本文在二维有界光滑区域 $\Omega$ 上, 研究如下一类不可压非牛顿微极流方程组:

其中 $u := u(t,x)=(u_1(t,x), u_2(t,x))$ 表示速度, $\omega := \omega(t,x)$ 表示角速度, $p$ 表示压力, $f:=f(t,x)$ 和 $g:=g(t,x)$ 分别表示外力和力矩. 正常数 $\nu_1$ 和 $\nu_r$ 为粘性系数. 另外,

映射 $\mathbb{T} : \mathbb{R}_{sym}^{n\times n} \rightarrow \mathbb{R}_{sym}^{n\times n}$

表示应力张量, 其中

$\mathbb{R}_{sym}^{n\times n}$ 表示 $n\times n$ 对称矩阵所组成的集合.$e(u)$ 是应变速率张量, 具体表示速度梯度的对称部分 (见 ^[8,16]), 即

流体的应力张量与应变速率张量的关系称为流体的本构关系. 具体地, 在 (1.1) 中

其中 $\alpha\in (0,1),\, \eta > 0, \, \mu_0 >0, \, \mu_1>0$ 是本构参数.

如果流体的本构关系是线性的, 则称该流体满足 Stokes 定律 ^[16], 并称该流体为牛顿流 (如气体、水和简单的烃化合物往往是牛顿流). 如果流体的本构关系不是线性的, 则称该流体为非牛顿流 (如熔融的塑料和油漆均属于非牛顿流). 关于非牛顿流方程组解的适定性及其动力学行为的相关结果, 可参见文献[3,22]等.

微极流方程是 Navier-Stokes 方程的重要推广, 能很好的表征一些经典的 Navier-Stokes 方程无法描述的伴有非均匀应力张量的流体的运动 (如动物血液、液晶和稀释水溶性聚合物溶液的运动等^[17]). 关于微极流方程组解的适定性及其动力学行为, 见文献[4,9,19,23]等.

非牛顿微极流普遍存在于现实生产、生活中, 研究其解的适定性及其动力学行为具有重要的理论价值和现实指导意义, 这也一直是从事相关工作的学者们广泛关注与研究的内容. 例如, 在二维区域上: de Araújo 等^[8]证明了一类非牛顿微极流方程组拉回吸引子的存在性及其关于粘性系数 $\nu_r$ 的上半连续性. Ai 和 Tan^[1,2] 研究了一类非牛顿微极流方程组全局吸引子和指数吸引子的存在性. 最近, Zhao 等^[25]得到了非牛顿微极流方程组 (1.1) 统计解的存在性及其退化正则性. 随后, Chen 等^[5]在三维有界区域上证明了该非牛顿微极流方程组轨道统计解的存在性及其退化正则性. 更多相关结果见文献[7,10]等.

在本文中, $\mathbb{N}$、$\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{R}_+$ 分别表示自然数集、实数集和正实数集. $L^p(\Omega)$ 和 $W^{m,p}(\Omega)$ 分别表示 Lebesgue 空间和 Sobolev 空间, 相应的范数分别为 $\|\cdot\|_{L^p}$ 和 $\|\cdot\|_{m,p}$. 特别地, $H^m(\Omega) := W^{m,2}(\Omega)$, $H_0^m(\Omega) := \left\{\psi \in \mathcal{C}_0^\infty(\Omega)\right\}$ 在 $W^{m,2}(\Omega)$ 空间范数下的完备化空间. 另外, 令

在不引起混淆的情况下, 范数 $\|\cdot\|_{L^2}$, $\|\cdot\|_H$ 和 $\|\cdot\|_{\widehat{H}}$ 简记为 $\|\cdot\|$. 令 $(\cdot, \cdot)$ 和 $\langle\cdot, \cdot\rangle$ 分别表示空间的内积和对偶积. 令 $I$ 表示时间区间,

给定如下初边值条件

其中 $\vec{\mathbb{r}}=({\mathbb{r}}_1, \mathbb{r}_2)$ 为边界$\partial\Omega$ 上的单位外法向量.

