微分算子是线性算子中有着深刻应用背景的一类无界线性算子, 数学物理及其它应用科学中许多问题都可归结为确定微分算子的特征值和特征函数的问题. 关于对称微分算子及具有转移条件的对称微分算子理论已得到比较完善的结果. 近年来, 学者们还对边界条件含有谱参数的对称微分算子问题进行了研究, 也得到了一系列研究成果. 2005 年, Mukhtarov 和 Kadakal 研究了边界条件含有特征参数且内部具有不连续性 (即具有转移条件) 的二阶微分算子问题, 得到了特征值和特征函数的估计式, 格林函数以及特征函数系的完备性^[1]. 2007 年, Akdoğan 将经典的正则二阶 Sturm-Liouville 问题推广到边界条件含有谱参数的情形, 给出了算子的格林函数和预解算子以及格林函数的渐近式^[2]. 2015 年, 李昆和郑召文考虑了一类具有转移条件且边界条件含有谱参数的二阶微分算子, 证明了算子的自伴性, 给出了特征值和特征函数的性质以及渐近估计式, 讨论了特征函数系的完备性, 并且得到了问题的格林函数和预解算子^[3]. 随后, 2017 年, 张新艳将上述问题推广到了四阶情形^[4]. 2022 年, Cai 和 Li 等人研究了有限区间上具有两个不连续点且边界条件含有特征参数的二阶微分算子, 证明了算子的自伴性, 给出了特征值和特征函数的渐近式, 并讨论了这类问题的格林函数^[5].

对于非对称微分算子的研究, 近年来, 特别是有限区间上具有转移条件的非对称 Sturm-Liouville 算子的逆谱问题得到了广泛关注. Neamaty 和 Khalili, Manafov 分别于 2014 年和 2016 年研究了当特征值是单重时, 有限区间上具有转移条件的非对称微分算子的唯一性问题^[6,7]. 2019 年, Liu 和 Shi 等人考虑了具有多重特征值的不连续的非对称 Sturm-Liouville 算子特征函数的渐近性及逆问题^[8]. 2024 年, 郑召文和李昆等考虑了边界条件含有谱参数的非对称不连续 Sturm-Liouville 逆问题, 给出了基本解的渐近估计, 进而得到了势函数, 边界条件参数和转移条件系数的重构算法^[9].

$J$-对称微分算子是一类特殊的并且具有广泛应用背景的非对称微分算子, 特别是在原子核物理, 电磁场理论以及非均匀介质中的无线电波的传播等应用问题中, $J$-对称微分算子扮演着非常重要的角色. 1957 年, Glazman 最先提出了 $J$-对称算子和 $J$-自伴算子的概念^[10]. 关于 $J$-对称微分算子的 $J$-自伴扩张问题, 1963 年, Galindo 给出了任意 $J$-对称微分算子都有 $J$-自伴扩张的证明^[11]. 1959 年, Zhikhar 在 $J$-对称微分算子正则域非空的情况下给出了它的部分特殊 $J$-自伴扩张域的描述^[12], 1981 年, Knowles 在正则域非空的条件下给出了 Hilbert 空间中闭的 $J$-对称微分算子的所有 $J$-自伴扩张域的解析描述^[13]. 1985 年, Race 在 Zhikhar 和 Knowles 等人工作的基础上, 取消了正则域非空这一条件的限制, 给出了 $J$-自伴域描述的更一般形式^[14]. 随后, 许多学者对 $J$-对称微分算子的 $J$-自伴扩张问题进行了推广^[15-18]. 另外, 关于 $J$-对称微分算子其他方面的研究, 包括谱的离散性, 特征值和特征函数的渐近式, 格林函数及预解算子等也有一些基础性的工作^[19]. 以上关于 $J$-对称微分算子的研究中, 谱参数只出现在微分方程中, 其实还可以出现在边界条件和转移条件中. 然而, 就目前而言, 边界条件中含有谱参数且具有转移条件的 $J$-对称微分算子的研究尚少.

