数学物理学报, 2025, 45(4): 1144-1160

Banach 空间上半线性非自治发展方程的伪轨跟踪性

涂坤,, 丁惠生,*

江西师范大学数学与统计学院 南昌 330022

Shadowing Properties of Semilinear Nonautonomous Evolution Equations on Banach Spaces

Tu Kun,, Ding Huisheng,*

School of Mathematics and Statistics, Jiangxi Normal University, Nanchang 330022

通讯作者: *E-mail: dinghs@mail.ustc.edu.cn

收稿日期: 2024-09-11   修回日期: 2025-01-26  

基金资助: 国家自然科学基金(12361023)
江西省双千计划(jxsq2019201001)
江西省自然科学基金重点项目(20242BAB26001)

Received: 2024-09-11   Revised: 2025-01-26  

Fund supported: NSFC(12361023)
Double Thousand Plan of Jiangxi Province(jxsq2019201001)
Key Project of Jiangxi Provincial NSF(20242BAB26001)

作者简介 About authors

E-mail:tukun@jxnu.edu.cn

摘要

该文讨论了 Banach 空间 $X$ 上半线性非自治发展方程$u'(t) = A(t)u(t)+f(t,u(t)), \ \ t \in \mathbb{R}$

的伪轨跟踪性, 其中线性算子 $A(t) : D(A(t)) \subset X \rightarrow X$ 未必有界且 $u'(t)=A(t)u(t)$ 具有指数二分性. 该文首先在 $f$ 满足经典 Lipschitz 条件和更弱的 $BS^p$ 型 Lipschitz 条件下建立了伪轨跟踪性结果, 然后进一步引入了 $L^p$ 伪轨和 $L^p$ 伪轨跟踪性的概念并建立了相应的跟踪性定理, 最后给出了一个抛物型偏微分方程的例子作为抽象结果的应用. 相比已有文献, 该文不但减弱了非线性项的 Lipschitz 条件以及引入和讨论了新的 $L^p$ 伪轨跟踪性, 而且最重要的是允许 $A(t)$ 为无界算子从而抽象结果可以应用到偏微分方程.

关键词： 抽象发展方程; 指数二分性; 伪轨跟踪性

Abstract

This paper discusses the shadowing properties of the semilinear nonautonomous evolution equation$u'(t) = A(t)u(t) + f(t, u(t)), \ \ t \in \mathbb{R}$

on a Banach space $X$, where the linear operator $A(t) : D(A(t)) \subset X \rightarrow X$ may not be bounded and $u'(t)=A(t)u(t)$ admits exponential dichotomy. This paper first establishes shadowing properties under the classical Lipschitz condition and a weaker $BS^p $ type Lipschitz condition for $f$. Then we further introduce the concepts of $L^p$ pseudo orbits and $L^p$ shadowing property, establishing corresponding shadowing theorem. Finally, an example of a parabolic partial differential equation is provided as an application of the abstract results. Compared to existing literature, this paper not only weakens the Lipschitz condition for the nonlinear term and introduces and discusses the new $L^p$ shadowing property, but most importantly, it allows $A(t)$ to be an unbounded operator, thereby enabling the abstract results to be applied to partial differential equations.

Keywords： abstract evolution equation; exponential dichotomy; shadowing property

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本文引用格式

涂坤, 丁惠生. Banach 空间上半线性非自治发展方程的伪轨跟踪性[J]. 数学物理学报, 2025, 45(4): 1144-1160

Tu Kun, Ding Huisheng. Shadowing Properties of Semilinear Nonautonomous Evolution Equations on Banach Spaces[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(4): 1144-1160

1 引言

一般而言, 对于特定的微分方程寻找它的显式精确解是一个难点问题甚至很多情况下不可能. 自然地, 一种可行的方法是研究这类方程的近似解 (或称为伪轨). 由于过去几十年间计算机科学的蓬勃发展, 对于特定的微分方程近似解的寻找变得相对轻松. 然而, 这些近似解能否反应原方程的性态, 这是值得关注的事情. 如果对于任意的近似解, 都能找到一个原方程的真实轨道保持在近似解的邻域内, 我们则称这个方程具有伪轨跟踪性.

Anosov 和 Bowen 最早提出伪轨跟踪性的概念, 并且他们分别在文献[2,9]中证明了流形上具有一致双曲性的动力系统存在伪轨跟踪性. 后来众多学者开始探究差分方程和微分方程的伪轨跟踪性. Palmer[18]研究了 $\mathbb{R}^{d}$ 上的自治差分方程

$x_{n+1}=f(x_{n}), \ \ n\in \mathbb{Z},$

其中 $f \in C^{1}(\mathbb{R}^{d},\mathbb{R}^{d})$, 发现若存在紧不变双曲集 $S$ 使得方程(1.1) 的线性化方程

$ u_{n+1}=Df(f^{n}(x))u_{n}, \ \ x \in S $

具有指数二分性, 则 $S$ 中的伪轨具有伪轨跟踪性. 同时 Meyer和Sell[17]也发现了关于方程 (1.1) 的类似结果, 并且给出 $\mathbb{R}^{d}$ 上的微分方程

$ x'(t)=f(t,x(t)), \ \ t \in \mathbb{R} $

具有伪轨跟踪性的充分性条件. 随后 Chow, Lin 和 Palmer[10] 研究了 Banach 空间 $X$ 上半线性抛物方程

$x'(t)+Ax(t)=f(t,x(t)), \ \ t \in \mathbb{R},$

的伪轨跟踪性, 得到方程 (1.2)在不变双曲集的邻域中的伪轨具有跟踪性, 其中 $f \in C^{1}(\mathbb{R} \times X,X)$ 且 $A$ 是 $X$ 上扇形算子. 之后 Pilyugin[24] 讨论了 Banach 空间 $X$ 上非自治差分方程

$ x_{n+1}=A_{n}x_{n}+f_{n+1}(x_{n}), \ \ n \in \mathbb{Z} $

的伪轨跟踪性, 其中对于 $n \in \mathbb{Z}$, $A_{n}$ 是 $X$ 上的有界线性算子且 $f_{n+1}$ 是 $X$ 上的 Lipschitz 连续映射.

早期的不断深入研究发现伪轨跟踪性与双曲结构有着密不可分的关联, 因此众多学者开始尝试在更弱的双曲结构下探究方程的伪轨跟踪性.Palmer[19]发现若 $\mathbb{R}^{d}$ 上的自治微分方程

$x'(t)=f(x(t)), \ \ t \in \mathbb{R}$

的线性化方程具有某种特殊的指数三分性, 则方程 (1.3) 有伪轨跟踪性. Backes 和 Dragičević在文献[4,7]中发现方程

$x'(t)=A(t)x(t)+f(t,x(t)), \ \ t \in \mathbb{R}^{+}$

的线性部分

$x'(t)=A(t)x(t), \ \ t \in \mathbb{R}^{+}$

具有指数三分性或一般二分性时, 方程 (1.4) 仍然具有某种伪轨跟踪性, 其中对于任意的 $t \in \mathbb{R}^{+}$, $A(t)$ 是 $X$ 上的一族有界线性算子且非线性项 $f$ 关于第二个变量具有 Lipschitz 条件. 此外, Dragičević[12]还讨论了非一致指数二分性情形下方程 (1.4) 的伪轨跟踪性.

关于伪轨跟踪性的研究还有很多有趣的发展方向. 如一些学者考虑不同伪轨定义下的跟踪性 (参见文献[8,26]). 另一些学者探索伪轨跟踪性在不同方程中的应用,如带有时滞的方程[1,13]、随机动力系统[5,15]、含参量的方程[6]. 还有一些学者研究伪轨跟踪性的逆定理, 如文献[11,12].

