数学物理学报, 2026, 46(6): 2196-2206

$\mathbb{R}^n$高阶线性抛物方程的唯一延拓性与能观性

郑国杰1, 叶笼汉1, 朱理2, 于欣,3,*

1 宁波财经学院机械工程学院 浙江宁波 315175

2 武汉工程大学数理学院 武汉 430205

3 浙大宁波理工学院信息处理与智能计算研究所 浙江宁波 315100

Unique Continuation and Observability of Higher-Order Linear Parabolic Equation in $\mathbb{R}^n$

Zheng Guojie1, Ye Longhan1, Zhu Li2, Yu Xin,3,*

1 College of Mechanical Engineering, Ningbo University of Finance & Economics, Zhejiang Ningbo 315175

2 School of Mathematics and Physics, Wuhan Institute of Technology, Wuhan 430205

3 Institute of Information Processing and Intelligent Computing, Ningbo Tech University, Zhejiang Ningbo 315100

通讯作者: 于欣, E-mail: yuxin@zju.edu.cn

收稿日期: 2025-07-28   修回日期: 2026-01-23  

基金资助: 国家自然科学基金(12171431)
浙江省自然科学基金(LY24A010014)
浙江省自然科学基金(LZ21A010001)

Received: 2025-07-28   Revised: 2026-01-23  

Fund supported: NSFC(12171431)
Zhejiang Provincial NSF(LY24A010014)
Zhejiang Provincial NSF(LZ21A010001)

摘要

该研究旨在探讨全空间中高阶线性抛物方程的唯一延拓性和能观性问题. 在此研究过程中, 首先讨论厚集与全空间上谱不等式之间的关系; 其次, 运用谱不等式研究该类方程的解所满足的一类 Hölder 型插值不等式; 借助于 Hölder 型插值不等式可证明全空间高阶抛物方程的定量唯一延拓性质; 最后, 利用 Lebeau-Robbiano 方法证明全空间中高阶线性抛物方程的能观性估计.

关键词： 能观性估计; 高阶线性抛物方程; 唯一延拓性; 谱不等式

Abstract

This paper study the observability and unique continuation property of higher-order linear parabolic equations in the whole space. First, the relationship between thick set and spectral inequality is discussed. Secondly, by using spectral inequality, a class of Hölder-type interpolation inequality for the solution of this equation is investigated. Furthermore, with the help of this inequality, the quantitative unique continuation property of this equation in the whole space can be obtained. Finally, the observability estimate for linear higher-order parabolic equations in $\mathbb{R}^n$ is proved by Lebeau-Robbiano strategy.

Keywords： observability estimate; higher-order linear parabolic equation; unique continuation property; spectral inequality

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本文引用格式

郑国杰, 叶笼汉, 朱理, 于欣. $\mathbb{R}^n$高阶线性抛物方程的唯一延拓性与能观性[J]. 数学物理学报, 2026, 46(6): 2196-2206

Zheng Guojie, Ye Longhan, Zhu Li, Yu Xin. Unique Continuation and Observability of Higher-Order Linear Parabolic Equation in $\mathbb{R}^n$[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(6): 2196-2206

1 引言

在偏微分方程理论中, 抛物型方程可以描述扩散, 热传导, 物质迁移等演化的过程, 它揭示了自然界中由微观粒子的随机运动导致宏观层面扩散现象. 然而, 随着物理建模需求的深入, 传统的二阶扩散模型在一些场景中已显不足, 尤其在涉及高阶材料响应, 图像处理等领域中更复杂的扩散行为需要引入高阶空间导数来刻画. 因此更高阶的抛物型微分方程逐渐受到研究人员的广泛关注 (参见文献[1,2,3]).

设 $m$ 是一个大于 $1$ 的自然数, $T>0$. 在本文中, 我们考虑如下的全空间上的高阶线性抛物型方程:

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_t y(x,t)+\mathcal{P}(D)y(x,t)=0 & \:\: (x,t)\in\mathbb{R}^{n}\times(0,T],\\ y(x,0)=y_0(x) & \:\: x\in\mathbb{R}^{n}, \end{array} \right. \end{equation}$

其中, 初值 $y_0(x)\in L^2(\mathbb{R}^n)$, $\mathcal{P}(D)$ 是阶数为 $2m$ 的椭圆型算子, 其定义如下:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{P(}D):=\sum_{|\alpha|\leq 2m}a_{\alpha}D^{\alpha}, \end{eqnarray*}$

这里 $D=(D_1,D_2,\ldots,D_n)$, 其中, $D_j=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x_j}$, $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n)\in \mathbb{Z}^n_{+}$, 且 $|\alpha|=\sum_{j=1}^n\alpha_j$. 更进一步, 它的象征 $\mathcal{P}(\xi)$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 上实系数的 $2m$ 阶的椭圆多项式, 即,

$\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(\xi)>0,\:\: \forall\:\xi\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}. \end{eqnarray*}$

