设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的有界开区域, $n\geq 2.$ 在 $\Omega$ 上考虑方程

其中函数 $a:(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)\in C^{1}(0,\infty)$ 满足

2011 年, Cianchi 和 Maz'ya^[1] 证明了方程 (1.1) 在满足条件 (1.2) 情况下的 Dirichlet 和 Neumann 边值问题弱解的全局 Lipschitz 正则性. 2014 年, Cianchi 和 Maz'ya^[2] 研究了方程 (1.1), 在满足条件 (1.2) 的情况下, 获得了方程的 Dirichlet 和 Neumann 边值问题弱解的梯度估计. 2017 年, Yao 和 Zhou^[3] 在有界区域 $\Omega$ 上研究了拟线性椭圆方程

的局部 Calderón-Zygmund 估计. 2020 年, Yao, Zhang 和 Zhou^[4] 在全空间 $\mathbb{R}^{n}$ 上研究了椭圆方程

使用 Hardy-Littlewood 极大函数获得了该方程弱解的全局 {BMO} 估计. 2021 年, Ma 和 Yao^[5] 在有界区域 $\Omega$ 上研究了椭圆方程 (1.3), 获得了该方程弱解的局部 Besov 估计. 关于椭圆方程的更多研究参见文献[6,7,8].

本文在有界区域 $\Omega$ 上研究与椭圆方程 (1.3) 相对应的障碍问题, 其中 $\textbf{f}=(f^1,f^2,\ldots,f^n)$ 是给定的向量函数, 函数 $a:(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)\in C^{1}(0,\infty)$ 满足条件 (1.2), 且在 $(0,\infty)$ 上单调递增. 特别地, 当 $a(t)=t^{p-2},$$p\geq2$ 时, 椭圆方程 (1.3) 退化为 $p$-Laplace 方程

$\forall\xi\in\mathbb{R}^n$, 作辅助函数$\textit{V}$

定义

和

由 (1.2) 式可知 $b(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且严格单调递增, $\phi(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增.

设 $\psi\in W^{1,\phi}(\Omega)$ 是定义在 $\Omega$ 上取值为 $\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$ 的任意函数, 定义容许集

其中函数 $\psi$ 为障碍, ${W}^{1,\phi}(\Omega)$ 为 Orlicz-Sobolev 空间, 其介绍见下节. 显然, 集合 $\mathcal {K}_{\psi}^{\phi}(\Omega)$ 非空. 下面给出本文障碍问题弱解的定义.

定义 1.1 假设 $\textbf{f}\in L_{loc}^{\tilde{\phi}}(\Omega).$ 若对于任意的 $\textit{v}$$\in\mathcal {K}_{\psi}^{\phi}(\Omega)$, 都有

则称 $u\in\mathcal {K}_{\psi}^{\phi}(\Omega)$ 为方程 (1.3) 对应的 $\mathcal {K}_{\psi}^{\phi}(\Omega)$-障碍问题的弱解.

上述定义中的 $L_{loc}^{\tilde{\phi}}$ 为 Orlicz 空间, $\tilde{\phi}$ 为 $N$-函数 $\phi$ 的共轭函数, 其介绍见第 2 节. 障碍问题是数学研究中的一个重要领域, 其目的是在一定条件下寻找给定障碍约束的解. 它在多孔介质中的流体过滤、受约束加热、弹塑性、最优化和金融数学等领域具有广泛应用^[9]. 近年来, 障碍问题受到了众多学者的关注, 关于障碍问题的研究参见文献[10,11,12,13,14,15,16,17,18,19], 其中椭圆型障碍问题参考文献[10,11,12,13,14,15], 抛物型障碍问题参考文献[16,17,18,19]. 障碍问题包括单障碍问题与双侧障碍问题, 本文主要考虑单障碍问题.

本文主要受到 Ma 和 Yao 在文献[5] 以及 Byun 和 Namkyeong 在文献[14] 中关于 Besov 估计以及障碍问题的处理思想的启发, 运用有限差分理论, 借助 Hölder 不等式和 Young 不等式, 获得了非线性椭圆障碍问题弱解梯度在有界区域 $\Omega$ 上的局部 Besov 正则性. 下面是本文的主要结论.

