q^{(6)}(s)+\partial_x^5F_W(0, s) \\ & -20\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}(q^{(3)}(s))^2-\sum\limits_{j=1}^5{5\choose j} \partial_x^jG_W(0, s)q^{(6-j)}(s):=\mathcal{F}^{(5)},\label{eq:c6}\\ &\leqslant |-6(1-\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}})q^{(5)}(s)|+|\mu q^{(6)}(s)|+2{\rm e}^{-s} \\ &\lesssim {\rm e}^{-\frac{3}{4}s}, \end{matrix}$

结合(1.15), (2.23)和 $|q^{(5)}(s_0)|=|W^{(5)}(0,s_0)|=\frac{15}{8}$, 我们有

$\begin{equation*} \bigg|q^{(5)}(s)-\frac{15}{8}\bigg|\lesssim \varepsilon^{\frac{1}{2}}. \end{equation*}$

关于 $W$ 的估计 由(2.21)中的第一个估计和(2.27)知

(3.7)$\begin{equation} |W(x,s)|\leqslant M(1+x^4)^{\frac{1}{20}}\leqslant M(1+(2M\varepsilon {\rm e}^{\frac{5}{4}s})^4)^{\frac{1}{20}}\leqslant 2M(2M\varepsilon)^{\frac{1}{5}}{\rm e}^{\frac{s}{4}}\leqslant M{\rm e}^{\frac{s}{4}}, \end{equation}$

从而我们有 $|{\rm e}^{-\frac{s}{4}}W|\lesssim 1$.

联立(2.6)中的第三个方程, bootstrap 假设(2.17), (2.20), (2.21)和 (2.27), 我们容易得到

(3.8)$\begin{equation} |G_W(x,s)(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}|\leqslant \mu+(x|\partial_x G_W|)(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}\leqslant \varepsilon^{\frac{1}{2}}\ll 1. \end{equation}$

为得到 $W$ 的整体估计, 当 $|x|\geqslant l$ 时, 在(2.4)中第三个方程两边同乘 $(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}$, 我们有

(3.9)$\begin{eqnarray*} && (\partial_s-\frac{1}{4}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}+\frac{1}{5}x^3(1+x^4)^{-1}\nu_W)W(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}+\nu_W\partial_x(W(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}) \\ &&=F_W(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}-2\beta_\tau {\rm e}^{-\frac{3s}{4}+\frac{t}{2}}\dot{\kappa}(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}, \end{eqnarray*}$

事实上, 由(2.20), (2.21)和 (3.8)知

$\begin{equation*} D_{0,-\frac{1}{20}}:=-\frac{1}{4}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}+\frac{1}{5}x^3(1+x^4)^{-1}\nu_W\leqslant -\frac{1}{4}(1+x^4)^{-1}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}+\frac{4}{5}M(1+x^4)^{-\frac{1}{5}}, \end{equation*}$

此外,

(3.10)$\begin{aligned} \left|-\int_{s_{0}}^{s} D_{0,-\frac{1}{20}} \circ \Phi_{W} \mathrm{~d} s^{\prime}\right| & \leqslant \int_{s_{0}}^{s}\left(\frac{1}{4\left(1+\left(\Phi_{W}\right)^{4}\right)}+\beta_{\tau} \mathrm{e}^{-s^{\prime}}+\frac{4}{5} M \frac{1}{\left(1+\left(\Phi_{W}\right)^{4}\right)^{\frac{1}{5}}}\right) \mathrm{d} s^{\prime} \\ & \leqslant \int_{s_{0}}^{s} M \mathrm{e}^{-\frac{4}{25} s^{\prime}} \mathrm{d} s^{\prime} \\ & \leqslant M \varepsilon^{\frac{4}{25}} \end{aligned}$

其中第二个不等式成立是运用了引理 3.1中第二个结果.

通过对(3.9)利用特征线方法得

$ \begin{align*} &W\circ\Phi_W(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}}\\=&{\rm e}^{-\int^s_{s_0}D_{0,-\frac{1}{20}}\circ\Phi_Wds'}W(x_0,s_*)(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}} \\ &+\int^s_{s_*}{\rm e}^{-\int^s_{s'}D_{0,-\frac{1}{20}}\circ\Phi_Wds''}(F_W\circ\Phi_W-2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{3}{4}s'+\frac{t}{2}}\dot\kappa)(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}}{\rm d}s', \end{align*} $

这里当 $|x_0|\geqslant\varepsilon^{-\frac{1}{4}}$ 时, 我们取 $W(x_0,s_*)=W(x_0,s_0)$; 当 $|x_0|\leqslant \varepsilon^{-\frac{1}{4}}$ 时, 我们取 $W(x_0,s_*)=W(\varepsilon^{-\frac{1}{4}},s_*)$. 联立 (2.17), (2.20) 和 (2.21) 我们有

$ \begin{align*} &|W\circ\Phi_W(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}}|\\ \leqslant& |{\rm e}^{-\int^s_{s_0}D_{0,-\frac{1}{20}}\circ\Phi ds'}||W(x_0,s_*)(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}}|+\int^s_{s_*}10\beta_1\kappa_0{\rm e}^{-\frac{3}{4}s'}{\rm d}s', \\ \leqslant&2(1+|\overline{W}(\varepsilon^{-\frac{1}{4}})+\widetilde{W}(\varepsilon^{-\frac{1}{4}},s_*)|(1+\Phi_W^{4})^{-\frac{1}{20}})+M\varepsilon^{\frac{3}{4}}\leqslant\frac{M}{2}, \end{align*} $

当 $|x|\geqslant \varepsilon^{-\frac{1}{4}}$ 时, 我们有

$\begin{equation*} |W(x,s_0)(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}|=|(\overline{W}(x)\chi(\varepsilon^{\frac{1}{4}}x)+\widehat{W}_0(x)+(\alpha x^2+\beta x^3)\chi(x))(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}|\leqslant1. \end{equation*}$

关于$\widetilde{W}$的估计 当 $l\leqslant |x|\leqslant \varepsilon^{-\frac{1}{4}}$ 时, 在 (2.8) 两边同乘 $(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}$ 得到

(3.11)$\begin{matrix} &(\partial_s-\frac{1}{4}+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\overline{W}'-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}+\frac{1}{5}(1+x^4)^{-1}x^3\nu_W)\widetilde{W}(1+x^4)^{-\frac{1}{20}} +\nu_W\partial_x(\widetilde{W}(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}) \\ =&\widetilde{F}_W(1+x^4)^{-\frac{1}{20}}, \end{matrix}$

记

$\widetilde{D}_{0,-\frac{1}{20}}=D_{0,-\frac{1}{20}}+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\overline{W}'\leqslant -\frac{1}{4}(1+x^4)^{-1}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}+5M(1+x^4)^{-\frac{1}{5}},$

并且在区间 $[s_0,s]$ 内, $\widetilde{D}_{0,-\frac{1}{20}}$ 的积分类似于(3.10)的形式, 并且是有界的. 通过特征线方法求解(3.11)并利用估计(1.16), (2.17)-(2.21)得到

$ \begin{align*} |\widetilde{W}\circ\Phi_W(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}}|&\leqslant |\widetilde{W}(x_0,s_*)(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}}||{\rm e}^{-\int^s_{s_0}\widetilde{D}_{0,-\frac{1}{20}}\circ\Phi_W{\rm d}s'}|+\int^s_{s_*}{\rm e}^{-\frac{3}{25}s'}{\rm d}s', \\ &\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon^{\frac{1}{9}}, \end{align*} $

这里当 $|x_0|\leqslant l$ 时, 联立(2.23), 我们取

$\begin{equation*} \widetilde{W}(x_0,s_*)(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}}=\widetilde{W}(l,s_*)(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}}\leqslant 2l^6\varepsilon^{\frac{1}{4}}, \end{equation*}$

当 $l\leqslant |x_0|\leqslant \varepsilon^{-\frac{1}{4}}$ 时, 通过利用(1.22)和 (4.6), 我们得到

$\begin{equation*} \widetilde{W}(x_0,s_0)(1+(x_0)^4)^{-\frac{1}{20}}\leqslant\|\widehat{W}_0(1+(x_0)^4)^{-\frac{1}{20}}\|_{L^{\infty}}+|\alpha|+|\beta|\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{6}}. \end{equation*}$

关于 $\partial_x\widetilde{W}$ 的估计 当 $n=1$ 时, 在(2.9) 两边同乘 $(1+x^4)^{\frac{1}{5}}$ 得

$ \begin{align*} &(\partial_s+1+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\overline{W}'+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-\frac{4}{5}(1+x^4)^{-1}x^3\nu_W)\partial_x\widetilde{W}(1+x^4)^{\frac{1}{5}} \\ &+\nu_W\partial_x(\partial_x\widetilde{W}(1+x^4)^{\frac{1}{5}})=\partial_x\widetilde{F}_W(1+x^4)^{\frac{1}{5}}, \end{align*} $

定义

$\begin{equation*} \widetilde{D}_{1,\frac{1}{5}}=1+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\overline{W}'+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-\frac{4}{5}(1+x^4)^{-1}x^3\nu_W, \end{equation*}$

通过利用(1.16), 引理3.1中的第二项, (2.21)和 (3.8)}, 类似于(3.10), 它在 $[s_0,s]$ 内是可积的.

关于外力项的估计, 联立(1.16), (1.17)-(2.22) 和(2.27)可得

$ \begin{align*} |\partial_x\widetilde{F}_W(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{4}}|&\leqslant|\partial_xF_W(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{4}}|+|\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\overline{W}'(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{4}}| \\ & +|4(1-\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}})\overline{W}\overline{W}'(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{4}}|+|G_W\overline{W}''(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{4}}| \\ & +|\partial_xG_W\partial_xW(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{4}}|+|2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\overline{W}''\widetilde{W}(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{4}}| \\ &\leqslant \varepsilon^{\frac{1}{10}}, \end{align*} $

根据上述等式, 并结合引理3.1中的第二项, 我们很容易进行估算

$\begin{equation*} \int^s_{s_0}\partial_x\widetilde{F}_W(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}{\rm d}s'\leqslant \int^s_{s_0}\varepsilon^{\frac{1}{10}}(1+(\Phi_W)^4)^{-\frac{1}{20}}{\rm d}s'\leqslant \int^s_{s_0}\varepsilon^{\frac{1}{10}}(1+(l\varepsilon^{\frac{1}{5}}{\rm e}^{\frac{1}{5}s'})^4)^{-\frac{1}{20}}{\rm d}s'\leqslant \varepsilon^{\frac{1}{25}}. \end{equation*}$

而且利用特征线方法, 我们有

$ \begin{align*} |\partial_x\widetilde{W}\circ\Phi_W(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}|&\leqslant |\partial_x\widetilde{W}(x_0,s_*)(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}||{\rm e}^{-\int^s_{s_0}\widetilde{D}_{1,\frac{1}{5}}\circ\Phi_W{\rm d}s'}| \\ & +\int^s_{s_*}{\rm e}^{-\int^s_{s'}\widetilde{D}_{1,\frac{1}{5}}\circ\Phi_W{\rm d}s''}|\partial_x\widetilde{F}_W(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}|{\rm d}s' \\ &\leqslant 2(2l^5\varepsilon^{\frac{1}{4}}+\|\widehat{W}_0'(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}\|_{L^{\infty}}+|\alpha|+|\beta|)+\varepsilon^{\frac{1}{30}} \\ &\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon^{\frac{1}{50}}, \end{align*} $

对于第二个不等号, 我们利用了以下公式: 当 $|x_0|\leqslant l$ 时利用(2.23), 而当 $l\leqslant|x_0|\leqslant \varepsilon^{-\frac{1}{4}}$ 时则利用(4.6)关于 $x$ 的导数估计.