高阶抛物型方程是偏微分方程理论的重要分支, 它在诸多自然科学与工程问题中扮演着重要的角色. 众所周知, 经典的二阶热方程对应于布朗运动的扩散. 与二阶抛物方程相比, 高阶抛物型方程通过引入更高阶的空间微分算子, 能够更精准地刻画复杂介质中的扩散行为等物理现象. 因此, 高阶抛物方程的物理背景可以理解为复杂介质或结构的耗散动力学模型. 例如, 薄膜动力学、图像处理、以及弹性板的过阻尼极限模型 (参见文献[4,5,6,7]). 这些都会自然地引出四阶甚至更高阶的抛物方程. 具体到弹性理论中, Kirchhoff-Love 薄板方程是四阶双曲方程, 当引入强阻尼并处于过阻尼极限状态时 (即惯性项远小于阻尼项), 惯性项可以被忽略, 此时得到的正是四阶抛物方程. 它可用来描述薄板在粘滞环境中缓慢弯曲、松弛到平衡状态的物理过程 (参见文献[7]).

偏微分方程的能观性与唯一延拓性质是两个密切相关的核心概念, 它们在控制理论, 反问题以及数学物理中具有重要地位. 一般而言, 能观性刻画的是能否仅通过在某个子区域上的观测数据推断出解在整个区域中的行为. 相比之下, 唯一延拓性质则关注: 如果一个偏微分方程的解在某一区域内消失, 是否可以推出它在更大区域中也必须为零. 这两种性质都体现了解的 "刚性" 特征, 即局部信息是否可以决定整体行为 (参见文献[8]).

本文旨在研究全空间上的高阶线性抛物方程的能观性和唯一延拓性质. 尽管这类问题在二阶抛物方程中已有广泛研究 (参见文献[9,10,11,12]), 但对于高阶抛物型方程而言, 相关理论的研究仍不充分. 关于高阶抛物方程的能控性和能观性估计问题, 现有若干重要研究成果 (参见文献[13,14,15,16]). 对于这些已有结果均是使用 Carleman 估计的方法研究有界区域上的四阶抛物方程 (或者随机四阶抛物方程) 的零能控性, 而本文采用谱不等式与 Lebeau-Robbiano 方法研究全空间上形式更加一般的高阶抛物方程的能观性和定量的唯一延拓性质. 本文提供了另一条通向高阶抛物方程能控性和能观性的途径.

一般情况下高阶抛物方程 (1.1) 的热核缺少显式表达式. 与此同时, 方程 (1.1) 主象征的增长阶数为 $|\xi|^{2m} (m\geq2)$, 这使得方程解的不同频率具有更显著的衰减差异, 从而体现出更强的高频耗散特性. 上述因素增加了建立高阶抛物方程能观性估计的难度, 并迫使我们在证明过程中采用了更加复杂的参数调节技巧.

本文的结构安排如下, 我们在第二节中介绍了后续文中需要用到的符号, 定义和一些重要的引理; 在第三节中我们证明了当观测集合是厚集的情况下方程 (1.1) 的解满足一类 Hölder 型插值不等式; 第四节中我们研究了方程 (1.1) 的定量的唯一延拓性质. 最后, 在第五节中我们借助于 Lebeau-Robbiano 方法证明了方程 (1.1) 的能观性估计.

2 预备知识

我们首先介绍一些记号. 本文中 $\mathcal{S}$ 表示 Schwartz 空间. $\|\cdot\|_p$$(p\in[1,+\infty])$ 表示 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 空间的范数. 我们用 $C(\cdots)$ 表示依赖于括号内因素的正数. 令 $Q=[0,1]^n$, 它表示 $\mathbb{R}^n$ 中的单位立方体. 对于任意的 $x\in\mathbb{R}^n$ 和 $L>0$, 集合 $x+LQ=\{x+Ly\:|\:y\in Q\}$. 设 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ 是一个可测集, 我们用 $|\Omega|$ 表示它的 Lebesgue 测度. 我们用 $B_r$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中以 0 为中心, 以 $r$ 为半径的球. 我们用 $\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}$ 表示算子 $-\mathcal{P}(D)$ 在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上生成的半群. 本文中, $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{F}^{-1}$ 分别表示 Fourier 变换和 Fourier 逆变换. 即:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(f)=\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{e}^{-{\rm i}x\cdot\xi}f(x)\mathrm{d}x, \:\:f\in\mathcal{S}; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}^{-1}(g)=\check{g}(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{e}^{{\rm i}x\cdot\xi}g(\xi)\mathrm{d}\xi, \:\:g\in\mathcal{S}. \end{eqnarray*}$

众所周知 (参见文献[17]),

$\begin{eqnarray*} {\rm e}^{-t\mathcal{P(D)}}f=\mathcal{F}^{-1}\big(\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(\xi)}\mathcal{F}(f)(\xi)\big),\:\:\forall f\in L^2(\mathbb{R}^n). \end{eqnarray*}$

本文中我们需要如下的一些结论.