本文主要研究系统 (1.1)-(1.2) 在 $\widehat{H}$ 空间中拉回吸引子的存在性. 众所周知, 所得问题的结论固然是重要的, 但在能得到相同结果的前提下, 简便巧妙的证明方法也同样是我们所追求的. 据我们了解, 研究系统拉回吸引子的存在性通常采用的方法为: 首先, 建立系统解的先验估计; 然后, 证明拉回吸收集的存在性; 最后, 验证由解算子生成的过程的渐近紧性, 从而得到吸引子的存在性 (见文献[11,24]等). 与此方法不同, 本文将通过验证解算子生成的过程具有拉回压平性质 (或称为 "C" 条件^[15]) 来证明拉回吸引子的存在性. 本文所采用的思想方法来源于文献[15,20], 利用此方法只需用与建立吸收集时关于解算子相同类型的能量估计来验证紧性条件. 换句话说, 当函数的更高正则性估计不可得时, 本文所采用的方法将是非常有用的, 如在非光滑有界域上证明 Navier-Stokes 方程组全局吸引子的存在性的例子, 见文献[15].

本文剩余部分安排如下. 第 2 节, 一些准备工作. 第 3 节, 证明问题(1.1)-(1.2)的拉回吸引子的存在性.

在这一节, 我们首先定义几个重要的算子, 并给出一些相关估计, 然后引入一些重要的定义及相关结果.

首先, 定义算子 $A_1$ 和 $A_2$ 如下:

注 2.1 易知 $A_1=\mathbb{\tilde{P}}\Delta^2$, $A_2=- \mathbb{\tilde{P}} \Delta$, 其中 $\mathbb{\tilde{P}}$ 是 从 $(L^2(\Omega))^2$ 到 $H$ 中的 Leray 投影算子. 根据椭圆算子的谱理论, 存在由 $A_1$ 的特征值构成的序列 $\{\lambda_n\}_{n=1}^{\infty}$ 和 $H$ 空间的标准正交基构成的序列 $\{\mathbb{e}_n\}_{n=1}^{\infty} \subset D(A_1) := \big(H^4(\Omega)\big)^2\cap V$, 满足 ${\rm span} \{ \mathbb{e}_1,\mathbb{e}_2, \cdots, \mathbb{e}_n, \cdots\}$ 在 $V$ 空间中稠密. 存在由 $A_2$ 的特征值构成的序列 $\{\lambda_n^{*}\}_{n=1}^{\infty}$ 和 $L^2(\Omega)$ 空间的标准正交基构成的序列 $\{\mathbb{e}^{*}_n\}_{n=1}^{\infty} \subset D(A_2) := H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)$, 满足 ${\rm span} \{\mathbb{e}^{*}_1, \mathbb{e}^{*}_2, \cdots, \mathbb{e}^{*}_n, \cdots\}$ 在 $H_0^1(\Omega)$ 空间中稠密. 另外, 对任意的 $n\in\mathbb{N}$, 有

此外, 定义算子:

不难验证, 算子 $b_1(\cdot,\cdot,\cdot)$ 和 $b_2(\cdot,\cdot,\cdot)$ 分别在 $V\times V\times V$ 和 $V\times H_0^1(\Omega)\times H_0^1(\Omega)$ 上连续. 并记

令 $\mu(u) := 2\mu_{0}\left(\eta+|\mathbf{e}(u)|^{2}\right)^{-\alpha / 2}$, 定义算子 $\mathcal{K}$ 如下:

可以验证算子 $\mathcal{K}(\cdot)$ 是从 $V$ 到 $V^{*}$ 的连续函数.

最后, 定义

接下来, 给出相关算子的估计如下 (见文献[14,18]).