关于 $\partial^n_x\widetilde{W}$ 的估计 当 $|x|\leqslant l$ 时, 我们考虑 $n=6$ 时的方程(2.9), 由 (1.15) 和 (2.10), 我们得到

$\begin{equation*} \widetilde{D}_{6}=\frac{29}{4}+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\overline{W}'+12\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\geqslant\frac{1}{4}-6|1-\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}|\geqslant\frac{1}{8}, \end{equation*}$

和

$\begin{equation*} |\partial^6_x\widetilde{F}_W|\lesssim|\partial^6_xF_W|+\sum\limits^6_{j=1}|\partial^{(7-j)}_x\widetilde{W}|+\sum\limits^6_{j=1}|\partial^{(6-j)}_x\widetilde{W}|+\varepsilon^{\frac{1}{2}}+{\rm e}^{-\frac{3}{4}s}\varepsilon^{\frac{1}{4}}\lesssim \varepsilon^{\frac{1}{3}}, \end{equation*}$

这里我们利用 $\overline{W}^{(j)}$, $\partial^j_xW$ 和 $G_W$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开式以及当 $|x|\leqslant l$ 时 $(1+x^4)^{\frac{1}{20}}\leqslant 2$ 的估计式. 于是, 沿特征线我们得到

$\begin{equation*} |\partial^6_x\widetilde{W}\circ\Phi_W|\leqslant {\rm e}^{-\frac{1}{8}s}\varepsilon^{-\frac{1}{8}}|\partial^6_x\widetilde{W}(x_0,s_0)|+{\rm e}^{-\frac{1}{8}s}\int^s_{s_0}|\partial^6_x\widetilde{F}_W\circ\Phi_W|{\rm e}^{\frac{1}{8}s'}{\rm d}s' \leqslant\frac{1}{2}\varepsilon^{\frac{1}{4}}. \end{equation*}$

而且联立(1.15)和(2.10), 我们将 $\widetilde{W}$ 写作

$\begin{equation*} \widetilde{W}(x)=\frac{\partial^2_x\widetilde{W}(0,s)}{2!}x^2+\frac{\partial^3_x\widetilde{W}(0,s)}{3!}x^3+\frac{\partial^5_x\widetilde{W}(0,s)}{5!}x^5+\mathcal{O}(\varepsilon^{\frac{1}{4}}x^6), \end{equation*}$

取 $n(n=0,1,2,3,4,5)$ 阶导数, 于是我们就封闭了 bootstrap 假设 (2.23).

关于 $\partial_xW$ 的估计 当 $|x|\leqslant l$ 时, 利用 $\partial_xW$ 在 $x=0$ 附近的 Taylor 展开式, 我们有

$ \begin{align*} \partial_xW(x,s)&=\partial_xW(0,s)+\partial^2_xW(0,s)x+\frac{1}{2!}\partial^3_xW(0,s)x^2+\frac{1}{4!}\partial^5_xW(x_*,s)x^4 \\ &\geqslant-\frac{1}{2}+\frac{x^4}{24}(\frac{15}{8}-2l\varepsilon^{\frac{1}{4}})-l\varepsilon^{\frac{1}{8}}{\rm e}^{-\frac{3}{4}s}-l^2{\rm e}^{-s}\geqslant-\frac{1}{2}-2l{\rm e}^{-\frac{3}{4}s}, \end{align*} $

这里 $|x_*|\leqslant x$. 当 $l\leqslant|x|\leqslant\varepsilon^{-\frac{1}{4}}$ 时, 由 (1.18), (2.23) 和 (2.24) 知

$\begin{equation*} |\partial_xW(x,s)|\leqslant|\overline{W}'(x)|+|\partial_x\widetilde{W}(x,s)|\leqslant \frac{1}{2}-\frac{l^8}{20}+2l^5\varepsilon^{\frac{1}{4}}\leqslant \frac{1}{2}+l\varepsilon^{\frac{1}{4}}. \end{equation*}$

而当 $|x|\geqslant \varepsilon^{-\frac{1}{4}}$ 且 $n=1$ 时, 在 (2.7)的第三个方程两边同乘 $(1+x^4)^{\frac{1}{5}}$, 我们得到

$ \begin{align*} &(\partial_s+1+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-\frac{4}{5}(1+x^4)^{-1}x^3\nu_W)\partial_xW(1+x^4)^{\frac{1}{5}}+\nu_W\partial_x(\partial_xW(1+x^4)^{\frac{1}{5}}) \\ =&(\partial_xF_W-\partial_xG_W\partial_xW)(1+x^4)^{\frac{1}{5}}, \end{align*} $

我们同样定义

$\begin{equation*} D_{1,\frac{1}{5}}:=1+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-\frac{4}{5}(1+x^4)^{-1}x^3\nu_W, \end{equation*}$

它在 $[s_0,s]$ 上关于时间的积分也是有界的. 此外, 联立 (2.19)-(2.21), 我们有估计 $(\partial_xF_W-\partial_xG_W\partial_xW)(1+x^4)^{\frac{1}{5}}=\mathcal{O}({\rm e}^{-s})$. 因此我们利用特征线方法得到

$ \begin{align*} |\partial_xW\circ\Phi_W(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}|&\leqslant |\partial_xW(x_0,s_*)(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}{\rm e}^{-\int^s_{s_*}D_{1,\frac{1}{5}}{\rm d}s'}| \\ & +\int^s_{s_*}|{\rm e}^{-\int^s_{s'}D_{1,\frac{1}{5}}{\rm d}s''}(\partial_xF_W-\partial_xG_W\partial_xW)\circ\Phi_W(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}|{\rm d}s' \\ &\leqslant 2\sup_{|x|\geqslant\varepsilon^{-\frac{1}{4}}}|\partial_xW(x,s_0)(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}|+4\varepsilon^{-\frac{1}{5}}|\partial_xW(\varepsilon^{-\frac{1}{4}},s_*)| \\ & +\int^s_{s_*}{\rm e}^{-\frac{1}{2}s'}{\rm d}s' \\ &\leqslant2+4\varepsilon^{-\frac{1}{5}}\overline{W}'(\varepsilon^{-\frac{1}{4}})+4\varepsilon^{-\frac{1}{5}}\partial_x\widetilde{W}(\varepsilon^{-\frac{1}{4}},s_*)+{\rm e}^{-\frac{1}{2}s}+{\rm e}^{-\frac{1}{2}s_*} \\ &\leqslant\frac{1}{2}l\log M, \end{align*} $

在第三个不等式中, 我们利用了如下估计

$\begin{equation*} |\partial_xW(x,s_0)(1+x^4)^{\frac{1}{5}}|=|(\overline{W}'\chi(\varepsilon^{\frac{1}{4}}x)+\widehat{W}'_0+\partial_x(\alpha x^2\chi(x)+\beta x^3\chi(x)))(1+x^4)^{\frac{1}{5}}|\leqslant1, \end{equation*}$

这里联立了 (1.16), (1.22), (2.27) 和 (4.8)}.此外, 我们也有

$\begin{equation*} |\partial_xW(x,s)|\leqslant M(1+x^4)^{-\frac{1}{5}}\leqslant M\varepsilon^{\frac{1}{8}}\leqslant\frac{1}{2}. \end{equation*}$

总得来说, 对于任意的 $x\in(-2M\varepsilon^{-\frac{1}{4}},2M\varepsilon^{-\frac{1}{4}})$, 我们有 $|\partial_xW(x,s)|\leqslant \frac{1}{2}+{\rm e}^{-\frac{1}{2}s}$.

关于 $\partial^n_xW$ 的估计 下面我们将考虑当 $|x|\geqslant l$ 时(2.7)中第三个方程 $n\geqslant2$ 的情形. 类似地, 在这个方程的两边同乘 $(1+x^4)^{\frac{1}{5}}$ 得

$ \begin{align*} &(\partial_s+\frac{5n-1}{4}+2(n+1_{n\geqslant2})\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-\frac{4}{5}(1+x^4)^{-1}x^3\nu_W)\partial^n_xW(1+x^4)^{\frac{1}{5}} \\ &+\nu_W\partial_x(\partial^n_xW(1+x^4)^{\frac{1}{5}})=F^{(n)}_W(1+x^4)^{\frac{1}{5}}, \end{align*} $

而且, 类似于(3.10), 由 (2.21)和 (3.8)得

$ \begin{align*} -\int^s_{s_*}D_{n,\frac{1}{5}}{\rm d}s' &=-\int^s_{s_*}\frac{5n-5}{4}+(1+x^4)^{-1}+2(n+1_{n\geqslant2})\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s'} \\ & -\frac{4}{5}(1+x^4)^{-1}x^3(2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}W+G_W){\rm d}s' \\ &\leqslant-\frac{1}{2}(s-s_*)+\int^s_{s_*}|(1+x^4)^{-1}+\beta_{\tau}{\rm e}^{-s'}+(2n+4)(1+x^4)^{-\frac{1}{5}}|{\rm d}s' \\ &\leqslant-\frac{1}{2}(s-s_*)+M\varepsilon^{\frac{1}{2}}, \end{align*} $

对于外力项, 由 (2.17)-(2.21) 和下述基本不等式

$\begin{equation*} j^2+(n-j+1)^2\leqslant n^2-1,\quad\quad\quad j\geqslant 2, n\geqslant3, \end{equation*}$

我们得到

$ \begin{align*} |F^{(n)}_W(1+x^4)^{\frac{1}{5}}|&\leqslant |\partial^n_xF_W(1+x^4)^{\frac{1}{5}}|+|\sum\limits_{j=2}^{n-1} {n\choose j}2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial^j_xW\partial^{n-j+1}W(1+x^4)^{\frac{1}{5}}| \\ & +|\sum\limits_{j=1}^n {n\choose j}\partial^j_xG_W\partial^{n-j+1}W(1+x^4)^{\frac{1}{5}}|\\&\leqslant M{\rm e}^{-s}+3M^{n^2-1}. \end{align*} $

联立上述估计并利用特征线方法, 我们得到

$ \begin{align*} & |\partial^n_xW\circ\Phi_W(1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}| \\&=|\partial^n_xW(x_0,s_*)(1+x_0^4)^{\frac{1}{5}}{\rm e}^{-\int^s_{s_*}D_{n,\frac{1}{5}}{\rm d}s'}+\int^s_{s_*}{\rm e}^{-\int^s_{s'}D_{n,\frac{1}{5}}}F^{(n)}_W\circ\Phi_W (1+(\Phi_W)^4)^{\frac{1}{5}}{\rm d}s'| \\ &\leqslant(2M+\varepsilon^{\frac{1}{50}}){\rm e}^{-\frac{1}{2}(s-s_*)+M\varepsilon^{\frac{1}{2}}}+\int^s_{s_*}{\rm e}^{-\frac{1}{2}(s-s')+M\varepsilon^{\frac{1}{2}}}(M{\rm e}^{-s'}+3M^{n^2-1}){\rm d}s' \\ &\leqslant\frac{1}{2}M^{n^2}, \end{align*} $

根据 $\partial_xW(x_0,s*)(1+x_0^4)^{\frac{1}{5}}\leqslant 2M+\varepsilon^{\frac{1}{50}}$, 利用 (1.17), (1.22), (2.24), (4.6) 和 (4.8) 来使第二个不等号成立.