本文主要研究无穷维 Banach 空间上的半线性非自治发展方程

$u'(t) = A(t)u(t) + f(t,u(t)), \ \ t \in \mathbb{R}$

具有伪轨跟踪性的充分性条件, 其中方程 (1.5) 是指数二分的且非线性项 $f$ 关于第二个变量具有 Lipschitz 条件. 虽然前人对于方程(1.6) 的伪轨跟踪性已经给出了一些重要结果 (如文献[4,6,7,10,12]等), 但据我们所掌握的文献所知, 除文献[10]外都要求 $A(t)$ 是有界线性算子 (虽然文献[10]中只考虑了 $A(t)\equiv A$ 的情形但 $A$ 可以是无界算子), 这使得许多偏微分方程不能适用. 本文将在线性算子 $A(t)$ 未必有界的情形下研究方程 (1.6) 的伪轨跟踪性. 相比已有文献, 本文的主要特点有

1. 允许 $A(t)$ 为无界算子 (从而抽象结果可以应用到偏微分方程) 是本文和已有文献最大的区别;

2. 本文的结果还减弱了已有文献中非线性项 $f$ 的 Lipschitz 条件;

3. 给出了一种新的伪轨和伪轨跟踪性的定义, 并建立了相应的跟踪性结果.

本文中, $\mathbb{R}$ 表示实数集, $\mathbb{R}^{+}$ 表示非负实数集, $\mathbb{N}$ 表示自然数集, $\mathbb{Z}$ 表示整数集. 并且对于任意的 Banach 空间 $X$ 和常数 $p\geq1$, 我们采用如下记号: $C(\mathbb{R},X)$ 表示从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的连续函数全体,$C^{1}(\mathbb{R},X)$ 表示从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的有一阶连续导函数的函数全体,$BC(\mathbb{R},X)$ 表示从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的有界连续函数全体且用 $\|f\|_{\infty}$ 表示其上确界范数,$L^{p}(\mathbb{R},X)$ 表示从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的 $p$ 次可积函数的全体且用 $\|f\|_{L^{p}}$ 表示其范数,$L^{p}_{\rm loc}(\mathbb{R},X)$ 表示从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的 $p$ 次局部可积函数的全体. 此外, 令

$BS^{p}(\mathbb{R},X)= \{ f \in L^{p}_{\rm loc}(\mathbb{R},X); \underset{t \in \mathbb{R}}{\sup} \int _{t}^{t+1} |L(s)|^{p} \mathrm{d}s < \infty \},$

且

$\|f\|_{BS^{p}} = \underset{t \in \mathbb{R}}{\sup} \left(\int _{t}^{t+1} |f(s)|^{p} \mathrm{d}s \right)^{1/p}.$

2 预备知识

本节简要介绍有关强连续算子族的内容, 详细内容读者可以参见文献[14,16,21,25].

设 $(X,\| \cdot \|)$ 是一个 Banach 空间, 且 $A(t) : D(A(t)) \subset X \rightarrow X$, $t \in \mathbb{R}$ 是一族线性算子. 考虑 $X$ 上的非自治抽象 Cauchy 问题

$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} u'(t)&=A(t)u(t) \ \ \text{对于} t,s \in \mathbb{R} \text{且} t \geq s, \\ u(s)&=x \in X. \end{aligned} \right. \end{equation}$

定义2.1[14] 若存在稠密子空间 $Y_{s} \subset D(A(s))$, $s \in \mathbb{R}$, 使得对于任意的 $x \in Y_{s}$, 方程 (2.1) 存在唯一的古典解 $t \mapsto u(t) \in Y_{t}$, 则称方程 (2.1) 是适定的.

定义2.2[14,25] 设 $(U(t,s))_{t,s \in \mathbb{R}, t \geq s}$ 为 Banach空间 $X$ 上的有界线性算子族, 若算子族 $(U(t,s))_{t,s \in \mathbb{R}, t \geq s}$ 满足

(1) $U(s,s)={\rm Id}$, $U(t,r)U(r,s)=U(t,s)$, 对于任意的 $t,r,s \in \mathbb{R}$ 且 $t \geq r \geq s$;

(2) 映射$\{ (\tau,\sigma) \in \mathbb{R}^{2} : \tau \geq \sigma \} \ni (t,s) \mapsto U(t,s)$ 是强连续的. 则称算子族 $(U(t,s))_{t,s \in \mathbb{R}, t \geq s}$ 为强连续发展族, 简记 $(U(t,s))_{t \geq s}=(U(t,s))_{t,s \in \mathbb{R}, t \geq s}$ 为发展族.

引理2.1[14] 方程 (2.1) 是适定的当且仅当存在发展族 $(U(t,s))_{t \geq s}$, 使得 $t \mapsto U(t,s)x$ 是方程 (2.1) 的解.

该引理的证明参见文献[第 9 章].

定义2.3[16] 设 $(U(t,s))_{t \geq s}$ 为强连续发展族, 并且存在 $X$ 上的投影族 $P(t)$, $t \in \mathbb{R}$ 和常数 $N, \lambda > 0$, 使得

(1) 对于任意的 $t \geq s$, $U(t,s)P(s)=P(t)U(t,s)$;

(2) 对于任意的 $t \geq s$, $U_{Q}(t,s) : Q(s)X \rightarrow Q(t)X$ 是可逆的, 其中 $Q(t)={\rm Id}-P(t)$, $U_{Q}(t,s)$ 是 $U(t,s)$ 在 $Q(s)X$ 上的限制. 记 $U(s,t)=U_{Q}(t,s)^{-1}$, $t \geq s$;

(3) 对于任意的 $t \geq s$, $\| U(t,s)P(s) \| \leq N{\rm e}^{-\lambda(t-s)}$, 且 $\| U(s,t)Q(t) \| \leq N{\rm e}^{-\lambda(t-s)}$.则称发展族 $(U(t,s))_{t \geq s}$ 具有 $N,\lambda$ 系数的指数二分性.

3 伪轨跟踪性

考虑 Banach 空间 $X$ 上的方程

$u'(t)=A(t)u(t)+f(t,u(t)), \ \ t \in \mathbb{R},$

其中 $\{A(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 是一族未必有界的线性算子, 并且方程 (2.1) 存在具有 $N,\lambda$ 系数的指数二分性的发展族 $(U(t,s))_{t \geq s}$. 此外, 非线性项 $f : \mathbb{R} \times X \rightarrow X$ 满足 Lipschitz 条件, 即存在 $L : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+} $, 使得对于任意的 $t \in \mathbb{R}$ 和 $x,y \in X$, 满足不等式 $\| f(t,x)-f(t,y) \| \leq L(t) \| x-y \|$.

定义3.1 若存在 $x \in C(\mathbb{R},X)$ 使得对任意的 $t,s \in \mathbb{R}$ 且 $t \geq s$, 满足

$ x(t)=U(t,s)x(s)+ \int_{s}^{t} U(t,r)f(r,x(r)){\rm d}r, $

则称 $x$ 是方程 (3.1) 的温和解.

下面给出伪轨和伪轨跟踪性的定义.

定义3.2 对于常数 $\delta >0$, 若存在 $y \in C^{1}(\mathbb{R},X)$ 并且 $y(t) \in D(A(t))$ 满足

$\sup_{t \in \mathbb{R}} {\| y'(t)-A(t)y(t)-f(t,y(t)) \|} \leq \delta,$

则称 $y$ 是方程 (3.1) 的 $\delta$ 伪轨.

定义3.3 假设 $\epsilon,\delta > 0$ 且 $y$ 是方程 (3.1) 的 $\delta$ 伪轨, 若存在 $x \in C(\mathbb{R},X)$ 满足

(1) $x$ 是方程 (3.1) 的温和解;

(2) $ \underset{t \in \mathbb{R}}{\sup} \|x(t)-y(t)\| \leq \epsilon $.

