在动力系统的研究中, 最重要的问题之一是在保留所有必要的动力学性质的情况下, 将给定系统化为简单的系统, 例如著名的 Hartman-Grobman 定理^[3],[7],[27]. 为了简化系统, 一种经典的方法是寻找光滑的等价关系以避免动力学性质的丢失^{[30],[31],[34],[36]}. 在通常情况下, 寻找等价关系下的微分同胚类比向量场类更加复杂^[22],[31]. 尽管对于向量场的正规形理论已有丰富的结果^{[2],[9],[10],[12],[14],[15],[26],[28],[29],[39],[40],[20]}, 微分同胚的相应结果却少之又少^{[11],[17],[18],[31],[32]}. 两者正规形理论的关系可参考文献 [4],[17],[38].

对于任意的整数 $k\geq 1$, 令 $H^k$ 为所有系数为实数的 $k$ 阶齐次多项式构成的 $n$ 维向量空间. 考虑一个 $C^r$ 映射$F: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$, 其中 $r\geq 1$. 假设原点是 $F$ 的一个不动点, 那么映射 $F$ 在原点的一个邻域 $\Omega^n\subset \mathbb{R}^n$ 内可以写成

其中 $A\in GL(n,\mathbb{R})$ 并且 $F^k\in H^k$ 对所有 $2\leq k\leq r$ 成立. 根据著名的 Poincaré-Dulac 定理, 任何具有固定线性部分的形式映射在坐标变换下都可以化为共振形式^[3]. 进一步, 如果存在有限共振关系, 则微分同胚的胚芽在形式上是有限确定的. 如果 $F$ 有无限多个共振关系, Ichikawa 定理指出 $F$ 有无限个共振关系是有限确定的当且仅当 $F$ 是 1-共振且它的非线性部分不属于某个无限余维集^[21] (亦可见文献 [6]). 事实上, Takens^[37] 已得到低维 ($\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{R}^2$) 有限确定同胚的完整分类. 对于 $\mathbb{R}^n$, $n\geq 3$, 任等人在最近的工作中考虑所谓的强 1-共振微分同胚的分类^[33]. 关于非强 1-共振和 0-共振情况的更多工作见参考文献 [18],[32].

值得一提的是, 上述关于微分同胚的结果是基于 Poincaré-Dulac 理论, 特别是共振条件的使用, 那么经典正规形理论的主要思想是通过变量替换简化系统 (1.1). 在文献 [11],[17] 中, 作者从代数角度得到经典正规形的进一步简化. 也就是说, 考虑一个近恒同坐标变换

其中 $\varphi^k\in H^k$, $2\leq k\leq r$. 那么转换后的映射 (1.1) 在原点的一个小邻域内变成

这里 $G^k(y)=F^k(y)-[\varphi^k(Ay)-A\varphi^k(y)]$. 进一步, 我们定义线性算子 ${\cal L}^k_A: H^k\to H^k$ 为

设 ${\cal R}^k$ 是 ${\cal L}^k_A$ 在 $H^k$ 中的值域, 而 ${\cal C}^k$ 是 ${\cal R}^k$ 的任意互补子空间, 则 $H^k= {\cal R}^k\oplus {\cal C}^k$.

为了求解 (1.4) 式, 作者^[11]提出了一种计算 ${\cal R}^k$ 的互补子空间基的方法. 另外, 基于经典的 Poincaré-Dulac 定理, 在一维情况下有以下两个有趣的定理^[11].

定理1.1 令 $F(x)=-x+a_rx^{2r+1}+\sum_{j\geq r+1} a_jx^{2j+1} $ 满足 $a_j\in \mathbb{R}$, $a_r\neq 0$, $r\geq 1$ 且 $x\in \Omega^1$. 那么 $F$ 简化至 $N\geq 2r+1$ 阶的形式为 $G(x)=-x+a_r x^{2r+1} +bx^{4r+1}$, 其中 $b\in \mathbb{R}$ 且 $x\in \Omega^1$.

