传染病是威胁人类健康的重要天敌之一, 传染病的传播机理和控制策略一直是人类社会研究的内容. 自 1927 年 Kermack 和 McKendrick 首次提出了著名的 SIR 仓室模型^[1], 开启了用数学模型研究传染病的新时代. 此后, 国内外越来越多的学者利用微分方程^[2-3], 根据不同类疾病建立数学模型来描述传染病的动力学行为^[4-8].

目前控制传染病传播的主要方法之一是对感染者采取集中隔离治疗或居家治疗. 在新冠肺炎爆发期间, 我国通过建立方舱医院等隔离措施, 大大降低了该传染病的传播, 使疫情得到有效控制. 因此带有隔离仓室的传染病模型对研究疾病的传播和控制至关重要. 对带有隔离的传染病模型研究目前已取得了大量成果^[9-12].

传染病的传播依赖于种群规模的动态变化, 而种群增长的数学描述直接决定模型的现实贴合度. 自然界中资源有限 (如医疗资源、生存空间等), 人口总量必然受到环境承载能力的限制, 超过阈值后增长速率会逐渐放缓并趋于稳定. Logistic 增长模型通过引入环境容纳量 $K$ 和内禀增长率 $r$, 精准刻画了有限资源下种群增长趋于饱和的核心特征, 避免了指数增长假设下人口无限膨胀导致的模型失真. 同时, 传染病的传播还面临复杂多变的外部环境干扰, 这类干扰往往具有突发切换性. Markov 切换作为一类典型的随机机制切换工具, 其核心优势在于能够通过有限个环境状态和状态间的转移概率, 量化外部环境的突发变化对模型参数的影响. 文献[12] 建立了一类基于 Logistic 增长和 Markov 切换的双饱和率随机 SIQS 传染病模型

文献[12] 的研究已证实, 引入 Markov 切换的传染病模型能够更准确地复现疫情在不同防控阶段的传播差异, 而忽略这种切换机制会导致模型对疫情峰值、持续时间的预测误差显著增大. 进一步而言, Logistic 增长与 Markov 切换的结合具有显著的互补性: Logistic 增长为模型提供了种群规模的长期约束框架, 确保总人口动态的合理性; Markov 切换则为模型注入了环境状态的短期突变机制, 适配传染病传播的复杂外部环境. 二者共同作用, 使模型既能避免无限种群的理论缺陷, 又能应对环境突变的现实挑战, 为后续分析 Lévy 噪声、心理效应等因素对传染病动力学行为的影响奠定了更贴合实际的基础, 这也是本文选择该双重假设的核心必要性所在.

由于社会因素的影响, 疾病的传播对人群会产生 "心理效应"^[13-14]: 对于非常大量的感染者个体, 感染力可能随着感染者个体数量的增加而降低, 因为在存在大量感染者的情况下, 群体可能倾向于减少每单位时间的接触次数, 如 SARS 与 COVID-19 的流行暴发对公众都产生了这样的心理影响. 为了模拟这种现象, 文献[13-14]分别研究了基于心理效应发病率为

的随机传染病模型, 其中 $kI$ 测量疾病的感染力, $\frac{1}{1+{\alpha}I^{2}}$ 描述了当感染者个体的数量非常大时, 易感者个体的行为改变所产生的心理或抑制效应, 因为在高感染水平下, 由于感染性个体的隔离或由于易感个体的保护措施, 感染性个体和易感者个体之间的有效接触的数量减少. ${\alpha}>0$ 为心理效应系数, 即采取相应的预防控制措施影响发病率.

自然界环境中充满了各种随机干扰因素, 常见的随机扰动可利用布朗运动和 Markov 机制切换来表示, 还有一类随机扰动剧烈的突变现象, 例如洪水、地震、飓风等, 这种变化不能用前两种随机因素来刻画, 但可以用 Lévy 噪声来描述, 由于 Lévy 噪声的重要性, 许多学者们研究了带 Lévy 噪声的随机传染病模型, 并得到了丰富的结果^[11,14-18]. 结合疾病的实际传播情况, 考虑 Lévy 噪声和心理效应对疾病的影响, 本文在文献[11-13]的基础上, 建立并研究一类 Lévy 噪声驱动下基于 Logistic 增长和心理效应的随机 SIQS 传染病模型

