数学物理学报, 2025, 45(2): 334-346

斜移 CMV 矩阵的李雅普诺夫行为和动态局域化

林艳雪,

烟台大学数学与信息科学学院 山东烟台 264000;中国海洋大学数学科学学院 山东青岛 266100

Dynamical Localization for the CMV Matrices with Verblunsky Coeffcients Defined by the Skew-Shift

Lin Yanxue,

Scool of Mathematics and Information Sciences, Yantai University, Shandong Yantai 264000; Scool of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Shandong Qingdao 266100

收稿日期: 2024-01-5   修回日期: 2024-09-16  

基金资助: 国家自然科学基金(11571327)
国家自然科学基金(11971059)

Received: 2024-01-5   Revised: 2024-09-16  

Fund supported: NSFC(11571327)
NSFC(11971059)

作者简介 About authors

林艳雪,E-mail:yxlmath@sohu.com

摘要

该文主要证明对几乎所有频率, 当李雅普诺夫指数为正时, 斜移定义的 Verblunsky 系数生成的 CMV 矩阵的李雅普诺夫行为和动态局域化.

关键词： 斜移 CMV 矩阵; 李雅普诺夫行为; 动态局域化

Abstract

In this paper, we prove the Lyapunov behavior and dynamical localization for the quasi-periodic CMV matrices with most frequencies and Verblunsky coefficients defined by the skew-shift, in the regime of positive Lyapunov exponents.

Keywords： CMV Matrices; Lyapunov behavior; dynamical localization

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本文引用格式

林艳雪. 斜移 CMV 矩阵的李雅普诺夫行为和动态局域化[J]. 数学物理学报, 2025, 45(2): 334-346

Lin Yanxue. Dynamical Localization for the CMV Matrices with Verblunsky Coeffcients Defined by the Skew-Shift[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(2): 334-346

1 引言

在过去的几十年里, 由于安德森模型在物理学上的重要背景, 其局域化问题得到了广泛的研究[2],[4],[6],[5],[8],[13],[21],[27],[28]. 单位圆上的正交多项式理论 (OPUC) 的发展使一类被称为 CMV 矩阵的重要性得到了重视. CMV 矩阵是 2003 年由 Cantero, Moral 和 Velázquez[11] 提出的一类特殊的五对角酉矩阵. 2010 年, Cantero, Grünbaum, Moral 和 Velázquez[10] 发现了 CMV 矩阵与量子漫步之间具有深层关系. 虽然 CMV 矩阵中的部分元素为正实数, 而量子漫步中的所有元素都为复数, 但文献 [10] 证明两者其实是酉等价的. 通过 RAGE 定理的酉类比可知, 漫步者的状态与 CMV 矩阵的谱性质密切相关. 自然地, CMV 矩阵的局域化问题引起了人们的关注. 但据我们所知, 关于 CMV 矩阵的安德森局域化问题的研究结果是很少的, 甚至可以说刚刚开始, 参见文献 [12],[25],[29],[31].

2018 年, 王凤朋和 Damanik[29] 对几乎所有频率由平移 (shift) 定义的拟周期 CMV 矩阵得到了安德森局域化. 该文是对 Bourgain 和 Goldstein[5] 关于拟周期薛定谔算子证明的安德森局域化结果的 CMV 推广. 在该文基础上, 国书筝和朴大雄[19]进一步证明了由平移定义的 Verblunsky 系数给出的解析拟周期 CMV 矩阵在大多数频率下表现出李雅普诺夫行为和动态局域化.

最近, 通过利用文献 [5] 中的方法, Cedzich 和 Werner[12] 证明了放置在均匀电场中的一维量子漫步的安德森局域化, 这意味着对于几乎所有频率具有特殊斜移 (skew-shift) Verblunsky 系数生成的 CMV 矩阵满足安德森局域化. 斜移 (skew-shift) 模型是薛定谔算子谱理论中一种重要的模型, 得到了广泛的研究[1], [6], [14], [22], [23], [28]. 2024 年, 朱晓雯[31]证明了独立同分布的随机 CMV 矩阵的安德森局域化和动态局域化. 随后, 林艳雪等[25]证明了由斜移定义的 Verblunsky 系数给出的 CMV 矩阵在大多数频率下有安德森局域化现象. 受上述研究工作的启发, 本文证明斜移定义的 Verblunsky 系数生成的 CMV 矩阵的李雅普诺夫行为和动态局域化.

考虑扩展的 CMV 矩阵, 即以下形式的五对角酉矩阵

${}\mathcal{E}=\left(\begin{matrix}\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\\\cdots&-\overline{\alpha}_0\alpha_{-1}&\overline{\alpha}_1\rho_{0}&\rho_1\rho_0&0&0&\cdots&\\\cdots&-\rho_0\alpha_{-1}&-\overline{\alpha}_1\alpha_{0}&-\rho_1\alpha_0&0&0&\cdots&\\\cdots&0&\overline{\alpha}_2\rho_{1}&-\overline{\alpha}_2\alpha_{1}&\overline{\alpha}_3\rho_2&\rho_3\rho_2&\cdots&\\\cdots&0&\rho_2\rho_{1}&-\rho_2\alpha_{1}&-\overline{\alpha}_3\alpha_2&-\rho_3\alpha_2&\cdots&\\\cdots&0&0&0&\overline{\alpha}_4\rho_3&-\overline{\alpha}_4\alpha_3&\cdots&\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\end{matrix}\right),$

其中 $ \alpha=\{\alpha_n\}_{n\in\mathbb{Z}}\subset\mathbb{D} $, 被称为 Verblunsky 系数, 并且 $ \rho_n=\sqrt{1-|\alpha_n|^2} $, $ n\in\mathbb{Z} $. 令 $ \alpha_{-1}=-1 $, 该矩阵可分为两个半轴矩阵, 其中右半轴上的矩阵为

$\mathcal{C}=\left(\begin{matrix}\overline{\alpha}_0&\overline{\alpha}_1\rho_{0}&\rho_1\rho_0&0&0&\cdots&\\\rho_0&-\overline{\alpha}_1\alpha_{0}&-\rho_1\alpha_0&0&0&\cdots&\\0&\overline{\alpha}_2\rho_{1}&-\overline{\alpha}_2\alpha_{1}&\overline{\alpha}_3\rho_2&\rho_3\rho_2&\cdots&\\0&\rho_2\rho_{1}&-\rho_2\alpha_{1}&-\overline{\alpha}_3\alpha_2&-\rho_3\alpha_2&\cdots&\\0&0&0&\overline{\alpha}_4\rho_3&-\overline{\alpha}_4\alpha_3&\cdots&\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\end{matrix}\right),$

称其为标准的或半轴上的 CMV 矩阵.

