Ornstein-Uhlenbeck 过程是下列随机微分方程的解,

其中假定初值 $\zeta_0=0$, $(G_t)_{t\in[T]}$ 是某种零均值高斯噪声, 其协方差函数是 $R(t,s)=\mathbb{E} [G_tG_s],\,t,s\in[T]$. 当 $\theta$ 是未知参数时, 考虑其参数估计是一个重要的问题, 参见文献[9,10,14,21], 值得注意的是, 这里的噪声项大多是布朗运动或者分数布朗运动. 最近 Chen 等^[3,5]提出了一类不具有自相似性和平稳增量的中心高斯过程 $(G_t)_{t\in[T]}$, 其包含几类常见的分数阶高斯过程, 通过分析该过程和分数布朗运动各自的典则希尔伯特空间之间的定量关系, 证明了基于连续时间观测下未知参数 $\theta$ 的最小二乘估计量和矩估计量

的强相合性、渐近正态性和 Berry-Esséen 上界. 随后文献[4]基于一个能够表征分数布朗运动和一般分数高斯过程之间差异的内积公式完善了 $H\in(0,\frac12)$ 情形下最小二乘估计量和矩估计量的 Berry-Esséen 上界. 基于这一想法, 我们假定 $(G_t)_{t\in[T]}$ 满足下列更一般的假设条件.

假设 1.1 假定 $H\in(0,1)$ 和 $H\neq \frac12$, $(G_t)_{t\in[T]}$ 的协方差函数 $R(s,t)=\mathbb{E}[G_tG_s]$ 满足下列三个假设:

($H_1$) 对任意固定的 $s\in[T]$, $R(s,t)$ 在区间 $[T]$ 上关于 $t$ 是绝对连续函数.

($H_2$) 对任意固定的 $t\in[T]$, 差

关于 $s\in[T]$ 是绝对连续函数, 其中 $R^B(s,t)$ 是 $(B^H_t)_{t\in[T]}$ 分数布朗运动的协方差函数.

($H_3$) 存在一个与 $T$ 无关的正常数 $C$, 有

一方面, 近年来基于高频数据的统计推断成为学者们广泛关注的问题. 另一方面, 过程被连续观测只是一个理想假设, 在实际应用中主要是通过高频离散地观测一个样本轨道. 在观测步长固定或不固定情形下, 很多学者讨论了方程 (1.1) 中部分或全部参数 $(\theta,\sigma,H)$ 的估计问题, 参见文献[6,8,11,17]. 为了简化文章的表述, 我们假定 $\sigma=1$, 过程 $\zeta_t$ 在离散时间下被观测, 其中观测点 $t_j=j\Delta_n$, $j=1,\dots,n$, $\Delta_n$ 表示观测步长, $n$ 是样本规模, $T_n=n\Delta_n$ 表示整个观测区间. 本文的目标是用这些观测值 $\zeta_{\Delta_n},\zeta_{2\Delta_n},\dots,\zeta_{n\Delta_n}$ 去估计 $\theta$.

受连续观测下矩估计量 (1.3) 启发, 基于离散时间的矩估计量构造如下:

其中 $t_j=j\Delta_n$, $j=1,\dots,n$, $\Delta_n\rightarrow0$, $T_n=n\Delta_n\rightarrow\infty$.

本文旨在证明由一般高斯过程 $G_t$ 驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程的离散型矩估计量 $\tilde{\theta}_{n}$ 的强一致性和渐近分布, 进一步地给出 $\tilde{\theta}_{n}$ 收敛到标准正态分布的收敛速度, 即众所周知的 Berry-Esséen 上界. 与本文的定理 3.2 相比较, Douissi 等^[6] 基于平稳高斯过程二阶矩估计量的性质, 使用估计量的二阶泰勒展式以及 Wasserstein 距离的性质 $d_W(X_1+X_2,Y)\leq \mathbb{E}[|X_2|]+d_W(X_1,Y)$, 得到分数布朗运动驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程的离散型矩估计量 $\tilde{\theta}_{n}$ 的分布的收敛速度的 Wasserstein 型 Berry-Esséen 上界, 即文献[6]中的定理 5.4: 存在一个与 $n\Delta_n$ 无关的常数 $C$ 使得

不同于文献[6] 的证明方法, 我们使用一个用于估计一类随机变量与标准正态随机变量之间的 Kolmogorov 距离的引理 2.1 给出估计量的 Kolmogorov 型 Berry-Esséen 上界. 由一个众所周知的结果, 即对任意的随机变量 $X,Y$, $d_{Kol}(X,Y)\leq 2\sqrt{d_{W}(X,Y)}$, 我们的结果 (定理 3.2) 得到的收敛速度的上界目前是更紧致的, 且结果对一大类平稳或非平稳分数型高斯过程有效. 显然, 下面五个高斯过程均满足假设 1.1.

