本文主要研究如下含分数阶 $p$-Laplacian 算子基尔霍夫型方程

其中 $a,\ b>0$ 表示常数, $\mu$ 表示拉格朗日乘子, $s\in (0,1)$, $p\in (1,\infty)$ 且 $sp<N$, $p<q<p^{*}=\frac{Np}{N-sp}$, $(-\Delta)_p^s$ 表示分数阶 $p$-Laplacian 算子

其中 $x,y\in \mathbb{R}^N$, $B_\varepsilon(x):=\{y\in \mathbb{R}^N:|x-y|<\varepsilon\}$; $[u]_{W^{s,p}}^p$ 表示 Gagliardo 半范数 $[u]_{W^{s,p}}^p=\int_{\mathbb{R}^N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}}{\rm d}x{\rm d}y;$ 空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N):=\{u\in L^p(\mathbb{R}^N):\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{\frac{N}{p}+s}}\in L^p(\mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^N)\}$, 对应范数为 $||u||:=||u||_{W^{s,p}(\mathbb{R}^N)}:=\left(\int_{\mathbb{R}^N}|u|^p{\rm d}x+ [u]_{W^{s,p}}^p\right)^{\frac{1}{p}}.$

如果 $s=1,\ \ p=2$, 方程 (1.1) 是 $\mathbb{R}^N$ 上的基尔霍夫方程, 来源于弹性绳的自由振动^[17]. 近年来, 如果 $\mu$ 固定, 关于基尔霍夫方程 (1.1) 解的存在性和集中性态的研究结果非常丰富, 见文献 [12],[13],[18],[19],[22],[24],[28],[29] 及其参考文献. 如果 $\mu$ 作为拉格朗日乘子, 利用约束变分理论, 相应结果可参考文献 [8],[9],[10],[11],[20],[21],[30],[31]. 如果 $p=2$ 且 $0<s<1$, 相应解的存在性及其相关性质可参考文献 [6],[14],[23]. 对一般的 $p$ 且 $0<s<1$, 方程非平凡解的存在性可参考文献 [1],[4],[26],[27] 及相关文献.

本文首先希望探讨方程 (1.1) 正规化解的存在性及其相关性质, 即考虑如下约束极小化问题

其中 $I(u)=\frac{a}{p}[u]_{W^{s,p}}^p+\frac{b}{2p}[u]_{W^{s,p}}^{2p}-\frac{1}{q}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^q{\rm d}x$, $M=\left\{\ u\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N):\int_{\mathbb{R}^N}|u|^p{\rm d}x=c^p\right\}.$ 利用能量估计技巧, 本文得到了问题 (1.2) 当 $p<q<p+\frac{2sp^2}{N}$ 时极小元存在性的完整分类. 进一步证明问题 (1.2) 的极小元一定是函数 $U(x)$ 的伸缩和平移, 其中 $U(x)$ 是方程

的基态解. 由方程 (1.3) 及其对应 Pohozaev 恒等式可知 (1.3) 式的任意解 $u$ 满足

对问题 (1.2) 极小元的存在性或者方程 (1.1) 正规化解的存在性, 本文有如下定理

定理1.1 (i) 如果 $p<q<p+\frac{sp^2}{N}$, 则对任意 $c>0$, 问题 (1.2) 在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上存在极小元 $u_\lambda=\frac{c\lambda^{\frac{N}{p}}}{|U|_{p}}U(\lambda x)$, 其中 $\lambda=\left(\frac{t_1}{c^p}\right)^{\frac{1}{sp}}$ 且 $t_1$ 是函数

的唯一极小值点;

(ii) 如果 $q=p+\frac{sp^2}{N}$, 则当 $c\leq c_1=:a^{\frac{N}{sp^2}}|U|_p$ 时问题 (1.2) 在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上不存在极小可达元. 当 $c>c_1$ 时, 问题 (1.2) 在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上存在极小可达元

此时 $e(c)=-\frac{\left(c^{\frac{sp^2}{N}}-a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}\right)^2}{2pb|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}};$

(iii) 如果 $p+\frac{sp^2}{N}<q<p+\frac{2sp^2}{N}$ 且 $s>\frac{N}{2p}$, 则当 $c<c_2$ 时, 其中

问题 (1.2) 在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上不存在极小可达元. 当 $c\ge c_2$ 时, 问题 (1.2) 在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上存在极小可达元

此时

(iv) 如果 $q\ge p+\frac{2sp^2}{N}$, 对所有的 $c>0$, 问题 (1.2) 在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上不存在极小可达元.

注1.1 在定理 1.1 中, 由于方程 (1.3) 基态解的唯一性未知, 因此本文未得到问题 (1.2) 极小可达元的唯一性. 如果 $p=2$, 由文献 [6] 可知方程 (1.3) 基态解是唯一的, 此时, 在平移意义下可得到问题 (1.2) 极小可达元的唯一性 (见文献 [14]). 但是对于其他 $p$, 很难得到唯一性.

