数学物理学报, 2025, 45(4): 1058-1076

三维非等温可压缩向列型液晶流的Serrin准则

寿晓华,, 钟新,*

西南大学数学与统计学院 重庆 400715

A Serrin Criterion for Three-Dimensional Compressible Non-Isothermal Nematic Liquid Crystal Flows

Shou Xiaohua,, Zhong Xin,*

School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715

通讯作者: *E-mail:xzhong1014@amss.ac.cn

收稿日期: 2024-10-21   修回日期: 2025-04-16  

基金资助: 国家自然科学基金(12371227)
重庆市研究生科研创新项目(CYS240128)
中央高校基本科研业务费(SWU-KU24001)

Received: 2024-10-21   Revised: 2025-04-16  

Fund supported: NSFC(12371227)
Postgraduate Research an Innovation Project of Chongqing(CYS240128)
Fundamental Research Funds for the Central Universities(SWU-KU24001)

作者简介 About authors

E-mail:shouxh23@163.com

摘要

该文为三维空间中含真空的可压缩非等温向列型液晶流的柯西问题建立了一个爆破准则. 通过一些精细的分析, 该文深入探究了所研究系统在强耦合与交互作用影响下呈现的结构特性. 结果表明, 如果密度具有上界, 并且速度以及指向场的梯度满足 Serrin 条件, 那么强解是全局存在的. 特别地, 文中建立的 Serrin 准则与温度无关, 并且它与等熵情形下的准则 (Math Methods Appl Sci, 2013, 36: 1363-1375) 完全相同.

关键词： 可压缩非等温液晶流; Serrin 型准则; 真空

Abstract

We establish a blow-up criterion for the Cauchy problem of compressible non-isothermal nematic liquid crystal flows with vacuum in $\mathbb{R}^3$. It is shown that the strong solution exists globally if the density is bounded from above and the velocity and the gradient of orientation field satisfy the Serrin condition. In particular, our criterion is independent of the temperature and is just the same as that of the isentropic case (Math MethodsAppl Sci, 2013, 36: 1363-1375). This paper presents some delicate analysis to exploit the structural characteristic of the system under consideration due to strong coupling and interplay interaction.

Keywords： compressible non-isothermal nematic liquid crystal flows; Serrin criterion; vacuum

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本文引用格式

寿晓华, 钟新. 三维非等温可压缩向列型液晶流的Serrin准则[J]. 数学物理学报, 2025, 45(4): 1058-1076

Shou Xiaohua, Zhong Xin. A Serrin Criterion for Three-Dimensional Compressible Non-Isothermal Nematic Liquid Crystal Flows[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(4): 1058-1076

1 引言

液晶具有多种形态, 其中一种特殊形态是向列型液晶, 其分子可视为棒状或线状. 20 世纪 60 年代, Ericksen[5]和Leslie[15]将向列型液晶视为各向异性的粘性流体, 通过粘性系数描述动力学行为, 他们提出了一种向列型液晶的动力学理论, 目前被广泛用作向列型液晶流动的模型. 本文主要研究$\mathbb{R}^3\times(0,T)$上简化的非等温可压缩向列型液晶流模型

$\begin{cases} \rho_t+\text{div}(\rho u)=0,\\ \rho u_t+\rho u\cdot\nabla u-\mu\Delta u-(\lambda+\mu)\nabla \text{div} u+\nabla P=-\nabla d\cdot\Delta d,\\ c_v\rho(\theta_t+u\cdot\nabla\theta) +P\text{div} u-\kappa\Delta\theta=\mathcal{Q}(\nabla u)+|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2,\\ d_t+u\cdot\nabla d=\Delta d+|\nabla d|^2d, \end{cases}$

$\rho:\mathbb{R}^3\times(0,T)\to\mathbb{R}^+$ 为密度, $u:\mathbb{R}^3\times(0,T)\to\mathbb{R}^3$ 为速度, $d:\mathbb{R}^3\times(0,T)\to\mathbb{S}^2$ 为向列型液晶流方向场的宏观平均值, $P=R\rho\theta (R>0)$ 为压强, $\theta\ge 0$ 为温度. 其中, $\mathcal{Q}(\nabla u)$ 表示

$\begin{align*} \mathcal{Q}(\nabla u)=\frac{\mu}{2}|\nabla u+(\nabla u)^\top|^2+\lambda(\text{div} u)^2, \end{align*}$

$(\nabla u)^\top$ 为 $\nabla u$ 的转置. 剪切粘度系数 $\mu$ 和体积粘度系数 $\lambda$ 满足物理约束

$\begin{align*} \mu>0, \quad 2\mu+3\lambda\ge 0, \end{align*}$

且正常数$c_v$和$\kappa$分别表示热容以及导热系数与热容的比值.方程组(1.1)的初始数据如下

$\begin{cases}\label{a2} (\rho, u, \theta, d)|_{t=0}=(\rho_0, u_0, \theta_0, d_0), \quad x\in\mathbb{R}^3. \end{cases}$

远场行为如下

$\begin{align*}\label{a3} (\rho,u,\theta,d)(x,t)\rightarrow(0, 0, 0, \mathbf{1}),\ \ \text{当} \ \ |x|\rightarrow \infty, \,\,t>0 \text{时}, \end{align*}$

其中"$\mathbf{1}$"是给定的单位向量以及 $|d_0|=1$.

最近, 许多作者在三维可压缩非等温向列型液晶流强解的全局存在性方面取得了一些重要进展, 可以参见文献[1-3,8-10,16,20-22]以及其中的参考文献. 特别是, Hieber 和 Prüss[9,10] 推导了一个向列型液晶流动的广义可压缩非等温 Ericksen-Leslie 模型, 并对其进行了详细的数学分析. 与此同时, De Anna 和柳春[3]提出了一个在全空间中受热效应作用的向列型液晶材料演化的非等温模型.在 $H^3$ 框架下, 当初始数据接近恒定平衡态时, 文献[8]建立了系统(1.1)在三维柯西问题中光滑解的全局存在性与衰减率. 之后, 针对初始密度允许真空状态的情形, 学者们[16,21,22]在不同的小性条件下证明了强解的全局适定性. 然而, 由于缺乏有效的光滑机制和强烈的非线性特性, 许多在物理学上具有重要意义但在数学中较基础的问题仍未得到解决. 因此, 探究可压缩非等温向列型液晶流强解的爆破机制及其可能奇点的结构特征具有重要的理论价值.

当忽略热效应时, 方程组将退化为等熵可压缩向列型液晶流模型. 针对此类模型, 部分学者对强解的爆破准则进行了分析与研究. 刘宪高和刘兰明[17]提出了仅依赖于速度梯度的爆破准则. 更准确地说, 假设 $T^*$ 为局部强解的最大存在时间, 则有

$\begin{align*} \lim_{T\rightarrow T^*}\big(\|\nabla u\|_{L^{\beta}(0,T;L^{\alpha})} +\|u\|_{L^1(0,T;W^{1,\infty})}\big)=\infty,\quad \frac{3}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\le 2,\quad \beta\geq4. \end{align*}$

之后, 黄涛、王长友和温焕尧[13,14]在 $7\mu>9\lambda$ 的假设下, 证明了

$\begin{align*} \lim_{T\rightarrow T^*}\big(\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)} +\|\nabla d\|_{L^3(0,T;L^\infty)}\big)=\infty \end{align*}$

和

$\begin{align*} \lim_{T\rightarrow T^*}\big(\|\mathcal{D}(u)\|_{L^1(0,T;L^\infty)} +\|\nabla d\|_{L^2(0,T;L^\infty)}\big)=\infty. \end{align*}$

与此同时, 黄祥娣和王云在文献[12]中证明了 Serrin 型准则, 其内容可表述如下

$\begin{align*} & \lim_{T\rightarrow T^*}(\|\text{div} u\|_{L^1(0,T;L^\infty)}+\|u\|_{L^{s_1}(0,T;L^{r_1})}+\|\nabla d\|_{L^{s_2}(0,T;L^{r_2})})=\infty, \\ & \lim_{T\rightarrow T^*}(\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)}+\|u\|_{L^{s_1}(0,T;L^{r_1})}+\|\nabla d\|_{L^{s_2}(0,T;L^{r_2})})=\infty, \end{align*}$

其中 $r_i$ 和 $s_i$ 满足

$\begin{align*} \frac{2}{s_i}+\frac{3}{r_i}\le 1,\quad 3<r_i\le\infty,\quad i=1,2. \end{align*}$

刘斯丽、赵新华和陈映珊[19]基于对 $\|P\|_{L^\infty_t BMO_x}$ 和 $\|\nabla d\|_{L^s_t L^\infty_x}$ 的分析, 在假设条件 $7\mu>9\lambda$ 下, 得到了一个爆破准则, 即

$\begin{align*} \lim_{T\rightarrow T^*}\big(\|P\|_{L^\infty(0,T;BMO)} +\|\nabla d\|_{L^s(0,T;L^\infty)}\big)=\infty,\quad s>3. \end{align*}$

最近, 刘俊辰、王修庆和秦玉明在文献[18]中, 通过引入限制条件 $\mu>\lambda$, 并基于密度和方向场梯度建立了一个新的爆破准则, 其具体形式为

$\begin{align*} \lim_{T\rightarrow T^*}(\|\rho\|_{L^\infty(0,T;L^\infty)}+\|\nabla d\|_{L^8(0,T;L^4)})=+\infty. \end{align*}$

针对非等温的情形, 本文的第二作者在文献[24,25]中曾研究过二维问题强解的奇点形成机制. 然而, 对于三维 Cauchy 问题的强解爆破机制及其可能奇点结构的研究仍鲜有成果. 因此, 本文的主要研究目标是建立 (1.1)-(1.3) 强解的 Serrin 型准则 (1.9), 并将文献[12]中等熵情形下的结果推广至非等温情形.