令 $ \mu $ 是单位圆周 $ \partial\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\} $ 上的非平凡概率测度, 这就意味着 $ \mu $ 的支集包含无穷多个点. 由非平凡的假设, 函数 $ 1, z, z^2, \cdots $ 在希尔伯特空间 $ \mathcal{H} = L^2(\partial\mathbb{D}, {\rm d}\mu) $ 上是线性无关的, 因此通过 Gram-Schmidt 正交化过程, 我们可以得到一列首一正交多项式 $ \Phi_n(z) $, 其 Szegő 对偶定义为 $ \Phi_n^{*} = z^n\overline{\Phi_n({1}/{\overline{z}})} $. 存在 $ \mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\} $ 中的常数序列 $ \{\alpha_n\}_{n=0}^{\infty} $, 使得

$\Phi_{n+1}(z) = z \Phi_n(z) - \overline{\alpha}_n \Phi_n^*(z)$

成立. (1.2) 式被称为 Szegő 递推. 将正交多项式标准化, 可得

$ \varphi_n(z)=\frac{\Phi_n(z)}{\|\Phi_n(z)\|_{\mu}}, $

其中 $ \|\cdot\|_{\mu} $ 为 $ L^{2}(\partial\mathbb{D},{\rm d}\mu) $ 中定义的范数, 则 Szegő 递推 (1.2) 式等价于

$\rho_n(x,y) \varphi_{n+1}(z) = z \varphi_{n}(z) - \overline{\alpha}_n (x,y)\varphi^*_{n}(z).$

其中 $\rho_n(x,y)=\sqrt{1-|\alpha_n(x,y)|^2}.$

矩阵形式为

$\left(\begin{matrix}\varphi_{n+1}(z)\\\varphi^{*}_{n+1}(z)\end{matrix}\right)=S(T^{n}_{\omega}(\cdot,\cdot);z)\left(\begin{matrix}\varphi_{n}(z)\\\varphi^{*}_{n}(z)\end{matrix}\right),$

其中

$S(x,y;z)=\frac{1}{\rho(x,y)}\left(\begin{matrix}z & -\overline{\alpha}(x,y)\\-\alpha(x,y) z & 1\end{matrix}\right).$

由于 $ \det S(x,y;z)=z $, 考虑行列式为 1 的矩阵

$M(x,y;z)=\frac{1}{\rho(x,y)}\left(\begin{matrix}\sqrt{z} &\frac{ -\overline{\alpha}(x,y)}{\sqrt{z}}\\-\alpha(x,y)\sqrt{z} & \frac{1}{\sqrt{z}}\end{matrix}\right),$

该式称为 Szegő cocycle 映射. 接下来定义 $ n $ 步转移矩阵为 $ M_n(x,y;z) \! =\! \prod^{0}_{j=n-1}M(T^{j}_{\omega}(x,y);z). $ 进一步定义 $ L_{N}(z)=\frac{1}{N}\int_{\mathbb{T}^2}\log \|M_{N}(x,y;z)\|{\rm d}x{\rm d}y. $ 由 Kingman 的次可加遍历定理[20]可知, 由以下极限定义的李雅普诺夫指数是存在的,

$L(z)=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}L_{N}(z).$

考虑一列由解析函数 $ \alpha(\cdot,\cdot):\mathbb{T}^2\rightarrow\mathbb{D} $ 生成的 Verblunsky 系数, 即 $ \alpha_n(x,y)=\lambda\alpha(T_\omega^n(x,y)) $, 其中 $ \alpha $ 的实部和虚部都是实解析的, $ \lambda\in(0,1] $ 为耦合常数, $ T_\omega(x,y)=(x+y,y+\omega) $ 为二维环面 $ \mathbb{T}^2 $ 上的斜移变换. $ (x,y)\in\mathbb{T}^2 $, $ \omega\in\mathbb{T} $ 分别称为相位和频率. 这里 $ \mathbb{T}:= \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, $ \mathbb{T}^d:=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d, d\geq 2 $. 我们假设 $ \alpha(x,y) $ 满足

$\int_{\mathbb{T}^{2}}\log(1-|\alpha(x,y)|){\rm d}x{\rm d}y > -\infty.$

假设频率 $ \omega $ 满足丢番图条件 (DC)

$\|n\omega\|\ge \varepsilon n^{-1} (1+\log n)^{-2}, \quad n\in \mathbb{Z}_+,$

其中 $ \varepsilon>0 $ 为任意小的常数. 用 $ \Omega_\varepsilon $ 表示所有那些满足 (1.4) 式的 $ \omega $ 构成的集合, 易知

$\mathrm{mes}[\mathbb{T}\backslash\Omega_{\varepsilon}]<C\varepsilon,$

其中 $ C $ 为常数.

由解析性知, $ \alpha(x,y) $ 可有界地延拓到复带形区域[3,第二章,定理 6]

$ \mathcal{D}_{h_1}\times\mathcal{D}_{h_2}:=\{x_1\in\mathbb{C}:1-h_1<|x_1|<1+h_1\}\times\{x_2\in\mathbb{C}:1-h_2<|x_2|<1+h_2\}, $

其中 $ h_1,h_2>0 $, 对应的范数为

$ \|\alpha\|_{h_1,h_2}=\sup_{(x_1,x_2)\in\mathcal{D}_{h_1}\times\mathcal{D}_{h_2}}|\alpha(x_1,x_2)|. $

根据上述 $ \{\alpha_n\}_{n\in\mathbb{Z}} $ 以及 $ T_{\omega}(x,y) $, 可动态定义 CMV 矩阵 $ \mathcal{E}_{\omega}(x,y) $. 记 $ \mathcal{E}_{\omega} $ 的广义特征值集合为 $ \mathcal{G}(\mathcal{E}_{\omega}) $. 现在来叙述第一个主要定理

定理1.1 对任意的 $ \omega \in \mathcal{I} $ 和 $ z\in\mathcal{K} $, 假设李雅普诺夫指数满足

$L(z)\geq c_0>0,$

其中, $ \mathcal{I}\subset \mathbb{T} $ 和 $ \mathcal{K}\in\partial\mathbb{D} $ 是紧区间, 则对 $ (x,y)\in\mathbb{T}^2 $, 任意的$ 0<\varepsilon<1 $, 几乎每个 $ \omega\in \mathcal{I}\bigcap\Omega_{\varepsilon} $ 和任意的 $ z \in \mathcal{G}(\mathcal{E}_{\omega})\bigcap \mathcal{K} $, 有

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log \|M_{n}(x,y;z)\|=L(z).$

注1.1 根据文献 [25] 的结果知, 存在一个 $ \lambda\in(\lambda_0,1) $ 使得 $ m_0(\lambda):=\inf_{z}L(z). $

注1.2 根据 Oseledec-Ruelle 定理知, 定理 1.1 意味着特征函数有李雅普诺夫行为, 即, 特征函数的衰减速度恰好是 $ L(z) $.