于是, 受到边界条件含有谱参数的对称微分算子研究成果的启发, 结合非对称微分算子和 $J$-对称微分算子的研究现状, 我们考虑一类边界条件含有特征参数且具有耦合转移条件的二阶复系数微分算子. 首先, 通过建立一个与转移条件相关联的 Hilbert 空间 $H$, 并在 $H$ 中给出与问题相关的算子, 来研究其 $J$-自伴性. 其次, 根据边界条件和转移条件构造微分方程的两个基本解, 给出特征值的存在性条件以及基本解的渐近式. 最后, 给出了算子的格林函数和预解算子以及格林函数的渐近式.

考虑二阶复系数微分方程

具有特征参数的边界条件为

转移条件为

其中, $I=[a,c)\cup(c,b],\ q(x)$ 是在 $[a,c)$ 和 $(c,b]$ 上连续的复值函数, $\lambda\in \mathbb{C}$ 是特征参数, $\theta\,\alpha_{i}\,\alpha_{i}',\ \beta_{i},\ \beta_{i}'\in\mathbb{R},\ \gamma_{j}\in \mathbb{C} (i=1,2,\ j=1,2,3,4)$ 都是实数, 且假定

定义 2.1 设 $H$ 是可分的 Hilbert 空间, $(\cdot,\cdot)$ 表示 $H$ 上的内积, $C$ 是定义在 $H$ 上的算子. 如果对于任意的 $\alpha,\ \beta\in \mathbb{C}$ 以及任意的 $x,\ y\in H$,

则称 $C$ 是定义在 $H$ 上的半线性算子; 若 $C^{2}=I$, 则称 $C$ 是幂等的; 若 $\forall x,y \in H,\ (x,y)=(Cy,Cx)$, 则 $C$ 是等距的. Hilbert 空间 $H$ 上幂等的等距半线性算子称为 $C$-算子.

定义 2.2 设 $T$ 是可分 Hilbert 空间 $H$ 上的闭稠定线性算子, $C$ 是 $H$ 上的 $C$-算子, 若

也就是 $T\subset CT^{*}C$, 则称 $T$ 是 $C$-对称算子. 若 $T=CT^{*}C$, 则称 $T$ 是 $C$-自伴算子.

定义 2.3 设 $H$ 是可分的 Hilbert 空间, $C$ 是 $H$ 上的 $C$-算子, $T$ 是 $C$-对称算子, $(\cdot,\cdot)$ 表示空间 $H$ 上的内积, $[\cdot,\cdot]$ 表示 $H$ 上的双线性型

如果 $[x,y]=(x,Cy)=0$, 则称 $x$ 与 $y$ 在 $[\cdot,\cdot]$ 下是正交的或 $C$-正交的.

定义 2.4 设 $J$ 是定义在 Hilbert 空间 $H$ 上的映射, 满足

由定义 2.4 可知, $J$ 是一个共轭线性的保范双射, 通常作用于 $L^2$ 的取复数共轭的算子就是一个这样的算子.

定义 2.5 设 $T$ 是定义在 Hilbert 空间 $H$ 上的稠定线性算子, 若

则称 $T$ 是 $J$-对称算子 ($C$-对称算子). 由于 $J$ 相当于函数取共轭的运算, 故 (2.6) 式亦可表示为

引理 2.1^[19]$T$ 是 $J$-对称算子的充要条件是

定义 2.6 如果

则称 $T$ 是 $J$-自伴算子 ($C$-自伴算子).

注 2.1^[19]$C$-对称和 $C$-自伴有时也称为 $J$-对称和 $J$-自伴, 但在 Krein 空间中 $C$-自伴与 $J$-自伴是不相同的.

定义 2.7 令复系数微分算式 $ly:\ =-y''+q(x)y$, 由微分算式 $ly$ 生成的最大算子 $T_M$ 的定义为

其中, $D_{M}$ 称为 $ly$ 的最大算子域.

引理 2.2^[20] (Naimark补缀引理) 对任意的复数组 $\xi_{1},\ \xi_{2},\ \xi_{3},\ \xi_{4}$ 及 $\eta_{1},\ \eta_{2},\ \eta_{3},\ \eta_{4}$, 存在 $y\in D_{M}$, 满足

定义 2.8 若函数 $u\in D_{M}$, 则 $u,u'$ 在 $a$ 点是连续的, 即

存在且有限, 则微分方程 (2.1) 在端点 $a$ 是正则的, 类似可以定义 $b$ 点是正则的.

