在 $(m,N)$-策略下不中断多重休假 Bernoulli 反馈排队的性能分析与最优控制策略

图1 情况1下系统的发展进程

情况 2 服务员结束休假后, 若系统中已到达$r(m \leq r < N)$个顾客, 则立即启动系统. 在系统启动期间, 若有$n(0 \leq n < N - r)$个顾客到达, 则启动完成后服务员在系统中等待, 直到第$N$个顾客到达时立即开始为顾客服务. 如图2 所示.

图2

图2 情况2系统的发展进程

情况 3 服务员结束休假后, 若系统中已到达$r(1 \leq r < m)$个顾客, 则继续等待直到第$m$个顾客到达以启动系统. 在系统启动期间, 若恰有$N - m$个顾客到达, 则启动完成后系统中的顾客总数恰好为$N$, 服务员立即开始为顾客服务. 如图3 所示.

图3

图3 情况3下系统的发展进程

情况 4 服务员结束休假后, 若系统中已到达$r(m \leq r \leq N)$个顾客, 则立即启动系统. 在系统启动期间, 若恰有$N - r$个顾客到达, 则启动完成后系统中的顾客总数恰好为$N$, 服务员立即开始为顾客服务. 如图4 所示.

图4

图4 情况4下系统的发展进程

于是,

$ \begin{align*} P\{Q_b = N\} = &\sum_{r=1}^{m-1} \sum_{n=0}^{N-m-1} \sum_{k=1}^{\infty} P\{S_{k-1} \leq \hat{\tau}_{2} < S_{k},\hat{\tau}_{2} + l_{r-1} \leq S_{k} < \hat{\tau}_{2} + l_{r}, l_{n} \leq Y < l_{n+1}\} \\ &+\sum_{r=m}^{N-1} \sum_{n=0}^{N-r-1} \sum_{k=1}^{\infty} P\{S_{k-1} \leq \hat{\tau}_{2} < S_{k},\hat{\tau}_{2} + l_{r-1} \leq S_{k} < \hat{\tau}_{2} + l_{r}, l_{n} \leq Y < l_{n+1}\}\\ &+\sum_{r=1}^{m-1} \sum_{k=1}^{\infty} P\{S_{k-1} \leq \hat{\tau}_{2} < S_{k},\hat{\tau}_{2} + l_{r-1} \leq S_{k} < \hat{\tau}_{2} + l_{r}, l_{N-m} \leq Y < l_{N-m+1}\}\\ &+\sum_{r=m}^{N} \sum_{k=1}^{\infty} P\{S_{k-1} \leq \hat{\tau}_{2} < S_{k},\hat{\tau}_{2} + l_{r-1} \leq S_{k} < \hat{\tau}_{2} + l_{r}, l_{N-r} \leq Y < l_{N-r+1}\} \\ = &\frac{1}{1 - v_0} \left\{ (\sum_{r=1}^{m-1} v_{r}) \sum_{n=0}^{N-m} y_{n} + \sum_{r=m}^{N} v_{r} \sum_{n=0}^{N-r} y_{n} \right\}, \end{align*} $

同理, 当 "服务员忙期" 开始时系统中的顾客数为$j(j>N)$时, 则有以下两种情况.

情况 1 服务员结束休假后, 若系统中已到达$r(1 \leq r < m)$个顾客, 则继续等待直到第$m$个顾客到达以启动系统. 在系统启动期间, 若有$j-m$个顾客到达, 则启动完成后服务员立即开始为顾客服务 (同图3).

情况 2 服务员结束休假后, 若系统中已到达$r(m \leq r)$个顾客, 则立即启动系统. 在系统启动期间, 若有$j-r$个顾客到达, 则启动完成后服务员立即开始为顾客服务 (同图4).

于是,

$ \begin{align*} P\{Q_b = j\} =& \sum_{r=1}^{m-1} \sum_{k=1}^{\infty} P\{S_{k-1} \leq \hat{\tau}_{2} < S_k, \hat{\tau}_{2}+ l_{r-1} \leq S_k < \hat{\tau}_{2} + l_{r},l_{j-m} \leq Y < l_{j-m+1}\}\\ &+\sum_{r=m}^{j} \sum_{k=1}^{\infty} P\{S_{k-1} \leq \hat{\tau}_{2} < S_k,\hat{\tau}_{2} + l_{r-1} \leq S_k < \hat{\tau}_{2} + l_{r}, l_{j-r} \leq Y < l_{j-r+1}\}\\ = &\frac{1}{1 - v_0} \left\{ \sum_{r=1}^{m-1} v_r y_{j-m} + \sum_{r=m}^{j} v_r y_{j-r} \right\}, j\geq N+1, \end{align*} $

所以 "服务员忙期" 开始时系统内的顾客数的概率母函数可由定义$Q_b(z)\!=\!\sum\limits_{j=0}^{\infty}\!z^j\!P\{Q_b\!=\!j\}$ 直接计算可得 (3.5) 式, 而平均顾客数$E(Q_b)\!=\!\sum\limits_{j=0}^{\infty}\!j\!P\{Q_b\!=\!j\}\!=\!\left.\!\frac{{\rm d}Q_b(z)}{{\rm d}z} \right|_{z=1}$, 经计算可得 (3.6) 式.