在阐述主要结果之前, 我们先明确全文使用的符号规范. $a\triangleq b$ 表示通过定义给出 $a=b$. 对于 $1\le p\le \infty$ 的实数以及 $k\ge 0$ 的整数, 齐次与非齐次 Sobolev 空间定义如下

$\begin{cases} L^p=L^p(\mathbb R^3), W^{k, p}=L^p\cap D^{k, p}, H^k=W^{k, 2},\\ D^{k, p}=\{u\in L_{\text{loc}}^1(\mathbb R^3): \|\nabla^ku\|_{L^p}<\infty\}, D^k=D^{k, 2},\\ D_0^1=\{u\in L^6(\mathbb R^3): \|\nabla u\|_{L^2}<\infty\}. \end{cases}$

并且记

$\begin{align*} \int f{\rm d}x=\int_{\mathbb R^3}f{\rm d}x. \end{align*}$

接下来, 引入有效粘性通量 $F$ 和涡量 $\omega$,

$\begin{align*}F\triangleq (2\mu+\lambda)\text{div} u-P,\quad \omega\triangleq\nabla\times u.\end{align*}$

从方程 $(1.1)_2$ 中可以推导出

$\begin{align*}\Delta F=\text{div}(\rho\dot u)+\text{div}\text{div} M(d)\end{align*}$

以及

$\begin{align*}\mu\Delta\omega=\nabla\times\big(\rho\dot u+\text{div}\big(M(d)\big)\big), \end{align*}$

其中 $M(d)$ 可表示为

$\begin{align*} M(d)\triangleq\nabla d\odot\nabla d-\frac12|\nabla d|^2\mathbb{I}_3,\nonumber \end{align*}$

$\nabla d\odot\nabla d$ 表示为第 $i,j$ 个元素 $(1\leq i,j\leq3)$ 是 $\partial_id\cdot\partial_jd$ 的矩阵, 并且 $\mathbb{I}_3$ 为 $3\times3$ 的单位矩阵.

下面是本文的主要结论

定理1.1 对于任意的 $q\in(3,6]$, 假设初始数据 $(\rho_0\ge 0, u_0, \theta_0, d_0)$ 满足

$\begin{cases}\rho_0\in L^1\cap H^1\cap W^{1, q}, (u_0, \theta_0)\in D_0^1\cap D^2,\\ \big(\rho_0|u_0|^4+\rho_0\theta_0^2\big)\in L^1, \nabla d_0\in H^2, |d_0|=1,\end{cases}$

和相容性条件

$\begin{cases}-\mu\Delta u_0-(\mu+\lambda)\nabla\nabla u_0+\nabla (\rho_0\theta_0)+\Delta d_0\cdot\nabla d_0=\sqrt{\rho_0}g_1,\\ \kappa\Delta\theta_0+\frac{\mu}{2}|\nabla u_0+(\nabla u_0)^T|^2+\lambda(\nabla u_0)^2+|\Delta d_0+|\nabla d_0|^2 d_0|^2=\sqrt\rho_0 g_2, \end{cases}$

其中 $g_1, g_2\in L^2$, 若 $(\rho, u, \theta, d)$ 为 Cauchy 问题 (1.1)-(1.3) 的唯一强解, 并且 $T^*<\infty$ 是该解的最大存在时间, 则

$\begin{align*} \lim_{T\rightarrow T^*}\big(\|\rho\|_{L^\infty(0, T; L^\infty)}+\|u\|_{L^{s_1}(0, T; L^{r_1})}+\|\nabla d\|_{L^{s_2}(0, T; L^{r_2})}\big)=\infty, \end{align*}$

其中 $r_i$ 和 $s_i$ 满足

$\begin{align*} \frac{2}{s_i}+\frac{3}{r_i}\le 1, \quad s_i>1, \quad 3<r_i\le \infty, \quad i=1, 2. \end{align*}$

注释1.1 初始数据如定理 1.1 所述的唯一强解的局部存在性已在文献[6]中得以证明. 因此, 最大存在时间 $T^*$ 的假设是有意义的.

注释1.2 值得注意的是, 虽然温度的出现会导致证明过程中出现很多强耦合的非线性项, 但是最终证得的非等熵情形的解的爆破准则 (1.9) 却与温度无关, 这与等熵向列型液晶流的解的相应判断依据完全一致.

与等熵情形[12]相比, 基本能量估计无法为速度场、温度场以及指向场提供有用的耗散性信息. 此外, 由于系统(1.1)中温度场与速度场存在强耦合效应, 与文献[12]研究的问题相比, 本文面临一些新的理论挑战. 为突破这些困难, 我们需要建立若干新的精细估计. 首先, 通过对方程 (1.1)$_4$ 乘以$r|\nabla d|^{r-2}|\nabla d|\ (r\geq2)$, 我们可以得到取向场梯度的 $L^\infty_tL^r_x$ 范数 (详见引理 3.1), 这对建立解的高阶估计至关重要. 其次, 通过论证条件(3.1), 我们可以控制住速度梯度 $\nabla u$ 和二阶指向场梯度 $\nabla^2d$ 的 $L^\infty_tL^2_x$ 范数 (见引理 3.3). 在此过程中, 受文献[22]启发, 引入总能量 $E\triangleq c_v\theta+\frac12|u|^2$ (即比内能与比动能之和), 该能量形式的巧妙构造有效缓解了温度方程 (1.1)$_3$ 中强非线性项带来的分析困难. 具体而言, 对总能量方程 (见 (3.9) 式) 乘以 $E$ 后, 为估计 $\nabla E$ 的 $L^2_tL^2_x$ 范数 (见 (3.10) 式), 就需控制 $|u||\nabla u|$ 项, 这最终可转化为速度梯度 $\nabla u$ 的 $L^2_tL^6_x$ 范数估计 (见 (3.27) 式). 最后, 通过构造对数型 Gronwall 不等式并结合已建立的先验估计, 可以得到密度梯度 $L^\infty_tL^p_x$ 范数与速度梯度 $L^1_tL^\infty_x$ 范数的控制.

2 预备知识

本节给出文中常用的不等式以及一些重要的辅助命题. 首先, 由文献[6]中的方法可以得到强解的局部存在性.

引理2.1 假设 $(\rho_0, u_0, \theta_0, d_0)$ 满足 (1.7) 和 (1.8) 式, 则存在某个小时间 $T>0$, 使得在 $\mathbb R^3\times(0, T)$ 区域内, 问题 (1.1)-(1.3) 存在唯一强解 $(\rho, u, \theta, d)$.

引理2.2[4] (Young 不等式) 设 $a>0,\,b>0,\, p>1,\, q>1$, 且 $\frac1p+\frac1q=1$, 则有

$ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$

特别地, 当 $p=q=2$ 时, 上述不等式称为 Cauchy 不等式.

引理2.3[4] (Hölder 不等式) 假设 $1\leq p,q\leq +\infty$, 且 $\dfrac1p+\dfrac1q=1.$ 若 $u\in L^p(\mathbb{R}^3), v\in L^q(\mathbb{R}^3)$, 则有

$\int|uv|{\rm d}x\leq \|u\|_{L^p}\|v\|_{L^q}.$

引理2.4[23] (Gagliardo-Nirenberg 不等式) 对于任意 $p\in[2,\infty )$, $r\in(2,\infty)$, 以及 $q\in(1,\infty)$, 存在两个可能只依赖于 $p$, $r$ 和 $q$ 的常数 $C_1,C_2>0$, 使得任意的 $f\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 和 $g\in L^q(\mathbb{R}^3)\cap D^{1,r}(\mathbb{R}^3)$, 都满足

$\begin{align*} &\|f\|_{L^p}\le C_1\|f\|_{L^2}^\frac{6-p}{2p}\|\nabla f\|_{L^2}^\frac{3p-6}{2p},\\[3pt] &\|g\|_{L^\infty}\le C_2\|g\|_{L^q}^\frac{q(r-3)}{3r+q(r-3)}\|\nabla g\|_{L^r}^\frac{3r}{3r+q(r-3)}.\end{align*}$

引理2.5[5] (微分形式的 Gronwall 不等式)设 $\eta(t)$ 是 $[T]$ 上的非负绝对连续函数, 且对几乎处处的 $t$ 都满足

$\eta^{\prime}(t)\leq\phi(t)\eta(t)+\psi(t),$

其中 $\phi(t)$ 和 $\psi(t)$ 都是 $[T]$ 上非负可积函数. 那么

$\eta(t)\leq e^{\int_0^t\phi(s){\rm d}s}\Big[\eta(0)+\int_0^t\psi(s){\rm d}s\Big],\,\, \forall \,t\in[T].$

特别地, 如果 $\eta^{\prime}(t)\leq\phi(t)\eta(t) $, 且 $\eta(0)=0$, 则在 $[T]$ 上恒有 $\eta(t)=0$.