则称 $x$$(\epsilon)$-跟踪 $y$.

定义3.4 若对任给 $\epsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得对于任意的 $\delta$ 伪轨 $y$, 存在唯一的 $x \in C(\mathbb{R},X)$ 且 $x$$(\epsilon)$-跟踪 $y$, 则称方程 (3.1) 具有伪轨跟踪性. 此外, 若存在 $C>0$, 使得对任意的 $\delta > 0$ 和 $\delta$ 伪轨 $y$, 存在唯一的 $x \in C(\mathbb{R},X)$ 且 $x$$(C\delta)$-跟踪 $y$, 则称方程 (3.1) 具有 Lipschitz伪轨跟踪性, 简称方程(3.1) 有Lip伪轨跟踪性.

注3.1 上述伪轨和伪轨跟踪性定义的思想源自文献[4,20,22,23]. 若方程 (3.1) 的轨道构成动力系统, 文献[20,22,23]给出了标准的伪轨和伪轨跟踪性的定义. 在更一般的情形下, 若方程 (3.1) 的轨道未必构成动力系统且方程 (3.1) 的线性算子有界时, 文献[4]给出了伪轨和伪轨跟踪性的定义. 仿照上述定义, 当方程 (3.1) 的线性算子未必有界时, 我们给出了伪轨和伪轨跟踪性的定义.

接下来我们探究方程(3.1)在什么条件下具有伪轨跟踪性.

定理3.1 若存在常数 $L>0$, 使得 $L(t) \equiv L$ 并且 $\frac{2NL}{\lambda} < 1$, 则方程 (3.1) 具有 Lip 伪轨跟踪性.

证 任取 $\delta>0$ 和 $\delta$ 伪轨 $y$. 由伪轨定义可知 $y \in C^{1}(\mathbb{R},X)$ 且 $y(t) \in D(A(t))$, 显然 $y'(t)=A(t)y(t)+y'(t)-A(t)y(t)$, 从而 $y$ 是方程

$u'(t)=A(t)u(t)+y'(t)-A(t)y(t)$

的古典解也是温和解, 那么有

$ y(t)=U(t,s)y(s)+ \int_{s}^{t} U(t,r)(y'(r)-A(r)y(r)){\rm d}r, \ \ t \geq s. $

要证明方程 (3.1) 有伪轨跟踪性, 需要找到方程 (3.1) 的一个温和解 $x$ 满足 $x-y \in BC(\mathbb{R},X)$ 并且

$x(t)-y(t)=U(t,s)(x(s)-y(s))+\int_{s}^{t} U(t,r)(A(r)y(r)+f(r,x(r))-y'(r)) \mathrm{d}r, \ \ t \geq s,$

即找到一个 $z \in BC(\mathbb{R},X)$, 使得对于任意的 $t,s \in \mathbb{R}$ 且 $t \geq s$ 满足

$z(t)=U(t,s)z(s)+ \int_{s}^{t} U(t,r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r.$

因为 $z \in BC(\mathbb{R},X)$ 且

$\begin{align*} P(t)z(t) & = P(t)U(t,s)z(s)+ P(t)\int_{s}^{t} U(t,r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r \\ & =U(t,s)P(s)z(s)+\int_{s}^{t} P(t)U(t,r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r \\ & =U(t,s)P(s)z(s)+\int_{s}^{t}U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r, \end{align*}$

所以当 $s \rightarrow -\infty$ 时有

$ P(t)z(t)=\int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r. $

类似地,

$ Q(t)z(t)=U(t,s)Q(s)z(s)+ \int_{s}^{t} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r. $

由于

$ Q(t)z(t) \in Q(t)X,$
$ U(t,s)Q(s)z(s)=Q(t)U(t,s)z(s) \in Q(t)X,$

以及

$\begin{align*} & \int_{s}^{t} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r \\ =& \int_{s}^{t} Q(t)U(t,r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r \\ =& Q(t)\int_{s}^{t}U(t,r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r \in Q(t)X, \end{align*}$

则$ Q(s)z(s)=U(s,t)Q(t)z(t)-\int_{s}^{t} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r. $

又因为 $z \in BC(\mathbb{R},X)$, 所以当 $t \rightarrow +\infty$ 时有

$ Q(s)z(s)=-\int_{s}^{\infty} U(s,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r. $

综上可得

$\begin{align*} \notag z(t)=& \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ &- \int_{t}^{\infty} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r. \end{align*}$

接下来利用 Banach 不动点定理找到 $z$. 对于任意的 $z \in BC(\mathbb{R},X)$ 和 $t \in \mathbb{R}$, 定义算子

$\begin{align*} (Tz)(t)=& \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ &- \int_{t}^{\infty} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ :=& (T_{1}z)(t)-(T_{2}z)(t). \end{align*}$

首先说明算子 $T$ 是从 $BC(\mathbb{R},X)$ 到 $BC(\mathbb{R},X)$ 的映射. 对任意的 $z \in BC(\mathbb{R},X)$ 和 $t \in \mathbb{R}$, 有

$\begin{align*} \|(T_{1}z)(t)\|=& \left\|\int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r\right\| \\ \leq & \int_{-\infty}^{t} \|U(t,r)P(r)\| \cdot \|A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)\| \mathrm{d}r \\ \leq & \int_{-\infty}^{t} \|U(t,r)P(r)\| \cdot ( \|A(r)y(r)+f(r,y(r))-y'(r)\| \\ & +\|f(r,y(r)+z(r))-f(r,y(r))\| ) \mathrm{d}r \\ \leq & \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)} (\delta+L\|z(r)\|) \mathrm{d}r \\ \leq & \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)} (\delta+L\|z\|_{\infty}) \mathrm{d}r \\ \leq & \dfrac{N}{\lambda}(\delta+L\|z\|_{\infty}). \end{align*}$

同理

$\begin{align*} \|(T_{2}z)(t)\|=& \|\int_{t}^{\infty} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r\| \\ \leq & \int_{t}^{\infty} N{\rm e}^{-\lambda (r-t)} (\delta+L\|z\|_{\infty}) \mathrm{d}r \\ \leq & \dfrac{N}{\lambda}(\delta+L\|z\|_{\infty}). \end{align*}$

因此, 对于任意的 $t\in \mathbb{R}$ 有

$\begin{align*} \|(Tz)(t)\| = & \|((T_{1}z)(t))-((T_{2}z)(t))\| \\ \leq & \|(T_{1}z)(t)\| + \|(T_{2}z)(t)\| \\ \leq & \frac{2N}{\lambda}(\delta+L\|z\|_{\infty}) \\ < & \infty. \end{align*}$

此外, 不难验证 $Tz$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $X$ 的连续映射.

