Orlicz^[1,2] 通过 Orlicz 函数将 Lebesgue 空间推广为 Orlicz 空间, 更进一步, Musielak^[3] 通过 Orlicz 函数推广为现在所称的 Musielak-Orlicz 函数, 将 Orlicz 空间推广为 Musielak-Orlicz 空间. 杨大春, 袁文和卓次强^[4]引入 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间, 并建立 Frazier 和 Jawerth 意义上的 $ \varphi $ 变换特征, 还得到了嵌入和提升性质, 以及这些空间的 Peetre 极大函数, 局部均值, Lusin 面积函数, 光滑原子和分子分解的刻画. 随后梁熠宇, 杨大春和蒋仁进^[5]通过极大函数引入弱 Musielak-Orlicz-Hardy 空间, 然后获得其垂直或非切向极大函数特征, 以及原子, 分子, Lusin 面积函数, Littlewood-Paley $ g$-函数或 $ g^{\ast}_{\lambda}$-函数等特征. Musielak-Orlicz 类函数空间被应用于微分方程中, 参见文献 [6].

另一方面, Grafakos 和贺丹青^[7]引入了弱 Triebel-Lizorkin 空间. 李文昌和徐景实^[8]根据 Peetre 极大函数给出弱 Triebel-Lizorkin 空间的等价拟范数. 作为这些等价拟范数的应用, 给出弱 Triebel-Lizorkin 空间的原子分解. Diening, Hästö 和 Roudenko^[9] 研究具有可变光滑指标, 可变求和指标和可变积分指标的 Triebel-Lizorkin 空间. Almeida 和 Hästö^[10] 引入具有可变光滑指标, 可变积分指标和可变求和指标的 Besov 空间, 并建立它们的 $ \varphi $ 变换, 光滑原子和 Peetre 极大函数的特征以及 Sobolev 型嵌入. 在此基础上, 李文昌和徐景实^[11]引入具有可变积分指标, 可变求和指标和可变光滑指标的弱 Triebel-Lizorkin 空间, 得到它们的 Peetre 极大函数和 $ \varphi $ 变换刻画以及原子和分子分解刻画.

受以上文献的启发, 本文研究具有可变光滑指标的弱 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间. 本文后续如下安排, 在第 2 节中, 首先给出定义和概念, 然后陈述主要结果, 即通过 Peetre 极大函数得到具有可变光滑指标的弱 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间的等价拟范数, 它们的原子和分子分解以及在它们上的 $ \varphi $ 变换的有界性. 第 3 节是一个关键不等式和预备结果. 主要结果的证明推迟到第 4 节.

设 $ S $ 为 $ \mathbb R^n $ 的可测集, $ |S| $ 表示 $ S $ 的 Lebesgue 测度, $ \chi_S $ 是 $ S $ 的特征函数. 如果存在一个常数 $ c>0 $ 使得 $ a\leq cb $, 记为 $ a\lesssim b $; 如果 $ a\lesssim b $ 和 $ b\lesssim a $, 记作 $ a\thickapprox b $. $ \mathscr{S}(\mathbb R^n) $ 表示 Schwartz 空间, 并用$ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 表示它的对偶空间. $ \hat{\varphi} $ 或$ \mathcal{F}{\varphi} $ 表示 $ \varphi $ 的 Fourier 变换, $ \check{\varphi} $ 表示它的逆 Fourier 变换.

设 $ \mathbb{N}_{0}: =\mathbb{N\cup}\{0\} $. 设 $ p(\cdot) $ 是$ \mathbb R^n $ 上实可测函数, 定义 $ p^{-}:={\rm ess}\inf_{x\in\mathbb R^n}p(x) $,

$ p^{+}:={\rm ess}\sup_{x\in\mathbb R^n}p(x) $, 若 $ \Omega $ 为 $ \mathbb R^n $ 的可测集, 则 $ p_{\Omega}^{-}:={\rm ess}\inf_{\Omega}p(x) $,

$ p_{\Omega}^{+}:={\rm ess}\sup_{\Omega}p(x) $. 如果 $ a\in\mathbb R $, 则符号 $ a_{+} $ 表示 $ a $ 的正数部分, 即 $ a_{+}=\max\{0,a\} $.

如果一个函数 $ \Lambda:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty) $ 是非降的, $ \Lambda(0)=0, \Lambda(t)>0, t\in(0,\infty) $ 且 $ \lim_{t\rightarrow\infty}\Lambda(t)$$=\infty $, 则称 $ \Lambda $ 为 Orlicz 函数.

给定一个函数 $ \tau:\mathbb R^n\times[0,\infty)\rightarrow[0,\infty) $, 使得对任意 $ x\in\mathbb R^n, \tau(x,\cdot) $ 是 Orlicz 函数, 对 $ p\in[0,\infty) $, 若存在一个正的常数 $ c $ 使得对所有 $ x\in\mathbb R^n, t\in[0,\infty) $ 和 $ s\in[1,\infty) $ (相应地, $ s\in[0,1] $ ), $ \tau(x,st)\leq cs^{p}\tau(x, t) $, 则函数 $ \tau $ 被称为一致 $ p $ 上型 (相应地, 一致 $ p $ 下型).

设 $ i(\tau):=\sup\{p\in(0,\infty):\tau \mbox{是一致} p \mbox{下型}\} $;

$ I(\tau):=\inf\{p\in(0,\infty):\tau \mbox{是一致} p \mbox{上型}\} $. $ i(\tau) $ 和 $ I(\tau) $ 可能无法达到^[12].