引理2.6 假设 $(\rho, u,\theta, d)$ 是 (1.1)-(1.3) 式在 $\mathbb{R}^3\times(0, T]$ 的一个光滑解, 那么对于任意的 $p\in [2,6]$, 都存在一个只取决于 $p$, $\mu$, 和 $\lambda$ 的正常数 $C$ 使得下面的不等式成立

$\|\nabla F\|_{L^p} \le\|\rho\dot u\|_{L^p}+C\||\nabla d||\nabla^2 d|\|_{L^p},$
$\|\nabla \omega\|_{L^p} \le\|\rho\dot u\|_{L^p}+C\||\nabla d||\nabla^2 d|\|_{L^p},$
$\|\nabla u\|_{L^6} \le C\|\rho\dot u\|_{L^2}+C\||\nabla d||\nabla^2 d|\|_{L^2}+C\|P\|_{L^6}.$

证 由 (1.5) 式可得

$\begin{align*} F=-(-\Delta)^{-1}\text{div}(\rho\dot u)-(-\Delta)^{-1}\text{div}\text{div} M(d),\end{align*}$

上式结合 Caldrón-Zygmund 不等式和 Sobolev's 可以推出, 对于 $2\leq p\leq6$ 有

$\begin{align*}\|\nabla F\|_{L^p}&\le\|\nabla(-\Delta)^{-1}\text{div}(\rho\dot u)\|_{L^p}+\|\nabla(-\Delta)^{-1}\text{div}\text{div} M(d)\|_{L^p} \\ &\le C\|\rho\dot u\|_{L^p}+C\||\nabla d||\nabla^2 d|\|_{L^p}. \end{align*}$

利用有效粘性通量 $F$ 和涡量 $\omega$, 方程 $(1.1)_2$ 可以转换为

$\begin{align*} \rho\dot u+\text{div}(M(d))=\nabla F-\mu\nabla\times\omega. \end{align*}$

对其作用旋度得

$\begin{align*} \mu\omega=\Delta^{-1}[\nabla\times(\rho u)+\nabla\times\text{div}(M(d))],\end{align*}$

从而有

$\begin{align*} \|\nabla\omega\|_{L^p}\le C\|\rho\dot u\|_{L^p}+C\|\text{div} M(d)\|_{L^p} \le C\|\rho\dot u\|_{L^p}+C\||\nabla d||\nabla^2 d|\|_{L^p}.\end{align*}$

由式子

$\begin{align*} \Delta u=\nabla\text{div} u-\nabla\times\omega \end{align*}$

可得

$\begin{align*} \|\nabla u\|_{L^6}\le C\|\text{div} u\|_{L^6}+C\|\omega\|_{L^6}, \end{align*}$

上式结合 (1.4) 式, Sobolev 不等式, (2.1) 和 (2.2) 式可推出

$\begin{align*} \|\nabla u\|_{L^6}&\le C\|F\|_{L^6}+C\|P\|_{L^6}+C\|\omega\|_{L^6}\nonumber\\ &\le C\|\rho\dot u\|_{L^2}+C\||\nabla d||\nabla^2 d|\|_{L^2}+C\|P\|_{L^6}, \end{align*}$

由此就证得 (2.3) 式.

文献[11] 建立了如下的 Beale-Kato-Majda 型不等式, 该不等式将用于估计速度梯度 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 与密度梯度 $\|\nabla\rho\|_{L^2\cap L^q}$ 的范数.

引理2.7[11] 对于 $3<q<\infty$, 存在一个常数 $C(q)$ 使得, 对任意的 $u\in D^1_0\cap D^{2,q}$,

$\begin{align*} \|\nabla u\|_{L^\infty}\le C\big(\|\text{div} u\|_{L^\infty}+\|\nabla\times u\|_{L^\infty}\big)\ln\big(e+\|\nabla^2 u\|_{L^q}\big)+\|\nabla u\|_{L^2}+C. \end{align*}$

3 定理 1.1 的证明

第 3.1 节将计算出先验估计. 定理 1.1 的证明将在第 3.2 节中给出.

3.1 先验估计

本节的主要任务是得到密度的上界, 这是获得高阶估计的关键. 现在先对定理 1.1 的证明作一点说明. 假设 1.9 不成立, 即

$\begin{align*}\lim_{T\rightarrow T^*}\big(\|\rho\|_{L^\infty(0, T; L^\infty)}+\|u\|_{L^{s_1}(0, T; L^{r_1})}+\|\nabla d\|_{L^{s_2}(0, T; L^{r_2})}\big)\le M_0<\infty,\end{align*}$

我们想要通过反证法证明以下结论成立

$\begin{align*} \sup_{0\le t\le T^*}\big(\|\rho\|_{L^1\cap H^1\cap W^{1, q}}+\|\nabla u\|_{H^1}+\|\nabla\theta\|_{H^1}+\|\nabla d\|_{H^2}\big)\le C<+\infty. \end{align*}$

引理3.1 若 $(\rho, u, \theta, d)$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的强解且满足条件(3.1), 则对于 $r\geq2$, 以下估计成立

$\begin{align*} \sup_{0\le t\le T}\|\nabla d\|_{L^r}^r +\int_{0}^{T}\int|\nabla d|^{r-2}|\nabla^2 d|^2{\rm d}x{\rm d}t\le C, \end{align*}$

其中 (及下文中) $C$ 和 $C_i\ (i=1,\cdots,6)$ 表示仅依赖于 $M_0$, $\mu$, $\lambda$, $R$, $\kappa$, $c_v$, $T^*$, 以及初始数据的通用常数.

证 首先, 对方程 $(1.1)_4$ 关于 $x$ 进行微分有

$\begin{align*} \nabla d_t-\nabla\Delta d=-\nabla(u\cdot\nabla d)+\nabla(|\nabla d|^2 d). \end{align*}$

接下来对 (3.3) 式两边乘以 $r|\nabla d|^{r-2}|\nabla d|\ (r\geq2)$ 并在 $\mathbb{R}^3$ 上积分可以得到

$\begin{align*} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\nabla d|^r {\rm d}x+r\int\big[|\nabla d|^{r-2}|\nabla^2 d|^2+(r-2)|\nabla d|^{r-2}|\nabla|\nabla d||^2\big]{\rm d}x\nonumber\\ &=r\int\nabla(|\nabla d|^2 d)|\nabla d|^{r-2}\nabla d {\rm d}x-r\int\nabla(u\cdot\nabla d)|\nabla d|^{r-2}|\nabla d|{\rm d}x. \end{align*}$

由于 $\nabla(|\nabla d|^2 d)=|\nabla d|^2\nabla d+\nabla(|\nabla d|^2)d$ 并且 $d\cdot\nabla d=0$, 从而

$\begin{align*} r\int\nabla(|\nabla d|^2 d)|\nabla d|^{r-2}\nabla d {\rm d}x=r\int|\nabla d|^{r+2}{\rm d}x\le C\|\nabla d\|^2_{L^\infty}\int|\nabla d|^r{\rm d}x. \end{align*}$

然后通过分部积分可得

$\begin{align*} -r\int\nabla(u\cdot\nabla d)|\nabla d|^{r-2}|\nabla d|{\rm d}x&=-r\int|\nabla d|^{r-2}\nabla_iu^j\langle\nabla_jd,\nabla_id\rangle {\rm d}x-\int u\cdot\nabla|\nabla d|^r{\rm d}x\nonumber\\ &=-r\int|\nabla d|^{r-2}\mathcal{D}(u):\nabla d\otimes\nabla d{\rm d}x +\int\text{div} u|\nabla d|^r{\rm d}x\nonumber\\ &\le C\|\mathcal{D}(u)\|_{L^\infty}\int|\nabla d|^r{\rm d}x. \end{align*}$

将 (3.5) 和 (3.6) 式代入 (3.4) 式中, 可以推导出

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\nabla d|^r{\rm d}x+\frac{r}{2}\int|\nabla d|^{r-2}|\nabla^2 d|^2{\rm d}x\le C\big(\|\nabla d\|^2_{L^\infty}+\|\mathcal{D}(u)\|_{L^\infty}+1\big)\int|\nabla d|^r{\rm d}x, \end{align*}$

最后, 上式结合 Gronwall 不等式和(3.1) 式可以证得引理 3.1.

接下来, 给出由以下公式定义的比能 $E$ 并推导出一些关键估计

$\begin{align*} E\triangleq c_v\theta+\frac{|u|^2}{2}.\end{align*}$

引理3.2 若 $(\rho, u, \theta, d)$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的强解且满足条件(3.1), 则以下估计成立

$\begin{align*} c_v\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int\rho E^2{\rm d}x+\kappa\|\nabla E\|^2_{L^2} &\le C\int|u|^2\big(\rho E^2+|\nabla u|^2\big){\rm d}x +C_1\|\nabla^2 d\|^2_{H^1}\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla u\|^2_{L^2}+C\int\rho E^2{\rm d}x. \end{align*}$

证 对方程 $(1.1)_3$ 应用标准极值原理 (见文献[7]), 并且结合初始条件 $\theta_0\ge 0$ 可得

$\begin{align*}\inf_{\mathbb{R}^3\times[T]}\theta(x,t)\ge 0. \end{align*}$

由方程(1.1)可知, $E$ 满足

$\begin{align*} & (\rho E)_t+\text{div}(\rho Eu)-\frac{\kappa}{c_v}\Delta E\nonumber\\ & = \text{div} G-\nabla d^i\nabla d^j\partial_iu^j+\frac12|\nabla d|^2\text{div} u+|\Delta d+|\nabla d|^2 d|^2, \end{align*}$

其中

$\begin{align*} G\triangleq\frac{\mu-\kappa c_v^{-1}}{2}\nabla|u|^2+\mu u\cdot\nabla u+\lambda u\text{div} u-Pu+(u\cdot\nabla d)\nabla d-\frac12|\nabla d|^2 u. \end{align*}$

对方程 (3.9) 两边乘以 $c_vE$, 并对所得结果在 $\mathbb{R}^3$ 上积分得

$\begin{align*} \frac{c_v}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int\rho E^2{\rm d}x+\kappa\int|\nabla E|^2{\rm d}x&\le C\int(|u||\nabla u|+\rho\theta|u|)|\nabla E|{\rm d}x\nonumber\\&\quad +C\int(|\Delta d+|\nabla d|^2 d|^2+|\nabla u||\nabla d|^2)E{\rm d}x\nonumber\\ &\quad+C\int|u||\nabla d|^2|\nabla E|{\rm d}x.\end{align*}$

上式左边第一项利用 Hölder 不等式和 Young 不等式可得

$\begin{align*} & \int(|u||\nabla u|+\rho\theta|u|)|\nabla E|{\rm d}x\nonumber\\ &\le\eta\|\nabla E\|^2_{L^2}+C(\eta)\int(|u|^2|\nabla u|^2+\rho E^2|u|^2){\rm d}x.\end{align*}$