引理 2.1 存在正常数 $\displaystyle c_1<\frac{1}{4}$, 使得 $ c_1\|u\|_V^2 \leqslant \langle A_1 u, u \rangle \leqslant \|u\|_V^2,\ \forall u\in V. $ 存在正常数 $c_2$, 使得 $ c_2\|\omega\|_{1,2}^2 \leqslant \langle A_2 \omega, \omega \rangle \leqslant \|\omega\|_{1,2}^2,\ \forall \omega \in H_0^1(\Omega). $

引理 2.2 存在仅依赖于区域 $\Omega$ 的正常数 $k_0$, 使得

根据上面算子的定义, 问题 (1.1)-(1.2) 在分布 $\mathcal{D}'(\tau,+\infty;V)$ 意义下可以写成如下抽象形式:

定义 2.1 给定 $\tau \in \mathbb{R}$, 对任意的 $T\geqslant\tau$, 若存在函数 $(u,\omega)\in L^{\infty}(\tau,T; \widehat{H} )\cap L^2(\tau,T; \widehat{V})$, 使得在分布 $\mathcal{D}^{'}{ (\tau,T)}$ 意义下成立

则称 $(u,\omega)$ 是问题 (2.1) 的弱解. 若 $(u,\omega)$ 是问题 (2.1) 的弱解, 且

则称 $(u,\omega)$ 是问题 (2.1) 的强解.

给定如下假设条件, 类似于文献[25] 中论证, 可以证得问题 (2.1) 解的适定性.

(H1) 设 $c_1\mu_1>\nu_r$, $f(t,x)\in L_{loc}^2(\mathbb{R};V^*)$, $g(t,x)\in L_{loc}^2(\mathbb{R};H^{-1}(\Omega))$ 满足

引理 2.3 设 (H1) 成立, 给定 $(u_\tau,\omega_\tau)\in \widehat{H}$, 则问题 (2.1) 存在唯一的弱解 $(u,\omega)$, 满足

并且 $(u(t,\tau,u_\tau),\omega(t,\tau,\omega_\tau))$ 依 $\widehat{H}$ 范数连续依赖于初值 $(u_{\tau},\omega_{\tau})$.

定义 2.2 映射 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 称为空间 $X$ 上的过程, 如果它满足以下性质:

(i) $U(t,\tau):X\to X$, $\forall \tau \leqslant t$;

(ii) $U(\tau,\tau)$ 是恒等映射;

(iii) $U(t,s)U(s,\tau)=U(t,\tau)$ 对于任意 $\tau \leqslant s \leqslant t$.

此外, 若对任意的 $t\geqslant \tau$, $U(t,\tau)$ 是 $X$ 上的连续映射,则称 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 为 $X$ 上的连续过程.

在引理2.3的基础上, 定义如下连续映射

则映射 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$为 $\widehat{H}$ 空间上的连续过程.

下面我们引入一些与吸引子相关的概念, 令 $X$ 表示 Banach 空间, $\mathcal{P}(X)$ 表示 $X$ 的所有非空子集构成的集合族, $\mathcal{D}$ 表示由集族 $\widehat{D}= \{ D(t):t\in \mathbb{R} \} \subseteq \mathcal{P}$ 所构成的非空集类, 集类 $\mathcal{D}$ 称为 $\mathcal{P}(X)$ 的一个领域.

定义 2.3 (参见 ^[12,23]) 设 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 是空间 $X$ 上的过程, 若 $X$ 上的集族 $\widehat{D}_0= \{ D_0(t)|t\in \mathbb{R} \} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 满足: 对任意 $t\in \mathbb{R}$ 和 $\widehat{D}=\{ D(t)|t\in \mathbb{R} \}\in \mathcal{D}$, 存在 $\tau_0(t,\widehat{D}) \leqslant t$ 使得 $U(t,\tau)D(\tau)\subseteq D_0(t)$, $\forall \tau \leqslant \tau_0(t,\widehat{D})$, 则称 $\widehat{D}_0$ 是过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant \tau }$ 的拉回 $\mathcal{D}-$吸收集.

