对流是在温差加热下由浮力驱动的流体运动, 是一种基本的物理现象, 在大气和海洋动力学以及日常观测中都有广泛影响. 瑞利-贝纳德对流问题源于亨利·贝纳德 1900 年关于加热层中流体不稳定性的开创性实验. 此后, 大量研究聚焦于两块平行导热板之间对流流动的稳定性分析. 图0 展示了瑞利-贝纳德对流的物理演化过程: (a) 在低加热速率下, 热量仅通过热传导传递, 流体保持静止; (b) 加热增强触发有序的卷涡, 加强垂直热传输; (c) 进一步加热使这些结构失稳, 导致湍流对流. 洛伦兹方程是从无穷维流体动力学中导出的简化三模数学模型, 为局部微气候现象提供了概念框架, 尤其捕捉了瑞利-贝纳德对流的核心物理特性. 尽管是纳维-斯托克斯方程的低维截断, 这些方程仍表现出极其丰富的非线性行为. 其数学上的简洁性掩盖了深刻的动力学复杂性, 不仅催生了混沌理论的新研究方向, 还为湍流转变提供了关键见解^{[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]}. 尽管关于稳定性和分岔的研究已较为广泛, 但对其潜在的动力学机制 (尤其是能量转换) 的探索仍显不足. 以往研究主要利用洛伦兹系统分析: 平衡稳定性与分岔机制^[2,5,12]; 极限环形成与混沌吸引子特性^[3,4,8]; 通过李雅普诺夫指数和庞加莱映射的全局稳定性^[1,6,9]. 然而, 在以下方面仍存在基本认知空白: 控制涡旋形成和混沌的动力学机制; 动能、势能和耗散分量之间的能量转换过程; 哈密顿结构的物理诠释. 近年来, 对混沌系统的力学分析提供了颇具前景的框架. Arnold^[13] 建立了柯尔莫哥洛夫型系统来描述受迫-耗散流体动力学. Pasini 和 Pelino^[14] 随后统一了柯尔莫哥洛夫和洛伦兹模型, 而 Qi、Liang 和 Pelino^{[15,16,17,18]} 开创了扭矩分解和能量循环分析方法. 基于这些基础, 本研究: 将洛伦兹系统重构为扩展的柯尔莫哥洛夫型系统; 将动力学分解为四种物理扭矩 (惯性扭矩、内扭矩、耗散扭矩、外扭矩); 利用卡西米尔函数量化能量转换路径; 建立混沌产生的扭矩匹配条件. 本文的工作连接了对流不稳定性的机制解释与能量学, 为湍流转变提供了新视角. 第 2 节详细介绍柯尔莫哥洛夫重构, 第 3 节进行基于扭矩的动力学分析, 第 4 节探讨基于卡西米尔函数的稳定性边界, 第 5 节研究能量转换机制.

洛伦兹方程是在适当边界条件下对纳维-斯托克斯方程的截断, 通常通过保留有限数量的傅里叶系数项来简化. Saltzman 研究了包含约 20 个傅里叶系数的截断, 发现多数情况下, 经过足够长时间后, 除三个系数外其余均趋于零. 洛伦兹通过仅保留 Saltzman 模拟中持续存在的三个傅里叶模态, 简化了问题, 得到模型方程^[2]:

其中 $x, y, z$ 是傅里叶系数, 为时间 $t$ 的函数, $\sigma$ (普朗特数), $b$ (几何参数) 是正的无量纲参数, $r$ (归一化瑞利数)是无量纲常数. 当

系统存在混沌吸引子. 这种三模截断准确反映了瑞利数 $r$ 接近 1 时流体的主导对流特性. 特别是当 $r=1$ 时, 流体偏微分方程的纯传导解 (速度为零, 温度梯度线性) 对包含稳定对流卷或对流胞的解失稳. 在自由应力边界条件下, 洛伦兹方程是体现这一分岔核心特征的流体方程的最小截断.