由 Hölder 不等式, Young 不等式, Sobolev 不等式, Gagliardo-Nirenberg 不等式和 (3.2) 式可得

$\begin{align*} \int(|u||\nabla d|^2 |\nabla E|+|\nabla u||\nabla d|^2 E){\rm d}x &\le\|u\|_{L^6}\|\nabla d\|^2_{L^6}\|\nabla E\|^2_{L^2}+\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla d\|^2_{L^6}\|E\|_{L^6}\nonumber\\ &\le C\|\nabla^2 d\|^2_{L^2}\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla E\|_{L^2}\nonumber\\ &\le\eta\|\nabla E\|^2_{L^2}+C(\eta)\|\nabla u\|^2_{L^2}. \end{align*}$

同样地, 由 Hölder 不等式, Young 不等式和 (3.2) 式可得

$\begin{align*} \int E|\Delta d+|\nabla d|^2 d|^2{\rm d}x&\le C\int|\nabla d||\nabla^3 d|E dx+C\int|\nabla E||\nabla d||\nabla^2 d|{\rm d}x\nonumber\\ &\quad+\int|\nabla d|^4 Edx+C\int|\nabla d|^2|\nabla^2 d|Edx\nonumber\\ &\le C\|E\|_{L^6}\|\nabla^3 d\|_{L^2}\|\nabla d\|_{L^3}+C\|\nabla E\|_{L^2}\|\nabla^2 d\|_{L^6}\|\nabla d\|_{L^3}\nonumber\\ &\quad+C\|E\|_{L^6}\|\nabla d\|_{L^3}\||\nabla d|^3\|_{L^2}+C\|E\|_{L^6}\||\nabla d|^2\|_{L^2}\|\nabla^2 d\|_{L^3}\nonumber\\ &\le\eta\|\nabla E\|^2_{L^2}+C(\eta)\|\rho^\frac12 E\|^2_{L^2}+C(\eta)\|\nabla^2 d\|^2_{H^1}. \end{align*}$

将 (3.11)-(3.13) 式代入 (3.10) 式, 当 $\eta$ 充分小时, 可以推导出 (3.8) 式.

引理3.3 若 $(\rho, u, \theta, d)$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的强解且满足条件(3.1), 则以下估计成立

$\begin{align*} &\sup_{0\le t\le T}\int\big(\rho^2+\rho\theta^2+|\nabla u|^2+|\nabla^2 d|^2\big){\rm d}x\nonumber\\&+\int_0^T\int\big(|\nabla\theta|^2+\rho|\dot u|^2+|\nabla d_t|^2+|\nabla^3 d|^2\big){\rm d}x{\rm d}t\le C. \end{align*}$

证 对方程 $(1.1)_2$ 两边同时乘以 $u_t$ 并在 $\mathbb{R}^3$ 上积分得

$\begin{align*} & \frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int\big[\mu|\nabla u|^2+(\mu+\lambda)(\text{div} u)^2\big]{\rm d}x+\int\rho|\dot u|^2{\rm d}x\nonumber\\ &=\int\rho\dot u\cdot(u\cdot\nabla)u{\rm d}x+\int P\text{div} u_t{\rm d}x-\int\text{div}(M(d))\cdot u_t{\rm d}x\nonumber\\ & \le\frac14\int\rho|\dot u|^2{\rm d}x+C\int\rho|u|^2|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int P\text{div} u{\rm d}x\nonumber\\ & \quad-\int P_t\text{div} u{\rm d}x+\frac12\int|\nabla d|^2\text{div} u_t{\rm d}x. \end{align*}$

现在需要对方程 (3.15) 右边的最后两项进行控制. 由 (3.7)和 (3.9) 式可得

$\begin{align*} -\int P_t\text{div} u{\rm d}x&=-\frac{R}{c_v}\int(\rho E)_t\text{div} u{\rm d}x+\frac{R}{2c_v}\int(\rho|u|^2)_t\text{div} u{\rm d}x\nonumber\\ &\le C\int\big(\rho E|u|+|\nabla E|+|u||\nabla u|+|u||\nabla d|^2\big)|\nabla^2 u|{\rm d}x\nonumber\\ & \quad+C\int|\nabla d|^2|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{R}{c_v}\int|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2\text{div} u{\rm d}x\nonumber\\ &\quad-\frac{R}{2c_v}\int(\text{div}(\rho u)|u|^2\text{div} u-2\rho u\cdot u_t\text{div} u){\rm d}x\triangleq\sum_{i=1}^{4}I_i. \end{align*}$

首先, 对于 $\eta>0$, 由方程 $(1.1)_2$ 的标准 $L^2$ 估计, Sobolev 不等式和 Cauchy-Schwarz 不等式可得

$\begin{align*} I_1+I_2& \le\eta\big(\|\sqrt\rho\dot u\|^2_{L^2}+\||\nabla d||\nabla^2 d|\|^2_{L^2}+\|\nabla E\|^2_{L^2}\big)\nonumber\\ &\quad+C(\eta)\int\big(\rho^2 E^2|u|^2+|\nabla E|^2+|u|^2|\nabla u|^2+|\nabla u|^2\big){\rm d}x. \end{align*}$

类似于 (3.13) 式的推导, 可以得到

$\begin{align*} I_3&\le C\int\big(|\nabla^2 d||\nabla d||\nabla^2 u|+|\nabla^3 d||\nabla d||\nabla u|\big){\rm d}x\nonumber\\ &\quad+C\int|\nabla d|^4|\nabla u|{\rm d}x +C\int|\nabla d|^2|\nabla^2 d||\nabla u|{\rm d}x\nonumber\\ &\le C\big(\|\nabla^2 d\|_{L^6}\|\nabla^2 u\|_{L^2}+\|\nabla^3 d\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^6}\big)\|\nabla d\|_{L^3}\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla u\|_{L^6}\|\nabla d\|_{L^3}\||\nabla d^3|\|_{L^2}+C\|\nabla u\|_{L^6}\||\nabla d|^2\|_{L^2}\|\nabla^2 d\|_{L^3}\nonumber\\ &\le\eta\big(\|\sqrt\rho\dot u\|^2_{L^2}+\||\nabla d||\nabla^2 d|\|^2_{L^2}+\|\nabla E\|^2_{L^2}\big)+C(\eta)\|\nabla^2 d\|^2_{H^1}. \end{align*}$

通过分部积分可得

$\begin{align*} I_4&\le C\int\rho|u|^3|\nabla^2 u|{\rm d}x+C\int\big(\rho |u|^2|\nabla u|+\rho|u||\dot u|\big)|\nabla u|{\rm d}x\nonumber\\ &\le C(\eta)\int\big(\rho E^2|u|^2+\rho|u|^2|\nabla u|^2\big){\rm d}x\\\nonumber&\quad+\eta\big(\|\sqrt\rho\dot u\|^2_{L^2}+\||\nabla d||\nabla^2 d|\|^2_{L^2}+\|\nabla E\|^2_{L^2}\big). \end{align*}$

现在对方程 (3.15) 右边的最后一项做如下处理

$\begin{align*} \int|\nabla d|^2\text{div} u_t{\rm d}x &=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\nabla d|^2\text{div} u{\rm d}x-2\int\nabla d\cdot\nabla d_t\text{div} u{\rm d}x\nonumber\\ &\le\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\nabla d|^2\text{div} u{\rm d}x+C\|\nabla d_t\|^2_{L^2}+C\||\nabla d||\nabla u|\|^2_{L^2}. \end{align*}$

因此, 将 (3.16)-(3.20) 式代入 (3.15) 式, 可以推导出

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int\Psi dx+\int\rho|\dot u|^2{\rm d}x&\le C\int|u|^2(\rho E^2+|\nabla u|^2){\rm d}x+C\|\nabla u\|^2_{L^2}\nonumber\\ &\quad+C_2\big(\|\nabla E\|^2_{L^2}+\|\nabla d_t\|^2_{L^2}+\|\nabla^2 d\|^2_{H^1}+\||\nabla d||\nabla u|\|^2_{L^2}\big)\nonumber\\ &\quad+\eta\big(\|\sqrt\rho\dot u\|^2_{L^2}+\||\nabla d||\nabla^2 d|\|^2_{L^2} +\|\nabla E\|^2_{L^2}\big), \end{align*}$

其中

$\begin{align*} \Psi\triangleq&\mu|\nabla u|^2+(\mu+\lambda)(\text{div} u)^2-2P\text{div} u-|\nabla d|^2\text{div} u \end{align*}$

满足

$\begin{align*}\Psi\ge\frac{\mu}{2}|\nabla u|^2-C_3\rho E^2-C|\nabla d|^4.\end{align*}$

接下来, 由方程(1.1)可知, 对于如 (1.10) 式定义的 $r$ 和 $s$, 有

$\begin{align*} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\Delta d|^2{\rm d}x+\int\big(|\nabla d_t|^2+|\nabla\Delta d|^2\big){\rm d}x\nonumber\\ &=\int|\nabla d_t-\nabla\Delta d|^2{\rm d}x\nonumber\\ &=\int|-\nabla(u\cdot\nabla d)+\nabla(|\nabla d|^2 d)|^2{\rm d}x\nonumber\\ &\le C(\||\nabla d||\nabla u|\|^2_{L^2}+\||u||\nabla^2 d|\|^2_{L^2})+C\nonumber\\ &\le C\|\nabla d\|^2_{L^6}\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^6}+C\|u\|^2_{L^r}\|\nabla^2 d\|^{\frac{2(r-3)}{r}}_{L^2}\|\nabla^2 d\|^{\frac{6}{r}}_{L^6}+C\nonumber\\ &\le\eta\|\nabla u\|^2_{L^6}+C(\eta)\|\nabla u\|^2_{L^2}+C(\varepsilon)(1+\|u\|^s_{L^r})\|\nabla^2 d\|^2_{L^2}+\varepsilon\|\nabla^3 d\|^2_{L^2}+C. \end{align*}$