(2) 设 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 是空间 $X$ 上的过程, 若对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 序列 $\{ \tau_n \}\subseteq (-\infty,t]$ 和 $\{ w_n \}\subseteq X$ 满足: 当 $n\to \infty$ 时, $\tau_n \to -\infty$, 并且对任意 $n,w_n\in D_0(\tau_n)$, 序列 $\{ U(t,\tau_n)w_n \}$ 是空间 $X$ 中的列紧集, 则称 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 是拉回 $\widehat{D}_0$ 渐近紧的.

若对任意 $\widehat{D}\in\mathcal{D}$, 过程 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 是拉回 $\widehat{D}-$渐近紧的, 则称过程 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 是拉回 $\mathcal{D}-$ 渐近紧的.

(3) 设 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 是空间 $X$ 上的过程, 称集合族 $\widehat{\mathcal{A}}_{\mathcal{D}} = \{ \mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t)|t\in \mathbb{R} \}$ 是过程 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 的拉回 $\mathcal{D}-$吸引子, 如果它具有以下性质:

* 紧性: 任意 $t\in \mathbb{R}$, $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t)$ 是 $X$ 的非空紧子集;

* 不变性: $U(t,\tau)\mathcal{A}_{\mathcal{D}}(\tau)=\mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t)$, $\forall t\geqslant \tau$;

* 拉回吸引性: $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}$ 在下面意义下拉回 $\mathcal{D}-$吸引:

* 小性: 设 $\widehat{Q}=\{ Q(t)| t\in \mathbb{R} \} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 为由 $X$ 的所有闭子集构成的集族, 如果

则 $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t) \subseteq Q(t)$, $\, \forall \, t \in \mathbb{R}$.

命题 2.1 (参见 ^[11] 设 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 是空间 $X$ 上的一个闭过程, $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{P}(X)$ 上一个集合类, $\widehat{D}_0 =\{ D_0(t)|t\in \mathbb{R} \} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是过程 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 的拉回 $\mathcal{D}-$吸收集, 并且 $\{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau}$ 是拉回 $\widehat{D}_0-$渐近紧的. 则集合族 $\widehat{\mathcal{A}}_{\mathcal{D}}=\{ \mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t) | t\in \mathbb{R} \}$, 其中

具有下面这些性质:

(i)紧性: 对任意 $t\in \mathbb{R}$, 集合 $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t)$ 是空间 $X$ 的一个非空子集, 并且 $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t) \subseteq \Lambda (\widehat{D}_0,t)$;

(ii)不变性: $\widehat{\mathcal{A}}_{\mathcal{D}}=\{ \mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t)| t\in\mathbb{R} \}$ 是不变的, 即 $U(t,\tau)\mathcal{A}_{\mathcal{D}}(\tau)=\mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t)$, $\forall \tau\leqslant t;$

(iii)拉回吸引性: $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}$ 具有拉回 $\mathcal{D}$-吸引性, 即

其中 ${\rm dist}_X (Y,Z) := {\sup\limits_{y\in Y}}{\inf\limits_{z\in Z}}\;{\rm dist}_X (y,z) \ \mbox{表示 X } \, \mbox{的子集 } Y \, \mbox{到 }Z \,\mbox{的 } {\rm Hausdorff} \ \mbox{半距离}$;

(iv)小性: 集合族 $\widehat{\mathcal{A}}_{\mathcal{D}}$ 在下面意义下是最小的:设 $\widehat{\mathcal{Q}} = \big\{\widehat{\mathcal{Q}}(t)\, \big| \, t \in \mathbb{R} \big\} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 为由 $X$ 的闭子集构成的集合族, 如果

则 $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}(t) \subseteq \mathcal{Q}(t)$, $\, \forall \, t \in \mathbb{R}$.

