考虑如下具有对数非线性项和 $p$-Laplacian 算子的 Schrödinger-Poisson 方程

其中 $a, \mu>0$, $2\leq p<3$, $q\in(p, \bar{p})\cup(\bar{p}, p^*)$, $\bar{p}:=p+\frac{p^2}{3}$, $p^*:= \frac{3p}{3-p}$ 且 $\lambda \in \mathbb{R}$ 是拉格朗日乘子.

当 $p=2$ 时, (1.1)源于如下非线性 Schrödinger-Poisson 方程

其中 $\psi(t,x): (0, \infty)\times \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{C}$ 是一个复值函数. 方程(1.2)中任何满足柯西初值函数 $\psi(0,x)$ 的解都具有 $L^2$-质量, 即

方程(1.2)常用于对非线性光学和玻色-爱因斯坦凝聚的研究, 其中 $\psi$ 描述了凝聚的状态, 而 $L^2$-质量对应原子的总数, 参见文献[1,2]. (1.2)的驻波解形如 $\psi(t, x)=\mathrm{e}^{-{\rm i} \lambda t} u(x)$, 其中 $\lambda \in \mathbb{R}$, $u: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个与时间无关的函数, 并且 $u$ 满足下面非线性 Schrödinger-Poisson 方程

其中 $g(u)=u \mathrm{log}|u|^2+\mu|u|^{q-2}u$. 方程(1.3)在量子力学、量子光学、核物理、传输与扩散现象、开放量子系统、量子引力效应、超流体理论和玻色-爱因斯坦凝聚等方面具有重要的物理应用, 详细论述参见文献[3] 及其中的参考文献.

对数非线性项的出现使得问题(1.3)面临着一些困难. 例如, 问题(1.3)的能量泛函不是 $C^1$ 的, 因为可以找到一个如下函数

使得存在 $u \in H^1\left(\mathbb{R}^3\right)$, 但是 $\int_{\mathbb{R}^3} u^2 \log u^2 \mathrm{d}x=-\infty$. Cazenave^[4] 首次处理了这一困难, 作者考虑了如下 Schrödinger 方程

其中工作空间 $W :=\left\{u \in H^1\left(\mathbb{R}^N\right): \int_{\mathbb{R}^N}\left|u^2 \log u^2\right| \mathrm{d}x<\infty\right\}$, 范数为 Luxemburg 范数. 更准确地说, 作者引入了一个 $N$-函数

$\|\cdot\|_{H^1(\mathbb{R}^N)}+\|\cdot\|_A$ 为 Luxemburg 范数, 约束在流形 $\Sigma :=\left\{u \in W: \int_{\mathbb{R}^N} u^2 \mathrm{d}x=1\right\}$ 上, 作者得到了无穷多解的存在性.

随后, 关于对数 Schrödinger 方程的其他研究方法也被逐渐提出. d'Avenia 等^[5]使用非光滑函数的临界点理论研究了一类对数 Schrödinger 方程解的存在性、唯一性和多重性. 之后, Squassina 和 Szulkin^[6,7] 将对数 Schrödinger 方程的相关函数分解为一个 $C^1$ 函数和一个凸下半连续函数的和, 这种分解的具体形式为

其中 $F_1$ 是一个 $C^1$ 非负凸函数, $F_2$ 也是一个 $C^1$ 函数且具有次临界增长, 他们研究了具有周期位势的对数 Schrödinger 方程的基态解和多重解的存在性. 近年来, Alves 等^[8,9,10]也做了同样的分解, 然后研究了在空间 $H^{1}(\mathbb{R}^N)\cap L^{F_1}(\mathbb{R}^N)$ (见第 2 节) 中的一些不同类型的对数 Schrödinger 方程. 其他关于对数 Schrödinger 方程的研究可参见文献[11,12,13,14].

$p$-Laplacian 算子出现在许多非线性问题中, 例如, 在非牛顿流体、反应扩散、图像恢复等问题中. 当 $ p = \frac{3}{2}$ 时, $p$-Laplacian 算子用于多空介质流体动力学的研究; 当 $p\geq 2$ 时, 用于非线性弹性力学问题的研究; 当 $p\in(1, \frac{4}{3}]$ 时, 用于冰川学的研究, 详细论述可参见文献[15,16,17]及其中的参考文献. 近年来, 许多研究者对具有质量约束的 $p$-Laplacian 方程规范化解的研究感兴趣, $\lambda$ 作为拉格朗日乘子出现. Wang 等^[18]研究了下列 $p$-Laplacian 方程规范化解的存在性

其中 $a>0$ 充分小, $\max\left\{1, \frac{2 N}{N+2}\right\}<p<N$ 且 $s \in\left(\frac{N+2}{N} p, p^*\right)$, $p^*:=$$\frac{N p}{N-p}$.Zhang 和 Zhang^[19] 研究了如下具有 $L^p$-质量约束的 $p$-Laplacian 方程

其中 $N\geq 2$, $a>0$, $\mu \in \mathbb{R}$, $1<p<q \leq \bar{p} := p+\frac{p^2}{N}$, $g \in \mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 是奇函数. 对于合适的 $\mu$ 值, 通过 Schwarz 重排, Ekeland 变分原理和喷泉定理, 他们得到了多个规范化解的存在性结果, 其中包括无穷多解的存在性.