注1.3 已知当 $ 1\le a\le b $, 有 $ \mathcal{C}_{[a,b]}=\mathcal{E}_{[a,b]} $ 以及 $ \mathcal{C}_{[b]}=\mathcal{E}_{[b]} $, 其中给定 $ \alpha_{-1}=-1 $. 通过类似的证明, 可得到半轴情形的结果.

2 预备知识

2.1 大偏差定理

由于 $ M(x,y;z) $ 与 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 矩阵 $ A(x,y;z) $ 共轭, 即, $ A(x,y;z)=Q^*M(x,y;z)Q\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $, 其中

$ Q=-\frac{1}{1+{\rm i}} \left( \begin{matrix} 1&-{\rm i}\\ 1&{\rm i} \end{matrix} \right)\in \mathbb{U}(2), $

直接计算可知 $ \log{\|M(x,y;z)\|} $ 是次调和的, 因此 $ \log{\|A(x,y;z)\|} $ 也是次调和的. 由共轭性, 可知 $ \|A(x,y;z)\|=\|M(x,y;z)\| $ 并且 $ \|A_n(x,y;z)\|=\|M_n(x,y;z)\| $, 其中

${}A_n(x,y;z)=\prod_{j=n-1}^0 A(T_{\omega}^j(x,y);z).$

容易看出

$ L_{n}(z)=\frac{1}{n}\int_{\mathbb{T}^{2}}\log\|A_n(x,y;z) \|{\rm d}x{\rm d}y, $

而且 $ L(z)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}L_{n}(z) $, 即为李雅普诺夫指数.

引入尺度因子

$P(\lambda,z)=\log\left(\sup_{j\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\rho_j}+C_{\alpha}+(1-\lambda^2)^{-1}+|z|\right)\geq 1,$

其中 $ C_{\alpha} $ 是只与 $ \alpha $ 有关的常数, 使得对所有的 $ n $, 有

$\sup_{x\in\mathcal{D}_{h_1}}\sup_{y\in\mathcal{D}_{h_2}} \frac{1}{n} \log \|M_n(x,y;z)\|\le P(\lambda,z).$

本文所需的大偏差估计已在文献 [25] 中被证明, 在此只给出陈述.

引理2.1 固定 $ \varepsilon > 0 $ 充分小, $ \omega \in \Omega_\varepsilon $, 见 (1.4) 式. 假设 $ \alpha(x,y) $ 是 $ \mathbb{T}^{2} $ 上的非常值解析函数 (其实部和虚部均为实解析), 则对任意的 $ \sigma<\frac{1}{24} $, 存在 $ \tau=\tau(\sigma)>0 $, $ \lambda\in(0,1) $ 足够大, 以及常数 $ n_0=n_0(\varepsilon,\sigma) $, 使得当 $ n\geq n_0 $ 时, 有

$\begin{split}\mathrm{mes}\left[(x,y)\in\mathbb{T}^2: \left|\frac{1}{n}\log\|M_n(x,y;z)\|-L_n(z)\right|>P(\lambda,z)n^{-\tau}\right] \le C \exp(-n^{\sigma}).\end{split}$

转移矩阵范数的一致上界为

引理2.2[6,推论 3.5] 假设 $ \omega $ 满足丢番图条件 (4). 对任意的 $ N>N_0^C $, 以及所有的 $ z\in \mathbb{C} $, 有

$\sup_{(x,y)\in\mathbb{T}^2}\frac{1}{N}\log\|M_{N}(x,y;z)\|<L_{N_0}(z)+N_0^{-\sigma}.$

因此有

引理2.3 假设 $ \omega\in \Omega_\varepsilon $. 则对任意的 $ \kappa\in(0,1) $, 存在充分大的 $ n $, 使得

$\frac{1}{n}\log||M_n(x,y;z)||<L_n(z)+c\kappa.$

注2.1 由引理 2.3 知,

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup_{(x,y)\in\mathbb{T}^2}\frac{1}{n}\log\|M_{n}(x,y;z)\|\leq L(z).$

因此, 只需证明

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\inf_{(x,y)\in\mathbb{T}^2}\frac{1}{n}\log\|M_{n}(x,y;z)\|\geq L(z),$

就可得定理 1.1 成立.

下面我们给出定理 1.1 的证明. 在证明过程中, 雪崩原理 (avalanche principle) 发挥着重要的作用, 它是能更好地利用转移矩阵 $ M_{N}(x,y;z) $ 结构的工具. 关于该原理的证明可参见 Goldstein-Schlag[18]. 之后该原理被张正鹤[30]加以改进, 本文使用该版本.

引理2.4[30,命题 2] 设 $ A^{(j)} $, $ j \in \mathbb{Z} $ 是 $ \mathrm{SL}(2, \mathbb{R}) $ 中的无穷序列. 假设存在 $ \nu>C $, 充分大的 $ n $, 使得对每一个 $ j $, 有以下不等式成立

$\begin{gathered}\left\|A^{(j)}\right\| \geq \nu,\quad \left|\log \left\|A^{(j+1)}\right\|+\log \left\|A^{(j)}\right\|-\log \left\|A^{(j+1)} A^{(j)}\right\|\right|<\frac{1}{2} \log \nu,\end{gathered}$

则序列 $ A^{(j)} $, $ j \in \mathbb{Z} $ 是一致双曲的, 并且对每一个 $ j\in\mathbb{Z} $ 及每一个 $ n\in\mathbb{Z}_{+} $, 有

$\left|\log \|A^{(n)} \ldots A^{(j)}\|+\sum_{r=1}^{n-2} \log \|A^{(j+r)}\|-\sum_{r=0}^{n-2} \log \|A^{(j+r+1)} A^{(j+r)}\|\right| \leq C \frac{n}{\nu}.$

2.2 Gesztesy-Zinchenko (GZ) 转移矩阵

回顾扩展的 CMV 矩阵 $ \mathcal{E} $ 可以被分解为以下形式的 $ 2\times2 $ 矩阵的直和

$\Theta_{n}=\left(\begin{matrix}\overline{\alpha}_n &\rho_n\\\rho_n & -\alpha_n\end{matrix}\right).$

令

$\mathcal{L}=\bigoplus_{j\in \mathbb{Z}}\Theta_{2j}, \quad \mathcal{M}=\bigoplus_{j\in \mathbb{Z}}\Theta_{2j+1},$

那么, $ \mathcal{E}=\mathcal{L}\mathcal{M} $.