引理 2.1 设 $\mathcal{P}(\xi)$ 是一个 2m 阶非负的椭圆多项式, 那么存在两个常数 $0<C_1<C_2$ 使得下列不等式成立.

$\begin{eqnarray*} C_1\big(\sum_{i=1}^n|\xi_i|^2\big)^m\leq \mathcal{P}(\xi)\leq C_2\big(\sum_{i=1}^n|\xi_i|^2\big)^m,\:\forall\: \xi\in \mathbb{R}^n. \end{eqnarray*}$

此引理见文献[3]. 接着由傅里叶变换, 不难发现方程 (1.1) 的解可以写成:

$\begin{eqnarray*} y(x,t)=\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}y_0, \end{eqnarray*}$

其中, $y_0\in L^2(\mathbb{R}^n)$ 是初值.结合 Plancherel 定理, 我们容易得到:

引理 2.2 若 $\varphi\in L^2(\mathbb{R}^n)$, 那么

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\varphi|^{2}\mathrm{d}x\leq \int_{\mathbb{R}^n}|\varphi(x)|^{2}\mathrm{d}x, \;\forall\;t>0. \end{eqnarray*}$

定义 2.1 我们称可测集 $E\subset \mathbb{R}^n$ 是在尺度 $L$ 下的 $\gamma-$ 厚集:如果对于任意的 $x\in\mathbb{R}^n$ 都有

$\begin{eqnarray*} |E\cap (x+LQ)|\geq \gamma L^n. \end{eqnarray*}$

引理 2.3 设 $E\subset \mathbb{R}^n$ 是一个可测子集, 则 $E$ 是一个在尺度 $L$ 下的 $\gamma$-厚集的充分必要条件是存在一个常数 $C_{spe}=C(n,E)>0$ 使得对于任意的 $R>0$ 和任意的满足 $\textrm{supp}\hat{f}\subset B_R$ 的 $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$ 都有下列不等式成立:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|f(x)|^2\mathrm{d}x\leq \mathrm{e}^{C_{spe}\cdot(1+R)}\int_{E}|f(x)|^2\mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$

注 2.1 此引理见文献[18,19]. 此时, 我们称可测集 $E$ 满足谱不等式 (2.1). 由 [18] 的引理 2.1 可知 $C_{spe}=C(n)(1+L)(1+\ln\frac{1}{\gamma})$.

3 Hölder 型插值不等式}

定义 3.1 我们称可测集 $E\subset \mathbb{R}^n$ 对于方程 (1.1) 满足 Hölder 型插值不等式: 如果对任意的 $\theta\in(0,1)$ 存在常数 $C_{H\ddot{o}ld}=C(n,T, E,\theta)>0$使得下列不等式成立.

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x\leq C_{H\ddot{o}ld}\big(\int_{E}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x\big)^{\theta}\big(\int_{\mathbb{R}^n}|y(x,0)|^2\mathrm{d}x\big)^{1-\theta}. \end{eqnarray*}$

定理 3.1 若可测集 $E\subset \mathbb{R}^n$ 是在尺度 $L$ 下的 $\gamma$-厚集, 则 $E\subset \mathbb{R}^n$ 对于方程 (1.1) 满足 Hölder 型插值不等式,其中 $C_{H\ddot{o}ld}=12\mathrm{e}^{\tilde{C}(1+\big(\frac{1}{T}\big)^{\frac{1}{2m-2}})}$ 且指数中的常数 $\tilde{C}$ 不包含 $\frac{1}{T}$.

证 在频域空间我们定义函数如下:

$\begin{eqnarray*} \chi_{R}(\xi)= \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \;\; |\xi|\leq R,\\ 0, & \textrm{其他}. \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

对任意初始值 $y_0\in L^2(\mathbb{R}^n)$, 我们分别定义 $y_0^1, y_0^2\in L^2(\mathbb{R}^n)$ 为

$\begin{eqnarray*} y_0^1=\mathcal{F}^{-1}\big(\chi_{R}\cdot\mathcal{F}(y_0)\big),\: \: y_0^2=\mathcal{F}^{-1}\big((1-\chi_{R})\cdot\mathcal{F}(y_0)\big). \end{eqnarray*}$

显然, 我们有

$\begin{eqnarray*} y_0=y_0^1+y_0^2, \end{eqnarray*}$

通过计算可得

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x\leq2\int_{\mathbb{R}^n}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^1|^2\mathrm{d}x+2\int_{\mathbb{R}^n}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^2|^2\mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$

其中,

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}(\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^1)=\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(\xi)}\mathcal{F}(y_0^1)=\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(\xi)}\chi_{R}\cdot\mathcal{F}(y_0). \end{eqnarray*}$

所以满足 $\textrm{supp}\mathcal{F}({\rm e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^1)\subset B_R$.

