$ Hol(\mathbb{C}) $ 表示复平面 $\mathbb{C}$ 上所有整函数构成的空间, $ {\rm d}G(z)=\frac{1}{\pi}{\rm e}^{-|z|^2}{\rm d}A(z) $ 为高斯测度, 其中 ${\rm d}A$ 表示 $\mathbb{C}$ 上的 Lebesgue 测度. 定义 $ L^2(\mathbb{C}, {\rm d}G) $ 为复平面上关于测度 $ {\rm d}G $ 平方可积的 Lebesgue 可测函数空间. 经典福克空间 (Fock space) 定义为包含所有 $f\in Hol(\mathbb{C})$ 满足范数

的空间, 即 $ {F}^2 = L^2(\mathbb{C}, {\rm d}G) \cap Hol(\mathbb{C}) $. 福克空间起源于数学物理, 最早由 Bargmann 在文献[2]中提出. 近几十年来, 福克空间的数学理论也经历了快速发展, 相关综述可参见文献 [4,9,16]. 集合 $\left\{ \frac{z^n}{\sqrt{n!}} \right\}_{n=0}^{\infty}$ 构成 $ {F}^2 $ 的一组标准正交基, 同时, $ {F}^2 $ 是一个具有再生核 $ K_{\lambda}(z) = {\rm e}^{\overline{\lambda}z} $, $ \lambda \in \mathbb{C} $ 的再生希尔伯特空间, 且满足 $\|K_{\lambda}\| = {\rm e}^{\frac{|\lambda|^2}{2}} $.

作为整函数的推广, $\mathbb{C}$ 上调和函数定义为二次连续可微函数 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 满足

它们的全体记为 $Har(\mathbb{C})$, 任何复值调和函数 $f$ 可唯一表示为 $g + \overline{h}$, 其中 $g$ 和 $h$ 均为整函数且 $h(0)=0$. 调和 Fock 空间是经典 Fock 空间的自然推广, 在偏微分方程、量子物理及 Heisenberg 群上的调和分析中具有重要作用. 调和 Fock 空间 $F_h^2$ 包含所有 $f \in Har(\mathbb{C}) \cap L^2(\mathbb{C}, {\rm d}G)$ 满足如下范数

在文献 [13] 中, Vujadinović 探究了 Fock 空间 $F^2$ 与调和 Fock 空间 $F_h^2$ 的关系, 特别地, 给出了如下范数 $\left\| \cdot \right\|_h$ 与 $\left\| \cdot \right\|$ 的关系

其中 $f = g + \overline{h}$ 且 $h(0)=0$. 这表明 $f \in F_h^2$ 当且仅当 $g, h \in F^2$ 且 $h(0)=0$, 这也验证了文献[10,定理 2.2]中的结论 $F_h^2 = F^2 \oplus \overline{zF^2}$.类似于 Fock 空间 $F^2$, 调和 Fock 空间 $F_h^2$ 也是一个再生核 Hilbert 空间, 其再生核函数为

关于调和 Fock 空间的更多信息, 读者可参阅文献 [7,14,15].

在文献 [5] 中, Olivia 提出对于 $f, g \in Hol(\mathbb{C})$, Fock 空间 $F^2$ 上的 Volterra 型积分算子定义为 $ V_g f(z) = \int_0^z f(\zeta) g'(\zeta){\rm d}\zeta, z \in \mathbb{C}. $ 该算子受到了众多学者的关注. 特别地, Pommerenke 在文献 [11] 中利用此类算子简洁证明了解析 John-Nirenberg 不等式. 近期, Chalmoukis 在文献 [3] 中研究了Hardy 空间上一类广义积分算子 $T_{g,\mathbf{a}}$ 的有界性与紧性, 并借此简化了 Rättyä 和 Cohn 的结果. 具体地, 对于正整数 $n$, $T_{g,\mathbf{a}}$ 定义为

其中 $f, g \in Hol(\mathbb{C})$, $\mathbf{a} = (1, a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \mathbb{C}^n$, $If(z) = \int_0^z f(t) {\rm d}t$ 为积分算子, $I^n$ 是 $I$ 的$n$ 次迭代. 显然, 当 $n=1$ 时, 该算子即为 Volterra 型积分算子. 此后, Arroussi、He 等人在文献[1]中提出经典 Fock 空间上该算子的新扩展, 记为 $V_{\mathbf{g}}$, 称为广义 Volterra 型积分算子, 其定义为

