数学物理学报, 2026, 46(6): 2167-2182

复短脉冲方程的广义达布变换及高阶孤子解

何凤蝶,, 苗园园,*, 毛辉,

南宁师范大学数学与统计学院 南宁 530100

Generalized Darboux Transformation and High Order Soliton Solutions of the Complex Short Pulse Equation

He Fengdie,, Miao Yuanyuan,*, Mao Hui,

School of Mathematics and Statistics, Nanning Normal University, Nanning 530100

通讯作者: 苗园园, E-mail: 15903006513@163.com

收稿日期: 2025-07-21   修回日期: 2026-03-24  

基金资助: 国家自然科学基金项目(12261061)

Received: 2025-07-21   Revised: 2026-03-24  

Fund supported: NSFC(12261061)

作者简介 About authors

何凤蝶,E-mail:18776194852@163.com;

毛辉,E-mail:maohuimath@163.com

摘要

该文首先通过互反变换将复短脉冲 (CSP) 方程转化为连带 CSP 方程, 推导出 CSP 方程的 $N$ 重达布变换的行列式表示, 进而构造 CSP 方程的广义达布变换. 作为应用, 利用广义达布变换给出了 CSP 方程在零种子解情况下的高阶孤子解, 通过具体实例, 对一些高阶孤子解的动力学行为进行图解分析, 揭示了smooth 孤子解、cuspon 孤子解和 loop 孤子解的非线性相互作用特征.

关键词： 复短脉冲方程; 互反变换; 广义达布变换; 高阶孤子解

Abstract

This paper begins by transforming the complex short pulse (CSP) equation into an associated CSP equation through a reciprocal transformation, and subsequently derives the determinant representation of the $N$-fold Darboux transformation for the CSP equation, thereby constructing its generalized Darboux transformation. As an application, the generalized Darboux transformation is employed to derive high order soliton solutions for the CSP equation under the zero seed solution. Through concrete examples, the dynamical behaviors of certain high order soliton solutions are graphically analyzed, revealing the nonlinear interaction characteristics of smooth soliton solutions, cuspon soliton solutions, and loop soliton solutions.

Keywords： complex short pulse equation; generalized Darboux transformation; high order soliton solutions

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本文引用格式

何凤蝶, 苗园园, 毛辉. 复短脉冲方程的广义达布变换及高阶孤子解[J]. 数学物理学报, 2026, 46(6): 2167-2182

He Fengdie, Miao Yuanyuan, Mao Hui. Generalized Darboux Transformation and High Order Soliton Solutions of the Complex Short Pulse Equation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(6): 2167-2182

1 引言

复短脉冲方程作为描述超短脉冲在非线性介质中的传播的重要数学模型[1,2], 具有重要的物理意义. 2015 年 Feng 提出 Complex Short Pulse (CSP) 方程[1]为

$\begin{equation} u_{xt}+u+\frac{1}{2}\left(\left|u\right|^{2}u_{x}\right)_{x}=0, \end{equation}$

是可积非线性偏微分方程之一. 函数 $u=u(x,t)$ 是复值函数, 表示电场的幅度. 这种复数表达形式在描述同时具有振幅和相位信息的光波方面具有优势[3]. 该方程拥有 Lax 对、具有守恒律, 是一个可积的系统[1], 这为我们求解 CSP 方程的精确解提供很大的便利.

近年来, 对 CSP 方程的解的研究取得了显著进展. Feng 最早通过 Hirota 方法系统地构造了多孤子解[1]; 2016 年, Ling 等基于达布变换推导出广义达布变换, 并获得多孤子解、呼吸子解和和高阶怪波解[4]; 2017 年, Lao 进一步研究了孤子解的相互作用[5]; 2020 年, Prinari 等创新性地运用 Riemann-Hilbert 方法[6], 将 CSP 方程的初值问题转化为矩阵问题求解, 成功获得 1 孤子解和 2 孤子解; 2022 年, Mao 等利用 Bäcklund 变换及其非线性叠加公式得到了 2 孤子解、1 孤子解与 1 孤子解的相互作用和呼吸子解[7]; 2025 年, Li 等研究了 CSP 方程在消失边界条件下的呼吸子解和退化呼吸子解, 并深入分析了呼吸子、孤子及退化解的相互作用[8]. 这些研究显著拓展了非线性波动力学理论在超短脉冲领域的应用深度.

高阶孤子解与多孤子解有本质的区别, 是两个不同的概念. 高阶孤子解是指, 具有相等振幅但具有特定啁啾的 $N$ 个孤子解之间的相互作用[9]. 目前, 已经有学者利用经典达布变换[4]得到了 CSP 方程的多孤子解, 并从多参数到单参数的极限过程构造广义达布变换, 得到了 CSP 方程的高阶怪波解, 但对于高阶孤子解尚未被求解, 这一空白正是本文研究工作的主要出发点与创新点. 文献[4] 利用广义达布变换来求解 CSP 方程的高阶怪波解, 我们有理由相信 CSP 方程的高阶孤子解也可以利用广义达布变换来构造.

与 Riemann-Hilbert 方法相比, 达布变换是一种不需要借助逆谱分析, 仅通过迭代生成非线性可积方程精确解的方法. 达布变换是推导可积方程显式精确解的有效工具之一[10,11,12]. 例如: 通过达布变换构造反时空非局域短脉冲方程的多孤子解[13], 利用达布变换构造聚焦与散焦耦合修正复短脉冲方程的孤子解[14]等. 然而, 传统的达布变换不能在相同的谱参数下进行迭代, 通常局限于普通孤子解的构造. 广义达布变换[15] 克服了这一缺点, 能够在相同的谱参数下进行迭代, 为我们研究高阶孤子解提供了强大的数学工具. 本文旨在通过结合级数展开法构造 CSP 方程的广义达布变换, 并推导其高阶孤子解.

本文不仅在构造 $N$ 重达布变换和广义达布变换的方法上与文献[4] 存在本质的区别, 还系统地构造了 CSP 方程的高阶孤子解, 而文献[4] 只给出了 CSP 方程的多孤子解和高阶怪波解, 本文填补了对 CSP 方程高阶孤子解的研究的空白. 文献[4] 采用矩阵形式的 $N$ 重达布变换表达式, 该形式结构紧凑, 方便获得多孤子解和高阶怪波解. 为了得到高阶孤子解, 本文则采用行列式形式表示 $N$ 重达布变换, 两种表达在数学上是等价的. 行列式形式的主要优势在于便于获得高阶孤子解的显示表达式, 从而能够直接进行数值计算和图像绘制, 以直观展示高阶孤子解的动力学行为. 因此, 本文方法为系统求解 CSP 方程的高阶孤子解和绘制高阶孤子解的图像提供了有效的途径.