用 $L^{2}(I)$ 表示区间 $I$ 上平方可积的复值可测函数全体组成的空间. 在此空间中定义内积

易知 $H_{1}=(L^{2}(I),<\textbf{.},\textbf{.}>_{1})$ 是 Hilbert 空间.在直和空间 $\mathcal H=H_{1}\bigoplus \mathbb{C} \bigoplus \mathbb{C} $ 中定义内积

则 $\mathcal H$ 是 Hilbert 空间. 其中

在 Hilbert 空间 $\mathcal H$ 中定义算子 $A$ 如下

其中

为简便,令

即 $F=(f,R_{1}(f),S_{1}(f)), AF=(lf,R_{2}(f),-S_{2}(f))=(\lambda f,\lambda R_{1}(f),\lambda S_{1}(f))=\lambda F$.

于是我们可以通过在 $\mathcal H$ 中考虑算子方程 $AF=\lambda F$ 来研究问题 (2.1)-(2.5).

引理 3.1 边值问题 (2.1)-(2.5) 的特征值与 $A$ 的特征值相同, 特征函数是算子 $A$ 的相应向量特征函数的第一个分量.

引理 3.2 算子 $A$ 的定义域 $D(A)$ 在 $\mathcal H$ 中是稠密的.

证 设 $F=(f(x),f_{1},f_{2})\in \mathcal H$, 且 $F\perp D(A),$ 令 $\widetilde{C_{0}^{\infty }}$ 表示下列函数的集合

其中 $\varphi_{1}(x)\in{C_{0}^{\infty }}[a,c),\varphi_{2}(x)\in{C_{0}^{\infty }}(c,b]$. 于是 $C_{0}^{\infty }\bigoplus0\bigoplus0\subset D(A),0\in \mathbb{C}.$ 设 $U=(u(x),0,0)\in\widetilde{C_{0}^{\infty }}\bigoplus0\bigoplus0,$ 则 $F\perp U.$ 由

知 $f(x)$ 在 $H_{1}$ 中正交于 $\widetilde{C_{0}^{\infty }}$, 故 $f(x)$ 为零. 设 $G(x)=(g(x),g_{1},0)\in\widetilde{C_{0}^{\infty }}\bigoplus0\ (\widetilde{C_{0}^{\infty }}\bigoplus0\subset\widetilde{C_{0}^{\infty }}\bigoplus0\bigoplus0)$, 则 $< F,G>=< f,g>_{1}+ \frac{{\rm e}^{2{\rm i}\theta}\rho_{3}}{\rho_{1}}f_{1}\overline{g_{1}}=0,$ 由于 $g_{1}$ 是任意选取的,故 $f_{1}=0.$ 又设 $G(x)=(g(x),0,g_{2})\in\widetilde{C_{0}^{\infty }}\bigoplus0\ $, 则 $< F,G>=< F,g>_{1}+ \frac{1}{\rho_{2}}f_{2}\overline{g_{2}}=0,$ 由于 $g_{2}$ 是任意选取的, 故 $f_{2}=0.$ 于是 $F=(0,0,0),$ 从而证得 $D(A)$ 在 $\mathcal H$ 中是稠密的.

定理 3.1 算子 $A$ 是 $J$-自伴算子.

证$\forall F, G\in D(A),$ 由分部积分得

其中 $[f,g](x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)$.

由 (2.7), (2.8) 式可得

由转移条件 (2.4), (2.5) 可得

综上有 $< AF,JG>=< F,JAG>$, 故算子 $A$ 是 $J$-对称算子.

下面证明: 若对任何 $F=(f,R_{1}(f),S_{1}(f))\in D(A)$, 有 $< AF,JW>=< F,U>$ 成立, 则 $W\in D(A)$ 且 $JAW=U$, 其中 $W=(w(x),m_{1},m_{2}),\ U=(u(x),n_{1},n_{2})$, 即

(ⅰ) $w(x),w'(x)\in AC_{loc}(I),lw\in H_{1}$;

(ⅱ) $m_{1}=R_{1}(w)=\alpha_{1}'w(a)-\alpha_{2}'w'(a),m_{2}=S_{1}(w)=\beta_{1}'w(b)-\beta_{2}'w'(b)$;

(ⅲ) $l_{3}w=l_{4}w=0$;

(ⅳ) $u(x)=Jlw$;

(ⅴ)$n_{1}=JR_{2}(w)=J(\alpha_{1}w(a)-\alpha_{2}w'(a)), n_{2}=-JS_{2}(w)=-J(\beta_{1}w(b)-\beta_{2}w'(b))$.