定理 1.1 令 $0<\alpha<\frac{s_{a}+2}{2(s_{a}+1)}<1,$$a(t)$ 满足 (1.6) 式, $\phi(t)$ 满足 (1.6)式. 对任意 $1\leq q<\infty$ 和 $\frac{2\alpha(s_a+1)}{s_{a}+2}<\beta<1,$$\textbf{f}\in B_{2,\frac{q(i_{a}+2)}{2(i_{a}+1)},loc}^{\beta}(\Omega)\cap L_{loc}^{\tilde{\phi}}(\Omega),$ 若 $u\in\mathcal {K}_{\psi}^{\phi}(\Omega)$ 是方程 (1.3) 对应的 $\mathcal {K}_{\psi}^{\phi}(\Omega)$-障碍问题的弱解且 $\nabla\psi\in B^{\alpha}_{\phi,q,loc}(\Omega)\cap L^{\phi}_{loc}(\Omega)$, 则 $V(\nabla{u})\in B_{2,q,loc}^{\alpha}(\Omega).$

注 当 $a(t)=t^{p-2},$$p\geq2$ 时, 方程 (1.3) 退化成 $p$-Laplace 方程, 该结论仍然成立.

本文中与常数 $C$ 有关的参数将使用括号强调, 例如: $C=C(n,p,q,\ldots).$ 对于任意给定的 $x_0\in \Omega,$ 常数 $R>0,$$B_R(x_0):=B(x_0,R)=\{x:|x-x_0|<R\}$ 表示以 $x_0$ 为球心, $R$ 为半径的开球, 在不致混淆的情况下, 省略球心 $x_0.$ 令 $x\in\Omega,h\in\mathbb{R}^{n},$ 当 $|h|$ 足够小, 有 $x+h\in\Omega.$ 对任意函数 $F:\Omega\subset\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R},$ 有限差分算子定义为

首先给出 Orlicz-Sobolev 空间中的一些定义.

定义 2.1^[5] 若函数 $\phi$ 是凸函数, 并且满足

则函数 $\phi:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 称为 $\textit{N}$-函数. 当 $t\geq0$ 时, $N$-函数 $\phi$ 的共轭函数 $\tilde{\phi}$ 定义为

定义 2.2^[3] 若存在正常数 $K$, 使得对任意 $t>0$, 有 $\phi(2t)\leq K\phi(t),$ 则称 $N$-函数 $\phi$ 满足全局 $\Delta_{2}$ 条件, 表示为 $\phi\in\Delta_2$. 若存在正常数 $\theta>1$, 使得对任意 $t>0$, 有

则称 $N$-函数 $\phi$ 满足全局 $\nabla_{2}$ 条件, 表示为 $\phi\in\nabla_2$.

定义 2.3^[4] 给定 $N$-函数 $\phi$, Orlicz 类 $K^\phi(\Omega)$ 是所有满足 $ \int_\Omega \phi\left(|g|\right)\textrm{d}x<\infty$ 的可测函数 $g:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ 的集合. Orlicz 空间 $L^\phi(\Omega)$ 是 $K^\phi(\Omega)$ 的线性闭包且具有 Luxemburg 范数

此外, Orlicz-Sobolev 空间 $W^{1,\phi}(\Omega):=\left\{g\in L^{\phi}(\Omega)|\nabla g\in L^\phi(\Omega)\right\}$, 具有范数 ${\left\| g\right\|}_{W^{1,\phi}(\Omega)}:={\left\| g\right\|}_{L^\phi(\Omega)}+{\left\| \nabla g\right\|}_{L^\phi(\Omega)}$.

通常情况下, 有 $K^\phi(\Omega)\subset L^\phi(\Omega)$ (见参考文献[20], 第 8 章). 若 $\phi\in\Delta_2$, 则 $K^\phi(\Omega)= L^\phi(\Omega).$

下面给出 Besov-Orlicz 空间的定义, 这在证明定理 1.1 中具有重要作用.

定义 2.4^[14,21] 设 $0<\alpha<1,$$1\leq q <\infty$. 若 $v\in L^{\phi}(\Omega)$ 且满足

这里

则称 $v$ 属于 Besov-Orlicz 空间 $B_{\phi,q}^{\alpha}(\Omega)$.特别地, 当 $\phi(t)=t^{p},$ 有 ${\left\| v\right\|}_{B_{\phi,q}^{\alpha}(\Omega)}={\left\| v\right\|}_{B_{p,q}^{\alpha}(\Omega)}.$

由于

所以对任意足够小的 $\delta>0,$$B^{\alpha}_{\phi,q}(\Omega)$ 的范数也可以表示为

对任意 ${\Omega}\subset\mathbb{R}^n,$ 若截断函数 $\eta\in C_0^\infty(\Omega)$ 且 $\eta v\in L^\phi(\Omega),$ 满足

则称 $v\in B_{\phi,q,loc}^\alpha(\Omega).$

为完成证明, 需要给出下面几个引理.