定义2.4 设 $X$ 是一个 Banach 空间, 它上面的范数为 $ \| \cdot \|_X $, $ \widehat{D}_0= \{ D_0(t)|t\in \mathbb{R} \}$ 为给定的一个集合类, 我们称 $X$ 上的过程 $\{ U(t, \tau) \} _{t\geqslant \tau}$ 具有拉回 $\widehat{D}_0-$压平性质, 如果对任意 $t\in \mathbb{R}$, $\epsilon>0$, 存在 $\tau(\epsilon,t,\widehat{D}_0)<t$, 有限维子空间 $X(\epsilon,t,\widehat{D}_0)\subseteq X$ 和映射 $\mathbb{P}: X\to X(\epsilon, t, \widehat{D}_{0})$, 使得

并且

注 2.2 Garc{í}a-Luengo 等^[12]指出, 若一个过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geqslant\tau}$ 满足拉回 $\widehat{D}_0 -$压平性质, 那么这个过程是拉回 $\widehat{D}_0-$渐近紧的.

本节主要证明 $\widehat{H}$ 空间中系统拉回吸引子的存在性. 为了讨论的方便, 首先引入一些记号.

文中 $\mathcal{D}^{\widehat{H}}$ 用于表示由非空集族 $\widehat{D}=\{D(t) \big| t\in \mathbb{R} \}\subseteq \mathcal{P}(\widehat{H})$ 构成的集类, 且成立

$\mathcal{D}_F^{\widehat{H}}$ 表示由集族 $\widehat{D}=\{D(t)=D|t\in \mathbb{R}\}$ 构成的集类, 其中 $D$ 为 $\widehat{H}$ 中的非空固定有界子集. 显然有 $\mathcal{D}_F^{\widehat{H}}\subseteq \mathcal{D}^{\widehat{H}}$.

类似于 [25,引理3.3], 运用能量方法, 可得解的如下先验估计, 详细证明过程在此略过.

引理 3.1 设 (H1) 成立, 则对任意 $ t \in \mathbb{R} $ 和 $ \widehat{D}=\{ D(t)| t \in \mathbb{R} \} \in \mathcal{D}^ {\widehat{H}} $, 存在 $ \tau_0(\widehat{D},t)<t-2$, 使得对任意的 $\tau \leqslant \tau_0(\widehat{D},t)$ 和 $(u_\tau,\omega_\tau)\in D(\tau)$, 成立

其中

基于引理 3.1, 可得系统拉回吸收集的存在性.

引理 3.2 设条件 (H1) 成立, 则集族 $\widehat{D}_0=\{ D_0(t)|t\in \mathbb{R} \}$, $D_0(t)=\bar{\mathcal{B}}_{\widehat{H}}(0,\mathcal{R}_{\widehat{H}}(t))$ 是空间 $\widehat{H}$ 中关于过程 $ \{ U(t,\tau) \}_{t\geqslant \tau }$ 的拉回 $D^{\widehat{H}}-$吸收集, 其中

并且

根据注2.2, 如果过程 $\{U(t,\tau)\}$ 存在拉回 $\mathcal{D}^{\widehat{H}}-$吸收集并且满足拉回 $\mathcal{D}^{\widehat{H}}-$压平性质, 则可得拉回吸引子的存在性. 在引理 3.2 的基础上, 还需要验证过程 $\{U(t,\tau)\}$ 在 $\widehat{H}$ 上满足拉回 $\mathcal{D}^{\widehat{H}}-$压平性质. 为此, 我们还需一些辅助性结论.