接下来验证算子 $T$ 是压缩映射. 对于任意的 $ z_{1},z_{2} \in BC(\mathbb{R},X)$ 和 $t \in \mathbb{R}$, 由发展族的指数二分性和非线性项的 Lipschitz 性可知

$\begin{align*} \|(T_{1}z_{1})(t)-(T_{1}z_{2})(t)\| &= \left\| \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(f(r,y(r)+z_{1}(r)) - f(r,y(r)+z_{2}(r))) \mathrm{d}r \right\| \\ &\leq \int_{-\infty}^{t} \|U(t,r)P(r)\| \cdot \|f(r,y(r)+z_{1}(r)) - f(r,y(r)+z_{2}(r))\| \mathrm{d}r \\ &\leq \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)}L\|z_{1}(r)-z_{2}(r)\| \mathrm{d}r \\ &\leq \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)}L\|z_{1}-z_{2}\|_{\infty} \mathrm{d}r \\ &\leq \dfrac{NL}{\lambda}\|z_{1}-z_{2}\|_{\infty} \end{align*}$

和

$\begin{align*} \|(T_{2}z_{1})(t)-(T_{2}z_{2})(t)\| &=\left\| \int_{t}^{\infty} U(t,r)Q(r)(f(r,y(r)+z_{1}(r)) - f(r,y(r)+z_{2}(r))) \mathrm{d}r \right\| \\ &\leq \int_{t}^{\infty} \|U(t,r)Q(r)\| \cdot \|f(r,y(r)+z_{1}(r)) - f(r,y(r)+z_{2}(r))\| \mathrm{d}r \\ &\leq \int_{t}^{\infty} N{\rm e}^{-\lambda (r-t)}L\|z_{1}-z_{2}\|_{\infty} \mathrm{d}r \\ &\leq \dfrac{NL}{\lambda}\|z_{1}-z_{2}\|_{\infty}, \end{align*}$

故

$\begin{align*} \notag \|Tz_{1}-Tz_{2}\|_{\infty} = & \sup_{t\in \mathbb{R}} \|(Tz_{1})(t)-(Tz_{2})(t)\| \\ \notag = & \sup_{t\in \mathbb{R}} \|\left((T_{1}z_{1})(t)-(T_{2}z_{2})(t)\right)-\left((T_{1}z_{1})(t)-(T_{2}z_{2})(t)\right)\| \\ \notag \leq & \sup_{t\in \mathbb{R}} \|(T_{1}z_{1})(t)-(T_{1}z_{2})(t)\| + \sup_{t\in \mathbb{R}} \|(T_{2}z_{1})(t)-(T_{2}z_{2})(t)\| \\ \leq & \dfrac{2NL}{\lambda} \|z_{1}-z_{2}\|_{\infty}. \end{align*}$

由 Banach 不动点定理可知, 存在唯一的不动点 $z \in BC(\mathbb{R},X)$ 使得 $z$ 是方程 (3.4) 的解.

我们还需要验证 $z$ 是方程 (3.3) 的解. 对任意的 $t,s \in \mathbb{R}$ 且 $t \geq s$ 有

$\begin{align*} U(t,s)(T_{1}z)(s) = & U(t,s) \int_{-\infty}^{s} U(s,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ = & \int_{-\infty}^{s} U(t,s)U(s,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ = & \int_{-\infty}^{s} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ = & \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ & - \int_{s}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ = & (T_{1}z)(t) - \int_{s}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \end{align*}$

和

$\begin{align*} U(t,s)(T_{2}z)(s) = & U(t,s) \int_{s}^{\infty} U(s,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ = & \int_{s}^{\infty} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ = & \int_{t}^{\infty} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ & + \int_{s}^{t} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ = & (T_{2}z)(t) + \int_{s}^{t} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r, \end{align*}$

由此可得

$\begin{align*} z(t) = & (T_{1}z)(t)-(T_{2}z)(t) \\ = & U(t,s)(T_{1}z)(s) + \int_{s}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ & - U(t,s)(T_{2}z)(s) + \int_{s}^{t} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ = & U(t,s) \left( (T_{1}z)(s)-(T_{2}z)(s) \right) \\ & + \int_{s}^{t} U(t,r)(P(r)+Q(r))(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ = & U(t,s)z(s) + \int_{s}^{t} U(t,r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r. \end{align*}$

最后我们给出 $\|z\|_{\infty}$ 的估计. 利用发展族的指数二分性和(3.2) 式可知

$\begin{align*} \|(T_{1}\theta)(t)\| &= \left\| \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r))-y'(r)) \mathrm{d}r \right\| \\ &\leq \int_{-\infty}^{t} \|U(t,r)P(r)\| \cdot \|A(r)y(r)+f(r,y(r))-y'(r) \| \mathrm{d}r \\ &\leq \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)} \delta \mathrm{d}r \\ &\leq \dfrac{N\delta}{\lambda} \end{align*}$

和

$\begin{align*} \|(T_{2}\theta)(t)\| &= \left\| \int_{t}^{\infty} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r))-y'(r)) \mathrm{d}r \right\| \\ &\leq \int_{t}^{\infty} \|U(t,r)Q(r)\| \cdot \|A(r)y(r)+f(r,y(r))-y'(r) \| \mathrm{d}r \\ &\leq \int_{t}^{\infty} N{\rm e}^{-\lambda (r-t)} \delta \mathrm{d}r \\ &\leq \dfrac{N\delta}{\lambda}, \end{align*}$

其中 $\theta$ 是 $BC(\mathbb{R},X)$ 中的零元. 故

$\begin{align*} \|(T\theta)\|_{\infty} & = \sup_{t \in \mathbb{R}} \| (T\theta)(t) \| \notag \\ \notag & = \sup_{t \in \mathbb{R}} \| (T_{1}\theta)(t)-(T_{2}\theta)(t) \| \\ & \leq \sup_{t \in \mathbb{R}} \| (T_{1}\theta)(t)\| + \sup_{t \in \mathbb{R}}\|(T_{2}\theta)(t) \| \leq \dfrac{2N\delta}{\lambda}. \end{align*}$

令 $C_{1}=\frac{2N}{\lambda - 2NL}$, $\mathcal{B}_{1}=\{ v \in BC(\mathbb{R},X); \|v\|_{\infty} \leq C_{1} \delta \}$. 结合(3.5) 式和 (3.6) 式可知, 对于任意的 $v \in \mathcal{B}_{1}$ 有

$\begin{align*} \|Tv\|_{\infty} & \leq \|T\theta\|_{\infty}+\|Tv-T\theta\|_{\infty} \\ & \leq \dfrac{2N}{\lambda} \delta + \dfrac{2NL}{\lambda} \|v\|_{\infty} \\ & \leq \dfrac{2N}{\lambda} \delta + \dfrac{2NL}{\lambda} C_{1} \delta \\ & = \dfrac{2N}{\lambda} \delta + \dfrac{2NL}{\lambda} \cdot \dfrac{2N}{\lambda - 2NL} \delta \\ & = \dfrac{2N}{\lambda - 2NL} \delta \\ & = C_{1} \delta, \end{align*}$

即 $T(\mathcal{B}_{1}) \subset \mathcal{B}_{1}$. 根据 Banach 不动点定理, 存在唯一的不动点 $\hat{z} \in \mathcal{B}_{1}$ 满足方程(3.4). 又因为 $\mathcal{B}_{1} \subset BC(\mathbb{R},X)$ 和方程 (3.4) 的 $BC(\mathbb{R},X)$ 解是唯一的, 所以 $z=\hat{z}$, 且 $\|z\|_{\infty} \leq C_{1}\delta$. 令 $x=y+z$, 则上述证明已经验证了 $x$$(C_{1}\delta)$-跟踪 $y$. 由 $z$ 的唯一性证明可知 $x$ 也是唯一的, 故方程 (3.1) 具有 Lip 伪轨跟踪性.

定理 3.1 需要非线性项 $f$ 满足一致 Lipschitz 条件, 如果没有该条件, 方程 (3.1) 是否具有 Lip 伪轨跟踪性?

定理3.2 假设常数 $p \geq 1$ 并且 $q$ 是 $p$ 的共轭指数. 如果 $L \in BS^{p}(\mathbb{R},X)$ 并且满足

$2N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}} < 1,$

则方程 (3.1) 具有 Lip 伪轨跟踪性.