Gesztesy-Zinchenko (GZ) 矩阵是更好的将 $ \mathcal{E}_\omega $ 的广义特征方程 $ \mathcal{E}u=zu $ 的解与 Szegő 矩阵联系起来的重要工具, 因此可将对 CMV 矩阵的研究转换为对 Szegő 矩阵的研究. 具体来说, 对于 $ z\in\mathbb{C}\setminus\{0\} $, GZ 矩阵定义为

$P(\alpha,z):=\frac{1}{\rho}\left(\begin{array}{cc}-\alpha & z^{-1} \\z & -\bar{\alpha}\end{array}\right), \quad Q(\alpha, z):=\frac{1}{\rho}\left(\begin{array}{cc}-\bar{\alpha} & 1 \\1 & -\alpha\end{array}\right).$

如果 $ u $ 是使得 $ \mathcal{E}u=zu $ 和 $ v=\mathcal{M}u $ 成立的一个复数序列, 易知 $ \mathcal{E}^{\top}v=zv $ 成立. Gesztesy-Zinchenko 的推导表明

$\left(\begin{array}{c}u_{n+1} \\v_{n+1}\end{array}\right)=T(n, z)\left(\begin{array}{c}u_{n} \\v_{n}\end{array}\right), \quad n \in \mathbb{Z},$

其中

$T(n, z)= \begin{cases}P\left(\alpha_{n}, z\right), & n \text { 为偶, }\\ Q\left(\alpha_{n}, z\right), & n \text { 为奇. }\end{cases}$

另一方面, 由文献 [(18) 式] 知, 对所有的 $ \alpha,\beta \in \mathbb{D} $ 以及 $ z\in \mathbb{C}\setminus \{0\} $, 有

$S(\alpha; z) S(\beta; z)=z Q(\alpha, z) P(\beta, z),$

其中 $ S(\alpha; z) $, $ S(\beta; z) $ 为 Szegő 矩阵.

2.3 格林函数估计

定义 $ \mathcal{E}_{[a,b]} $ 为扩展的 CMV 矩阵在有限区间 [a,b] 上的截断, 即

$ \mathcal{E}_{[a,b]}=(P_{[a,b]})^{\ast}\mathcal{E}P_{[a,b]}, $

其中 $ P_{[a,b]}:\ell^{2}(\mathbb{Z})\rightarrow \ell^{2}([a,b]) $ 是正交投影. 类似地, 可定义 $ \mathcal{L}_{[a,b]} $ 与 $ \mathcal{M} _{[a,b]} $. 更多细节参考文献 [26,定理 4.2.5].

但是, 由于 $ \alpha_{a-1} $ 与 $ \alpha_b $ 满足 $ |\alpha_{a-1}|<1 $ 与 $ |\alpha_b|<1 $, 矩阵 $ \mathcal{E}_{[a,b]} $ 不再满足酉性质, 因此我们要改进边界条件, 详见文献 [31,第 3.2,3.3 节]. 设 $ \beta,\gamma \in \partial \mathbb{D} $, 如下定义 Verblunsky 系数列

$\tilde{\alpha_n}=\begin{cases}\beta, \qquad & n =a-1;\\\gamma,& n =b;\\\alpha_n,& n \notin \{a-1,b\}.\end{cases}$

相应的 CMV 矩阵定义为 $ \tilde{\mathcal{E}} $ 以及 $ \mathcal{E}^{\beta,\gamma}_{[a,b]}=P_{[a,b]}\tilde{\mathcal{E}}\left(P_{[a,b]}\right)^*. $ 只要 $ \beta,\gamma \in \partial\mathbb{D} $, 可验证 $ \mathcal{E}^{\beta,\gamma}_{[a,b]} $ 是酉算子.

对于 $ z\in\mathbb{C} $, $ \beta,\gamma\in\partial\mathbb{D} $, 定义多项式

$ \Phi_{[a,b]}^{\beta,\gamma}(z):=\det{\left(z-\mathcal{E}_{[a,b]}^{\beta,\gamma}\right)}, \qquad \phi_{[a,b]}^{\beta,\gamma}(z):=(\rho_a\cdots\rho_b)^{-1}\Phi_{[a,b]}^{\beta,\gamma}(z). $

由于方程 $ \mathcal{E}\psi=z \psi $ 等价于 $ (z\mathcal{L}^{\ast}-\mathcal{M})\psi=0 $, 相应的格林函数为

$G^{\beta,\gamma}_{\omega,[a,b]}(z)=(z(\mathcal{L}^{\beta,\gamma}_{\omega,[a,b]})^{*}-(\mathcal{M}^{\beta,\gamma}_{\omega,[a,b]}))^{-1},$

以及

$G^{\beta,\gamma}_{\omega,[a,b]}(j,k;z)=\langle\delta_{j},G^{\beta,\gamma}_{\omega,[a,b]}(z)\delta_{k}\rangle, j,k\in [a,b].$

根据文献 [31,章节 B1], 格林函数可有表达式

${}\left|G_{\omega,[a,b]}^{\beta,\gamma}(j,k;z)\right|=\frac{1}{\rho_k}\left|\frac{\phi_{\omega,[a,j-1]}^{\beta,\alpha_{j-1}}(z)\phi_{\omega,[k+1,b]}^{\alpha_{k+1},\gamma}(z)}{\phi_{\omega,[a,b]}^{\beta,\gamma}(z)}\right|.$

根据文献 [29,引理 3.5], 可得以下估计

引理2.5 假设对充分大的 $ n $ 和任意的 $ \varepsilon>0 $, 以下不等式成立

$ \frac{1}{n}\log{\|M_n(x,y;z)\|}\geq L_n(z)-\varepsilon, $

则对任意的 $ \beta_0,\gamma_0\in\partial\mathbb{D} $, 存在 $ \beta\in\{\beta_0,-\beta_0\} $ 以及 $ \gamma\in\{\gamma_0,-\gamma_0\} $, 使得对所有的 $ j,k\in[0,n) $, $ z\in\partial\mathbb{D}\backslash \mathrm{spec}\left(\mathcal{E}_{\omega,[0,n)}^{\beta,\gamma}\right) $, 有 $ \left|G_{\omega,[0,n)}^{\beta,\gamma}(j,k;z)\right|\leq {\rm e}^{-|j-k|L_n(z)+C\varepsilon n}. $

2.4 移除双共振和半代数集

以下引理可以看作是文献 [6,引理 3.6] 的 CMV 版本.