Shen 和 Squassina^[20] 研究了一类具有对数非线性项的 $p$-Laplacian 方程

其中 $a, \varepsilon>0, \lambda \in \mathbb{R}$ 是拉格朗日乘子, $2 \leq p<N$ 且位势 $V \in \mathcal{C}^0\left(\mathbb{R}^N\right)$ 满足一些适当的假设. 通过变分法, 他们证明了正解的个数与位势 $V$ 的形态有关, 并且每一个解在 $\varepsilon\rightarrow 0^+$ 时的半经典极限下都集中在 $V$ 的全局极小值附近. 此外, 还研究了在质量超临界情形下, 具有对数非线性项的 $p$-Laplacian 方程的规范化解的存在性.

事实上, 根据 Lax-Milgram 定理, 给定一个 $u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^3)$, 存在唯一的 $\phi_u \in D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 使得 $-\Delta \phi_u=|u|^p$. 通过文献[21] 可知

因此, 方程(1.1)可以转化为

目前为止, 关于具有对数非线性项的 $p$-Laplacian Schrödinger-Poisson 方程还没有相关的研究结果, 受上述文献的启发, 本文将研究在 $L^p$-质量约束下问题(1.5)的规范化解的存在性. (1.5)的解对应下面泛函

约束在球面 $S(a)=\{u\in X: |u|^p_p=a^p\}$ 上的临界点, 其中 $a>0$, 工作空间 $X=W^{1, p}(\mathbb{R}^3) \cap L^{F_1}(\mathbb{R}^3)$ (见第 2 节).

本文的主要结论表述如下.

定理 1.1 假设 $2\leq p<3$, $\mu>0$ 且 $p<q<\bar{p}:=p+\frac{p^2}{3}$, 那么存在 $\tilde{a}>0$, 使得当 $a>\tilde{a}$ 时, $m(a)$ 有一个极小元 $u\in S(a)$, 且 $u$ 是正的、径向对称和递减的. 此外, 存在一个 $\lambda>0$, 使得 $(u,\lambda)\in X\times \mathbb{R}^+$ 是问题(1.5)的解.

注 1.1 类似于文献[20], 本文将 $p$-Laplacian 方程中的对数项分解为一个 $C^1$ 非负凸函数和一个具有次临界增长的 $C^1$ 函数 (见第 2 节). 在证明定理 1.1 的过程中, 本文面临的一个挑战是嵌入 $X\hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^3)$ 是不紧的, 为了克服这个困难, 采用集中紧性原理来恢复紧性, 见引理 3.4.

定理 1.2 假设 $2\leq p<3$, $\mu>0$ 且 $p+\frac{p^2}{3}<q<p^*$, 那么存在 $\bar{a}^*>0$ 和 $\bar{\mu}^{*}>0$, 使得当 $a>\bar{a}^*$ 和 $\mu\in(0, \bar{\mu}^{*})$ 时, 问题(1.5)有一对弱解 $(\bar{u}, \bar{\lambda})\in X\times \mathbb{R}^+$, 并且对于任意 $x\in \mathbb{R}^3$, $\bar{u}(x)>0$.

定理 1.3 设 $u\in W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(\mathbb{R}^3)\cap L_{\mathrm{loc}}^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 是方程(1.5)的局部弱解, 则存在 $\bar{\mu}^*>0$ 和 $\bar{\lambda}^*>0$ 使得对任意的 $\mu\in (0,\bar{\mu}^*)$ 和 $\lambda\in (0,\bar{\lambda}^*)$, 有 $u\in C_{\mathrm{loc}}^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3)$, 任意 $\alpha\in (0,1)$.

注 1.2 对任意 $u\in S(a)$, 令 $u_t(x):=t^{\frac{3}{p}}u(tx)$ ($t>0$), 当 $t\rightarrow+\infty$ 时, $J(u_t)\rightarrow-\infty$, 这表明对任意 $a>0$, 有 $m(a)=-\infty$. 为了避免这种情况, 引入一个 Pohozaev 流形

其中

然而, 根据文献[22], 考虑下面的极小化问题是失败的

因为不能得到对应极小化序列的紧性, 实际上, 也不能确保 $m_p(a)< 0$. 因此, 根据文献[23], 本文引入一个截断理论, 使用截断函数来完成定理 1.2 的证明. 最后, 根据文献[24] 中的定理 1 和推论来证明定理 1.3.