选取 $\varepsilon$ 适当地小, 可以从 (3.23) 式中得

$\begin{align*} & 4\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla^2 d\|^2_{L^2}+4\|\nabla d_t\|^2_{L^2}+2C^{-1}_4\big(\|\nabla^2 d\|^2_{H^1}+\||\nabla d||\nabla u|\|^2_{L^2}\big)\nonumber\\ &\le C\eta\|\nabla u\|^2_{L^6}+C(\eta)\|\nabla u\|^2_{L^2}+C(1+\|u\|^s_{L^r})\|\nabla^2 d\|^2_{L^2}. \end{align*}$

现在对 (3.8) 式乘以 $C_5\triangleq C_3c^{-1}_v+(C_2+2)\kappa^{-1}$, 对 (3.24) 式乘以 $C_6\triangleq(1+C_4)(C_2+C_1C_5+2)$, 并将它们加到 (3.21) 式中, 可以得到

$\begin{align*} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int(\Psi+C_5\rho E^2+4C_6|\nabla^2 d|^2){\rm d}x+\|\nabla E\|^2_{L^2}\nonumber\\ & +\frac12\int\big(\rho|\dot u|^2+|u|^2|\nabla u|^2\big){\rm d}x+\|\nabla d_t\|^2_{L^2}+\|\nabla^2 d\|^2_{H^1}\nonumber\\ &\le C\int|u|^2(\rho E^2+|\nabla u|^2){\rm d}x+C(1+\|u\|^s_{L^r})\|\nabla^2 d\|^2_{L^2} +C\eta\|\nabla u\|^2_{L^6} \nonumber\\ & \quad +C(\eta)\int(\rho E^2+|\nabla u|^2){\rm d}x+C. \end{align*}$

利用 Hölder 不等式, 可以推导出

$\begin{align*} \int|u|^2\big(\rho E^2+|\nabla u|^2\big){\rm d}x &\le C\|u\|^2_{L^r}\Big(\|\rho^{\frac12}E\|^2_{L^{\frac{2r}{r-2}}}+\|\nabla u\|^2_{L^{\frac{2r}{r-2}}}\Big)\nonumber\\ &\le C\|u\|^2_{L^r}\Big(\|\rho^{\frac12}\|^{\frac{2(r-3)}{r}}_{L^2}\|E\|^{\frac6r}_{L^6}+\|\nabla u\|^{\frac{2(r-3)}{r}}_{L^2}\|\nabla u\|^{\frac6r}_{L^6}\Big)\nonumber\\ &\le C(\eta)\big(1+\|u\|^s_{L^r}\big)\int\big(\rho E^2+|\nabla u|^2\big){\rm d}x\nonumber\\ &\quad+\eta\|\nabla E\|^2_{L^2}+\eta\|\nabla u\|^2_{L^6}. \end{align*}$

通过 (2.3) 式可得

$\begin{align*} \|\nabla u\|_{L^6}&\le C\|F\|_{L^6}+\|P\|_{L^6}+\|\omega\|_{L^6}\nonumber\\ &\le C\|\nabla F\|_{L^2}+\|\nabla\omega\|_{L^2}+C\|\rho\theta\|_{L^6}\nonumber\\ &\le \|\sqrt\rho\dot u\|_{L^2}+C\||\nabla d||\nabla^2 d|\|_{L^2}+C\|\nabla E\|_{L^2}+C\||u||\nabla u|\|_{L^2}\nonumber\\ &\le C\|\sqrt{\rho}E\|_{L^2}+C\|\nabla E\|_{L^2}+C\|\rho\dot u\|_{L^2}\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla^2 d\|^{\frac12}_{L^2}\|\nabla^2 d\|^\frac12_{H^1}+\||u||\nabla u|\|_{L^2}. \end{align*}$

将 (3.26) 和 (3.27) 式代入 (3.25) 式, 并且选取充分小的 $\eta$, 可以利用 Gronwall 不等式, (3.22), (3.2) 和(3.1) 式推导出

$\begin{align*} &\sup_{0\le t\le T}\int\big(\rho E^2+|\nabla u|^2+|\nabla^2 d|^2\big){\rm d}x\nonumber\\ &+\int_{0}^{T}\int\big(|\nabla E|^2+\rho|\dot u|^2+|u|^2|\nabla u|^2+|\nabla d_t|^2+|\nabla^3 d|^2\big){\rm d}x{\rm d}t\le C. \end{align*}$

最后, 对方程 $(1.1)_1$ 的两边同时乘以 $\rho$ 并将所得结果在 $\mathbb{R}^3$ 上积分, 由(3.1) 式可得

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\rho\|^2_{L^2}\le C\|\rho\|^2_{L^2}+C\|\nabla u\|^2_{L^2}.\end{align*}$

上式结合 (3.28) 式和下面的事实

$\begin{align*} \|\nabla\theta\|_{L^2}\le C\|\nabla E\|_{L^2}+C\||u||\nabla u|\|_{L^2}\end{align*}$

可以直接得到 (3.14) 式. 至此就完成了引理 3.3 的证明.

下面的结果将致力于证明解的高阶估计, 该估计是为了保证在条件 (1.7) 和 (1.8) 下将局部解延拓为全局解.

引理3.4 若 $(\rho, u, \theta, d)$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的强解且满足条件(3.1), 则以下估计成立

$\begin{align*} \sup_{0\le t\le T}\big(\|\rho\|_{L^1\cap H^1\cap W^{1,q}}+\|\nabla u\|_{H^1}+\|\nabla\theta\|_{H^1}+\|\nabla d\|_{H^2}\big)\le C.\end{align*}$

证 由于该引理证明过程较长, 为了便于读者阅读, 此处分三步进行证明.

步骤一 首先, 对于任意的 $t>0$, 对方程 (1.1)$_1$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上积分得

$\begin{align*} \|\rho(t)\|_{L^1}=\|\rho_0\|_{L^1}. \end{align*}$

由 (3.27), (3.14) 和 (3.2) 式可得

$\begin{align*} \|\nabla u\|_{L^6}&\le C+C\|\rho\dot u\|_{L^2}+C\|\nabla\theta\|_{L^2}+C\||u||\nabla u|\|_{L^2}+C\|\nabla^2 d\|^{\frac12}_{H^1}\nonumber\\ &\le C+C\|\rho\dot u\|_{L^2}+C\|\nabla\theta\|_{L^2}+C\|u\|_{L^6}\|\nabla u\|^{\frac12}_{L^2}\|\nabla u\|^{\frac12}_{L^6}+C\|\nabla^2 d\|^{\frac12}_{H^1}\nonumber\\ &\le C+C\|\rho\dot u\|_{L^2}+C\|\nabla\theta\|_{L^2}+\frac12\|\nabla u\|_{L^6}+C\|\nabla^2 d\|^{\frac12}_{H^1}. \end{align*}$

这表明

$\begin{align*} \|\nabla u\|_{L^6}\le C+C\|\rho\dot u\|_{L^2}+C\|\nabla\theta\|_{L^2}+C\|\nabla^2 d\|^{\frac12}_{H^1},\end{align*}$

由 (3.3), (3.14) 和 (3.2) 式可知

$\begin{align*} \|\nabla^3 d\|_{L^2}&\le C\|\nabla d_t\|_{L^2}+C\||u||\nabla^2 d|\|_{L^2}+C\||\nabla u||\nabla d|\|_{L^2}+\||\nabla d||\nabla^2 d|\|_{L^2}\nonumber\\ &\le C\|\nabla d_t\|_{L^2}+C\|u\|_{L^6}\|\nabla^2 d\|^{\frac12}_{L^2}\|\nabla^3 d\|^{\frac12}_{L^2}\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla d\|_{L^4}\|\nabla u\|_{L^4}+\|\nabla d\|^\frac12_{L^2}\|\nabla^2 d\|^\frac12_{L^2}\|\nabla^3d \|_{L^2}\nonumber\\ &\le C\|\nabla d_t\|_{L^2}+\frac12\|\nabla^3 d\|_{L^2}+C\|\nabla u\|_{L^4}+C. \end{align*}$

上式结合 (3.14) 和 (3.2) 式可以推导出

$\begin{align*}\|\nabla d\|_{H^2}\le C\|\nabla d_t\|_{L^2}+C\|\nabla u\|_{L^4}+C.\end{align*}$

利用 Hölder 不等式, (3.31) 和 (3.14) 式可以得到

$\begin{align*} \|\nabla u\|_{L^4}&\le\|\nabla u\|^\frac14_{L^2}\|\nabla u\|^\frac34_{L^6}\nonumber\\ &\le C+C\|\rho\dot u\|^\frac34_{L^2}+C\|\nabla\theta\|^\frac34_{L^2}+C\|\nabla^2 d\|^\frac38_{H^1}.\end{align*}$

上式结合 (3.31) 和 (3.32) 式有

$\begin{align*} \|\nabla u\|_{L^6}+\|\nabla d\|_{H^2}\le C\|\rho\dot u\|_{L^2}+C\|\nabla d_t\|_{L^2}+C\|\nabla\theta\|_{L^2}+C. \end{align*}$

由方程 $(1.1)_3$ 的标准 $L^2$ 估计和 (3.14) 式有

$\begin{align*} \|\nabla\theta\|^2_{H^1}&\le C+C\|\nabla\theta\|^2_{L^2}+C\int\rho\dot\theta^2{\rm d}x+C\int\rho^2\theta^2|\nabla u|^2{\rm d}x\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla u\|^4_{L^4}+C\|\Delta d+|\nabla d|^2 d\|^4_{L^4}\nonumber\\ &\le C+C\|\nabla\theta\|^2_{L^2}+C\int\rho\dot\theta^2{\rm d}x+C\|\nabla u\|^2_{L^2}\|\theta\|^2_{L^\infty}+C\|\nabla u\|^4_{L^4}+C\|\nabla^2 d\|^4_{H^1}\nonumber\\ &\le C+C\int\rho\dot\theta^2{\rm d}x+C\|\nabla\theta\|^2_{L^2}+\frac12\|\nabla\theta\|^2_{H^1}+C\|\nabla u\|^4_{L^4}+C\|\nabla^2 d\|^4_{H^1}.\end{align*}$