其中 $n$ 为任意正整数, $\mathbf{g} = (g_0, \cdots, g_{n-1})$ 且 $g_i \in Hol(\mathbb{C})$, $0 \leq i \leq n-1$. 文献[1]中建立了 $V_{\mathbf{g}}$ 的有界性、紧性条件, 并给出了 Fock 空间中线性微分方程解的性质. 受文献 [1,3]启发, 本文继续研究调和 Fock 空间上广义算子(1.2)的推广. 核心问题是

何种符号 $\mathbf{g}$ 能在调和 Fock 空间之间诱导有界积分型算子?

首先将算子 $T_{g,\mathbf{a}}$ 拓展至调和 Fock 空间. 设 $\Phi = \phi + \overline{\varphi}$ 其中 $\phi, \varphi \in Hol(\mathbb{C})$, $\mathbf{a} = (1, a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \mathbb{C}^n$, $\mathbf{b} = (1, b_1, \cdots, b_{m-1}) \in \mathbb{C}^m$, $n,m\in \mathbb{N}^+$. 对任意 $f = g + \overline{h} \in F_h^2$, 其中 $g \in F^2$, $h \in F^2$, $h(0)=0$, 定义算子

其中 ${T_{\phi, \mathbf{a}}^{(n)}}$ 和 $T_{\varphi, \mathbf{b}}^{(m)}$ 定义在经典 Fock 空间 $F^2$ 上.

类似地, 对任意 $f = f_1 + \overline{f_2} \in F_h^2$, 其中 $f_1 \in F^2$, $f_2 \in F^2$ 且 $f_2(0)=0$, 定义推广算子

其中 $n,m\in \mathbb{N}^+$, $\mathbf{g} = (g_0, g_1, \cdots, g_{n-1})$, $\mathbf{h} = (h_0, h_1, \cdots, h_{m-1})$ 且 $g_i, h_j \in Hol(\mathbb{C})$, $0 \leq i \leq n-1$, $0 \leq j \leq m-1$. 此处 ${V_{\mathbf{g}}^{(n)}}$ 和 ${V_{\mathbf{h}}^{(m)}}$ 定义于经典 Fock 空间上.

进一步, 对 $f, g \in Hol(\mathbb{C})$ 及 $n, k \in \mathbb{N}$, 定义 $I_g^{n,k} f = I^n(f^{(k)} g)$. 由(1.5)式可知 $V_{\mathbf{g}}^{(n)} = \sum_{k=0}^{n-1} I_{g_k}^{n,k}$, 故

当 $g_0 = \phi^{(n)}, g_1 = a_1 \phi^{(n-1)}, \cdots, g_{n-1} = a_{n-1} \phi{'}$ 时, 有 ${V_{\mathbf{g}}^{(n)}} = T_{\phi, \mathbf{a}}^{(n)}$.

作为文献[1,3,5]工作的非平凡推广, 本文将聚焦于算子 ${V_{\mathbf{g}, \mathbf{h}}^{(n,m)}}$ 和 ${T_{\Phi, \mathbf{a}, \mathbf{b}}^{(n,m)}}$ 在调和Fock 空间上的有界性、紧性及其刚性. 此处算子 ${V_{\mathbf{g}, \mathbf{h}}^{(n,m)}}$ 的刚性指其有界性 (或紧性) 等价于各分量 $I_{g_k}^{n,k}$ 和 $I_{h_k}^{m,k}$ 的有界性 (或紧性). 本文结构如下: 第 2 节给出关键引理; 第 3 节证明算子 ${V_{\mathbf{g}, \mathbf{h}}^{(n,m)}}$ 和 ${T_{\Phi, \mathbf{a}, \mathbf{b}}^{(n,m)}}$ 有界性、紧性的充要条件; 第 4 节建立这些算子的刚性性质.

全文约定: 对非负量 $U$ 和 $V$, 记 $U \lesssim V$ (或 $V \gtrsim U$) 表示存在与变量无关的常数 $C>0$ 使得 $U \leq CV$; 记 $U \sim V$ 表示 $U \lesssim V$ 且 $V \lesssim U$.

本节将给出一些辅助引理, 后续将用到这些结果. 首先回顾解析 Fock 空间通过高阶导数的一个著名刻画, 详见文献 [8] 和 [12].