本文结构如下: 第 2 节首先回顾 CSP 方程的 Lax 对, 将 CSP 方程写成守恒律形式, 通过互反变换得到连带 CSP 方程, 并推导 CSP 方程的 $N$ 重达布变换. 第 3 节基于 $N$ 重达布变换并结合级数展开, 利用极限技术, 构造了 CSP 方程的广义达布变换. 第 4 节我们利用广义达布变换推导出了 CSP 方程的高阶孤子解, 并对 2 阶至 4 阶孤子解及其相互作用进行图解分析, 展示其动力学行为.

2 CSP 方程的 $N$ 重达布变换

首先, 考虑 CSP 方程的 Lax 对[4]

$\begin{equation} \begin{aligned} &\Psi_x=\frac{1}{\lambda}\begin{pmatrix}-\mathrm{i}&-u_x^*\\u_x&\mathrm{i}\end{pmatrix}\Psi,\\ &\Psi_t=\begin{pmatrix}-\frac{\mathrm{i}\lambda}{4}+\frac{\mathrm{i}\left|u\right|^2}{2\lambda}&-\frac{\mathrm{i}u^*}{2}+\frac{\left|u\right|^2u_x^*}{2\lambda}\\-\frac{\mathrm{i}u}{2}-\frac{\left|u\right|^2u_x}{2\lambda}&\frac{\mathrm{i}\lambda}{4}-\frac{\mathrm{i}\left|u\right|^2}{2\lambda}\end{pmatrix}\Psi. \end{aligned} \end{equation}$

通过直接计算可知, 该体系的相容性条件 $\Psi_{xt}=\Psi_{tx}$ 可导出 CSP 方程. 该方程可进一步改写为守恒律形式

$\begin{equation} p_{t}=-\frac{1}{2}(uu^{*}p)_{x} \:, \quad p=\sqrt{1+u_{x}u_{x}^{*}}. \end{equation}$

为获得标准 Ablowwitz-Kaup-Newell-Segur (AKNS) 型 Lax 对, 我们引入自变量 $(y,\tau)$, 并通过守恒律定义互反变换

$\begin{equation} \mathrm{d}y=u\mathrm{d}x-\frac{1}{2}uu^{*}p\mathrm{d}t \:, \quad \mathrm{d}\tau=\mathrm{d}t. \end{equation}$

由此可得

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x}=p\frac{\partial}{\partial y} \:, \quad \frac{\partial}{\partial t}=-\frac{1}{2}\:uu^{*}\:p\:\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial\tau}, \end{equation}$

其等价形式为

$\begin{equation} \frac{\partial}{\partial y}=\frac{1}{p}\frac{\partial}{\partial x} \:, \quad \frac{\partial}{\partial\tau}=\frac{1}{2}\:uu^{*}\:\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}. \end{equation}$

利用互反变换 (2.4) 和方程 (2.2) 的第二式, CSP 方程的 Lax 对可重新表示为

$\begin{equation} \begin{aligned} &\Psi_{_y}=\mathrm{M}\Psi\:,\quad\Psi_{_\tau}=\mathrm{N}\Psi,\\ \end{aligned} \end{equation}$

其中

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\mathrm{M}=\frac{1}{\lambda}\Bigg(\begin{matrix}-\frac{\mathrm{i}}{p}&-u_y^*\\u_y&\frac{\mathrm{i}}{p}\end{matrix}\Bigg),\quad \mathrm{N}=\Bigg(\begin{matrix}-\frac{\mathrm{i}\lambda}{4}&-\frac{\mathrm{i}u^*}{2}\\-\frac{\mathrm{i}u}{2}&\frac{\mathrm{i}\lambda}{4}\end{matrix}\Bigg).\\ \end{aligned} \end{equation*}$

由线性谱问题 (2.6) 的相容性条件 $\Psi_{y\tau}=\Psi_{\tau y}$ 可推导出

$\begin{equation} pu_{y\tau}=-u \:, \quad p_{\tau}=-\frac{1}{2}\:p^{2}(uu^{*})_{y}. \end{equation}$

此外, 直接对 CSP 方程应用互反变换可得

$\begin{equation} pu_{y\tau}=-u \:, \quad p=\sqrt{1+p^{2}u_{y}u_{y}^{*}}, \end{equation}$

我们将 (2.8) 称为连带的 CSP 方程. 接下来, 我们解释一下 (2.7) 与 (2.8) 之间的关系. 一方面, 我们对 (2.8) 的第二个方程对 $\tau$ 求导, 并结合第一个方程可得

$\begin{equation*} 2p(1-u_yu_y^*)p_\tau=-p(uu^*)_y\:, \end{equation*}$

再利用 (2.8) 的第二个方程消去上式中的 $u_{y}u_{y}^{*}$ 得到

$\begin{equation*} p_{\tau}=-\frac{1}{2}\:p^{2}(uu^{*})_{y}, \end{equation*}$

这正是 (2.7) 的第二个方程. 另一方面, 从 (2.7) 中第二个方程出发, 其等价表示为 $p_{\tau }= - \frac 12$$p^{2}( uu_{y}^{* }+ u^{* }u_{y})$. 利用第一个方程消去 $u$, 经整理可得微分关系

$\begin{equation*} (-\frac{1}{p^{2}})_{\tau}=(u_{y}u_{y}^{*})_{\tau}, \end{equation*}$

两边对 $\tau$ 积分, 并赋予积分常数特定的值 $-1$, 得到 (2.8) 的第二个方程. 因此所有满足 (2.8) 的解也满足 (2.7), 但是当且仅当积分常数取 $-1$ 时, (2.7) 的解才满足 (2.8).

由于线性谱问题 (2.6) 是标准的 AKNS 型 Lax 对, 因此我们参考文献[8], 推导出连带 CSP 方程 (2.8) 的 $N$ 重达布变换.