对 $\forall F\in\widetilde{C_{0}^{\infty }}\bigoplus0\bigoplus0\in D(A)$, 由 $< AF,JW>=< F,U>$ 得

即 $< lf,Jw>_{1}=< F,u>_{1}$. 根据标准的 Sturm-Liouville 理论, (ⅰ) 和 (ⅳ) 成立.

由方程 $< AF,JW>=< F,U>$ 及 (ⅳ) 可得

另一方面, 由分部积分得

因此

由补缀引理, 存在函数 $f\in D(A)$, 使得

则由 (3.1) 式有

继续应用补缀引理, 存在函数 $f\in D(A)$, 使得

将 (3.2) 式代入 (3.1) 式中得

于是, (ⅱ) 成立. 类似地, 可以得到 (ⅴ)).

再由补缀引理, 存在函数 $f\in D(A)$, 使得

则有$w(c+)={\rm e}^{{\rm i}\theta}(\gamma_{1}w(c-)+\gamma_{2}w'(c-)).$

因此, $l_{3}w=0$ 成立. 同理可证 $l_{4}w=0$.

综上, 算子 $A$ 是 $J$-自伴算子.

推论 3.1 若 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 是问题 (2.1)-(2.5) 的两个不同的特征值, 则相应的特征函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在如下意义下是 $C$-正交的

这一部分, 我们将考虑微分方程 (2.1) 的基本解和基本解的渐近式.

首先, 构造 (2.1) 的两个基本解. 由文献 [21,定理 2.1.1] 知, 对于每个 $\lambda\in \mathbb{C} $, 初值问题

有唯一解 $\phi_{1}(x,\lambda)$, 且对每个固定的 $x\in[a,c), \phi_{1}(x,\lambda)$ 是关于 $\lambda$ 的整函数. 设$\phi_{2}(x,\lambda)$ 为如下初值问题的解,

则对每个固定的$x \in(c, b], \phi_{2}(x, \lambda)$是关于 $\lambda$ 的整函数. 令 $\phi(x,\lambda)$ 为

则 $\phi(x,\lambda)$ 是方程 (2.1) 满足边界条件 (2.2) 及转移条件 (2.4), (2.5) 的解.

用类似的方法定义方程 (2.1) 的解 $\chi(x,\lambda)$, 设 $\chi_{2}(x,\lambda)$ 为下列初值问题的解,

则对每个固定的 $x\in(c,b],\ \chi_{2}(x,\lambda)$ 是关于 $\lambda$ 的整函数. 又设 $\chi_{1}(x,\lambda)$ 为如下初值问题的解,

则对于每个固定的$x\in[a,c),\ \chi_{1}(x,\lambda)$ 是关于$\lambda$ 的整函数. 令 $\chi(x,\lambda)$ 为

则 $\chi(x,\lambda)$ 是方程 (2.1) 满足边界条件 (2.3) 及转移条件(2.4), (2.5) 的解.

令 $\omega_{j}(\lambda):=W(\phi_{j}(x,\lambda),\chi_{j}(x,\lambda))=\phi_{j}(x,\lambda)\chi_{j}'(x,\lambda)-\phi_{j}'(x,\lambda)\chi_{j}(x,\lambda)(j=1,2)$ 为解 $\phi_{j}(x,\lambda)$, $\chi_{j}(x,\lambda)$ 的 Wronski 行列式, 则有如下引理.

引理 4.1 对于任意的 $\lambda\in \mathbb{C} $, 等式 $\omega_{2}(\lambda)={\rm e}^{2{\rm i}\theta}\rho_{3}\omega_{1}(\lambda)$ 成立.

证 因为解 $\phi_{j}(x,\lambda),\ \chi_{j}(x,\lambda)$ 的 Wronski 行列式 $\omega_{j}(\lambda)=W(\phi_{j}(x,\lambda),\chi_{j}(x,\lambda))(j=1,2)$ 不依赖于变量 $x$, 由 (4.2) 和 (4.4) 式得

令 $\omega(\lambda)=\omega_{2}(\lambda)={\rm e}^{2{\rm i}\theta}\rho_{3}\omega_{1}(\lambda)$, 则 $\omega(\lambda)$ 是关于 $\lambda$ 的整函数.