例 1.1 分数布朗运动 $\{B_t^H, t \geq 0\}$, Hurst 指数 $H\in (0,1)$, 协方差函数为

例 1.2 次分数布朗运动 $\{S_t^H, t \geq 0\}$, 参数 $H\in (0,1)$, 协方差函数为

例 1.3 双分数布朗运动 $\{B_t^{H',K}, t\geq 0\}$ 带有参数 {$H'\in (0, 1),K \in (0, 2)$ 且 $H:=H'K\in (0,1)$}, 协方差函数为

例 1.4 广义次分数布朗运动 (也称为次双分数布朗运动) $\{S_t^{H', K}, t \geq 0\}$, 带有参数 $H' \in (0, 1)$ 和 $K \in(0,2)$, 使得 $H:=H'K\in (0,1)$, 协方差函数为

当 $K=1$, 它退化为次分数布朗运动 $S_t^H$.

例 1.5 一般分数布朗运动是分数布朗运动和次分数布朗运动的一个推广. 其协方差函数如下:

其中 $H\in (0, 1)$ 且 $(a,b)\neq (0,0)$.

本文的主要想法是受 ^[10] 启发, 对比分析 $\tilde{\theta}_{n}$ 和 $\hat{\theta}_{ME,T}$ 的差异, 这在估计量的强一致性和渐近分布证明中起重要作用. 核心方法是控制 Ornstein-Uhlenbeck 过程 $\zeta_t$ 的离散型和连续型样本二阶矩在均方意义下的距离, 使用的工具是 ^[4] 中给出的由 $G$ 和 $B^H$ 驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程的协方差函数差的上界. 此外, 我们根据文献[19] 中基于 Delta 方法的命题 2.1 证明 $\tilde{\theta}_{n}$ 的 Berry-Esséen 上界. 在整篇文章中, 我们用 $C$ 表示某个正常数, 其取值可以因位置不同而变化.

本节将提供一些关于高斯过程随机分析基本要素的简明概述. 设 $\{G_t: t\in[T]\}$ 为完备的概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的一个连续的中心高斯过程, 其协方差函数为

设 $\mathfrak{H}$ 为高斯过程 $G$ 相应的典则希尔伯特空间, 其定义为区间 $[T]$ 上所有实值阶梯函数空间的闭包, 并带有内积

记 $\{G(h) :h\in\mathfrak{H}\}$ 为上述概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的等距中心高斯过程, 其表示形式如下:

该过程是以希尔伯特空间 $\mathfrak{H}$ 中的元素为指标的高斯族, 并满足 Itô 等距性质:

接下来将给出希尔伯特空间 $\mathfrak{H}$ 上内积的精确计算公式. 记分数布朗运动 $B^H$ 的协方差函数为 $R^B(s,t)=\mathbb{E} [B^H_sB^H_t]$, 且通篇用 $\mathfrak{H}_1$ 表示其对应的典则希尔伯特空间. 当 $H\in(\frac12,1)$ 或者函数 $f, g\in\mathfrak{H}_1$ 的相交支撑的勒贝格测度为零,Mishura^[12] 给出

当 $H \in (0, \frac{1}{2})$, Chen 等^[1,4] 提供希尔伯特空间 $\mathfrak{H}_1$ 上一个新的内积计算公式, 对任意的 $f, g \in \mathcal{V}_{[T]}$, $\mathcal{V}_{[T]}$ 是有界变差函数的集合. 进一步, 如果 $ g'(\cdot) $ 是 $g(\cdot)$ 的分布导数, 则

最终, 对一般高斯过程 $G$, 如果 $f, g \in \mathcal{V}_{[T]}$, 假设 $(H_1)$--$(H_2)$ 成立, 则希尔伯特空间 $\mathfrak{H}$ 和 $\mathfrak{H}_1$ 上两个函数的内积满足

对任意两个取值在 $\mathbb{R}$ 上的随机变量 $X, Y$, 它们的 Kolmogorov 距离和 Wasserstein 距离分别定义如下:

这里 $Lip(1)$ 是所有带有 Lipschitz 常数 $\leq1$ 的 Lipschitz 函数的集合. 接着我们介绍 Tang^[19] 给出的一个结果, 其可用于估计一类随机变量 $f(X)$ 与标准正态随机变量之间的 Kolmogorov 距离 (也可以参考文献[4,5,18]), 这里函数

其逆函数为

该结果可以视为 Delta 方法 (详见 ^[20] 的 3.1 节) 的一个应用.