其中: $S(t)$、$I(t)$、$Q(t)$ 分别表示在 $t$ 时刻易感者、感染且具有传染能力但尚未被隔离的感染者、感染者被隔离的隔离者数量, $S(t^{-})$、$I(t^{-})$、$Q(t^{-})$ 分别表示 $S(t)$、$I(t)$、$Q(t)$ 的左极限; 这里的 $N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)$ 表示 $t$ 时刻人口的总量, 并且将所有新生儿均视为易感者, 且 $N(t)$ 满足 Logistic 增长; $K$ 为环境容纳量; $b$ 为自然出生率; ${\mu}$ 为自然死亡率; $r=b-{\mu}$ 为内禀增长率; ${\beta}$ 为易感者和感染者之间的接触率; ${\delta}$ 为感染者的隔离率; ${\alpha}_{1}$ 和 ${\alpha}_{2}$ 分别为感染者和隔离者的因病死亡率; ${\gamma}$ 和 ${\varepsilon}$ 分别为感染者和隔离者恢复到易感者的恢复率; $a$ 为心理效应系数. 假设模型 (1.2) 中的所有参数均为正数. $B_{i}(t)$ ($i=1,2,3$) 是完备概率空间 $({\Omega},{\digamma},\left\{\digamma_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb{P})$ 上相互独立的标准布朗运动, 即随机干扰源, 其中 $\left\{\digamma_{t}\right\}_{t\geq 0}$ 是 ${\digamma}$ 上的滤子, 它是右连续的且包含所有的 $\mathbb{P}$ 零测集; ${\sigma}_{i}>0$ ($i=1,2,3$) 为白噪声的强度; $r_{i}(u)>-1(i=1,2,3)$ 表示跳的强度; $N({\rm d}t,{\rm d}u)$ 是一个实值的 Poisson 随机测度, 记 $\widetilde{N}({\rm d}t,{\rm d}u)=N({\rm d}t,{\rm d}u)-{\lambda}({\rm d}u){\rm d}t$, $\widetilde{N}({\rm d}t,{\rm d}u)$ 是 $F_{t}$ 适应的鞅, ${\lambda}({\rm d}u){\rm d}t$ 是平稳补偿, ${\lambda}$ 为定义在可测集$Y\in[0,{\infty})$ 上的测度, 满足 ${\lambda}(Y)<{\infty}$.

$f(t)$ 是 $[0,+{\infty})$ 上的可积函数, 定义 $\langle f(t) \rangle=\frac{1}{t}\int^{t}_{0}f(s){\rm d}s$. 记 $a\wedge b= \min \left\{a,b\right\}$, $a\vee b= \max\left\{a,b\right\}$, $a$、$b\in R$. $R^{n}_{+}=\left\{x_{i}\geq0,1\leq i\leq n\right\}$. $\mathbb{I}_{\left\{\right\}}$ 表示集合 $\left\{\right\}$ 的示性函数.

对于随机微分方程

这里 $f(\cdot):R^{n}\rightarrow R^{n}$, $g(\cdot):R^{n}\rightarrow R^{n\times m}$, $r(\cdot,\cdot):R^{n}\times R_{+}\rightarrow R^{n+1}$, $\widetilde{N}({\rm d}t,{\rm d}u)=N({\rm d}t,{\rm d}u)-{\lambda}({\rm d}u){\rm d}t$, $B(\cdot)$ 是 $m$ 维的 Brown 运动.

函数 $V(x(t))\in C^2(R^{n};R^{n})$, 对 $V(x(t))$ 的 $\rm It\hat{o}$-Lévy 过程^[2-3,19-20]为

其中

模型 (1.2) 对应的确定性 SIQS 模型

将模型 (1.3) 的三个方程相加可得

由常数变易法得到 $S(t)+I(t)+Q(t)=N(t)\leq K$.

设 $X=G\times N$, 其中

下面仅在此区域内讨论模型的动力学性质.

定义 1.1 如果 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0 a.s.,$ 则称 $x(t)$ 灭绝.

定义 1.2 如果 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\inf{\langle x(t) \rangle}>0 a.s.,$ 则称 $x(t)$ 平均持久.

为方便计算, 本文对 Lévy 跳跃扩散系数做以下假设

(H1) 对每个数 $m>0$, 都存在 $L_{m}>0$ 使得

$\int_{Y}|H_{i}(x,u)-H_{i}(y,u)|^2{\lambda}({\rm d}u)\leq L_{m}|x-y|^2, i=1,2,3$,

其中 $H_{1}(x,u)=r_{1}(u)S(t^{-}),$$H_{2}(x,u)=r_{2}(u)I(t^{-}), H_{3}(x,u)=r_{3}(u)Q(t^{-}), |x|\vee|y|\leq m;$

(H2) 对于 $1+r_{i}(u)>0, i=1,2,3$, 有

$\int_{Y}|\ln (1+r_{i}(u))|{\lambda}({\rm d}u)\leq C<{\infty}$, $i=1,2,3,$$C$ 是一个正常数.