定理 4.1$\lambda$ 是问题 (2.1)-(2.5) 的特征值当且仅当 $\lambda$ 是整函数 $\omega(\lambda)$ 的零点.

证 必要性 设 $\lambda_{0}$ 是问题 (2.1)-(2.5) 的特征值, $u(x,\lambda_{0})$ 为相应的特征函数. 假设 $\omega(\lambda_{0})\neq0$, 则

因此 $\phi_{j}(x,\lambda_{0}),\chi_{j}(x,\lambda_{0})$ 线性无关. 从而存在一组不全为零的常数 $c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}$, 使得方程 (2.1) 的解 $u(x,\lambda_{0})$ 可以表示成

由于 (4.5) 式满足边界条件 (2.2), 且 $\chi_{1}(a,\lambda)$ 不是初值问题 (4.1) 的解, 于是得 $c_{2}=0$, 同理, 由于 (4.5) 式满足边界条件 (2.3), 且 $\phi_{2}(b,\lambda)$ 不是初值问题 (4.3) 的解, 于是得 $c_{3}=0$, 这时, 将 (4.5) 式代入转移条件 (2.4), (2.5), 得关于 $c_{1},c_{4}$ 的方程组

由 (4.2) 式知, 以上方程组的系数行列式为 $-\omega_{2}(\lambda_{0})$. 由假设可知 $\omega_{2}(\lambda_{0})\neq0$, 故方程组 (4.6) 只有零解 $c_{1}=0$ 和 $c_{4}=0$. 与 $c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}$ 不全为零矛盾. 因此 $\omega(\lambda_{0})=0$, 即 $\lambda_{0}$ 是整函数 $\omega(\lambda)$ 的零点.

充分性 设 $\omega(\lambda_{0})=0$, 则对 $x\in(c,b]$,

因此 $\phi_{2}(x,\lambda_{0}),\chi_{2}(x,\lambda_{0})$ 线性相关, 即存在常数 $k\neq0$, 使得

由于 $\chi_{2}(x,\lambda)$ 是初值问题 (4.3) 的解,于是

显然, $\phi(x,\lambda_{0})$ 也满足边界条件 (2.3), 因此 $\phi(x,\lambda_{0})$ 满足边界条件 (2.2)-(2.3) 及转移条件 (2.4)-(2.5), 同理, 可以证得 $\chi(x,\lambda_{0})$ 满足 (2.2)-(2.5). 这说明 $\phi(x,\lambda_{0}),\ \chi(x,\lambda_{0})$ 为问题 (2.1)-(2.5) 的对应于特征值 $\lambda_{0}$ 的特征函数.

引理 4.2 令 $\lambda=s^{2},\ s=\sigma+{\rm i}\tau$, 则如下积分方程成立

证$\phi_{1}(x,\lambda)$ 是初值问题 (4.1) 的解, 于是应用常数变易法得到

$ \begin{equation*} \phi_{1}(x,\lambda)=d_{1}\cos sx+d_{2}\sin sx+\frac{1}{s}\int_{a}^{x}\sin s(x-t)q(t)\phi_{1}(t,\lambda){\rm d}t, \end{equation*}$ 其中, $d_{1},\ d_{2}$ 是任意常数. 对 $\phi_{1}(x,\lambda)$ 关于 $x$ 求导可得 $\begin{equation*} \phi_{1}'(x,\lambda)=-d_{1}s\sin sx+d_{2}s\cos sx+\int_{a}^{x}\cos s(x-t)q(t)\phi_{1}(t,\lambda){\rm d}t, \end{equation*}$

于是

又因为 $\phi_{1}(x,\lambda)$ 满足初始条件(4.1)

进一步, 有

由方程组 (4.11) 求出

于是, 整理可得 (4.7), (4.8) 式成立.