设 $ \tau:\mathbb R^n\times[0,\infty)\rightarrow[0,\infty) $ 满足对所有 $ t\in[0,\infty),x\mapsto\tau(x,t) $ 是可测的.

其中 $ r\in(1,\infty) $ 且 $ 1/r+1/r'=1 $, 则称 $ \tau(\cdot, \cdot) $ 满足一致 Muckenhoupt 条件, 记作$ \tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n) $. 此概念首先出现于文献 [13].

若对所有 $ x\in\mathbb R^n, \tau(x,\cdot): [0,\infty)\rightarrow[0,\infty) $ 是 Orlicz 函数和对所有 $ t\in[0,\infty) $, $ \tau(\cdot,t) $ 是 Lebesgue 可测的, 则称函数 $ \tau:\mathbb R^n\times[0,\infty)\rightarrow[0,\infty) $ 为 Musielak-Orlicz 函数.

对 $ \mathbb R^n $ 中任意可测子集 $ E $ 和 $ t\in[0,\infty) $, 简单地将 $ \int_{E}\tau(x,t){\rm d}x $ 记为 $ \tau(E,t) $.

弱 Musielak-Orlicz 空间 $ WL^{\tau}(\mathbb R^n) $ 定义为满足 $ \sup_{\alpha\in(0,\infty)}\tau\Big(\{x\in\mathbb R^n:|f(x)|>\alpha\},\alpha\Big)<\infty $ 的所有可测函数 $ f $ 组成的空间, 其中

设 $ \omega $ 为 $ \mathbb R^n $ 上的非负局部可积函数, $ p\in(0,\infty) $, 空间 $ L_{\omega}^{p}(\mathbb R^n) $ 定义为满足 $ \|f\|_{L_{\omega}^{p}(\mathbb R^n)}<\infty $ 的所有可测函数 $ f $ 组成的空间, 其中

设 $ E $ 为 $ \mathbb R^n $ 内的任意可测集, $ p\in[1,\infty) $, $ \tau $ 为 Musielak-Orlicz 函数, 空间 $ L^{p}_{\tau}(E) $ 定义为满足$ \|f\|_{L^{p}_{\tau}(E)}<\infty $ 的所有可测函数 $ f $ 的集合, 其中

此空间首见于文献 [14,定义 1.2.2].

设 $ s(\cdot) $ 是 $ \mathbb R^n $ 上的实值可测函数. 若存在常数 $ C_1 $, 使得

则称 $ s(\cdot) $ 局部 $ \log-\rm H\ddot{o}lder $ 连续.

定义 2.1 函数对 $ (\varphi, \Phi) $ 被称作可允许的, 若 $ {\varphi, \Phi}\in{\mathscr{S}(\mathbb R^n)} $ 满足

和

在这种情况下, 对 $ v\in{\mathbb{N}} $, 记 $ \varphi_{v}(x)={2^{vn}}\varphi(2^{v}{x}) $ 及 $ \varphi_{0}: =\Phi $.

定义 2.2 给定数列 $ \{f_{v}\}_{v\in\mathbb N_{0}} $, 定义

定义 2.3 设 $ \varphi_{v}, v\in\mathbb N_{0} $ 满足定义2.1, $ \tau $ 是 Musielak-Orlicz 函数, 弱 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间 $ WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 定义为 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 中满足 $ \|f\|_{WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)}<\infty $ 的全体分布 $ f $ 所组成的空间, 其中

注意到, $ WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 的定义依赖可允许函数对 $ (\varphi, \Phi) $ 的选择, 本文的目标之一是证明在等价拟范数的意义下, 每一对可允许函数所定义空间都一样. 为达到这个目标, 我们利用文献 [15] 中引入的 Peetre 极大函数. 给定一列函数 $ \{\Psi_k\}_{k\in\mathbb{N}_0}\subset\mathscr{S}(\mathbb R^n) $ 及一个正数 $ a $, 对任意 $ f\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^{n}) $, 则与 $ \{\Psi_k\}_{k\in\mathbb{N}_0} $ 相伴的经典 Peetre 极大函数为

记 $ D^{\gamma} $ 表示 $ \frac{\partial^{\gamma_1}}{\partial{x_1}^{\gamma_1}}\cdots\frac{\partial^{\gamma_n}}{\partial {x_n}^{\gamma_n}} $, 其中 $ \gamma=(\gamma_1, \cdots, \gamma_n) $ 及 $ |\gamma|=\sum_{i=1}^{n}\gamma_i $.

定理 2.1 设 $ s(\cdot)\in L^{\infty}(\mathbb R^n) $ 且满足局部 $ \log-\rm H\ddot{o}lder $ 连续, $ q\in(0,\infty] $ 且 $ 0< i(\tau)\leq I(\tau)<\infty $, $ a>0 $ 以及 $ R\in\mathbb{N}_0 $ 满足$ R>\|s(\cdot)\|_{L^{\infty}(\mathbb R^n)} $, 并假设$ \phi_{0},\psi_{0},\phi_{1}, \psi_{1}\in\mathscr{S}(\mathbb R^n) $, 对某个 $ \eta>0 $ 满足

设 $ \psi_{j}(x): =\psi_{1}(2^{-j+1}x), \phi_{j}(x): =\phi_{1}(2^{-j+1}x), x\in\mathbb R^n $,

$ \Psi_j=\check{\psi}_j $ 和 $ \Phi_j=\check{\phi}_j $, $ j\in\mathbb{N}_0 $. 则存在常数 $ c $, 使得

对任意 $ f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 成立.