定理 3.2 令$P_{(m,N)}(z)$表示在任意时刻系统稳态队长分布的概率母函数, 则当$\rho < 1$, $|z| < 1$时, 有

(3.7)$\begin{equation} \begin{aligned} P_{(m,N)}(z) = & \frac{(1 - \rho)(1 - z) \tilde{g}(\lambda(1 - z))}{\tilde{g}(\lambda(1 - z)) - z} \\ & \cdot \frac{1 - v_0 - y(\lambda(1 - z))\left[v(\lambda(1 - z))-v_0+\sum\limits_{r=1}^{m-1} (z^m-z^r) v_r\right] + \delta(z)}{(1 - z) \Omega_{(m,N)}}. \end{aligned} \end{equation}$

而且平均队长为

(3.8)$\begin{equation} \bar{L}_{(m,N)} =\rho + \frac{\lambda^2 E(\tilde{\chi}^2)}{2(1 - \rho)} + \frac{ \lambda^2 \left[E(Y^2)(1 - v_0) +\lambda^2 E(V^2)\right] - \sum\limits_{r=2}^{m-1} r(r - 1) v_r + \zeta_1 + \zeta_2 + \zeta_3 }{2 \Omega_{(m,N)}}. \end{equation}$

其中

$ \begin{align*} &\zeta_1 = 2 \lambda E(Y) \left[ \lambda E(V) - \sum\limits_{r=1}^{m-1}r v_r \right]; \quad\zeta_2 = [2m \lambda E(Y) + m(m - 1)] \sum\limits_{r=1}^{m} v_r;\\ &\zeta_3 = \sum\limits_{r=1}^{m-1}\!v_r\!\!\sum\limits_{n=0}^{N-m-1}\!\bigl[N(N - 1)-(m{+}n)(m{+}n{-}1)\bigr]y_n + \!\!\sum\limits_{r=m}^{N-1}\!v_r\!\!\sum\limits_{n=0}^{N-r-1}\!\bigl[N(N - 1) - (r{+}n)(r{+}n{-}1)\bigr]y_n. \end{align*} $

证当$\rho < 1$时, 系统的稳态队长可分成独立的两部分之和, 由稳态队长的随机分解定理^[2,29]有

(3.9)$\begin{equation} P_{(m,N)}(z) = P(z) \cdot P_{L_d}(z), ~|z| < 1, \end{equation}$

其中$P(z)$是具有 Bernoulli 反馈的$M/G/1$排队系统的稳态队长的概率母函数, $P_{L_d}(z)$是由具有启动时间的双阈值$(m,N)$-策略和多重休假且休假不中断机制引起的附加队长的概率母函数. 由文献[25] 可知

(3.10)$\begin{equation} P(z) = \frac{(1-\rho)(1-z)\tilde{g}(\lambda(1-z))}{\tilde{g}(\lambda(1-z)) - z}, \end{equation}$

而且由文献[2] 可得

(3.11)$\begin{equation} P_{L_d}(z) = \frac{1 - Q_b(z)}{E(Q_b)(1-z)}, \end{equation}$

将 (3.5) 式和 (3.6) 式代入 (3.11) 式即可得到附加队长的概率母函数, 再由 (3.9) 式可得系统稳态队长的概率母函数 (3.7) 式, 最后利用$\bar{L}_{(m,N)} = \left. \frac{\rm d}{{\rm d}z} \left[ P_{(m,N)}(z) \right] \right|_{z=1}$并使用洛必达法则即可得到平均队长 (3.8) 式.

定理 3.3 (附加队长分布) 设$L_d$是由具有启动时间的双阈值$(m,N)$-策略和不中断多重休假策略机制引起的附加队长, 则附加队长有如下离散分布

(3.12)$\begin{equation} P\{L_d = j\} = \frac{1 - v_0}{\Omega_{(m,N)}}, ~0 \leq j < N, \end{equation}$

(3.13)$\begin{equation} P\{L_d = j\} = \frac{1 - v_0 - \sum\limits_{n=N}^{j} \sum\limits_{i=m+1}^{n} v_i y_{n-i} - \sum\limits_{r=1}^{m} v_r \sum\limits_{n=0}^{j-m} y_n - \sum\limits_{r=m+1}^{N-1} v_r \sum\limits_{n=0}^{N-r-1} y_n}{\Omega_{(m,N)}}, j \geq N. \end{equation}$

证由 (3.7) 式可知附加队长的概率母函数为

$ \begin{align*} P_{L_d}(z) = & \frac{1 - v_0 - y(\lambda(1-z)) \left[ v(\lambda(1-z)) - v_0 + \sum\limits_{r=1}^{m-1} (z^m - z^r) v_r \right] + \delta(z)}{(1-z)\Omega_{(m,N)}} \\ = & \frac{1}{\Omega_{(m,N)}} H(z) \cdot I(z), \end{align*} $

其中

$ \begin{align*} H(z) = 1 - v_0 - y(\lambda(1-z)) \left[ v(\lambda(1-z)) - v_0 + \sum\limits_{r=1}^{m-1} (z^m - z^r) v_r \right] + \delta(z), I(z) = \frac{1}{1-z}, \end{align*} $

经计算可得

$ \begin{align*} &H(z) \big|_{z=0} = 1 - v_0,\quad H^{(j)}(z) \big|_{z=0} = 0, j = 1, 2, \ldots, N{-}1;\\ &H^{(N)}(z) \big|_{z=0} = -N! \biggl[\,\sum_{r=1}^{m-1}\!v_r\!\sum_{n=0}^{N-m-1}\!y_n + \!\sum_{r=m}^{N-1}\!v_r\!\sum_{n=0}^{N-r-1}\!y_n \biggr] - N! \biggl[\,\sum_{i=m+1}^{N}\!y_{N-i}v_i + y_{N-m}\!\sum_{r=1}^{m}\!v_r \biggr];\\ &H^{(j)}(z) \big|_{z=0} = -j! \biggl[\,\sum_{i=m+1}^{j}\!y_{j-i}v_i + y_{j-m}\!\sum_{r=1}^{m}\!v_r \biggr], j > N. \end{align*} $

上式中$H^{(j)}(z)$表示$H(z)$关于$z$求$j$阶导数, $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, 然后利用