引理 2.1 令 $T$ 是任意正实数且 $U\sim N(0,\sigma^2_1)$ 和 $V\sim N(0, \sigma^2_2)$, 函数 $f$ 和 $g$ 分别定义为 (2.7) 和 (2.8). 如果一个随机变量 $X\ge 0$ 几乎必然成立, 则存在一个与 $T$ 无关的正常数 $C$ 使得

其中两个方差 $\sigma^2_1,\,\sigma^2_2$ 满足下列关系:

首先考虑一般高斯过程 $G$ 驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程 $\zeta_t$ 增量的二阶矩的渐近行为. $\zeta_t$ 具有如下显示表达:

为了简单起见，我们先假定 $\theta=1$ 并定义下面两个随机过程:

特别地, 下面的命题对由一般高斯过程驱动 $G$ 的 Ornstein-Uhlenbeck 过程 $\zeta_t$ 也同样成立.

命题3.1 设 $H\in(0,1)$, $\xi_t$ 和 $\eta_t$ 分别由 (3.2) 和 (3.3) 式给出. 当 $0\leq t-s \leq 1$ 时, 有

证 假定 $0\leq s\leq t \leq T$. 首先, 我们估计 $\xi_t$ 增量的二阶矩. 根据 $\xi_t$ 的定义, 有

对于上式的第一项, 由 ^[7] 中定理 3.1 的一个结论 $\sup_{s\geq0}\mathbb{E}(\xi_s)^2)<\infty$ 与一个基础的不等式 $\mathrm{e}^{-x}\geq1-x$, $x\geq0$ 可得

其中 $C$ 是一个与 $T$ 无关的常数.

对于 (3.6) 式的第二项, 使用 Itô 等距性质与内积公式 (2.3) 得出

上式中的导数是分布导数, 通过计算可得

因此, (3.8) 式的右边可以分解成三个积分,

对于 (3.10) 式的第一个积分, 由被积函数的对称性知这个二重积分等于零. 对于 (3.10) 式的第二个积分, 做变量变换 $x=u-s$ 得

其中最后一个不等式由引理 4.1 得到.

同理, 对于 (3.10) 式的最后一个积分, 我们有

结合上述三个结果, 有

将不等式 (3.7) 和 (3.13) 代入 (3.6) 式且结合条件 $0\leq t-s \leq 1$ 可知

接下来, 我们考虑 $\eta_t-\eta_s$ 的二阶矩的估计. 类似于不等式 (3.6), 有

由 ^[4] 中命题 5 可知, 当 $H\in(0,1)$ 时, 有

进一步地, 结合上面的结果和不等式 $\mathrm{e}^{-x}\geq1-x$, $x\geq0$, 可得

对于 (3.15) 式的第二项, 由 ^[4] 中的命题 1 知

其中最后一行使用了一个常见的不等式 $1-x^H\leq (1-x)^H$, $x\in[0,1]$ 和条件 $H\in(0,1)$. 结合这个结果和不等式 (3.13), 有

因此, 将不等式 (3.16) 和 (3.18) 代入 (3.15) 式, 有

证毕.

连续观测下由一般高斯过程 $G$ 驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程 $\zeta_t$ 的样本轨道二阶矩表示为

相应地, 其离散形式表示为

接下来, 我们讨论 $\mathbb{E}[A(t)]$ 的极限行为和收敛速度. 进一步地, 下面的命题给出在均方意义下 $B_n$ 与离散化的 $A_t$ 之间的距离的估计.

命题 3.2 $A_t$ 和 $B_n$ 分别由(3.20) 和 (3.21) 给出, 则有

和

其中常数 $a=H\Gamma(2H)\theta^{-2H}$.

证 对于估计式 (3.22) 的两种情形, 其结果推断如下: 若 $H\in(\frac12,\frac34)$, 结论由文献[5] 中的注 3.10 推出; 而若 $H\in(0,\frac12)$, 则结果由文献[4] 中的不等式 (3.64) 推出.