为使证明逻辑更完善, 现将正文证明中多次用到的文献[12] 的核心结论以下面引理列出.

引理 1.1 对确定性 SIQS 模型 (1.3), 若参数满足 $b\geq 2{\mu}+{\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}$, 则其总人口动力学满足

且集合 $G=\left\{(S(t),I(t),Q(t)\in R^{3}_{+}:S(t)+I(t)+Q(t)\leq K\right\}$ 是模型 (1.3) 的全局正不变集与全局吸引集, 即任意初值 $(S(0),I(0),Q(0))\in R^{3}_{+} $, 则 $N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)\leq K$ 对所有 $t\geq0$ 成立.

引理 1.2 对 Logistic 增长种群的随机模型, 若满足本文假设 (H1) 和 (H2), 则对任意初值 $(S(0),I(0),Q(0))\in G$, 种群总量 $N(t)$ 始终有界, 即 $\sup_{t \ge 0}N(t)\leq K a.s.$, 且对 $\forall t\geq0$ 有 $S(t)\leq K, I(t)\leq K$.

为了研究传染病模型 (1.2) 的动力学行为, 首先需要考虑其是否具有全局正解. 在本节中, 首先证明模型 (1.2) 全局正解的存在唯一性.

定理 2.1 假设条件 (H1) 和 (H2) 成立, 则对任意初值 $(S(0),I(0),Q(0))\in G $, 模型 (1.2) 存在唯一全局正解 $(S(t),I(t),Q(t))(t\geq 0)$, 且该解依概率 $1$ 位于 $G$ 中.

证 因为条件 (H1) 成立, 所以模型 (1.2) 的系数满足局部 Lipschitz 连续, 但不满足线性增长条件, 则对任意初值 $(S(0),I(0),Q(0))\in G$, 模型 (1.2) 存在唯一的局部解 $(S(t),I(t),Q(t))$, $t\in [0,t_{e})$ a.s., 其中 $t_{e}$ 为爆破时间. 要证明解的全局存在性, 只需证明 $t_{e}=\infty$ a.s..

设 $n_{0}\geq1$ 足够大使得 $S(0),I(0),Q(0)$ 都在区间 $[\frac{1}{n_{0}},n_{0}]$ 中, 对每个整数 $n\geq n_{0}$ 定义停时

这里令 $\rm inf{\phi}=\infty$ (${\phi}$ 表示空集). 显然, 当 $n\rightarrow{\infty}$ 时, $t_{n}$ 是单调递增的. 令 $t_{\infty}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}t_{n}$, 则显然有 $t_{\infty}\leq t_{e}$ a.s., 若 $t_{\infty}=\infty$ a.s. 成立, 则有 $t_{e}=\infty$, 从而有 $(S(t),I(t),Q(t))\in R^{3}_{+}$ a.s., $t\geq 0$. 换句话说, 只需证明 $t_{\infty}=\infty$ a.s. 即可.

我们采用反证法. 若不然, 则一定存在常数 $T>0$ 和 ${\varepsilon}\in(0,1)$, 使得

则存在正整数 $n_{1}\geq n_{0}$ 使得

定义 $C^{2}$ 函数

由 $ u-1-{\rm ln}u\geq 0$, $ u>0$ 可知 $V_{1}(S(t),I(t),Q(t))$ 是非负的, 则对其应用 $\rm It\hat{o}$ 公式得

根据引理 1.2, 这里有

这里 $\widetilde{K}$ 是一个正常数, 所以

对 $(2.2)$ 两端分别从 $0$ 到 $t_{n}\wedge T$ 积分并取期望, 得

令 ${\Omega}_{n}=\left\{{\omega}\in{\Omega}:t_{n}=t_{n}({\omega})\leq T\right\}$, 由 $n\geq n_{1}$ 和 $(2.1)$, 可知 $\mathbb{P}({\Omega}_{n})\geq {\varepsilon}$. 对每个 ${\omega}\in {\Omega}_{n}$. 由停时的定义可知 $S(t_{n},{\omega}),I(t_{n},{\omega}),Q(t_{n},{\omega})$ 中至少有一个等于 $n$ 或者 $\frac{1}{n}$, 因此有 $V_{1}(S(t_{n},{\omega}),I(t_{n},{\omega}), Q(t_{n},{\omega}))$ 不小于 $ n-1-{\rm ln}n \text{或者} \frac{1}{n}-1-\ln\frac{1}{n}=\frac{1}{n}-1+\ln n, $ 从而

则由 $(2.1)$ 和 $(2.2)$ 知

令 $n\rightarrow \infty$, 则有 ${\infty}>V_{1}(S(0),I(0),Q(0))+\widetilde{K}T=\infty,$ 矛盾, 所以有 $t_{\infty}=\infty$ a.s., 这就意味着 $(S(t),I(t),Q(t))$ 以概率 1 在有限时间内不会产生爆破.