$ \begin{align*} P\{L_d = j\} = \frac{1}{j!} \cdot \left. \frac{{\rm d}^j}{{\rm d}z^j} \left[ P_{L_d}(z) \right] \right|_{z=0}, ~~\left[ H(z) \cdot I(z) \right]^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k H^{(k)}(z) I^{(n-k)}(z), \end{align*} $

经计算可以得到, 当$j = 0, 1, 2, \ldots, N-1$时,

$ \begin{align*} P\{L_d = j\} = \frac{1}{j!} \cdot \frac{C_j^0 H(0) I^{(j)}(0) + \sum\limits_{i=1}^{j} C_j^i H^{(i)}(0) I^{(j-i)}(0)}{\Omega_{(m,N)}} = \frac{1- v_0}{\Omega_{(m,N)}}, \end{align*} $

当$j = N, N+1, \ldots$时,

$ \begin{align*} P\{L_d = j\} =& \frac{1}{j!} \cdot \frac{1}{\Omega_{(m,N)}} \left\{ C_j^0 H(0) I^{(j)}(0) + \sum_{i=1}^{N-1} C_j^i H^{(i)}(0) I^{(j-i)}(0) + C_j^N H^{(N)}(0) I^{(j-N)}(0) \right. \\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad \left. + \sum_{i=N+1}^{j} C_j^i H^{(i)}(0) I^{(j-i)}(0) \right\} \\ =& \frac{1 - v_0 - \sum\limits_{n=N}^{j} \sum\limits_{i=m+1}^{n} v_i y_{n-i} - \sum\limits_{r=1}^{m} v_r \sum\limits_{n=0}^{j-m} y_n - \sum\limits_{r=m+1}^{N-1} v_r \sum\limits_{n=0}^{N-r-1} y_n}{\Omega_{(m,N)}}. \end{align*} $

4 其他重要的稳态排队性能指标

(1) 由$Q_b$个顾客开始的 "服务员忙期" 的平均长度

令$\bar{B}_{(m,N)}$为系统采取控制策略后 "服务员忙期" 的平均长度 (系统从$Q_b$个顾客开始的 "服务员忙期" 长度), 则由于到达过程是泊松流可得

(4.1)$\begin{equation} \bar{B}_{(m,N)} = E(b) \cdot E(Q_b) = \frac{\rho E(Q_b)}{\lambda(1-\rho)}; \end{equation}$

(2) "服务员非忙期" 的平均长度

定义 4.1 服务员非忙期是指从系统刚变空的时刻起, 直到服务员结束休假回到系统并开始为顾客服务的这一段时间, 其中包含了服务员的假期、系统启动前服务员等待顾客到达的时间、系统的启动时间以及系统启动后服务员等待顾客到达的时间.

令$\bar{I}_{(m,N)}$为 "服务员非忙期" 的平均长度, 由于 "服务员忙期" 开始时在系统内的顾客数为上一个 "服务员非忙期" 内到达的顾客数, 而顾客到达过程是参数为$\lambda$ 的泊松流, 于是 "服务员非忙期" 的平均长度为

(4.2)$\begin{equation} \bar{I}_{(m,N)} = \frac{E(Q_b)}{\lambda}; \end{equation}$

(3) 系统的 "忙循环" 的平均长度

定义 4.2 系统的忙循环是指从系统刚变空 (无顾客) 的时刻起, 直到系统再次变空为止的这一段时间.

令$\bar{C}_{(m,N)}$为系统的一个 "忙循环" 的平均长度, 由于一个系统的 "忙循环" 长度等于一个 "服务员非忙期" 长度与其后的一个 "服务员忙期" 长度之和. 所以

(4.3)$\begin{equation} \bar{C}_{(m,N)} = \bar{B}_{(m,N)} + \bar{I}_{(m,N)} = \frac{E(Q_b)}{\lambda(1-\rho)}; \end{equation}$

(4) "系统闲期" 的平均长度

定义 4.3 系统闲期是指从系统刚变空的时刻起, 直到其后第一个顾客到达的时刻为止的这一段时间.

因为在 "系统闲期" 中到达是参数$\lambda$的泊松流, 所以 "系统闲期" 的平均长度为

(4.4)$\begin{equation} E(I) = \frac{1}{\lambda}; \end{equation}$

(5) "系统忙期" 的平均长度

定义 4.4 系统忙期是指从第一个顾客到达空闲的系统起, 直到系统再次变空的这一段时间.

令$B$为 "系统忙期" 长度, 由于系统的 "忙循环" 长度也等于一个 "系统闲期" 长度与其后的一个 "系统忙期" 长度之和, 则

(4.5)$\begin{equation} E(B) = \bar{C}_{(m,N)} - E(I) = \frac{E(Q_b)}{\lambda(1-\rho)} - \frac{1}{\lambda}; \end{equation}$

(6) 服务员处于忙期和非忙期的概率

服务员处于忙期的概率$p_B$

(4.6)$\begin{equation} p_B = \frac{\bar{B}_{(m,N)}}{\bar{C}_{(m,N)}} = \rho, \end{equation}$

服务员处于非忙期的概率$p_I$

(4.7)$\begin{equation} p_I = \frac{\bar{I}_{(m,N)}}{\bar{C}_{(m,N)}} = 1 - \rho; \end{equation}$

(7) 系统处于空闲和非空闲的概率

系统处于空闲的概率为

(4.8)$\begin{equation} p_0 = P_{(m,N)}(z) \big|_{z=0} = \frac{(1-\rho)(1-v_0)}{\Omega_{(m,N)}}, \end{equation}$

系统处于非空闲的概率为

(4.9)$\begin{equation} 1 - p_0 = \frac{\Omega_{(m,N)} - (1-\rho)(1-v_0)}{\Omega_{(m,N)}}; \end{equation}$