对于每一个 $\mathcal{R}>0$ 和 $p<\bar{q}<p+\frac{p^2}{3}$, 定义一个辅助函数 $f_{\mathcal{R}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$,

使用函数 $f_{\mathcal{R}}$, 那么需要解决的问题(1.5)转变为

能量泛函 $J_{\mathcal{R}}:X\rightarrow \mathbb{R}$ 为

其中 $F_{\mathcal{R}}(t)=\int^{t}_{0}f_{\mathcal{R}}(s)\mathrm{d}s$. 由 $f_{\mathcal{R}}$ 的定义可得

当常数 $\mathcal{R}>0$ 取定后, 因为 $p<\bar{q}<p+\frac{p^2}{3}$, 由(1.7)式可知 $f_{\mathcal{R}}$ 是具有 $L^p$-次临界增长的. 那么根据定理 1.1, 可以立即得到下面推论.

推论1.1 假设 $2\leq p<3$, $\mu>0$ 且 $p<\bar{q}<p+\frac{p^2}{3}$, 那么对每一个 $\mathcal{R}>0$, 存在 $a^*>0$ (与 $\mathcal{R}$, $\mu$ 无关) 使得当 $a>a^*$ 时, 问题(1.6)存在一对弱解 $(u_{\mathcal{R}},\lambda_{\mathcal{R}})\in X\times \mathbb{R}$, 并且对任意 $x\in \mathbb{R}^3$, 有 $u_{\mathcal{R}}(x)>0$.

由推论 1.1 可知, 如果 $u_{\mathcal{R}}\in X$ 是问题(1.6)的解且满足 $|u_{\mathcal{R}}|_\infty\leq \mathcal{R}$, 那么 $u_{\mathcal{R}}$ 是(1.5)的解. 因此, 我们的主要目标是找到一个 $\mathcal{R}>0$, 存在 $\bar{a}^{*}>0$ 和 $\bar{\mu}^{*}=\bar{\mu}^{*}(\mathcal{R})>0$, 使得当 $a>\bar{a}^{*}$ 且 $\mu\in (0, \bar{\mu}^{*})$ 时, $|u_{\mathcal{R}}|_\infty\leq \mathcal{R}$.

本文剩余部分的结构: 第 2 部分给出一些预备知识和主要引理. 第 3 部分给出主要定理的证明.

在本文中, 将使用下面这些符号:

1) $C, C_1, C_2,... $ 表示各种正常数, 行数不同表达的常数可能不同;

2) $|\cdot|_p$ 表示一般的 Lebesgue 空间 $L^{p}(\mathbb{R}^3)$ 的范数, $p\in[1, \infty)$;

3) 对任意 $x \in \mathbb{R}^3, r > 0, B_r(x) :=\{ y \in \mathbb{R}^3 : |y-x| < r\}.$

首先, 介绍本文用到的两个重要不等式. Gagliardo-Nirenberg 不等式^[25]. 令 $1<p<N$, $q\in [p,p^{*})$. 那么对任意 $u \in W^{1, p}(\mathbb{R}^N)$, 有

其中 $C_{N, q}>0, \gamma:=\frac{N(q-p)}{p q}$. 接下来, 介绍 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式^[26]. 对任意 $u \in W^{1, p}(\mathbb{R}^3)$, 有

其中 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}+\frac{n-\alpha}{n}=2$. 如果 $\alpha=n-1, r=s=\frac{5}{6}$, 那么

下面将介绍本文有关 Orlicz 空间的一些概念和性质^[27].

定义 2.1 称连续函数 $\Phi:\mathbb{R}\rightarrow[0, +\infty)$ 是一个 $N$-函数, 如果 $\Phi$ 满足下面条件

(i) $\Phi$ 既是凸函数也是偶函数;

(ii) $\Phi(t)=0\Longleftrightarrow t=0$ ;

(iii) $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\Phi(t)}{t}=0$, $\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$.

如果对于常数 $k>0$ 和 $t_0\geq 0$, 有

那么就说 $N$-函数 $\Phi$ 满足 $\Delta_2$-条件, 记为 $\Phi\in(\Delta_2)$.

通过勒让德变换得到与 $\Phi$ 相关的共轭函数 $\tilde{\Phi}$, 定义为

可以证明 $\tilde{\Phi}$ 也是一个 $N$-函数. $\Phi$ 和 $\tilde{\Phi}$ 互补, 也就是说, $\tilde{\tilde{\Phi}}=\Phi$.

设开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, 定义关于 $N$-函数 $\Phi$ 的 Orlicz 空间如下

这是一个 Banach 空间且具有 Luxemburg 范数

在 Orlicz 空间中, 相应的 Hölder 不等式和 Young 不等式为

和$ \left|\int_{\Omega} u v \mathrm{d}x\right| \leq 2\|u\|_{\Phi}\|v\|_{\tilde{\Phi}}, ~ \forall u \in L^{\Phi}(\Omega), ~\forall v \in L^{\tilde{\Phi}}(\Omega). $

当 $\Phi, \tilde{\Phi} \in\left(\Delta_2\right)$ 时, $L^{\Phi}(\Omega)$ 是一个自反的可分空间. 此外, $\Delta_2$-条件表明