定理1.2 令 $F(x)=x+\sum_{j\geq r} a_j x^j$ 满足 $a_j\in \mathbb{R}$, $a_r\neq 0$, $r\geq 2$ 且 $x\in \Omega^1$. 那么 $F$ 简化至 $N\geq r$ 阶的形式为 $G(x)=x+a_r x^r +bx^{2r-1}$, 其中 $b\in \mathbb{R}$ 且 $x\in \Omega^1$.

显然, 定理 1.1-1.2 给出一维非双曲不动点正规形问题的完整答案, 同时也是非 Poincaré 类型^[31]. 然而, 由于混合类型变量的复杂计算, 高维甚至 2 维的情况仍然未知. 在本文中, 我们继续考虑维度为 2 的情形. 具体地说, 我们将研究以下平面映射 $F: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ 满足 $F(0)=0$, 具有形式

其中 $A=-E$ (或者 $E$).

注意到上述关于系统 (1.5) 的正规形结果都只考虑不动点附近的小邻域,即 $\Omega^n$, $n\geq 1$ (同样可见定理 1.1-1.2). 其主要原因是保证 (1.2) 式中变换的可逆性, 这也意味着此等价关系是局部的. 在本文中, 我们将在第 2 节给出整体共轭的描述. 为了克服计算的复杂性, 我们采用多项式代数理论^{[5],[8],[16],[35]}计算相应代数系统的 Gröbner 基以得到其极小不可约分解, 从而求出映射 $F$ 系数之间的代数关系, 并给出其正规形的精确表达式. 作为应用, 我们的定理也将用于研究迭代根与嵌入流问题.

在给出本节的主要结果之前, 我们首先从等式 (1.3) 中得到以下事实

$\bullet$ 此变换不影响 $F$ 中阶小于等于 $k-1$ 的项.

$\bullet$ 若 $A=E$, 则 $G^k(y)=F^k(y)$. 若 $A=-E$, 则 $G^k(y)=F^k(y)-[(-1)^{i+j}+1]\varphi^k(y)$, 这意味着 $G^k(y)=F^k(y)$ 当 $i+j$ 是奇数, 且 $G^k(y)=F^k(y)-2\varphi^k(y)$ 当 $i+j$ 是偶数.

$\bullet$ 若 $k=2$, 那么 $x=y+\varphi^2(y)$ 且 $ G(x)=Ay+G^2(y)+o(\| y\|^{3}), $ 其中 $G^2(y)=F^2(y)-[\varphi^2(Ay)-A\varphi^2(y)]$.

利用多项式代数理论, 我们得到平面系统 (1.5) 经典正规形理论的简化结果.

定理2.1 对于平面三次映射 (1.5) 式, 存在一个线性可逆映射 $g: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ 可将其转化为一个 3 阶的正规形

如果

(I) 若 $A=E$, 当且仅当以下一个条件满足

(i) $h_{30}\ne0;$

(ii) $h_{30}=0,g_{30}\ne h_{21};$

(iii) $h_{30}=0,g_{30}=h_{21},g_{21}\ne h_{12};$

(iv) $h_{30}=h_{21}=h_{12}=0,g_{21}^2-3g_{30}g_{12}=0,g_{12}^2-3g_{21}g_{03}-3g_{12}h_{03}=0, g_{21}g_{12}-9g_{30}g_{03}-3g_{21}h_{03}=0.$

(II) 若 $A=-E$, 当且仅当以下一个条件满足

(i) $g_{30}=\frac{g_{21}^2g_{12}-3g_{21}g_{03}h_{21} +g_{12}^2h_{21}}{3g_{12}^2},h_{30}= \frac{g_{21}h_{21}}{3g_{12}}, h_{12}= \frac{3g_{03}h_{21}}{g_{12}}, h_{03}=-\frac{3g_{21}g_{12}g_{03} - g_{12}^3 - 9g_{03}^2h_{21}}{3g_{12}^2};$

(ii) $g_{21}=g_{12}=g_{03}=0,h_{30}= -\frac{h_{12}(9g_{30}h_{03} - h_{12}^2)}{27h_{03}^2},h_{21}= \frac{h_{12}^2}{3h_{03}};$