假设存在规范变换

$\begin{equation*}\Psi [1]=\mathrm{T}[1]\Psi,\end{equation*}$

将谱问题 ${\Psi}_{y} =\mathrm{M}\Psi$ 变为谱问题

$ {\Psi [1]}_{y} =\mathrm{M}[1]\Psi [1], $

其中 M[1] 和 M 形式相同, 仅将 $u\longrightarrow u[1], p\longrightarrow p[1]$. 由

$\begin{equation*} \Psi[1]_{y}=\mathrm{T}[1]_{y}\Psi+\mathrm{T}[1]\Psi_{y}=\mathrm{T}[1]_{y}\Psi+\mathrm{T}[1]\mathrm{M}\Psi=\mathrm{M}[1]\Psi[1]=\mathrm{M}[1]\mathrm{T}[1]\Psi, \end{equation*}$

可得

$\begin{equation*}\mathrm{T}[1]_{y}+\mathrm{T}[1]\mathrm{M}=\mathrm{M}[1]\mathrm{T}[1].\end{equation*}$

同理

$\begin{equation*}\mathrm{T}[1]_{\tau }+\mathrm{T}[1]\mathrm{N}=\mathrm{N}[1]\mathrm{T}[1]. \end{equation*}$

(i) 设

$\begin{equation*} \mathrm{T}[1]=\lambda \mathrm{I}+\begin{pmatrix}C_{11}^{[0]} & C_{12}^{[0]}\\C_{21}^{[0]}&C_{22}^{[0]} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda +C_{11}^{[0]} &C_{12}^{[0]} \\C_{21}^{[0]}&\lambda +C_{22}^{[0]}\end{pmatrix}, \end{equation*}$

其中 I 是单位矩阵, 代入 $\mathrm{T}[1]_{y}+\mathrm{T}[1]\mathrm{M}=\mathrm{M}[1]\mathrm{T}[1]$, 比较 $\lambda ^{0} $ 的系数可得

$\begin{equation*} u[1]=u+C_{21}^{[0]}\:, \quad \frac{1}{p[1]}=\frac{1}{p} -\mathrm{i}{C_{22}^{[0]}}_{y}. \end{equation*}$

(ii) 设

$\begin{equation*} \mathrm{T}[2]=\lambda^{2}\mathrm{I}+\sum_{k=0}^{1}\lambda ^{k}\begin{pmatrix}C_{11}^{[k]}& C_{12}^{[k]} \\C_{21}^{[k]}&C_{22}^{[k]} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda^{2}+\lambda C_{11}^{[1]} +C_{11}^{[0]} &\lambda C_{12}^{[1]}+C_{12}^{[0]} \\\lambda C_{21}^{[1]}+C_{21}^{[0]}&\lambda^{2}+\lambda C_{22}^{[1]}+C_{22}^{[0]}\end{pmatrix}, \end{equation*}$

代入 $\mathrm{T}[2]_{y}+\mathrm{T}[2]\mathrm{M}=\mathrm{M}[2]\mathrm{T}[2]$, 比较 $\lambda ^{1} $ 的系数可得

$\begin{equation*} u[2]=u+C_{21}^{[1]}\:, \quad \frac{1}{p[2]}=\frac{1}{p} -\mathrm{i}{C_{22}^{[1]}}_{y}. \end{equation*}$

一般地, 设

$\begin{equation*} \mathrm{T}[N]=\lambda^{N}\mathrm{I}+\sum_{k=0}^{N-1}\lambda ^{k}\begin{pmatrix}C_{11}^{[k]}& C_{12}^{[k]} \\C_{21}^{[k]}&C_{22}^{[k]} \end{pmatrix}, \end{equation*}$

可得

$\begin{equation*} u[N]=u+C_{21}^{[N-1]}\:, \quad \frac{1}{p[N]}=\frac{1}{p} -\mathrm{i}{C_{22}^{[N-1]}}_{y}. \end{equation*}$

若列向量 $\Psi_{j}=(\psi_{j},\phi_{j})^{\mathrm{T}}$ 是当 $\lambda=\lambda_{j}$ 时 Lax 对 (2.6) 的一个解, 则 $(-\phi_{j}^{\ast},\psi_{j}^{\ast})^{\mathrm{T}}$ 是当 $\lambda=\lambda_{j}^{\ast}$ 时 (2.6) 的一个解. 注意到, $\mathrm{T}[N]$ 中有 $4N $ 个未知量, 即 $C_{11}^{[k]}, C_{12}^{[k]}, C_{21}^{[k]}, C_{22}^{[k]}(k=0,1,\cdots,N-1)$, 因此选择对应于 $\lambda =\lambda_{j}, \lambda =\lambda_{j}^{\ast}(j=1,2,\cdots,N)$ 的谱问题的 $2N$ 个特解. 由

$\begin{equation*} \mathrm{T}[N]|_{\lambda=\lambda_{j}} \begin{pmatrix}\psi_{j}\\\phi_{j}\end{pmatrix}=0, \quad \mathrm{T}[N]|_{\lambda=\lambda_{j}^{\ast}} \begin{pmatrix}-\phi _{j}^{\ast}\\\psi _{j}^{\ast}\end{pmatrix}=0, \end{equation*}$

利用 Cramer 法则可解得

$\begin{equation*} C_{21}^{[N-1]}=\frac{\Delta_2}{\Delta_1}\:, \quad C_{22}^{[N-1]}=\frac{\Delta_3}{\Delta_1}, \end{equation*}$