对于确定性 SIQS 模型 (1.3), 定义基本再生数 $R_{0}=\frac{{\beta}K}{{\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}}$, 当 $R_{0}<1$ 时, 存在无病平衡点 $E_{0}=(K,0,0)$; 当 $R_{0}>1$ 时, 存在地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$, 其中 $S_{*}=\frac{({\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta})(1+aI^2_{*})}{{\beta}}$, $Q_{*}=\frac{{\delta}I_{*}}{{\mu}+{\alpha}_{2}+{\varepsilon}}$, $I_{*}$ 由下面方程确定

随机 SIQS 模型 (1.2) 与确定 SIQS 模型 (1.3) 相比, 无病平衡点和地方病平衡点均发生改变. 本节仅讨论模型 (1.2) 在无病平衡点 $E_{0}$ 和地方病平衡点 $E_{*}$ 附近的渐近性质.

定理 3.1 假设条件 (H1) 和 (H2) 成立, 设 $(S(t),I(t),Q(t))$ 为模型 (1.2) 的正解, 给定任一初值为 $(S(0),I(0),Q(0))\in G$, 对任意 $t>0$, 如果 $R_{0}=\frac{{\beta}K}{{\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}}<1$, 且满足

$\begin{equation*} b\geq 2{\mu}+{\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}, \end{equation*}$$\begin{equation*} {\mu}-\frac{{\varepsilon}}{2}> \frac{{\sigma}^2_{1}}{2}+\int_{Y}r^2_{1}(u){\lambda}({\rm d}u), \end{equation*}$$\begin{equation*} {\mu}+{\alpha}_{1}-\frac{{\delta}}{2}-\frac{{\varepsilon}}{2}> \frac{{\sigma}^2_{2}}{2}+\int_{Y}r^2_{2}(u){\lambda}({\rm d}u), \end{equation*}$$\begin{equation*} {\mu}+{\alpha}_{2}-\frac{{\delta}}{2}> \frac{{\sigma}^2_{3}}{2}+\frac{1}{2}\int_{Y}r^2_{3}(u){\lambda}({\rm d}u). \end{equation*}$

那么

其中

这里

证 定义 $C^{2}$ 函数

其中 $c$ 是待定正常数, 显然 $V_{2}(S(t),I(t),Q(t))$ 是非负的.

对 (3.1) 式应用 $\rm It\hat{o}$ 公式得

其中

由条件 $b\geq 2{\mu}+{\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}$, 根据引理 1.1 可知, $(b-r\frac{N(t)}{K})N(t)\geq {\mu}K$, 且 $S(t)-K+I(t)\leq 0$, 应用不等式 $(a+b)^2\leq 2a^2+2b^2$ 可得

取 $c=\frac{2{\mu}+{\alpha}_{1}+{\delta}}{{\beta}}$, 且 $R_{0}<1$, 应用不等式 $2ab\leq a^2+b^2$ 可得

一方面, 对 (3.2) 式两端分别从 $0$ 到 $t$ 积分并取数学期望, 得

另一方面, 由 (3.3) 式可得

进而有

其中

这里

当 $R_{0}>1$ 时, 确定模型 (1.3) 存在地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$. 下面讨论模型 (1.2) 的解在地方病平衡点 $E_{*}$ 附近的渐近性质.

定理 3.2 假设条件 (H1) 和 (H2) 成立, 设 $(S(t),I(t),Q(t))$ 为模型 (1.2) 的正解, 给定任一初值为 $(S(0),I(0),Q(0))\in G$, 对任意 $t>0$, 如果 $R_{0}=\frac{{\beta}K}{{\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}}>1$, 且满足

$\begin{aligned} b & \geq 2 \mu+\alpha_{1}+\alpha_{2} \\ 2 \mu-r-\frac{\alpha_{2}}{2} & >\sigma_{1}^{2}+3 \int_{Y} r_{1}^{2}(u) \lambda(\mathrm{d} u) \\ 4 \mu+2 \alpha_{1}-2 r & >\sigma_{2}^{2}+3 \int_{Y} r_{2}^{2}(u) \lambda(\mathrm{d} u) \\ 2 r+2 d_{2}\left(\mu+\alpha_{2}+\varepsilon\right)-4 \mu & >\left(1+d_{2}\right) \sigma_{3}^{2}+\left(3+d_{2}\right) \int_{Y} r_{3}^{2}(u) \lambda(\mathrm{d} u) \end{aligned}$

