经典的概率极限理论是基于线性期望和可加概率的基础上对确定性的模型进行研究. 然而, 在实际生活中很多不确定现象无法用经典的概率极限理论来解释, 为了描述这类现象中的不确定性, Peng[a,b,l,m] 建立了次线性期望空间的框架, 且给出了次线性期望下的大数定律和中心极限定理, 为经典的极限理论推广到次线性期望空间做出了开创性的贡献. 设 $(\Omega,\mathcal{F})$ 是给定的可测空间, $\mathcal{H}$ 是定义在 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的实函数构成的线性空间, 若 $X_1,\cdots,X_n\in \mathcal{H},$ 则对 $\forall \psi\in C_{l,Lip}(\mathbb{R}^n)$, 有 $\psi(X_1,\cdots,X_n)\in \mathcal{H},$ 其中 $C_{l,Lip}(\mathbb{R}^n)$ 表示局部Lipschitz 函数空间.

为行为方便, $c$ 在不同的位置为不同的正常数, $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数部分, $I(\cdot)$ 表示示性函数, $a_n\ll b_n$ 表示存在常数 $c$ 和充分大的 $n$ 使得 $a_n\leq cb_n$, $a_n\sim b_n$ 表示 $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1.$

定义 1.1^[4] 若函数 $\hat{\mathbb{E}}:\mathcal{H}\to[-\infty,+\infty]$ 满足如下性质: 对 $\forall X,Y\in \mathcal{H},$

(i) 单调性: $\hat{\mathbb{E}}(X)\geq \hat{\mathbb{E}}(Y),$$X\geq Y;$

(ii) 保常性: $\hat{\mathbb{E}}(c)=c;$

(iii) 次可加性: $\hat{\mathbb{E}}(X+Y)\le \hat{\mathbb{E}}(X)+\hat{\mathbb{E}}(Y),$ 其中 $\hat{\mathbb{E}}(X)+\hat{\mathbb{E}}(Y)$ 不会出现 $+\infty-\infty$ 和 $-\infty+\infty$;

(iv) 正齐性: $\hat{\mathbb{E}}(\lambda X)=\lambda\hat{\mathbb{E}}(X),$$\lambda\geq0.$

称 $(\Omega,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}})$ 为次线性期望空间, $\hat{\mathbb{E}}$ 为次线性期望.

对于给定的次线性期望 $\hat{\mathbb{E}},$ 定义 $\hat{\mathbb{E}}$ 的共轭期望 $\hat{\mathcal{E}}$ 为 $\hat{\mathcal{E}}(X):=-\hat{\mathbb{E}}(-X)$, $\forall X\in \mathcal{H}.$ 于是, 对所有的 $X,Y\in \mathcal{H}$,

如果 $\hat{\mathbb{E}}(Y)=\hat{\mathcal{E}}(Y)$, 那么 $\hat{\mathbb{E}}(X+cY)=\hat{\mathbb{E}}(X)+c\hat{\mathbb{E}}(Y)$, $c\in \mathbb{R}.$

定义 1.2^[4] 设 $\mathcal{G}\subset \mathcal{F},$ 称函数 $V:\mathcal{G}\to [0,1]$ 是一个容度, 若对 $\forall A,B\in \mathcal{G}$ 满足 $A \subseteq B$, 有 $V(\phi)=0$ 和 $V(\Omega)=1,$$V(A)\le V(B).$ 进一步, 如果 $A\cup B\in \mathcal{G}$ 满足 $V(A\cup B)\le V(A)+V(B)$, 那么称容度 $V$ 具有次可加性.

在次线性期望空间 $(\Omega,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}})$ 中, 定义上容度 $\mathbb{V}$ 和下容度 $\mathcal{V}$ 分别为

其中 $A^c$ 表示集合 $A$ 的补集. 显然, $\mathbb{V}$ 具有次可加性, $\mathcal{V}(A)\le \mathbb{V}(A),$$A\in \mathcal{F}$, 且 $\mathbb{V}(A)=\hat{\mathbb{E}}(I(A)),$$\mathcal{V}(A)=\hat{\mathcal{E}}(I(A)),$$I(A)\in \mathcal{H}.$ 若对所有的 $A\in \mathcal{F}$ 和 $\xi,\eta\in \mathcal{H}$ 满足 $\eta\le I(A)\le \xi,$ 则 $\hat{\mathbb{E}}(\eta)\le \mathbb{V}(A)\le\hat{\mathbb{E}}(\xi).$ 另外, Jensen 不等式为:

Markov 不等式为:

定义 1.3^[4] 对所有的 $|X|\in \mathcal{H},$ Choquet 积分定义为:

注 1.1^[7] 在次线性期望空间 $(\Omega,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}})$ 中, 若下列条件之一成立:

(i) $\hat {\mathbb{E}}$ 是可数次可加的;

(ii) $\hat {\mathbb{E}}(|X|-c)I(|X|>c)\to 0$, $c\to\infty;$

(iii) $|X|$ 是有界的, 则有 $\hat {\mathbb{E}}(|X|)\le C_{\mathbb{V}}(|X|).$

定义 1.4^[12] (i) (同分布) 设 $\mathbf{X}_1$ 和 $\mathbf{X}_2$ 分别是次线性期望空间 $(\Omega_1,\mathcal{H}_1,\hat{\mathbb{E}}_1)$ 和 $(\Omega_2,\mathcal{H}_2,\hat{\mathbb{E}}_2)$ 中的两个 $n-$ 维随机向量, 若 $\hat{\mathbb{E}}_1(\psi(\mathbf{X}_1))=\hat{\mathbb{E}}_2(\psi(\mathbf{X}_2))$, $\forall\psi\in C_{b.Lip}(\mathbb{R}^n)$, 其中 $C_{b.Lip}(\mathbb{R}^n)$ 表示有界 Lipschitz 函数空间, 则称 $\mathbf{X}_1$ 和 $\mathbf{X}_2$ 是同分布的, 记 $\mathbf{X}_1\overset{d}{=}\mathbf{X}_2$.

(ii) (独立) 在次线性期望空间 $(\Omega,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}})$ 中, 称随机向量 $\mathbf{Y}=\{Y_1,...,Y_n\},$$Y_i\in \mathcal{H}$ 在 $\hat{\mathbb{E}}$ 下独立于随机向量 $\mathbf{X}=\{X_1,...,X_m\},$$X_i\in \mathcal{H}$, 若 $\hat{\mathbb{E}}(\psi(\mathbf{X},\mathbf{Y}))=\hat{\mathbb{E}}\left[\hat{\mathbb{E}}(\psi(x,\mathbf{Y}))|_{x=\mathbf{X}}\right], ~~\forall \psi\in C_{b,Lip}(\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n).$

(iii) (独立同分布随机变量) 称随机变量序列 $\{X_n;n\geq 1\}$ 是独立同分布的, 若对 $\forall i\geq 1,$$X_{i+1}$ 独立于 $(X_1,...,X_i)$, 且 $X_i\overset{d}{=}X_1$.

随机变量序列的精确渐近性是概率极限理论的一个热门课题, 在经典的概率空间下许多学者对其进行了研究, 得到了许多重要的研究成果. 然而, 次线性期望空间中的期望和容度不满足可加性, 这导致研究次线性期望空间下随机变量序列的精确渐近性的难度增加. 目前, 关于次线性期望空间下独立同分布随机变量序列的精确渐近性的研究结果不多, 如: Wu^[8] 讨论了完全积分收敛的精确渐近性; Huang 和 Wu^[2] 研究了对数律的精确渐近性; Huang 和 Wu^[3], Xu 和Cheng^[10,11] 探讨了重对数律的完全积分收敛的精确渐近性; Ding 和 Zhang^[1] 获得了部分和最大值的精确渐近性.

本文在文献[3,9] 的基础上, 研究了次线性期望空间下独立同分布随机变量序列完全积分收敛精确渐近性的一般结果, 即:

定理 1.1 设 $\frac{1}{2}<s<1$, $\{X,X_n;n\geq 1\}$ 是次线性期望空间 $(\Omega,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}})$ 中的独立同分布随机变量序列满足

且 $\hat{\mathbb{E}}$ 是连续的. 若存在 $n_0\in \mathbb{N}$, 使得下列条件满足:

(i) $g(x)$ 是 $[n_0,\infty)$ 上具有非负导数 $g'(x)$ 的正函数, 且满足 $g(x)\uparrow\infty,$$x\to\infty.$ 另外, $g'(x)$ 是单调的, 当 $g'(x)$ 单调非降时, 有 $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{g'(x+1)}{g'(x)}=1$;

(ii) $\psi(x)=\frac{g'(x)}{g^s(x)}$, 在 $[n_0,\infty)$ 上单调, 当 $\psi(x)$ 单调非降时, 有 $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\psi(x+1)}{\psi(x)}=1$;

(iii) 对 $ \forall 0<\sigma<1,$$\limsup\limits_{x\to\infty}x\frac{g'(x)}{g^{s(1+\sigma)}(x)}<\infty$,

则对 $\forall \varepsilon>0$, 有

其中 $\xi\sim\mathcal{N}(0,[\underline{\sigma}^2,\overline{\sigma}^2]),$$\underline{\sigma}^2=\hat{\mathcal{E}}(X^2),$$\overline{\sigma}^2=\hat{\mathbb{E}}(X^2).$

定理 1.2 设 $M_n=\max\limits_{k\le n}|S_k|$, 在定理1.1的条件下, 则有

其中 $\mathcal{N}$ 表示标准正态随机变量.