其中

$ \begin{align*} &\begin{aligned}&\Delta_{1}=\begin{vmatrix}\lambda_{1}^{N-1}\psi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-1}(-\phi_{1}^{*})&\cdots&\lambda_{N}^{N-1}\psi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-1}(-\phi_{N}^{*})\\\lambda_{1}^{N-1}\phi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-1}\psi_{1}^{*}&\cdots&\lambda_{N}^{N-1}\phi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-1}\psi_{N}^{*}\\\lambda_{1}^{N-2}\psi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-2}(-\phi_{1}^{*})&\cdots&\lambda_{N}^{N-2}\psi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-2}(-\phi_{N}^{*})\\\lambda_{1}^{N-2}\phi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-2}\psi_{1}^{*}&\cdots&\lambda_{N}^{N-2}\phi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-2}\psi_{N}^{*}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\\psi_{1}&-\phi_{1}^{*}&\cdots&\psi_{N}&-\phi_{N}^{*}\\\phi_{1}&\psi_{1}^{*}&\cdots&\phi_{N}&\psi_{N}^{*}\end{vmatrix},\end{aligned}\\ &\begin{aligned}&\Delta_{2}=\begin{vmatrix}-\lambda_{1}^{N}\phi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N}(-\psi_{1}^{*})&\cdots&-\lambda_{N}^{N}\phi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N}(-\psi_{N}^{*})\\\lambda_{1}^{N-1}\phi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-1}\psi_{1}^{*}&\cdots&\lambda_{N}^{N-1}\phi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-1}\psi_{N}^{*}\\\lambda_{1}^{N-2}\psi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-2}(-\phi_{1}^{*})&\cdots&\lambda_{N}^{N-2}\psi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-2}(-\phi_{N}^{*})\\\lambda_{1}^{N-2}\phi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-2}\psi_{1}^{*}&\cdots&\lambda_{N}^{N-2}\phi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-2}\psi_{N}^{*}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\\psi_{1}&-\phi_{1}^{*}&\cdots&\psi_{N}&-\phi_{N}^{*}\\\phi_{1}&\psi_{1}^{*}&\cdots&\phi_{N}&\psi_{N}^{*}\end{vmatrix},\end{aligned}\\ &\Delta_{3}=\begin{vmatrix}\lambda_{1}^{N-1}\psi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-1}(-\phi_{1}^{*})&\cdots&\lambda_{N}^{N-1}\psi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-1}(-\phi_{N}^{*})\\-\lambda_{1}^{N}\phi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N}(-\psi_{1}^{*})&\cdots&-\lambda_{N}^{N}\phi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N}(-\psi_{N}^{*})\\\lambda_{1}^{N-2}\psi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-2}(-\phi_{1}^{*})&\cdots&\lambda_{N}^{N-2}\psi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-2}(-\phi_{N}^{*})\\\lambda_{1}^{N-2}\phi_{1}&(\lambda_{1}^{*})^{N-2}\psi_{1}^{*}&\cdots&\lambda_{N}^{N-2}\phi_{N}&(\lambda_{N}^{*})^{N-2}\psi_{N}^{*}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\\psi_{1}&-\phi_{1}^{*}&\cdots&\psi_{N}&-\phi_{N}^{*}\\\phi_{1}&\psi_{1}^{*}&\cdots&\phi_{N}&\psi_{N}^{*}\end{vmatrix}. \end{align*} $

总结上面的推导过程, 可以得到如下命题 2.1.

命题 2.1 设列向量 $\Psi_{j}=(\psi_{j},\phi_{j})^{\mathrm{T}}$ 为线性谱问题 (2.6) 当 $\lambda=\lambda_{j}(j=1,2,\cdots,N)$ 的解, 则连带 CSP 方程 (2.8) 的 $N$ 重达布变换为

$\begin{equation} u_{N}=u+\frac{\Delta_2}{\Delta_1} \:, \quad \frac{1}{p_{N}}=\frac{1}{p}-\mathrm{i}\Bigg(\frac{\Delta_3}{\Delta_1}\Bigg)_y, \end{equation}$

其中 $\Delta_{1}, \Delta_{2}, \Delta_{3}$ 如上所定义.

互反变换 (2.3) 表明, CSP 方程的达布变换不仅涉及因变量, 还涉及自变量 $x$. 通过 (2.3), 我们得到

$\begin{equation} u_N=u+\frac{\Delta_2}{\Delta_1} \:, \quad x_N=x-\mathrm{i}\frac{\Delta_3}{\Delta_1}+c, \end{equation}$

$c$ 是常数. 取 $c = -\sum\limits_{j=1}^{N} \frac{(\lambda_j + \lambda_j^{*})}{2}\mathrm{i}$, 则 CSP 方程的 $N$ 重达布变换可简化为更紧凑的形式

$\begin{equation} u_N=u+\frac{\Delta_2}{\Delta_1} \:, \quad x_N=x+2\ln_\tau(\Delta_1), \end{equation}$

其中 $\Delta_{\mathrm{l}}$ 和 $\Delta_{2}$ 由 (2.9) 来确定.

3 广义达布变换的构造

为了构造广义达布变换, 我们引入如下展开式

$\begin{equation*} \begin{aligned} &(\lambda_{j}+\delta)^{i}\psi_{j}(\lambda_{j}+\delta)=\lambda_{j}^{i}\psi_{j}+\psi_{j}[i,1]\delta+\psi_{j}[i,2]\delta^{2}+\cdots+\psi_{j}[i,m_{j}]\delta^{m_{j}}+\cdots,\\ &(\lambda_{j}+\delta)^{i}\phi_{j}(\lambda_{j}+\delta)=\lambda_{j}^{i}\phi_{j}+\phi_{j}[i,1]\delta+\phi_{j}[i,2]\delta^{2}+\cdots+\phi_{j}[i,m_{j}]\delta^{m_{j}}+\cdots, \end{aligned} \end{equation*}$

其中

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\psi_{j}[i,m]=\frac{1}{m!}\frac{\partial^{m}}{\partial\lambda^{m}}[\lambda^{i}\psi_{j}(\lambda)]|_{\lambda=\lambda_{j}}\:,\quad\phi_{j}[i,m]=\frac{1}{m!}\frac{\partial^{m}}{\partial\lambda^{m}}[\lambda^{i}\phi_{j}(\lambda)]|_{\lambda=\lambda_{j}},\\ \end{aligned} \end{equation*}$

$(i=0,1,\cdots,N; m=1,2,3,\cdots)$.

接下来从命题 2.1 推导出 CSP 方程的广义达布变换.