$\phi_{2}(x,\lambda)$ 是初值问题 (4.2) 的解, 于是应用常数变易法得到

其中, $d_{3},\ d_{4}$ 是任意常数. 对 $\phi_{2}(x,\lambda)$ 关于 $x$ 求导可得

于是

又因为 $\phi_{2}(x,\lambda)$ 满足初始条件(4.2)

$\phi_{2}(c+,\lambda)={\rm e}^{{\rm i}\theta}(\gamma_{1}\phi_{1}(c-,\lambda)+\gamma_{2}\phi_{1}'(c-,\lambda)),\ \ \phi_{2}'(c+,\lambda)={\rm e}^{{\rm i}\theta}(\gamma_{3}\phi_{1}(c-,\lambda)+\gamma_{4}\phi_{1}'(c-,\lambda)),$ 所以

由方程组 (4.12) 求出

进一步, 整理可得, (4.9), (4.10) 式成立.

定理 4.2 令$\lambda=s^{2}$, 其中 $s=\sigma+{\rm i}\tau$, 则当 $\left | \lambda \right |\to \infty$ 时, 下面的渐近式在 $a\leq x< c$ 上一致成立.

若 $\alpha_{2}'\neq0$,

若 $\alpha_{2}'=0$,

证 当 $\alpha_{2}'\neq0$ 时, 由 (4.7) 式, 令

则

由 $|\cos s(x-a)|\leq {\rm e}^{{|\tau|(x-a)}}, |\sin s(x-a)|\leq {\rm e}^{{|\tau|(x-a)}},\ |\sin s(x-t)|\leq {\rm e}^{{|\tau|(x-t)}}$ 可得

当 $ \left | s \right | > 2 \int_{a}^{c} \left | q(t) \right |{\rm d}t$ 时, 有

$M_{1}$ 是与 $\lambda$ 无关的常数, 因此

同理, 在 (4.7) 式中, 令

则

$\widetilde M_{1}$ 是与 $\lambda$ 无关的常数, 因此

于是可得,

类似地可以证明 (4.14)-(4.16) 式.

定理 4.3 令 $\lambda=s^{2}$, 其中 $s=\sigma+{\rm i}\tau$, 则当 $\left | \lambda \right |\to \infty$ 时, 下面的渐近式在 $c< x\leq b$ 上一致成立.

(1) 当 $\alpha_{2}'\neq0,\ \gamma_{2}\neq0$ 时,

(2) 当 $\alpha_{2}'\neq0,\ \gamma_{2}=0$ 时,

(3) 当 $\alpha_{2}'=0,\ \gamma_{2}\neq0$ 时,

(4) 当 $\alpha_{2}'=0,\ \gamma_{2}=0$ 时,

证 当 $\alpha_{2}'\neq0$ 时, 将 (4.13), (4.14) 式代入 (4.9) 式中, 计算整理得

考虑 $\gamma_{2}\neq0$ 的情形. 令

则

由 $|\cos s(x-a)|\leq {\rm e}^{{|\tau|(x-a)}},\ |\sin s(x-a)|\leq {\rm e}^{{|\tau|(x-a)}},\ |\sin s(x-t)|\leq {\rm e}^{{|\tau|(x-t)}}$ 可得

当 $ \left | s \right |>2 \int_{c}^{b} \left | q(t) \right |{\rm d}t$ 时有

$M,\ M_{2}$ 是与 $\lambda$ 无关的常数, 因此

同理, 令

则

$N,\ \widetilde M_{2}$ 是与 $\lambda$ 无关的常数, 因此

于是可得

同理可以证明 (4.18)-(4.24).

引理 4.3 令 $\lambda=s^{2}$,$s=\sigma+{\rm i}\tau$, 则如下积分方程成立

证 应用常数变易法, 结合 (4.3) 式和 (4.4) 式可得, 由于证明过程与引理 4.2 类似, 因此省略.

利用与定理 4.2, 定理 4.3 类似的证明方法, 经过大量的推导运算, 可得如下两个定理.

定理 4.4 令$\lambda=s^{2}$, 其中 $s=\sigma+{\rm i}\tau$, 则当 $\left | \lambda \right |\to \infty$ 时, 下面的渐近式在 $ c< x\leq b$ 上一致成立.

若 $\beta_{2}'\neq0$,

若 $\beta_{2}'=0$,

定理 4.5 令$\lambda=s^{2}$, 其中 $s=\sigma+{\rm i}\tau$, 则当 $\left | \lambda \right |\to \infty$ 时, 下面的渐近式在 $a\leq x< c$ 上一致成立.