(iii) $g_{21}=g_{12}=g_{03}=h_{12}=h_{03}=0,h_{21}=3g_{30},g_{30}\ne0;$

(iv) $g_{12}=h_{21}=0, g_{21}=h_{12},g_{30}= -\frac{h_{12}h_{03}}{3g_{03}},h_{30}= \frac{h_{12}^2}{9g_{03}},$ 其中 $g_{kl}=\frac{1}{k!l!}\frac{\partial ^{k+1}}{\partial ^k x \partial^l y}F_3^1(x, y)$, $h_{kl}=\frac{1}{k!l!}\frac{\partial ^{k+1}}{\partial ^k x \partial^l y}F_3^2(x, y)$ 且 $F_3=(F_3^1, F_3^2)^T$, $k,l=0,1,2,3$.

证 令线性可逆映射

其中 $a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{R}$. 由于 $a_1b_2-a_2b_1\ne0$, 我们有

当 $A=E$, 通过计算 $g^{-1}\circ F\circ g$ 并且比较等式两边的系数, 我们可得

则该问题转化为求解下述半代数系统 ${\mathbf{SPS}}$

为了解决上述含参数 $u_i\,{\rm s}$ 和 $v_i\,{\rm s}$ 的半代数系统 ${\mathbf{SPS}}$, 我们注意到 $P_{5}$ 中 $a_1$ 的系数为 $h_{30}$, 那么我们有以下两种情形

在情况 (Ia) 中, 根据 $P_i(a_1)$, $i=1,2,3,4,6,7,8$ 和 $P_5(a_1)$ (见文献 [16]) 可知, $\mathcal{I}:=\langle P_1, P_2, \cdots, P_8\rangle$ 的理想可由 $\mathcal{I}':=\langle P_4, P_5\rangle$ 的理想生成. 因此, 通过求解半代数系统 ${\mathbf{SPS}'}$

我们得到定理中的相应结果.

在情况 (Ib) 中, 我们把 $h_{30}= 0$ 代入半代数系统 ${\mathbf{SPS}}$. 根据 $P_{9}$ 的表达式, 系数 $b_1$ 和 $b_2$ 不会同时等于 0, 这意味着我们需要考虑以下三种可能性

事实上, 情况 (Ib3) 的讨论与情况 (I) 类似, 那么我们同样可以得到定理中的条件 (iii)-(iv). 接下来我们考虑情况 (Ib1) 并将 $b_2=0$ 代入 ${\mathbf{SPS}}$, 于是 $h_{21}=h_{12}=0$, 我们也得到一个更为简单的半代数系统 ${\mathbf{SPS}"}$

利用文献 [35],[41] 中的方法解决半代数系统 ${\mathbf{SPS}"}$, 我们只需考虑以下代数系统

其中 $\kappa\in\mathbb{R}$. 基于对 $\mathbb{C}[a_i\,{\rm s},b_i\,{\rm s},u_i\,{\rm s},v_i\,{\rm s},\kappa]$ 上任意项顺序理想 $\mathbf{J}:=\langle Q_1,\cdots,Q_{5},1-\kappa Q_{6}\rangle$ 的简化 Gröbner 基 $G$ 的计算^[5],[8], 我们得出 $G$ 不同于 $\{1\}$ 的结论. 进而, 利用消去定理^[35]消除 $G$ 的 $\kappa, a_1, a_2, b_1$, 得到消去理想 $\mathbf{J}_1$. 然后, 计算 $\mathbf{J}_1$ 对应变量的最小不可约分解, 再由 $g$ 得到定理所示的 $f$ 与 $\varphi$ 之间共轭的条件 (ii). 另外, 将条件 (ii) 代入 ${\mathbf{SPS}"}$ 并求解 $a_1, a_2, b_1$, 我们有

因此, 情况 (Ib2) 的讨论与 (Ib1) 类似, 我们同样可得条件 (ii).

情形 $A\!=\!-E$ 的证明是类似的, 我们省略细节部分. 各种情况的变换可见本文最后的附录.