定理 2.2 设 $ s(\cdot)\in L^{\infty}(\mathbb R^n) $ 且满足局部 $ \log-\rm H\ddot{o}lder $ 连续, $ q\in(1,\infty] $, $ \tau $ 是具有一致 $ p_{\tau}^{-} $ 下型和一致 $ p_{\tau}^{+} $ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, 存在 $ r\in(1,\infty) $ 使得 $ \tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n) $ 且 $ r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty $, $ a>0 $, 以及 $ R\in\mathbb{N}_0 $ 满足 $ R>\|s(\cdot)\|_{L^{\infty}(\mathbb R^n)} $, 并假设 $ \psi_{0}, \psi_{1}\in\mathscr{S}(\mathbb R^n) $, 对某个 $ \eta>0 $ 满足

若 $ j\in\mathbb{N}_0 $, 设 $ \psi_{j}(x): =\psi_{1}(2^{-j+1}x), x\in\mathbb R^n $, $ \Psi_j=\check{\psi}_j $. 如果 $ a>R+n/q $, 则存在常数 $ c $, 使得

对任意 $ f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 成立.

作为上面定理的推论, 我们得到 $ WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 的 Peetre 极大函数的刻画.

推论 2.1 设 $ s(\cdot)\in L^{\infty}(\mathbb R^n) $ 且满足局部 $ \log-\rm H\ddot{o}lder $ 连续, $ q\in(1,\infty] $, $ \tau $ 是具有一致 $ p_{\tau}^{-} $ 下型和一致 $ p_{\tau}^{+} $ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, 存在 $ r\in(1,\infty) $ 使得 $ \tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n) $ 且 $ r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty $,

$ a>0 $, 以及 $ R\in\mathbb{N}_0 $ 满足 $ R>\|s(\cdot)\|_{L^{\infty}(\mathbb R^n)} $, 并假设 $ \psi_{0},\ \psi_{1}\in\mathscr{S}(\mathbb R^n) $, 对某个 $ \eta>0 $ 满足

若 $ j\in\mathbb{N}_0 $, 设 $ \psi_{j}(x):=\psi_{1}(2^{-j+1}x), x\in\mathbb R^n, \Psi_j=\check{\psi}_j $, 如果 $ a>R+n/q $, 则

对任意 $ f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 成立.

定理 2.1 和推论 2.1 说明了在等价拟范数的意义下, 每一对可允许函数所定义的空间都一样.

接下来考虑 $ WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 的 $ \varphi $ 变换刻画. 用 $ Q_{j,k} $ 表示二进方体 $ 2^{-j}([0,1]^{n}+k) $, $ x_{Q_{j,k}}:=2^{-j}k $ 表示其左下角的顶点, $ l(Q_{j,k}) $ 表示其边长. 设 $ \mathcal D $ 为 $ \mathbb R^n $ 中的全体二进方体组成的集合, $ \mathcal D^{+} $ 表示边长不超过 1 的二进方体所组成的集合. 设 $ \mathcal D_{v}=\{Q\in\mathcal D: l(Q)=2^{-v}\} $, 当 $ c>0 $, 我们设 $ cQ $ 表示具有和 $ Q $ 相同中心且其边长为 $ cl(Q) $ 的方体.

给定一可允许函数对 $ (\varphi, \Phi) $, 由文献 [16] 我们可以选择另外一可允许函数对 $ (\psi, \Psi) $, 使得对所有 $ \xi\in \mathbb R^n $,

这里 $ \widetilde{\Phi}(x)=\overline {\Phi(-x)} $, $ \widetilde{\varphi} $ 是类似的表示.

若 $ Q\in\mathcal D_{v}, v\in\mathbb N_{0} $, 记$ \varphi_{Q}(x)=|Q|^{1/2}\varphi_{v}(x-x_{Q}) $, 其中 $ x_{Q} $ 为 $ Q $ 的左下端点. 下文的 $ \psi_{Q} $ 同 $ \varphi_{Q} $. 对任意 $ f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n) $, 定义 $ f $ 的 $ S_{\varphi} $ 变换为 $ {(S_{\varphi}f)}_{Q\in\mathcal D^{+}} $, 其中

$ {(S_{\varphi}f)}_{Q}=\langle f, \varphi_Q\rangle $, 这里 $ \langle, \rangle $ 表示 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 与 $ \mathscr{S}(\mathbb R^n) $ 的对偶. 注意到 $ {(S_{\varphi}f)}_{Q}=|Q|^{1/2}\tilde{\varphi}_v\ast f(x_{Q}), \ l(Q)=2^{-v}\leq1 $. $ S_{\varphi} $ 的逆变换 $ T_{\psi} $ 是将 $ s=\{s_Q\}_{l(Q)\leq1} $ 映射到 $ T_{\psi}=\sum\limits_{l(Q)=1}s_{Q}\Psi_{Q}+\sum\limits_{l(Q)<1}s_{Q}\psi_{Q} $.