令

$\begin{array}{c} \psi_{j}=\psi_{j}\left(x, \lambda_{j}\right), \psi_{j+1}=\psi_{j}\left(x, \lambda_{j}+\delta\right), \psi_{j+2}=\psi_{j}\left(x, \lambda_{j}+2 \delta\right), \cdots \\ \phi_{j}=\phi_{j}\left(x, \lambda_{j}\right), \phi_{j+1}=\phi_{j}\left(x, \lambda_{j}+\delta\right), \phi_{j+2}=\phi_{j}\left(x, \lambda_{j}+2 \delta\right), \cdots \\ j=1,2, \cdots, n. \end{array}$

将展开式分别代入 (2.11) 中的 $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ 得到

$\begin{equation*} \Delta_{1}=\det([\mathrm{E}_1, \mathrm{E}_2, \cdots, \mathrm{E}_n]) \:, \quad \Delta_{2}=\det([\mathrm{F}_1, \mathrm{F}_2, \cdots, \mathrm{F}_n]), \end{equation*}$

其中

$ \begin{align*} & \mathrm{E}_{j}=\begin{vmatrix}\lambda_{j}^{N-1}\psi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}(-\phi_{j}^{*})&\lambda_{j}^{N-1}(\psi_{j}+\psi_{j,\lambda}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&-(\lambda_{j}^{*})^{N-1}(\phi_{j}^{*}+\phi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\lambda_{j}^{N-1}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}\psi_{j}^{*}&\lambda_{j}^{N-1}(\phi_{j}+\phi_{j,\lambda}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}(\psi_{j}^{*}+\psi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\lambda_{j}^{N-2}\psi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(-\phi_{j}^{*})&\lambda_{j}^{N-2}(\psi_{j}+\psi_{j,\lambda}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&-(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(\phi_{j}^{*}+\phi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\lambda_{j}^{N-2}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}\psi_{j}^{*}&\lambda_{j}^{N-2}(\phi_{j}+\phi_{j,\lambda}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(\psi_{j}^{*}+\psi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\psi_{j}&-\phi_{j}^{*}&\psi_{j}+\psi_{j,\lambda}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots&-(\phi_{j}^{*}+\phi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\phi_{j}&\psi_{j}^{*}&\phi_{j}+\phi_{j,\lambda}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots&\psi_{j}^{*}+\psi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots&\cdots\end{vmatrix}\\ & \quad=\delta ^{2}(2\delta ^{2})^{2}\cdots\begin{vmatrix}\lambda_{j}^{N-1}\psi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}(-\phi_{j}^{*})&\cdots&\psi_{j}[N-1,m_{j}]&-\phi_{j}[N-1,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-1}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[N-1,m_{j}]&\psi_{j}[N-1,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-2}\psi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(-\phi_{j}^{*})&\cdots&\psi_{j}[N-2,m_{j}]&-\phi_{j}[N-2,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-2}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[N-2,m_{j}]&\psi_{j}[N-2,m_{j}]^{*}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\\psi_{j}&-\phi_{j}^{*}&\cdots&\psi_{j}[0,m_{j}]&-\phi_{j}[0,m_{j}]^{*}\\\phi_{j}&\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[0,m_{j}]&\psi_{j}[0,m_{j}]^{*}\end{vmatrix},\\ &\mathrm{F}_{j}= \begin{vmatrix}-\lambda_{j}^{N}\phi_{j}&-(\lambda_{j}^{*})^{N}\psi_{j}^{*}&-\lambda_{j}^{N}(\phi_{j}+\phi_{j,\lambda}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&-(\lambda_{j}^{*})^{N}(\psi_{j}^{*}+\psi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\lambda_{j}^{N-1}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}\psi_{j}^{*}&\lambda_{j}^{N-1}(\phi_{j}+\phi_{j,\lambda}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}(\psi_{j}^{*}+\psi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\lambda_{j}^{N-2}\psi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(-\phi_{j}^{*})&\lambda_{j}^{N-2}(\psi_{j}+\psi_{j,\lambda}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&-(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(\phi_{j}^{*}+\phi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\lambda_{j}^{N-2}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}\psi_{j}^{*}&\lambda_{j}^{N-2}(\phi_{j}+\phi_{j,\lambda}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(\psi_{j}^{*}+\psi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\psi_{j}&-\phi_{j}^{*}&\psi_{j}+\psi_{j,\lambda}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots&-(\phi_{j}^{*}+\phi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots)&\cdots\\\phi_{j}&\psi_{j}^{*}&\phi_{j}+\phi_{j,\lambda}\delta+\frac{\phi_{j,\lambda \lambda}}{2!}\delta^{2}+\cdots&\psi_{j}^{*}+\psi_{j,\lambda}^{*}\delta+\frac{\psi_{j,\lambda \lambda}^{*}}{2!}\delta^{2}+\cdots&\cdots\end{vmatrix}\\ &\quad=\delta ^{2}(2\delta ^{2})^{2}\cdots\begin{vmatrix}-\lambda_{j}^{N}\phi_{j}&-(\lambda_{j}^{*})^{N}\psi_{j}^{*}&\cdots&-\phi_{j}[N,m_{j}]&-\psi_{j}[N,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-1}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[N-1,m_{j}]&\psi_{j}[N-1,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-2}\psi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(-\phi_{j}^{*})&\cdots&\psi_{j}[N-2,m_{j}]&-\phi_{j}[N-2,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-2}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[N-2,m_{j}]&\psi_{j}[N-2,m_{j}]^{*}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\\psi_{j}&-\phi_{j}^{*}&\cdots&\psi_{j}[0,m_{j}]&-\phi_{j}[0,m_{j}]^{*}\\\phi_{j}&\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[0,m_{j}]&\psi_{j}[0,m_{j}]^{*}\end{vmatrix}, \end{align*} $
$\begin{equation*} N=n+\sum_{k=1}^nm_k. \end{equation*}$

因此, 通过上述展开, 并结合极限技术[15], 可以从 $N$ 重达布变换 (2.11) 中导出如下广义达布变换.

命题 3.1 设列向量 $\Psi_{j}=(\psi_{j},\phi_{j})^{\mathrm{T}}$ 为线性谱问题 (2.6) 在 $\lambda=\lambda_{j}(j=1,2,\cdots,n)$ 的解,则 CSP 方程 (1.1) 的广义达布变换为

$\begin{equation} u_N=u+\frac{\mathrm{A}_2}{\mathrm{A}_1} \:, \quad x_N=x+2\ln_\tau(\mathrm{A}_1), \end{equation}$

其中

$\begin{equation} \mathrm{A}_1=\det([\mathrm{B}_1,\cdots,\mathrm{B}_n]) \:, \quad \mathrm{A}_2=\det([\mathrm{C}_1,\cdots,\mathrm{C}_n]) \:, \quad N=n+\sum_{k=1}^nm_k, \end{equation}$