(8) 服务员连续休假次数

设服务员连续休假次数为$H (H = 1, 2, 3, \ldots)$, 于是

(4.10)$\begin{equation} P\{H = j\} = P\{V_1 + \cdots + V_{j-1} \leq t < V_1 + \cdots + V_j\} = [v_0]^{j-1}(1-v_0), \end{equation}$

其概率母函数$V_H(z) = \frac{(1-v_0)z}{1-v_0z}$, 而且服务员平均连续休假次数$E(H) = \frac{1}{1-v_0}$;

(9) 服务员连续休假时间长度

由于服务员每次休假是相互独立的, 因此服务员连续休假时间长度可以表示为若干个独立同分布的休假时间之和, 即$\tilde{V} = V_1 + \cdots + V_H$,

(4.11)$\begin{equation} \tilde{V}(t) = P\{\tilde{V} \leq t\} = P\left\{\sum\limits_{i=1}^{H} V_i \leq t\right\} = \sum\limits_{j=1}^{\infty} (1-v_0)v_0^{j-1} V^{(j)}(t), \end{equation}$

$\tilde{V}(t)$的$LS$变换为$\tilde{v}(s) = \frac{v(s)-v(s+\lambda)}{1-v(s+\lambda)}$, 而且服务员连续休假时间平均长度 $E(\tilde{V}) = \frac{E(V)}{1-v_0}$.

5 系统参数对平均附加队长$\bar{L}_d$和系统空闲率$p_0$的影响分析

下面我们将通过数值计算实例来分析系统由于启动时间、双阈值$(m,N)$-策略和不中断多重休策略机制引起的平均附加队长$\bar{L}_d$和系统空闲率$p_0$随着系统的不同参数的变化情况.

数值实例 1 为了便于计算, 令顾客服务时间的分布$G(t) = 1 - {\rm e}^{-\mu t}$, 启动时间的分布$Y(t) = 1 - {\rm e}^{-\theta t}$, 休假时间的分布$V(t) = 1 - {\rm e}^{-\beta t}$, 则平均附加队长$\bar{L}_d$和系统空闲率$p_0$分别为

(5.1)$\begin{equation} \bar{L}_d = \frac{\lambda^2 \left[ \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\lambda}{\lambda + \beta} \right) + \frac{2}{\beta^2} \right] - \sum\limits_{r=2}^{m-1} r(r-1) \frac{\beta \lambda^r}{(\lambda + \beta)^{r+1}} + \zeta_1 + \zeta_2 + \zeta_3}{2 \left\{ \frac{\lambda}{\beta} + \left( \frac{\lambda^2}{\lambda + \beta} \right) \frac{1}{\theta} + \sum\limits_{r=1}^{m-1} (m-r) \frac{\beta \lambda^r}{(\lambda + \beta)^{r+1}} + \Delta \right\}}, \end{equation}$

(5.2)$\begin{equation} p_0 = \frac{\left( 1 - \frac{\lambda}{(1-\alpha)\mu} \right) \left( \frac{\lambda}{\lambda + \beta} \right)}{\frac{\lambda}{\beta} + \left( \frac{\lambda^2}{\lambda + \beta} \right) \frac{1}{\theta} + \sum\limits_{r=1}^{m-1} (m-r) \frac{\beta \lambda^r}{(\lambda + \beta)^{r+1}} + \Delta}, \end{equation}$

其中

$ \begin{align*} \Delta &= \left[ \frac{\lambda}{\lambda + \beta} \!-\! \left( \frac{\lambda}{\lambda + \beta} \right)^{\!\!m} \right] \sum_{n=0}^{N-m-1} \!(N\!-\!m\!-\!n) \frac{\theta \lambda^n}{(\lambda \!+\! \theta)^{n+1}} \!+\! \sum_{r=m}^{N-1} \sum_{n=0}^{N-r-1} \!(N\!-\!r\!-\!n) \frac{\beta \lambda^r}{(\lambda \!+\! \beta)^{r+1}} \!\cdot\! \frac{\theta \lambda^n}{(\lambda \!+\! \theta)^{n+1}};\\ \zeta_1 &= \frac{2\lambda}{\theta} \left[ \frac{\lambda}{\beta} - \sum_{r=1}^{m-1} \frac{r \beta \lambda^r}{(\lambda + \beta)^{r+1}} \right]; \quad \zeta_2 = \left[ \frac{2m\lambda}{\theta} + m(m-1) \right] \left[ \frac{\lambda}{\lambda + \beta} - \left( \frac{\lambda}{\lambda + \beta} \right)^m \right]; \\ \zeta_3 &= \left[ \frac{\lambda}{\lambda + \beta} - \left( \frac{\lambda}{\lambda + \beta} \right)^m \right] \sum_{n=0}^{N-m-1} \left[ N(N-1) - (m+n)(m+n-1) \right] \frac{\theta \lambda^n}{(\lambda + \theta)^{n+1}} \\ &\quad + \sum_{r=m}^{N-1} \sum_{n=0}^{N-r-1} \left[ N(N-1) - (r+n)(r+n-1) \right] \frac{\beta \lambda^r}{(\lambda + \beta)^{r+1}} \cdot \frac{\theta \lambda^n}{(\lambda + \theta)^{n+1}}. \end{align*} $

(1) 参数$m$和启动时间参数$\theta$对$\bar{L}_d$和$p_0$的影响分析

在 (5.1) 式和 (5.2) 式中, 取参数值$\alpha = 0.25, \lambda = 0.8, \mu = 2.0, \beta = 0.2, N = 8$, 使用 MATLAB 软件进行绘图, 图5 和图6 分别给出了当$\theta = 0.4, \theta = 0.6, \theta = 0.8$时, 平均附加队长$\bar{L}_d$和系统空闲率$p_0$随参数$m$的变化情况;