对 $ f\in\mathscr{S}'(\mathbb R^n) $, 由文献 [17,引理 2.1],

设 $ s(\cdot) $ 满足局部 $ \log$-$\rm H\ddot{o}lder $ 连续, $ \tau $ 为 Musielak-Orlicz 函数, $ q\in(0,\infty] $, $ p\in[1,\infty) $, 对于一列实数 $ {\{s_Q\}}_{Q\in\mathcal D^{+}} $, 定义

及

空间 $ Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 由全体满足上式小于无穷的点列 $ \{s_Q\}_{Q\in\mathcal D^{+}} $ 组成的集合. 下面的定理说明

是有界算子.

定理 2.3 设 $ s(\cdot) $ 是非负有界局部 $ \log$-$\rm H\ddot{o}lder $ 连续的且在无穷远处存在极限, $ q\in(1,\infty] $, $ \tau $ 是具有一致 $ p_{\tau}^{-} $ 下型和一致 $ p_{\tau}^{+} $ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, 存在 $ r\in(1,\infty) $ 使得 $ \tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n) $ 且 $ r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty $, 则

为了得到 $ WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 的原子分解和分子分解, 我们将利用文献 [9] 中的一些概念, 它们的原始形式出自文献 [16-18].

对 $ v\in\mathbb N_{0}, m\in\mathbb R \ \mbox{和}\ x\in\mathbb R^n $, 记

定义 2.4 设 $ v\in\mathbb N_0,\ Q\in\mathcal D_v,\ k\in\mathbb Z,\ l\in\mathbb N_0 $ 及 $ M\geq n $, 若存在某个 $ m>M $, 函数 $ m_{Q} $ 满足下面的条件

$ ({\rm i})\ \mbox{若} v>0, \mbox{对所有的} |\gamma|\leq k,\ \mbox{则} \int_{\mathbb R^n}x^{\gamma}m_Q(x){\rm d}x=0 $;\\

$ ({\rm ii})\ \mbox{对多重指标} \gamma\in\mathbb N_{0}^{n}\mbox{且}|\gamma|\leq l,\ |D^{\gamma}m_Q(x)|\leq2^{|\gamma|v}|Q|^{\frac{1}{2}}\eta_{v, m}(x+x_Q) $.

则 $ m_Q $ 被称作一个关于 $ Q $ 的 $ (k, l, M)$-光滑分子.

注意到, 若 $ k<0 $, 则 $ (\rm i) $ 显然满足. 当 $ M=n $, 上面的定义是文献 [16] 中分子定义的一种特殊情况. 不同之处在于我们仅考虑 $ k $ 和 $ l $ 为整数, $ l $ 非负的情形.

定义 2.5 设 $ K, L: \mathbb R^n\rightarrow\mathbb R $ 且 $ M>n $, 对每个 $ Q\in\mathcal D^{+} $, 若 $ m_Q $ 是 $ (\lfloor K_{Q}^{-}\rfloor, \lfloor L_{Q}^{-}\rfloor, M)$-光滑分子, 则 $ \{m_Q\}_Q $ 被称作一族 $ (K, L, M)$-光滑分子. 其中 $ K_{Q}^{-} $ 表示 $ K $ 限制在 $ Q $ 上并对其取本性下界, $ L_{Q}^{-} $ 类似.

定义 2.6 若对某些 $ \varepsilon>0 $ 及充分大的常数 $ M $, $ \{m_Q\}_Q $ 是一族 $ (N+\varepsilon, s+1+\varepsilon, M)- $光滑分子, 其中

则称 $ \{m_Q\}_Q $ 为 $ WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 的一列光滑分子. 充分大的 $ M $ 可取为

这里, $ \mathcal C_{\log(s)} $ 表示 $ s $ 的 $ \log$-$\rm H\ddot{o}lder $ 的连续常数.

由于 $ M $ 可以根据参数而固定, 我们通常会从分子的概念中省略它. 注意到 $ \varphi_Q $ 是任意阶连续光滑的分子.

定理 2.4 设 $ s(\cdot), q, \tau $ 满足定理 2.3 一样的条件, $ \{m_Q\}_Q $ 是 $ WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 的一列光滑分子及 $ \{s_Q\}_Q\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $, 则 $ f=\sum\limits_{v\geq0}\sum\limits_{Q\in\mathcal D_v}s_{Q}m_Q $, 即和式在 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 中收敛到 $ f $, 且

由定理 2.3 和定理 2.4, 可得变换 $ S_{\varphi} $ 是 $ WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 到 $ Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 的一个子空间的同构, 即有如下推论.

推论 2.2 设 $ s(\cdot), q, \tau $ 满足定理 2.3 一样的条件, 则对任意 $ f\in WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $,

下面给出原子分解的结果.

定义 2.7 设 $ v\in\mathbb N_0,\ Q\in\mathcal D_v, \ K\in\mathbb Z,\ L\in\mathbb N_0 $ 及 $ M\geq n $, 若存在某个 $ m>M $, 函数 $ a $ 满足下面的条件

$ {\rm(i)}\ {\rm supp}\ a\subset 3Q $;

$ {\rm(ii)}\ \mbox{若} v>0,\ \mbox{对所有的} |\gamma|\leq K,\ \mbox{则} \int_{\mathbb R^n}x^{\gamma}a(x){\rm d}x=0 $;

$ {\rm(iii)}\ \mbox{对多重指标} \gamma\in\mathbb N_{0}^{n} \mbox{且} |\gamma|\leq L,\ |D^{\gamma}a(x)|\leq2^{|\gamma|v}|Q|^{\frac{1}{2}}\eta_{v, m}(x+x_Q) $.