到目前为止, 我们已经封闭了所有除 (2.25) 外的 bootstrap 假设 (2.17)-(2.26), 事实上, 它将在下一节通过牛顿迭代法进行估计.

4 关于 $q^{(2)}(s)$ 和 $q^{(3)}(s)$ 的估计

在本节中, 我们将封闭与 $q^{(2)}(s)$ 和 $q^{(3)}(s)$ 相关的 bootstrap 假设. 它们不同于由调制变量 $\tau(t)$, $\xi(t)$ 和 $\kappa(t)$ 决定的(2.10). 实际上, 关于 $q^{(2)}(s)$ 和 $q^{(3)}(s)$ 的估计取决于初值 (2.21) 中 $\alpha$ 和 $\beta$ 的选择. 事实上, 如果我们把(2.13)和(2.14)重新写作

(4.1)$\begin{equation} (\partial_s-\frac{3}{4})q^{(2)}=\mathcal{F}^{(2)}, (\partial_s-\frac{1}{2})q^{(3)}=\mathcal{F}^{(3)}, \end{equation}$

由估计(2.10), (2.17)-(2.20) 和 (2.25), 我们得到

(4.2)$\begin{matrix} |\mathcal{F}^{(2)}|&=|\partial_x^2 F_W(0, s)+\frac{1}{2}\partial_x^2G_W(0, s)-\mu q^{(3)}-(3-3\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}+2\partial_xG_W(0,s))q^{(2)}| \\ &\leqslant 2M{\rm e}^{-s}, \end{matrix}$

(4.3)$\begin{matrix}|\mathcal{F}^{(3)}|&=|\partial_x^3 F_W(0, s)\!-\!\sum\limits_{j=1}^3{3 \choose j}\partial_x^j G_W(0, s)q^{(4-j)}-(4-4\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})q^{(3)}-6\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(2)}q^{(2)}| \\ &\leqslant 2M{\rm e}^{-s}. \end{matrix}$

解(4.1)得

(4.4)$\begin{matrix} &q^{(2)}(s)={\rm e}^{\frac{3}{4}(s-s_0)}q^{(2)}(s_0)+\int^s_{s_0}{\rm e}^{\frac{3}{4}(s-s')}\mathcal{F}^{(2)}(s'){\rm d}s',\end{matrix}$

(4.5)$\begin{matrix} q^{(3)}(s)={\rm e}^{\frac{1}{2}(s-s_0)}q^{(3)}(s_0)+\int^s_{s_0}{\rm e}^{\frac{1}{2}(s-s')}\mathcal{F}^{(3)}(s'){\rm d}s', \end{matrix}$

上述解依赖于 $q^{(2)}(s_0)$ 和 $q^{(3)}(s_0)$ 的选择. 为了找到合适的初值(1.21), 我们将对 $\alpha$ 和 $\beta$ 利用牛顿迭代法来构造 Banach 空间中的柯西序列. 为了方便起见, 我们不加区分的将 $\alpha$ 和 $\beta$ 记作 $c,c_1,c_2$. 事实上, 由 (1.21)和变换(2.3), 我们有

(4.6)$\begin{equation} W(x,s_0)=\overline{W}(x)\chi(\varepsilon^{\frac{1}{4}}x)+\widehat{W}_0(x)+(\alpha x^2+\beta x^3)\chi(x). \end{equation}$

我们定义首次迭代 $\alpha_0=-\frac{1}{2}\partial^2_x\widehat{W}_0(0)$ 和 $\beta_0=-\frac{1}{6}\partial^3_x\widehat{W}_0(0)$ 使得

$\begin{equation*} \partial^2_x W_{\alpha_0,\beta_0}(0,s_0)=0; \quad\quad \partial^3_x W_{\alpha_0,\beta_0}(0,s_0)=0. \end{equation*}$

现在我们给出所有 $n\geqslant1$ 的迭代格式使得 $\partial^2_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_n)=0$ 和 $\partial^3_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_n)=0$ 成立, 这里我们取 $s_n=s_0+n$. 而且, 如果我们有

(1) 误差项 $\partial^2_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1})$ 和 $\partial^3_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1})$ 是充分小的;

(2) Hessian 矩阵 $\partial_c(\partial^2_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1}),\partial^3_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1}))$ 存在正下界;

(3) $\partial_{c_1c_2}\partial^2_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1})$, $\partial_{c_1c_2}\partial^3_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1})$ 存在上界.

然后我们将通过利用隐函数定理来确定 $(\alpha_{n+1}$, $\beta_{n+1})$, 使其满足 $\partial^2_xW_{\alpha_{n+1},\beta_{n+1}}(0,s_{n+1})=0$ 以及 $\partial^3_xW_{\alpha_{n+1},\beta_{n+1}}(0,s_{n+1})=0$. 从而我们能得到 $(\alpha_{n+1}, \beta_{n+1})$ 的矩形集合. 于是, 我们可以找到一类与 $\alpha$ 和 $\beta$ 相关的初值 (1.21), 使其与 (1.15) 保持一致.

事实上, 在所有 $n\geqslant1$ 的迭代格式中, 我们得到

(4.7)$\begin{matrix} &|\partial^2_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s)|=|\int^s_{s_n}{\rm e}^{\frac{3}{4}(s-s')}\mathcal{F}^{(2)}(s'){\rm d}s'|\leqslant 3M{\rm e}^{-s}; \\ &|\partial^3_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s)|=|\int^s_{s_n}{\rm e}^{\frac{1}{2}(s-s')}\mathcal{F}^{(3)}(s'){\rm d}s'|\leqslant 3M{\rm e}^{-s}, \end{matrix}$

对于所有 $s_0\leqslant s\leqslant s_{n+1}$ 均成立. 因此我们已经证明了第一个条件. 对于其他条件, 我们将在后续完成证明.

首先, 我们给出调制变量以及 $A$, $Z$, $W$ 相对于 $\alpha,\beta$ 的 bootstrap 假设, 然后我们可以逐一封闭这些 bootstrap 假设. 最后, 牛顿迭代方法将有助于我们找到合适的初值.

4.1 关于初值的 bootstrap 假设

首先, 我们给出关于初值的 bootstrap 假设. 事实上, 我们可以找到 $(\alpha, \beta)$ 的矩形集合

(4.8)$\begin{equation} \mathcal{B}_n=\{(\alpha,\beta):|\alpha-\alpha_n|\leqslant \frac{1}{2}M^4\varepsilon^{-\frac{5}{8}}{\rm e}^{-\frac{3}{2}s_n},|\beta-\beta_n|\leqslant M^4\varepsilon^{-\frac{1}{2}}{\rm e}^{-\frac{3}{2}s_n}\}. \end{equation}$

对于调制变量, 我们列出关于它们的 bootstrap 假设如下:

(4.9)$\begin{matrix} &|\partial_c\mu|\leqslant M^9\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{-\frac{1}{12}s}, |\partial_{c_1c_2}\mu|\leqslant M\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^{\frac{5}{4}s};\end{matrix}$

(4.10)$\begin{matrix} &|\partial_c\dot\kappa|\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{2}{3}s}, |\partial_{c_1c_2}\dot\kappa|\leqslant M\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^{2s}, |\partial_c\kappa|\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{2}}, |\partial_{c_1c_2}\kappa|\leqslant6M\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^s;\end{matrix}$

(4.11)$\begin{matrix} &|\partial_c\dot\tau|\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{2}}, |\partial_{c_1c_2}\dot\tau|\leqslant\varepsilon^{\frac{3}{4}} {\rm e}^{\frac{3}{4}s}, |\partial_c\tau|\leqslant\varepsilon, |\partial_{c_1c_2}\tau|\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{2}};\end{matrix}$

(4.12)$\begin{matrix} &|\partial_c\dot\xi|\leqslant M\varepsilon^{\frac{1}{4}}, |\partial_{c_1c_2}\dot\xi|\leqslant M^2\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^s.\label{eq:d12} \end{matrix}$

然后我们给出下面关于 $A$ 和 $Z$ 的 bootstrap 假设, 这里我们取 $n=1,\cdots,7$

(4.13)$\begin{matrix} &\|\partial_cA\|_{\infty}\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{4}}, \|\partial_c\partial^n_xA\|_{\infty}\leqslant M^{2n^2}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}s}, \|\partial_{c_1c_2}\partial^n_xA\|_{\infty}\leqslant M^{2n}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{1}{4}s}.\end{matrix}$

(4.14)$\begin{matrix} &\|\partial_cZ\|_{\infty}\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{4}}, \|\partial_c\partial^n_xZ\|_{\infty}\leqslant M^{2n^2}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}s}, \|\partial_{c_1c_2}\partial^n_xZ\|_{\infty}\leqslant M^{2n}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{1}{4}s};\label{eq:d14} \end{matrix}$

最后, 我们列举出如下关于 $W$ 的 bootstrap 假设:

(4.15)$\begin{matrix} &\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}\leqslant\partial_{\alpha}q^{(2)}(s)\leqslant4\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}, |\partial_{\beta}q^{(2)}(s)|\leqslant2\varepsilon^{\frac{7}{8}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s};\end{matrix}$

(4.16)$\begin{matrix} &3\varepsilon^{\frac{1}{2}}{\rm e}^{\frac{1}{2}s}\leqslant\partial_{\beta}q^{(3)}(s)\leqslant12\varepsilon^{\frac{1}{2}}{\rm e}^{\frac{1}{2}s}, |\partial_{\alpha}q^{(3)}(s)|\leqslant4\varepsilon^{\frac{5}{8}}{\rm e}^{\frac{1}{2}s}, |\partial_cq^{(5)}(s)|\leqslant \varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{1}{4}s} \end{matrix}$

(4.17)$\begin{matrix} &\|\partial_cW\|_{\infty}\leqslant2M^2\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}, \|\partial_c\partial^n_xW(1+x^4)^{\frac{1}{20}}\|_{\infty}\leqslant M^{(n+2)^2}\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}, \end{matrix}$

(4.18)$\begin{matrix} &\|\partial_{c_1c_2}\partial^n_xW\|_{\infty}\leqslant M^{(n+6)^2}\varepsilon^{\frac{3}{2}}{\rm e}^{\frac{3}{2}s} \end{matrix}$

4.2 对调制变量关于初值的估计

在本小节中, 我们将封闭对调制变量关于初值的 bootstrap 假设 (4.9)-(4.12). 在此, 我们主要对方程(2.11)-(2.16) 进行分析.