引理2.6 固定 $ y_0 \in \mathbb{T} $, $ \beta, \gamma \in \partial \mathbb{D} $, 以及 $ \varepsilon>0 $. 令 $ C_{1}\geq1 $, $ N $ 为任意正整数. 定义 $ S_N\subset \mathbb{T}^{4}\times \partial \mathbb{D} $ 为满足以下条件的 $ (\omega,y_{0},x,y;z) $ 构成的集合: 存在 $ N_{1}<N^{C_1} $ 使得

$\|k\omega\|\geq\varepsilon|k|^{-1}(1+\log k)^{-2}, k\in \mathbb{Z}, 0<k<N,$
$\left\|(\mathcal{E}^{\beta,\gamma}_{[-N_{1},N_1]}(\omega,0,y_0;z)-z)^{-1} \right\|>{\rm e}^{C_{2}N},$
$\frac{1}{N}\log\|M_{N}(\omega,x,y;z)\|<L_{N}(\omega;z)-N^{-\sigma},$

其中 $ C_2 $ 为与 $ \alpha $ 有关的充分大的常数, 则

$\mathrm{mes}(\mathrm{Proj}_{\mathbb{T}^{4}}S_N)\lesssim {\rm e}^{-\frac{1}{2}N^{\sigma}}.$

此外, 我们还需要证明不等式 (2.9) 和 (2.10) 可以用次数最多不超过 $ N^C $ 次的多项式不等式来代替, 而测度估计 (2.11) 式的上界增加最多不超过两倍.

下面定义一个矩阵的 Hilbert-Schmidt 范数

$\|B\|_{HS}=\bigg(\sum_{i,j}|B_{i,j}|^2\bigg)^{1/2}.$

在文献 [5] 中, 作者考虑了具有三角多项式势函数的薛定谔算子, 通过将两个共振不等式 (见文献 [5,(4.4),(4.5)]) 代替为 $ (\cos\omega, \sin\omega, \cos\theta, \sin\theta, E) $ 的多项式不等式, 得到了引起双共振的集合中连通分支个数的上界, 因而得到进一步的结果. 对于一般的解析势能函数, 上述方法也是成立的, 只需要将解析函数的傅里叶展开截断到 $ n^2 $ 项, 由于解析函数的傅里叶系数具有指数衰减这一性质, 我们得到误差小于 $ {\rm e}^{-cn^2} $, 因此, 不影响我们对引起双共振的参数集合的测度估计.

对于解析 CMV 算子, 由于相应的 $ n $ 步转移矩阵与 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 矩阵共轭, 并且该 CMV 算子的 Hilbert-Schmidt 范数是实解析的 (因为 $ \mathrm{Re}\alpha(x,y) $ 和 $ \mathrm{Im}\alpha(x,y) $ 是实解析的). 因此上述方法同样适用. 具体来说, 不等式 (2.9) 可以被替换为

$\|(\mathcal{E}^{\beta,\gamma}_{[-N_1,N_1]}(\omega,(0,y_0);z)-z)^{-1}\|^2_{HS}\geq {\rm e}^{2C_2N}.$

结合 Cramer 法则, 可得

$\begin{align*} &\sum_{-N_1 \leq n_1, n_2 \leq N_1} \left|\operatorname{det}\left[\left(n_1, n_2\right)-\operatorname{minor} \text { of }\left(\mathcal{E}_{\left[-N_1, N_1\right]}^{\beta, \gamma}\left(\omega,(0,y_0)\right)-z\right)\right]\right|^2 \\ >\,&{\rm e}^{2C_2N}\left|\operatorname{det}\left(\mathcal{E}_{\left[-N_1, N_1\right]}^{\beta, \gamma}\left(\omega,(0,y_0)\right)-z\right)\right|^2, \end{align*}$

其具有如下形式

$P_1(\cos\omega, \sin\omega, \mathrm{Re} z, \mathrm{Im} z)>0,$

其中 $ P_1(\cos\omega, \sin\omega, \mathrm{Re} z, \mathrm{Im} z) $ 是关于 $ \cos\omega, \sin\omega $ 次数不超过 $ CN_1^2 $, 关于 $ \mathrm{Re} z, \mathrm{Im} z $ 次数不超过 $ CN_1 $ 的多项式. 这说明 (2.9) 式是次数不超过 $ CN_1^3 $ 的半代数表达式.

将

$L_N(\omega;z)=\frac{1}{N}\int_{\mathbb{T}^2}\log\|M_N(\omega,x,y;z)\|{\rm d}x{\rm d}y$

表示为离散平均

$L_N(\omega,x,y;z)=R^{-1}\sum_{j=1}^{R}\frac{1}{N}\log\|M_N(\omega,T^j_\omega(0,y_0);z)\|+o(1),$

其中 $ R<N^C $. 不等式 (2.10) 可被替换为

$\|M_N(\omega,x,y;z)\|^{2R}_{HS}\leq {\rm e}^{-N^{1-\sigma}R}\prod_{j=1}^{R}\|M_N(\omega,T^j_\omega(0,y_0);z)\|^2,$

其具有以下形式

$P_2(\cos\omega, \sin\omega, \cos x, \cos y,\sin x, \sin y, \mathrm{Re} z, \mathrm{Im} z)>0,$

其中 $ P_2(\cos\omega, \sin\omega, \cos x, \cos y,\sin x, \sin y, \mathrm{Re} z, \mathrm{Im}z) $ 为次数不超过 $ N^C $ 的多项式.

类似于文献 [5,引理 5.13] 以及文献 [29,引理 4.2], 有

引理2.7 在引理 2.6 中, 取 $ N_1<N^C $, 条件 (2.9), (2.10) 分别替换为 (2.12), (2.13), 则对于固定的 $ (x,y) $, 满足 (2.8) 式的 $ \omega $ 构成的集合是至多 $ N^C $ 个区间的并.