则称 $ a $ 为关于 $ Q $ 的 $ (K, L,M)- $光滑原子, 并记 $ a $ 为 $ a_{Q} $.

显然光滑原子是一个分子.

定理 2.5 设 $ s(\cdot), q, \tau $ 满足定理 2.3 一样的条件, $ f\in WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $. 则存在一列 $ (K,L,M)$-光滑原子 $ \{a_Q\}_Q $ 及一列系数 $ \{t_Q\}_Q $ 使得

所选择的原子能够满足定义 2.7 的条件, 其中的阶数可以任意高. 反之, 若存在一列光滑原子 $ \{a_Q\}_Q $ 使得 $ \{a_{Q}\}_{Q} $ 为 $ WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 的一列光滑分子及 $ \{t_Q\}_Q\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $, 则 $ f=\sum\limits_{Q\in\mathcal D^+}t_{Q}a_{Q} $, 即和式在 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 中收敛到 $ f $, 并且

为给出上节的结果的证明, 需要一些预备结论.

对任意 $ f\in L^{1}_{\rm loc}(\mathbb R^n) $, Hardy-Littlewood 极大函数 $ Mf(x) $ 定义如下

引理 3.1 文献 [5,定理 2.8] 设 $ q\in(1,\infty], \ \tau $ 是具有一致 $ p_{\tau}^{-} $ 下型和一致 $ p_{\tau}^{+} $ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, $ \tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n) $ 且 $ r\in(1,\infty) $, 若 $ r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty $, 则存在正的常数 $ c $, 使得对所有 $ \{f_{v}\}_{v\in\mathbb N_{0} }\in WL^{\tau}(\ell^{q},\mathbb R^n) $ 和 $ \lambda>0 $, 有

由引理 3.1可得如下推论.

推论 3.1 设 $ q\in(1,\infty],\ \tau $ 是具有一致 $ p_{\tau}^{-} $ 下型和一致 $ p_{\tau}^{+} $ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, $ \tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n) $ 且 $ r\in(1,\infty) $, 若 $ r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty $, 则存在正的常数 $ c $, 使得对所有 $ \{f_{v}\}_{v\in\mathbb N_{0} }\in WL^{\tau}(\ell^{q},\mathbb R^n) $ 和 $ \lambda>0 $, 有

推论 3.2 设 $ q\in(1,\infty],\ \tau $ 是具有一致 $ p_{\tau}^{-} $ 下型和一致 $ p_{\tau}^{+} $ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, $ r\in(1,\infty) $ 且 $ \tau\in\mathbb A_{r}(\mathbb R^n) $, 若 $ r< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}<\infty $, 则对任意域 $ \Omega\subset\mathbb R^n $, 存在正的常数 $ c $, 使得对所有支集在 $ \Omega $ 上的 $ \{f_{v}\}_{v\in\mathbb N_{0} }\in WL^{\tau}(\ell^{q},\mathbb R^n) $ 和 $ m>n $, 有

证 对于 $ v\in\mathbb N_0 $, 设 $ g_v=f_v\chi_{\Omega} $, 则由推论 3.1 得

引理 3.2 文献 [引理 2] 设 $ 0< q\leq\infty, \delta>0 $, 对任意非负可测函数序列 $ \{g_{j}\}_{j\in\mathbb N_0} $, 记

则存在常数 $ c=c(q, \delta) $, 使得

引理 3.3 文献 [引理 3] 设 $ s(\cdot) $ 是局部 $ \log-\rm H\ddot{o}lder $ 连续函数且 $ \vartheta\geq\mathcal C_{\log(s)} $, 则存在常数 $ c>0 $, 使得对任意 $ x,y\in\mathbb R^n $, $ v\in\mathbb N_{0} $,

引理 3.4 文献 [9,引理 A.5] 设 $ g,h\in L^{1}_{\rm loc}(\mathbb R^n), k\in\mathbb N_{0} $, 使得对所有的多重指标 $ \gamma $, 当 $ |\gamma|\leq k $ 时, 有 $ D^{\gamma}g\in L^{1}(\mathbb R^n) $. 设存在 $ m_{0}>n $, $ m_{1}>n+k $ 使得 $ |h|\leq\eta_{\mu,m_{1}} $ 且当 $ |\gamma|\leq k $ 时, $ |D^{\gamma}g|\leq2^{vk}\eta_{v,m_{0}} $. 进一步地, 若

则 $ |g\ast h(x)|\leq c2^{k(v-\mu)}\eta_{v,m_{0}}\ast\eta_{\mu,m_{1}-k} $.

定理 2.1 的证明 采用文献 [21,定理 3.6] 的证明方法, 由于 $ s(\cdot) $ 满足文献 [21,引理 2.5] 的条件, 得 $ \{2^{js(\cdot)}\}_{j\in\mathbb N_0}\in W_{\alpha_{1}, \alpha_{2}}^{s} $ (其定义见文献 [21]), 因此将文献 [21,定理 3.6 的证明 (21) 式] 中的 $ w_{k}(x) $ 替换成 $ 2^{ks(x)} $, 得

再由引理 3.2 和 (4.1), 则存在常数 $ c $, 使得

定理 2.2 的证明 由于 $ s(\cdot) $ 满足文献 [21,引理 2.5] 的条件, $ \{2^{js(\cdot)}\}_{j\in\mathbb N_0}\in W_{\alpha_{1}, \alpha_{2}}^{s} $, 类似文献 [21,定理 3.8] 的推导, 将文献 [21,定理 3.8 的证明 (29) 式] 中的 $ w_{v}(x) $ 换成 $ 2^{vs(x)} $, 得到如下逐点估计

由引理 3.2 得

对 (4.2) 利用推论 3.1 得

即得 (2.1).