对(2.15)关于 $c$ 求导, 结合 (2.17)-(2.20), (2.25), (2.26), (4.10), (4.11)}, (4.12)-(4.13), 我们得到

(4.19)$\begin{matrix} |\partial_c\mu q^{(5)}|&=|-\mu \partial_c q^{(5)}-20\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(2)}q^{(3)}-20\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}(\partial_cq^{(2)}q^{(3)}+q^{(2)}\partial_cq^{(3)})+\partial_c\partial_x^4 F_W(0, s) \\ & -\sum\limits_{j=2}^4{4 \choose j}(\partial_c\partial_x^j G_W(0, s)q^{(5-j)}+\partial_x^j G_W(0, s)\partial_cq^{(5-j)})|\label{eq:d19}\\ &\leqslant|\beta_2\beta_{\tau}{\rm e}^{\frac{1}{4}s}\partial_cZ^{(4)}(0,s)|+{\rm e}^{-s}\leqslant |M^8\beta_2\beta_{\tau}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{-\frac{1}{4}s}|+{\rm e}^{-s}\leqslant\frac{1}{2}M^9\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{-\frac{1}{12}s}, \end{matrix}$

此外, 我们通过对(4.19)式的两边再次关于 $c$ 进行求导来得到 $\partial_{c_1c_2}\mu$ 的表达式, 其中 $c_1$ 和 $c_2$ 实际上表示对 $c$ 求二阶导数, 但并不区分求导的顺序, 因此我们统一用上述估计式, (4.13), (4.14) 和 (4.18)来描述 $\partial_{c_1c_2}$, 于是我们有

$ \begin{align*} |\partial_{c_1c_2}\mu q^{(5)}|&=|-2\partial_{c_1}\mu \partial_{c_2} q^{(5)}-\mu\partial_{c_1c_2}q^{(5)}-20\partial_{c_1c_2}\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(2)}q^{(3)}-20\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_{c_1c_2}q^{(2)}q^{(3)}\\ & -40\partial_{c_1}\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}(\partial_{c_2}q^{(2)}q^{(3)}+q^{(2)}\partial_{c_2}q^{(3)}) -40\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_{c_1}q^{(2)}\partial_{c_2}q^{(3)}\\ & -20\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(2)}\partial_{c_1c_2}q^{(3)}+\partial_{c_1c_2}\partial_x^4 F_W(0, s)-\sum\limits_{j=2}^4{4 \choose j}(\partial_{c_1c_2}\partial_x^j G_W(0, s)q^{(5-j)}\\ & +2\partial_{c_1}\partial^j_xG_W(0,s)\partial_{c_2}q^{(5-j)}+\partial_x^j G_W(0, s)\partial_{c_1c_2}q^{(5-j)})|\\ &\leqslant|40\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_{c_1}q^{(2)}\partial_{c_2}q^{(3)}|+{\rm e}^s\leqslant\frac{1}{2}M\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^{\frac{5}{4}s}. \end{align*} $

下面我们考虑方程 (2.11), 并对其关于 $c$ 求一阶导数, 并利用 (2.17)-(2.20), (4.9), (4.10), (4.13) 和(4.14) 估计如下

(4.20)$\begin{matrix} |\beta_{\tau}\partial_c\dot\kappa|&=|\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{3}{4}s-\frac{t}{2}}(\frac{1}{2}\partial_c\mu-2{\rm e}^{-\frac{3}{4}s+\frac{t}{2}}\partial_c\beta_{\tau}\dot\kappa+\partial_cF_W(0,s))|\label{eq:d20}\\ &\leqslant|\frac{1}{4}{\rm e}^{\frac{3}{4}s-\frac{t}{2}}\partial_c\mu|+\varepsilon^{\frac{1}{5}}\leqslant|\frac{1}{4}M^9\varepsilon^{\frac{1}{3}}{\rm e}^{\frac{2}{3}s}|+\varepsilon^{\frac{1}{5}}\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{2}{3}s}, \end{matrix}$

类似地, 在 (4.20) 两边关于 $c$ 求导有

$ \begin{align*} |\beta_{\tau}\partial_{c_1c_2}\dot\kappa|&=|\frac{1}{2}{\rm e}^{\frac{3}{4}s-\frac{t}{2}}(\frac{1}{2}\partial_{c_1c_2}\mu-2{\rm e}^{-\frac{3}{4}s+\frac{t}{2}}\partial_{c_1c_2}\beta_{\tau}\dot\kappa-2{\rm e}^{-\frac{3}{4}s+\frac{t}{2}}\partial_{c_1}\beta_{\tau}\partial_{c_2}\dot\kappa+\partial_{c_1c_2}F_W(0,s)) \\ & -\partial_{c_1}\beta_{\tau}\partial_{c_2}\dot\kappa|\\ &\leqslant|\frac{1}{4}{\rm e}^{\frac{3}{4}s-\frac{t}{2}}\partial_{c_1c_2}\mu|+{\rm e}^{\frac{5}{4}s}\leqslant|\frac{1}{2}M\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^{2s}|+{\rm e}^{\frac{5}{4}s}\leqslant \frac{3}{4}M\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^{2s}. \end{align*} $

对于 $\partial_c\kappa$ 和 $\partial_{c_1c_2}\kappa$, 利用上述估计以及(2.2) 中的第一个关系得

$ \begin{align*} &|\partial_c\kappa|=|\int^t_{t_0}\partial_c\dot\kappa(t'){\rm d}t'|\leqslant\int^s_{s_0}2\beta_{\tau}{\rm e}^{-s'}|\partial_c\dot\kappa(t')|{\rm d}s'\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{4}}\int^s_{s_0}|2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{1}{3}s'}|{\rm d}s'\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon^{\frac{1}{2}}, \\ &|\partial_{c_1c_2}\kappa|=|\int^t_{t_0}\partial_{c_1c_2}\dot\kappa(t'){\rm d}t'|\leqslant\int^s_{s_0}2\beta_{\tau}{\rm e}^{-s'}|\partial_{c_1c_2}\dot\kappa(t')|{\rm d}s'\leqslant2M\beta_{\tau}\varepsilon^{\frac{5}{4}}\int^s_{s_0}{\rm e}^{s'}{\rm d}s'\leqslant 5M\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^s. \end{align*} $

对 (3.1) 关于 $c$ 求导, 由估计 (2.17)-(2.20), (4.9)-(4.11) 和 (4.15) 得

$ \begin{align*} |\frac{1}{2}\beta_{\tau}\partial_c\dot\tau(t) {\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}|&=|\frac{1}{4}\beta_{\tau}\dot\tau(t)\partial_c\tau(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}-\frac{1}{2}\partial_c\beta_{\tau}\dot\tau(t) {\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}+\frac{1}{2}\partial_c\partial_xG_W(0,s)-\frac{1}{2}\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\\ & -\partial_c\mu q^{(2)}-\mu\partial_cq^{(2)}+\partial_c\partial_xF_W(0,s)|\\ &\leqslant |\mu\partial_cq^{(2)}|+{\rm e}^{-\frac{1}{15}s}\leqslant\frac{1}{4}\varepsilon^{\frac{1}{2}}, \end{align*} $

更进一步地, 我们写 $\partial_{c_1c_2}\tau$ 的表达式和估计如下:

$ \begin{align*} & |\frac{1}{2}\beta_{\tau}\partial_{c_1c_2}\dot\tau(t) {\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}|\\&=|-\partial_{c_1}\beta_{\tau}\partial_{c_2}\dot\tau(t) {\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}+\frac{1}{2}\beta_{\tau}\partial_{c_1}\dot\tau(t)\partial_{c_2}\tau(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}-\frac{1}{2}\partial_{c_1c_2}\beta_{\tau}\dot\tau(t) {\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}} \\ & +\frac{1}{2}\partial_{c_1}\beta_{\tau}\dot\tau(t)\partial_{c_2}\tau(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}+\frac{1}{4}\beta_{\tau}\dot\tau(t)\partial_{c_1c_2}\tau(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}+\frac{1}{2}\partial_{c_1c_2}\partial_xG_W(0,s) \\ & -\frac{1}{8}\beta_{\tau}\dot\tau(t)\partial_{c_1}\tau(t)\partial_{c_2}\tau(t){\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}}-\frac{1}{2}\partial_{c_1c_2}\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-\partial_{c_1c_2}\mu q^{(2)}-2\partial_{c_1}\mu \partial_{c_2}q^{(2)} \\ & -\mu\partial_{c_1c_2}q^{(2)}+\partial_{c_1c_2}\partial_xF_W(0,s)| \\ &\leqslant |\mu\partial_{c_1c_2}q^{(2)}|+{\rm e}^{\frac{2}{3}s} \leqslant\frac{1}{2}\varepsilon^{\frac{3}{4}} {\rm e}^{\frac{3}{4}s}. \end{align*} $

对于 $\partial_c\tau$ 和 $\partial_{c_1c_2}\tau$, 在 $[t_0,t]$ 上积分得

$ \begin{align*} &|\partial_c\tau|=|\int^t_{t_0}\partial_c\dot\tau(t'){\rm d}t'|\leqslant\int^s_{s_0}2\beta_{\tau}{\rm e}^{-s'}|\partial_c\dot\tau(t')|{\rm d}s'\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{2}}\int^s_{s_0}|2\beta_{\tau}{\rm e}^{-s'}|{\rm d}s'\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon,\\ &|\partial_{c_1c_2}\tau|=|\int^t_{t_0}\partial_{c_1c_2}\dot\tau(t'){\rm d}t'|\leqslant\int^s_{s_0}2\beta_{\tau}{\rm e}^{-s'}|\partial_{c_1c_2}\dot\tau(t')|{\rm d}s'\leqslant\varepsilon^{\frac{3}{4}}\int^s_{s_0}|2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{1}{4}s'}|{\rm d}s'\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon^{\frac{1}{2}}. \end{align*} $

最后, 我们通过对表达式 $\mu = G_W(0,s)$ 关于 $c$ 求一阶导来估计 $\partial_c\dot\xi$. 由(2.17), (2.18), (2.20), (4.9), (4.10) 和 (4.14)} 知

$\begin{equation*} |\partial_c\dot\xi|=|\beta_2\partial_cZ(0,s)+\partial_c\kappa-\frac{1}{2}\beta_{\tau}^{-1}{\rm e}^{-\frac{s}{4}}\partial_c\mu+\frac{1}{2}\beta_{\tau}^{-2}\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{s}{4}}\mu| \leqslant\frac{1}{2}M\varepsilon^{\frac{1}{4}}, \end{equation*}$

类似地, 我们得到 $\partial_{c_1c_2}\dot\xi$ 的表达式和估计如下:

$ \begin{align*} |\partial_{c_1c_2}\dot\xi|&=|\beta_2\partial_{c_1c_2}Z(0,s)+\partial_{c_1c_2}\kappa+\beta_{\tau}^{-2}\partial_{c_1}\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{s}{4}}\partial_{c_2}\mu-\frac{1}{2}\beta_{\tau}^{-1}{\rm e}^{-\frac{s}{4}}\partial_{c_1c_2}\mu \\ & -\beta_{\tau}^{-3}\partial_{c_1}\beta_{\tau}\partial_{c_2}\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{s}{4}}\mu+\frac{1}{2}\beta_{\tau}^{-2}\partial_{c_1c_2}\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{s}{4}}\mu|\\ &\leqslant |\partial_{c_1c_2}\kappa|+|\frac{1}{2}\beta_{\tau}^{-1}{\rm e}^{-\frac{s}{4}}\partial_{c_1c_2}\mu|+|{\rm e}^{\frac{3}{4}s}|\leqslant\frac{3}{4}M^2\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^s. \end{align*} $

因此, 我们封闭了 bootstrap 假设 (4.9)-(4.12).