证 任取 $\delta>0$ 和 $\delta$ 伪轨 $y$. 与定理 3.1 的证明类似, 我们只需找出唯一的 $z$ 满足方程 (3.4) 即可. 同样地, 对于任意的 $z \in BC(\mathbb{R},X)$ 和 $t \in \mathbb{R}$, 定义算子

$\begin{align*} (Tz)(t)=& \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ &- \int_{t}^{\infty} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ :=& (T_{1}z)(t)-(T_{2}z)(t). \end{align*}$

首先说明算子 $T$ 是从 $BC(\mathbb{R},X)$ 到 $BC(\mathbb{R},X)$ 的映射. 对任意的 $z \in BC(\mathbb{R},X)$ 和 $t \in \mathbb{R}$, 有

$\begin{align*} \|(T_{1}z)(t)\|=& \left\| \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \right\| \\ \leq & \int_{-\infty}^{t} \|U(t,r)P(r)\| \cdot ( \|A(r)y(r)+f(r,y(r))-y'(r)\| \\ & +\|f(r,y(r)+z(r))-f(r,y(r))\| ) \mathrm{d}r \\ \leq & \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)} (\delta+L(r)\|z(r)\|) \mathrm{d}r \\ \leq & \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)} \delta \mathrm{d}r + \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)} L(r)\|z\|_{\infty} \mathrm{d}r \\ = & \dfrac{N}{\lambda}\delta + N \|z\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{t-n-1}^{t-n} {\rm e}^{-\lambda (t-r)} L(r) \mathrm{d}r, \end{align*}$

利用 Hölder 不等式计算可得

$\begin{align*} & \dfrac{N}{\lambda}\delta + N \|z\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{t-n-1}^{t-n} {\rm e}^{-\lambda (t-r)} L(r) \mathrm{d}r \\ \leq & \dfrac{N}{\lambda}\delta + N \|L\|_{BS^{p}} \|z\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \int_{t-n-1}^{t-n} {\rm e}^{-\lambda q(t-r)} \mathrm{d}r \right)^{\frac{1}{q}} \\ = & \dfrac{N}{\lambda}\delta + N \|L\|_{BS^{p}} \|z\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{{\rm e}^{-\lambda qn}-{\rm e}^{-\lambda q(n+1)}}{\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} \\ = & \dfrac{N}{\lambda}\delta + N \|L\|_{BS^{p}} \|z\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} {\rm e}^{-\lambda n} (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} \\ = & \dfrac{N}{\lambda}\delta + N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}} \|z\|_{\infty}. \end{align*}$

同理

$\begin{align*} \|(T_{2}z)(t)\|=& \left\| \int_{t}^{\infty} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \right\| \\ \leq & \dfrac{N}{\lambda}\delta + N \|z\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{t+n}^{t+n+1} {\rm e}^{-\lambda (r-t)} L(r) \mathrm{d}r \\ \leq & \dfrac{N}{\lambda}\delta + N \|L\|_{BS^{p}} \|z\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \int_{t+n}^{t+n+1} {\rm e}^{-\lambda q(r-t)} \mathrm{d}r \right)^{\frac{1}{q}} \\ \leq & \dfrac{N}{\lambda}\delta + N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}} \|z\|_{\infty}. \end{align*}$

因此

$\|(Tz)(t)\| \leq \dfrac{2N}{\lambda}\delta + 2N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}} \|z\|_{\infty}. $

由 $t$ 的任意性知 $Tz \in BC(\mathbb{R},X)$.

下面验证算子 $T$ 是压缩映射. 对于任意的 $ z_{1},z_{2} \in BC(\mathbb{R},X) $ 和 $t \in \mathbb{R}$, 由发展族的指数二分性和非线性项的 Lipschitz 性可知

$\begin{align*} \|(T_{1}z_{1})(t)-(T_{1}z_{2})(t)\| &= \left\| \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(f(r,y(r)+z_{1}(r)) - f(r,y(r)+z_{2}(r))) \mathrm{d}r \right\| \\ &\leq \int_{-\infty}^{t} \|U(t,r)P(r)\| \cdot \|f(r,y(r)+z_{1}(r)) - f(r,y(r)+z_{2}(r))\| \mathrm{d}r \\ &\leq \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)}L(r)\|z_{1}(r)-z_{2}(r)\| \mathrm{d}r \\ &\leq \int_{-\infty}^{t} N{\rm e}^{-\lambda (t-r)}L(r)\|z_{1}-z_{2}\|_{\infty} \mathrm{d}r \\ &= N \|z_{1}-z_{2}\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{t-n-1}^{t-n} {\rm e}^{-\lambda (t-r)}L(r) \mathrm{d}r, \end{align*}$

利用 Hölder 不等式计算可得

$\begin{align*} & N \|z_{1}-z_{2}\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{t-n-1}^{t-n} {\rm e}^{-\lambda (t-r)}L(r) \mathrm{d}r \\ \leq & N \|L\|_{BS^{p}} \|z_{1}-z_{2}\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \int_{t-n-1}^{t-n} {\rm e}^{-\lambda q(t-r)} \mathrm{d}r \right)^{\frac{1}{q}} \\ = & N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}} \|z_{1}-z_{2}\|_{\infty}, \end{align*}$

以及

$\begin{align*} \|(T_{2}z_{1})(t)-(T_{2}z_{2})(t)\| &=\left\| \int_{t}^{\infty} U(t,r)Q(r)(f(r,y(r)+z_{1}(r)) - f(r,y(r)+z_{2}(r))) \mathrm{d}r \right\| \\ &\leq N \|z_{1}-z_{2}\|_{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{t+n}^{t+n+1} {\rm e}^{-\lambda (t-r)}L(r) \mathrm{d}r \\ &\leq N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}} \|z_{1}-z_{2}\|_{\infty}, \end{align*}$

故

$\begin{align*} \notag \|Tz_{1}-Tz_{2}\|_{\infty} = & \sup_{t\in \mathbb{R}} \|(Tz_{1})(t)-(Tz_{2})(t)\| \\ \notag = & \sup_{t\in \mathbb{R}} \|\left((T_{1}z_{1})(t)-(T_{2}z_{2})(t)\right)-\left((T_{1}z_{1})(t)-(T_{2}z_{2})(t)\right)\| \\ \notag \leq & \sup_{t\in \mathbb{R}} \|(T_{1}z_{1})(t)-(T_{1}z_{2})(t)\| + \sup_{t\in \mathbb{R}} \|(T_{2}z_{1})(t)-(T_{2}z_{2})(t)\| \\ \leq & 2N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}} \|z_{1}-z_{2}\|_{\infty}. \end{align*}$

由 Banach 不动点定理可知, 存在唯一的不动点 $z \in BC(\mathbb{R},X)$ 使得 $z$ 是方程 (3.4) 的解. 与定理 3.1 的证明一样, $z$ 也是方程 (3.3) 的解.

最后我们给出 $\|z\|_{\infty}$ 的估计. 令 $\mathcal{B}_{2}=\{ v \in BC(\mathbb{R},X); \|v\|_{\infty} \leq C_{2} \delta \}$, 其中

$C_{2}=\dfrac{2N}{\lambda(1-2N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}})}.$

结合 (3.6) 和 (3.7) 式可知, 对于任意的 $v \in \mathcal{B}_{2}$ 有

$\begin{align*} \|Tv\|_{\infty} & \leq \|T\theta\|_{\infty}+\|Tv-T\theta\|_{\infty} \\ & \leq \dfrac{2N}{\lambda} \delta + 2N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}} \|v\|_{\infty} \\ & \leq \dfrac{2N}{\lambda} \delta + 2N (\lambda q)^{-\frac{1}{q}} \left( 1-{\rm e}^{-\lambda q} \right)^{\frac{1}{q}} (1-{\rm e}^{-\lambda})^{-1} \|L\|_{BS^{p}} C_{2} \delta \\ & = C_{2} \delta, \end{align*}$

即 $T(\mathcal{B}_{2}) \subset \mathcal{B}_{2}$. 根据 Banach 不动点定理, 存在唯一的不动点 $\hat{z} \in \mathcal{B}_{2}$ 满足方程(3.4). 又因为 $\mathcal{B}_{2} \subset BC(\mathbb{R},X)$ 和方程 (3.4) 的 $BC(\mathbb{R},X)$ 解的唯一性, 所以 $z=\hat{z}$, 且 $\|z\|_{\infty} \leq C_{2}\delta$. 令 $x=y+z$, 则上述证明已经验证了 $x$$(C_{2}\delta)$-跟踪 $y$. 由 $z$ 的唯一性证明可知 $x$ 也是唯一的, 故方程 (3.1) 具有 Lip 伪轨跟踪性.