推论2.1 若 $g_{03} h_{30}>0$, 平面三次映射 (1.5) 在 $A=E$ 的条件下 $C^\infty$ 共轭于定理 2.1 中的映射 $\varphi_1: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$.

推论2.2 定义映射 $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ 为

其中 $g_{30},g_{21},g_{12}\in \mathbb{R}$, 那么 $f$ 是 $C^\infty$ 共轭于定理 2.1 中的映射 $\varphi_2: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$.

进一步, 我们可知

定理2.2 定义映射 $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ 为

其中 $u_{ij},v_{ij}\in \mathbb{R}$, $i,j=0,1,2,3,4$. 那么存在一个可逆映射 $h: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$,

$a_3,a_4,a_5, b_3,b_4,b_5\in \mathbb{R}$ 使得

当且仅当以下一个条件成立

其中映射 $\varphi_3: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ 定义为

这里我们可知, 在条件 (i) 中,

在条件 (ii) 中,

在条件 (iii) 中,

进一步, 从定理 2.2 条件 (i) 的结论可得, 若 $u_{40},v_{04}\neq 0$ 我们有

因此, 我们有下面的推论.

推论2.3 定义映射 $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ 为

其中 $u,v\in \mathbb{R} \backslash \{0\}$, 那么 $f$ 是 $C^\infty$ 共轭于定理 2.2 中的映射 $\varphi_3: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$.

注2.1 定理 2.2 中通过可逆映射 $h$ 共轭于 $\varphi_3$ 的映射 $f$ 不是唯一的. 事实上, 我们可以考虑映射 $f_1: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$,

与 $\varphi_3$ 通过 $h$ 建立共轭关系, 即 $h^{-1}\circ f_1\circ h=\varphi_3$. 通过比较两边的系数, 特别是 $x^3$ (或者 $y^3$) 的系数, 我们得到 $1=0$, 这是一个矛盾. 换句话说, $f_1$ 必须包含一个阶数小于4的非线性项, 以保证其共轭关系.

注2.2 根据定理 2.2 可知映射 $f_2: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$,

与映射 $\varphi_4: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$,

无法通过 $h$ 共轭, 其中 $u_{ij}$ s 和 $v_{ij}$ s 不全为 0. 事实上, 比较等式 $h^{-1}\circ f\circ h=\varphi_4$ 两边对应的系数, 我们可知 $a_3=a_4=a_5=b_3=b_4=b_5=0$, 这意味着所有 $u_{ij}$ s 和 $v_{ij}$ s 都等于 0.

在本文的最后部分, 我们将应用共轭结果研究迭代根和嵌入流问题.

对于一个给定的映射 $F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$, 其 $n$ 次 ($n\in \mathbb{N}$) 迭代根是指寻找一个映射 $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ 满足下述函数方程

其中 $f^n$ 表示 $f$ 的 $n$ 次迭代, 即 $f^n(x,y)=f\circ f^{n-1}(x,y)$ 且 $f^0(x,y)\equiv (x,y)$ 对任意$(x,y)\in \mathbb{R}^2$ 成立.

关于一维映射的迭代根, 特别是连续单调映射的迭代根, 已有大量的结果^{[23], [24]}. 显然, 第二部分和第三部分中定义的映射 $\hat{\varphi}: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$, $\hat{\varphi}(x,y)=(x+x^3,y+y^3)$, $x,y\in \mathbb{R}$, 是关于变量 $x$ 和 $y$ 严格递增的. 那么, 根据定理 15.7^[23] (亦可见定理 11.2.2^[24]) 中关于单变量函数的结果和变量之间的独立性, 映射 $\hat{\varphi}$ 在整个平面上存在任意次的连续迭代根. 因此, 基于第三部分的全局共轭关系, 我们直接得到下列结果.

定理3.1 令映射 $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ 为

其中 $g_{30},g_{21},g_{12},g_{03},h_{30}\in \mathbb{R}$ 且 $g_{03} h_{30}>0$. 那么, $f$ 存在任意次连续的迭代根.