4.3 对 $\partial^n_xA$ 和 $\partial^n_xZ$ 关于初值的估计

在这一小节中, 我们将封闭 (4.13) 和 (4.14) 的 bootstrap 假设.

关于 $\partial_cA$ 的估计 对于 $\partial_cA$, 在 (2.4) 的第一个方程两边关于 $c$ 求一阶导数得

$\begin{equation*} \partial_s\partial_cA+\nu_A\partial_x\partial_cA=\partial_cF_A-\partial_c(2\beta_{\tau}\beta_1{\rm e}^{-\frac{t}{2}}W+2\beta_{\tau}{\rm e}^{\frac{s}{4}}(\beta_1Z+\beta_1\kappa-\dot\xi(t)))\partial_xA, \end{equation*}$

沿特征线并联立 (2.17)-(2.20), (3.7), (4.10), (4.11), (4.13), (4.14), (4.17) 得

$\begin{equation*} \|\partial_cA\circ\Phi_A\|_{\infty}\leqslant\int^s_{s_0}{\rm e}^{-\frac{s'}{3}}{\rm d}s'\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon^{\frac{1}{4}}. \end{equation*}$

关于 $\partial_c\partial^n_xA$ 的估计 在(2.7) 中第一个方程两边关于 $c$ 求一阶导数有

(4.21)$\begin{equation} (\partial_s+\frac{5n}{4}+2n\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W)\partial_c\partial^n_x A+\nu_A\partial_c\partial^{n+1}_x A=F^c_{A,n}, \end{equation}$

这里我们定义

$\begin{equation*} F^c_{A,n}=\partial_cF^{(n)}_A-\partial_c(2n\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W)\partial^n_x A-\partial_c\nu_A\partial^{n+1}_x A. \end{equation*}$

我们再次利用估计式 (2.17)--(2.20), (2.22), (4.10), (4.11), (4.13), (4.14), (4.17), 得出以下更精确的 bootstrap 界限:

(4.22)$\begin{matrix} |F^c_{A,n}|&\leqslant|2_{n\geqslant2}\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\sum\limits_{j=2}^n{n \choose j}\partial^j_xW\partial_c\partial^{n-j+1}_xA|+\varepsilon^{\frac{1}{2}}{\rm e}^{-\frac{s}{2}} \\ &\leqslant 3\sum\limits_{j=2}^n{n \choose j}M^{j^2}M^{2(n-j+1)^2}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{-\frac{s}{2}}+\varepsilon^{\frac{1}{2}}{\rm e}^{-\frac{s}{2}} \\ &\leqslant 6nM^{2n^2-1}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{-\frac{s}{2}}, \end{matrix}$

对于最后一个不等号, 我们利用了如下基本不等式

$\begin{equation*} j^2+2(n-j+1)^2\leqslant 2n^2-1, \quad\quad n\geqslant2, 2\leqslant j\leqslant n. \end{equation*}$

沿特征线我们有

$ \begin{align*} |\partial^n_xA_c\circ\Phi_A|&\leqslant\int^s_{s_0}{\rm e}^{-\int^s_{s'}\frac{5n}{4}+2n\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W\circ\Phi_A{\rm d}s''}|F^c_{A,n}\circ\Phi_A|{\rm d}s'\\ &\leqslant 8n^2{\rm e}^{-\frac{5}{4}s}\int^s_{s_0}M^{2n^2-1}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s'}{\rm d}s'\\ &\leqslant \frac{1}{2}M^{2n^2}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{-\frac{1}{2}s}, \end{align*} $

对任意 $s\geqslant s_0$ 均成立. 这里类似于 (3.5), 我们利用引理 3.1 和引理 3.2 的结论进行推导.

关于 $\partial_{c_1c_2}\partial^n_xA$ 的估计 在(4.21) 中关于 $c$ 再求一次导数得

$\begin{equation*} (\partial_s+\frac{5n}{4}+2n\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W)\partial_{c_1c_2}\partial^n_x A+\nu_A\partial_{c_1c_2}\partial^{n+1}_x A=F^{c_1,c_2}_{A,n}, \end{equation*}$

这里我们记

$ \begin{align*} F^{c_1,c_2}_{A,n}&:=\partial_{c_1c_2}F^{(n)}_A-2\partial_{c_1}(2n\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW)\partial_{c_2}\partial^n_xA-2\partial_{c_1}\nu_A\partial_{c_2}\partial^{n+1}_xA \\ & -\partial_{c_1c_2}(2n\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W)\partial^n_x A-\partial_{c_1c_2}\nu_A\partial^{n+1}_x A. \end{align*} $

类似于 (4.22)} 的估计, 联立 (4.18), 我们有估计 $|F^{c_1,c_2}_{A,n}|\leqslant 2n^2M^{2n^2-1}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{1}{4}s}$, 于是我们得到

$ \begin{align*} |\partial^n_xA_{c_1c_2}\circ\Phi_A|&\leqslant\int^s_{s_0}{\rm e}^{-\int^s_{s'}\frac{5n}{4}+2n\beta_1\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_x W {\rm d}s''}|F^{c_1c_2}_{A,n}\circ\Phi_A|{\rm d}s' \\ &\leqslant 2n^2{\rm e}^{-\frac{5}{4}s}\int^s_{s_0}M^{2n^2-1}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{2}s'}{\rm d}s' \\ &\leqslant \frac{1}{2}M^{2n^2}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{1}{4}s}. \end{align*} $

以上我们重点讨论了 $\partial_cA$, $\partial_c\partial^n_xA$ 和 $\partial_{c_1c_2}\partial^n_xA$ 的估计. 对于 $\partial_cZ$, $\partial_c\partial^n_xZ$ 和 $\partial_{c_1c_2}\partial^n_xZ$ 的估计细节同理可得, 在此省略. 因此, 我们已经完成 bootstrap 假设 (4.13) 和 (4.14) 的估计.

4.4 对 $\partial^n_xW$ 关于初值的估计

在本小节中, 我们将封闭对 $\partial^n_xW$ 关于初值的 bootstrap 假设. 首先, 我们封闭对 $q^{(2)}(s)$ 和 $q^{(3)}(s)$ 的估计. 事实上, 由 (4.6) 知 $q^{(2)}(s_0)=2(\alpha-\alpha_0)$ 以及 $q^{(3)}(s_0)=6(\beta-\beta_0)$, 因此在 (4.4) 和 (4.5) 的两边分别关于 $\alpha$ 和 $\beta$ 求导得

$ \begin{align*} \partial_{\alpha}q^{(2)}(s)=2{\rm e}^{\frac{3}{4}(s-s_0)}+\int^s_{s_0}{\rm e}^{\frac{3}{4}(s-s')}\partial_{\alpha}\mathcal{F}^{(2)}{\rm d}s', \partial_{\beta}q^{(2)}(s)=\int^s_{s_0}{\rm e}^{\frac{3}{4}(s-s')}\partial_{\beta}\mathcal{F}^{(2)}{\rm d}s'; \\ \partial_{\beta}q^{(3)}(s)=6{\rm e}^{\frac{1}{2}(s-s_0)}+\int^s_{s_0}{\rm e}^{\frac{1}{2}(s-s')}\partial_{\beta}\mathcal{F}^{(3)}{\rm d}s', \partial_{\alpha}q^{(3)}(s)=\int^s_{s_0}{\rm e}^{\frac{1}{2}(s-s')}\partial_{\alpha}\mathcal{F}^{(3)}{\rm d}s'; \end{align*} $

这里 $\partial_c\mathcal{F}^{(2)}$, $\partial_c\mathcal{F}^{(3)}$ 的表达式和估计分别是通过在 (4.2), (4.3) 两边关于 $c$ 求一阶导数并利用 (2.17)--(2.20), (2.25), (4.9)--(4.11), (4.15)和 (4.16) 得到的, 即

$ \begin{align*} |\partial_c\mathcal{F}^{(2)}(s)|&=|\partial_c\partial_x^2 F_W(0, s)+\frac{1}{2}\partial_c\partial_x^2G_W(0, s)-\partial_c\mu q^{(3)}-\mu \partial_cq^{(3)}+\partial_c\beta_{\tau}(3{\rm e}^{-\frac{t}{2}}+{\rm e}^{-s})q^{(2)} \\ & -2\partial_c\partial_xG_W(0,s)q^{(2)}-(3-3\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}+2\partial_xG_W(0,s))\partial_cq^{(2)}| \\ &\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{8}},\\ |\partial_c\mathcal{F}^{(3)}(s)|&=|\partial_c\partial_x^3 F_W(0, s)-\sum\limits_{j=1}^3{3 \choose j}(\partial_c\partial_x^j G_W(0, s)q^{(4-j)}+\partial_x^j G_W(0, s)\partial_cq^{(4-j)}) \\ & -(4-4\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})\partial_cq^{(3)} +\partial_c\beta_{\tau}(4{\rm e}^{-\frac{t}{2}}+{\rm e}^{-s})q^{(3)} \\ & -12\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(2)}\partial_cq^{(2)}-6\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(2)}q^{(2)}| \\ &\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{8}}, \end{align*} $

于是我们有

$ \begin{align*} &|\partial_{\alpha}q^{(2)}-2\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}|\leqslant\frac{4}{3}\varepsilon^{\frac{7}{8}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}, |\partial_{\beta}q^{(2)}|\leqslant\frac{4}{3}\varepsilon^{\frac{7}{8}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s};\\ &|\partial_{\beta}q^{(3)}-6\varepsilon^{\frac{1}{2}}{\rm e}^{\frac{1}{2}s}|\leqslant2\varepsilon^{\frac{5}{8}}{\rm e}^{\frac{1}{2}s}, |\partial_{\alpha}q^{(3)}|\leqslant2\varepsilon^{\frac{5}{8}}{\rm e}^{\frac{1}{2}s}; \end{align*} $

对任意的 $(\alpha$, $\beta)\in \mathcal{B}_n$, $s\geqslant s_0$ 均成立.