以上结果是基于伪轨 $y$ 的误差 $\|y'(t)-A(t)y(t)-f(t,y(t))\|$ 有界的情况下得到的伪轨跟踪性. 若伪轨不满足该条件, 方程 (3.1) 是否具有伪轨跟踪性? 这方面的讨论在已有文献中并不多, 如文献[12]证明了对于满足 $\int_{-\infty}^{\infty} \|y'(t)-A(t)y(t)-f(t,y(t))\|^{p} \mathrm{d}t < \infty$的伪轨 $y$, 在一定条件下方程 (3.1) 仍然对此类伪轨具有跟踪性, 即存在方程(3.1) 的解 $x$ 使得 $\|x-y\|_{\infty}$ 足够小. 这种情况下, 一个自然而有趣的问题出现了

是否存在方程 (3.1) 的解 $x\in L^{p}(\mathbb{R},X)$ 使得 $\|x-y\|_{L^{p}}$ 足够小?

为了回答以上问题, 我们接下来引入方程 (3.1) 的 $L^{p}$ 伪轨和 $L^{p}$ 伪轨跟踪性的定义, 其中常数 $p\geq1$.

定义3.5 假设 $\delta \in L^{p}(\mathbb{R})$ 是非负函数, 若存在 $y \in L^{p}(\mathbb{R},X)$ 且 $y$ 在 $\mathbb{R}$ 上几乎处处可导, 使得

$\| y'(t)-A(t)y(t)-f(t,y(t)) \| \leq \delta(t) \ \ {\rm a.e}. \text{于} \mathbb{R},$

则称 $y$ 是方程 (3.1) 的 $\delta$-$L^{p}$ 伪轨.

定义3.6 假设 $\epsilon > 0$, $\delta \in L^{p}(\mathbb{R})$ 是非负函数并且 $y$ 是方程 (3.1) 的 $\delta$-$L^{p}$ 伪轨, 若存在 $x \in L^{p}(\mathbb{R},X)$ 满足

(1) 对于任意的 $s \in \mathbb{R}$, 有 $ x(t)=U(t,s)x(s)+ \int_{s}^{t} U(t,r)f(r,x(r)){\rm d}r \ \ {\rm a.e}. \text{于} [s,\infty)$;

(2) $ \|x-y\|_{L^{p}} \leq \epsilon $.

则称 $x$$(\epsilon)$-$L^{p}$ 跟踪 $y$.

定义3.7 若对任给 $\epsilon > 0$, 存在非负函数 $\delta \in L^{p}(\mathbb{R})$, 使得对于任意的 $\delta$-$L^{p}$ 伪轨 $y$, 存在唯一的 $x \in L^{p}(\mathbb{R},X)$ 并且 $x$$(\epsilon)$-$L^{p}$ 跟踪 $y$, 则称方程 (3.1) 具有 $L^{p}$ 伪轨跟踪性. 此外, 若存在 $C>0$, 使得对于任意的非负函数 $\delta \in L^{p}(\mathbb{R})$ 和 $\delta$-$L^{p}$ 伪轨 $y$, 存在唯一的 $x \in L^{p}(\mathbb{R},X)$ 并且 $x$$(C\|\delta\|_{L^{p}})$-$L^{p}$ 跟踪 $y$, 则称方程 (3.1) 具有Lipschitz$L^{p}$ 伪轨跟踪性, 简称方程 (3.1) 具有Lip$L^{p}$ 伪轨跟踪性.

定理3.3 假设常数 $p\geq 2$ 并且 $q$ 是 $p$ 的共轭指数. 若 $L \in L^{q}(\mathbb{R})$ 并且满足不等式

$\left(\frac{2}{p\lambda}\right)^{\frac{q^{2}}{p}} N \|L\|_{L^{q}}^{q^{2}} \leq 1,$

则方程 (3.1) 有Lip$L^{p}$ 伪轨跟踪性.

证 任取 $\delta \in L^{p}(\mathbb{R})$ 和 $\delta$-$L^{p}$ 伪轨 $y$. 与定理 3.1 的证明类似, 对于任意的 $s \in \mathbb{R}$, 我们需要找出 $z$ 满足方程

$z(t)=U(t,s)z(s)+\int_{s}^{t} U(t,r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r, \ {\rm a.e}. \text{于} [s,\infty).$

我们仍然希望利用 (3.4) 式来找出 $z$, 然而此时的 $z \in L^{p}(\mathbb{R},X)$ 未必有界, 因此我们需要新的方法证明 $z$ 满足(3.4) 式.

因为 $z \in L^{p}(\mathbb{R},X)$, 所以对于任意的 $t\in \mathbb{R}$, 存在数列 $\{s_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ 使得 $s_{n}<\min \{-n,t\}$ 且 $\|z(s_{n})\| \leq 1$. 取 $s=s_{n}$ 带入方程 (3.9) 中得

$z(t)= U(t,s_{n})z(s_{n}) + \int_{s_{n}}^{t} U(t,r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r.$

再作用投影 $P(t)$ 得到

$P(t)z(t)= U(t,s_{n})P(s_{n})z(s_{n}) + \int_{s_{n}}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r.$

当 $n \to \infty$ 时有

$P(t)z(t)= \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r.$

同理, 对于任意的 $s\in \mathbb{R}$, 存在数列 $\{t_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ 使得 $t_{n}>\max \{n,s\}$ 且 $\|z(t_{n})\| \leq 1$. 取 $t=t_{n}$ 带入方程 (3.9) 中得

$z(t)= U(t_{n},s)z(s) + \int_{s}^{t_{n}} U(t_{n},r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r.$

再作用投影 $Q(t_{n})$ 得

$Q(t_{n})z(t_{n})= U(t_{n},s)Q(s)z(s) + \int_{s}^{t_{n}} U(t_{n},r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r.$

由于

$ Q(t_{n})z(t_{n}) \in Q(t_{n})X,$
$ U(t_{n},s)Q(s)z(s)=Q(t_{n})U(t_{n},s)z(s) \in Q(t_{n})X,$

以及

$ \int_{s}^{t_{n}} U(t_{n},r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r \in Q(t_{n})X, $

则

$\begin{align*} Q(s)z(s)= & U(s,t_{n})Q(t_{n})z(t_{n}) \\ & - \int_{s}^{t_{n}} U(t_{n},r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r. \end{align*}$

当 $n \to \infty$ 时有

$Q(s)z(s)= \int_{s}^{\infty} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r)) \mathrm{d}r.$

下面利用 Banach 压缩映射定理证明方程 (3.4) 存在唯一的 $L^{p}(\mathbb{R},X)$ 解. 类似地, 对任意的 $z \in L^{p}(\mathbb{R},X)$ 和 $t \in \mathbb{R}$, 定义

$\begin{align*} (Tz)(t)=& \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ &- \int_{t}^{\infty} U(t,r)Q(r)(A(r)y(r)+f(r,y(r)+z(r))-y'(r))\mathrm{d}r \\ :=& (T_{1}z)(t)-(T_{2}z)(t). \end{align*}$

