一类具有参数的拟线性薛定谔方程的特征值问题

数学物理学报 ›› 2026, Vol. 46 ›› Issue (3): 1083-1091.

一类具有参数的拟线性薛定谔方程的特征值问题

范吟琛(), 沈亮明^*()

华南理工大学数学学院广州 510640

收稿日期:2025-04-09 修回日期:2025-06-27 出版日期:2026-06-26 发布日期:2026-06-16
通讯作者: 沈亮明 E-mail:ma202320129803@mail.scut.edu.cn;ma20232129812@mail.scut.edu.cn
作者简介:范吟琛,E-mail:ma202320129803@mail.scut.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金(12271179)

The Eigenvalue Problem for a Class of Quasilinear Schrödinger Equations with a Parameter

Yinchen Fan(), Liangming Shen^*()

School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou 510640

Received:2025-04-09 Revised:2025-06-27 Online:2026-06-26 Published:2026-06-16
Contact: Liangming Shen E-mail:ma202320129803@mail.scut.edu.cn;ma20232129812@mail.scut.edu.cn
Supported by:
NSFC(12271179)

摘要/Abstract

摘要：

作者考虑一类具有以下形式的薛定谔方程

$-\Delta u-\frac{\kappa u}{2}(1+u^2)^{-\frac{1}{2}}\Delta(1+u^2)^{\frac{1}{2}}=\lambda |u|^{p-2}u,\ x\in\Omega,$

其中 $u\in H_{0}^{1}(\Omega)$,\ $\kappa\in (-2,0)\cup (0,+\infty),\ 2\leq p<2^*,\ N\geq 3,\ \Omega$ 是一个有界区域. 作者用变分法得到了解 $(\lambda, u)$ 的存在性. 特别地, 该文给出了解的精确 $L^{\infty}$ 估计. 例如, 当 $\kappa\in (-2,0),\ |u|_{p}=1$ 时, 作者建立了该解的如下 $L^{\infty}$ 估计

$ |u|_{\infty}\leq 2^{\frac{3}{2}+\frac{3}{2a}}(\kappa+2)^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2a}}(\lambda_{1}C_{N})^{\frac{1}{2a}}|\phi_{1}|_{p}^{-\frac{1}{a}}|\Omega|^{\frac{1}{p'}}, $

其中 $a=\frac{1}{p}-\frac{1}{2^*},\ p'=\frac{p}{p-1},\ C_{N}$ 是最佳 Sobolev 嵌入常数,\ $\lambda_{1}$ 和 $\phi_{1}$ 分别是算子 $-\Delta$ 的主特征值和对应的主特征函数.

关键词: 薛定谔方程, $L^{\infty}$ 估计, 特征值问题.

Abstract:

We consider a class of quasilinear Schrödinger equations of the form

$-\Delta u-\frac{\kappa u}{2}(1+u^2)^{-\frac{1}{2}}\Delta(1+u^2)^{\frac{1}{2}}=\lambda |u|^{p-2}u,\ x\in\Omega,$

where $u\in H_{0}^{1}(\Omega)$,$\kappa\in (-2,0)\cup (0,+\infty),\ 2\leq p<2^*,\ N\geq 3$ and $\Omega$ is a bounded domain. By using variational approaches, we establish the existence of a solution $(\lambda, u).$ Particularly, we give the accurate $L^{\infty}$ estimate. For instance, if $\kappa\in (-2,0)$ and $|u|_{p}=1,$ we construct the following $L^{\infty}$ estimate of the solution

$ |u|_{\infty}\leq 2^{\frac{3}{2}+\frac{3}{2a}}(\kappa+2)^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2a}}(\lambda_{1}C_{N})^{\frac{1}{2a}}|\phi_{1}|_{p}^{-\frac{1}{a}}|\Omega|^{\frac{1}{p'}}, $

where $a=\frac{1}{p}-\frac{1}{2^*},p'=\frac{p}{p-1}$,$C_{N}$ is the best Sobolev constant and $\lambda_{1}$ and $\phi_{1}$ are the first eigenvalue and the first eigenfunction of the operator $-\Delta$ respectively.

Key words: schr?dinger equations, $L^{\infty}$ estimate, eigenvalue problem.

中图分类号:

O175.23

范吟琛, 沈亮明. 一类具有参数的拟线性薛定谔方程的特征值问题[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 1083-1091.

Yinchen Fan, Liangming Shen. The Eigenvalue Problem for a Class of Quasilinear Schrödinger Equations with a Parameter[J]. Acta mathematica scientia,Series A, 2026, 46(3): 1083-1091.

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