于是, Hessian 矩阵 $\partial_c(\partial^2_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1}),\partial^3_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1}))$ 的行列式满足

(4.23)$\begin{equation} \det|\partial_c(\partial^2_x W_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1}),\partial^3_x W_{\alpha_n,\beta_n}(0,s_{n+1}))|\geqslant 12(\varepsilon^{\frac{5}{4}}-\varepsilon^{\frac{11}{8}}){\rm e}^{\frac{5}{4}s}. \end{equation}$

事实上, 在迭代格式中, 我们期望得到 $\partial^2_xW_{\alpha_{n+1},\beta_{n+1}}(0,s_{n+1})=0$ 和 $\partial^3_xW_{\alpha_{n+1},\beta_{n+1}}(0,s_{n+1})=0$, 因此联立 (4.7), (4.23) 和 Taylor 展开式, 我们封闭 bootstrap 假设 (4.8) 如下:

$ \begin{align*} &|\alpha_{n+1}-\alpha_n|\leqslant\Big|\frac{\partial_{\beta}\partial^2_xW\partial^3_xW-\partial_{\beta}\partial^3_xW\partial^2_xW}{\partial_{\beta}\partial^3_xW\partial_{\alpha}\partial^2_xW-\partial_{\beta}\partial^2_xW\partial_{\alpha}\partial^3_xW}\Big|_{(0,s_n)}\leqslant\frac{1}{9}M^4\varepsilon^{-\frac{5}{8}}{\rm e}^{-\frac{3}{2}s_n},\\ &|\beta_{n+1}-\beta_n|\leqslant\Big|\frac{\partial_{\alpha}\partial^2_xW\partial^3_xW-\partial_{\alpha}\partial^3_xW\partial^2_xW}{\partial_{\alpha}\partial^3_xW\partial_{\beta}\partial^2_xW-\partial_{\alpha}\partial^2_xW\partial_{\beta}\partial^3_xW}\Big|_{(0,s_n)}\leqslant\frac{1}{3}M^4\varepsilon^{-\frac{1}{2}}{\rm e}^{-\frac{3}{2}s_n}. \end{align*} $

而且, 对任意的 $(\alpha,\beta)\in\mathcal{B}_n$, 我们有

(4.24)$\begin{matrix} |\partial^2_xW_{\alpha,\beta}(0,s)|&\leqslant|\partial^2_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s)|+|\alpha-\alpha_n|\sup_{\alpha\in\mathcal{B}_n}|\partial_{\alpha}\partial^2_xW(0,s)|+|\beta-\beta_n|\sup_{\beta\in\mathcal{B}_n}|\partial_{\beta}\partial^2_xW(0,s)| \\ &\leqslant 3M{\rm e}^{-s}+\frac{1}{2}M^4\varepsilon^{-\frac{5}{8}}{\rm e}^{-\frac{3}{2}s}\times4\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}+M^4\varepsilon^{-\frac{1}{2}}{\rm e}^{-\frac{3}{2}s}\times2\varepsilon^{\frac{7}{8}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s} \\ &\leqslant5M^4\varepsilon^{\frac{1}{8}}{\rm e}^{-\frac{3}{4}s}; \\ |\partial^3_xW_{\alpha,\beta}(0,s)|&\leqslant|\partial^3_xW_{\alpha_n,\beta_n}(0,s)|+|\alpha-\alpha_n|\sup_{\alpha\in\mathcal{B}_n}|\partial_{\alpha}\partial^3_xW(0,s)|+|\beta-\beta_n|\sup_{\beta\in\mathcal{B}_n}|\partial_{\beta}\partial^3_xW(0,s)| \\ &\leqslant 3M{\rm e}^{-s}+\frac{1}{2}M^4\varepsilon^{-\frac{5}{8}}{\rm e}^{-\frac{3}{2}s}\times4\varepsilon^{\frac{5}{8}}{\rm e}^{\frac{1}{2}s}+M^4\varepsilon^{-\frac{1}{2}}{\rm e}^{-\frac{3}{2}s}\times12\varepsilon^{\frac{1}{2}}{\rm e}^{\frac{1}{2}s} \\ &\leqslant\frac{1}{2}M^5{\rm e}^{-s}. \end{matrix}$

此外, 我们可以得到 $\partial_cq^{(5)}(s)$ 的估计. 回顾 (3.6), 在 $[s_0,s]$ 上积分并关于 $c$ 求导有

(4.25)$\begin{equation} \partial_cq^{(5)}(s)=\partial_cq^{(5)}(s_0)+\int^s_{s_0}\partial_c\mathcal{F}^{(5)}{\rm d}s', \end{equation}$

事实上, 我们已知 $\partial_cq^{(5)}(s_0)=0$, 利用 bootstrap 假设 (2.17)--(2.20), (2.22), (2.25), (2.26), (4.9)--(4.11), (4.13)--(4.17) 得

$ \begin{align*} |\partial_c\mathcal{F}^{(5)}|&=|6\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(5)}\!-\!6(1-\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}})\partial_cq^{(5)}\!+\!\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}q^{(5)}\!+\!\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\partial_cq^{(5)}-\partial_c\mu q^{(6)}\!-\!\mu\partial_cq^{(6)}\\ & +\partial_c\partial_x^5F_W(0, s)\!-\!20\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}(q^{(3)})^2\!-\!40\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(3)}\partial_cq^{(3)}\\ & -\sum\limits_{j=1}^5{5\choose j} (\partial_c\partial_x^jG_W(0, s)q^{(6-j)}+\partial_x^jG_W(0, s)\partial_cq^{(6-j)})|\\ &\leqslant|6\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}q^{(5)}-\mu\partial_cq^{(6)}|+{\rm e}^{-\frac{1}{4}s}\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{3}}, \end{align*} $

解 (4.25) 得

$\begin{equation*} |\partial_cq^{(5)}(s)|\leqslant\frac{1}{2}\varepsilon^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{1}{4}s}. \end{equation*}$

关于 $\partial_cW$ 的估计 下面我们将封闭在 (4.17) 中关于 $\partial_cW$ 的 bootstrap 假设, 事实上, 对 (2.7) 中第三个方程关于 $c$ 求一阶导数得

$ \begin{align*} &(\partial_s-\frac{1}{4}+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})\partial_cW+\nu_W\partial_c\partial_xW\\=&\partial_cF_W-2\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{3}{4}s+\frac{t}{2}}\dot\kappa-2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{3}{4}s+\frac{t}{2}}\dot\kappa_c-(2\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}W+\partial_cG_W)\partial_xW+\partial_c\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}W:=F^c_{W,0}, \end{align*} $

我们定义

$\begin{equation*} D^c_0=-\frac{1}{4}+2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}, \end{equation*}$

因此, 对于 $|x|\geqslant l$, 由 (2.21) 和引理 3.1, 我们有估计 $-\int^{s}_{s_*}D^c_0\circ\Phi_W {\rm d}s' \leqslant \frac{1}{4}(s-s_*)+\frac{1}{10}\log M$.

由 bootstrap 假设 (2.17)--(2.21), (2.27), (4.9)--(4.11), (4.13), (4.14), (4.17) 和如下估计

$\begin{equation*} |\partial_cG_W(1+x^4)^{-\frac{1}{5}}|=\partial_c\mu+|x\partial_c\partial_xG_W|(1+x^4)^{-\frac{1}{5}}|\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{2}}, \end{equation*}$

我们有 $|F^c_{W,0}|\leqslant\varepsilon^{\frac{1}{8}}$. 因此, 由特征线方法得

$ \begin{align*} |\partial_cW\circ\Phi_W| &=|{\rm e}^{-\int^s_{s_*}D^c_0\circ\Phi_W{\rm d}s'}\partial_cW\circ\Phi_W(s_*)+\int^s_{s_*}{\rm e}^{-\int^s_{s'}D^c_0\circ\Phi_W{\rm d}s''}F^c_{W,0}\circ\Phi_W{\rm d}s'|\\ &\leqslant M{\rm e}^{\frac{1}{4}(s-s_*)}\partial_cW\circ\Phi_W(s_*)+M\int^s_{s_*}{\rm e}^{\frac{1}{4}(s-s')}\varepsilon^{\frac{1}{8}}{\rm d}s'\leqslant M^2\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}, \end{align*} $

如果我们建立 $|x|\leqslant l$ 时 $\partial_cW\circ\Phi_W(s_*)$ 的估计, 那么最后一个不等号即成立. 事实上, 已知 $\partial_cq(s)=\partial_cq^{(1)}(s)=0$, 利用 Taylor 展开式得

(4.26)$\begin{matrix} |\partial_cW|&\leqslant|\partial_cW(0,s)|+\frac{l^2}{2}\sup_{|x|\leqslant l}|\partial_c\partial^2_xW| \\ &\leqslant \frac{l^2}{2}\sup_{|x|\leqslant l}|\partial_c\partial^2_xW(0,s)+l\sup_{|x|\leqslant l}|\partial_c\partial^3_xW||\leqslant \frac{l^2}{2}(4{\rm e}^{\frac{3}{4}(s-s_0)}+12l{\rm e}^{\frac{1}{2}(s-s_0)}). \end{matrix}$

关于 $\partial_c\partial^n_xW$ 的估计 当 $|x|\leqslant l$ 时, 我们利用 $\partial_c\partial^n_xW$ 的 Taylor 展开式. 类似于 (4.26), 我们有如下更精确的估计:

(4.27)$\begin{equation} |\partial_c\partial^n_x W|\leqslant l^{\frac{1}{2}}\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}, \end{equation}$

这里 $1\leqslant n \leqslant 6$. 现在我们考虑 $n=7$ 的情况

$ \begin{align*} & (\partial_s+\frac{34}{4}+16\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})\partial_c\partial^7_xW+\nu_W\partial_c\partial^8_xW\\ &=\partial_c\partial^7_xF_W-\sum\limits^6_{j=2}{7 \choose j}\partial_c(2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial^j_xW\partial^{8-j}_xW-\sum\limits^7_{j=1}{7 \choose j}\partial_c(\partial^j_xG_W\partial^{8-j}_xW)\\ & -\partial_c(2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}W+G_W)\partial^8_xW-\partial_c(16\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})\partial^7_xW:=F^c_{W,7}, \end{align*} $

由 (2.10), 我们得到 $D^c_7=\frac{34}{4}+16\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\geqslant\frac{1}{6}$.