定理 2.3 的证明 设 $ f\in WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $, 由 (2.1) 则

在 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 中收敛.

让 $ m $ 足够大能用引理 3.3, 则函数 $ \varphi_{v}\ast f $ 满足文献 [9,引理 A.6] 中的条件, 因此

由引理 3.3 和推论 3.1, 得

为了证明定理 2.4 我们需要将 $ \mathbb R^n $ 分成几个部分, 并利用如下引理. 为此我们需要在区域 $ \Omega $ 上定义弱 Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin 空间, 这只需将定义 $ WF_{\tau, q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 和 $ Wf_{\tau, q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $ 中的 $ WL^{\tau}(\mathbb R^n) $ 换成 $ WL^{\tau}(\Omega) $

和

引理 4.1 设函数 $ s(\cdot), q, \tau $ 满足定理 2.3 一样的条件. 设 $ \Omega $ 为一个方体或有限个方体之并的余集并假设 $ \{m_Q\}_{Q}, Q\subset\Omega $, 是一列 $ (-s^{+}+\varepsilon, s^{+}+1+\varepsilon,M)- $光滑分子, 对任意 $ \varepsilon>0 $,

若 $ f=\sum\limits_{v\geq0}\sum\limits_{Q\in\mathcal D_v}s_{Q}m_{Q} $ 在 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 中收敛到 $ f $, 其中当 $ Q\nsubseteq\Omega $ 时, $ s_{Q}\neq0 $. 则 $\|f\|_{WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\Omega)}\leq$$ c\|\{s_Q\}_Q\|_{Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\Omega)}, $ 其中 $ c>0 $ 不依赖于 $ \{s_Q\}_Q $ 和 $ \{m_Q\}_Q $.

证 设 $ m+\mathcal C_{\log(s)}>M $ (见分子的定义), 选取 $ \varepsilon>0,\ k_1>s^{+}+2\varepsilon $ 及$ k_2\geq-s^{-}+2\varepsilon $, 使得 $ \{m_Q\}_Q $ 是 $ (k_2, k_{1}+1, M)- $光滑分子, 定义 $ k(v, \mu): =k_{1}(v-\mu)_{+}+k_{2}(\mu-v)_{+} $ 及 $ \tilde{s}_{Q_{\mu}}: =s_{Q_{\mu}}|Q_{\mu}|^{-\frac{1}{2}} $.

应用引理 3.4 两次: 如果 $ \mu\geq v $, 令 $ g=\varphi_{v}, h(x)= m_{Q_{\mu}}(x-x_{Q_{\mu}}) $ 且 $ k = \lfloor k_{2}\rfloor+1 $; 如果 $ \mu< v $, 令 $ g(x)=m_{Q_\mu}(x-x_{Q_\mu}) $, $ h=\varphi_v $ 且 $ k =\lfloor k_{1}\rfloor+1 $. 由文献 [9,引理 A.2] 得

则

由文献 [9,引理 6.1] 和推论 3.1 得

利用文献 [9,引理 6.3] 证明当中的估计有

$\Big\|\sum_{\mu\geq0}\sum_{Q_{\mu}\in\mathcal D_{\mu}}|\tilde{s}_{Q_{\mu}}|2^{\mu s(\cdot)-2\varepsilon|v-\mu|}\eta_{\mu, m+\mathcal C_{\log(s)}}\ast \chi_{Q_{\mu}}\Big\|_{\ell_{v}^{q}}\leq c\Big\|\eta_{\mu, m}\ast\Big(\sum_{Q_{\mu}\in\mathcal D_{\mu}}2^{\mu s(\cdot)}|\tilde{s}_{Q_{\mu}}| \chi_{Q_{\mu}}\Big)\Big\|_{\ell_{v}^{q}}.$

因此

再由推论 3.1 得

引理得证.

引理 4.2 设函数 $ s(\cdot),q,\tau $ 满足定理 2.3 的条件, 假设 $ \{m_Q\}_Q $ 是一列 $ (K,L,M)$-光滑分子及 $ \{s_Q\}_{Q}\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $. 若 $ f=\sum\limits_{v\geq0}\sum \limits_{Q\in\mathcal D_v}s_{Q}m_{Q} $ 即和式在 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 中收敛到 $ f $, 则

证 我们采用文献 [9,命题 6.2] 的证明方法. 设 $ m+\mathcal C_{\log(s)}>M $ (见分子的定义), 存在 $ \varepsilon>0 $ 使得分子 $ m_Q $ 是 $ (N+4\varepsilon, s+1+3\varepsilon, M)$-光滑的, 由 $ s(\cdot) $ 的一致连续性, 选取 $ \mu_{0}\geq0 $ 使得 $ N_{Q}^{-}>-s_{Q}^{-}-\varepsilon $ 及 $ s_{Q}^{-}>s_{Q}^{+}-\varepsilon $ 对任意长度为 $ \mu_{0} $ 的方体 $ Q $ 成立. 注意到若 $ Q_0 $ 是一个长度为 $ \mu_{0} $ 的方体, $ Q\subset Q_0 $ 是另外一个方体, 则 $N_{Q}^{-}\geq N_{Q_{0}}^{-}>-s_{Q_0}^{-}-\varepsilon\geq -s_{Q}^{-}-\varepsilon. $ 同理可得 $ s_{Q}^{-}>s_{Q}^{+}-\varepsilon $. 因此当 $ Q $ 的边长不超过 $ \mu_{0} $ 时, 可知 $ m_Q $ 是 $ (-s_{Q}^{-}+3\varepsilon, s_{Q}^{+}+1+2\varepsilon, M)$-光滑的.