回顾以下频率估计

命题2.1[5,引理 6.1] 设集合 $ S'\subset\mathbb{T}\times\mathbb{T}^2 $ 满足对每一个 $ (x,y)\in\mathbb{T}^2 $, 集合 $ S_{x,y}=\{\omega\in\mathbb{T}:(\omega,(x,y))\in S'\} $ 是至多 $ M $ 个区间的并, 则对固定的 $ (0,y_0) $ 和 $ N'\gg M $, 有

$\mathrm{mes}\{\omega \in \mathbb{T}:(\omega,T^j_\omega(0,y_0))\in S' \mathrm{对某个} N'\leq j\leq2N'-1\}\leq N'^3(\mathrm{mes}(S'))^{1/2}+MN'^{-1}.$

结合上述命题和引理 2.7, 以及上面的计算, 可得

引理2.8 设 $ \kappa\in(0,1) $, $ \beta,\gamma \in \partial\mathbb{D} $ 以及 $ N $ 充分大, $ \Omega_N\subset\mathbb{T} $ 是满足以下条件的频率 $ \omega $ 构成的集合: $ \|k\omega\|\geq\varepsilon|k|^{-1}(\log k+1)^{-2} $, $ k\in \mathbb{Z} $, $ 0<k<N $ 以及存在 $ N_1<N^C_1 $, $ j\sim {\rm e}^{(\log N)^2} $, $ z\in \partial\mathbb{D} $, 使得

$\left\|\left(\mathcal{E}_{\left[-N_1, N_1\right]}^{\beta, \gamma}\left(\omega, (0, y_0);z\right)-z\right)^{-1}\right\|>{\rm e}^{C_2 N},$
$\frac{1}{N} \log \left\|M_N(\omega, T^j_\omega(0, y_0);z)\right\|<L_N(\omega, z)-\kappa,$

其中 $ C_2 $ 为一正常数, 则

$\mathrm{mes}(\Omega_N) <{\rm e}^{-\frac{1}{2}(\log N)^2}.$

3 定理 1.1 的证明

3.1 特征方程的截断

在薛定谔算子情形, 通过将特征方程 $ (H-E)\xi=0 $ 限制在一个有限区间 $ \Lambda=[a,b] $ 上, 可以得到两个边界项, 从而得到恒等式

$ \xi(n)=-G_{\Lambda}^{E}(n,a)\xi(a-1)-G_{\Lambda}^{E}(n,b)\xi(b+1). $

但在 CMV 矩阵情形, 相应的公式依赖于有限区间端点的奇偶性. 具体地说

引理3.1[22,引理 3.9] 若 $ \xi $ 是方程 $ \mathcal{E}\xi=z\xi $ 的解, 那么对于 $ a<n<b $,

$\begin{split}\xi(n)=\,&G_{[a,b]}^{\beta,\gamma}(n,a;z)\begin{cases}(z\overline{\beta}-\alpha_{a})\xi(a)-\rho_{a}\xi(a+1) \qquad & a \text{是偶数},\\(z\alpha_{a}-\beta)\xi(a)+z\rho_{a}\xi(a+1)& a \text{是奇数},\end{cases}\\&+G_{[a,b]}^{\beta,\gamma}(n,b;z)\begin{cases}(z\overline{\gamma}-\alpha_{b})\xi(b)-\rho_{b}\xi(b-1) \qquad & b \text{是偶数},\\(z\alpha_{b}-\gamma)\xi(b)+z\rho_{b-1}\xi(b-1)& b \text{是奇数}.\end{cases}\end{split}$

3.2 谱局域化

设 $ \omega\in \Omega_\varepsilon $, 见 (1.4) 式. 对于充分大的 $ N $, $ S_N $ 如引理 2.6 定义. 由文献 [6,引理3.3] 可知, 对 $ \overline{N}={\rm e}^{(\log N)^{2}} $, 有

$\mathrm{mes}\left [(y_{0},\omega)\in \mathbb{T}^2： \mathrm{ 对某个} j\sim \overline{N}, \mid(y_{0},\omega, T^{j}_{\omega}(0,y_{0}))\in \mathrm{Proj}_{\mathbb{T}^{4}}(S_N) \right]<\overline{N}^{-10^{-8}}.$

记 (3.1) 式左端集合为 $ \mathcal{B}_N $, 定义

$\mathcal{B}^{(0)}:=\limsup_{N\rightarrow \infty}\mathcal{B}_N,$

因此 $ \mathrm{mes}(\mathcal{B}^{(0)})=0 $. 由于 $ T^{\ell}(x,y)=(x,0)+T^{\ell}(0,y)(\mathrm{mod} 1) $, 这种构造适用于函数$ \alpha(x+\cdot,\cdot) $, 得到测度为 0 的集合 $ \mathcal{B}^{(x)} $. 进一步, 定义集合

$\mathcal{B}:=\left\{(\omega,x,y)|(y,\omega)\in \mathcal{B}^{(x)} \right\},$

其测度同样为 0.

Lin, Piao 和 Guo[25] 证明了对于所有的 $ (\omega,x,y)\in (\Omega_{\varepsilon}\times \mathbb{T}^2)\backslash \mathcal{B} $, 固定大的常数 $ N $, 存在 $ N_{1}<N^{C_1} $, 使得

$\left\|(\mathcal{E}^{\beta,\gamma}_{[-N_{1},N_1]}-z)^{-1} \right\|>{\rm e}^{C_{2}N}$

成立, 其中 $ \beta,\gamma \in \partial\mathbb{D} $, 并且对所有的 $ N'\sim N $, $ j\sim \overline{N}={\rm e}^{(\log N)^2} $, 有

$\frac{1}{N'}\log\|M_{N'}(T^{j}_{\omega}(x,y);z)\|>L(z)-\frac{c_0}{10}.$

根据 (3.3) 和 (3.4) 式, 结合之前的引理可证明谱局域化, 更多细节参见文献 [25,第 5 章].