(1) 当 $\beta_{2}'\neq0,\ \gamma_{2}\neq0$ 时,

(2) 当 $\beta_{2}'\neq0,\ \gamma_{2}=0$ 时,

(3) 当 $\beta_{2}'=0,\ \gamma_{2}\neq0$ 时,

(4) 当 $\beta_{2}'=0,\ \gamma_{2}=0$ 时,

由于 $\omega(\lambda)$ 不依赖于变量 $x$, 将 $\phi_{2}(x,\lambda)$ 和 $\chi_{2}(x,\lambda)$ 在 $x=b$ 点的渐近式代入 $\omega(\lambda)$ 的定义式中, 可得 $\omega(\lambda)$ 的渐近式.

定理 4.6 令$\lambda=s^{2}$, 其中 $s=\sigma+{\rm i}\tau$, 则当 $\left | \lambda \right |\to \infty$ 时, $\omega(\lambda)$ 有如下渐近式.

(1) 当 $\alpha_{2}'\neq0,\beta_{2}'\neq0,\gamma_{2}\neq0$ 时, $\omega(\lambda)=-s^{6}{\rm e}^{{\rm i}\theta}\alpha_{2}'\beta_{2}'\gamma_{2}\sin s(c-a)\sin s(b-c)+O(|s|^{5}{\rm e}^{|\tau|(b-a)});$

(2) 当 $\alpha_{2}'\neq0,\beta_{2}'\neq0,\gamma_{2}=0$ 时, $\omega(\lambda)=s^{5}{\rm e}^{{\rm i}\theta}\alpha_{2}'\beta_{2}'(\gamma_{1}\cos s(c-a)\sin s(b-c)+\gamma_{4}\sin s(c-a)\cos s(b-c)$ $+O(|s|^{4}{\rm e}^{|\tau|(b-a)});$

(3) 当 $\alpha_{2}'\neq0,\beta_{2}'=0,\gamma_{2}\neq0$ 时, $\omega(\lambda)=-s^{5}{\rm e}^{{\rm i}\theta}\alpha_{2}'\beta_{1}'\gamma_{2}\sin s(c-a)\cos s(b-c)+O(|s|^{4}{\rm e}^{|\tau|(b-a)});$

(4) 当 $\alpha_{2}'\neq0,\beta_{2}'=0,\gamma_{2}=0$ 时, $\omega(\lambda)=s^{4}{\rm e}^{{\rm i}\theta}\alpha_{2}'\beta_{1}'(\gamma_{1}\cos s(c-a)\cos s(b-c)-\gamma_{4}\sin s(c-a)\sin s(b-c))$ $+O(|s|^{3}{\rm e}^{|\tau|(b-a)});$

(5) 当 $\alpha_{2}'=0,\beta_{2}'\neq0,\gamma_{2}\neq0$ 时, $\omega(\lambda)=s^{5}{\rm e}^{{\rm i}\theta}\alpha_{1}'\beta_{2}'\gamma_{2}\cos s(c-a)\sin s(b-c)+O(|s|^{4}{\rm e}^{|\tau|(b-a)});$

(6) 当 $\alpha_{2}'=0,\beta_{2}'\neq0,\gamma_{2}=0$ 时, $\omega(\lambda)=s^{4}{\rm e}^{{\rm i}\theta}\alpha_{1}'\beta_{2}'(\gamma_{1}\sin s(c-a)\sin s(b-c)-\gamma_{4}\cos s(c-a)\cos s(b-c))$ $+O(|s|^{3}{\rm e}^{|\tau|(b-a)});$

(7) 当 $\alpha_{2}'=0,\beta_{2}'=0,\gamma_{2}\neq0$ 时, $\omega(\lambda)=s^{4}{\rm e}^{{\rm i}\theta}\alpha_{1}'\beta_{1}'\gamma_{2}\cos s(c-a)\cos s(b-c)+O(|s|^{3}{\rm e}^{|\tau|(b-a)});$

(8) 当 $\alpha_{2}'=0,\beta_{2}'=0,\gamma_{2}=0$ 时, $\omega(\lambda)=s^{3}{\rm e}^{{\rm i}\theta}\alpha_{1}'\beta_{1}'(\gamma_{1}\sin s(c-a)\cos s(b-c)+\gamma_{4}\cos s(c-a)\sin s(b-c))$ $+O(|s|^{2}{\rm e}^{|\tau|(b-a)}).$

格林函数为求解线性非齐次方程提供了一种有效的方法, 本节得到了算子 $A$ 的格林函数和预解算子,并给出了格林函数的渐近式.