由于 $ s(\cdot) $ 在无穷远处存在极限, 所以存在紧集 $ K\subset\mathbb R^n $, 使 $ N_{\mathbb R^n\backslash K}^{-}>-s_{\mathbb R^n\backslash K}^{-}-\varepsilon $ 及 $ s_{\mathbb R^n\backslash K}^{-}>s_{\mathbb R^n\backslash K}^{+}-\varepsilon $. 将边长为 $ \mu_{0} $ 且与 $ K $ 相交的方体排成一列记为 $ \Omega_{i}, i=1, \cdots, L $, 并且定义 $ \Omega_{0}: =\mathbb R^n \backslash\bigcup_{i=1}^{L}\Omega_{i} $.

对任意整数 $ i\in[L] $, 记 $ k_{i}: =-s_{\Omega_i}^{-}+2\varepsilon $ 及 $ K_i: =s_{\Omega_i}^{+}+2\varepsilon $. 则当 $ Q $ 的边长不超过 $ \mu_{0} $ 时, $ m_Q $ 是一个 $ (k_i, K_{i}+\varepsilon,M)$-光滑分子. 令 $ k_{i}(v-\mu): =K_{i}(v-\mu)_{+}+k_{i}(v-\mu)_{+} $ 及 $ \tilde{s}_{Q_{\mu}}: =s_{Q_{\mu}}|Q_{\mu}|^{-1/2} $. 由常数 $ k_i $ 和 $ K_i $ 的选取可知对每个集合 $ \Omega_i $, 利用引理 4.1 的结论, 因此

再由引理 4.1, 最后一个和式中的每一项都可被 $ \|\{s_Q\}_Q\|_{Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)} $ 控制, 因此

因此只需考虑右边的第一项. 由引理 4.1 证明过程可知, 对分子光滑性的假设仅是为了得到文献 [9,估计式 (6.4)]. 而现在我们有以下替换

当 $ \mu\leq\mu_{0} $ 及 $ v\geq0 $ 时, 然而 $ 2^{(\mu-v)_{+}}\leq2^{\mu_0} $, 即该式右边为常数, 作此修改之后由引理 4.1 的证明可得结果.

引理 4.3 设 $ s(\cdot), q, \tau $ 满足定理 2.3 的条件, $ 1\leq p<\infty $, 则对所有的 $ t\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p}(\mathbb R^n) $

此外 $ T_{\psi}t:f_{\tau,q}^{s(\cdot),p}(\mathbb R^n)\rightarrow \mathscr{S}'(\mathbb R^n) \mbox{是连续的} $.

证 只要证明存在一个 $ M\in \mathbb N $, 使得对所有 $ t\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p}(\mathbb R^n) $ 和 $ h\in\mathscr{S}(\mathbb R^n) $,

其中 $ \|h\|_{\mathscr{S}_{M}(\mathbb R^n)}=\sup\limits_{|\gamma|< M}\sup\limits_{x\in\mathbb R^n}|\partial^{r}h(x)|(1+|x|)^{n+M+\gamma} $.

对于任意的 $ Q\in\mathcal D_v $,

则

对 $ I_1 $, 由于 $ \Psi\in\mathscr{S}(\mathbb R^n) $, 对充分大的 $ M $ 有

对 $ I_2 $, 由文献 [22,引理 2.4]

从而当 $ M $ 足够大时有 $|\langle T_{\psi}t,h\rangle|\lesssim\|t\|_{f_{\tau,q}^{s(\cdot),p}(\mathbb R^n)}\|h\|_{\mathscr{S}_{M}(\mathbb R^n)}. $ 因此, $ T_{\psi}t $ 属于 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 且 $ T_{\psi} $ 是连续的.

引理 4.4 设 $ \{\gamma_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n) $, $ \tau $ 是具有一致 $ p_{\tau}^{-} $ 下型和一致 $ p_{\tau}^{+} $ 上型的 Musielak-Orlicz 函数, 当 $ 1< p_{1}< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}< p_{2}<\infty $ 时, 则 $ \{\gamma_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}=\{\xi_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}+\{\eta_{j,m}\}_{j\in \mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n} $ 并且 $ \{\eta_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^ {s(\cdot),p_1}(\mathbb R^n) $ 及 $ \{\xi_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_{2}}(\mathbb R^n) $. 因此由引理 4.3, $ \sum\limits_{v\geq0}\sum\limits_{Q\in\mathcal D_v}s_{Q}m_{Q} $ 在 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 中收敛.

为了证明引理 4.4, 需要如下引理.