然后, 我们证明估计式 (3.23), 为简便起见, 记 $h=\Delta_n$. 我们使用 Minkowski's 不等式得到

其中最后一行使用了积分形式的 Minkowski's 不等式, 参见文献[16] 的定理 13.14. 进一步地, 由 Hölder 不等式可得

因为 $\{\zeta_t,t\geq0\}$ 是一族高斯过程, 所以 $\{\zeta_t,t\geq0\}$ 的 $p$- 阶矩是等价的, 结合

有

其中最后一个不等式基于命题 3.1 的 (3.5) 式. 将该结果代入不等式 (3.24) 得

证毕.

基于上面的估计, 可得 $A_{T_n}$ 和 $B_n$ 在 $L^p$ 范数下距离的估计与它们差的强收敛结果, 详见下面两个推论.

推论 3.1 若 $p\geq1$, 则

$\begin{equation} \begin{split} ||A_{T_n}-B_n||_{L^p(\Omega)}\leq C\Delta_n^{H}. \end{split} \end{equation}$ (3.28)

证 根据 (3.20) 和 (3.21) 式, $A_{T_n}$ 和 $B_n$ 都属于 $1$-阶维纳混沌与 $2$-阶维纳混沌的和. 因此, 它们满足超压缩性质 (详情见 ^[13] 中的注 2.8.15). 即,

其中最后一个不等式依据命题 3.2.

推论 3.2 如果存在一个实数 $q>1$, 使得 $n\Delta_n^q\rightarrow0$, 那么当 $n\rightarrow\infty$, 时, 有

证 对任意 $p\geq 1$, 由推论 3.1 推出

其中最后一项不等式基于事实: 当 $n$ 趋向于无穷大时, $n\Delta_n^{q}$ 足够小. 因此, 使用文献[6] 中引理 3.2 可得

注 3.1 进一步地, 如果存在一个实数 $q\in(1,1+2H)$ 使得 $n\Delta_n^q\rightarrow0$, 则有

该证明与推论 3.2 类似. 因此, 在此我们不再赘述.

下面我们讨论离散型矩估计量 $\tilde{\theta}_{n}$ 的强一致性和渐近分布. 首先给出 $B_n$ 的渐近行为.

命题 3.3 如果 $\Delta_n\rightarrow0$, $n\Delta_n\rightarrow\infty$, 并且存在实数 $q>1$, 使得 $n\Delta_n^q\rightarrow0$, 那么当 $n\rightarrow\infty$, 有

其中常数 $a=H\Gamma(2H)\theta^{-2H}$.

证 当 $T_n=n\Delta_n\rightarrow\infty$ 时, 分别根据文献[5]中定理 1.1 和 ^[3] 中矩估计量的强收敛性的证明, 对 $H\in(\frac12,\frac34)$ 和 $H\in(0,\frac12,)$ 有

此外, 因为存在实数 $q>1$, 使得 $n\Delta_n^q\rightarrow0$, 当 $n\rightarrow\infty$, 推论 3.2 给出

因此, 结合极限 (3.34) 和 (3.35) 可得

推论 3.3 假设 $H\in(0,\frac34)$, 并且 Ornstein-Uhlenbeck 过程 (1.1) 的矩估计量 $\tilde{\theta}_{n}$ 由 (1.6)} 给出. 若假设 1.1 成立, 则 $\tilde{\theta}_{n}$ 具有强一致性. 即,

证

连续映射定理 (详见 ^[2] 的定理 2.7) 和命题 3.3 可得所需结论.

定理 3.1 令 $H\in(0,\frac34)$, 并且假设 1.1 成立. 如果 $n\Delta_n\rightarrow\infty$ 且 $n\Delta_n^{1+2H}\rightarrow0$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 则 $\sqrt{n\Delta_n}(\tilde{\theta}_{n}-\theta)$ 满足渐近正态性. 即

其中常数

证 渐近正态性主要借鉴了 ^[10] 中定理 11 的证明思路. 我们运用中值定理重写

其中 $\hat{\theta}_{ME,T_n}$ 是基于连续观测下 Ornstein-Uhlenbeck 过程 (1.1)的矩估计量且

带有

根据文献[10] 中的定理 9, 基于连续观测值的矩估计量 $\hat{\theta}_{ME,T_n}$ 的渐近分布. 即, 当 $n\rightarrow\infty$ 时,

因此, 根据 Slutsky’s 定理 (详见 ^[15] 的 8.4 节), 只需证

在条件 $n\Delta_n^{1+2H}\rightarrow0$ 下, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