为探究状态变量的物理类比和系统 (2.1) 的力学特性, 引入三维柯尔莫哥洛夫型系统:

其中 $X=[x, y, z]^T $, 反对称括号 $\{\cdot,\cdot\}$ 表示哈密顿函数 $H$ 的动能部分的代数结构, 以及余辛矩阵 $J$ 或李-泊松结构^[19]:

系统 (2.2) 最初由柯尔莫哥洛夫型系统提出, 用于描述耗散-受迫动力系统或流体动力学不稳定性, 如[13]所述. 欧拉方程中的力 (或扭矩) $\{X,H\}$ 称为惯性力或离心力. 系统 (2.2) 是带耗散力和外力的广义欧拉方程^[19]. 经过变量变换 $x\mapsto x, y\mapsto y, z\mapsto z-r- \sigma$, 系统 (2.1) 可重写为:

变换后, 系统 (2.4) 的平衡点数量和性质与原系统 (2.1) 相同, 但平衡点位置随上述变换而变化. 易知系统 (2.4) 有三个平衡点:

定义哈密顿能量 $H = K + U$, 其中 $K =\frac{1}{2}(x^2+2y^2+2z^2)$, $U =\sigma z$. 此处, 哈密顿量 $H$ 包含动能 $K$ 和势能 $U$. 则系统 (2.4) 可描述为柯尔莫哥洛夫系统:

其中 $\Lambda= {\rm diag}(\sigma,1,b)$, $f = (0,0,-b(r+\sigma))^T$.

注 1: 变量 $X$ 类比于角动量, 时间导数 $\dot X$ 表示对流的反作用力矩. 惯性扭矩 $\{X,H\}$ 源于动能梯度, 而内扭矩源于势能变化. 第一项 $\{X,H\}$ 是守恒项, 包含由动能产生的惯性扭矩和由势能释放的内扭矩. 第二项 $\Lambda X$ 表示耗散扭矩, 即摩擦力、热交换或粘性力. 最后一项 $f$ 是外扭矩.

为探究卷涡和混沌产生的关键因素, 本节研究不同类型扭矩对系统 (2.5) 的影响.

情形 1: 系统仅包含惯性扭矩 (由动能 $K$ 产生), 即:

系统 (3.1) 可显式求解

消去 $t$ 得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}=-\frac{z}{y}$, 积分得轨道方程 $y^2+z^2=C$ (圆). 哈密顿能量 $K=\frac{1}{2}(x_0^2+2y^2+2z^2)$ 守恒.

显然, 系统 (3.1) 是保守系统, 因此, 产生的闭合周期轨道如图1a 所示, 状态 z 的轨迹如图 1b 所示.事实上, 由于 $x$ 实常数, 系统 (3.1) 是线性系统.

情形 2: 系统包含惯性扭矩 (由动能 $K$ 产生) 和内扭矩 (由势能 $U$ 释放), 对应方程为:

哈密顿量的导数为: $\dot H =x\dot x+2y\dot y +2z\dot z=0.$

系统 (3.2) 也是保守系统, 因此产生闭合的周期轨道, 如图2a 所示, 状态 z 的轨迹如图2b.

对比情形 1 和情形 2, 势能 $U$ 的存在使解的振荡更频繁. 由于 $\sigma>0$, 系统是非线性系统, 势能 $U$ 的存在产生周期解, 且其频率远大于案例 1 中的频率, 这意味着内扭矩使系统运动比情形 1 中更快. 频率取决于参数 $\sigma>0$, 内扭矩 (由 $U$ 释放) 增强了轨道的拉伸和收缩, 这可能对卷涡和混沌的产生有效.

情形 3: 系统受惯性扭矩、内扭矩和耗散扭矩作用, 即:

当 $\sigma=10, b =8/3$ 时, 易知:

其中 $V$ 是系统相空间中的体积. 因此, 情形 3 中的系统是耗散系统, 即相空间中的体积在流作用下指数收缩^[20]. 哈密顿量的变化率为:

与 ^[14,18] 中讨论的柯尔莫哥洛夫型系统不同, 我们尚不能通过哈密顿量的导数确定能量耗散. 图3a 绘制了哈密顿函数 $H$ 的时间演化, 表明能量是耗散的, 在没有外扭矩的情况下, 总能量因体积耗散而减少 (图3b).