引理 2.1^[5] 设函数 $F$ 和 $G$ 满足 $F\in W^{1,\phi}(B_{R}),$$G\in L^{\tilde{\phi}}(B_{R})$, 则

(1) 对任意 $0<|h|<R$, 有 $\Delta_hF\in W^{1,\phi}(B_{R-|h|}),$$\Delta_h{(FG)(x)}=F(x+h)\Delta_hG(x)+G(x)\Delta_hF(x)$ 和 $D_i(\Delta_hF)=\Delta_h(D_iF).$

(2) 若函数 $\textit{F}$ 和 $\textit{G}$ 至少有一个支集包含在 $B_{R-|h|}$ 中, 则有

引理 2.2^[3] 若 $\phi$ 是一个 $N$-函数, 则有 $st\leq \widetilde{\phi}(s)+\phi(t),\ \mbox{对任意 } s,t\geq0.$ 若 $\phi\in\Delta_2\cap\nabla_2$, 则有 Young 不等式, $st\leq\varepsilon\tilde{\phi}(s)+C(\varepsilon)\phi(t),\ \mbox{对任意 } s,t\geq0 \mbox{ 和 } \varepsilon>0.$

引理 2.3^[3,5] 假设 $a(t)$ 满足 (1.2) 式, $\phi(t)$ 满足 (1.6) 式, 则

(1) $\phi$ 是严格凸的 $\textit{N}$-函数且满足 $\tilde{\phi}\left( b(t)\right)\leq C_0\phi\left(t\right),$ 这里 $C_{0}>0,$$t\geq0$ 且 $\phi$ 的共轭函数 $\tilde{\phi}$ 满足定义 2.1.

(2) $\phi(t)\in\Delta_2\cap\nabla_2.$

(3) 对任意 $t>0,$ 下面的不等式成立

引理 2.4^[5] 假设 $a(t)$ 满足 (2.1) 式, $V(z)$ 满足 (1.4) 式. 对任意 $\xi,\eta\in \mathbb{R}^{n}$ 和 $x\in \Omega,$ 存在正常数 $C,L,\mu$, 使得

(1) $\left\langle a(|\xi|)\xi-a(|\eta|)\eta,(\xi-\eta)\right\rangle\geq\mu a(|\xi|+|\eta|)|\xi-\eta|^2, $

(2) $|a(|\xi|)\xi-a(|\eta|)\eta|\leq L a(|\xi|+|\eta|)|\xi-\eta|,$

(3) $|V(\xi)-V(\eta)|^2\leq Ca(|\xi|+|\eta|)|\xi-\eta|^2.$

引理 2.5^[21] 若 $B_s\subset B_t\subset\Omega$ 是同心球, $\phi$ 是 $N$-函数. 对任意 $f\in W^{1,\phi}(B_t)$ 且 $|h|\leq t-s, |h|\in\mathbb{R}^{+},$ 则

定理 1.1 的证明 设 $u$ 是障碍问题 (1.7) 的弱解. 对任意 $ B_{2R}\Subset\Omega$, 取截断函数 $\eta\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$, 满足

令 $v=u-{\frac{1}{2}}\Delta_{-h}\big(\eta^2\Delta_h(u-\psi)\big)$, 取 $\left|h\right|$ 足够小, 使得 $x+h\in\Omega$, 从而 $v\in\mathcal {K}_{\psi}^{\phi}(\Omega),$ 这是因为由有限差分算子定义可得

这里最后一个不等式用到了不等式 $u\geq\psi$ 和 $0\leq\eta\leq1$. 于是可用 $\textit{v}(x)$ 作为变分不等式 (1.7) 的容许函数, 得到

对上式应用引理 2.1 (1) 和 (2), 得

将上述不等式整理可得

上式可以表示为

下面分别估计 $I_i(i=1,2,3,4,5).$ 估计 $I_1.$ 根据引理 2.4 (1), 有

估计 $I_2.$ 根据引理 2.4(2) 和 Young 不等式, 有

估计 $I_3.$ 根据引理 2.4(2) 和 Young 不等式, 有

估计 $I_4.$ 由三角不等式, 得

下面分别估计 $I_{41}$ 和 $I_{42}.$ 首先估计 $I_{41}.$ 因为 $0\leq i_a\leq s_a<\infty,$ 所以 $\frac{2(i_a+1)}{i_a+2}\geq 1,\frac{2(s_a+1)}{s_a+2}\geq 1.$ 利用 Young 不等式、Hölder 不等式和引理 2.3(3), 有

上述推导过程使用了不等式 $0\leq\eta\leq1$. 接着估计 $I_{42}.$ 类似 $I_{41}$ 的推导, 有

将 (3.6) 式和 (3.7) 式代入 (3.5) 式, 得

估计 $I_5.$ 根据三角不等式和 $0\leq\eta\leq1$, 有

下面估计 $I_{51},I_{52},I_{53},I_{54}.$ 由 Young 不等式、Hölder 不等式、引理 $2.3(3)$ 和 $\eta$ 的定义式, 有