由定理 1.1 可知, 当 $q\ge p+\frac{2sp^2}{N}$ 时, 问题 (1.2) 不存在极小可达元. 本文希望借鉴文献 [2],[15],[16],[31] 的技巧, 去探讨泛函 $I(u)$ 在流形 $M$ 上的临界点. 首先将介绍相似文献 [15] 的山路几何定义

定义1.1 给定 $c>0$, 假设存在 $K(c)>0$ 使得

在集合 $\Gamma (c)=\{h \in C([0,1];M)| h(0) \in A_K(c),\ \ I(h(1))<0 \}$ 上成立, 其中 $A_K(c)=\{u \in M:[u]_{W^{s,p}}^p \leq K(c)\}$, 则称泛函 $I(\cdot)$ 在流形 $M$ 上满足山路几何条件.

定理1.2 (i) 假设 $s> \frac{N}{2p}$, $q=p+\frac{2sp^2}{N}$ 且 $c> c_3=\left(b|U|_p^{\frac{2s p^2}{N}}\right)^{\frac{N}{2s p^{2}-Np}}$, 则方程 (1.1) 在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上存在解 $u_\lambda=c\left(\frac{a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}{c^{\frac{2sp^2}{N}}-bc^p|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}\right)^{\frac{N}{sp^2}}U \left(\left(\frac{a|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}{c^{\frac{2sp^2}{N}}-bc^p|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}\right)^{\frac{1}{sp}}x\right),$ 对应能量 $\gamma(c)=f_q(t_4)=\frac{a^2|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}{2p\left[c^{\frac{2sp^2-Np}{N}}-b|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}\right]};$

(ii) 假设 $s\geq \frac{N}{2p}$, $q>p+\frac{2sp^2}{N}$, 则方程 (1.1) 在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上存在解

其中 $t_5$ 表示函数 $f_q(t)$ 的唯一极大值点.

注1.2 在定理 1.2 中, $u_\lambda$ 是方程 (1.1) 的解表示: 如果 $u \in M$ 是 $I(\cdot)$ 在流形 $M$ 上的临界点且能量等于 $\gamma (c)$, 即

定理1.3 假设 $u_\lambda=\frac{c\lambda^{\frac{N}{p}}}{|U|_{p}}U(\lambda x)$ 是定理 1.1 或定理 1.2 中得到的解.

(i) 如果 $p<q<p+\frac{sp^2}{N}$, 则 $\lambda(c)$ 和 $\frac{e(c)}{c^p}$ 均关于 $c>0$ 单调递增. 进一步, 当 $ c\rightarrow 0$ 时, 有 $\lambda(c) \rightarrow 0,$ $\frac{c^{q-p}}{|U|_p^{q-p}\lambda(c)^{sp-\frac{N(q-p)}{p}}}\rightarrow a,$ $\mu\rightarrow 0$, $ \frac{\mu}{\lambda(c)^{sp}}\rightarrow \frac{N(q-p)-spq}{N(q-p)}a$, $ \frac{e(c)}{c^p}\rightarrow 0;$

(ii) 如果 $q=p+\frac{sp^2}{N}$, 则 $\lambda(c)$ 关于 $c$ 单调递减, 且当 $c\rightarrow \infty$时, $\lambda(c)\rightarrow 0$, $\frac{c^{\frac{sp^2}{N}-p}}{\lambda(c)^{sp}}\rightarrow b|U|_p^{\frac{sp^2}{N}},$ $ e(c)\rightarrow-\infty$, $\frac{\mu}{c^p\lambda(c)^{2sp}}\rightarrow -\frac{spb}{N};$

(iii) 如果 $p+\frac{sp^2}{N}<q<p+\frac{2sp^2}{N}$ 且 $s>\frac{N}{2p}$, 则 $\lambda(c)$ 关于 $c$ 单调递减, 且当 $c\rightarrow \infty$时, $\lambda(c)\rightarrow 0$, $\lambda(c)^{sp}c^p\rightarrow \frac{2(N(q-p)-sp^2)a}{(2sp^2-N(q-p))b},$ $e(c)\rightarrow-\infty$, $\frac{\mu}{c^p\lambda^{2sp}}\rightarrow \frac{b[N(q-p)-spq]}{2[N(q-p)-sp^2]};$

(iv) 如果 $q= p+\frac{2sp^2}{N}$, $s>\frac{N}{2p}$, 则 $\lambda(c)$ 关于 $c$ 单调递减, 且当 $c\rightarrow \infty$时, $\lambda(c)\rightarrow 0$, $\lambda^{sp}c^{\frac{2sp^2}{N}}\rightarrow a|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}},$ $\lambda^{sp}c^{p}\rightarrow 0$, $\gamma(c)\rightarrow 0$, $\frac{\mu}{\lambda^{sp}}\rightarrow \frac{a[N-2sp]}{2N};$