上式结合 (3.34) 式可以得到

$\begin{align*}\|\nabla\theta\|^2_{H^1}\le C\int\rho\dot\theta^2{\rm d}x+C\|\nabla\theta\|^2_{L^2}+C\|\nabla u\|^4_{L^4}+C\|\nabla d_t\|^4_{L^2}+C.\end{align*}$

步骤二 接下来将给出关于 $\dot u$ 的估计. 由 (3.14) 和 (3.34) 式可知

$\begin{align*}\sup_{0\le t\le T}\int\rho\theta^2{\rm d}x+\int_{0}^{T}(\|\nabla\theta\|^2_{L^2}+\|\nabla u\|^2_{L^6}){\rm d}t\le C.\end{align*}$

在方程 $(1.1)_2$ 第 $j$ 个分量的两边分别同时作用 $\dot u^j(\partial_t+\text{div}(u\cdot))$, 并在 $\mathbb{R}^3$ 上积分, 可以得到

$\begin{align*} \frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int\rho|\dot u|^2{\rm d}x&=\mu\int \dot u\big(\Delta u_t^j+\partial_k(u^k\Delta u^j)\big){\rm d}x\nonumber\\ &\quad+(\mu+\lambda)\int \dot u^j(\partial_j\text{div} u_t+\partial_k(u^k\partial_j\text{div} u)){\rm d}x\nonumber\\ &\quad-\int \dot u^j\big((\partial_jP)_t+\partial_k(u^k\partial_jP)\big){\rm d}x\nonumber\\ &\quad-\int \dot u \text{div}\big(M_t(d)\big)+\dot u^j\text{div}\big(u\cdot(\nabla d\cdot\Delta d)^j\big){\rm d}x\triangleq\overset{4}{\sum_{i=1}}I_i.\end{align*}$

直接计算可得出

$\begin{align*} I_1&=-\mu\int \big(|\nabla\dot u|^2-\partial_k\dot u^j\partial_ku^l\partial_lu^j+\partial_l\dot u\partial_ku^k\partial_lu^j-\partial_k\dot u^j\partial_lu^k\partial_lu^j\big){\rm d}x\nonumber\\ &\le -\frac{7\mu}{8}\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C\|\nabla u\|_{L^4}^4.\end{align*}$

类似地有

$\begin{align*} I_2\le -\frac{7}{8}(\mu+\lambda)\|\text{div}\dot u\|^2_{L^2}+C\|\nabla u\|^4_{L^4}. \end{align*}$

我们注意到

$\begin{align*} (\partial_jP)_t+\partial_k(u^k\partial_jP) =\partial_j(R\rho\dot\theta)-\partial_k(P\partial_ju^k).\end{align*}$

该式结合(3.1) 和 (3.36) 式可以推导出

$\begin{align*} I_3&=\int\big(\partial_j\dot u^j(R\rho\dot\theta-\partial_k\dot u^j(P\partial_j u^k))\big){\rm d}x\nonumber\\ &\le \frac{\mu}{8}\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C\|\sqrt \rho\dot\theta\|^2_{L^2}+C\int\rho^2\theta^2|\nabla u|^2{\rm d}x\nonumber\\&\le \frac{\mu}{8}\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C\|\sqrt \rho\dot\theta\|^2_{L^2}+C\|\rho\theta\|^\frac12_{L^2}\|\theta\|^\frac32_{L^6}\|\nabla u\|^2_{L^4}\nonumber\\ &\le \frac{\mu}{8}\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C\|\sqrt \rho\dot\theta\|^2_{L^2}+C\|\nabla\theta\|^4_{L^2}+C\|\nabla u\|^4_{L^4}+C.\end{align*}$

利用 Gagliardo-Nirenberg 不等式, (3.2) 和 (3.14) 式可以推导出, 对于 $\delta, \varepsilon>0$ 有

$\begin{align*} I_4&=-\int \dot u\text{div}(M(d)_t)+t\dot u^j\text{div}\big(u\cdot(\nabla d\cdot\Delta d)^j\big){\rm d}x\nonumber\\ &=\int \nabla\dot u\cdot M(d)_t{\rm d}x+\int \partial_i\dot u^j\cdot u\cdot(\nabla d\cdot\Delta d)^j{\rm d}x\nonumber\\ &\le \|\nabla\dot u\|_{L^2}\|\nabla d\|_{L^6}\|\nabla d_t\|_{L^3}+\|\nabla\dot u\|_{L^2}\|u\|_{L^6}\|\nabla d\|_{L^6}\|\nabla^2d\|_{L^6}\nonumber\\ &\le \delta \|\nabla^2 d_t\|_{L^2}^2+\varepsilon\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C(\varepsilon)\|\nabla^3d\|^2_{L^2}+C(\varepsilon,\delta)\|\nabla d_t\|^2_{L^2}. \end{align*}$

将上面关于 $I_i$ 的估计代入 (3.37) 式, 并选取 $\varepsilon$ 充分小可得

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\rho}\dot u\|^2_{L^2}+\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}&\le\delta \|\nabla^2d_t\|^2_{L^2}+C\|\sqrt{\rho}\dot\theta\|^2_{L^2}+C(\delta)\|\nabla d_t\|^2_{L^2}\nonumber\\ &\quad +C\|\nabla\theta\|^4_{L^2}+C\|\nabla u\|^4_{L^4}+C\|\nabla^3 d\|^2_{L^2}+C. \end{align*}$

对方程 $(1.1)_3$ 的两边同时乘以 $\dot\theta$ 并在 $\mathbb{R}^3$ 上积分, 可以推导出

$\begin{align*} \frac{\kappa}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\theta\|^2_{L^2} +c_v\int\rho|\dot\theta|^2{\rm d}x&=-\kappa\int\nabla\theta\cdot\nabla(u\cdot\nabla\theta){\rm d}x+\lambda\int(\text{div} u)^2\dot\theta{\rm d}x\nonumber\\&\quad+2\mu\int|\mathcal{D}(u)|^2\dot\theta{\rm d}x -R\int\rho\theta\text{div} u\dot\theta{\rm d}x\nonumber\\ &\quad+\int|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2\dot\theta{\rm d}x\triangleq\overset{5}{\sum_{i=1}}J_i.\end{align*}$

由 (3.14) 和 (3.35) 式可推出

$\begin{align*} |J_1|&\le C\int|\nabla u||\nabla\theta|^2{\rm d}x\nonumber\\ &\le C\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla\theta\|^\frac12_{L^2}\|\nabla\theta\|^\frac32_{L^6}\nonumber\\ &\le \delta\|\nabla^2\theta\|^2_{L^2}+C(\delta)\|\nabla\theta\|^2_{L^2}\nonumber\\ &\le C\delta\int\rho\dot\theta^2{\rm d}x+C(\delta)\|\nabla\theta\|^2_{L^2}+C\|\nabla u\|^4_{L^4}+C\|\nabla d_t\|^4_{L^2}+C. \end{align*}$

通过分部积分可得, 对于任意的 $\varepsilon\in(0,1]$ 有

$\begin{align*} J_2&=\lambda\int(\text{div} u)^2\theta_tdx+\lambda\int(\text{div} u)^2 u\cdot\nabla\theta{\rm d}x\nonumber\\ &=\lambda\int\big((\text{div} u)^2\theta\big)_tdx-2\lambda\int\theta\text{div} u\text{div}(\dot u-u\cdot\nabla u){\rm d}x+\lambda\int(\text{div} u)^2u\cdot\nabla\theta{\rm d}x\nonumber\\ &=\lambda\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int(\text{div} u)^2\theta{\rm d}x-2\lambda\int\theta\text{div} u\text{div}\dot u{\rm d}x\nonumber\\ &\quad+2\lambda\int\theta\text{div} u\partial_iu_j\partial_ju_idx+\lambda\int u\cdot\nabla(\theta(\text{div} u)^2){\rm d}x\nonumber\\ &\le \lambda\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int(\text{div} u)^2\theta{\rm d}x+C\|\theta\|_{L^6}\|\nabla u\|^\frac13_{L^2}\|\nabla u\|^\frac23_{L^4}(\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+\|\nabla u\|^2_{L^4})\nonumber\\ &\le \lambda\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int(\text{div} u)^2\theta{\rm d}x+\varepsilon\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C(\varepsilon)\|\nabla u\|^4_{L^4}+C\|\nabla\theta\|^4_{L^2}+C.\end{align*}$

类似 $J_2$ 的证明, 对于任意的 $\varepsilon\in(0,1]$ 有

$\begin{align*} J_3\le 2\mu\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\mathcal{D}(u)|^2\theta{\rm d}x+\varepsilon\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C(\varepsilon)\|\nabla u\|^4_{L^4}+C\|\nabla\theta\|^4_{L^2}+C.\end{align*}$

由 (3.14) 式可得

$\begin{align*} |J_4|&\le C\|\sqrt\rho\dot\theta\|_{L^2}\|\sqrt\rho\theta\|^\frac14_{L^2} \|\theta\|^\frac34_{L^6}\|\nabla u\|_{L^4} \notag \\ &\le \delta\int\rho\dot\theta^2{\rm d}x+C(\delta)\|\nabla\theta\|^4_{L^2}+C\|\nabla u\|^4_{L^4}+C(\delta), \\ J_5&=\int|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2\theta_t{\rm d}x+\int|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2(u\cdot\nabla\theta){\rm d}x\nonumber\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2\theta{\rm d}x-\int(|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2)_t\theta{\rm d}x\nonumber\\&\quad+\int|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2(u\cdot\nabla\theta){\rm d}x\nonumber\\ &\le \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2\theta{\rm d}x+C\|\nabla^2 d\|_{L^3}\|\nabla^2 d_t\|_{L^2}\|\theta\|_{L^6}\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla d_t\|_{L^6}\|\theta\|_{L^6}\|\nabla d\|_{L^6}\||\nabla d|^2\|_{L^2}+C\|\nabla^2 d\|^2_{L^6}\|u\|_{L^6}\|\nabla\theta\|_{L^2}\nonumber\\ &\le\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2\theta{\rm d}x+\varepsilon\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}+C(\varepsilon)\big(1+\|\nabla\theta\|^2_{L^2}\big)\big(1+\|\nabla^3 d\|^2_{L^2}\big).\end{align*}$