由引理 2.3, 我们可得

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^1|^2\mathrm{d}x &\leq& \mathrm{e}^{C_{spe}(1+R)}\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^1|^2\mathrm{d}x, \end{eqnarray*}$

这里 $C_{spe}$ 是引理 2.3} 中给定的常数.另一方面利用 Plancherel 定理和引理 2.1,

$\begin{eqnarray*} &&\int_{\mathbb{R}^n}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^2|^2\mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^n}|\mathcal{F}(\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^2)|^2\mathrm{d}\xi\\ &=&\int_{\mathbb{R}^n}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(\xi)}\mathcal{F}(y_0^2)|^2\mathrm{d}\xi =\int_{\mathbb{R}^n}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(\xi)}(1-\chi_{R})\cdot\mathcal{F}(y_0)|^2\mathrm{d}\xi\\ &\leq& \mathrm{e}^{-C_1TR^{2m}}\int_{\mathbb{R}^n}|\mathcal{F}(y_0)|^2\mathrm{d}\xi= \mathrm{e}^{-C_1TR^{2m}}\int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{eqnarray*} &~~~&\int_{\mathbb{R}^n}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x\\ &\leq&2\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R)}\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^1|^2\mathrm{d}x+2\int_{\mathbb{R}^n}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^2|^2\mathrm{d}x.\\ &\leq&4\mathrm{e}^{ C_{spe}(1+R)}\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0|^2\mathrm{d}x+(2+4\mathrm{e}^{C_{sp}(1+R)})\int_{\mathbb{R}^n}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0^2|^2\mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$

进一步, 结合引理 2.2 可得

$\begin{eqnarray*} & &\int_{\mathbb{R}^n}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x \nonumber \\ &\leq&4\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R)}\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0|^2\mathrm{d}x+(2+4\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R)})\mathrm{e}^{-C_1TR^{2m}}\int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x\nonumber \\ &\leq&4\mathrm{e}^{\bar{C}(1+R)}\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0|^2\mathrm{d}x+6\mathrm{e}^{\bar{C}}\cdot \mathrm{e}^{\bar{C}R-C_1TR^{2m}}\int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x, \end{eqnarray*}$

其中 $\bar{C}=\max\{1, C_1T, C_{spe}\}$.

对于任意的 $\varepsilon\in(0,1)$, 令 $L=\ln\frac{1}{\varepsilon}$, 取 $R>1$ 且满足:

$\begin{eqnarray*} -\bar{C}RL\leq \bar{C}R-C_1TR^{2m}\leq -L. \end{eqnarray*}$

则由不等式 (3.4) 第二部分可得,

$\begin{eqnarray*} 6\mathrm{e}^{\bar{C}}\cdot \mathrm{e}^{\bar{C}R-C_1TR^{2m}}\int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x\leq 6\mathrm{e}^{\bar{C}}\varepsilon\int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$

另一方面, 由不等式 (3.4) 第一部分可得,

$\begin{eqnarray*} R\leq \big(\frac{\bar{C}(L+1)}{C_1T}\big)^{\frac{1}{2m-1}}. \end{eqnarray*}$

从而结合 Young 不等式可得

$\begin{eqnarray*} \bar{C}R&\leq& \bar{C}\big(\frac{\bar{C}(L+1)}{C_1T}\big)^{\frac{1}{2m-1}}= (L+1)^{\frac{1}{2m-1}}\cdot[\bar{C}^{\frac{2m}{2m-1}}\big(\frac{1}{C_1T}\big)^{\frac{1}{2m-1}}]\\ &\leq& \frac{1-\theta}{\theta}(L+1)+C(\theta) \bar{C}^{\frac{2m}{2m-2}}\big(\frac{1}{C_1T}\big)^{\frac{1}{2m-2}}, \end{eqnarray*}$

这里 $C(\theta)=\big(\frac{1-\theta}{\theta}(2m-1)\big)^{-\frac{1}{2m-2}}\frac{2m-2}{2m-1}$. 因此可得,

$\begin{eqnarray*} 4\mathrm{e}^{\bar{C}(1+R)}\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0|^2\mathrm{d}x\leq 4\mathrm{e}^{\bar{C}+\frac{1-\theta}{\theta}}\mathrm{e}^{\bar{C}(\theta)\big(\frac{1}{T}\big)^{\frac{1}{2m-2}}}\varepsilon^{-\frac{1-\theta}{\theta}}\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0|^2\mathrm{d}x, \end{eqnarray*}$

这里 $\bar{C}(\theta)=C(\theta)\big(\frac{\bar{C}^{2m}}{C_1}\big)^{\frac{1}{2m-2}}$. 结合 (3.3) 和 (3.6) 可得