图5

图5 参数$m$和$\theta$的变化对$\bar{L}_d$的影响

图6

图6 参数$m$和$\theta$的变化对$p_0$的影响

(2) 参数$N$和启动时间参数$\theta$对$\bar{L}_d$和$p_0$的影响分析

在 (5.1) 式和 (5.2) 式中, 取参数值$\alpha = 0.25, \lambda = 0.8, \mu = 2.0, \beta = 0.2, m = 5$, 使用 MATLAB 软件进行绘图, 图7 和图8 分别给出了当$\theta = 0.4, \theta = 0.6, \theta = 0.8$时, 平均附加队长$\bar{L}_d$和系统空闲率$p_0$随参数$N$的变化情况;

图7

图7 参数$N$和$\theta$的变化对$\bar{L}_d$的影响

图8

图8 参数$N$和$\theta$的变化对$p_0$的影响

(3) 休假时间参数$\beta$和启动时间参数$\theta$对$\bar{L}_d$和$p_0$的影响分析

在 (5.1) 式和 (5.2) 式中, 取参数值$\alpha = 0.25, \lambda = 0.8, \mu = 2.0, m = 5, N = 8$, 使用 MATLAB 软件进行绘图, 图9和图10 分别给出了当$\theta = 0.4, \theta = 0.6, \theta = 0.8$ 时, 平均附加队长$\bar{L}_d$和系统空闲率$p_0$随参数$\beta$的变化情况;

图9

图9 参数$\beta$和$\theta$的变化对$\bar{L}_d$的影响

图10

图10 参数$\beta$和$\theta$的变化对$p_0$的影响

图5-图10 展示了当$\theta=0.4,\theta=0.6,\theta=0.8$时, 不同参数值的$m,N,\beta$对平均附加队长$\bar{L}_d$和系统空闲率$p_0$的影响. 可以得到以下结论.

1) 对于固定的启动时间参数$\theta$, $\bar{L}_d$随着参数$m$、$N$的增大而增大; $p_0$随着参数$m$、$N$的增大而减小. 这是因为$m$、$N$的取值越大则系统中的顾客数累积的越多, 服务员才能启动系统或者是开始服务, 从而导致系统中需要等待服务的顾客数越来越多, 因此平均附加队长$\bar{L}_d$会增大, 系统空闲率$p_0$会减小;

2) 对于固定的启动时间参数$\theta$, $\bar{L}_d$随着休假时间参数$\beta$的增大而减小; $p_0$随着休假时间参数$\beta$的增大而增大. 这是因为$\beta$的取值越大意味着服务员休假时间更短, 服务员可以更快的回到系统中为顾客进行服务, 因此平均附加队长$\bar{L}_d$会减小, 系统空闲率$p_0$会增大;

3) 当启动时间参数$\theta$增大, 固定其他参数时, $\bar{L}_d$的值逐渐减小, 而$p_0$的值逐渐增大. 这是因为随着$\theta$的增大, 系统的启动时间缩短, 顾客在系统中的等待时间也随之减少, 顾客能够更快的得到服务从而系统中等待接受服务的顾客数减少. 平均附加队长$\bar{L}_d$减小, 系统空闲率$p_0$增大.

6 基于费用优化的系统最优控制策略

本文建立的费用模型如下:

$C_1$ 每个顾客在系统中逗留 (包括等待和服务) 单位时间的成本费用;

$C_2$ 在每个忙循环中每次启动系统的成本费用;

$C_3$ 在每个忙循环中每次启动服务的成本费用.

令$F(m,N)$为系统在长期单位时间内的期望费用, 由更新报酬理论可得

$ F(m,N) = \frac{\text{一个更新周期内的期望费用}}{\text{一个更新周期的期望长度}}. $

系统的一个更新周期 (忙循环) 的期望长度为$\bar{C}_{(m,N)} = \frac{E(Q_b)}{\lambda(1-\rho)}$, 所以系统在长期运行单位时间内的期望费用为

$ \begin{align*} F(m,N) =& C_1 \bar{L}_{(m,N)} + \frac{C_2 + C_3}{\bar{C}_{(m,N)}} \\ =& C_1 \left\{ \rho + \frac{\lambda^2 E(\tilde{\chi}^2)}{2(1-\rho)} + \frac{\lambda^2 [E(Y^2)(1-v_0) + E(V^2)] - \sum\limits_{r=2}^{m-1} r(r-1)v_r + \zeta_1 + \zeta_2 + \zeta_3}{2\Omega_{(m,N)}} \right\} \\ &+ \frac{\lambda(1-\rho)(1-v_0)(C_2 + C_3)}{\Omega_{(m,N)}}. \end{align*} $

由上式可以看出$F(m,N)$是关于$m$, $N$的非线性函数, 要直接求出$F(m,N)$的最优解是十分困难的, 但我们可以通过给定具体的参数取值, 通过数值计算来阐述最优阈值的求解. 数值计算的求解步骤如下.

步骤 1 对参数$\alpha, \lambda, \mu, \theta, \beta, C_1, C_2, C_3$分别赋予适合的取值(满足模型条件的);

步骤 2 对每个固定的$m$($m=1,2,3,\ldots$), 取$N = m, m+1,\ldots$ 计算出$F(m,N)$, 找出不同$m$下的最优$N_m^*$满足$F(m, N_m^*) = \min\limits_{N \geq m} F(m,N)$;

步骤 3 比较所有$m$的最优值$F(m, N_m^*)$:

$ F(m^*, N_m^*) = \min \big[ F(1,N_1^*), F(2,N_2^*), \ldots \big] $

得到全局最优解$F(m^*, N^*)$以及使期望成本费用最小的最优控制策略$(m^*, N^*)$;

步骤 4 绘制$F(m,N)$随$m$与$N$的变化的情况图 (图11).