且$ \begin{align*} &\begin{aligned}&\mathrm{B}_{j}=\begin{vmatrix}\lambda_{j}^{N-1}\psi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}(-\phi_{j}^{*})&\cdots&\psi_{j}[N-1,m_{j}]&-\phi_{j}[N-1,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-1}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[N-1,m_{j}]&\psi_{j}[N-1,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-2}\psi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(-\phi_{j}^{*})&\cdots&\psi_{j}[N-2,m_{j}]&-\phi_{j}[N-2,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-2}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[N-2,m_{j}]&\psi_{j}[N-2,m_{j}]^{*}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\\psi_{j}&-\phi_{j}^{*}&\cdots&\psi_{j}[0,m_{j}]&-\phi_{j}[0,m_{j}]^{*}\\\phi_{j}&\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[0,m_{j}]&\psi_{j}[0,m_{j}]^{*}\end{vmatrix},\end{aligned}\\ & \mathrm{C}_{j}=\begin{vmatrix}-\lambda_{j}^{N}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N}(-\psi_{j}^{*})&\cdots&-\phi_{j}[N,m_{j}]&-\psi_{j}[N,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-1}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-1}\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[N-1,m_{j}]&\psi_{j}[N-1,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-2}\psi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}(-\phi_{j}^{*})&\cdots&\psi_{j}[N-2,m_{j}]&-\phi_{j}[N-2,m_{j}]^{*}\\\lambda_{j}^{N-2}\phi_{j}&(\lambda_{j}^{*})^{N-2}\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[N-2,m_{j}]&\psi_{j}[N-2,m_{j}]^{*}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\\psi_{j}&-\phi_{j}^{*}&\cdots&\psi_{j}[0,m_{j}]&-\phi_{j}[0,m_{j}]^{*}\\\phi_{j}&\psi_{j}^{*}&\cdots&\phi_{j}[0,m_{j}]&\psi_{j}[0,m_{j}]^{*}\end{vmatrix}. \end{align*} $

显然, 当 $n=N$, $m_k=0( k= 1, 2, \cdots, n)$ 时, 广义达布变换退化为经典 $N$ 重达布变换 (2.11), 可以获得多孤子解 (参见文献[4]), 但这并不是我们想要的结果. 而当 $m_k\geq1$ 时可以在相同的谱参数下进行迭代, 这一特性为高阶孤子解的构造奠定了基础. 因此, 为了得到高阶孤子解, 我们取 $m_k\geq1$.

4 高阶孤子解及其动力学行为

本节利用广义达布变换 (3.1) 构造 CSP 方程的高阶孤子解, 并通过 Maple 软件绘制方程 (1.1) 的精确解图像, 展示了其动力学行为.因此, 我们首先选择连带 CSP 方程 (2.8) 的平凡种子解 $u=0$, $p=1$, 则由互反变换 (2.3) 得 $y=x$, $\tau=t$. 线性谱问题 (2.6) 在 $\lambda=\lambda_{j}(j= 1, 2,\cdots, n)$ 下的特解为

$\begin{equation} \Psi_j=\begin{bmatrix}\psi_j\\\phi_j\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\rm e}^{-\xi_j}\\{\rm e}^{\xi_j}\end{bmatrix}, \end{equation}$

其中, $\xi_{j}= \frac {\mathrm{i} }{\lambda_{j}}$$y+ \frac {\mathrm{i} \lambda_{j}}4$$\tau + \eta_{j}$, $\eta_{j}$ 是复常数.

4.1 解的分类

从平凡种子解 $u=0, p=1$ 出发, 令 $N=1$, 将 (4.1) 代入 (3.1) 得

$\begin{equation} u_{1}=\frac{1}{2}(\lambda_{1}^{\ast }-\lambda_{1}){\rm e}^{\xi _{1}-\xi _{1}^{\ast }}\mathrm{sech}(\xi_{1}+\xi _{1}^{\ast }) \:, \quad x_{1}=x+\frac{\mathrm{i}}{2}\frac{\mathrm{sinh}(\xi_{1}+\xi_{1}^{\ast })}{\mathrm{coch}(\xi_{1}+\xi_{1}^{\ast})}(\xi_{1}+\xi_{1}^{\ast})_{t}. \end{equation}$

由 $\xi_{1}= \frac {\mathrm{i} }{\lambda_{1}}$$y+ \frac {\mathrm{i} \lambda_{1}}4$$\tau + \eta_{1}$, 其中 $\lambda_{1}=a+\mathrm{i}b$, $\eta_{1} =\alpha +\mathrm{i}\beta$, 代入 (4.2) 的第二个式子得

$\begin{equation*} x_{1}=x+\frac{\mathrm{i}}{2}(\lambda_{1}-\lambda_{1}^{\ast})\mathrm{tanh}(\xi_{1}+\xi_{1}^{\ast }). \end{equation*}$

对 $x_{1}$ 关于 $x$ 求一阶偏导数, 且 $\lambda_{1}=a+\mathrm{i}b$, 有

$\begin{equation*} x_{1,x} =1-\frac{2b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\mathrm{sech^{2}}(\xi_{1}+\xi_{1}^{\ast}). \end{equation*}$

因此, 我们可以根据 $a$ 和 $b$ 的大小关系对方程的孤子解进行分类, 有如下三类不同的孤子解:

(a) $\left | a \right | >\left | b \right |$, 在这种情况下, $x_{1,x}>0$ 恒成立, 解为 smooth 孤子解, 其波形光滑无奇点.

(b) $\left | a \right | =\left | b \right |$, 在这种情况下, $x_{1,x}$ 只有一个零点, 解为 cuspon 孤子解,其波形在峰值处呈现 "尖点" 结构.

(c) $\left | a \right | <\left | b \right |$, 在这种情况下, $x_{1,x}$ 有两个零点, 解为 loop 孤子解, 其波形在传播中形成 "环" 状结构.

关于 cuspon 孤子解的具体定义可以参考文献[16] 的第二节. 根据该定义我们可以证明, 该孤子解确实是 cuspon 孤子解. 以 $t=0$ 和 $\eta_{1}=0$ 为例, 由 $\left| u_{1} \right|_{x_{1}} = \dfrac{\left| u_{1} \right|_{x}}{x_{1,x}}$ 可得

$\begin{equation*} \lim_{ x_{1}\to 0^{-}} \left| u_{1} \right|_{x_{1}} = -\lim_{x_{1} \to 0^{+}} \left| u_{1} \right|_{x_{1}} = +\infty, \end{equation*}$

函数 $\left| u_{1} \right|$ 在 $x_{1}=0$ 处有一个尖点. 显然, 尖点的位置会随着 $t$ 和 $\eta_{1}$ 的值的变化而变化.