对于外力项 $F^c_{W,7}$, 由 (2.23) 和 (4.27) 知

$\begin{equation*} |F^c_{W,7}|\leqslant M+\sum\limits^6_{j=0}{7 \choose j}3|\partial_c(\partial^j_xW\partial^{8-j}_xW)|\leqslant Ml^{\frac{1}{4}}\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}, \end{equation*}$

因此我们有

$ \begin{align*} |\partial_cW^{(7)}\circ\Phi_W| & \leqslant {\rm e}^{-\frac{1}{6}(s-s_0)}\partial_c\partial^7_xW(s_0,x_0)+\int^s_{s_0}{\rm e}^{-\frac{1}{6}(s-s')}|F^c_{W,7}|{\rm d}s' \\ & \leqslant 3{\rm e}^{-\frac{1}{6}(s-s_0)}+3Ml^{\frac{1}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}(s-s_0)} \leqslant \frac{M}{2}\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}. \end{align*} $

当 $|x|\geqslant l$ 时, 在 (2.7) 中第三个方程两边关于 $c$ 求一阶导数并且同乘 $(1+x^4)^{\frac{1}{20}}$ 得

$ \begin{align*} &(\partial_s+\frac{5n-1}{4}+2(n+1_{n\geqslant2})\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}-\frac{1}{5}x^3(1+x^4)^{-1}\nu_W)\partial_c\partial^n_xW(1+x^4)^{\frac{1}{20}} \\ &+\nu_W\partial_x(\partial_c\partial^n_xW(1+x^4)^{\frac{1}{20}})=(\partial_cF^{(n)}_W-\partial_c(2(n+1_{n\geqslant2})\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})\partial^n_xW\\ &-\partial_c(2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}W+G_W)\partial^{n+1}_xW)(1+x^4)^{\frac{1}{20}}:=F^c_{W,n}(1+x^4)^{\frac{1}{20}}, \end{align*} $

首先, 我们记

$ \begin{align*} & -\int^s_{s_*}D^c_{n,\frac{1}{20}}{\rm d}s' \\&=-\int^s_{s_*}\frac{5n-2}{4}+\frac{1}{4}(1+x^4)^{-1}+2(n+1_{n\geqslant2})\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s'}\\ & -\frac{1}{5}x^3(1+x^4)^{-1}(2\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}W+G_W){\rm d}s'\\ &\leqslant-\frac{1}{2}(s-s_*)+\int^s_{s_*}|\frac{1}{4}(1+x^4)^{-1}+\beta_{\tau}{\rm e}^{-s'}+(2n+4)l\log M(1+x^4)^{-\frac{1}{5}}|{\rm d}s'\\ &\leqslant -\frac{1}{2}(s-s_*)+\frac{1}{5}\log M, \end{align*} $

由 (2.22), (4.17) 和基本不等式

$\begin{equation*} (n-j+1)^2+(j+2)^2\leqslant (n+2)^2-1,\quad\quad n\geqslant2, \end{equation*}$

我们有下列外力项的估计

$ \begin{align*} |F^c_{W,n}(1+x^4)^{\frac{1}{20}}|&\leqslant {\rm e}^{\frac{s}{2}}+\sum\limits^{n-1}_{j=1}{n \choose j}|\partial_cW^{(j)}W^{(n-j+1)}(1+x^4)^{\frac{1}{20}}|\\ &\leqslant 5\sum\limits^{n-1}_{j=1}{n \choose j}M^{(n-j+1)^2}M^{(j+2)^2}\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}\leqslant 40M^{-1}M^{(n+2)^2}\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}, \end{align*} $

于是我们得到

$ \begin{align*} |\partial_c\partial^n_xW(1+x^4)^{\frac{1}{20}}|&\leqslant|\partial_c\partial^n_xW(x_0,s_*)|{\rm e}^{-\int^s_{s_*}D^c_{n,\frac{1}{20}}{\rm d}s'}+\int^s_{s_*}{\rm e}^{-\int^s_{s'}D^c_{n,\frac{1}{20}}{\rm d}s''}|F^c_{W,n}(1+x^4)^{\frac{1}{20}}|{\rm d}s'\\ &\leqslant M^{\frac{1}{2}}|\partial_c\partial^n_xW(\cdot,s_0)+M\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s_*}|+M^{\frac{1}{2}}\int^s_{s_*}M^{-1}M^{(n+2)^2}\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s'}{\rm d}s'\\ &\leqslant\frac{1}{2}M^{(n+2)^2}\varepsilon^{\frac{3}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}. \end{align*} $

关于 $\partial_{c_1c_2}\partial^n_xW$ 的估计 最后, 在 (2.7) 的第三个方程两边关于 $c$ 求两阶导数得

$ \begin{align*} & (\partial_s+\frac{5n-1}{4}+2(n+1_{n\geqslant2})\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})\partial_{c_1c_2}\partial^n_xW+\nu_W\partial_{c_1c_2}\partial^{n+1}_xW\\ &=\partial_{c_1c_2}F^{(n)}_W-2\partial_{c_1}(2(n+1_{n\geqslant2})\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})\partial_{c_2}\partial^n_xW-2\partial_{c_1}\nu_W\partial_{c_2}\partial^{n+1}_xW\\ & -\partial_{c_1c_2}(2(n+1_{n\geqslant2})\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s})\partial^n_xW-\partial_{c_1c_2}\nu_W\partial^{n+1}_xW:=F^{c_1,c_2}_{W,n}, \end{align*} $

首先, 我们有

$\begin{equation*} D^c_n=\frac{5n-1}{4}+2(n+1_{n\geqslant2})\beta_{\tau}{\rm e}^{-\frac{t}{2}}\partial_xW-\beta_{\tau}{\rm e}^{-s}\geqslant-\frac{3}{2}. \end{equation*}$

由 (2.22), (4.17) 和 (4.18), 我们得到如下外力项的估计:

$ \begin{align*} |F^{c_1,c_2}_{W,n}|&\leqslant M\varepsilon^{\frac{5}{4}}{\rm e}^{\frac{3}{4}s}+2\sum\limits^n_{j=1}{n \choose j}|\partial_{c_1}\partial^j_xW\partial_{c_2}\partial^{n-j+1}_xW|+2\sum\limits^n_{j=1}{n \choose j}|\partial^{j+1}_xW\partial_{c_1c_2}\partial^{n-j}_xW|\\ &\leqslant 4M^{(n+6)^2-1}\varepsilon^{\frac{3}{2}}{\rm e}^{\frac{3}{2}s}, \end{align*} $

这里我们应用基本不等式

$\begin{equation*} (j+2)^2+(n-j+3)^2\leqslant (n+6)^2-1,\quad\quad\quad(j+1)^2+(n-j+6)^2\leqslant (n+6)^2-1, \end{equation*}$

其中 $1\leqslant j\leqslant n, n\geqslant1$. 由初值 $W_{c_1c_2}(x, s_0)=0$, 我们有

$ \begin{align*} |\partial^{n}_xW_{c_1c_2}\circ\Phi_W|&\leqslant\int^s_{s_0}{\rm e}^{-\int^s_{s'}D^c_n\circ\Phi_W{\rm d}s''}|F^{c_1,c_2}_{W,n}\circ\Phi_W|{\rm d}s' \leqslant\int^s_{s_0}{\rm e}^{\frac{3}{2}(s-s')}M^{(n+6)^2-1}\varepsilon^{\frac{3}{2}}{\rm e}^{\frac{3}{2}s'}{\rm d}s'\\ &\leqslant \frac{1}{2}M^{(n+6)^2}\varepsilon^{\frac{3}{2}}{\rm e}^{\frac{3}{2}s}. \end{align*} $

总的来说, 我们封闭了所有的 bootstrap 假设 (4.9)--(4.18).

5 主定理的证明

在本节中, 我们将利用第 2-4节中的上述估计来完成主定理的证明. 我们已在第 4 节中完成了牛顿迭代法的构造, 下面我们将给出初值的存在唯一性证明:

引理 5.1 在假设 (4.7) 和 (4.8) 下, 存在唯一的 $(\alpha_{\infty}, \beta_{\infty})$ 使得 (4.6) 中的初值 $W(x,s_0)$ 与 (1.15) 保持一致.

证取 $(\alpha_{n+1}, \beta_{n+1})\in \mathcal{B}_n$, 则我们在 $C[s_n,s_{n+1}]$ 中得到一个柯西序列. 由 (4.24) 知

$\begin{equation*} \partial^2_xW_{\alpha_{n+1},\beta_{n+1}}(0,s_{n+1})\leqslant 5M^4\varepsilon^{\frac{1}{8}}{\rm e}^{-\frac{3}{4}s_{n+1}}, \qquad\partial^3_xW_{\alpha_{n+1},\beta_{n+1}}(0,s_{n+1})\leqslant \frac{1}{2}M^5{\rm e}^{-s_{n+1}}. \end{equation*}$

令 $n\longrightarrow\infty$, 则存在唯一的 $(\alpha_{\infty}, \beta_{\infty})$ 使得 $\partial^2_xW_{\alpha_\infty,\beta_\infty}(0,s_\infty)\longrightarrow0$, 且 $\partial^3_xW_{\alpha_\infty,\beta_\infty}(0,s_\infty)\longrightarrow0$.

根据上述讨论, 我们已知方程组 (1.20), (2.4) 和 (4.6) 的柯西问题存在唯一的全局解. 利用 (2.1) 和 (2.3) 中的变换, 我们由此确定柯西问题 (1.6), (1.20) 和 (1.21)的解将在某一有限时刻爆破. 此外, 具体细节在主要定理中有所描述. 现在, 我们给出具体证明:

定理 1.1 的证明. 首先, 由变换 (2.2), (2.3) 和估计 (2.19)--(2.21), (2.27), 我们得到

$ \begin{align*} & \sup_{t\in[-2\ln(1+\varepsilon),T^*]}(\|a\|_{W^{1,\infty}(\mathbb{T})} +\|z\|_{W^{1,\infty}(\mathbb{T})}+\|w\|_{L^{\infty}(\mathbb{T})})\\ &\leqslant\sup_t\sup_{\theta}(|a|+|\partial_{\theta}a|+|z|+|\partial_{\theta}z|+|w|)\\ &\leqslant\sup_t\sup_x(|A|+|{\rm e}^{-\frac{5}{4}s}\partial_xA|+|Z|+|{\rm e}^{-\frac{5}{4}s}\partial_xZ|+|{\rm e}^{-\frac{s}{4}-\frac{t}{2}}W+\kappa|)\\ &\leqslant M\varepsilon+M+\varepsilon^{\frac{3}{4}}+M+2\kappa_0\leqslant 5M. \end{align*} $

更进一步地, 我们有

$\begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow T^*}\partial_{\theta}w(\theta^*(t),t)=\lim\limits_{s\rightarrow \infty}{\rm e}^{s-\frac{t}{2}}\partial_xW(0,s)=\lim\limits_{t\rightarrow T^*}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-{\rm e}^{-\frac{\tau(t)-t}{2}}}=-\infty, \end{equation*}$

由第二个等式, 我们得到爆破衰减率并且 $w\notin L^{\infty}([-2\ln(1+\varepsilon),T^*];C^1(\mathbb{T}))$, 下面我们将证明 $w$ 的具体正则性.