$\begin{eqnarray*} & &\int_{\mathbb{R}^n}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x \\ \nonumber &\leq&4\mathrm{e}^{\bar{C}+\frac{1-\theta}{\theta}}\mathrm{e}^{\bar{C}(\theta)\big(\frac{1}{T}\big)^{\frac{1}{2m-2}}}\varepsilon^{-\frac{1-\theta}{\theta}}\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0|^2\mathrm{d}x +6\mathrm{e}^{\bar{C}}\varepsilon\int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x\\ \nonumber &\leq&6\mathrm{e}^{\bar{C}+\frac{1-\theta}{\theta}}\mathrm{e}^{\bar{C}(\theta)\big(\frac{1}{T}\big)^{\frac{1}{2m-2}}}\big(\varepsilon^{-\frac{1-\theta}{\theta}}\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0|^2\mathrm{d}x +\varepsilon\int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x\big). \end{eqnarray*}$

在 (3.7) 中取 $\varepsilon=\big(\frac{\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0|^2\mathrm{d}x}{\int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x}\big)^{\theta}$ 可得

$\begin{eqnarray*} \quad\int_{\mathbb{R}^n}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x \leq12\mathrm{e}^{\bar{C}+\frac{1-\theta}{\theta}}\mathrm{e}^{\bar{C}(\theta)\big(\frac{1}{T}\big)^{\frac{1}{2m-2}}} \big(\int_{E}|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}y_0|^2\mathrm{d}x\big)^{\theta}\big(\int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x\big)^{1-\theta}. \end{eqnarray*}$

证毕.

4 唯一延拓性

首先我们有如下引理.

引理 4.1 存在常数 $c_1, c_2>0$ 使得对任意的 $f\in H^{-m}(\mathbb{R}^n)$ 有

$\begin{eqnarray*} c_1\|f\|^2_{H^{-m}(\mathbb{R}^n)}\leq\int_{\mathbb{R}^n}(1+\mathcal{P}(\xi))^{-1}|\hat{f}(\xi)|^2\mathrm{d}x\leq c_2\|f\|^2_{H^{-m}(\mathbb{R}^n)}. \end{eqnarray*}$

证 结合引理 2.1 可得, 存在常数 $c_1, c_2>0$ 使得:

$\begin{eqnarray*} c_1(1+\mathcal{P}(\xi))\leq (1+|\xi|^2)^m \leq c_2(1+\mathcal{P}(\xi)). \end{eqnarray*}$

对于任意的 $f\in H^{-m}(\mathbb{R}^n)$, $\|f\|^2_{H^{-m}(\mathbb{R}^n)}=\int_{\mathbb{R}^n}(1+|\xi|^2)^{-m}|\hat{f}(\xi)|^2\mathrm{d}x$.由此可得 (4.1).

注 4.1 (4.1) 式说明 $\int_{\mathbb{R}^n}(1+\mathcal{P}(\xi))^{-1}|\hat{f}(\xi)|^2\mathrm{d}x$ 定义了 Sobolev 空间 $H^{-m}(\mathbb{R}^n)$ 的一个等价范数.

定理 4.1 若方程 (1.1) 的初值 $y_0\neq0$, $E\subset \mathbb{R}^n$ 是在尺度 $L$ 下的 $\gamma$-厚集, 则存在常数 $C=C(n, E, T)>0$ 使得方程的解 $y$ 满足如下不等式:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x\leq C\mathrm{e}^{C\frac{\|y_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}}{\|y_0\|_{H^{-m}(\mathbb{R}^n)}}}\int_{E}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$

证 若方程 (1.1) 的初值 $y_0\neq0$, 通过求解方程可知 $y(\cdot, t)\neq0$$(0<t\leq T)$.

我们首先定义函数如下:

$\begin{eqnarray*} \phi(t)=\int_{\mathbb{R}^n}|\hat{y}(\xi,t)|^2\mathrm{d}\xi; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi(t)=\int_{\mathbb{R}^n}(1+\mathcal{P}(\xi))^{-1}|\hat{y}(\xi,t)|^2\mathrm{d}\xi; \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \eta(t)=\frac{\phi(t)}{\varphi(t)}. \end{eqnarray*}$

对方程 (1.1) 做 Fourier 变换可得:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}(t)=-\int_{\mathbb{R}^n}\mathcal{P}(\xi)|\hat{y}(\xi,t)|^2\mathrm{d}\xi;\\ \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}(t)=-\int_{\mathbb{R}^n}\mathcal{P}(\xi)(1+\mathcal{P}(\xi))^{-1}|\hat{y}(\xi,t)|^2\mathrm{d}\xi. \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

通过计算我们有:

$\begin{eqnarray*} \eta'(t)&=&\frac{-\varphi(t)\int_{\mathbb{R}^n}\mathcal{P}(\xi)|\hat{y}(\xi,t)|^2\mathrm{d}\xi+\phi(t) \int_{\mathbb{R}^n}\mathcal{P}(\xi)(1+\mathcal{P}(\xi))^{-1}|\hat{y}(\xi,t)|^2\mathrm{d}\xi}{|\varphi(t)|^2}\\ &=&\frac{-\varphi(t)\int_{\mathbb{R}^n}(1+\mathcal{P}(\xi))|\hat{y}(\xi,t)|^2\mathrm{d}\xi+ |\int_{\mathbb{R}^n}|\hat{y}(\xi,t)|^2\mathrm{d}\xi|^2}{|\varphi(t)|^2}\\ &\leq&0. \end{eqnarray*}$

所以 $\eta(t)$ 是单调递减的.