假设 $\lambda$ 不是 $A$ 的特征值. 考虑算子方程

其中 $F=(f(x),f_{1},f_{2})$. 这个算子方程等价于非齐次微分方程

且满足非齐次边界条件

和转移条件 (2.4)-(2.5).

由常数变易法, 可知非齐次方程 (5.2) 具有如下形式的通解

将 $y(x,\lambda),\ y''(x,\lambda)$ 代入 (5.2) 式中可得, 当 $x\in [a,c)$ 时, $C_1(x,\lambda),\ C_2(x,\lambda)$ 满足线性方程组

当 $x\in (c,b]$ 时, $C_3(x,\lambda),\ C_4(x,\lambda)$ 满足线性方程组

当 $x\in [a,c)$ 时, 方程组 (5.5) 的解为

$C_1(x,\lambda)=\int_{a}^{x}\frac{\chi_1(t,\lambda)f(t)}{\omega_1(\lambda)}{\rm d}t+k_{1}, C_2(x,\lambda)=-\int_{a}^{x}\frac{\phi_1(t,\lambda)f(t)}{\omega_1(\lambda)}{\rm d}t+k_{2},$

当 $x\in (c,b]$ 时, 方程组 (5.6) 的解为

于是

其中 $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$ 为任意常数.

下面求常数 $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$, 将 (5.7) 式代入非齐次边界条件 (5.3) 中, 结合 (4.1) 式可得

即有

将 (5.8) 式代入 (5.4) 式中, 结合 (4.3) 式可得

所以

再将 (5.7), (5.8) 式代入转移条件 (2.4)-(2.5), 得如下方程组

由此求出

$k_{4}=k_{2}-\int_{a}^{c}\frac{\phi_{1}(t,\lambda)f(t)}{\omega_1(\lambda)}{\rm d}t=\frac{f_{1}}{\omega_{1}(\lambda)}-\int_{a}^{c}\frac{\phi_{1}(t,\lambda)f(t)}{\omega_1(\lambda)}{\rm d}t,$ 从而得

若令

则得

由 (5.11) 式表出的积分核 $G(x,t,\lambda)$ 称为算子 $A$ 的格林函数.

由上面的讨论可知, 若 $\lambda$ 不是算子 $A$ 的特征值, 则对任意的 $F=(f,f_1,f_2)\in H$, 方程 $(A-\lambda)Y=F$ 存在唯一解 $Y=(y,R_1(y),S_1(y))$, 且 $y(x)$ 如 (5.12) 式所示.

另一方面, 将 $t$ 看作变量, 将格林函数代入 $R_1(f)$ 和 $S_1(f)$ 中, 结合 (4.1) 和 (4.3) 式, 有

类似地,

将 (5.13), (5.14) 式代入 (5.12) 式中, (5.12) 式亦可表示为

令

则 (5.12) 式具有下述形式

因而, 预解算子 $R(\lambda,A)=(A-\lambda)^{-1}$ 可表示为

下面给出格林函数的渐近式.

假设 $\alpha_{2}'\neq0,\ \beta_{2}'\neq0,\ \gamma_{2}\neq0$, 当 $\left | \lambda \right |\to \infty$ 时, 将 $\phi_i(x,\lambda),\ \chi_i(x,\lambda)(i=1,2)$ 以及 $\omega(\lambda)$ 的渐近式代入格林函数的表达式中, 计算整理得

对于其他情况 ($\alpha_{2}'\neq0,\beta_{2}'\neq0,\gamma_{2}=0$; $\alpha_{2}'\neq0,\beta_{2}'=0,\gamma_{2}\neq0$; $ \alpha_{2}'\neq0,\beta_{2}'=0,\gamma_{2}=0$; $ \alpha_{2}'=0,\beta_{2}'\neq0,\gamma_{2}\neq0$; $\alpha_{2}'=0,\beta_{2}'\neq0,\gamma_{2}=0$; $ \alpha_{2}'=0,\beta_{2}'=0,\gamma_{2}\neq0$; $\alpha_{2}'=0,\beta_{2}'=0,\gamma_{2}=0$), 也可以类似地得到格林函数的渐近表示.