由 (2.21), 我们有 $W\in L^\infty([-2\ln\varepsilon,\infty);C^{1/5}(\mathbb{R}))$, 则 $w$ 的 Hölder 界可由 $W$ 的正则性得出, 即

$\begin{equation*} w\in L^\infty([-2\ln(1+\varepsilon),T^*);C^{1/5}(\mathbb{T})). \end{equation*}$

事实上, 取两个不同的点 $\theta\neq\theta'\in\mathbb{T}$, 则有

$\begin{equation*} \dfrac{\theta-\xi(t)}{({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-{\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}})^{\frac{5}{4}}}=x \neq x'=\dfrac{\theta'-\xi(t)}{({\rm e}^{-\frac{t}{2}}-{\rm e}^{-\frac{\tau(t)}{2}})^{\frac{5}{4}}}. \end{equation*}$

由 $w$ 和 $W$ 的关系 (2.3), (2.21) 中 $\partial_xW$ 的估计, 并且利用 ${\rm e}^{-\frac{t}{2}}\leqslant2$, 我们有

$ \begin{align*} & \sup_{\theta>\theta'}\dfrac{|w(\theta,t)-w(\theta',t)|}{|\theta-\theta'|^{\frac{1}{5}}} \\&=\sup_{x>x'}\dfrac{{\rm e}^{-\frac{s}{4}-\frac{t}{2}}|W(x,s)-W(x',s)|}{|{\rm e}^{-\frac{5}{4}s}x-{\rm e}^{-\frac{5}{4}s}x'|^{\frac{1}{5}}} =\sup_{x>x'}\dfrac{{\rm e}^{-\frac{t}{2}}|W(x,s)-W(x',s)|}{|x-x'|^{\frac{1}{5}}}\\&\leqslant \sup_{x>x'}\dfrac{2l\log M\int^x_{x'}(1+y^4)^{-\frac{1}{5}}{\rm d}y}{|x-x'|^{\frac{1}{5}}}\leqslant M. \end{align*} $

因此我们证明了 $w$ 的一致 $C^{{1}/{5}}$ Hölder 正则性.

于是我们完成了这篇论文中主定理的证明.

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文献年度倒序

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The shock formation for 2D isentropic compressible Euler equation with damping

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[本文引用: 3]

Temps de vie des solutions réguliéres des équations d'Euler compressibles axisymétriques en dimension deux

1993

... 下面我们将回顾一些具有光滑初值的可压缩欧拉方程组的结果. Lax^[9] 首次利用特征线方法在有限时间内构造出激波, Alinhac^[1] 和 Sideris^[14] 分别证明在旋转对称的假设下, 对于具有小初值的一维等熵可压缩欧拉方程组, 非平凡经典解的导数会发生爆破. Christodoulou^[5] 表明在无旋相对论背景下, 高维可压缩欧拉方程组的激波会在有限时间内生成. 这一结果在参考文献[6]中被推广到无旋非相对论的情形中. Luk-Speck^[11] 建立了具有旋度的二维等熵可压缩欧拉方程组激波生成的结果. 近期, Buckmaster, Iyer, Shkoller 和 Vicol 在参考文献[2,3,4] 中利用调制变量和自相似分析的方法给出二维和三维可压缩欧拉方程组激波生成的具体爆破时间和位置. ...

Formation of unstable shocks for 2D isentropic compressible Euler

2022

... 这里

$\theta\in\mathbb{T}=[-\pi,\pi]$

并且

$r>0$

. 受参考文献[2,3]的启发, 我们引入如下的角向对称变换 ...

... 我们对于给定大初值并且具有强阻尼的欧拉方程组的情形十分感兴趣. 受参考文献[2,3,10]的启发, 作者在参考文献[17] 中通过引入适当的自相似坐标变换, 在二维情况下证明了角向对称条件下稳定激波的存在性. 在这篇文章中, 我们将利用类似于参考文献[2] 中 Newton 迭代的方法, 通过选取合适的自相似坐标变换来证明角向对称条件下二维可压缩欧拉方程组不稳定激波会在有限时间内生成. ...

... ] 中通过引入适当的自相似坐标变换, 在二维情况下证明了角向对称条件下稳定激波的存在性. 在这篇文章中, 我们将利用类似于参考文献[2] 中 Newton 迭代的方法, 通过选取合适的自相似坐标变换来证明角向对称条件下二维可压缩欧拉方程组不稳定激波会在有限时间内生成. ...

... 因此, 我们将方程(1.7)的自相似变换写成类似于参考文献[2]中式 (1.6) 的形式, 具体如下: ...

... 通过与参考文献 [2,引理 3.1] 所采用的相同方法, 我们得到了背景解

$\overline{W}(x)$

的以下性质: ...

... 在本节中, 我们将提前为方程组(1.6)在自相似坐标系下的先验估计做一些准备工作. 首先, 引入自相似变量和变换. 受 Buckmaster 课题组在参考文献[2,3] 中所采用方法的启发, 引入了调制变量, 这样就可以利用调制变量与初值之间的关系来证明相关估计. 最后, 在本节中给出了证明过程中所使用的 bootstrap 假设. ...

... 在本节中, 我们将封闭调制变量

$A$

$Z$

和

$W$

的 bootstrap 假设, 除了

$q^{(2)}(s)$

和

$q^{(3)}(s)$

. 实际上, 这些在(2.25)中的 bootstrap 假设将在下一节通过类似于参考文献[2]的牛顿迭代法来封闭. 本节的后续小节组织如下: 首先, 在 3.1 小节中, 将封闭关于调制变量

$\tau$

$\xi$

和

$\kappa$

的 bootstrap 假设. 在 3.2 小节估计

$A$

和

$Z$

之前, 将定义

$A$

$Z$

和

$W$

的特征线, 并精确分析这些特征的上下界. 最后在 3.3 小节中, 将封闭

$W$

的 bootstrap 假设(2.21)-(2.24)和(2.26). ...

... 证该引理的证明在参考文献[2]中由引理 6.16 和引理 6.17 给出, 此处我们略去具体细节. ...

Formation of shocks for 2D isentropic compressible Euler

2022

... 这里

$\theta\in\mathbb{T}=[-\pi,\pi]$

并且

$r>0$

. 受参考文献[2,3]的启发, 我们引入如下的角向对称变换 ...

Formation of point shocks for 3D compressible Euler

2023

The Formation of Shocks in 3-Dimensional Fluids

2007

Somerville, Compressible Flow and Euler's Equations

2014

On the global existence and blowup of smooth solutions to the multi-dimensional compressible Euler equations with time-depending damping

2017

... 对于具有小初值的一维带阻尼的欧拉方程组, Nishida^[12] 证明, 由于阻尼项的存在, 方程组的解是整体存在的. Hsiao-Liu^[8] 描述了解的长时间行为. 在三维情形中, Sideris-Thomasses-Wang^[15] 证明方程组的解是整体存在的, 并且给出解在

$ L^{\infty}$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{3}{2}}$

. 对于具有小初值的高维可压缩欧拉方程组, Wang-Yang^[16] 利用格林函数的方法得到方程组的解在

$L^p(1< p\leqslant\infty)$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{d}{2}(1-\frac{1}{p})}$

, 这里

$d\geqslant2$

. 更进一步地, Pan-Zhao^[13] 证明三维有界域的情形中可压缩欧拉方程组的解也是整体存在的. 除此之外, Hou-Yin^[7] 讨论了具有时间依赖阻尼

$-\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho u$

的可压缩欧拉方程组的柯西问题, 他们证明在小初值的情形下, 具有弱阻尼的欧拉方程组的解会发生爆破, 而具有强阻尼的欧拉方程组具有整体光滑解. ...

Convergence to nonlinear diffusion waves for solutions of a system of hyperbolic conservation laws with damping

1992

$ L^{\infty}$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{3}{2}}$

. 对于具有小初值的高维可压缩欧拉方程组, Wang-Yang^[16] 利用格林函数的方法得到方程组的解在

$L^p(1< p\leqslant\infty)$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{d}{2}(1-\frac{1}{p})}$

, 这里

$d\geqslant2$

. 更进一步地, Pan-Zhao^[13] 证明三维有界域的情形中可压缩欧拉方程组的解也是整体存在的. 除此之外, Hou-Yin^[7] 讨论了具有时间依赖阻尼

$-\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho u$

Development of singularities of solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations

1964

On the blowup mechanism of smooth solutions to 1D quasilinear strictly hyperbolic systems with large initial data

2025

Shock formation in solutions to the 2D compressible Euler equations in the presence of non-zero vorticity

2018

Nonlinear hyperbolic equations and related topics in fluid dynamics

1978

$ L^{\infty}$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{3}{2}}$

. 对于具有小初值的高维可压缩欧拉方程组, Wang-Yang^[16] 利用格林函数的方法得到方程组的解在

$L^p(1< p\leqslant\infty)$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{d}{2}(1-\frac{1}{p})}$

, 这里

$d\geqslant2$

. 更进一步地, Pan-Zhao^[13] 证明三维有界域的情形中可压缩欧拉方程组的解也是整体存在的. 除此之外, Hou-Yin^[7] 讨论了具有时间依赖阻尼

$-\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho u$

The 3D compressible Euler equations with damping in a bounded domain

2009

$ L^{\infty}$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{3}{2}}$

. 对于具有小初值的高维可压缩欧拉方程组, Wang-Yang^[16] 利用格林函数的方法得到方程组的解在

$L^p(1< p\leqslant\infty)$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{d}{2}(1-\frac{1}{p})}$

, 这里

$d\geqslant2$

. 更进一步地, Pan-Zhao^[13] 证明三维有界域的情形中可压缩欧拉方程组的解也是整体存在的. 除此之外, Hou-Yin^[7] 讨论了具有时间依赖阻尼

$-\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho u$

Delayed singularity formation in 2D compressible flow

1997

Long time behavior of solutions to the 3D compressible Euler equations with damping

2003

$ L^{\infty}$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{3}{2}}$

. 对于具有小初值的高维可压缩欧拉方程组, Wang-Yang^[16] 利用格林函数的方法得到方程组的解在

$L^p(1< p\leqslant\infty)$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{d}{2}(1-\frac{1}{p})}$

, 这里

$d\geqslant2$

. 更进一步地, Pan-Zhao^[13] 证明三维有界域的情形中可压缩欧拉方程组的解也是整体存在的. 除此之外, Hou-Yin^[7] 讨论了具有时间依赖阻尼

$-\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho u$

The pointwise estimates of solutions of Euler equations with damping in multi-dimensions

2001

$ L^{\infty}$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{3}{2}}$

. 对于具有小初值的高维可压缩欧拉方程组, Wang-Yang^[16] 利用格林函数的方法得到方程组的解在

$L^p(1< p\leqslant\infty)$

空间中的最优衰减速率为

$(1+t)^{-\frac{d}{2}(1-\frac{1}{p})}$

, 这里

$d\geqslant2$

. 更进一步地, Pan-Zhao^[13] 证明三维有界域的情形中可压缩欧拉方程组的解也是整体存在的. 除此之外, Hou-Yin^[7] 讨论了具有时间依赖阻尼

$-\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho u$

The shock formation for 2D isentropic compressible Euler equation with damping

2026

... 证证明细节详见参考文献[17], 这里我们再重复一遍. ...

... 注 1.1 对于

$i=1$

的情况, 我们在参考文献[17] 中进行了讨论, 并将这种奇性称为稳定激波. 而对于

$i>1$

的情况, 初值 ...

〈

〉