另一方面,

$\begin{eqnarray*} 0&=&\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}(t)+\int_{\mathbb{R}^n}\mathcal{P}(\xi)(1+\mathcal{P}(\xi))^{-1}|\hat{y}(\xi,t)|^2\mathrm{d}\xi\\ &=&\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}(t)+(\eta(t)-1)\varphi(t)\\ &\leq&\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}(t)+(\eta(0)+1)\varphi(t). \end{eqnarray*}$

解上述不等式可得:

$\begin{eqnarray*} \varphi(0)\leq \mathrm{e}^{2(\eta(0)+1)t} \varphi(t). \end{eqnarray*}$

因此可得:

$\begin{eqnarray*} \frac{\phi(0)}{\phi(t)}\leq\frac{\varphi(0)}{\varphi(t)}\eta(0)\leq \mathrm{e}^{2(\eta(0)+1)t}\eta(0). \end{eqnarray*}$

结合 Plancherel 定理和 (4.1) 可得:存在 常数 $C=C(T)>0$ 使得方程的解 $y$ 满足如下不等式:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|y_0|^2\mathrm{d}x\leq C\mathrm{e}^{C\frac{\|y_0\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}}{\|y_0\|_{H^{-m}(\mathbb{R}^n)}}}\int_{\mathbb{R}^n}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$

最后利用定理 3.1 可得 (4.2). 证毕.

注 4.2 为了证明定理 4.1, 我们构造了辅助函数 $\eta(t)$. 它揭示高阶抛物方程 (1.1) 的解在频率结构下的耗散机制.这一辅助函数对克服方程 (1.1) 带来的技术困难起到了关键作用.

注 4.3 事实上, (4.3) 说明如果 $y(\cdot, T)=0$, 则在 $\mathbb{R}^n\times[T]$ 上, $y(\cdot, t)\equiv0$. 它可以看成是方程 (1.1) 解的倒向唯一性估计. (4.2) 说明如果在 $E$ 上 $y(\cdot, T)=0$, 则在 $\mathbb{R}^n\times[T]$ 上, $y(\cdot, t)\equiv0$. 这可以看成是方程 (1.1) 解的定量的唯一延拓性质.

5 能观性估计

本节我们研究方程 (1.1) 的能观性估计. 我们首先介绍如下的定义.

定义 5.1 如果对于任意的 $T>0$, 存在正数 $C_{obs}=C(n,T,E)>0$ 使得下列不等式成立:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x\leq C_{obs}\int_{0}^{T}\int_{E}|y(x,t)|^2\mathrm{d}x\mathrm{d}t. \end{eqnarray*}$

我们称可测集 $E\subset \mathbb{R}^n$ 对于方程 (1.1) 满足能观性估计.

注5.1 由 Hilbert 唯一性方法 (HUM) 可知, 线性控制系统的能控性等价于其对偶系统的能观性, 我们通过研究对偶系统的能观性估计的方法证明原系统的能控性问题.

下面的引理在证明方程 (1.1) 的能观性估计中起到很关键的作用.

引理5.1 如果 $F\subset \mathbb{R}$ 是一个具有正测度的可测集, $\ell$ 是 $F$ 的一个稠密 Lebesgue 点. 那么, 对于每一个 $\lambda>1$,存在 $\ell_1\in(\ell,T)$ 使得按照如下方式定义的序列 $\{\ell_i\}_{i=1}^\infty$

$\begin{eqnarray*} \ell_{i+1}:=\ell+(\frac{1}{\lambda})^i(\ell_1-\ell), \end{eqnarray*}$

满足不等式

$\begin{eqnarray*} |F\cap(\ell_{i+1},\ell_i)|\geq\frac{1}{3}(\ell_i-\ell_{i+1}). \end{eqnarray*}$

此引理证明参见文献[11]. 由此引理我们可以得到下列能观性估计.