那么

其中

证 当 $R_{0}>1$ 时, 存在地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$ 满足

$\begin{equation*} (b-r\frac{N_{*}}{K})N_{*}={\mu}S_{*}+\frac{{\beta}S_{*}I_{*}}{1+aI^2_{*}}-{\gamma}I_{*}-{\varepsilon}Q_{*}, \end{equation*}$$\begin{equation*} \frac{{\beta}S_{*}}{1+aI^2_{*}}={\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}, \end{equation*}$$\begin{equation*} {\delta}I_{*}=({\mu}+{\alpha}_{2}+{\varepsilon})Q_{*}, \end{equation*}$$\begin{equation*} N_{*}=S_{*}+I_{*}+Q_{*}. \end{equation*}$

定义 $C^{2}$ 函数

其中 $d_{1},d_{2}$ 是待定正常数, 显然 $V_{3}(S(t),I(t),Q(t)), V_{4}(I(t)), V_{5}(Q(t))$ 是非负的.

对 $V_{3}(S(t),I(t),Q(t)),V_{4}(I(t)),V_{5}(Q(t))$ 式应用 $\rm It\hat{o}$ 公式得

根据地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$ 和模型 (1.3) 可知

将上式代入 $LV_{3}$ 中有

由条件 $b\geq 2{\mu}+{\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}$, 根据引理 1.1 可知, $\frac{{\mu}}{r}K\leq N$, $\frac{{\mu}}{r}K\leq N_{*}$. 故

由不等式 $2ab\leq a^2+b^2$ 可得

将上式代入 $LV_{3}$ 中可得

根据地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$ 和模型 (1.3) 可知

将上式代入 $LV_{4}$ 中有

根据地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$ 和模型 (1.3) 可知

将上式代入 $LV_{5}$ 中有

令 $\widetilde{V}=V_{3}+V_{4}+V_{5}$, 则

取

再应用不等式 $(a+b+c)^2\leq3a^2+3b^2+3c^2$ 可得

从而有

其中 $k_{1},k_{2},k_{3},k_{{\delta}}$ 如定理 3.2 中所示.

对函数 $\widetilde{V}$ 应用 $\rm It\hat{o}$ 公式后得到 $d\widetilde{V}$, 再对 $d\widetilde{V}$ 两端分别从 $0$ 到 $t$ 积分并取数学期望, 得

结合 (3.4)式, 令 $t\rightarrow\infty$ 得

前文定理 3.1 和定理 3.2 已揭示随机模型 (1.2) 在确定性模型 (1.3) 无病平衡点 $E_{0}=(K,0,0)$ 和地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$ 附近的渐近性质, 本节进一步讨论白噪声强度 ${\sigma}_{i}$ ($i=1,2,3$) 和 Lévy 噪声强度 $r_{i}(u)(i=1,2,3)$ 对解的振动行为及振幅的影响.

由定理 3.1 的结论

其中 ${\Lambda}=\min\left\{c_{1},c_{2},c_{3}\right\}$, 且 $c_{1},c_{2},c_{3}$ 均包含 Lévy 噪声积分项 $\int_{Y}r^2_{i}(u){\lambda}({\rm d}u) (i=1,2,3)$ 和白噪声强度 ${\sigma}_{i}^2$ ($i=1,2,3$).

(1) 振动现象与振幅变化: 当白噪声强度 ${\sigma}_{i}$ ($i=1,2,3$) 和 Lévy 噪声强度 $r_{i}(u)(i=1,2,3)$ 逐渐减小时, 不等式右端的上界项 $\frac{K^2}{{\Lambda}}[\frac{{\sigma}^2_{1}}{2}+\int_{Y}r^2_{1}(u){\lambda}({\rm d}u)]$ 呈单调递减趋势. 这表明随机模型的解 $(S(t),I(t),Q(t))$ 围绕无病平衡点 $E_{0}=(K,0,0)$ 振动的振幅随噪声强度衰减而逐渐减小, 即噪声强度越小, 解的波动越平缓, 振幅越接近确定性模型解的稳态值, 解越接近确定性模型的无病平衡态.

(2) 趋势推断: 当 ${\sigma}_{i}\rightarrow0$ ($i=1,2,3$) 且 $r_{i}(u)\rightarrow0(i=1,2,3)$ 时, Lévy 噪声积分项 $\int_{Y}r^2_{i}(u){\lambda}({\rm d}u)\rightarrow 0$, 此时上界项趋于 0, 即

这意味着随机模型的解将逼近确定性模型的无病平衡点 $E_{0}=(K,0,0)$, 振动现象逐渐消失, 结合定理 3.1 中 $R_{0}<1$ 的条件, 可推断传染病最终将趋于灭绝.