(v) 如果 $q>p+\frac{2sp^2}{N}$, 则 $c^p\lambda(c)^{sp}$ 关于 $c$ 单调递减, 且当 $c\rightarrow\infty$ 时, $c^p\lambda(c)^{sp}\rightarrow 0$, $\lambda(c)\rightarrow 0,\ \gamma(c)\rightarrow 0,$ $\mu\rightarrow 0$, $\frac{\mu}{\lambda(c)^{sp}}\rightarrow \frac{N(q-p)-spq}{N(q-p)}a,\ c^{q-p}\lambda(c)^{\frac{N(q-p)-sp^2}{p}}\rightarrow a|U|_p^{q-p}.$

本文中, $|u|_{p}$ 表示空间 $L^p(\mathbb{R}^N)$ 中的范数, 其中 $1\leq p<\infty$. $[u]_{W^{s,p}}^p$ 是空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上的 Gagliardo 半范数, 且 $[u]_{W^{s,p}}^p=\int_{\mathbb{R}^N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}}{\rm d}x{\rm d}y.$ $C, C_{1}, C_{2}, \cdots $ 表示不同的正常数.

引理2.1 设 $p\in [1,\ +\infty)$, $s\in (0,1)$, $sp<N$, $q\in (p,p^*)$. 对任意的 $u\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$, 有

其中函数 $U(x)$ 是方程 (1.3) 的基态解.

证 既然 $p^*=\frac{Np}{N-sp}$, 由文献 [25], 存在正常数 $C=C(n,p,s)$ 使得

结合 Hölder 不等式可得

取

设 $u_{\lambda,\mu}(x)=\mu u(\lambda x)$, 则

因此

易知对任意 $u\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 有 $J_{s,q}(u)>0$. 因此存在一个极小化序列 $\{u_m\}\subset W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ $\cap L^q(\mathbb{R}^N)$, 使得

取 $\lambda_m=\frac{|u_m|_p^{\frac{1}{s}}}{||u_m||^{\frac{1}{s}}},\ \mu_m=\frac{|u_m|_p^{\frac{N}{sp}-1}}{||u_m||^{\frac{N}{sp}}},\ \ v_m=u_m^{\lambda_m,\mu_m}(x)=\mu_mu_m(\lambda_m x).$ 则

且

上述公式显示

利用严格重排不等式^[7], 将 $v_m$ 的对称递减重排记作 $v_m^*$, 则 $v_m^*$ 满足

(i) $v_m^*\geq 0$, $\forall x\in \mathbb{R}^N$;

(ii) $v_m^*$ 是径向对称函数;

(iii) 对任意 $r\in [\infty]$, 如果 $v_m\in L^r(\mathbb{R}^N)$, 则 $|v_m^*|_r=|v_m|_r;$

(iv) 如果 $v_m\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$, 则 $\int_{\mathbb{R}^N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|v_m(x)-v_m(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}}{\rm d}x{\rm d}y\geq \int_{\mathbb{R}^N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|v_m^*(x)-v_m^*(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}}{\rm d}x{\rm d}y$. 进一步可得 $J_{s,q}(v_m^*)\leq J_{s,q}(v_m).$ 这意味着 $\{v_m^*\}$ 也是一个极小化序列, $v_m^*=v_m^*(|x|)$ 是径向的且关于 $|x|$ 单调递减. 相似文献 [3],[5],[19] 的证明, 由 $|v_m^*|_p=1$ 可得

利用条件 (iii), (iv) 和 $|v_m^*|_p=|v_m|_p=1,\ \int_{\mathbb{R}^N}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|v_m^*(x)-v_m^*(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}}{\rm d}x{\rm d}y\leq 1,$ 可知 $\{v_m^*\}$ 在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上有界. 因此, 存在 $\{v_m^*\}$ 的一个子列, 仍记作 $\{v_m^*\}$, 存在 $v\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$, 使得

由 (2.4) 式易知 $v_m^*\rightarrow v,\ \text{于 } L^{t}(\mathbb{R}^N),\ p<t<p^*.$ 因此

这意味着 $|v|_p=[v]_{W^{s,p}}=1$ 且在空间 $W^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 上 $v_m^*\rightarrow v$. 进一步可知函数 $v$ 满足如下欧拉-拉格朗日方程

通过计算可得 $\alpha=\frac{1}{|v|_q^q}$, $|v|_p=[v]_{W^{s,p}}=1$,

设 $v=\left(\frac{p^*(q-p)}{\alpha q(p^*-p)}\right)^{\frac{1}{q-p}}\varphi$, 易知 $\varphi$ 满足方程 (1.3). 设 $U(x)$ 是方程 (1.3) 的一个基态解, 可得 $\alpha=\left(\frac{p^*(q-p)}{q(p^*-p)}\right)^{\frac{q}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^N}|U(x)|^p{\rm d}x\right)^{\frac{q-p}{p}}.$