定理 5.1 设 $F\subseteq(0,T]$ 是一个具有正测度的可测集, $E\subset \mathbb{R}^n$ 是在尺度 $L$ 下的 $\gamma$-厚集,则存在一个常数 $C_{obs}=C(n,T,E,F)>0$ 使得方程 (1.1) 满足如下能观性估计

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}|y(x,T)|^2\mathrm{d}x\leq C_{obs}\int_F\int_E|y(x,t)|^2\mathrm{d}x\mathrm{d}t. \end{eqnarray*}$

证 1) 设 $\ell$ 是 $F$ 的稠密 Lebesgue 点. 我们取一个正数 $\lambda>1$. 由引理 5.1, 存在 $\ell_1\in(\ell, T]$ 和序列 $\{\ell_i\}_{i=1}^\infty$

满足 (5.2) 和 (5.3).我们定义 $(0,T]$ 的子集如下:

$\begin{eqnarray*} F_i:= F\cap(\ell_{i+1}+\frac{l_i-\ell_{i+1}}{6}, \ell_{i}). \end{eqnarray*}$

显然我们有

$\begin{eqnarray*} |F_i|=\big|F\cap\big[(\ell_{i+1},\ell_i)\setminus(\ell_{i+1}, \ell_{i+1}+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6})\big]\big|. \end{eqnarray*}$

由 (5.3) 可得

$\begin{eqnarray*} |F_i|\geq\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}. \end{eqnarray*}$

接着由 (5.2) 我们有

$\begin{eqnarray*} \ell_i-\ell_{i+1}=\frac{1}{\lambda^{i}}(\lambda-1)(\ell_1-\ell), \:\: i=1, 2, 3,\cdots. \end{eqnarray*}$

以及,

$\begin{eqnarray*} \frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{\ell_{i+1}-\ell_{i+2}}=\lambda, \:\: i=1, 2, 3,\cdots. \end{eqnarray*}$

由于$m\geq2$ 和参数 $\lambda>1$, 我们可以找到 $i_0\in \mathbb{N}^+$ 使得任意 $i\geq i_0$ 有以下不等式成立.

$\begin{eqnarray*} \frac{C_1}{6}(\lambda-1)(\ell_1-l)\lambda^{2mi}>\ln(12\lambda)+C_{spe}(1+\lambda^{i+1+\frac{i+1}{2m}}), \end{eqnarray*}$

其中 $C_1$ 和 $C_{spe}$ 分别是引理 2.1 和引理 2.3} 中给定的正数. 取正数序列 $\{R_i\}_{i=1}^{\infty}$ 满足:

$\begin{eqnarray*} R_i=\lambda^{(i-1)+i_0+\frac{(i-1)+i_0}{2m}}, \:\: i=1, 2, 3\cdots. \end{eqnarray*}$

不难验证,

$\begin{eqnarray*} \frac{C_1}{6\lambda^i}(\lambda-1)(\ell_1-l)R_{i}^{2m}>\ln(12\lambda)+C_{spe}(1+R_{i+1}), \:\: i=1, 2, 3\cdots. \end{eqnarray*}$

2) 对于任意的 $\phi\in L^2(\mathbb{R}^n)$ 我们有

$\begin{eqnarray*} \phi=\phi_1+\phi_2, \end{eqnarray*}$

其中

$\begin{eqnarray*} \phi_1=\mathcal{F}^{-1}\big(\chi_{R_i}\cdot\mathcal{F}(\phi)\big), \:\:\:\: \phi_2=\mathcal{F}^{-1}\big((1-\chi_{R_i})\cdot\mathcal{F}(\phi)\big), \end{eqnarray*}$

这里 $\chi_{R_i}$ 是由 (3.2) 定义. 由 (5.6) 我们可得:

$\begin{eqnarray*} \frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i}\mathcal{P}(D)}\phi_1\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} &\leq& \int_{\ell_{i+1}+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}}^{\ell_{i}}\chi_{F}(t)\|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi_1\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\mathrm{d}t\\ &\leq& \mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}\int_{\ell_{i+1}+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}}^{\ell_{i}}\chi_{F}(t) \|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi_1\|_{L^2(E)}\mathrm{d}t. \end{eqnarray*}$

由三角不等式可得:

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i}\mathcal{P}(D)}\phi_1\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\\ &\leq& \mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}\int_{\ell_{i+1}+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}}^{\ell_{i}}\chi_{F}(t) \left(\|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(E)}+\|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi_2\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\right)\mathrm{d}t. \end{eqnarray*}$

由以上两个不等式可推出

$\begin{eqnarray*} \frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\|\mathrm{e}^{-\ell_i\mathcal{P}(D)}\phi_1\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} &\leq& \mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}\int_{\ell_{i+1}+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}}^{\ell_{i}}\chi_{F}(t) \|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(E)}\mathrm{d}t\nonumber \\ &~~~&+\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}(\ell_i-\ell_{i+1})\|\mathrm{e}^{-(\ell_{i+1}+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6})\mathcal{P}(D)}\phi_2\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\nonumber \\ &\leq& \mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}\int_{\ell_{i+1}+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}}^{\ell_{i}}\chi_{F}(t) \|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(E)}\mathrm{d}t \\ &+&\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}(\ell_i-\ell_{i+1})\mathrm{e}^{-C_1\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}R_{i}^{2m}}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi_2\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}.\nonumber \end{eqnarray*}$

更进一步,

$\begin{eqnarray*} \frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i}\mathcal{P}(D)}\phi_2\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leq \frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\mathrm{e}^{-C_1(\ell_i-\ell_{i+1})R_{i}^{2m}}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi_2\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}. \end{eqnarray*}$