对于任意的 $z_{1}, z_{2} \in L^{p}(\mathbb{R},X)$, 有

$\begin{align*} \|T(z_{1})-T(z_{2})\|_{L^{p}} = & \|(T_{1}z_{1}-T_{2}z_{1})-(T_{1}z_{2}-T_{2}z_{2})\|_{L^{p}} \\ &= \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left\| \int_{-\infty}^{t} U(t,r)P(r)(f(r,y(r)+z_{1}(r))-f(r,y(r)+z_{2}(r))\mathrm{d}r \right. \right. \\ &\quad - \left. \left. \int_{t}^{\infty} U(t,r)Q(r)(f(r,y(r)+z_{1}(r))-f(r,y(r)+z_{2}(r)))\mathrm{d}r \right\|^{p} \mathrm{d}r \right)^{\frac{1}{p}} \\ &\leq \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left| \int_{-\infty}^{\infty} N{\rm e}^{-\lambda |t-r|}L(r)\|z_{1}(r)-z_{2}(r)\| \mathrm{d}r \right|^{p} \mathrm{d}t \right)^{\frac{1}{p}}, \end{align*}$

利用 Hölder 不等式计算可得

$\begin{align*} & \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left| \int_{-\infty}^{\infty} N{\rm e}^{-\lambda |t-r|}L(r)\|z_{1}(r)-z_{2}(r)\| \mathrm{d}r \right|^{p} \mathrm{d}t \right)^{\frac{1}{p}} \\ \leq & N\|z_{1}-z_{2}\|_{L^{p}} \left(\int_{-\infty}^{\infty} \left(\int_{-\infty}^{\infty} |{\rm e}^{-\lambda |t-r|}L(r)|^{q} \mathrm{d}r \right)^{p-1} \mathrm{d}t \right)^{\frac{1}{p}}. \end{align*}$

令 $h(t)={\rm e}^{-\lambda |t|}$, 显然 $h^{q} \in L^{p-1}(\mathbb{R},X)$. 又因为 $L \in L^{q}(\mathbb{R},X)$, 所以 $L^{q} \in L^{1}(\mathbb{R},X)$. 由卷积 Young 不等式[3]知 $h^{q}*L^{q} \in L^{p-1}$ 并且

$ \|h^{q}*L^{q}\|_{L^{p-1}} \leq \|h^{q}\|_{L^{p-1}} \|L^{q}\|_{L^{1}}. $

因此

$\begin{align*} \notag \|T(z_{1})-T(z_{2})\|_{L^{p}} &\leq N\|z_{1}-z_{2}\|_{L^{p}} \left(\int_{-\infty}^{\infty} \left(\int_{-\infty}^{\infty} |{\rm e}^{-\lambda |t-r|}L(r)|^{q} \mathrm{d}r \right)^{p-1} \mathrm{d}t \right)^{\frac{1}{p}} \\ \notag &= N\|z_{1}-z_{2}\|_{L^{p}}\|h^{q}*L^{q}\|_{L^{p-1}}^{q} \\ \notag &\leq N\|z_{1}-z_{2}\|_{L^{p}} \|h^{q}\|_{L^{p-1}}^{q} \|L^{q}\|_{L^{1}}^{q} \\ \notag &= N\|z_{1}-z_{2}\|_{L^{p}} \|h^{q}\|_{L^{p-1}}^{q} \|L\|_{L^{q}}^{q^{2}}\\ &= \left(\frac{2}{p\lambda}\right)^{\frac{q^{2}}{p}} N \|L\|_{L^{q}}^{q^{2}} \|z_{1}-z_{2}\|_{L^{p}}. \end{align*}$

又因为伪轨 $y$ 满足 (3.8) 式, 所以有

$\begin{align*} \|T\theta\|_{L^{p}} = & \|T_{1}\theta-T_{2}\theta\|_{L^{p}} \\ \leq & \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left|\int_{-\infty}^{\infty} N{\rm e}^{-\lambda|t-r|} \|y'(r)-A(r)y(r)-f(r,y(r))\| \mathrm{d}r \right|^{p} \mathrm{d}t \right)^{1/p}\\ \leq & \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left|\int_{-\infty}^{\infty} N{\rm e}^{-\lambda|t-r|} \delta(r) \mathrm{d}r \right|^{p} \mathrm{d}t \right)^{1/p}\\ = & N \|h*\delta\|_{L^{p}}, \end{align*}$

其中 $\theta$ 是 $L^{p}(\mathbb{R},X)$ 的零元. 利用卷积 Young 不等式计算可得

$\|T\theta\|_{L^{p}} \leq N \|h\|_{L^{1}} \|\delta\|_{L^{p}} \leq \frac{2N}{\lambda} \|\delta\|_{L^{p}}.$

令$ \mathcal{B}_{3}:=\{ v \in L^{p}(\mathbb{R},X); \|v\|_{L^{p}} \leq C_{3}\delta \}$, 其中

$C_{3}=\dfrac{2N}{\lambda \left(1-(\frac{2}{p\lambda})^{\frac{q^{2}}{p}} N \|L\|_{L^{q}}^{q^{2}}\right)}.$

结合 (3.10) 式和 (3.11) 式可知, 对于任意的 $v \in \mathcal{B}_{3}$ 有

$\begin{align*} \|Tv\|_{L^{p}} & \leq \|T\theta\|_{L^{p}}+\|Tv-T\theta\|_{L^{p}} \\ & \leq \dfrac{2N}{\lambda} \|\delta\|_{L^{p}} + \left(\frac{2}{p\lambda}\right)^{\frac{q^{2}}{p}} N \|L\|_{L^{q}}^{q^{2}} \|v\|_{L^{p}} \\ & \leq \dfrac{2N}{\lambda} \|\delta\|_{L^{p}} + \left(\frac{2}{p\lambda}\right)^{\frac{q^{2}}{p}} N \|L\|_{L^{q}}^{q^{2}} C_{3} \delta \\ & = C_{3} \delta, \end{align*}$

即 $T(\mathcal{B}_{3}) \subset \mathcal{B}_{3}$. 因此 $T$ 是 $\mathcal{B}_{3}$ 上的压缩映射, 存在唯一不动点 $z \in \mathcal{B}_{3}$ 满足方程 (3.4). 与定理 3.1 相应的证明类似, 可以证明 $z$ 也是方程 (3.9) 的 $L^{p}(\mathbb{R},X)$ 解. 令 $x=y+z \in L^{p}(\mathbb{R},X)$, 则上述证明已经验证了 $x$$(C_{3}\|\delta\|_{L^{p}}) -L^{p}$ 跟踪 $y$. 由于 $z$ 的唯一性证明可知 $x$ 也是唯一的, 故方程 (3.1) 具有 Lip $L^{p}$ 伪轨跟踪性.

4 应用

作为本文抽象结果的应用举例, 本节考虑偏微分方程

$\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\partial_{t}w(t,x)= a(t)\partial^{2}_{x}w(t,x)+\mu w(t,x)+ L(t)\sin w(t,x), \ \ (t,x) \in \mathbb{R} \times \Omega, \\ &w(t,x)=0, \ \ x \in \partial \Omega, \\ \end{aligned}\right. \end{equation}$

其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}$ 中的有界开区间, $a \in L^{1}_{\rm loc}(\mathbb{R},\mathbb{R}^{+})$, 常数 $\mu \in \mathbb{R}^{+}$ 以及 $L$ 是 $\mathbb{R}$ 上的非负函数.

设 $X=L^{2}(\Omega)$, 定义 $A: D(A) \to X; \varphi \mapsto \partial^{2}_{x}\varphi$, 其中 $D(A)=H_{0}^{1}(\Omega) \cap H^{2}(\Omega)$.由文献[第 3 章]知算子 $A$ 有以下性质

1. $-A$ 是正定自伴算子并且 $-A$ 的逆算子是紧算子;

2. 算子 $-A$ 有特征值 $ 0 < \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \lambda_{3} \leq \dots $, 且$\lim\limits_{i\to\infty}\lambda_{i}=+\infty$;

3. 存在$\{e_{i};i\in \mathbb{N}\}$ 构成 $X$ 的一个标准正交基, 其中 $e_{i}$ 是 $-A$ 的特征向量, 即 $-Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}$, $i=1,2,3,\cdots$;

4. $A$ 生成 $X$ 上的半群 $(T(t))_{t\geq0}$ 使得对任意的 $\varphi \in X$, 有

$ T(t)\varphi = \sum_{i=1}^{\infty} {\rm e}^{-\lambda_{i}t}(\varphi,e_{i})e_{i}, $

其中 $(\cdot,\cdot)$ 是 $X$ 上的内积.