和$ \text{在} L^{\Phi}(\Omega) \text{上} u_n \rightarrow u\Longleftrightarrow \int_{\Omega} \Phi\left(\left|u_n-u\right|\right) \mathrm{d}x \rightarrow 0. $

设 $\Phi$ 是一个 $C^1$ 的 $N$-函数, $\tilde{\Phi}$ 是 $\Phi$ 的共轭函数. 假设

那么 $\Phi, \tilde{\Phi} \in\left(\Delta_2\right)$. 此外, 函数 $\Phi$ 满足下面不等式

其中

根据文献[8,9,10], 定义函数 $F_1$ 和 $F_2$ 为

其中 $\delta>0$ 充分小, 那么就有

此外, $F_1$ 和 $F_2$ 满足下面性质:

$\left(\mathbf{P}_1\right)$$F_1$ 是偶函数, 对任意 $s \in \mathbb{R}$, $F_1^{\prime}(s) s \geq 0$, $F_1(s) \geq 0$. 并且, 如果 $\delta \approx 0^{+}$, 那么 $F_1 \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ 是凸的;

$\left(\mathbf{P}_2\right)$$F_2 \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \cap C^2((\delta,+\infty), \mathbb{R})$, 并且对每一个 $\tilde{q} \in\left(p, p^*\right)$, 存在一个 $C_{\tilde{q}}>0$ 使得

$\left(\mathbf{P}_3\right)$ 当 $s>0$ 时, $s \mapsto \frac{F_2^{\prime}(s)}{s^{p-1}}$ 是非减的, 当 $s>\delta$ 时, $s \mapsto \frac{F_2^{\prime}(s)}{s^{p-1}}$ 是严格增函数;

$(\mathbf{P}_4)$$\lim\limits_{s \rightarrow \infty} \frac{F_2^{\prime}(s)}{s^{p-1}}=\infty$.

下面引理是关于函数 $F_1$ 的一个重要结论, 可参见文献[8].

引理 2.1 函数 $F_1$ 是一个 $N$-函数, 如果 $2 \leq p<3$, 那么 $F_1, \tilde{F}_1 \in$$\left(\Delta_2\right)$.

证 通过直接计算可得 $F_1$ 满足定义 2.1 中的(i)-(iii). 如果 $F_1$ 满足类似于(2.3)式的形式, 那么 $F_1, \tilde{F}_1 \in\left(\Delta_2\right)$. 首先, 对 $F_1$ 求导, 有

接下来, 分别讨论 $0<s<(p-1) \delta$ 和 $s \geq(p-1) \delta$ 两种情况.

情况 1$0< s<(p-1) \delta.$

在这种情况下, 通过简单计算得出

这表明存在一个 $l_1>1$ 使得

其中 $\delta>0$ 充分小.

情况 2$s \geq(p-1) \delta$.

通过直接计算, 得出

对所有 $s \geq(p-1) \delta$, 有

那么 $\sup \limits_{s \geq(p-1) \delta} \frac{F_1^{\prime}(s) s}{F_1(s)} \leq p$. 显然,

因此

最后一个不等式结合 $p\geq2$ 确保了存在一个 $l \in(1,2)$ 使得

因为 $F_1$ 是一个偶函数, 那么对任意 $s \neq 0$, 上式都成立. 证明完毕.

用 $F_1$ 和 $\mathbb{R}^3$ 分别代替 $\Phi$ 和 $\Omega$, 那么就得到一个 Orlicz 空间 $L^{F_1}\left(\mathbb{R}^3\right)$, 并且有下面推论.

推论 2.1 泛函 $\Theta: L^{F_1}\left(\mathbb{R}^3\right) \rightarrow \mathbb{R}$,

是 $C^1(L^{F_1}(\mathbb{R}^3))$ 的, 并且

其中 $L^{F_1}\left(\mathbb{R}^3\right)$ 表示关于 $F_1$ 的 Orlicz 空间, Luxemburg 范数为 $\|\cdot\|_{F_1}$.

为了避免 $u \in W^{1, p}\left(\mathbb{R}^3\right)$ 但是 $F_1(u) \notin L^1\left(\mathbb{R}^3\right)$, 因此, 本文的工作空间为 $X=W^{1, p}\left(\mathbb{R}^3\right) \cap L^{F_1}\left(\mathbb{R}^3\right)$, 定义范数为

其中$\|\cdot\|_{W^{1, p}\left(\mathbb{R}^3\right)}$ 表示 $W^{1, p}\left(\mathbb{R}^3\right)$ 的一般范数.

根据 $X$ 空间的定义和(2.5)式, 下面给出有关对数项的 Brézis-Lieb 型引理.

引理 2.5 设 $\left\{u_n\right\}$ 是 $X$ 上的有界序列, 使得在 $\mathbb{R}^3$ 上 $u_n \rightarrow u$ 几乎处处成立且在 $L^1(\mathbb{R}^3)$ 上$\left\{\left|u_n\right|^p \log \left|u_n\right|^p\right\}$ 是有界的, 那么存在一个子序列, 有

证 由 (2.5)式, 有

因为 $\left\{u_n\right\}$ 在 $X$ 上有界, 通过性质 $\left(\mathbf{P}_2\right)$, 再根据文献[28] 中的引理 1.32, 可以得到

类似地,

结合上面两个式子, 可以立即证明结论成立.