引理2.2 假设 $t>0$, 函数

(i) 若 $p<q<\frac{sp^2}{N}+p$, 则 $f_q(t)$ 存在唯一的极小值点 $t_1$;

(ii) 若 $q=\frac{sp^2}{N}+p$, 则存在 $c_1=a^{\frac{N}{sp^2}}|U|_p$, 可知当 $c\leq c_1$ 时函数 $f_q(t)$ 不存在极小值点, 当 $c>c_1$ 时, 函数 $f_q(t)$ 存在唯一的极小值点 $t_2=\frac{c^{\frac{sp^2}{N}}-a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}{b|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}$, 且

(iii) 若 $p+\frac{sp^2}{N}<q<p+\frac{2sp^2}{N}$, 则存在

当 $c<c_2$ 时 $f_q(t)$ 不存在极小值点, 当 $c\geq c_2$ 时 $f_q(t)$ 有唯一的极小值点 $t_3=\frac{2(N(q-p)-sp^2)a}{(2sp^2-N(q-p))b}$ 且

(iv) 若 $q=p+\frac{2sp^2}{N}$, 则存在 $c_3=\left(b|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}\right)^{\frac{N}{2sp^2-Np}}$, 当 $c\leq c_3$ 时 $f_q(t)$ 不存在极值点, 当 $c>c_3$ 时, 函数 $f_q(t)$ 存在唯一的极大值点 $t_4=\frac{a|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}{c^{\frac{2sp^2-Np}{N}}-b|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}$ 且

(v) 若 $q> p+\frac{2sp^2}{N}$, 函数 $f_q(t)$ 存在唯一极大值点 $t_5>0$.

证 (i) 此时易知 $\frac{N(q-p)}{sp^2}<1$ 且 $f_q(t)$ 存在唯一的极小值点, 不妨记作 $t_1>0$;

(ii) 此时 $N(q-p)=sp^2$ 且 $ f_q(t)=\frac{1}{p}\left(a-\frac{c^{\frac{sp^2}{N}}}{|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}\right)t+\frac{b}{2p}t^2. $ 易知对所有 $c\leq c_1=:a^{\frac{N}{sp^2}}|U|_p$ 有 $f_q(t)>0$, 函数 $f_q(t)$ 不存在非零极小值. 当 $c>c_1$时, 函数 $f_q(t)$ 在唯一点 $t_2=\frac{c^{\frac{sp^2}{N}}-a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}{b|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}$ 达到极小值 $ f_q(t_2)=-{\left(c^{\frac{sp^2}{N}}-a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}\right)^2}\Big/{2pb|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}; $

(iii) 此时 $1<\frac{N(q-p)}{sp^2}<2$. 取 $\beta=\frac{2sp^2-N(q-p)}{sp^2}$, $\gamma=1-\beta=\frac{N(q-p)-sp^2}{sp^2}$, 利用 Young 不等式, 对任意的 $t>0$, 可得

上式中第一个 $"="$ 成立当且仅当 $\frac{a}{p\beta}t=\frac{b}{2p\gamma}t^2$. 由此可得 $t=t_3=:\frac{2\gamma a}{\beta b}=\frac{2(N(q-p)-sp^2)a}{(2sp^2-N(q-p))b}$. 进一步设

可得

当 $c< c_2$ 时有 $f_q(t)>0$, $f_q(t)$ 不存在非零极小值. 当 $c\geq c_2$ 时, $f_q(t)$ 在点 $t_3$ 达到极小值

(iv) 设 $c_3=\left(b|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}\right)^{\frac{N}{2sp^2-Np}}$, 有 $f_q(t)= \frac{a}{p}t+\frac{1}{2p|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}\left(c_3^{\frac{2sp^2-Np}{N}}-c^{\frac{2sp^2-Np}{N}}\right) t^{2}.$ 当 $c\leq c_3$ 时 $f_q(t)>0$ 且当 $t\rightarrow +\infty$ 时 $f_q(t)\rightarrow +\infty$. 此时对所有 $t>0$, 函数 $f_q(t)$ 不存在非零极值点. 当 $c>c_3$ 时, 通过计算可得函数 $f_q(t)$ 在点 $t_4=\frac{a|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}{c^{\frac{2sp^2-Np}{N}}-b|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}$ 达到极大值 $f_q(t_4)=\frac{a^2|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}{2p\left[c^{\frac{2sp^2-Np}{N}}-b|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}\right]},$ 进一步可知, 当 $t\rightarrow +\infty$ 时 $f_q(t)\rightarrow -\infty$;

(v) 若 $q>p+\frac{2sp^2}{N}$, 易知 $\frac{N(q-p)}{sp^2}>2$, 且当 $t>0$ 很小时有 $f_q(t)>0$, 当 $t\rightarrow +\infty$ 时 $f_q(t)\rightarrow -\infty$. 易知函数 $f_q(t)$ 存在唯一极大值点 $t_5>0$.