同理可得:

根据 $I_{51}, I_{52}, I_{53}$ 和 $I_{54}$ 的估计, 于是有

结合 (3.1)-(3.4), (3.8) 和 (3.9), 并取 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 足够小, 使得 $\left(\varepsilon_1+\varepsilon_2+C\varepsilon_3\right)\leq \mu$, 从而有

由参考文献[1] 中的定理 $2.1$ 可知 $C^{\infty}(\overline{{B}_{R+|h|}})$ 在 $W^{1,B}(B_{R+|h|})$ 中稠密, 于是根据逼近讨论, 可假设 $u\in C^{\infty}(\overline{{B}_{R+|h|}}),\psi\in C^{\infty}(\overline{{B}_{R+|h|}})$. 对 (3.10)式右端第一个积分应用拉格朗日中值定理, 再根据引理 2.2、引理 2.3、(1.5) 式和 $\eta$ 的定义, 有

这里 $\theta\in (0,1),$ 最后一个不等式使用了定义 $2.2$. 同理可得 (3.10) 式右端第二个积分

现在估计 (3.10) 式右端第三、四个积分. 若 $|h|$ 足够小, 则 $|\Delta_h u|\leq\frac{|\Delta_h u|}{|h|},$ 因为 $a(t)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的增函数, 故 $a\left(|\Delta_h u|\right)\leq a\left(\frac{|\Delta_h u|}{|h|}\right).$ 因此, 由引理 2.2、引理 2.3 和引理 2.5, 得

同理可得

将 (3.13) 式与 (3.14) 式相加, 得到

这里正常数 $C=C(\varepsilon_4,\mu,R,C_0,i_a,s_a).$ 下面估计 (3.10) 式右端第五个积分, 应用引理 2.2、引理 2.3 和 (1.5) 式, 有

这里使用了不等式 $0\leq\eta\leq1$ 和定义 2.2. 取 $\lambda=\left\|\Delta_{h}\nabla\psi\right\|_{L^{\phi}{(B_R)}}>0,$ 根据 (2.1) 式, 得

下面估计 (3.10) 式右端第六个积分. 同理可得:

将 (3.11) 式、(3.12) 式、(3.15)-(3.17) 式代入 (3.10) 式, 有

其中正常数 $C=C(\varepsilon_4,L,\mu,C_0,K,i_a,s_a).$

因为由引理 2.4(3), 有

所以根据截断函数 $\eta$ 的定义式、 (3.18) 式和 (3.19) 式, 有

将 (3.20) 式两端同除 $\left|h\right|^{2\alpha},$ 得到

这里 $C=C(\varepsilon_4,L,\mu,C_0,K,R,i_a,s_a).$ 不失一般性, 假设 $s_a>i_a.$ 因为 $0<\alpha<\frac{s_{a}+2}{2(s_{a}+1)}<1$ 和 $\frac{2\alpha(s_a+1)}{s_{a}+2}<\beta<1,$ 所以

对 (3.21) 式取 $L^{q}$ 范数, 并将测度 $\frac{\textrm{d}h}{|h|^n}$ 限制在球 $B_{\delta}(|h|<\delta<R)$ 上, 再根据 (3.22) 式, 有

因为由 Hölder 不等式可得

和

所以 (3.23) 式进一步简化为

这里 $C=C(\varepsilon_4,L,\mu,C_0,K,R,q,\alpha,\beta,i_a,s_a,\delta)$. 因为 $\nabla\psi\in B^{\alpha}_{\phi,q,loc}(\Omega)\cap L^{\phi}_{loc}(\Omega),u\in W_{loc}^{1,\phi}(\Omega)$ 且 $\mathbf{f}\in B_{2,\frac{q(i_a+2)}{2(i_a+1)},loc}^\beta(\Omega)\cap L^{\tilde{\phi}}_{loc}(\Omega),$ 故对任意 $h$ 和 $0<\alpha<\frac{s_a+2}{2(s_a+1)}<1,$ 上式都有界, 因此 $V(\nabla u)\in B_{2,q,loc}^{\alpha}(\Omega).$ 定理 1.1 得证.

注 在定理 1.1 中取 $a(t)=t^{p-2}(p\geq 2)$, 此时 $\phi(t)=t^p/p$, $\widetilde{\phi}(t)=\frac{p-1}{p}t^{\frac{p}{p-1}}$, $V(\xi)=\sqrt{|\xi|^{p-2}}\xi$, 结论仍然成立.