引理 3.3 在引理 3.1 的条件下, 对任意的 $\epsilon>0$, $t\in {\mathbb{R}},\widehat{D}\in\mathcal{D}^{\widehat{H}}$, 存在 $\delta =\delta(\epsilon,t,\widehat{D})\in(0,1)$, 使得对于 $\forall s\in[0,\delta],$$\tau \leqslant \tau_0(\widehat{D},t)$($\tau_0(\widehat{D},t)$ 取自引理 3.1), $(u_\tau,\omega_\tau)\in D(\tau)$, 成立

并且,

证 用反证法证明上述引理. 事实上, 若 (3.4) 式不成立, 那么对任意的 $\delta \in(0,1)$, 存在 $\epsilon_0>0$, $t\in\mathbb{R}$, $\widehat{D}\in{ \mathcal{D}^{\widehat{H}} }$ 和序列 $\{\tau_n\}\subseteq(-\infty,t-2] $ 满足: 当 $n\to\infty$ 时, $\tau_n\to\infty$, 序列 $\{(u_{\tau_n},\omega_{\tau_n})\}\subseteq D(\tau_n) \}$, 和序列 $\{s_n\}$ 满足 $0\leqslant s_n \leqslant \frac{1}{n}$, 使得, 对任意 $n\geqslant 1$, 有

令 $w^{(n)}:= w^{(n)}(\cdot):= \big(u^{(n)}(\cdot),\omega^{(n)}(\cdot)\big):= w(\cdot; \tau_n, (u_{\tau_n},\omega_{\tau_n})):= w(\cdot; \tau_n, w_{\tau_n})$. 由引理 3.1, 可知当 $\tau\leqslant \tau_0(\widehat{D},t)$ 时,

进而, 可知存在子序列 (仍记为) $w^{(n)}$ 和函数 $w:=(u,\omega)$ 满足

由 Aubin-Lions 紧性理论 (见 ^[6,21]) 和空间紧嵌入关系 $\widehat{V}\hookrightarrow\hookrightarrow \widehat{H}\hookrightarrow\hookrightarrow \widehat{V}^*$, 可得

因此,

并且由 (3.7), 可知

由于序列 $\{w^{(n)}\}$ 在 $\mathcal{C}([t-2,t]; \widehat{H})$ 中一致有界, $\{(w^{(n)})'\}$ 在 $L^2(t-2,t; \widehat{V}^*)$ 中有界且对于任意的 $s_1, s_2 \in [t-2,t]$, 在空间 $\widehat{V}^*$ 中, 有 $w^{(n)}(s_2)-w^{(n)}(s_1) = \int_{s_1}^{s_2}(w^{(n)})'(\theta){\rm d}\theta$, 所以, 由 Ascoli-Arzelá 定理, 可得在空间$\mathcal{C}([t-2, t];\widehat{V}^*)$中, $w^{(n)} \rightarrow w$.

结合 (3.8) 式可知, 对于任意点列 $\{s_n\}\subseteq [t-2,t]$, 其中当 $n\rightarrow \infty$ 时, $s_n \rightarrow s_*$, 可得在空间$\widehat{H}$中, 当$n \rightarrow \infty$时, $w^{(n)}(s_n) \rightharpoonup w(s_*)$.

接下来, 运用同文献[25] 中 (3.16) 式相同的证明过程, 可得在空间$\mathcal{C}([t-2, t]; \widehat{H})$中, 当$n \rightarrow \infty$时, $w^{(n)}(s_n) \rightarrow w(s_*)$.所以, 当 $n\to\infty$ 时, 成立

这与 (3.6)} 式矛盾, 故 (3.4) 式成立.

用 $u(t,x)$ 和 $\omega(t,x)$ 分别与 $(2.1)_1$ 和 $(2.1)_2$ 式作内积, 可推知下式成立

其中 $\delta_{1}=\min\{2(2c_1\mu_1 -2\nu_r),\; c_2\nu_1\}$. 用时间变量 $\theta$ 替换上式中的 $t$, 然后对变量 $\theta$ 在区间 $[t-\delta,t]$ 上积分, 可得

由于 $f(t,x)\in L_{loc}^2(\mathbb{R};V^*)$, $g(t,x)\in L_{loc}^2(\mathbb{R};H^{-1}(\Omega))$,结合 (3.4), 可知 (3.5) 成立. 引理得证.