定理 1.1 的证明 对任意 $u\in M$, 利用 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (2.1), 可得

取 $t=[u]_{W^{s,p}}^p$, 可得

对任意 $u\in M$, 设 $u_\tau(x)=\tau^{\frac{N}{p}}u(\tau x)$, 通过计算可得

则

由上式可知当 $\tau \rightarrow 0^+$ 时 $I(u_\tau)\rightarrow 0$, 且对所以 $c>0$ 有

进一步设

其中 $\lambda >0$ 将在后面具体给出. 通过计算可知 $u_{\lambda}\in M$. 利用 (1.4) 和 (2.9) 式, 可得

因此

定理 1.1 中 (i) 的证明 由 (2.5) 式和引理 2.2 中的 (i), 存在唯一点 $t_1$ 使得

另一方面, 设 $u_\lambda$ 如 (2.9) 式且 $t_1=c^p\lambda^{sp}$, 即 $\lambda=\left(\frac{t_1}{c^p}\right)^{\frac{1}{sp}}$, 由 (2.10) 式可得 $e(c)\leq I(u_{\lambda})=f_q(t_1)$. 结合 (2.11) 式可得

因此 $ u_{\lambda}=\frac{c}{|U|_{p}}\left(\frac{t_1}{c^p}\right)^{\frac{N}{sp^2}}U \left(\left(\frac{t_1}{c^p}\right)^{\frac{1}{sp}}x\right)$ 是问题 (1.2) 的极小元. 假设 $u_0\in M$ 是问题 (1.2) 的任意极小元. 由 (2.11) 式可得 $ e(c)=I(u_0)\geq f_q(t_0), $ 其中 $ t_{0}=[u_0]_{W^{s,p}}^p$, 第二个等号成立当且仅当 $u_0$ 是 (2.1) 式的最佳达到函数. 由 (2.12) 式可知

由于 $t_1$ 是函数 $f_q(t)$ 的极小值点, 则 $t_0=t_1$. 因此, $f_q(t_{0})=I(u_0)$. 进一步从引理 2.1 的证明可知函数 $u_0$ 具有形式 $u_0(x)=\alpha U(\beta x)$. 由 $\int_{\mathbb{R}^N}|u_{0}|^p{\rm d}x=c^p$, $[u_0]_{W^{s,p}}^p=t_1$ 和 (1.4) 式, 容易计算可得 $\alpha=\frac{c\left(\frac{t_1}{c^p}\right)^{\frac{N}{sp^2}}}{|U|_{p}}$, $\beta=\left(\frac{t_1}{c^p}\right)^{\frac{1}{sp}}$.

定理 1.1 中 (ii) 的证明 此时 (2.5) 式变为

由引理 2.2 中的 (ii), 对 $c\leq c_1=a^{\frac{N}{sp^2}}|U|_p$, (2.13) 式显示 $e(c)=\inf_{u\in M}I(u)\geq f_q(t)>0$. 这与 (2.8) 式矛盾, 因此问题 (1.2) 在 $M$ 上当 $c\leq c_1$ 时不存在极小元. 当 $c>c_1$ 时, 由引理 2.2 中的 (ii), $f_q(t)$ 在唯一点 $t_2=\frac{c^{\frac{sp^2}{N}}-a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}{b|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}$ 存在极小值, 且

设 $u_{\lambda}(x)$ 具有形式 (2.9) 且 $t_2=c^p\lambda^{sp}$, 即 $\lambda=\left[\left(c^{\frac{sp^2}{N}}-a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}\right)\Big/{bc^p|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}\right]^{\frac{1}{sp}}$. 因此 $e(c)\leq I(u_{\lambda})=f_q\left(c^p\lambda^{sp}\right)=f_q(t_2).$ 结合 (2.14) 式可得

是问题 (1.2) 的极小元. 相似情形 (i) 的证明可得所有问题 (1.2) 的极小元 $u_0$ 具有形式

$u_0(x)=\alpha U(\beta x)$, 且 $\alpha=\frac{c}{|U|_p^2}\left[\frac{c^{\frac{sp^2}{N}}-a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}{bc^p}\right]^{\frac{N}{sp^2}},\ \ \beta=\left[\frac{c^{\frac{sp^2}{N}}-a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}{bc^p|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}\right]^{\frac{1}{sp}}.$

定理 1.1 中 (iii) 的证明 相似 (ii) 的证明可知若 $c<c_2$ 问题 (1.2) 不存在非零极小元. 如果 $c\geq c_2$, 由引理 2.2 中 (iii), 相似 (ii) 的证明可得问题 (1.2) 存在一个极小元 $u_\lambda$ 满足

且

定理 1.1 中 (iv) 的证明 若 $q> p+\frac{2sp^2}{N}$ 或 $q=p+\frac{2sp^2}{N}$, $c>c_3$, 由引理 2.2 中 (iv) 和 (v) 可得 $e(c)=-\infty$, 因此问题 (1.2) 不可达. 若 $p=p+\frac{2sp^2}{N}$, $c\leq c_3$, 由引理 2.2 中 (iv) 可得 $e(c)>f_p(t)>0$, 问题 (1.2) 不存在非零极小元.