将上面关于 $J_i$ 的估计代入 (3.39) 式中, 通过选取充分小的 $\delta$, 对于任意的 $\varepsilon\in(0,1]$, 有

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int\Pi {\rm d}x+c_v\int\rho\dot\theta{\rm d}x&\le C(\varepsilon)\big(1+\|\nabla\theta\|^2_{L^2}\big)\big(1+\|\nabla^3 d\|^2_{L^2}+\|\nabla\theta\|^2_{L^2}\big)\nonumber\\ &\quad+C(\varepsilon)\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C\varepsilon\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla u\|^4_{L^4}+C\|\nabla d_t\|^4_{L^2}+C,\end{align*}$

其中

$\begin{align*} \Pi\triangleq\kappa|\nabla\theta|^2-2\theta\big(\lambda(\text{div} u)^2+2\mu|\mathcal{D}(u)|^2+|\Delta d+|\nabla d|^2 d|^2\big).\end{align*}$

对 (3.3) 式的两边关于 $t$ 求导可推导出

$\begin{align*}\nabla d_{tt}-\Delta\nabla d_t=-\nabla(u\cdot\nabla d)_t+\nabla(|\nabla d|^2 d)_t.\end{align*}$

将 (3.42) 式的两边同时乘以 $\nabla d_t$ 并在 $\mathbb{R}^3$ 上积分可以得出

$\begin{align*} \frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int|\nabla d_t|^2{\rm d}x+\int|\nabla^2 d_t|^2{\rm d}x&\le C\int|\nabla d||\nabla u_t||\nabla d_t|{\rm d}x+C\int|u_t||\nabla^2 d_t||\nabla d|{\rm d}x\nonumber\\&\quad+C\int|\nabla d_t|^2|\nabla u|{\rm d}x+C\int|\nabla d|^2|d_t||\nabla^2 d_t|{\rm d}x\nonumber\\ &\quad+C\int|\nabla d||\nabla d_t||\nabla^2 d_t|{\rm d}x\triangleq\overset{5}{\sum_{i=1}}S_i. \end{align*}$

通过 Hölder 不等式, Young 不等式, Sobolev 不等式, Gagliardo-Nirenberg 不等式, (3.2) 和 (3.14) 式可以推导出

$\begin{align*} S_1+S_2&\le C\int|\nabla d||\nabla\dot u||\nabla d_t|{\rm d}x+C\int|\dot u||\nabla^2 d_t||\nabla d|{\rm d}x\nonumber\\ &\quad+C\int|\nabla^2 d||u\cdot\nabla u||\nabla d_t|{\rm d}x+C\int|u\cdot\nabla u||\nabla^2 d_t||\nabla d|{\rm d}x\nonumber\\ &\le C\|\nabla\dot u\|_{L^2}+\|\nabla d\|_{L^4}\|\nabla d_t\|_{L^4}+C\|\nabla^2 d_t\|_{L^2}\|\dot u\|_{L^4}\|\nabla d\|_{L^4}\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla^2 d\|_{L^6}\|\nabla u\|_{L^2}\|u\|_{L^12}\|\nabla d_t\|_{L^4}+C\|\nabla^2 d_t\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^4}\|\nabla d\|_{L^6}\|u\|_{L^12}\nonumber\\ &\le\frac{\delta}{2}\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}+C(\delta)\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C\|\nabla^3 d\|^2_{L^2}+C\|\nabla u\|^2_{L^4}+C\|\nabla d_t\|^2_{L^4}\nonumber\\ &\le\delta\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}+C(\delta)\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C\|\nabla u\|^2_{L^4}+C\|\nabla d_t\|^2_{L^2},\nonumber\\ S_3&\le C\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla d_t\|^2_{L^4}\le C\|\nabla d_t\|_{L^2}\|\nabla d_t\|_{H^1}\le\delta\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}+C\|\nabla d_t\|^2_{L^2},\nonumber\\ S_5&\le C\|\nabla^2 d_t\|_{L^2}\|\nabla d_t\|_{L^4}\|\nabla d\|_{L^4}\le\frac{\delta}{2}\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}+C\|\nabla d_t\|_{L^2}\|\nabla d_t\|_{H^1}\nonumber\\ &\le \delta\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}+C\|\nabla d_t\|^2_{L^2}.\end{align*}$

为估计 $S_4$, 由方程 $(1.1)_4$, Sobolev 不等式, (3.2)和 (3.14) 式可推出

$\begin{align*} \|d_t\|_{L^2}&=\|-u\cdot\nabla d+|\nabla d|^2d+\Delta d\|_{L^2}\nonumber\\ &\le C\big(\|u\|_{L^6}\|\nabla d\|_{L^3}+\|\nabla d\|^2_{L^4}+\|\nabla^2 d\|_{L^2}\big)\nonumber\\ &\le C\|\nabla u\|_{L^2}+C\le C, \end{align*}$

此式结合 Hölder 不等式, Young 不等式和 (3.2) 式可以得到

$\begin{align*} S_4&\le C\|\nabla^2 d_t\|_{L^2}\|\nabla d\|^2_{L^8}\|d_t\|_{L^4}\le\delta\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}+C\|d_t\|^2_{H^1}\nonumber\\ &\le\delta\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}+C\|\nabla d_t\|^2_{L^2}+C. \end{align*}$

将上面关于 $S_i$$(i=1,\cdots,5)$ 的估计代入 (3.43) 式并选取充分小的 $\delta$, 可以得到

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla d_t\|^2_{L^2}+\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}\le C\|\nabla d_t\|^2_{L^2}+C\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C\|\nabla u\|^2_{L^4}+C.\end{align*}$

通过对 (3.38) 式乘以 $\delta^{\frac14}$, (3.44) 式乘以 $\delta^{\frac12}$, 然后将它们加到 (3.40) 式上, 利用 (3.33)式并选取适当小的 $\delta$ 可得

$\begin{align*} & 2\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int\big(\Pi+\delta^{\frac12}|\nabla d_t|^2+\delta^{\frac14}\rho|\dot u|^2\big){\rm d}x+\int\big(c_v\rho|\dot\theta|^2+\delta^{\frac12}|\nabla^2 d_t|^2+\mu\delta^{\frac14}|\nabla\dot u|^2\big){\rm d}x\nonumber\\ &\le C(\delta)\big(1+\|\nabla\theta\|^2_{L^2}\big)\big(1+\|\nabla^3 d\|^2_{L^2}+\|\nabla\theta\|^2_{L^2}\big)\nonumber\\ &\quad+C(\delta)\|\sqrt\rho\dot u\|^4_{L^2}+C(\delta)\|\nabla d_t\|^4_{L^2}.\end{align*}$

注意, 这里由 (3.41), (3.14) 和 (3.34) 式可以推导出

$\begin{align*} & 2\int\big(\Pi+\delta^{\frac12}|\nabla d_t|^2+\delta^{\frac14}\rho|\dot u|^2\big){\rm d}x\nonumber\\ &\ge 2\kappa\|\nabla\theta\|^2_{L^2}-C\|\theta\|_{L^6}\|\nabla u\|^{\frac32}_{L^2}\|\nabla u\|^{\frac12}_{L^6}\nonumber\\&\quad-C\|\theta\|_{L^6}\|\nabla^2 d\|^{\frac32}_{L^2}\|\nabla^2 d\|^{\frac12}_{H^1} +2\int\big(\delta^{\frac12}|\nabla d_t|^2+\delta^{\frac14}\rho|\dot u|^2\big){\rm d}x\nonumber\\ &\ge\kappa\|\nabla\theta\|^2_{L^2}+\int\big(\delta^{\frac12}|\nabla d_t|^2+\delta^{\frac14}\rho|\dot u|^2\big){\rm d}x-C(\delta).\end{align*}$

此式结合 Gronwall 不等式, (1.8), (3.45), (3.14) 和 (3.36) 式可推出 (3.46) 式

$\begin{align*} &\sup_{0\le t\le T}\int\big(|\nabla\theta|^2+\rho|\dot u|^2+|\nabla d_t|^2\big){\rm d}x\nonumber\\&+\int_{0}^{T}\int\big(\rho\dot\theta^2+|\nabla\dot u|^2+|\nabla^2 d_t|^2\big){\rm d}x{\rm d}t\le C.\end{align*}$

步骤三 下面将给出关于 $\dot\theta$ 的估计.由 (3.34)-(3.46) 式可以得到

$\begin{align*} \sup_{0\le t\le T}\big(\|\nabla u\|_{L^2\cap L^6}+\|\nabla d\|_{H^2}\big)+\int_{0}^{T}\|\nabla^2\theta\|^2_{L^2}{\rm d}t\le C.\end{align*}$

通过对方程 $(1.1)_3$ 两边作用 $\partial_t+\text{div}(u\cdot)$ 可以推出

$\begin{align*} c_v\rho\big(\partial_t\dot\theta+u\cdot\nabla\dot\theta\big) =&\kappa\Delta\dot\theta+\kappa(\text{div} u\Delta\theta-\partial_t(\partial_iu\cdot\nabla\theta) -\partial_iu\cdot\nabla\partial_i\theta)\nonumber\\&+\big(\lambda(\text{div} u)^2+2\mu|\mathcal{D}(u)|^2\big)\text{div} u+R\rho\theta\partial_ku_l\partial_lu_k -R\rho\dot\theta\text{div} u\nonumber\\ &-R\rho\theta\text{div} \dot u+2\lambda(\text{div}\dot u-\partial_ku_l\partial_lu_k)\text{div} u\nonumber\\ &+\mu(\partial_iu_j+\partial_ju_i)(\partial_i\dot u_j+\partial_j\dot u_i-\partial_iu_k\partial_ku_j-\partial_ju_k\partial_ku_i)\nonumber\\ &+[\partial_t|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2+\text{div}(|\Delta d+|\nabla d|^2d|^2u)].\end{align*}$