引理 3.4 在引理 3.1 的条件下, 对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 有

证 此引理的证明类似于 [引理12], 为了读者的方便, 将详细证明过程呈现如下. 对于任意 $t\in\mathbb{R}$ 和 $\epsilon>0$, 存在 $\delta=\delta(\epsilon)>0$, 使得对任意 $c>0$, 有

因此, 对于 $c>l$,

显然, 当 $c\to +\infty$ 时, 有

综上可得

引理得证.

接下来, 证明过程 $\{ U(t,\tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 在 $\widehat{H}$ 空间中具有拉回 $\mathcal{D}^{\widehat{H}}-$压平性质.

引理 3.5 在引理 3.1 的条件下, 那么对任意 $\widehat{D}\in \mathcal{D}^{\widehat{H}}$, 过程 $\{ U(t,\tau)\}_{t\geqslant \tau}$ 在 $\widehat{H}$ 上具有拉回 $\widehat{D}-$压平性质.

证 定义投影算子 $\mathbb{P}^{(1)}_m : H\to H_m$, $H_m={\rm span}\{\mathbb{e}_1,\mathbb{e}_2, \cdots, \mathbb{e}_m\}$ 和 $\mathbb{P}^{(2)}_m : L^2(\Omega)\to L^2_m(\Omega)$, $L^2_m(\Omega)={\rm span}\{\mathbb{e}^{*}_1, \mathbb{e}^{*}_2, \cdots, \mathbb{e}^{*}_m\}$. 记

根据定义 2.4, 我们需要验证对任意 $\epsilon>0, t\in \mathbb{R}$ 和 $\widehat{D}\in \mathcal{D}^{\widehat{H}}$, 存在 $m=m(\epsilon, t, \widehat{D})\in \mathbb{N}$ 和 $\tau_0(\widehat{D},t)$, 使得投影算子 $\mathbb{P}_m$ 满足下面两条性质:

(i) $\{\mathbb{P}_m U(t,\tau)D(\tau) | \tau\leqslant \tau_0(\widehat{D},t)\}$ 在 $\widehat{H}$ 中有界;

(ii) 对任意 $\tau\leqslant \tau_0(\widehat{D}, t)$, $(u(\tau),\omega(\tau))\in D(\tau)$, 有 $\|(\mathbb{I}-\mathbb{P}_m)U(t,\tau)(u(\tau), \omega(\tau))\| < \epsilon$, 其中 $\mathbb{I}$ 是恒等算子.

首先, 由于 $ \| \mathbb{P}_m(u(t),\omega(t))\| \leqslant \|(u(t),\omega(t)) \| $, 结合 (3.1) 式, 可知性质 (i) 成立.

下面验证性质 (ii). 首先, 对于任意 $\tau \leqslant \tau_0(\widehat{D},t)$, $ (u_\tau$, $\omega_\tau) \in D(\tau) $, 令 $ \bar{u}_m(\theta) = u(\theta)-\mathbb{P}^{(1)}_m u(\theta) $, $ \bar{\omega}_m(\theta)=\omega(\theta)-\mathbb{P}^{(2)}_m\omega(\theta)$. 则下面 Poincaré 型不等式成立 (见 ^[14])

其中 $\lambda_{m+1}$ 和 $\lambda_{m+1}^{*}$ 来自注 2.1. 由于 $(\mathbb{P}^{(1)}_m u(\theta), u(\theta)-\mathbb{P}^{(1)}_m u(\theta))=0$, $(\mathbb{P}^{(2)}_m \omega(\theta), \omega(\theta)-\mathbb{P}^{(2)}_m \omega(\theta))=0$, 用 $\bar{u}_m(\theta)$ 与 $(2.1)_1$ 式作内积, 用 $\bar{\omega}_m(\theta)$ 与 $(2.1)_2$ 式作内积, 可得