利用三角不等式可得:

$\begin{eqnarray*} \frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i}\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\leq\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i}\mathcal{P}(D)}\phi_1\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} +\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i}\mathcal{P}(D)}\phi_2\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}. \end{eqnarray*}$

结合 (5.9), (5.1}) 和引理 2.1 可以推出

$\begin{eqnarray*} \frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i}\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}&\leq& \mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}\int_{\ell_{i+1}+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}}^{\ell_{i}}\chi_{F}(t) \|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(E)}\mathrm{d}t \nonumber \\ &~~~&+\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}(\ell_i-\ell_{i+1})\mathrm{e}^{-C_1\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}R_i^{2m}}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi_2\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \nonumber \\ &~~~&+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}\mathrm{e}^{-C_1(\ell_i-\ell_{i+1})R_i^{2m}}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi_2\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}. \end{eqnarray*}$

利用 Plancherel 定理, 在频域里计算, 可得

$\begin{eqnarray*} \|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi\|^2_{L^2(\mathbb{R}^n)}=\|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi_1\|^2_{L^2(\mathbb{R}^n)} +\|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi_2\|^2_{L^2(\mathbb{R}^n)}. \end{eqnarray*}$

所以有

$\begin{eqnarray*} \|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi_2\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\leq\|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}. \end{eqnarray*}$

整理 (5.11}) 和 (5.12) 可得:

$\begin{eqnarray*} &~~~&\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}}\|\mathrm{e}^{-l_{i}\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} &-\frac{\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)} +1}{\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)}}(\ell_i-\ell_{i+1})\mathrm{e}^{-C_1\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}R_i^{2m}}\|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\nonumber \\ &\leq&\int_{\ell_{i+1}+\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}}^{\ell_{i}}\chi_{F}(t) \|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(E)}\mathrm{d}t. \end{eqnarray*}$

3) 将 (5.13) 中 $i$ 取定, 然后从 $1$ 加到 $\infty$, 可得:

$\begin{eqnarray*} &~~~&\frac{\ell_{1}-\ell_{2}}{6\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_1)}}\|\mathrm{e}^{-\ell_{1}\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}+\sum_{i=2}^\infty k_i\|\mathrm{e}^{-\ell_{i+1}\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}\nonumber \\ &\leq&\int_{0}^{T}\chi_{F}(t) \|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(E)}\mathrm{d}t, \end{eqnarray*}$

其中,

$\begin{eqnarray*} k_i= \frac{\ell_{i+1}-\ell_{i+2}}{6\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_{i+1})}} -\frac{\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_i)} +1}{\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_{i})}}(\ell_i-\ell_{i+1})\mathrm{e}^{-C_1\frac{\ell_i-\ell_{i+1}}{6}R_i^{2m}} \:\:\:(i=1, 2, 3,\cdots). \end{eqnarray*}$

由 (5.8) 可得:

$\begin{eqnarray*} k_i>0, \:\:\:(i=1, 2, 3,\cdots). \end{eqnarray*}$

结合引理 2.2 和 (5.15) 可以推出:

$\begin{eqnarray*} \|\mathrm{e}^{-T\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leq\|\mathrm{e}^{-\ell_{1}\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leq\frac{6\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_1)}}{\ell_{1}-\ell_{2}}\int_{F}\|\mathrm{e}^{-t\mathcal{P}(D)}\phi\|_{L^2(E)}\mathrm{d}t. \end{eqnarray*}$

即可得:

$\begin{eqnarray*} \|y(x,T)\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leq\frac{6\mathrm{e}^{C_{spe}(1+R_1)}}{\ell_{1}-\ell_{2}}\int_{F} \|y(x,t)\|_{L^2(E)}\mathrm{d}t, \end{eqnarray*}$

两边平方后由 Cauchy 不等式可以证明 (5.4). 证毕.

注 5.2 由 (5.16) 和注 2.1 可知, 能观性常数 $C_{obs}=\big(\frac{6\mathrm{e}^{C(n)(1+L)(1+\ln\frac{1}{\gamma})(1+R_1)}}{\ell_{1}-\ell_{2}}\big)^2\cdot|F|$, 其中参数 $R_1$ 在 (5.7) 中定义, 且参数 $R_1$, $\ell_{1}$ 和 $\ell_{2}$ 均由 $T$ 和集合 $F$ 确定 (参见引理 5.1). 而参数 $L$ 和 $\gamma$ 由观测集 $E$ 确定.

由定理 5.1 可得如下推论.

推论 5.1 设 $E\subset \mathbb{R}^n$ 是在尺度 $L$ 下的 $\gamma$-厚集, 则集合 $E$ 对于方程 (1.1) 满足能观性估计 (5.1).

该结论可直接由定理 5.1 得到, 此处我们省略证明过程.

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