${\bf引理2.1}$ 设 $f\in Hol(\mathbb{C})$ 且 $n\in \mathbb{N}^+$, 则 $f\in{F}^2$ 当且仅当

此外,

以下两个引理是研究调和 Fock 空间上广义积分算子性质的重要工具.

${\bf引理2.2}$ [1,引理 5.1] 设 $g_0, g_1,\cdots, g_m\in Hol(\mathbb{C})$ 且 $n,m\in \mathbb{N}^+$ 满足$m\leq n$. 若存在常数 $C>0$ 使得 $|g_0(z)+\overline{z}g_1(z)+\cdots+\overline{z}^mg_m(z)|\leq C|z|^n$ 对所有 $z\in\mathbb{C}$ 成立, 则每个 $g_i$ 都是次数不超过 $n-i$ 的多项式.

${\bf引理2.3}$ 设 $g_0, g_1,\cdots, g_m\in Hol(\mathbb{C})$ 且 $m<n$. 若

则每个 $g_i$ 都是次数不超过 $n-i-1$ 的多项式.

${\bf证}$ 根据引理 2.2, 每个 $g_i$ 都是次数不超过 $n-i$ 的多项式. 假设 $g_i(z)=a_0^{(i)}+a_1^{(i)}z+\cdots+a_{n-i}^{(i)}z^{n-i}.$ 取 $z=R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, 其中 $R>0$ 且 $0\leq \theta\leq 2\pi$, 我们有

对 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 积分, 得

由此立即得到 $a_n^{(0)}=a_{n-1}^{(1)}=\cdots=a_{n-m}^{(m)}=0$. 这意味着每个 $g_i$ 都是次数不超过 $n-i-1$ 的多项式.

应用 Montel 定理和文献[6,命题 3.11] 的类比证明可以得到以下引理.

${\bf引理2.4}$ 线性算子 $T$ 在 $\mathcal{F}_h^2$ 上是紧的当且仅当它是有界的, 且对任何在 $\mathcal{F}_h^2$ 中有界并在 $\mathbb{C}$ 的任意紧子集上一致收敛于 0 的序列 $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$, 有 $Tf_j$ 收敛于 0, $j \to \infty$.

本节将刻画算子 ${V_{{\bf{g}},{\bf{h}}}^{(n,m)}}: F_h^2 \to F_h^2$ 的有界性与紧性. 一个定义在赋范空间之间算子被称为有界的, 当且仅当它将有界集映射为有界集; 而在赋范空间上的线性算子若将有界集映射为列紧集, 则称该算子为紧算子. 根据等式 (1.1), 有

其中 $f=f_1+\overline{f_2}$ 且 $f_2(0)=0$. 因此, $V_{{\bf{g}},{\bf{h}}}^{(n,m)}$ 在 $F_h^2$ 上是有界 (紧) 算子当且仅当 ${V_{\bf{g}}^{(n)}}$ 和 ${V_{\bf{h}}^{(m)}}$ 在 $F^2$ 上都有界 (紧) 算子. 基于 (3.1), 下面主要研究 $F^2$ 上算子${V_{{\bf{g}}}^{(n)}}$, 类似结论可应用于 ${V_{\bf{h}}^{(m)}}$.

${\bf定理 3.1}$ 给定 $n,m\in \mathbb{N}^+$, 设 $\textbf{g}= (g_0,g_1,\cdots,g_{n-1})$, $\textbf{h}= (h_0,h_1,\cdots,h_{m-1})$, 其中 $g_i,h_j\in Hol(\mathbb{C})$, $0\le i \le n-1$, $0\le j \le m-1$.

(a) 算子 $V_{{\bf{g}},{\bf{h}}}^{(n,m)}:F_{h }^2\to F_{h }^2$ 是有界的当且仅当每个$g_i$ 是次数不超过 $n-i$ 的多项式, 且每个 $h_j$ 是次数不超过 $m-j$ 的多项式;

(b) 算子 $V_{{\bf{g}},{\bf{h}}}^{(n,m)}:F_{h }^2\to F_{h }^2$ 是紧的当且仅当每个$g_i$ 是次数不超过 $n-i-1$ 的多项式, 且每个 $h_j$ 是次数不超过 $m-j-1$ 的多项式.