显然, (4.2) 是 CSP 方程的 1 孤子解. 根据上述对 CSP 方程的解的分类, 调整 $\lambda_{1}$ 和 $\eta_{\mathrm{l}}$ 的参数, 得到方程 (1.1) 的 1-smooth 孤子解、1-cuspon 孤子解和 1-loop 孤子解, 具体的分析和细节可见参考文献[7]. 这是经典的 1 孤子解, 但并不是我们想要的高阶孤子解, 为了得到高阶孤子解, 我们进一步做了以下研究, 并得到了一些有趣的结果.

4.2 2 阶孤子解 $(N=2)$

取 $n=1$ 和 $m_{1}=1$, 将 (4.1) 代入 (3.1) 可得方程 (1.1) 的 2 阶孤子解表达式如下

$\begin{equation} \begin{aligned} &u_2=2b\frac{G}{H}\mathrm{e}^{-4\alpha+b\tau-\frac{4by}{a^2+b^2}},\\ &x_{2}=y+2b\frac{\mathrm{e}^{2b-8\alpha-\frac{8by}{a^{2}+b^{2}}}+2(b\tau+\frac{4by(b^{2}-a^{2})}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}})\mathrm{e}^{b\tau-4\alpha-\frac{4by}{a^{2}+b^{2}}}-1}{\mathrm{e}^{2b-8\alpha-\frac{8by}{a^{2}+b^{2}}}+(b^{2}\tau^{2}+2+\frac{8b^{2}y(b^{2}-a^{2}\tau+2y)}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}})\mathrm{e}^{b\tau-4\alpha-\frac{4by}{a^{2}+b^{2}}}+1}\:, \end{aligned} \end{equation}$

其中

$ \begin{align*} \begin{aligned} G&=[-\mathrm{i}b^{5}\tau-2\mathrm{i}b^{4}+(-2\mathrm{i}a^{2}\tau-4\mathrm{i}y)b^{3}+(-4\mathrm{i}a^{2}-8ay)b^{2}-\mathrm{i}a^{2}(a^{2}\tau-4y)b \\ &~~~-2\mathrm{i}a^{4}]\mathrm{e}^{2\alpha+2\beta\mathrm{i}+\frac{\tau(-b+\mathrm{i}a)}{2}+\frac{2y(b+\mathrm{i}a)}{a^{2}+b^{2}}}+[\mathrm{i}b^{5}\tau-2\mathrm{i}b^{4}+(2\mathrm{i}a^{2}\tau+4\mathrm{i}y)b^{3}+(-4\mathrm{i}a^{2} \\ &~~~-8ay)b^{2}+\mathrm{i}a^{2}(a^{2}\tau-4y)b-2\mathrm{i}a^{4}]\mathrm{e}^{-2\alpha+2\beta\mathrm{i}+\frac{\tau(b+\mathrm{i}a)}{2}+\frac{2\:y(-b+\mathrm{i}a)}{a^{2}+b^{2}}}, \\ H&=(a^{2}+b^{2})^{2}\mathrm{e}^{2b\tau-8\alpha-\frac{8by}{a^{2}+b^{2}}}+\{b^{6}\tau^{2}+(2a^{2}\tau^{2}+8\tau y+2)b^{4}+[a^{4}\tau^{2}+(-8\tau y\\ & +4)a^{2}+16y^{2}]b^{2}+2a^{4}\}\mathrm{e}^{-4\alpha+b\tau-\frac{4by}{a^{2}+b^{2}}}+(a^{2}+b^{2})^{2}. \end{aligned} \end{align*} $

通过调整 $\lambda_{1}$ 和 $\eta_{1}$ 的参数, 得到方程 (1.1) 的 2 阶 smooth 孤子解、2 阶 cuspon 孤子解和 2 阶 loop 孤子解,见图1-图3.

图1

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图1   方程 (1.1) 的 2 阶 smooth 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像


图2

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图2   方程 (1.1) 的 2 阶 cuspon 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像


图3

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图3   方程 (1.1) 的 2 阶 loop 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像


注: 正如前文所述, 高阶孤子解和多孤子解有本质的区别, 是两个不同的概念. 这一点在解的数学结构上体现得尤为突出. 以 (4.3) 为例, (4.3) 是高阶孤子解 (high order soliton solutions) 中最基本的情形, 是一个有理型函数形式的解, 解的表达式为自变量 $y$ 和 $\tau$ 的多项式函数和指数函数的复合函数之比. 与此形成鲜明对比的是, 文献[4] 中的多孤子解 (multi soliton solutions) 的表达式为指数函数的组合之比, 不包含多项式函数因子.

表1   高阶孤子解分类表 (N=3)

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4.3 高阶孤子解 $(N\geq3)$

当 $N\geq3$ 时, 由 (3.1) 给出的解极其繁琐, 因而此处省略. 但是通过给参数赋予适当的值, 我们可以得到许多有趣的高阶孤子解. 由于解的个数较多, 因此我们对 $N=3$ 和 $N=4$ 的所有高阶孤子解用表格进行分类. $N=3$ 时, 如表 $1$ 所示; $N=4$ 时, 如表2所示.

表2   高阶孤子解分类表 (N=4)

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(a) $N=3$ 时, 取 $n=1$, $m_1=2$, 得到 3 阶孤子解, 取 $n=2$, $m_1= 1$, $m_2= 0$, 得到 2 阶孤子解与 1 孤子解的相互作用,见图4-图9.

图4

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图4   方程 (1.1) 的 3 阶 cuspon 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像


图5

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图5   方程 (1.1) 的 3 阶 loop 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像


图6

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图6   方程 (1.1) 的 2 阶 cuspon 孤子解和 1-loop 孤子解的相互作用在不同时刻的部面图和三维图像


图7

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图7   方程 (1.1) 的 2 阶 smooth 孤子解和 1-cuspon 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像


图8

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图8   方程 (1.1) 的 2 阶 loop 孤子解和 1-smooth 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像


图9

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图9   方程 (1.1) 的 2 阶 loop 孤子解和 1-cuspon 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像


$(b)$ 当 $N=4$ 时, 取 $n=1$, $m_{1}=3$, 得到 4 阶孤子解; 取 $n=2$, $m_{1}= 2$, $m_{2}= 0$, 得到 3 阶孤子解和 1 孤子解的相互作用; 取 $n=2$, $m_{1}= 1$, $m_{2}= 1$, 得到 2 阶孤子解和 2 阶孤子解的相互作用; 取 $n=3$, $m_{1}= 1$, $m_{2}= m_{3}= 0$, 得到 2 阶孤子解、1 孤子解和 1 孤子解的相互作用, 见图10-图15.