引理 4.5 若 $ g\in WL^{\tau}(\mathbb R^n) $, $ 1< p_{1}< p_{\tau}^{-}\leq p_{\tau}^{+}< p_{2}<\infty,$$ \alpha\in(0,\infty) $, 则有\linebreak $ g\chi_{\{x\in\mathbb R^n: |g(x)|>\alpha\}}$$\in L^{p_1}_{\tau}(\mathbb R^n) $ 及 $ g\chi_{\{x\in\mathbb R^n: |g(x)|\leq\alpha\}}\in L^{p_2}_{\tau}(\mathbb R^n) $.

证 采用文献 [5,定理 2.5] 的证明方法, 记

同理,

综上可得, $ g\chi_{\{x\in\mathbb R^n: |g(x)|>\alpha\}}\in L^{p_1}_{\tau}(\mathbb R^n) $ 及 $ g\chi_{\{x\in\mathbb R^n: |g(x)|\leq\alpha\}}\in L^{p_2}_{\tau}(\mathbb R^n) $.

引理 4.4 的证明 定义

及

其中 $ j\in\mathbb N_0 $ 及 $ m\in\mathbb Z^n $. 由定义可知,

下面, 我们证明 $ \{\eta_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_1}(\mathbb R^n) $ 及 $ \{\xi_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_2}(\mathbb R^n) $.

(i) 定义 $ \Gamma_1: =\{(j, m)\in\mathbb N_0 \times \mathbb Z^n: \eta_{j,m}=\gamma_{j,m}\neq0 $ \}, 则

因此由引理 4.5,

即 $ \{\eta_{j,m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_1}(\mathbb R^n) $. \\

(ii) 定义 $ \Gamma_2: =\Gamma_{1}^{c} $, 则

从而

对任意 $ x\in\mathbb R^n $, 若 $ g(x)\leq\alpha $, 由 $ \Gamma_2 $ 的定义, 容易看出

若 $ x\in\bigcup_{(j, m)\in\Gamma_2}Q_{j,m}\backslash\{x: g(x)\leq\alpha\} $, 则 $ g(x)>\alpha $ 并且存在一列 $ \{Q_{j,m_{j}}\}_{j=0}^{\infty} $ 满足 $x\in Q_{j,m_{j}}\,\mbox{及}$$Q_{j,m_{j}}\supseteq Q_{j+1, m_{j+1}}, $ 且存在 $ N\in\mathbb N $, 使得当 $ j>N $, $\inf_{y\in Q_{j,m_{j}}}g(y)>\alpha\,\mbox{及}\, \inf_{y\in Q_{i,m_{i}}}g(y)\leq\alpha,$$ 0\leq i\leq N, $ 由 $ \xi_{j,m} $ 的定义, 当 $ j\geq N+1 $ 时, 有 $ \xi_{j,m}=0 $. 因此

其中用了如下事实, 对 $ y\in Q_{N,m_{N}} $

综合 (4.4) 和 (4.5}) 式即得 (4.3) 式.

显然, $ \bigcup_{(j, m)\in\Gamma_2}Q_{j, m}\backslash\{x: g(x)\leq\alpha\} $ 具有有限测度因为 $ g\in WL^{\tau}(\mathbb R^n) $. 因此由引理 4.5

即 $ \{\xi_{j, m}\}_{j\in\mathbb N_0, m\in\mathbb Z^n}\in f_{\tau,q}^{s(\cdot),p_2}(\mathbb R^n) $.

定理 2.4 的证明 可由引理 4.2 和引理 4.4 得.

最后, 我们给出 定理 2.5 的证明

主要基于文献 [9,定理 3.11] 的证明方法, 定义常数 $ K:=\varepsilon $ 及 $ L:=s^{+}+1+\varepsilon $.构造与定义 2.7 中一样的 $ (K, L, M)- $光滑原子 $ \{a_Q\}_{Q\in\mathcal D_v} $.

设 $ f\in Wf_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n), \varphi_{Q}, \psi_{Q} $ 如定义2.1, 将 $ f $ 表示成 $ f=\sum_{Q\in\mathcal D^{+}}t_{Q}\varphi_{Q} $ 其中求和是在 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 意义下, $ t_{Q}=\langle f, \psi_{Q}\rangle $. 接着对 $ Q=Q_{v,k}, v\in\mathbb{N}_0 $ 及 $ k\in\mathbb{N}^n $, 定义

对这些点列 $ t^{\ast}_Q $, 由文献 [16], $ f=\sum_{Q}t^{\ast}_Q a_Q $, 收敛是在 $ \mathscr{S}'(\mathbb R^n) $ 意义下, 其中 $ a_{Q} $ 都是原子.

对 $ v\in\mathbb N_{0} $, 定义 $ T_{v}: =\sum_{Q\in\mathcal D_{v}}t_{Q}\chi_{Q} $. 由定义, $ t^{\ast} $ 是 $ T_v $ 和 $ \eta_{v, m} $ 的离散卷积, 换成连续型的, 有 $ t^{\ast}_{Q_{v,k}}\approx(\eta_{v, m}\ast|T_v|)(x),\ x\in Q_{v,k} $, 由此逐点估计得

由引理 3.3 和定理 2.1 得

由于 $ f=\sum_{Q}t^{\ast}_{Q}\varphi_Q $, 定理 2.3 说明最后一式可被常数倍的 $ \|f\|_{WF_{\tau,q}^{s(\cdot)}(\mathbb R^n)} $ 控制.

下证另一个方向, 由定理 2.4 可得

因为原子都是分子.