由定理 3.2 的结论

其中 $k_{1},k_{2},k_{3}$ 均包含 ${\sigma}_{i}^2$ ($i=1,2,3$) 和 $\int_{Y}r^2_{i}(u){\lambda}({\rm d}u)(i=1,2,3)$, $k_{\delta}$ 包含 ${\sigma}_{i}^2$ ($i=1,2,3$)、$\int_{Y}(r_{2}(u)-\ln(1+r_{2}(u))){\lambda}({\rm d}u)$ 和 $\int_{Y}r^2_{i}(u){\lambda}({\rm d}u)(i=1,2,3)$.

(1) 振动现象与振幅变化: 当白噪声强度 ${\sigma}_{i}$ ($i=1,2,3$) 和 Lévy 噪声强度 $r_{i}(u)(i=1,2,3)$ 逐渐减小时, $k_{1},k_{2},k_{3}$ 单调增加, $k_{\delta}$ 单调递减, 导致不等式右侧上界项减小. 这表明随机模型的解 $(S(t),I(t),Q(t))$ 围绕地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$ 振动的振幅随噪声强度衰减而逐渐减小, 即强噪声会导致解在 $E_{*}$ 附近剧烈运动, 弱噪声下解的波动范围收窄, 解更接近确定性模型的地方病平衡态.

(2) 趋势推断: 当 ${\sigma}_{i}\rightarrow0$ ($i=1,2,3$) 且 $r_{i}(u)\rightarrow0(i=1,2,3)$ 时, $k_{\delta}\rightarrow0$ 且 $\min\left\{k_{1},k_{2},k_{3}\right\}\rightarrow\min\left\{2{\mu}-r-\frac{{\alpha}_{2}}{2},4{\mu}+2{\alpha}_{1}-2r,2r+2d_{2}({\mu}+{\alpha}_{2}+{\varepsilon})-4{\mu}\right\}$, 此时上界项趋于 0, 即

这意味着随机模型的解将逼近确定性模型的地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$, 振动现象逐渐消失, 结合定理 3.2 中 $R_{0}>1$ 的条件, 可推断传染病将持续存在.

传染病的灭绝性与持久性是传染病研究的重点. 本节先定义随机模型 (1.2) 的基本再生数, 然后给出传染病灭绝与持久的充分条件.

定义随机模型 (1.2) 的基本再生数

定理 4.1 假设条件 (H1) 和 (H2) 成立, 设 $(S(t),I(t),Q(t))$ 为模型 (1.2) 的正解, 给定任一初值为 $(S(0),I(0),Q(0))\in G$, 对任意 $t>0$, 当 $R^{s}_{0}<1$ 时,

即 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}I(t)=0 a.s.$, 疾病灭绝.

证 根据模型 (1.2) 的第二个方程, 由 $\rm It\hat{o}$ 公式可得

对 (4.1) 上式两边从 $0$ 到 $t$ 积分, 并且两边除以 $t$ 有

根据文献[11-12]以及强大数定理, 有

当 $R^{s}_{0}<1$ 时,

即 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}I(t)=0 a.s.$, 由定义 1.1 知, 疾病灭绝.

从流行病学的角度看, 更重要的是要调查导致该疾病在人群中持续存在的情况. 本节我们将讨论模型 (1.2) 的随机持久性, 研究传染病持续下去的条件.

定理 4.2 假设条件 (H1) 和 (H2) 成立, 设 $(S(t),I(t),Q(t))$ 为模型 (1.2) 的正解, 给定任一初值为 $(S(0),I(0),Q(0))\in G$, 对任意 $t>0$, 当 $R^{s}_{0}>1$ 且 $b\geq 2{\mu}+{\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}$, 则模型 (1.2) 的疾病将保持平均持久, 且满足

这里 $D=\frac{{\beta}({\mu}+{\alpha}_{1}+\frac{{\delta}({\mu}+{\alpha}_{2})}{{\mu}+{\alpha}_{2}+{\varepsilon}})}{{\mu}}+aK({\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta})$.

证 设 $(S(t),I(t),R(t))$ 是模型 $\rm (1.2)$ 满足初值 $(S(0),I(0),R(0))\in G$ 的解.

令

对模型 (1.2) 两边从 $0$ 到 $t$ 积分代入 ${\Theta}(t)$ 中可得

其中

从而有 $\langle S(t)\rangle \geq \frac{1}{{\mu}t}\int^{t}_{0}(b-r\frac{N(s)}{K})N(s){\rm d}s-\frac{{\mu}+{\alpha}_{1}+\frac{{\delta}({\mu}+{\alpha}_{2})}{{\mu}+{\alpha}_{2}+{\varepsilon}}}{{\mu}}\langle I(t)\rangle+\frac{1}{{\mu}}({\Phi}(t)-{\Theta}(t))$.