我们把方程 (4.1) 可以化为抽象方程

$u'(t)=A(t)u(t)+f(t,u(t)),$

其中线性算子 $A(t)=a(t)A+\mu I$ 且非线性项 $f: \mathbb{R}\times X\to X; (t,\phi) \mapsto L(t)\sin \phi(\cdot) $. 在本节中假设 $\inf\limits_{t\in\mathbb{R}}a(t)>0$ 并且存在 $n\in\mathbb{N}$, 使得对于任意的 $t\in\mathbb{R}$ 有 $a(t)\lambda_{n}<\mu<a(t)\lambda_{n+1}$. 不难看出线性方程

$\begin{equation} \left\{\begin{aligned} u'(t)&=A(t)u(t) \ \ \text{对于} t,s \in \mathbb{R} \text{且} t \geq s, \\ u(s)&=\varphi \in X \end{aligned}\right. \end{equation}$

是适定的, 即存在发展族 $(U(t,s))_{t \geq s}$ 使得 $t \to U(t,s)\varphi$ 是方程 (4.3) 的解. 并且, 发展族有如下表达式

$ U(t,s)\varphi=\sum_{i=1}^{\infty} {\rm e}^{\int_{s}^{t} (\mu-a(r)\lambda_{i}) \mathrm{d}r}(\varphi,e_{i})e_{i}, \ \ \varphi \in X. $

取$\lambda=\min\{\mu-\inf\limits_{t\in\mathbb{R}}a(t)\cdot\lambda_{n},\ \sup\limits_{t\in\mathbb{R}}a(t)\cdot\lambda_{n+1}-\mu\}$, 易见发展族 $(U(t,s))_{t \geq s}$ 具有 $1,\lambda$ 系数的指数二分性, 且指数二分性定义中的投影族为 $P(t)=P$, $t\in\mathbb{R}$, 其中 $P\varphi=\sum_{i=n+1}^{\infty}(\varphi,e_{i})e_{i}$.下面说明方程 (4.2) 的非线性项 $f$ 具有 Lipschitz 性. 对于任意的 $\varphi,\psi \in X$ 和 $t\in\mathbb{R}$, 有

$\begin{align*} & \|f(t,\varphi)-f(t,\psi)\| \\ = & \left( \int_{\Omega} |L(t)\sin\varphi(x)-L(t)\sin\psi(x)|^{2} \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{2}} \\ = & L(t) \left( \int_{\Omega} |\sin\varphi(x)-\sin\psi(x)|^{2} \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{2}} \\ \leq & L(t) \left( \int_{\Omega} |\varphi(x)-\psi(x)|^{2} \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{2}} \\ = & L(t) \|\varphi-\psi\|. \end{align*}$

若 $L(t)\equiv L < \frac{\lambda}{2}$ 时, 由定理 3.1 知方程(4.2)有 Lip 伪轨跟踪性. 假设常数 $p\geq1$ 并且 $q$ 是 $p$ 的共轭指数. 若 $L\in BS^{p}(\mathbb{R},X)$ 并且 $\|L\|_{BS^{p}}$ 足够小时, 由定理 3.2 知方程 (4.2) 有 Lip 伪轨跟踪性. 若 $p\geq2$ 且 $\|L\|_{L^{q}}$ 足够小时, 由定理 3.3 知方程 (4.2) 有 Lip $L^{p}$ 伪轨跟踪性.

参考文献

Al-Nayef A, Diamond P, Kloeden P, et al.

Bi-shadowing and delay equations

Dynam Stability Systems, 1996, 11(2): 121-134

[本文引用: 1]

Anosov D V.

On a class of invariant sets of smooth dynamical systems

Proc 5th Int Conf on Nonlin Oscill, 1970, 2: 39-45

[本文引用: 1]

Arendt W, Batty C J K, Hieber M, et al. Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems. Basel: Verlag, 2011

[本文引用: 1]

Backes L, Dragičević D.

A general approach to nonautonomous shadowing for nonlinear dynamics

Bull Sci Math, 2021, 1.0: 102996

[本文引用: 4]

Backes L, Dragičević D.

Hyers-Ulam stability for hyperbolic random dynamics

Fund Math, 2021, 2.5(1): 69-90

[本文引用: 1]

Backes L, Dragičević D.

Parameterized shadowing for nonautonomous dynamics

J Math Anal Appl, 2024, 5.9(1): 127584

[本文引用: 2]

Backes L, Dragičević D.

Shadowing for infinite dimensional dynamics and exponential trichotomies

Proc Roy Soc Edinburgh, 2021, 1.1(3): 863-884

[本文引用: 2]

Backes L, Dragičević D, Pituk M, Singh L.

Weighted shadowing for delay differential equations

Arch Math, 2022, 1.9(5): 539-552

[本文引用: 1]

Bowen R.

Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms

Berlin: Springer-Verlag, 1975

[本文引用: 1]

Chow S N, Lin X B, Palmer K J.

A shadowing lemma with applications to semilinear parabolic equations

SIAM J Math Anal, 1989, 20(3): 547-557

[本文引用: 4]

D'Aniello E, Darji U B, Maiuriello M.

Generalized hyperbolicity and shadowing in $L^{p}$ spaces

J Differential Equations, 2021, 2.8: 68-94

[本文引用: 1]

Dragičević D.

Generalized dichotomies and Hyers-Ulam stability

Results Math, 2024, 79(1): Article 37

[本文引用: 4]

Dragičević D, Pituk M.

Shadowing for nonautonomous difference equations with infinite delay

Appl Math Lett, 2021, 1.0: 107284

[本文引用: 1]

Engel K J, Nagel R. One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. New York: Springer-Verlag, 2000

[本文引用: 4]

Gao S.

A shadowing lemma for random dynamical systems

J Appl Anal Comput, 2021, 11(6): 3014-3030

[本文引用: 1]

Henry D.

Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations

Berlin: Springer-Verlag, 1981

[本文引用: 2]

Meyer K R, Sell G R.

An analytic proof of the shadowing lemma

Funkcial Ekvac, 1987, 30: 127-133

[本文引用: 1]

Palmer K J.

Exponential dichotomies, the shadowing lemma and transversal homoclinic points

Dynamics Reported, 1988, 1: 265-306

[本文引用: 1]

Palmer K J.

Shadowing and Silnikov chaos

Nonlinear Anal, 1996, 27(9): 1075-1093

[本文引用: 1]

Palmer K J. Shadowing in Dynamical Systems:Theory and Applications. Dordrecht: Springer Science, 2000

[本文引用: 2]

Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1983

[本文引用: 1]

Pilyugin S Y, Sakai K. Shadowing and Hyperbolicity. Cham: Springer, 2017

[本文引用: 2]

Pilyugin S Y.

Shadowing in Dynamical Systems

Berlin: Springer-Verlag, 1999

[本文引用: 2]

Pilyugin S Y.

Shadowing in structurally stable flows

J Differential Equations, 1997, 1.0: 238-265

[本文引用: 1]

Sell G R, You Y. Dynamics of Evolutionary Equations. New York: Springer-Verlag, 2002

[本文引用: 2]

Yang X F, Lu T X, Pi J M, Jiang Y X.

On shadowing system generated by a uniformly convergent mappings sequence

J Dyn Control Syst, 2023, 29(3): 691-702

[本文引用: 1]

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