对 (3.48) 式乘以 $\dot\theta$, 然后由分部积分, (3.47), (3.46) 式和 Sobolev 不等式可得

$\begin{align*} & \frac{c_v}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int\rho\dot\theta^2{\rm d}x +\kappa\|\nabla\dot\theta\|^2_{L^2} \\ &\le C\int|\nabla u|\big(|\nabla^2\theta||\dot\theta|+|\nabla\theta||\nabla\dot\theta|\big){\rm d}x+C\int|\nabla u|^2|\dot\theta|(|\nabla u|+\theta){\rm d}x\nonumber\\ &\quad+C\int\rho|\dot\theta|^2|\nabla u|{\rm d}x+C\int\rho\theta|\nabla\dot u||\dot\theta|{\rm d}x +C\int|\nabla u||\nabla\dot u||\dot\theta|{\rm d}x\nonumber\\ &\quad+C\int\big(|\nabla^2 d||\nabla^2 d_t||\dot\theta|+|\nabla^2 d|^2|u||\nabla\dot\theta|\big){\rm d}x\nonumber\\ &\le C\|\nabla u\|_{L^3}\|\nabla\theta\|_{H^1}\big(\|\dot\theta\|_{L^6}+\|\nabla\dot\theta\|_{L^2}\big)+C\|\nabla u\|^2_{L^3}\|\dot\theta\|_{L^6}(\|\nabla u\|_{L^6}+\|\theta\|_{L^6})\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla u\|_{L^3}\|\rho\dot\theta\|_{L^2}\|\dot\theta\|_{L^6}+C\|\sqrt\rho\theta\|^{\frac12}_{L^2}\|\theta\|^{\frac12}_{L^6}\|\nabla\dot u\|_{L^2}\|\dot\theta\|_{L^6}\nonumber\\ &\quad+C\|\nabla u\|_{L^3}\|\nabla\dot u\|_{L^2}\|\dot\theta\|_{L^6}+C\|\nabla^2 d\|_{L^3}\|\nabla^2 d_t\|_{L^2}\|\dot\theta\|_{L^6}+C\|\nabla^2 d\|^2_{L^6}\|u\|_{L^6}\|\nabla\dot\theta\|_{L^2}\nonumber\\ &\le \frac{\kappa}{2}\|\nabla\dot\theta\|^2_{L^2}+C\|\nabla^2\theta\|^2_{L^2}+C\|\sqrt\rho\dot\theta\|^2_{L^2}+C\|\nabla\dot u\|^2_{L^2}+C\|\nabla^2 d_t\|^2_{L^2}+C.\end{align*}$

此式结合 Gronwall 不等式, $(1.8)_2$, (3.47) 和 (3.46) 式可以推出

$\begin{align*} \sup_{0\le t\le T}\|\sqrt{\rho}\dot\theta\|^2_{L^2} +\int_{0}^{T}\|\nabla\dot\theta\|^2_{L^2}{\rm d}t\le C.\end{align*}$

将 (3.34)-(3.49) 与 (3.33) 式相结合可得

$\begin{align*} \sup_{0\le t\le T}\big(\|\nabla u\|_{L^6}+\|\nabla d\|_{H^2}+\|\nabla\theta\|_{H^1}\big)\le C. \end{align*}$

当 $2\le p\le q$ 时, 通过直接计算可得

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\rho\|_{L^p}\le C(1+\|\nabla u\|_{L^\infty})\|\nabla\rho\|_{L^p}+C\|\nabla^2u\|_{L^p}. \end{align*}$

为估计 (3.51) 式中的 $\|\nabla^2 u\|_{L^p}$,由 (3.46) 和 (3.50) 式, 对 $(1.1)_2$ 式进行标准 $L^p$ 估计有

$\begin{align*} \|\nabla^2 u\|_{L^p}&\le C(\|\rho\dot u\|_{L^p}+\||\nabla d||\nabla^2 d|\|_{L^p}+\|\nabla P\|_{L^p})\nonumber\\ &\le C(\|\rho\dot u\|_{L^p}+\|\nabla\rho\|_{L^p})+C\nonumber\\ &\le C(1+\|\nabla\dot u\|_{L^2}+\|\nabla\rho\|_{L^p}).\end{align*}$

为了得到 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 的估计, 这里通过利用引理 2.7 可以推出

$\begin{align*} \|\nabla u\|_{L^\infty}&\le C+C(\|\text{div} u\|_{L^\infty}+\|\omega\|_{L^\infty})\ln(e+\|\nabla^2u\|_{L^q})\nonumber\\ &\le C+C(\|\text{div} u\|_{L^\infty}+\|\omega\|_{L^\infty})\ln(e+\|\nabla\dot u\|_{L^2})\nonumber\\ &\quad+C(\|\text{div} u\|_{L^\infty}+\|\omega\|_{L^\infty})\ln(e+\|\nabla\rho\|_{L^q}). \end{align*}$

将 (3.52) 和 (3.53) 式代入 (3.51) 式得

$\begin{align*} f'(t)\le Cg(t)f(t)\ln f(t), \end{align*}$

其中

$\begin{align*} f(t)\triangleq e+\|\nabla\rho\|_{L^q},\quad g(t)\triangleq\big(1+\|\text{div} u\|^2_{L^\infty}+\|\omega\|^2_{L^\infty}+\|\nabla\dot u\|_{L^2}\big) \ln(e+\|\nabla\dot u\|_{L^2}).\end{align*}$

因此, 由 (3.54), (3.46) 式和 Gronwall 不等式可得

$\begin{align*}\sup_{0\le t\le T}\|\nabla\rho\|_{L^q}\le C.\end{align*}$

上式结合 (3.53) 和 (3.46) 式可以推导出

$\begin{align*} \int_{0}^{T}\|\nabla u\|^2_{L^\infty}{\rm d}t\le C. \end{align*}$

在 (3.51) 式中取 $p=2$, 通过 (3.56), (3.52), (3.46) 式和 Gronwall 不等式可以得到

$\begin{align*} \sup_{0\le t\le T}\|\nabla\rho\|_{L^2}\le C, \end{align*}$

并且通过与 (3.52), (3.46) 式结合可得

$\begin{align*} \sup_{0\le t\le T}\|\nabla^2 u\|_{L^2} \le C\sup_{0\le t\le T}\big(\|\rho\dot u\|_{L^2}+\|\nabla\rho\|_{L^2}+\|\nabla\theta\|_{L^2}+\|\nabla d\cdot\nabla^2 d\|_{L^2}\big)\le C. \end{align*}$

上式与 (3.30), (3.55), (3.57), (3.46) 和 (3.14) 式结合可以证得 (3.29) 式. 至此就完成了引理 3.4 的证明.

3.2 定理 1.1 的证明

为了不失一般性, 这里假设 (1.9) 式不成立, 即(3.1) 式成立. 我们注意到引理 3.4 中的常数 $C$ 对所有的 $T<T^*$ 都是一致有界的, 因此由极限定义 $(\rho, u, \theta, d)(x, T^*)\triangleq\lim_{t\rightarrow T^*}(\rho, u, \theta, d)$$(x, t)$ 所确定的函数在 $t=T^*$ 时刻也满足初始数据 (1.7) 式中的条件. 此外, 由标准论证可得 $\rho\dot u$, $\rho\dot\theta\in C([T];L^2)$, 所以就有

$\begin{align*} (\rho\dot u, \rho\dot\theta)(x, T^*)=\lim_{t\rightarrow T^*}(\rho\dot u, \rho\dot\theta)\in L^2. \end{align*}$

因此可得

$\begin{align*} & \big[-\mu\Delta u-(\mu+\lambda)\nabla\text{div} u+R\nabla(\rho\theta)+\nabla d\cdot\Delta d\big]\big|_{t=T^*}=\sqrt{\rho}(x,T^*)g_1(x),\nonumber\\ &\big[\kappa\Delta\theta+\frac{\mu}{2}|\nabla u+(\nabla u)^{tr}|^2+\lambda(\text{div} u)^2+|\Delta d+|\nabla d|^2 d|^2\big]\big|_{t=T^*}=\sqrt{\rho}(x,T^*)g_2(x), \end{align*}$

其中

$\begin{align*} g_1(x)\triangleq \begin{cases} \rho^{\frac12}(x, T^*)(\rho\dot u)(x, T^*),\quad &\quad \text{当} x\in\{x|\rho(x, T^*)>0\} \text{时},\\ 0,\quad &\quad \text{当} x\in\{x|\rho(x, T^*)=0\} \text{时}, \end{cases} \end{align*}$

且

$\begin{align*} g_2(x)\triangleq \begin{cases} \rho^{\frac12}(x, T^*)(c_v\rho\dot\theta+R\rho\theta\text{div} u)(x, T^*),\quad &\quad \text{当} x\in\{x|\rho(x, T^*)>0\} \text{时},\\ 0,\quad &\quad \text{当} x\in\{x|\rho(x, T^*)=0\} \text{时}. \end{cases}\end{align*}$

根据 (3.46), (3.49) 和 (3.29) 式可知 $g_1,g_2\in L^2$. 故 $(\rho, u, \theta, d)(x, T^*)$ 亦满足 (1.8) 式. 因此可将 $(\rho, u, \theta, d)(x, T^*)$ 作为初始数据, 应用文献[6]将局部强解延拓至 $T^*$ 之后. 这与 $T^*$ 的极大性假设矛盾. 至此就完成了定理 1.1 的证明.

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