其中上面的不等式使用了命题 3.2. 因此, 很容易得到

进一步, 结合这一结果和 $n\Delta_n\rightarrow\infty$ 可得

同时, ^[10] 的定理 9 也给出了基于连续观测的矩估计量 $\hat{\theta}_{ME,T_n}$ 的强一致性. 因此, 我们有

另一方面, 由推论 3.2, 命题 3.3 和矩估计量 $\hat{\theta}_{ME,T_n}$ 的强一致性可得对任意 $\lambda\in[0,1]$ 和几乎所有样本点 $\omega$, 存在一个随机常数 $N$ 使得对任意 $n>N$, 有

然后, 对任意 $n>N$, $\left|h_{n}(\lambda)\right|<C \theta^{1+2 H}$. 我们应用控制收敛定理可推出

结合极限 (3.44) 和 (3.47) 可得

成立. 这完成了中心极限定理的证明.

定义两个常数

和

命题 3.4 假设一般高斯过程 $G$ 驱动的 Ornstein-Uhlenbeck 过程 $\{\zeta_t:t\geq0\}$ 和 $\zeta_t$ 的样本二阶矩的离散形式 $B_n$ 由 (3.1) 和 (3.21) 分别给出. 定义一个正态随机变量 $\varpi\sim N\left(0,\sigma_G^2\right)$ 带有

其中 $\sigma_H^2$ 定义为 (3.38). 当 $H\in(0,\frac34)$ 时, 则 $\sqrt{n\Delta_n}\left(B_n-\mathbb{E}(B_n)\right)$ 和 $\varpi$ 之间的 Kolmogorov 距离满足

其中 $\delta >0$ 是一个任意的正常数.

证 设随机变量 $Z\sim N(0,1)$. 由一个众所周知的不等式: 对任意 $\epsilon>0$,

接着, 用 $\sqrt{T_n}\left(A_{T_n}-\mathbb{E}(A_{T_n})\right)$ 和 $\sqrt{n\Delta_n}\left(B_n-\mathbb{E}(B_n)-A_{T_n}+\mathbb{E}(A_{T_n}\right)$ 代替 $X$ 和 $Y$ 可得

结合 ^[5] 中的命题 5.3 和 ^[4] 中的定理 2, 对 $H\in(0,\frac34)$, 有

其中 $\beta$ 由 (3.49) 给出. 此外, 由 Markov's 不等式和超压缩性知, 对任意 $p\geq 1$ 和 $\delta>0$

其中倒数第三个不等式使用了 $Var(X)\leq \mathbb{E}(X^2)$, 倒数第二个不等式使用了命题 3.2 且最后一个不等式来源于取 $\epsilon=\left(n\Delta_n^{1+2H}\right)^{\frac12-\delta }$. 最终, 根据 $\delta$ 和 $p$ 的任意性, 我们可以取某个 $p$ 使得 $\delta p>\frac12-\delta$ 并且将不等式 (3.54) 和 (3.55) 代入 (3.53), 则可证想要的结果.

定理 3.2 令 $H\in(0,\frac34)$ 且分数高斯过程 $G$ 满足假设 1.1. 令 $\mathcal{N}$ 是一个标准正态随机变量. 当 $n\Delta_n$ 充分大时, 存在一个常数 $C>0$ 使得

证 令 $T=n\Delta_n$, 取 $X=B_n$, $U\sim N(0,\sigma^2_1)$ 和 $V=\varpi\sim N\left(0,\sigma_G^2\right)$, 其中

由引理 2.1 可知, 存在一个与 $n\Delta_n$ 无关的正常数 $C$ 使得对 $n\Delta_n$ 充分大, 有

一方面, 由命题 3.2 和推论 3.1} 得出

其中 $\gamma'$ 是一个常数定义为

然后, 我们可以得到下面的估计:

其中常数 $\gamma$ 定义为 (3.48).

另一方面, 由命题 3.4 知, 对任意 $\delta>0$

综上, 当 $n\Delta_n$ 充分大时, 有

这样就完成了 Berry-Esséen bound 的证明.

在整篇论文中反复使用以下技术不等式, 这些不等式来自文献[3].

引理 4.1 设 $\beta>-1$, $\theta>0$ 和下列两个函数

则存在一个正常数 $C$ 使得对任意的 $s\in\left[0,\infty\right)$, 有

特别地, 如果 $\beta\in(-1,0)$, 则存在一个正常数 $C$ 使得对任意的 $s\in\left[0,\infty\right)$, 有