由条件 $b\geq 2{\mu}+{\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}$, 根据引理 1.1 有

对函数 $\ln I(t)+\frac{1}{2}aI^2(t)$ 应用 $\rm It\hat{o}$ 公式, 且根据引理 1.2 有

对 (4.3) 式从 $0$ 到 $t$ 积分, 并且两边同时除以 $t$, 再将 (4.2) 式代入有

记 $D=\frac{{\beta}({\mu}+{\alpha}_{1}+\frac{{\delta}({\mu}+{\alpha}_{2})}{{\mu}+{\alpha}_{2}+{\varepsilon}})}{{\mu}}+aK({\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}),$

则

根据文献[11-12]以及强大数定理, 对 (4.4) 式取下确界, 再取极限, 令 $t\rightarrow\infty$ 得

当 $R^{s}_{0}>1$, 可得

由定义 1.2 可知, 疾病持久.

基于随机基本再生数 $R^{s}_{0}$ 的定义及定理 4.1 和定理 4.2 的结论, 进一步分析白噪声强度 ${\sigma}_{i}$ ($i=1,2,3$) 和 Lévy 噪声强度 $r_{i}(u)(i=1,2,3)$ 对疾病演化趋势的调控作用.

随机基本再生数

可见 $R^{s}_{0}$ 与白噪声强度 ${\sigma}_{2}^2$、Lévy 噪声相关积分项呈负相关:

(1) 当 ${\sigma}_{2}$ 或 $r_{2}(u)$ 增大时, $R^{s}_{0}$ 减小, 可能导致原本 $R_{0}>1$ 的确定性模型在随机干扰下变为 $R^{s}_{0}<1$, 疾病从持久转为灭绝;

(2) 当 ${\sigma}_{2}$ 或 $r_{2}(u)$ 减小时, $R^{s}_{0}$ 增大, 疾病更易保持持久.

结合定理 4.1 和定理 4.2, 结合噪声强度对解振动的影响:

(1) 疾病灭绝 ($R^{s}_{0}<1$): 当 ${\sigma}_{2}^2$ 和 $r_{2}(u)$ 逐渐减小时, $R^{s}_{0}$ 虽略有增大, 但仍小于 1. 此时解围绕无病平衡点的振动幅度持续减小, 感染者的数量 $I(t)$ 的波动范围收窄, 且由定理 4.1 知 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} I(t)=0 a.s.$. 当噪声强度趋于 0 时, $I(t)$ 的振动消失, 快速收敛于 0, 传染病最终灭绝.

(2) 疾病持久 ($R^{s}_{0}>1$ 且 $b\geq 2{\mu}+{\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}$): 随着 ${\sigma}_{2}^2$ 和 $r_{2}(u)$ 继续减小时, $R^{s}_{0}$ 进一步增大到大于 1. 此时解围绕地方病平衡点的振动幅度减小, 感染者的数量 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\inf{\langle I(t)\rangle}$ 的下界更显著 (定理 4.2). 当噪声强度趋于 0 时, $I(t)$ 稳定在地方病平衡点对应的 $I_{*}$ 附近, 振动消失, 传染病持续存在.

在本节中, 我们基于文献[12,21]的模拟数据, 利用 Milstein 高阶方法^[22]对模型 (1.2) 和模型 (1.3) 进行数值模拟.

(1) 对于模型 (1.3), 令 $K=28.26, b=0.1, {\mu}=0.046, r=b-{\mu}=0.054, {\varepsilon}=0.027, {\gamma}=0.027, a=0.0035, {\delta}=0.4520, {\alpha}_{1}=0.0013, {\alpha}_{2}=0.0013, (S(0),I(0),Q(0))=(18, 5, 5)$.

取 ${\beta}=0.0109$, 则 $R_{0}=\frac{{\beta}K}{{\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}}\approx 0.58528<1$, 则模型 (1.3) 的任意正解将以概率 1 收敛于无病平衡点 (28.26, 0, 0), 即疾病将灭绝, 如图1 所示.

取 ${\beta}=0.0255$, 则 $R_{0}=\frac{{\beta}K}{{\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}}\approx 1.36924>1$, 则疾病将保持持久, 如图2 所示.

(2) 对于模型 (1.2), 令 $K=28.26, b=0.1, {\mu}=0.046, r=b-{\mu}=0.054, {\varepsilon}=0.027, {\gamma}=0.027, a=0.0035, {\delta}=0.4520, {\alpha}_{1}=0.0013, {\alpha}_{2}=0.0013, (S(0),I(0),Q(0))=(18,5,5)$, ${\beta}=0.0255$.