图10

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图10   方程 (1.1) 的 4 阶 loop 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像


图11

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图11   方程 (1.1) 的 3 阶 smooth 孤子解和 1-loop 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像


图12

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图12   方程 (1.1) 的 3 阶 loop 孤子解和 1-smooth 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像


图13

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图13   方程 (1.1) 的 2 阶 smooth 孤子解和 2 阶 cuspon 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像


图14

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图14   方程 (1.1) 的 2 阶 smooth 孤子解和 2 阶 loop 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像


图15

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图15   方程 (1.1) 的 2 阶 smooth 孤子解、1-cuspon 孤子解和 1-loop 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像


根据解的分类, 我们对 (4.1) 中 $\lambda_{j}$ 和 $\eta_{j}$ 取具体参数后, 再将 (4.1) 代入 (3.1) 得到各类解的图像. 但由于解的个数较多, 因此我们分别选择上述每一种情况中的几个解作为代表, 给出解的图像特征如下所示. 图 1-图 15 展示了不同参数下的孤子解及其相互作用.

取参数 $\lambda_1=2+\mathrm{i}$, $\eta _1= 1+\mathrm{i}$, 得到 2 阶 smooth 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图1所示.

取参数 $\lambda_{1}=1+\mathrm{i}$, $\eta_{1}= 1+\mathrm{i}$, 得到 2 阶 cuspon 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图2所示.

取参数 $\lambda_{1}=1+3\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, 得到 2 阶 loop 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图3所示.

取参数 $\lambda_1=1+\mathrm{i}$, $\eta_1= 1+\mathrm{i}$, 得到 3 阶 cuspon 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图4所示.

取参数 $\lambda_{1}=1+3\mathrm{i}$, $\eta_{1}=1+\mathrm{i}$, 得到 3 阶 loop 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图5所示.

取参数 $\lambda_{1}=2+2\mathrm{i}$, $\lambda_2=1+3\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, $\eta_2=2+2\mathrm{i}$, 得到 2 阶 cuspon 孤子解和 1-loop 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图6所示.

取参数 $\lambda_{1}=2+\mathrm{i}$, $\lambda_2=2+2\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, $\eta_2=2+2\mathrm{i}$, 得到 2 阶 smooth 孤子解和 1-cuspon 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图7所示.

取参数 $\lambda_{1}=1+3\mathrm{i}$, $\lambda_2=2+\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, $\eta_2=2+2\mathrm{i}$, 得到 2 阶 loop 孤子解和 1-smooth 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图8所示.

取参数 $\lambda_1=1+3\mathrm{i}$, $\lambda_2=1+\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, $\eta_2=2+2\mathrm{i}$, 得到 2 阶 loop 孤子解和 1-cuspon 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图9所示.

取参数 $\lambda_1=1+3\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, 得到 4 阶 loop 孤子解在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图10所示.

取参数 $\lambda_{1}=2+\mathrm{i}$, $\lambda_2=1+3\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, $\eta_2=2+2\mathrm{i}$, 得到 3 阶 smooth 孤子解和 1-loop 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图11所示.

取参数 $\lambda_{1}=1+3\mathrm{i}$, $\lambda_2=2+\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, $\eta_2=2+2\mathrm{i}$, 得到 3 阶 loop 孤子解和 1-smooth 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图12所示.

取参数 $\lambda_{1}=2+\mathrm{i}$, $\lambda_2=2+2\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, $\eta_2=2+2\mathrm{i}$, 得到 2 阶 smooth 孤子解和 2 阶 cuspon 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图13所示.

取参数 $\lambda_{1}=2+\mathrm{i}$, $\lambda_{2}=1+3\mathrm{i}$, $\eta_1=1+\mathrm{i}$, $\eta_2=2+2\mathrm{i}$, 得到 2 阶 smooth 孤子解和 2 阶 loop 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图14所示.

取参数 $\lambda_{1}=2+\mathrm{i}$, $\lambda_{2}=2+2\mathrm{i}$, $\lambda_{3}=1+3\mathrm{i}$, $\eta_{1}=1+\mathrm{i}$, $\eta_{2}=2+2\mathrm{i}$, $\eta_{3}=3+3\mathrm{i}$,

得到 2 阶 smooth 孤子解、1-cuspon 孤子解和 1-loop 孤子解的相互作用在不同时刻的剖面图和三维图像, 如图15所示.

5 结束语

本文的主要贡献是基于级数展开与极限技术构造了 CSP 方程的广义达布变换, 为求解复短脉冲方程的高阶孤子解提供了系统的理论框架. 基于零种子解, 本文精确推导了 CSP 方程的 2 阶至 4 阶 smooth 孤子解、cuspon 孤子解、loop 孤子解及其相互作用的显示表达式, 填补了 CSP 方程在高阶孤子解研究方面的空白. 文献[4] 中矩阵形式的 $N$ 重达布变换表达式与本文的行列式形式虽然在数学上是等价的, 但各有优势. 文献[4] 中矩阵形式的 $N$ 重达布变换获得了 CSP 方程的多孤子解且便于取极限得到高阶怪波解, 而本文的行列式形式方便于推导高阶孤子解的显示表达式. 此外, 相较于文献[4] 中通过多参数到单参数的极限过程来构造 CSP 方程的广义达布变换以获得高阶怪波解的方法, 本文使用基于级数展开并结合极限技术来构造广义达布变换并得到高阶孤子解的方法更简洁. 本文还对 CSP 方程的解进行了系统分类, 揭示了谱参数对孤子形态的调控机制. 同时, 这些解的图像展示了孤子相互作用的非弹性碰撞特征. 值得指出的是, 由于聚焦和散焦耦合修正复短脉冲方程拥有 Lax 对, 且可以用守恒律表示[14]. 因此, 我们可以把本文方法推广至聚焦和散焦耦合修正复短脉冲方程, 深入研究多分量系统中的孤子动力学行为, 深化非线性可积方程在超短脉冲领域的研究与应用.

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