情形 4: 系统受惯性扭矩、内扭矩和外扭矩作用, 即:

由于外扭矩 $f$ 的作用, 总角动量沿外扭矩方向演化, 这意味着轨道不仅以周期倍增方式运动, 还在外扭矩作用下被拉伸, 产生如环面般的螺旋状曲线, 如图4a($r=27$) 所示. 图4b 显示, 在 $r=27$ 时, 状态变量 $z$ 的振荡频率随时间快速增长. 令 $V_1=\sigma z-x^2/2$, 则其导数$\dot{V}_1=-b \sigma(r+\sigma)<0$. 对导数积分后, 易知 $V_1(t)-V_1(0)=\int_{0}^{t}(-b \sigma(r+\sigma)) \mathrm{d}s=-b \sigma(r+\sigma) t$, 即当 $t \to +\infty$ 或 $r \to +\infty$ 时, $V_1(t) \to \infty$. 也就是说, 状态 $x$ 或 $z$ 是无界的. 因此, 如图5 所示, 哈密顿量 $H$ 也趋于无穷大. 实际上, 外扭矩主要促进动能的增加, 相比之下, 势能受外扭矩的影响较小. 可见, 动能随时间增加, 导致哈密顿量增大.

为分析和比较不同类型扭矩对瑞利-贝纳德对流的影响, 我们讨论了上述四种虚拟场景. 然而, 下面提到的情形 5 在物理上具有实际意义, 接下来研究瑞利-贝纳德对流系统的物理意义和能量转换.

情形 5: 系统受全扭矩作用, 即:

系统 (3.5) 存在唯一的混沌吸引子, 如图6a 所示. 如情形 3 所示, 没有外力时, 洛伦兹系统趋向平衡点 $O$. 情形 4 表明, 没有耗散时, 洛伦兹系统趋向无穷大. 因此, 外力和耗散是洛伦兹系统产生混沌吸引子的基本必要条件. 然而, 耗散并非总能保证洛伦兹系统的能量衰减, 尽管外力和耗散都是系统产生混沌的基本要素, 但扭矩的简单耦合并非总能使系统处于混沌状态. 例如, 较大的参数 $r$ 会使系统呈周期态或无穷大, 如图6b 所示, 当 $r=48$ 时, 图7a 绘制了准周期吸引子. 只有当耗散扭矩与驱动扭矩匹配 ($24.8 \leq r \leq 148.4$、$166.07 \leq r \leq 233.53$) 时, 系统才能产生混沌. 图7b 绘制了动能和势能的时间演化 ($r=30$), 其中上方曲线表示动能, 下方曲线表示势能. 当动能接近波峰时, 势能达到其波谷. 这表明两种能量相互转化.

混沌系统具有一些奇特的性质: 初值敏感性和边界解. 对于非混沌系统, 正的李雅普诺夫指数意味着系统解无界增长. 然而, 对于有界混沌吸引子, 它意味着轨迹反复拉伸折叠. 因此, 解的边界性质在混沌研究中很重要. 找到混沌吸引子的边界通常相当困难. 通过拉格朗日乘数法和卡西米尔函数, 我们得到了洛伦兹系统混沌吸引子的边界. 数值模拟表明这是一个精确边界. 卡西米尔函数 $C$, 类似于流体动力学中的涡量拟能或位涡, 在分析动力系统的稳定性条件和全局描述方面非常有用. 它由 (2.3) 式的核定义, 即: $ \{C, G\}=0, \forall G \in C^{\infty}\left(g^{*}\right), $ 这意味着在李-泊松括号下, 卡西米尔函数与每个函数交换[s]. 对于洛伦兹系统, 卡西米尔函数定义为:

由式 (2.3) 和参考文献[19], 有: $ \{C, G\}=-X \cdot(\nabla C × \nabla G)=-X \cdot(X × \nabla G)=0, $ 其中 $X=[x,y,z]^T$. 根据式 (2.4), 有: $ \dot{C}=-\left(\sigma x^2 + y^2 + b z^2 + b(r+\sigma) z\right). $ 令 $\Xi_0$ 为椭球:

显然, 在曲面 $\Xi_0$ 上 $\dot{C}=0$, 因此 $C(t)$ 的所有极值点都在曲面 $\Xi_0$上. 当系统 (2.5) 或 (5.2) 的轨道移动到 $\Xi_0$ 外部时, 即 $\dot{C}<0$, 卡西米尔值减小, 直到 $\dot{C}=0$ 时达到最小值. 此后, 轨道移动到 $\Xi_0$ 内部, 即 $\dot{C}>0$. 然后, 卡西米尔值增大, 直到 $\dot{C}=0$ 时达到最大值. 值得注意的是, 三个平衡点都在曲面 $\Xi_0$ 上, 因为平衡点由 $\dot{X}=0$ 得到, 这导致 $\dot{C}=0$. 受 ^[22] 中方法的启发, 现在给出卡西米尔函数和混沌吸引子的边界. 卡西米尔函数 $C=\frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)$ 在没有耗散和强迫的情况下是守恒量, 在李-泊松括号下与所有函数交换 ^[19].

定理 4.1 卡西米尔函数局限于集合: $ \Xi=\left\{(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 \leq(r+\sigma)^2\right\}. $

证 根据上述分析, $C(t)$ 的最大值和最小值在集合 $\Xi_0$ 中取得. 因此, $C(t)$ 的上界可视为约束优化问题:

定义拉格朗日函数 $L=\frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)+\lambda(\sigma x^2 + y^2 + b z^2 + b(r+\sigma) z)$, 其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数. 对变量求导, 得到:

因此, 我们得到两个解 $(x,y,z,\lambda)=(0,0,0,0)$ 或 $(0,0,-(r+\sigma),-\frac{1}{b})$. 因此, $C$ 的最大值为 $(r+\sigma)^2/2$, 即 $C=\frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2) \leq \frac{1}{2}(r+\sigma)^2$.

定理 4.1 给出了洛伦兹系统吸引子边界的精确估计. 图8a 显示了卡西米尔函数的值, 其中可以看到 $C(t)$ 在边界 $C(t)<(r+\sigma)^2/2$ ($r=70$) 内振荡.混沌吸引子被边界球包围, 如图8b.

为展示卡西米尔函数与平衡点 $P^{\pm}$ 之间的关系, 定义两个距离:

分别表示系统 (2.5) 的轨道与平衡点 $P^{\pm}$ 之间的距离. 在图9a ($r=30$) 中, 实线是卡西米尔函数, 虚线是 $D_1(t)$ 和 $D_2(t)$. 图9a 显示, 当距离离平衡点 $P^+$ 或 $P^-$ 最远时, 卡西米尔函数达到最大值. 当这两个距离同时接近平衡点时, 卡西米尔函数达到最小值. 图9b ($r=31$) 显示了更密切的关系, 其中虚线是 $D_1(t)$ 和 $D_2(t)$ 的和, 其动力学特性与卡西米尔函数相似. 它们的极值点几乎在相同的时间点, 并且有相同的升降趋势.

随着底板热量增加 ($r$增大), 系统 (2.4) 的动能增加, 如图10, 外扭矩主要促进动能的增加, 并最终导致卷涡和混沌.图11 表明距离之和 $D_1+D_2$ 和卡西米尔函数随参数 $r$ 变化的趋势.

根据上述理论分析和模拟结果, 我们得出: 当 $r<1$ 时, 系统 (2.1) 仅存在平衡点 $O$. 这种静止状态表明流体处于静止状态, 如图0a 所示. 当 $r>1$ 时, 存在三个平衡点: $O$、$P^+$、$P^-$, 平衡点 $O$ 从稳定节点变为鞍节点, 新的平衡点 $P^{\pm}$ 是稳定的, 这种稳定状态表示存在对流. 随着 $r$ 增大, 平衡点 $P^{\pm}$ 逐渐失去稳定性, 从稳定节点演变为稳定焦点, 最终成为鞍节点. 同时, 系统 (2.1) 的轨迹趋向 $P^{\pm}$, 并在 $P^+$ 和 $P^-$ 之间来回跳跃, 实际流动如图0b、c 所示. 随着 $r$ 增大, 距离之和 $D_1+D_2$ 逐渐增大, 动能从最小值逐渐增大, 卡西米尔函数也有类似的增大趋势. 随着流体稳定性的丧失 (图 0a), 出现稳定的对流胞流, 如图0b 所示. 当 $r$ 稍大时, 流动变得随时间变化, 且时间依赖性是混沌的, 如图 0c 所示. 即在耗散和驱动的影响下, 系统的内能不断增加, 卷涡变得不稳定, 最终达到混沌. 下表详细列出了这些相关结论.