引理3.1 假设 $q> p+\frac{2sp^2}{N}$ 或 $q=p+\frac{2sp^2}{N}$, $c>c_3$. 存在 $K(c)\in (0,1)$ 使得

在集合 $\Gamma (c)=\{h \in C([0,1];\ M)| h(0) \in A_K(c),\ I(h(1))<0 \}$ 上成立, 其中 $A_K(c)=\{u \in M:[u]_{W^{s,p}}^p\leq K(c)\}$.

证 对任意 $u\in M$ 且 $[u]_{W^{s,p}}^p$ 足够小, 由 (2.5) 式可得

进一步, 对所有 $[u]_{W^{s,p}}^p\leq \frac{2a}{b}$ 有

由 (3.1) 和 (3.2) 式可得当 $[u]_{W^{s,p}}^p\rightarrow 0$ 时, $I(u)\rightarrow 0$, 且当 $K(c)$ 足够小满足 $K(c)\leq \frac{2a}{b}$ 时有

其中 $\partial A_{4K(c)}=\{u \in M:[u]_{W^{s,p}}^p = 4K(c)\}$. 进一步, 对所有 $u\in A_{4K(c)}$, (3.1) 式显示

设 $u_{\lambda}(x)=\frac{c\lambda^{\frac{N}{p}}}{|U|_{p}}U(\lambda x), $ 其中 $\lambda >0$ 是常数. 由上一节可知 $u_{\lambda}\in M$ 且存在 $\lambda_1<\left(\frac{K(c)}{c^p}\right)^{\frac{1}{sp}}$ 使得 $ [u_\lambda]_{W^{s,p}}^p=c^p\lambda_1^{sp}\leq K(c)$. 进一步, 对 $q>p+\frac{2sp^2}{N}$, 当 $\lambda\rightarrow +\infty$ 时有

若 $q=p+\frac{2sp^2}{N}$, 既然 $c>c_3$, 可得当 $\lambda\rightarrow +\infty$ 时

因此, 存在 $\lambda_2>0$ 足够大, 使得 $I(u_{\lambda_2})<0$.

设 $\tilde{h}(t)=u_{(1-t)\lambda_1+t\lambda_2}$. 则 $\tilde{h}(0)=u_{\lambda_1}\in A_{K(c)}$, $\tilde{h}(1)= u_{\lambda_2}$ 且 $I(u_{\lambda_2})<0$. 由此可得 $\tilde{h}(t)\in \Gamma (c)\neq \emptyset$.

对任意 $h(t)\in \Gamma(c)$, 易知 $h(0)\in A_{K(c)}$ 且 $I(h(1))<0$. 由于 $h(t)$ 连续且 (3.3) 式成立, 因此存在 $t_0\in (0,1)$ 使得 $h(t_0)\in \partial A_{4K(c)}$. 进一步有

定理 1.2 当 $q=p+\frac{2sp^2}{N}$, $c>c_3$ 时的证明 由 (2.5) 和 (2.6) 式, 对任意 $\vartheta(r)\in \Gamma(c)$ 可得

且

由引理 2.2 中 (iv) 可知函数 $f_q(t)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的点 $t_4$ 达到极大值且 $f_q(t_4)>0$. 结合 (3.4) 和 (3.5) 式可得

由引理 3.1, 当 $K(c)>0$ 足够小时, 泛函 $I(u)$ 在流形 $M$ 上满足山路几何条件. 取 $K(c)<t_4$, 由 (3.4) 和 (3.6) 式, 有

利用 (3.5) 和 (3.7) 式可以推出

这意味着

相似定理 1.1 中 (i) 的证明, 对 $\lambda >0$, 不妨设 $ u_{\lambda}(x)=\frac{c\lambda^{\frac{N}{p}}}{|U|_{p}}U(\lambda x). $ 通过计算可得 $I(u_{\lambda})=f_q\left(c^p\lambda^{sp}\right).$ 取 $t_4= c^p\lambda^{sp}$, 可得 $\lambda=\left(\frac{t_4}{c^p}\right)^{\frac{1}{sp}}=\bigg(\frac{a}{c^{\frac{2sp^2}{N}}-bc^p|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}\bigg)^{\frac{1}{sp}}|U|_p^{\frac{2p}{N}}.$