注 1.2 定理中满足条件的 $g(x)$ 有很多, 比如 $g(x)=x^\alpha,$$(\ln x)^\beta$, $(\ln \ln x)^\gamma$, 其中 $\alpha>0,$$\beta>0,$$\gamma>0$ 为某些适当的参数.

注 1.3 若在定理中取 $s=\frac{d}{2\beta+d}$, $g(x)=(\ln\ln x)^{\frac{2\beta+d}{2}},$ 其中 $d>2\beta>0$, 则可得文献

^[3] 中定理 3.1 和 3.2 的结果.

引理 2.1^[2] 设 $\{X_k;k\geq 1\}$ 是次线性期望空间 $(\Omega,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}})$ 中的独立随机变量序列满足 $\hat{\mathbb{E}}(X_k)=\hat{\mathbb{E}}(-X_k)=0,$$S_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i$. 则对 $\forall 1\le p \le 2$, 有

引理 2.2^[7] 设 $\{Z_{n,k};k=1,...,k_n\}$ 是次线性期望空间 $(\Omega,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}})$ 中的独立随机变量阵列满足 $\hat{\mathbb{E}}(Z_{n,k})\le 0$ 和 $\hat{\mathbb{E}}(Z_{n,k}^2)<\infty,$$k=1,...,k_n.$ 令 $B_n=\sum\limits_{k=1}^{k_n}\hat{\mathbb{E}}(Z_{n,k}^2)$, 则对所有的 $x,y>0$,

引理 2.3^[7,13] 设 $\{X,X_n;n\geq1\}$ 是次线性期望空间 $(\Omega,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}})$ 中的独立同分布随机变量序列满足

且 $\hat{\mathbb{E}}$ 是连续的, 则对任意有界连续函数 $h$, 有

其中 $\xi\sim\mathcal{N}(0,[\underline{\sigma}^2,\overline{\sigma}^2]),$$\underline{\sigma}^2=\hat{\mathcal{E}}(X^2),$$\overline{\sigma}^2=\hat{\mathbb{E}}(X^2).$ 进一步, 如果 $F(x):=\mathbb{V}(|\xi|\geq x)$, $x$ 是 $F$ 的连续点, 则有

其中

$W(t)$ 是一个 $G$ 布朗运动满足 $W(1)\backsim \mathcal{N}(0,[\underline{\sigma}^2,\overline{\sigma}^2]).$

不失一般性, 令 $\hat{\mathbb{E}}(X^2)=1,$$b(M,\varepsilon)=\lfloor g^{-1}(M\varepsilon^{-\frac{1}{s}})\rfloor,$ 其中 $M>1$ 为常数, $g^{-1}(x)$ 为 $g(x)$ 的反函数. 注意到式(1.1) 可以转化为

对 $H_1(\varepsilon)$, 由条件 (ii) 知若 $\psi(y)=\frac{g'(y)}{g^s(y)}$ 是单调非增函数, 则 $\frac{g'(y)}{g^s(y)}\int_{\varepsilon g^s(y)}^\infty \mathbb{V}(|\xi|>x)\mathrm{d}x$ 仍是单调非增的.于是, 积分与级数之间可以相互转换. 利用 $\frac{1}{2}<s<1$, 变量替换和 Fubini 定理, 则有

对 $H_2(\varepsilon)$, 容易得到

由定义1.3知

类似(3.2)的证明, 则有

对 $H_{21}(\varepsilon)$, 联立(3.2)和(3.3)可得

对 $H_{211}(\varepsilon)$, 由条件 (i) 知若 $g'(x)$ 是单调非增函数, 则 $g'(x)\big|\mathbb{V}\big(\frac{|S_n|}{\sqrt n}\geq\varepsilon g^s(x)\big) -\mathbb{V}\big(|\xi|$$\geq\varepsilon g^s(x)\big)\big|$ 仍是单调非增的. 于是, 积分与级数之间可以相互转换. 令 $0<\delta<M$, 容易得到

对 $H_{2112}(\varepsilon)$, 则有

由引理2.3的式(2.1)知对 $\mathbb{V}\left(|\xi|\geq y\right)$ 的连续点 $y$, 有

因为 $\mathbb{V}\left(|\xi|\geq y\right)$ 是一个单调减函数, 所以它的不连续点是可数的. 因此, 对除去零 Lebesgue 测度集合的每一个 $y$, 式(3.5)是成立的. 由于