若取 ${\sigma}_{1}=0.053$, ${\sigma}_{2}=0.553$, ${\sigma}_{3}=0.053$, $r_{1}(u)=0.6$, $r_{2}(u)=0.5$, $r_{3}(u)=0.4$, $Y=(0,+\infty)$, ${\lambda}(Y)=1$, 则 $R^{s}_{0}=R_{0}-\frac{1}{{\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}}[\frac{1}{2}{\sigma}^2_{2}+\int_{Y}(r_{2}(u)-\ln (1+r_{2}(u))){\lambda}({\rm d}u)]\approx 0.89909<1$, 根据定理 4.1 可知, 疾病将几乎必然灭绝, 如图3 所示. 即强噪声时, $I(t)$ 振动剧烈, 振幅大, $I(t)$ 最终趋于 0, 疾病灭绝.

若取 ${\sigma}_{1}=0.013$, ${\sigma}_{2}=0.153$, ${\sigma}_{3}=0.013$, $r_{1}(u)=0.5$, $r_{2}(u)=0.4$, $r_{3}(u)=0.3$, $Y=(0,+\infty)$, ${\lambda}(Y)=1$, 则 $R^{s}_{0}=R_{0}-\frac{1}{{\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}}[\frac{1}{2}{\sigma}^2_{2}+\int_{Y}(r_{2}(u)-\ln (1+r_{2}(u))){\lambda}({\rm d}u)]\approx 1.22629>1$, 根据定理 4.2 可知, 疾病将会保持平均持久, 如图4 所示. 即弱噪声时, $I(t)$ 振动平缓, 振幅小, $I(t)$ 围绕 $I_{*}$ 稳定波动, 疾病平均持久.

本文研究了一类 Lévy 噪声驱动下基于 Logistic 增长和心理效应的随机 SIQS 传染病模型. 文章第一部分, 利用 Lyapunov 函数法和 $\rm It\hat{o}$ 公式, 证明了模型 (1.2) 全局正解的存在唯一性.

文章第二部分, 对模型 (1.2) 的确定性 SIQS 传染病模型 (1.3) 定义了基本再生数 $R_{0}=\frac{{\beta}K}{{\mu}+{\alpha}_{1}+{\gamma}+{\delta}}$, 通过 $R_{0}<1$ 或 $R_{0}>1$ 来讨论无病平衡点 $E_{0}=(K,0,0)$ 和地方病平衡点 $E_{*}=(S_{*},I_{*},Q_{*})$ 附近的渐近性质. 即设 $(S(t),I(t),Q(t))$ 是模型 (1.2) 具有任意初值 $(S(0),I(0),Q(0))\in G$ 的正解.

若 $R_{0}<1$ 且满足一定条件, 那么无病平衡点附近有

其中 ${\Lambda}$ 如定理 3.1 中所示.

若 $R_{0}>1$ 且满足一定条件, 那么地方病平衡点附近有

其中 $k_{1},k_{2},k_{3},k_{{\delta}},d_{1},d_{2}$ 如定理 3.2 中所示.

文章第三部分, 定义了随机模型 (1.2) 的基本再生数

给出传染病灭绝和持久的充分条件: 当 $R^{s}_{0}<1$ 时, 疾病几乎必然灭绝; 当 $R^{s}_{0}>1$ 且 $b\geq 2{\mu}+{\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}$ 时, 疾病保持平均持久.

文章第四部分, 即文章最后部分通过数值模拟, 验证了理论分析结果的正确性.

本文的研究对传染病防控具有切实指导意义: 心理效应的量化分析表明, 通过科普宣传强化公众防护意识可降低有效接触率, 为非药物干预提供理论支撑; Lévy 噪声与白噪声的影响机制提示, 需针对自然灾害、政策调整等突发干扰建立动态防控预案, 通过灵活调整隔离率、医疗资源投入抵消噪声冲击; 随机基本再生数 $R^{s}_{0}$ 的阈值效应, 为防控强度调整提供量化依据, 可据此划分常规防控与强化干预的临界节点; Logistic 增长的环境容纳量 $K$ 则指导区域医疗资源规划, 避免资源过载导致传播风险升级. 未来可进一步拓展: 引入潜伏态、疫苗接种等仓室优化模型结构, 采用时变 Lévy 噪声或密度依赖心理效应提升现实适配性, 结合脉冲控制等干预策略分析防控措施的调控效果, 或通过多区域耦合与实际疫情数据校准增强决策支持能力, 同时可深入探索集合 G 外暂态区域的动力学行为以完善理论框架.