取 $g(m)=m^{\frac{N}{sp^2}}u_{\lambda}(m^{\frac{1}{sp}}x)$, 我们可以得到 $I(g(m))=f_q(t_4m)$. 利用引理 2.2 中 (iv), 取 $0<\tilde{t}<t_4$ 足够小使得 $g(\tilde{t}/t_4)\in A_K(c)$ 且 $\hat{t}>t_4$ 使得 $f_p(\hat{t})<0$. 假设 $\tilde{g}(m) = g((1-m)\tilde{t}/t_4+m\hat{t}/t_4)$, 则 $\tilde{g}(0) = g(\tilde{t}/t_4)\in A_K(c)$, $I(\tilde{g}(1))=I(g(\hat{t}/t_4)) = f_q(\hat{t})<0$. 因此 $\tilde{g}\in \Gamma(c)$, $\gamma(c)\leq \max_{m\in [0,1]}I(\tilde{g}(m)) = \max_{m\in [0, 1]}I(g((1-m)\frac{\tilde{t}}{t_4} + m\frac{\hat{t}}{t_4})) = \max_{m\in [0,1]}f_q((1-m)\tilde{t}+m\hat{t}) = f_q(t_4).$ 结合 (3.9) 式可得 $\gamma(c) = f_q(t_4)$. 因此 $u_\lambda=c\bigg(\frac{a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}{c^{\frac{2sp^2}{N}}-bc^p|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}\bigg)^{\frac{N}{sp^2}}U \bigg(\bigg(\frac{a|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}{c^{\frac{2sp^2}{N}}-bc^p|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}\bigg)^{\frac{1}{sp}}x\bigg)$ 是问题 (1.1) 的解.

由于 $t_4$ 是函数 $f_q(t)$ 的极大值点, 因此有

由 $u_\lambda$ 的定义可知 $U(x)=\frac{|U|_p}{c\lambda^{\frac{N}{p}}}u_\lambda(\lambda^{-1}x)$. 结合 (1.3) 式可知函数 $u_\lambda$ 满足方程

结合 (3.10), (3.11) 式和 $\lambda=\left(\frac{t_4}{c^p}\right)^{\frac{1}{sp}}$ 可得函数 $u_\lambda$ 是方程

的解, 其中常数 $\mu=-\frac{2sp-N}{2N}c^{\frac{2sp^2}{N}} \left(\frac{a}{c^{\frac{2sp^2}{N}}-bc^p|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}\right)^2|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}$.

假设 $u$ 是方程 (1.1) 满足 (1.6) 式的解, 则存在 $\mu\in \mathbb{R}$ 使得 $I'(u)=\mu u$, 即

因此可得

利用 Pohozaev 恒等式, 有

由 (3.13) 和 (3.14) 式, 可得

因此

进一步设 $\bar{g}(m)=m^{\frac{N}{sp^2}}u(m^{\frac{1}{sp}}x)$, 有

因此

若 $q=p+\frac{2sp^2}{N}$, 上述公式变为

结合 (3.16) 式可知 $I(\bar{g}(m))$ 在某点存在一个极大值且当 $m\rightarrow \infty$ 时 $I(\bar{g}(m))\rightarrow -\infty$. 进一步, 由 (3.15) 式可知 $I(\bar{g}(m))$ 在 $m=1$ 达到唯一的最大值. 取 $0<\tilde{m}<1<\hat{m}$ 使得 $\bar{g}(\tilde{m})\in A_K(c)$ 且 $I(\bar{g}(m))<0$, 可得 $G(m):=\bar{g}((1-m)\tilde{m}+m\hat{m})\in \Gamma(c)$, $\max_{m\in [0,1]}I(G(m))=I(\bar{u})$. 相似 (3.5) 式的讨论和 (3.8) 式, 可得

进一步, 由 (3.5) 式可知上式等号 "=" 成立当且仅当 $G(m)$ 是 (2.1) 式的极小可达元. 因此对 $\alpha>0$, $u$ 具有形式 $\frac{c\alpha^{\frac{N}{p}}}{|U|_{p}}U(\alpha x)$. 代入等式 $f_q(t_4)=I(u)$, 有 $\alpha=\lambda$, $u=u_\lambda$.

定理 1.2 当 $q> p+\frac{2sp^2}{N}$ 时的证明 相似 $q=p+\frac{2sp^2}{N}$ 的证明, 由引理 2.2 中的 (v), 可知函数 $f_q(t)$ 存在唯一的极大值点 $t_5$, 使得 $ \gamma(c)\geq f_q(t_5). $ 对 $\lambda >0$, 设 $ u_{\lambda}(x)=\frac{c\lambda^{\frac{N}{p}}}{|U|_{p}}U(\lambda x), $ 则 $I(u_{\lambda})=f_q\left(c^p\lambda^{sp}\right).$ 选择 $t_5= c^p\lambda^{sp}$, 有 $\lambda=\left(\frac{t_5}{c^p}\right)^{\frac{1}{sp}}$, $\gamma(c)=f_q(t_5).$ 因此, $u_\lambda=\frac{c}{|U|_p}\left(\frac{t_5}{c^p}\right)^{\frac{N}{sp^2}}U \left(\left(\frac{t_5}{c^p}\right)^{\frac{1}{sp}}x\right)$ 是问题 (1.1) 的解, 进一步可得 $u_\lambda$ 满足

其中 $\mu=-\frac{spq-N(q-p)}{N(q-p)}\frac{\left(c\lambda^{\frac{N}{p}}\right)^{q-p}}{|U|_p^{q-p}}$.