在本节中, 我们将证明具有对数项的 $p$-Laplacian Schrödinger-Poisson 方程在 $L^p$-质量次临界和 $L^p$-质量超临界情形下规范化解的存在性.

为了研究问题(1.5), 考虑下面的极小化问题

接下来, 介绍一些主要引理及证明.

引理 3.1 设 $2 \leq p<3$, 泛函 $J$ 在 $S(a)$ 上强制且下方有界.

证 根据 $\left(\mathbf{P}_2\right)$, 对每一个 $\tilde{q} \in\left(p, p+\frac{p^2}{3}\right)$, 存在一个常数 $C_{\tilde{q}}>0$ 使得

通过 (2.1)-(2.2)式, 可得

因为 $\tilde{q}, q \in\left(p, p+\frac{p^2}{3}\right)$, 那么 $\tilde{q} \beta_{\tilde{q}}<p$, $q\beta_{q}<p$. 此外, 由(2.4)式可知, 当 $\|u\|_{F_1} \rightarrow \infty$ 时, $\int_{\mathbb{R}^3} F_1(u) \mathrm{d}x \rightarrow$$+\infty$. 因此, $J(u)$ 在 $S(a)$ 上是强制的且下方有界的.

根据引理 3.1, 可得

是有意义的. 下面引理将证明 $m(a)<0$.

引理 3.2 设 $2 \leq p<3$, 那么存在 $\tilde{a}>0$ 使得对任意 $a>\tilde{a}$, 有 $m(a)<0$.

证 给定一个 $\psi \in X \backslash\{0\}$ 和 $t>0$, 通过简单计算得出, 当 $t\rightarrow +\infty$ 时,

因此, 存在一个足够大的 $\tilde{t}>0$ 使得

令 $\tilde{a}=\tilde{t}|\psi|_p$, 通过上面的讨论, 可以得到如果 $a>\tilde{a}$, 那么 $m(a)<0$. 证明完毕.

引理 3.3 设 $2\leq p<3$, 如果 $0<a_{1}<a_{2}$, 那么 $\frac{a_{1}^{p}}{a_{2}^{p}} m( a_{2})<m(a_{1})$.

证 设 $\xi>1$ 使得 $a_{2}=\xi a_{1}$, $\{u_{n}\} \subset S\left(a_{1}\right)$ 是关于 $m( a_{1})$ 的一个非负极小化序列, 那么当 $n \rightarrow+\infty$ 时,

令 $v_{n}=\xi u_{n}$, 显然 $v_{n} \in S\left(a_{2}\right)$. 通过直接计算, 可得

因为 $\xi>1$, 所以 $\xi^{2p}-\xi^{p}>0$, $\xi^{q}-\xi^{p}>0$. 当 $n \rightarrow \infty$ 时, 有

因此

下面的引理是 $S(a)$ 上的紧性定理, 对证明定理 1.1 具有关键作用.

引理 3.4 设 $a > \tilde{a}$, $\{u_{n}\} \subset S(a)$ 是 $m( a)$ 的一个极小化序列. 那么, 存在一个子序列 $\{u_n\}$ 使得

(i) 在 $X$ 上 $u_{n}\rightarrow u$, 或者

(ii) 存在 $\{y_{n}\} \subset \mathbb{R}^{3}$ 且 $\left|y_{n}\right| \rightarrow+\infty$ 使得一个序列 $v_{n}(x)=$$u_{n}\left(x+y_{n}\right)$, 在 $X$ 上有 $v_{n}\rightarrow v$ 且 $v \in S(a), J(v)=m(a)$.

证 根据引理 3.1, $m(a)$ 在 $S(a)$ 上强制且下方有界, 因此序列 $\{u_{n}\}$ 在 $X$ 上有界, 那么存在一个子序列 $\{u_{n}\}$ 在 $X$ 上有 $u_{n} \rightharpoonup u$. 如果 $u \neq 0$ 且 $|u|_{p}=b \neq a$, 则 $b \in(0, a)$, 那么通过 Brézis-Lieb 引理^[28], 有

通过引理 2.2, 有

设 $v_{n}=u_{n}-u, d_{n}=\left|v_{n}\right|_{p}$, $d_{n} \in(0, a)$ 且假设当 $n \in \mathbb{N}$ 充分大时有 $d_{n} \rightarrow d$, $a^{p}=b^{p}+d^{p}$. 因此

由引理 3.3 可得

当 $n \rightarrow+\infty$ 时,

因为 $b \in(0, a)$, 再次使用引理 3.3, 得到

这是一个矛盾. 因此 $|u|_{p}=a$, 等价于 $u \in S(a)$. 因为 $\left|u_{n}\right|_{p}=|u|_{p}=a$, 在 $L^{p}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 上 $ u_{n} \rightharpoonup u$ 且 $L^{p}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 是自反空间, 所以

通过 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式, 有

结合 Lebesgue 空间中的内插不等式和 $(\mathbf{P}_{2})$, 可以推断出

根据 (3.1)-(3.3)式以及 $F_{1} \geq 0$, 可得

因为 $u \in S(a)$, 可以立即得出 $J(u)=m(a)$, 那么

因此

根据引理 2.1, $F_{1} \in\left(\Delta_{2}\right)$, 使用(3.1)式和上面两个极限可得到在 $X$ 上 $u_{n} \rightarrow u$.