定理3.2 令映射 $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ 为

其中 $u,v\in \mathbb{R}\backslash\{ 0\}$. 那么, $f$ 存在任意次的连续迭代根.

与 $\hat{\varphi}$ 不同, 第二部分和第三部分中的映射 $\tilde{\varphi}: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$, $\tilde{\varphi}(x,y)=(-x+x^3,-y+y^3)$, $x,y\in \mathbb{R}$, 关于每个变量 $x$ 和 $y$ 都是非单调的. 因此, 单调迭代根的相关理论就不再适用^{[23], [24]}. 事实上, 对于一维三次多项式映射, 由于阶数是素数他们不存在任意次的多项式型迭代根. 那么有个问题就很自然产生: 平面三次多项式映射 $\tilde{\varphi}$ 是否存在多项式型迭代根? 这个答案是肯定的, 因为下列映射$\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$,

都是 $\tilde{\varphi}$ 的两次连续迭代根, 即 $\omega_i^2=\tilde{\varphi}$ 对所有 $i=1,2,3,4$ 成立. 尽管每个映射 $\omega_i$ 都是 3 次, 但由于 $\omega_i^3$ 的阶数大于 3, 他们在迭代下都无法保次, 这使得高维多项式迭代根问题变成更加有趣^[13].

另一方面, 我们也对嵌入流问题, 即迭代根问题的推广形式感兴趣. 对于一个给定的原点附近邻域 $\Omega^2$ 上的完整向量场 $\nu$, 我们说自治微分方程 $\dot{x}=\nu(x)$ 确定一个流 $\Phi_{\nu}$, 即对于每一个 $t\in \mathbb{R}$ 映射 $\Phi_{\nu}(t,.)$ 都是 $\Omega^2$ 上的一个微分同胚. 然后, 它的逆问题是: 给定一个微分同胚 $f\in C^r(\Omega^2,\mathbb{R}^2)$, $r\geq 3$, 是否可以找到一个完全向量场 $\nu$ 满足

著名的 Sternberg 线性化定理表明, 如果 $\nu$ 满足某些非共振条件, 等式 (3.2) 必然成立^[22]. 更多关于微分同胚可嵌入流的条件请参考文献 [1],[19],[25].

令

作为引理 2.11^[27]的推广, 我们得到本节的最后一个定理.

定理3.3 令 $f$ 是以下系统

的时间-1 映射, 其中 $X=(x,y)^T\in \Omega^2$ 并且 $a_i\in \mathbb{R}$, $i=1,2,3$. 那么 $f\in {\cal A}$.

证 设 $f^tX$ 为系统 (3.3) 的流, 即

其中

为系统的初始条件.

将 (3.4) 式带入 (3.3) 式, 我们可得

且

将上述两个方程 (3.7)-(3.8) 的两边分别对 $x,y,xy,x^2$ 和 $y^2$ 项进行比较, 我们得到

再利用初始条件 (3.5)-(3.6), 我们有

进一步, 将上述两个方程 (3.7)-(3.8) 的两边对 $xy^2,x^2y, x^3$ 和 $y^3$ 项再进行比较, 我们得到

根据初始条件 (3.5)-(3.6) 可知

因此,

并且 $f\in {\cal A}$.

类似的, 我们同样可得

推论3.1 令 $f$ 为以下系统

的时间-1 映射, 其中 $X=(x,y)^T\in \Omega^2$ 且 $a_i\in \mathbb{R}$, $i=1,2,3$. 那么 $f\in {\cal B}$.

以下是定理 2.1 中第二种情形下的具体变换.

在情况 (Ii) 中,

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是方程

两个不同的实根.

在情况 (Iii) 中,

或

在情况 (Iiii) 中,

其中

且

或

或

或

其中 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 是方程

两个不同的实根, 或

其中 $\varrho_1$ 和 $\varrho_2$ 是方程

两个不同的实根.

在情况 (Iiv) 中,

或

或

其中 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是方程

两个不同的实根.

在情况 (IIi) 中,

且

或

且

或

且

在情况 (IIii) 中,

或

在情况 (IIiii) 中,

在情况 (IIiv) 中,

且

或

且