3.3 定理 1.1 的证明

由 注 2.1 知, 需证明

$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\|M_n(x,y;z)\|\geq L(z)-\kappa.$

由于 $ \|M_{n}(x,y;z)\|=\|A_{n}(x,y;z)\| $, 故只需证明

$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\|A_n(x,y;z)\|\geq L(z)-\kappa,$

其中 $ \kappa\in(0,1) $. 固定 $ N $ 充分大, 令 $ W=\lfloor\frac{1}{2}{\rm e}^{(\log N)^2}\rfloor $, 取 $ W\leq m \leq 4W^2 $, 并定义

$A^{(r)}:=A_{W}(T_{\omega}^{rW}(x,y);z), 1\leq r \leq m.$

令 $ \nu:={\rm e}^{W(L(z)-\kappa)} $, 由 (3.4) 式可知

$\frac{1}{N'}\log\|M_{N'}(T_{\omega}^{j}(x,y);z)\|>L(z)-\kappa,$

即

$\frac{1}{N'}\log\|A_{N'}(T_{\omega}^{j}(x,y);z)\|>L(z)-\kappa,$

于是

$\|A_{N'}(T_{\omega}^{j}(x,y);z)\|>{\rm e}^{W(L(z)-\kappa)},$

即

$\|A^{(r)}\|\geq\nu, 1\leq r \leq m.$

由 (2.5) 式, 可得

$\|A^{(r)}\|\leq {\rm e}^{W(L(z)+\kappa)}, 1\leq r \leq m.$

因此对 $ 1\leq r \leq m-1 $, 有

$\begin{aligned}& \,\left|\log \left\|A^{(r+1)}\right\|+\log \left\|A^{(r)}\right\|-\log \left\|A^{(r+1)} A^{(r)}\right\|\right| \\&<2 W(L(z)+\kappa)-2 W(L(z)-\kappa)= 4W\kappa\leq \frac{1}{2} \log \nu,\end{aligned}$

其中, 最后一步不等式要求 $ \kappa $ 充分小. 令 $ \hat{W}=mW $ 以及 $ r_0=W $, 我们有 $ \hat{W}\in [W^2,4W^3] $. 由雪崩原理知, 当 $ N $ 充分大时

$\begin{aligned}\log \left\|A_{\hat{W}}\left(T^{r_{0}} (x,y);z\right)\right\| &=\log \left\|A^{(m)} \cdots A^{(1)}\right\| \\& \geq \sum_{r=0}^{m-2} \log \left\|A^{(r+2)} A^{(r+1)}\right\|-\sum_{r=1}^{m-2} \log \left\|A^{(r+1)}\right\|-C \frac{m}{\nu} \\& \geq(m-1) 2 W(L(z)-\kappa)-(m-2) W(L(z)+\kappa)-C \\& \geq \hat{W}(L(z)-c\kappa).\end{aligned}$

综上, 对于一般的 $ I \in [W^2,4W^3] $, 利用插值法可以控制 $ \|A_{I}(x,y;z)\| $. 具体来说, 取 $ I=m_1W+p $, 其中 $ 0\leq p<W $ 和 $ W<m_1<4W^2 $, 有

$\begin{aligned}\left\|A_{I}(x,y;z)\right\| & \geq \frac{\left\|A_{I-W}\left(T^{W} ((x,y);z)\right)\right\|}{\left\|A_{W}(x,y;z)\right\|} \\& \geq \Gamma^{-W-p}\left\|A_{m_{1} W-W}\left(T^{W} (x,y)\right)\right\| \\& \geq \Gamma^{-W-p} {\rm e}^{\left(m_{1} W-W\right)(L(z)-c\kappa)} \\& \geq {\rm e}^{I(L(z)-c\kappa)},\end{aligned}$

其中 $ \Gamma=\sup \{\left\|A(\alpha;z)\right\|: z\in\partial\mathbb{D}, \alpha(x,y) \text{在}\ \mathbb{T}^2\ \text{上解析 (其实部和虚部均实解析), 并满足 (3)}\}. $ 当 $ N\rightarrow\infty $ 时, 区间 $ [W^{2}, 4W^3] $ 可覆盖充分大的整数, 由上述估计可得

$\liminf _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left\|A_{n}(x,y;z)\right\| \geq L(z)-c\kappa.$

由于 (3.6) 式对于小的 $ \kappa\in(0,1) $ 成立, 可以得到

$\liminf _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left\|M_{n}(x,y;z)\right\| \geq L(z).$

4 半一致局域特征函数 (SULE) 和动态局域化

引理4.1 (SULE) 设 $ \mathcal{I}\subset\mathbb{T} $ 是一紧区间, $ \Omega_\varepsilon $ 为满足丢番图条件的频率 $ \omega $ 构成的集合, 见 (1.4) 式, $ \mathcal{B}_\omega:=\{\omega|(x,y,\omega)\in\mathcal{B}, \mathcal{B}\ \text{如}\ (20)\ \text{式所示}\} $. 对任意的 $ \kappa\in(0,1) $, 每个 $ \varsigma>0 $ 和 $ \omega\in\mathcal{I}\bigcap(\Omega_\varepsilon\setminus\mathcal{B}_\omega) $, 存在一个依赖于 $ \varsigma $ 的常数 $ C_{\varsigma} $ 使得对于 $ \mathcal{E}_\omega $ 的特征值 $ z \in \mathcal{G}(\mathcal{E}_\omega) $ 对应的特征函数 $ \xi $, 每个 $ m\in\mathbb{Z} $ 以及某个依赖于 $ \xi $ 的 $ \iota $, 有

$|\xi(\iota+m)| \leq C_{\varsigma}\|\xi\|_{\infty} {\rm e}^{-(1-\varsigma) L(z)|m|}.$

证 由定理 1.1 知, 相应的特征函数 $ \xi $ 呈指数衰减, 可通过假设 $ \xi(\iota)=\|\xi\|_{\infty} $ 来定义局域化的中心 $ \iota $. 事实上, 因为 $ \xi \in \ell^{2} $, $ |\xi| $ 达到最大值的次数为有限次. 当达到最大值时, $ \iota $ 的取值对后面的叙述没有影响.