假设 $u_\lambda$ 是方程 (1.1) 具有形式 $u_\lambda=\frac{c\lambda^{\frac{N}{p}}}{|U|_{p}}U(\lambda x)$ 的解. 由 (2.4) 和 (2.5) 式, 可得

由 (3.13) 式有

利用 Pohozaev 恒等式可得

结合 (4.1), (4.2) 和 (4.3) 式, 通过计算可得

(i) 如果 $p<q<p+\frac{sp^2}{N}$: 此时 $sp-\frac{N(q-p)}{p}>0$. 由定理 1.1 中的 (i) 易知 $\lambda>0$. 定义函数 $F(x,y):\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+\mapsto \mathbb{R}$ 为

由 (4.4) 式可知 $F(c,\lambda)=0.$ 进一步,

可知对任意的 $c,\lambda >0$ 有 $F_y(c,\lambda)>0$. 利用隐函数定理, 对所有的 $c>0$, 存在唯一的连续函数 $\lambda(c)$ 使得 $F(c,\lambda(c))=0$. 由 (4.4) 式, 有

这意味着当 $c\rightarrow 0$ 时 $\lambda(c) \rightarrow 0.$ 同时当 $c\rightarrow 0$ 时 $\frac{c^{q-p}}{|U|_p^{q-p}\lambda(c)^{sp-\frac{N(q-p)}{p}}}\rightarrow a.$ 因此存在 $c_0$ 足够小, 使得对任意的 $c\in (0, c_0)$, 有

从而 $\lambda(c)$ 关于 $c>0$ 单调递增. 进而, 结合 (4.5) 和 (4.6) 式, 当 $c\rightarrow 0$ 时有

(ii) 如果 $q=p+\frac{sp^2}{N}$: 由定理 1.1 中 (ii), 有 $\lambda(c)=\left[\frac{c^{\frac{sp^2}{N}}-a|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}{bc^p|U|_p^{\frac{sp^2}{N}}}\right]^{\frac{1}{sp}}$, 由此可知 $\lambda(c)$ 关于 $c$ 单调递减且当 $c\rightarrow \infty$ 时

由 (4.5) 式可得当 $c\rightarrow \infty$ 时 $\frac{\mu}{c^p\lambda(c)^{2sp}}\rightarrow -\frac{spb}{N}.$

(iii) 如果 $p+\frac{sp^2}{N}<q<p+\frac{2sp^2}{N}$: 由定理 1.1 中 (iii) 可得 $\lambda(c)=\left[\frac{2(N(q-p)-sp^2)a}{(2sp^2-N(q-p))bc^p}\right]^{\frac{1}{sp}}$. 由此可知 $\lambda(c)$ 关于 $c$ 单调递减且当 $c\rightarrow \infty$ 时

进一步, 由 (4.5) 式可得当 $c\rightarrow \infty$ 时

(iv) 如果 $q=p+\frac{2sp^2}{N}$: 由定理 1.2 中 (i) 可得 $\lambda(c)=\left(\frac{a|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}{c^{\frac{2sp^2}{N}}-bc^p|U|_p^{\frac{2sp^2}{N}}}\right)^{\frac{1}{sp}}$. 由此可知 $\lambda(c)$ 关于 $c$ 单调递减且当 $c\rightarrow \infty$ 时

通过计算可得

进一步, 由 (4.5) 式可得当 $c\rightarrow \infty$ 时 $\frac{\mu}{\lambda^{sp}}\rightarrow \frac{a[N-2sp]}{2N}.$

(v) 如果 $q>p+\frac{2sp^2}{N}$: 定义函数 $F(x,y):\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+\mapsto \mathbb{R}$ 为

利用定理 1.2 中 (ii), 存在 $t_c=c^p\lambda^{sp}$, 使得 $F(c,t_c)=0.$ 由函数 $F(x,y)$ 的定义, 可推导得

由引理 2.2 的 (v) 可知 $t_c$ 是函数 $f_q(t)$ 的唯一极大值点, 因此 $F_y(c,t_c)<0$. 既然 $q<\frac{Np}{N-sp}$, 易得 $F_x(x,y)<0$. 因此, 利用隐函数定理可知存在连续函数 $t_c=c^p\lambda(c)^{sp}$, 使得 $F(c,\lambda(c))=0$ 且

这意味着函数 $t_c$ 关于 $c$ 单调递减. 结合 $F(c,t_c)=0$ 可得当 $c\rightarrow \infty$ 时

进一步, 当 $c\rightarrow \infty$ 时有