现在, 假设 $u=0$, 也就是说, 在 $X$ 上 $u_{n} \rightharpoonup 0$. 首先声明下面论断成立.

论断 3.1 设存在一个常数 $C>0$, 使得当 $n\in \mathbb{N}$ 充分大时,

$\begin{equation}\int_{\mathbb{R}^{3}} F_{2}\left(u_{n}\right) \mathrm{d}x \geq C.\end{equation}$ (3.4)

假设(3.4)式不成立, 那么存在 $\{u_{n}\}$ 的一个子序列, 仍记为 $\{u_{n}\}$, 使得当 $n\rightarrow\infty $ 时,

因为对任意 $s \in\left(p, p^{*}\right)$, 在 $L^{s}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 上有 $u_{n} \rightarrow 0$, 再结合(3.2)式,

则有

得出一个矛盾. 因此论断 3.1 成立. 那么存在 $R, \beta>0$ 和 $\{y_{n}\} \in \mathbb{R}^{3}$ 使得

否则对任意 $ s \in\left(p,p^{*}\right)$, 在 $L^{s}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 上 $u_{n} \rightarrow 0$, 这表明在 $L^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ 上 $F_{2}\left(u_{n}\right) \rightarrow 0$, 这与(3.4)式矛盾. 因为 $u=0$, 不等式(3.5)式结合 Sobolev 嵌入表明 $\{y_{n}\}$ 是无界的. 因此, 可以令 $\tilde{u}_{n}(x)=u_n\left(x+y_{n}\right)$, 显然 $\{\tilde{u}_{n}\}\subset S(a)$ 并且是 $ m(a)$ 的一个极小化序列. 那么, 存在一个 $v \in X \backslash\{0\}$ 使得

按照 (i) 的证明过程, 同样可以得出在 $X$ 上 $\tilde{u}_{n} \rightarrow v$. 证明完毕.

定理 1.1 的证明 通过引理 3.1, 存在一个 $m(a)$ 的有界极小化序列 $\{u_{n}\} \subset S(a)$, 使得 $J\left(u_{n}\right) \rightarrow m(a)$. 通过引理 3.4, 存在一个 $u \in S(a)$ 且 $J(u)=m(a)$. 因此, 由拉格朗日乘子定理, 存在一个 $\lambda \in \mathbb{R}$ 使得

其中 $\Psi: X \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

根据 (3.6)式, $u$ 满足下面方程

由 $J(u)=m(a)<0$, 可以推断出 $\lambda>0$. 实际上, 上面方程表明

根据 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的定义, 有

那么

因此

因为 $\frac{1}{p}-\frac{1}{2p}>0, \frac{1}{p}-\frac{1}{q}>0$, 所以

由引理 3.2 可知 $m(a)<0$, 因此, $\lambda>0$.

接下来, 证明 $u$ 是径向的、正的函数. 根据泛函 $J(u)$ 的定义, 容易得到 $J(|u|)=J(u)$. 并且, $u \in S(a)$ 表明 $|u| \in S(a)$, 那么

因此 $J(|u|)=m(a)$, 所以能用 $|u|$ 来代替 $u$. 如果 $u^{*}$ 表示 $u$ 的 Schwarz 对称递减重排, 那么就有

和$ \int_{\mathbb{R}^{3}} F_{1}(u) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^{3}} F_{1}\left(u^{*}\right) \mathrm{d}x, \quad \int_{\mathbb{R}^{3}} F_{2}(u) \mathrm{d}x=\int_{\mathbb{R}^{3}} F_{2}\left(u^{*}\right) \mathrm{d}x. $

那么 $u^{*} \in S(a)$ 且 $J\left(u^{*}\right)=m(a)$, 所以可以用 $u^{*}$ 来代替 $u$. 因此, $u$ 是径向的. 因为 $J(u)$ 是偶函数, 可以假设 $u(x)$ 是(1.5)的非负非平凡弱解. 取一个充分小的 $\epsilon>0$, 那么在 $\left\{x \in \mathbb{R}^3: 0<u(x)<\epsilon\right\}$ 上

其中 $\xi(s)=\lambda s^{p-1}-s^{p-1} \log s^p,~\forall s>0$. 显然, 当 $s>0$ 充分小时, $\xi$ 是连续非减的, 通过计算可以得出 $\xi(0):=\lim \limits_{s \rightarrow 0^{+}} \xi(s)=0$, $\xi\big(\sqrt[p]{{\rm e}^{\lambda}}\big)=0$. 因为对任意 $x \in \mathbb{R}^3, u(x)\geq0$, 通过强极大值原理^[29], 可以推断出 $u(x)>0$. 定理 1.1 证明完毕.