图11

图11 $F(m,N)$随$m$与$N$的变化

数值实例 2 令顾客服务时间的分布为$G(t) = 1 - {\rm e}^{-\mu t}$, 启动时间的分布$Y(t) = 1 - {\rm e}^{-\theta t}$, 休假时间的分布$V(t)=1- {\rm e}^{-\beta t}$, 则$F(m,N)$的表达式可化简为

(6.1)$\begin{equation} \begin{aligned} F(m,N) =& C_1 \left\{ \frac{\lambda}{(1-\alpha)\mu - \lambda} + \frac{\lambda^2 \left[ \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\lambda}{\lambda + \beta} \right) + \frac{2}{\beta^2} \right] - \sum\limits_{r=2}^{m-1} r(r-1) \frac{\beta \lambda^r}{(\lambda + \beta)^{r+1}} + \zeta_1 + \zeta_2 + \zeta_3}{2 \left\{ \frac{\lambda}{\beta} + \left( \frac{\lambda^2}{\lambda + \beta} \right) \frac{1}{\theta} + \sum\limits_{r=1}^{m-1} (m-r) \frac{\beta \lambda^r}{(\lambda + \beta)^{r+1}} + \Delta \right\} } \right. \\ &\left. + \frac{\lambda \left( 1 - \frac{\lambda}{(1-\alpha)\mu} \right) \left( \frac{\lambda}{\lambda + \beta} \right) (C_2 + C_3)}{\frac{\lambda}{\beta} + \left( \frac{\lambda^2}{\lambda + \beta} \right) \frac{1}{\theta} + \sum\limits_{r=1}^{m-1} (m-r) \frac{\beta \lambda^r}{(\lambda + \beta)^{r+1}} + \Delta} \right\}. \end{aligned} \end{equation}$

对于目标函数 (6.1) 式, 下面将讨论二维最优控制策略$(m^*, N^*)$ 的求解. 取参数值$\alpha = 0.25, \lambda = 0.8, \mu = 2.0, \theta = 0.6, \beta = 0.2, C_1 = 5, C_2 = 100, C_3 = 200$时, 使用 MATLAB 软件可得$F(m,N)$关于$(m,N)$的数值结果 (小数点后保留四位), 见表1

表1 $F(m,N)$关于$(m,N)$的数值结果

由表1 可以看出当$(m^*,N^* )$=(1,8)~时, 系统期望最小费用$F(m^*,N^* )$=41.0715. 即当服务员休假结束后系统中至少有1个顾客就立即启动系统, 系统启动结束后若系统中至少有 8 个顾客则服务员立即开始服务.

对于目标函数 (6.1) 式, 下面将讨论系统参数对系统期望费用$F(m,N)$及最优控制策略$(m^*,N^*)$的影响.

(1) 启动时间参数$\theta$对$F(m,N)$和最优控制策略的影响分析

考虑固定参数值$\alpha = 0.25, \lambda = 0.8, \mu = 2.0, \beta = 0.05, C_1 = 5, C_2 = 100, C_3 = 200$, 分别取$\theta = 0.4, 0.6, 0.8$ 使用 MATLAB 软件进行编程, 得到表 2 的结果, 反映出在不同$\theta$下$F(m,N)$随$m$与$N$变化的数值结果并得到了最优控制策略$(m^*,N^*)$和最小期望费用$F(m^*,N^*)$, 图12 和图13 分别反映了参数$\theta$的变化对$F(m^*,N^*)$和最优控制策略的影响.

图12

图12 参数$\theta$的变化对$F(m^*,N^*)$的影响

图13

图13 参数$\theta$的变化对最优控制策略的影响

由表2 可以看到: 当$\theta$增大 (即系统启动时间缩短) 时, 系统期望费用显著降低. 例如, 当$\theta$从 0.4 增至 0.8 时, 最小期望费用由 86.6002 降至 84.9242. 原因在于: 启动时间的缩短, 减少了系统中顾客的接受服务的等待时间, 从而降低了顾客逗留成本. 另外, 从图 13 可以看到: $\theta$的增大使得最优阈值$m^*$与$N^*$呈现动态调整. 例如, 当$\theta=0.4$时, 最优控制策略$(m^*,N^*)=(2,17)$; 而$\theta=0.6$时, 最优控制策略$(m^*,N^*)=(4,16)$. 这表明, 启动效率提升后, 系统倾向于选择更高的启动阈值$m$以平衡频繁启动带来的成本, 启动完成后, 系统需尽快对顾客进行服务, 避免启动后顾客的等待时间过长. 因此, 服务阈值$N$降低;

表2 不同$\theta$下$F(m,N)$随$m$与$N$变化的数值结果

(2) 休假时间参数$\beta$对$F(m,N)$和最优控制策略的影响分析

考虑固定参数值$\alpha = 0.25, \lambda = 0.8, \mu = 2.0, \theta = 0.6, C_1 = 5, C_2 = 100, C_3 = 200$, 分别取$\beta = 0.1, 0.3, 0.5$ 使用 MATLAB 软件进行编程, 得到表3 的结果, 反映出在不同$\beta$下$F(m,N)$ 随$m$与$N$变化的数值结果并得到了最优控制策略$(m^*,N^*)$和期望最小费用$F(m^*,N^*)$, 图14 和图15 分别反映了参数$\beta$的变化对$F(m^*,N^*)$和最优控制策略的影响.