现固定一个小的 $ \kappa>0 $, 用 $ T^{\iota} (x,y) $ 代替 $ (x,y) $, 再次进行前面的证明过程, 可得到 (3.3), (3.4), (3.6) 式的类似估计. 当 $ N $ 充分大时, 对任意的 $ W^{2} \leq I \leq 4W^3 $ ( $ W=\lfloor\frac{1}{2}{\rm e}^{(\log N)^2}\rfloor $ ), 有

$\frac{1}{I}\log\left\|M_{I}\left(T^{\iota}(x,y);z\right)\right\|\geq L(z)-c\kappa.$

由引理 2.5 知, 对任意的 $ j, k \in[0, I) $,

$ \left|G_{T^{\iota}(x,y),[0,I)}^{\beta,\gamma}(j, k ; z)\right|\leq {\rm e}^{-|j-k| L_{I}(z)+C\kappa I}. $

选取 $ m \in\left[\frac{1}{4} I, \frac{1}{2}(I-1)\right] $ (注意到 $ \left.I-m \geq m\right) $, 则有

$\begin{matrix} |\xi(\iota+m)| & \leq \sqrt{2}\|\xi\|_{\infty}\left(\left|G_{T^{\iota} (x,y),[0, I)}^{\beta, \gamma}(m, 0 ; z)\right|+\left|G_{T^{\iota} (x,y),[0, I)}^{\beta, \gamma}(m, I-1 ; z)\right|\right) \notag\\ & \leq \sqrt{2}\|\xi\|_{\infty}\left({\rm e}^{-m L(z)+C \kappa I}+{\rm e}^{-|m-I+1| L(z)+C \kappa I}\right)\notag \\ & \leq 2 \sqrt{2}\|\xi\|_{\infty} {\rm e}^{-m L(z)+4 C \kappa m} \notag\\ & \leq 2 \sqrt{2}\|\xi\|_{\infty} {\rm e}^{-(1-\varsigma) L(z) m}, \end{matrix}$

其中, 最后一步需要 $ \kappa $ 充分小, 具体需要多小依赖于 $ \varsigma>0 $ 的选取. 不难看出, 对于每一个 $ m\in\left[\frac{1}{4}W^{2}, \frac{1}{2}(4W^3-1)\right] $, (4.2) 式成立. 容易看出, 当 $ N $ 充分大时, 这些区间是互相交叠的, 其中 $ N $ 的大小取决于 $ \kappa $ (或者 $ \varsigma $). 因此, 对任意的 $ m\geq\frac{1}{16}{\rm e}^{2(\log N)^2} $, (4.2) 式成立. 对于 $ 0\leq m \leq \frac{1}{16}{\rm e}^{2(\log N)^2 } $, 我们可以估计 $ |\xi(\iota+m)| $ 并且相应的调整常数, 有

$\begin{aligned}|\xi(\iota+m)| & \leq\|\xi\|_{\infty} {\rm e}^{\frac{1}{16}(1-\varsigma) L(z){\rm e}^{2(\log N)^2 }} {\rm e}^{-(1-\varsigma) L(z) m} \\& \leq\|\xi\|_{\infty} C_{\varsigma} {\rm e}^{-(1-\varsigma) L(z) m}.\end{aligned}$

利用上述 SULE 定理, 我们可以证明扩展的 CMV 矩阵的动态局域化. 即本文第二个主要定理

定理4.1 对任意的 $ \omega\in\mathcal{I}\bigcap(\Omega_{\varepsilon}\backslash\mathcal{B}_\omega) $, $ \epsilon > 0 $ 以及 $ 0<\tau<m_0(\lambda)\ (\text{见注} 1.1) $, 存在常数 $ \tilde{C}>0 $ 使得对所有的 $ m,n \in \mathbb{Z} $, 有

$\sup_{k\in \mathbb{Z}}\left|\langle\delta_{m}, \mathcal{E}_{\omega}^{k}\mathcal{P}_{\mathbb{D}}\delta_n\rangle \right|\leq \tilde{C}{\rm e}^{\epsilon|m|}{\rm e}^{-\tau|n-m|},$

其中 $ \mathcal{P}_{\mathbb{D}} $ 是 $ \mathcal{E}_{\omega} $ 在 $ \mathcal{K} $ 上的谱投射. $ \Omega_\varepsilon $ 为满足丢番图条件的频率 $ \omega $ 构成的集合, 见 (1.4) 式, $ \mathcal{B}_\omega:=\{\omega|(x,y,\omega)\in\mathcal{B}, \mathcal{B}\ \text{如}\ (3..2)\ \text{式所示}\} $.

证 给定 $ \tau $ 和 $ \epsilon $, 选取 $ \tau' $ 满足 $ \tau<\tau'<m_0(\lambda) $ 及 $ \tau'-\tau=:\eta<\epsilon $. 将 $ \delta_m $ 按照 $ \mathcal{E}_\omega $ 的特征函数构成的基展开, 得到

$\left|\langle\delta_{m}, \mathcal{E}_{\omega}^{k} \mathcal{P}_{\mathbb{D}} \delta_{n}\rangle\right| \leq \sum_{\ell \in \mathbb{Z}}\left|\xi_{\ell}(n) \xi_{\ell}(m)\right|.$

因此, 由 (4.1) 式可得

$ \begin{aligned} \sum_{\ell}\left|\xi_{\ell}(n) \xi_{\ell}(m)\right| & \leq\|\xi\|_{\infty}^{2} C_{\varsigma}^{2} \sum_{\ell\in \mathbb{Z}} {\rm e}^{-\tau^{\prime}\left(\left|n-\iota_{\ell}\right|+\left|m-\iota_{\ell}\right|\right)} \\ & \leq\|\xi\|_{\infty}^{2} C_{\varsigma}^{2} \sum_{\ell\in \mathbb{Z}} {\rm e}^{-\eta\left|\iota_{\ell}\right|} {\rm e}^{\epsilon|m|} {\rm e}^{-\tau|m-n|}. \end{aligned} $

根据文献 [9,命题 6.5], 有

$C_{*}:=\sum_{\ell} {\rm e}^{-\eta\left|\iota_{\ell}\right|}=\sum_{L \geq 0} \sum_{\left|\iota_{\ell}\right|=L} {\rm e}^{-\eta\left|\iota_{\ell}\right|}<\infty.$

因此, 可得

$\sup _{k \in \mathbb{Z}}\left|\langle\delta_{m}, \mathcal{E}_{\omega}^{k} \mathcal{P}_{\mathbb{D}} \delta_{n}\rangle\right| \leq \tilde{C} {\rm e}^{\epsilon|m|} {\rm e}^{-\tau|n-m|},$

其中 $ \tilde{C}=C_{*}C_{\iota}^{2}\|\xi\|_{\infty}^{2} $.

致谢 作者感谢中国海洋大学的朴大雄老师和国书筝老师的有益建议.

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We consider CMV matrices, both standard and extended, with analytic quasi-periodic Verblunsky coefficients and prove Anderson localization in the regime of positive Lyapuriov exponents. This establishes the CMV analog of a result Bourgain and Goldstein proved for discrete one-dimensional Schrodinger operators. We also prove a similar result for quantum walks on the integer lattice with suitable analytic quasi-periodic coins. (C) 2018 Elsevier Inc.

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