在这一小节中, 我们将研究问题(1.5)当 $p+\frac{p^{2}}{3}<q<p^{*}$ 时的情形. 正如注记 1.2 所言, 利用截断技术, 将对问题(1.5)的研究转变为对问题(1.6)的研究, 考虑下面的极小化问题

与引理 3.2 类似, 存在 $\bar{a}^{*}>0$ (与 $\mathcal{R}$, $\mu$ 无关), 使得当 $a>\bar{a}^{*}$ 时, $m_{\mathcal{R}}(a) < 0$.

引理 3.5 设 $2 \leq p<3$, $p+\frac{p^2}{3}<q<p^*$, 那么存在 $\bar{a}^{*}>0$ 使得对任意 $a>\bar{a}^{*}$, 有 $m_{\mathcal{R}}(a)<0$.

证 根据 $f_{\mathcal{R}}$ 的定义可知, 对每一个 $\mathcal{R}>0$, 有

其中 $p<\bar{q}<p+\frac{p^2}{3}$. 类似于引理 3.2, 给定一个 $\varphi \in X \backslash\{0\}$, 当 $|u|\geq\mathcal{R}, t\rightarrow +\infty$ 时,

同理, 当 $|u|\leq\mathcal{R}$, $t\rightarrow +\infty$ 时, $J_{\mathcal{R}}(t \varphi)\rightarrow-\infty$. 因此, 存在一个充分大的 $\bar{t}>0$ 使得

那么取 $\bar{a}^{*}=\bar{t}|\varphi|_p$ 可以得到对任意 $a>\bar{a}^{*}$, $m_{\mathcal{R}}(a)<0$. 证明完毕.

下面引理给出了问题(1.6)的解 $u_{\mathcal{R}}$ 在 $X$ 上的范数估计.

引理 3.6 设 $2 \leq p<3$, $p+\frac{p^{2}}{3}<q<p^{*}$ 且 $\mu>0$, 那么对于所有 $\mathcal{R}>0$, 存在 $\bar{\mu}^{*}=\bar{\mu}^{*}(\mathcal{R})>0$ 使得如果 $\mu \in (0, \bar{\mu}^{*})$, 则存在一个常数 $C>0$ 使得与 $m_{\mathcal{R}}(a)$ 有关的 $u_{\mathcal{R}}$ 满足 $|\nabla u_{\mathcal{R}}|_{p} \leq C$.

证 类似于引理 3.1 的证明, 对于任意 $u\in S(a)$, 使用(1.7)和(2.1)式以及在($\mathbf{P}_{2}$)中取 $\tilde{q}=\bar{q}$, 可得

其中 $\bar{q} \in\left(p, p+\frac{p^{2}}{3}\right)$. 取 $\bar{\mu}^{*}=\bar{\mu}^{*}(\mathcal{R})=\frac{1}{\mathcal{R}^{q-\bar{q}}}$, 那么对所有 $\mu \in\left(0, \bar{\mu}^{*}\right)$, 有

由于 $\beta_{\bar{q}} \bar{q}<p$, 利用 Young 不等式, 存在常数 $C^{'}, C^{''}>0$ 使得

和$ \left(\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{p} \mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{p}} \leq C^{''}+\frac{1}{4p C_1 a^{2p-1}} \int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{p} \mathrm{d}x, ~\forall u \in X. $

因此, 存在一个常数 $C_{4}>0$ 使得

因为当 $a>\bar{a}^{*}$ 时, 有 $J_{\mathcal{R}}\left(u_{\mathcal{R}}\right)=m_{\mathcal{R}}(a)< 0$. 因此 $\left|\nabla u_{\mathcal{R}}\right|_{p} \leq C$. 证明完毕.

引理 3.7 令 $2 \leq p<3$. 假设 $u \in X$ 是下面方程的一个非平凡弱解

其中 $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ 是常数, $p<q <p^*$, 那么 $u \in L^{\infty}\left(\mathbb{R}^3\right)$.