表3 不同$\beta$下$F(m,N)$随$m$与$N$变化的数值结果

图14

图14 参数$\beta$的变化对$F(m^*,N^*)$的影响

图15

图15 参数$\beta$的变化对最优控制策略的影响

由表 3 可以看到: 当$\beta$增大 (即服务员休假时间缩短) 时, 系统期望费用持续下降. 例如, $\beta$从 0.1 增至 0.5 时, 最小期望费用由 53.4643 降至 37.2330. 原因在于: 更短的休假时间使得服务员更快返回系统, 减少了顾客在休假期的等待时间, 从而顾客在系统中的逗留成本下降. 另外, 从图15 可以看到: 随着$\beta$增大, 最优控制策略$(m^*,N^*)$向更宽松的阈值调整. 例如, $\beta = 0.1$时, 最优控制策略$(m^*,N^*) = (1,10)$; 而$\beta = 0.5$时, 最优控制策略$(m^*,N^*) = (1,7)$. 这是因为服务员频繁返回系统后, 系统可设置更低启动阈值$m$即可快速响应顾客需求, 为减少顾客在系统启动后等待接受服务的时间, 系统启动后无需累计过多顾客即可开始服务即降低服务阈值$N$.

(3) 反馈参数$\alpha$对$F(m,N)$和最优控制策略的影响分析

考虑固定参数值$\lambda = 0.8, \mu = 2.0, \theta = 0.6, \beta = 0.05, C_1 = 5, C_2 = 100, C_3 = 200$,

分别取$\alpha = 0.0, 0.25, 0.5$使用MATLAB软件进行编程, 得到表4 的结果, 反映出在不同$\alpha$下$F(m,N)$随$m$与$N$变化的数值结果并得到了最优控制策略$(m^*,N^*)$和期望最小费用$F(m^*,N^*)$, 图16 和图17 分别反映了参数$\alpha$的变化对$F(m^*,N^*)$和最优控制策略的影响.

表4 不同$\alpha$下$F(m,N)$随$m$与$N$变化的数值结果

图16

图16 参数$\alpha$的变化对$F(m^*,N^*)$的影响

图17

图17 参数$\alpha$的变化对最优控制策略的影响

由表4 可以看到: 当$\alpha$增大 (即顾客反馈率升高) 时, 系统期望费用显著上升. 例如, $\alpha$从 0.0 增至 0.5 时, 最小费用由 84.4522 升至 96.9790. 其原因在于: 顾客反馈率增加导致同一顾客进入系统要求再次服务的概率变大, 导致系统中的顾客数增加, 虽然服务台利用率提高($\rho$增大), 但顾客逗留成本与服务成本的增加导致了系统期望费用的增长. 另外, 从图 17 可以看到: 高反馈率下, 最优控制策略$(m^*,N^*)$需更保守的阈值设置以优化系统. 例如, $\alpha = 0.0$ 时, 最优控制策略$(m^*,N^*) = (3,17)$; 而$\alpha = 0.5$时, 最优控制策略$(m^*,N^*) = (4,16)$. 这表明, 当顾客频繁反馈时, 系统需提高启动阈值$m$以确保系统在累积足够多顾客时启动, 同时启动完成后, 为减少顾客在系统启动后等待接受服务的时间, 累积在系统中的顾客需尽快处理即降低阈值$N$.

7 结束语

本文在现有排队系统模型研究的基础上, 结合实际应用背景提出了具有双阈值$(m,N)$-策略和 Bernoulli 反馈服务的不中断多重休假$M/G/1$排队系统模型. 首先通过运用系统稳态队长的随机分解定理推导出了系统稳态队长的概率母函数和平均队长等关键性能指标的显示表达式. 此外还讨论了服务员忙期、忙循环的平均长度等其他重要排队系统性能指标. 在系统性能分析部分，重点讨论了阈值参数$m$、$N$、系统启动时间参数及服务员休假时间参数对平均附加队长和系统空闲率的影响规律, 数值实验表明, 参数$m$、$N$的增大将导致平均附加队长上升而系统空闲率下降, 启动时间与休假时间的优化可显著改善系统效率. 进一步地, 基于建立的费用模型和更新报酬定理推导出了单位时间内系统的期望费用目标函数, 并通过数值计算实例获得了使得期望费用最小的最优控制策略$(m^*,N^*)$, 并讨论了系统的参数变化对系统期望费用和最优控制策略的影响, 分析表明: 反馈率的增加会显著降低最优阈值$N^*$的取值, 而设备启动成本的上升则需要增大$m^*$以减少启动频率. 并且本文研究的模型可用于汽车零部件加工系统的实际应用背景 (将待加工零部件视为顾客, 加工过程视为服务, 质量检测环节视为反馈机制) 建立了考虑设备切换成本和生产资源优化的费用结构模型. 通过调整双阈值策略、反馈机制与多重休假, 为制造系统提供了兼顾设备启动成本、资源利用率和加工质量控制 (顾客满意度) 的优化决策框架. 从而使得本文研究的模型更有应用价值, 可为系统管理者提供优化系统费用的有效途径.

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考虑基于 Min $(N, D)$-策略的M/G/1排队系统, 运用全概率分解技术和拉普拉斯变换工具, 获得了队长瞬态分布的拉普拉斯变换的递推表达式和稳态队长分布的递推表达式, 进一步通过数值实例, 讨论了稳态队长分布对系统参数的敏感性, 并阐述了稳态队长分布的表达式在系统容量优化设计中的重要价值. 最后, 建立了费用模型, 对最优 Min $(N, D)$-策略与单一的最优$N$-策略和单一的最优$D$-策略进行了比较分析.