我们注意到系统 (2.5) 中的第一项是哈密顿能量传递的扭矩, 似乎与最后两项 (即耗散扭矩和外扭矩) 无关, 但从图10 中我们发现能量与这两项都相关. 由于每种扭矩都是作用在粒子或刚体上的具有三个分量的耦合线性或非线性向量, 研究系统 (2.5) 的扭矩很困难. 然而, 能量是标量, 研究能量以发现扭矩特性很容易. 能量是流体流动中的重要因素, 下面讨论能量与两种扭矩的关系. Morrison^[21] 将哈密顿动力学的李-泊松括号扩展到包含由李雅普诺夫函数表示的耗散, 即:

其中 $<F,L>=g_{ij} \frac{\partial F}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial x_j}$ 是爱因斯坦符号, $L$ 是包含耗散部分的李雅普诺夫函数, $g_{ij}=\frac{1}{2}\varepsilon_{im}^n \varepsilon_{kn}^m$ 是嘉当-基灵度量. 利用哈密顿能量和耗散能量之间的能量交换思想, Pelino 等人[u]用 $L+G$ 代替 $L$, 其中 $G$ 是外力释放的能量. 因此, 式 (2.5) 重写为:

可以解释为整个混沌系统包含四种能量: 动能、势能、耗散能和外能, 它们转化为四种扭矩: 惯性扭矩、内扭矩、耗散扭矩和外扭矩. 对于瑞利-贝纳德对流, 流体粒子包含动能和势能, 这些能量源于地球引力和热量损失. 作用在流体粒子上的总扭矩导致角加速度 $\dot{X}$. 根据式 (2.3) 和 (5.2), 有:

那么, 瑞利-贝纳德热对流系统的能量转换可以写成

这考虑了在 $K,U$ 和 $W$ 交换项中的耗散和力.

其中考虑了 $K$、$U$ 和 $W$ 之间转换项中的耗散和强迫. 式 (5.4) 表明参数 $r$ 对洛伦兹系统的能量演化有显著影响. 洛伦兹系统具有螺旋状轨迹, 其轨道从一个不稳定平衡点移动到另一个不稳定平衡点. 当轨道远离其中一个不稳定平衡点时, 距离之和 $D_1+D_2$ 随参数 $r$ 变化, 这一点如图 11 所示. 外扭矩 (瑞利数 $r$) 增大时的能量演化过程是本文的一个重要发现.

本文针对瑞利-贝纳德对流的数学模型 (洛伦兹系统), 开展动力学机制与能量转换研究, 将其重构为柯尔莫哥洛夫型系统并分解为惯性扭矩、内扭矩、耗散扭矩及外扭矩四种类型, 结合理论分析与数值模拟得到以下核心结论:

1) 洛伦兹系统产生混沌的必要条件为四种扭矩协同作用, 任意三种扭矩的组合均无法诱发混沌: 且仅当耗散扭矩与外扭矩 (驱动扭矩) 匹配时 (如特定归一化瑞利数 $r$ 区间), 系统才会出现混沌现象.

2) 外扭矩由底部加热板提供热量驱动, 为系统输入能量, 主要促进动能增长, 进而诱发卷涡形成并最终导致混沌, 是系统能量的关键来源.

3) 引入的卡西米尔函数可有效分析系统动力学特性与能量转换过程: 结合拉格朗日乘数法可确定混沌吸引子的精确边界: 其变化不仅反映动能与势能的相互转换规律, 还与轨道到平衡点 ($ P^\pm$) 的距离演化具有一致性, 可量化轨道与平衡点的空间关联.

4) 系统能量转换具有显著规律性: 动能与势能呈反向转化 (动能峰值对应势能谷值), 归一化瑞利数 $r$ 对能量演化影响显著, $r$ 增大时动能递增, 推动流动失稳并向混沌过渡.

综上, 本文提出的扭矩匹配条件为瑞利-贝纳德对流从层流向湍流的转变提供了力学判据, 卡西米尔函数的应用也为混沌系统的边界确定与能量转换分析提供了有效途径.