证 首先假设 $u \geq 0$. 对所有 $L>1$, 定义 $u_L=\min \{u, L\}$. 取 $\psi=u_L^{k p+1} \in X$$(k \geq 0$) 作为(3.7)式中的测试函数, 那么

容易得到

类似定理 1.1 的证明可得 $\lambda>0$, 利用 $\left(\mathbf{P}_1\right)$ 和 $\left(\mathbf{P}_2\right)$, 并且在 $\left(\mathbf{P}_2\right)$ 中取 $\tilde{q}=q$, 如果 $|u| \geq 1$, 那么

对上式进行积分, 再利用(2.1)-(2.2)式以及 $|\nabla u|_{p}$ 是有界的, 得出

因此

不失一般性, 假设 $|u| \geq 1$. 那么结合 (3.8)-(3.10)式以及 Hölder 不等式, 则有

令 $L \rightarrow+\infty$, 那么

等价于

其中常数 $C_*=\left(C_{p^*} C_{q, \mu, \phi}\mathbb{T}(u)\right)^{\frac{1}{p}}>0$ (与 $k$ 无关). 令 $k=0$, 则(3.11)式变为

其中 $\varpi=\frac{p^*}{q} \geq 1$. 在(3.11)式中令 $k+1=\varpi^m$ ($m \in \mathbb{N}^{+}$), 可以得出

将上述过程迭代 $m$ 次可得

因为 $\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{\varpi^j}=\frac{\varpi}{\varpi-1}$, $\sum_{j=1}^{\infty} \frac{j}{\varpi^j}=\frac{\varpi}{(\varpi-1)^2}$, 那么可以推断出当 $m \rightarrow+\infty$ 时, $u \in L^{\infty}\left(\mathbb{R}^3\right)$. 当 $u$ 改变符号时, 只需考虑在 $u_L$ 的定义中用一次正部 $u^{+} := \max \{u, 0\}$ 和一次负部 $u^{-} := \max \{-u, 0\}$ 来代替 $u$, 仍然得到同样的结论. 证明完毕.

定理 1.2 的证明 由推论 1.1 可知, 存在 $\bar{a}^{*}>0$ 和 $\bar{\mu}^*>0$ 使得当 $a>\bar{a}^*$ 和 $\mu \in\left(0, \bar{\mu}^*\right)$ 时, $\left(u_{\mathcal{R}}, \lambda_{\mathcal{R}}\right) \in S_r(a) \times \mathbb{R}$ 是下面方程的解

因为 $\mu \in\left(0, \bar{\mu}^*\right)$, 由 $f_{\mathcal{R}}$ 的定义和(1.7)式可得

因此, 通过引理 3.6 可知对任意 $\mathcal{R}>0$, $\{u_{\mathcal{R}}\}$ 在 $L^s(\mathbb{R}^3), s \in(p, p^*)$ 上是有界的, 且 $\left\{\lambda_{\mathcal{R}}\right\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上也是有界的, 类似定理 1.1 的证明可得 $\lambda_{\mathcal{R}}>0$. 根据引理 3.7, 存在一个常数 $M>0$ 满足

令 $\mathcal{R}\geq M$, 那么 $|u_{\mathcal{R}}|_\infty\leq \mathcal{R}$. 因此当 $a>\bar{a}^*$, $\mu \in\left(0, \bar{\mu}^*\right)$ 时, $(u_{\mathcal{R}}, \lambda_{\mathcal{R}}) \in X \times \mathbb{R}^+$ 是问题(1.5)的解. 定理 1.2 证明完毕.

下面我们将证明解 $u$ 的 $C^{1,\alpha}$ 局部正则性. 回顾文献[24] 中的定理 1 和推论, 得到 $p$-Laplacian 方程有如下正则性结果.

引理 3.8 设 $p>1$ 和 $u\in W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(\mathbb{R}^3)\cap L_{\mathrm{loc}}^{\infty}(\mathbb{R}^3)$ 是下面方程的一个局部弱解

则对于 $\alpha\in (0,1)$, $u\in C_{\mathrm{loc}}^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3)$.

定理 1.3 的证明 通过引理 3.7 可知, 方程(1.5)的局部弱解 $u\in L^{\infty}(\mathbb{R}^3)\cap L^p(\mathbb{R}^3)$. 现在设

我们声明 $g\in L_{\mathrm{loc}}^{\infty}(\mathbb{R}^3)$. 事实上, 考虑函数 $h(s) = s^{p-1} |\log s|$, $s > 0$. 由于 $\lim\limits_{s \to 0^+} h(s) = 0$ 且 $h$ 在 $(0, |u|_{\infty}]$ 上连续, 故其有最大值. 因此,

由(1.4)式的 $\phi_u$ 可知则存在常数 $\rho>0$ 使得

由于 $|u(y)| \leq M = |u|_{\infty}$, 则

当 $|x-y| \geq \rho$ 时,

综上可得

即 $\phi_u \in L^\infty(\mathbb{R}^3)$. 于是

因为 $\lambda$ 在 $\mathbb{R}$ 上是有界的, 再由引理 3.6, 可以取 $\bar{\mu}^{*}=\frac{1}{\mathcal{R}^{q-\bar{q}}}$, 因此存在一个 $\bar{\lambda}^*>0$ 使得对任意的 $\lambda\in (0, \bar{\lambda}^*)$ 和 $\mu\in (0,\bar{\mu}^*)$, 有

因此, $g(u) \in L^\infty_{\text{loc}}(\mathbb{R}^3)$. 根据引理 3.8, 我们推出对于 $\alpha \in (0,1)$, $u \in C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^3)$. 证明完毕.