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文章考虑在双水平$\left( p,N_{1},N_{2} \right)$-策略控制下有随机启动时间的$M/G/1$排队系统, 其中双水平$\left(p,N_{1},N_{2}\right)$-策略是指当系统中的顾客数达到一个事先给定的低阈值$N_{1}(\geq1)$时,服务员以概率$p\,(0\le p\le 1)$启动系统,以概率$1-p$不启动系统直到系统中的顾客数累计达到另一个事先设定的较高阈值$N_{2}\,(N_{2}≥N_{1})$个时才启动系统,同时在一段随机长度的启动时间完成后服务员才开始为顾客服务.运用更新过程理论、全概率分解分析方法和拉普拉斯变换工具,研究了系统队长的瞬态和稳态分布,获得了队长瞬态分布关于时间$t$的拉普拉斯变换表达式,以及稳态队长分布的递推表达式,同时求出了系统其他一些重要排队性能指标. 进一步,通过数值实例说明了稳态队长分布表达式在系统容量设计中的重要应用.最后, 应用更新报酬定理得到了系统长期单位时间内期望费用的显示表达式,并在平均等待时间约束下当服务时间和启动时间服从PH分布时,通过数值实例讨论了使得系统期望费用最小的最优双水平控制策略$(N_1^*,N_2^*)$,以及参数$p$对系统期望费用和顾客平均等待时间的影响.

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考虑有检修策略和顾客进入控制策略的M/G/1排队系统, 其中在系统检修期内至多允许M(≥ 1)个顾客进入系统. 应用更新过程理论、全概率分解方法和拉普拉斯变换工具, 讨论了系统在任意初始状态下队长在时刻t的瞬态分布, 得到了瞬态队长分布关于时间t的拉普拉斯变换表示式, 然后使用洛必达法则, 获得了稳态队长分布的递推表达式. 进一步讨论了当M→∞及P{Y=0}=1的特殊情形. 最后, 应用更新报酬定理求得了系统长期运行下单位时间内的期望费用函数, 并通过数值算例求得了使费用最小的最优控制策略M*, 以及当检修时间为固定时长T时的二维最优控制策略(T*, M*).

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本文考虑一个具有Bernoulli检修策略与顾客进入控制策略的$M/G/1$可修排队系统, 其中每当系统变空时依概率$p(0\leq p\leq1)$ 进入检修, 或者依概率$(1-p)$ 不进入检修而是等待下一个顾客进入系统后直接开始服务, 而且在系统的检修期内至多允许$M$个顾客进入. 运用全概率分解技术、更新过程理论和拉普拉斯变换工具, 我们讨论了系统在任意时刻$t$队长的瞬态分布, 得到了队长的瞬态分布关于时间$t$的拉普拉斯变换表达式, 然后应用洛必达法则得到系统稳态队长分布的递推公式, 同时获得稳态队长分布的概率母函数与平均稳态队长的表达式. 最后, 我们使用更新报酬定理导出了系统在长期单位时间内的期望费用表达式, 并通过数值实例研究了使系统的期望费用最小的一维最优控制策略和二维最优控制策略.

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本文研究带随机启动时间与双阈值(m,N)-策略的M/G/1可修排队系统,首先讨论系统有关的排队指标,接着研究因为故障而产生的系统的下列可靠性指标,如:服务台首次失效前的寿命分布、不可用度和(0,t]时间内的平均故障次数。最后,在建立费用模型的基础上,结合实际中检测公司检测样品的这一现实情况,研究了双阈值最优控制策略(m*,N*),并在同一组参数下与服务台不发生故障时系统的双阈值最优控制策略进行了比较。

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研究具有启动时间、双阈值$(m,N)$-$\!\!$策略和服务员单重休假且休假不中断的$M/G/1$排队系统,其中当服务员休假转来时,如果系统中的顾客数不小于一个事先给定的正整数阈值$m(m\ge 1)$,服务员就立即启动系统.系统启动完成后,如果系统中的顾客数不小于另一个事先给定的正整数阈值$N(N\ge m)$,服务员就立即开始服务直到系统再次变空.假定服务员的休假时间和系统的启动时间均为一般分布,使用更新过程理论、全概率分解技术和拉普拉斯变换工具,讨论了系统队长的瞬态分布和稳态分布,获得了系统队长的瞬态分布关于时间$t$的拉普拉斯变换表达式,进一步通过直接计算获得了系统队长的稳态分布的递推表达式,同时给出了稳态队长的随机分解结构和附加队长分布的显示表达式.最后,在建立系统费用模型的基础上,应用更新报酬过程理论导出了系统长期单位时间内期望费用的显示表达式,并通过数值实例确定了使得系统在长期单位时间内期望费用最小的最优控制策略$({{m}^{*}},{{N}^{*}})$.

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考虑具有常重试率和Bernoulli休假的M/M/1重试排队，到达系统的顾客仅知道服务台的状态.如果在顾客到达时刻服务台正忙，则顾客或以概率q加入到重试组中，或以概率1-q止步.在每次服务结束后，服务台或者以概率p开始一次休假，或者以概率1-p保持空闲状态.基于收入-支出结构，得到了个体最优进队策略，社会净收益最优进队策略和利润最优进队策略.对于这些最优进队概率的大小顺序我们给出了详细的证明.最后，给出了数值例子来阐述进队策略的影响.

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DOI:10.1287/opre.33.5.1117 URL [本文引用: 2]

This paper considers a class of M/G/1 queueing models with a server who is unavailable for occasional intervals of time. As has been noted by other researchers, for several specific models of this type, the stationary number of customers present in the system at a random point in time is distributed as the sum of two or more independent random variables, one of which is the stationary number of customers present in the standard M/G/1 queue (i.e., the server is always available) at a random point in time. In this paper we demonstrate that this type of decomposition holds, in fact, for a very general class of M/G/1 queueing models. The arguments employed are both direct and intuitive. In the course of this work, moreover, we obtain two new results that can lead to remarkable simplifications when solving complex M/G/1 queueing models.

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Ross

S M

Stochastic Processes. New York: John Wiley and Sons, 1996