首先, 根据引理 2.2, 成立

由 H{ö}lder 不等式和 Cauchy 不等式, 可得

另外, 根据引理 2.2 和柯西不等式, 有

再利用 H{ö}lder 不等式和 Cauchy 不等式, 可得

将 (3.13)-(3.16) 式代入 (3.110 式, 由引理 2.1, 可推得

将 (3.17)-(3.19) 式代入 (3.12) 式, 由引理 2.1, 可推得

将 (3.20) 和 (3.21) 式相加, 并结合 (3.10) 式, 有

其中 $\bar{\lambda}_{m+1} :=\min\big\{ \lambda_{m+1}c_1\mu_1, \lambda_{m+1}^* c_2\nu_1\big\}$, $\displaystyle \bar{c} := \max \Big\{\frac{k_0^2}{c_1\mu_1}, \frac{8\nu_r}{c_1\mu_1}, \frac{1}{c_1\mu_1}, \frac{2k_0^2}{c_2\nu_1}, \frac{128\nu_r^2}{c_2\nu_1}, \frac{4}{c_2\nu_1}\Big\}$. 上式两边同时乘以 $\mathrm{e}^{\bar{\lambda}_{m+1}\theta}$, 并对所得不等式在 $[t-1,t]$ 上积分, 得

再由 (3.1) 式, 成立

由于当 $m \rightarrow +\infty$ 时, $\bar{\lambda}_{m+1} =\min\{ \bar{\lambda}_{m+1} c_1\mu_1,\;\bar{\lambda}_{m+1}^* c_2\nu_1\}\to +\infty$, 以及

故对于 $\forall \epsilon>0$, 存在 $m_1(\epsilon,t,\widehat{D})$, 使得对任意 $m \geqslant m_1(\epsilon,t,\widehat{D})$, 有

另外, 由 (3.2) 式, 对于 $\forall\delta \in (0,1)$, 成立

结合 (3.5) 式, 可知对上述 $\epsilon$, 存在 $\delta^* \in (0,1)$ 和 $m_2=m_2(\epsilon,t,\widehat{D},\delta^*)$, 使得当 $m\geqslant m_2$ 时, 成立

最后, 由引理 3.4 可知, 存在 $m_3=m_3(\epsilon,t)$, 使得当 $m\geqslant m_3$ 时, 有

取 $M=\max\{m_1,m_2,m_3\}$, 由 (3.22)-(3.25) 式, 可知当 $m>M$ 时, 成立

即性质 (ii) 成立, 引理得证.

本部分的主要结论如下.

定理 3.1 设 (H1) 成立, 则系统 (1.1)-(1.2) 在 $\widehat{H}$ 空间中存在最小拉回 $\mathcal{D}_{F}^{\widehat{H}}$-吸引子和 $\mathcal{D}^{\widehat{H}}$-吸引子, 即

并且 $ {\mathcal{A}}_{\mathcal{D}_F^{\widehat{H}}}(t) \subseteq {\mathcal{A}}_{\mathcal{D}^{\widehat{H}}}(t), \ \ \forall \, t \in \mathbb{R}. $

证 根据定义 2.3, 拉回吸引子 $\widehat{\mathcal{A}}_{\mathcal{D}_F^{\widehat{H}}}$ 和 $\widehat{\mathcal{A}}_{\mathcal{D}^{\widehat{H}}}$ 的存在性可由定义 2.4, 命题 2.1, 引理 3.2 和引理 3.5 和注 2.2 直接得到. 另外, 由于 $\mathcal{D}_F^{\widehat{H}} \subseteq \mathcal{D}^{\widehat{H}}$, 显然成立 ${\mathcal{A}}_{\mathcal{D}_F^{\widehat{H}}}(t) \subseteq {\mathcal{A}}_{\mathcal{D}^{\widehat{H}}}(t), \ \forall \, t \in \mathbb{R}$.