利用Lebesgue控制收敛定理可得

在 $H_{2111}(\varepsilon)$ 中取 $y=\varepsilon g^s(x)$, 则有

对 $H_{212}(\varepsilon)$, 令 $0<\sigma<\min\left(\frac{1}{s}-1,s\right),$$\alpha:=\frac{2(1-s-\sigma s)}{s(1-\sigma)}$, 则有

由 $\hat{\mathbb{E}}$ 的连续性和 Jensen 不等式可得

由条件 (iii) 知 $\frac{g'(n)}{g^{s(1+\sigma)}(n)}<\frac{c}{n}$, 利用 $\hat{\mathbb{E}}\left(|\xi|^{1+\sigma}\right)<\infty$ 和引理2.1, 则有

对 $H_{2122}(\varepsilon)$, 类似式(3.6)的证明, 则有

对 $H_{2123}(\varepsilon)$, 类似式(3.8)的证明, 则对所有的 $0<\varepsilon<1,$ 有

联立式(3.4), (3.7)-(3.10), 对所有的 $0<\varepsilon<1$ 和充分大的 $M,$ 则有

对 $\forall 0<\mu<1,$ 令 $\phi(x)\in C_{l,Lip}(\mathbb{R})$ 是定义在 $[0,\infty)$ 上的非减函数满足 $0\leq \phi(x)\le 1$, 当 $|x|\le\mu$ 时, $\phi(x)=0;$ 当 $|x|\geq 1$ 时, $\phi(x)=1.$ 于是, 容易得到

由式(3.12), 上容度的性质和 $\{X,X_n;n\geq 1\}$ 是同分布的, 则对 $\forall x>0,$ 有

在引理2.2中取 $x=\varepsilon\sqrt{n}g^s(n)$ 和 $y=\frac{\varepsilon\sqrt{n}g^s(n)}{T},$$T>\frac{1}{2s}$, 则对所有的 $n>b(M,\varepsilon)>g^{-1}(\varepsilon^{\frac{1}{s}})$, 有

由于 $\{-X,-X_n;n\geq 1\}$ 也满足定理1.1的假设条件, 利用 $\{-X,-X_n;n\geq 1\}$ 代替 $\{X,X_n;n\geq 1\}$, 则有

联立式(3.13)-(3.14) 知

类似式(3.15)的证明, 对 $\forall x>0$ 和 $n>g^{-1}(M\varepsilon^{-\frac{1}{s}}),$ 容易得到

对 $H_{22}(\varepsilon)$, 由式(3.16)可得

对 $H_{221}(\varepsilon)$, 由 Markov 不等式, $\hat{\mathbb{E}}(X^2)\le C_{\mathbb{V}}(X^2)<\infty$ 和 $\hat{\mathbb{E}}$ 的连续性, 则有

对 $H_{222}(\varepsilon)$, 由 $T>\frac{1}{2s}$ 知

联立式(3.17)-(3.18), 对所有的 $0<\varepsilon<1$ 和充分大的 $M,$ 则有

由 $\hat{\mathbb{E}}(|\xi|^{\frac{1}{s}+1})<\infty,$$\frac{1}{2}<s<1$ 可得

由式(3.1), (3.11), (3.19)-(3.20) 可知式(1.1)成立, 故定理1.1得证.

不失一般性, 令 $\hat{\mathbb{E}}(X^2)=1,$$b(M,\varepsilon)=\lfloor g^{-1}(M\varepsilon^{-\frac{1}{s}})\rfloor,$ 其中 $M>1$ 为常数, $g^{-1}(x)$ 为 $g(x)$ 的反函数. 注意到式(1.2)可以转化为

对 $R_1(\varepsilon),$ 由条件 (ii) 知若 $\psi(y)=\frac{g'(y)}{g^s(y)}$ 是单调非增函数, 则 $\frac{g'(y)}{g^s(y)}\int_{\varepsilon g^s(y)}^\infty \mathbb{V}(\max\limits_{0\le t\le 1}|W(t)|\geq x)\mathrm{d}x$ 仍是单调非增的. 于是, 积分与级数之间可以相互转换. 利用引理2.3的式(2.2), 变量替换和 Fubini 定理知

对 $R_2(\varepsilon)$, 容易得到

类似式(3.2)-(3.3)的证明, 则有

类似式(3.6)的证明, 将引理2.3中的式(2.1)替换为(2.2), 则有

同样地, 利用定理1.1中的 $H_{21}(\varepsilon)$ 和 $H_{22}(\varepsilon)$ 的证明思路, 对所有的 $0<\varepsilon<1$ 和充分大的 $M,$ 容易得到

由引理2.3的式(2.2), Markov 不等式和 $E|\mathcal{N}|^p<\infty,$$p>1+\frac{1}{s}$, 则有

由式(4.1)-(4.3) 知式 (1.2) 成立, 故定理1.2成立.