${\bf证}$ (a) 充分性. 假设每个 $g_i$ 的次数不超过 $n-i$, 则有

因此, 对任意 $f\in{F}^2$, 由引理2.1可得

$\begin{equation*} \begin{split} {\left\| { {V_{{\bf{g}}}^{(n)}} f} \right\|^2} & \sim \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {{({{V_{{\bf{g}}}^{(n)}} f})^{(n)}}}(z) \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right)\\ &= \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {f(z){g_0}(z) + {f^{'}}(z){g_1}(z) + \cdots + {f^{(n - 1)}}(z){g_{ {n - 1} }}}(z) \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right)\\ &\mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel＜\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {f(z){g_0}(z)} \right|}^2} + {{\left| {{f^{'}}(z){g_1}}(z) \right|}^2} + \cdots + {{\left| {{f^{\left( {n - 1} \right)}}(z){g_{{n - 1} }}}(z) \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right)\\ &= \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| f (z)\right|}^2}{{\left| {{g_0}(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right) + \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| f {'}(z)\right|}^2}{{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^2}}} \cdot \frac{{{{\left| {{g_1}(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n - 2}}}}}{\rm d}A\left( z \right)\\ & \quad+ \cdots + \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {{f^{\left( {n - 1} \right)}}(z)} \right|}^2}{{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n - 2}}}} \cdot \frac{{{{\left| {{g_{n - 1}}(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^2}}}}{\rm d}A\left( z \right)\mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel＜\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} {\left\| f \right\|^2,} \end{split} \end{equation*}$

其中最后一个不等式用到了 (3.2)式, 故算子 ${V_{{\bf{g}}}^{(n)}}$ 在 $F^2$ 上有界.

必要性. 假设算子 ${V_{{\bf{g}}}^{(n)}}$ 在 $F^2$ 上有界, 取再生核函数 ${K_\lambda }\left( z \right) = {{\rm e}^{\overline \lambda z}}$, 因此 $K_\lambda ^{(k)}(z) = {\overline \lambda ^k}{{\rm e}^{\overline \lambda z}},k=0,1,\cdot\cdot\cdot,n-1$. 结合

和对 $z \in D(\lambda,1) = \{ z:\left| z - \lambda \right| < 1\}$ 时 $(1 + |z|) \sim (1 + |\lambda |)$ 的事实及引理 2.1, 可得

其中最后一个不等式用到了次调和性. 由此可得

$ \left| {{g_0}(\lambda) + \overline \lambda {g_1}(\lambda) + \cdots + {{\left( {\overline \lambda } \right)}^{n - 1}}{g_{n - 1}}(\lambda)} \right| \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel＜\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} {\left( {1 + \left| \lambda \right|} \right)^n} $

对所有 $\lambda\in \mathbb{C}$ 成立. 根据引理 2.2, 可推得每个 ${g_i}$ 是次数至多为 $n-i$ 的多项式.

(b) 必要性. 假设 ${g_i}$ 的次数至多为 $n-i-1$, 取 $F^2$ 中的序列 $\{{f_k}\}_{k=1}^{\infty}$ 满足 $\mathop {\sup }\limits_k \left\| {f_k} \right\| < \infty$ 且在 $\mathbb{C}$ 的紧子集上, 当 $k \to \infty$ 时 ${f_k}$ 一致收敛于零. 取 $R>0$, 应用引理 2.1可得

$\begin{align*} &~~~~\mathop {\lim \sup }\limits_{k \to \infty } {\left\| { {V_{{\bf{g}}}^{(n)}} {f_k}} \right\|^2} \\ &\sim \mathop {\lim \sup }\limits_{k \to \infty } \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| ({{V_{{\bf{g}}}^{(n)}}{f_k})^{(n)}(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right)\\ &\mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel＜\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} \mathop {\lim \sup }\limits_{k \to \infty } \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {{f_k}(z){g_0}(z)} \right|}^2} + {{\left| {{f_k}^{'}(z){g_1}(z)} \right|}^2} + \cdots + {{\left| {{f_k}^{\left( {n - 1} \right)}(z){g_{{n - 1}}}(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right)\\ &= \mathop {\lim \sup }\limits_{k \to \infty } \Big(\int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {{f_k}}(z) \right|}^2}{{\left| {{g_0}}(z) \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right) + \cdots + \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {{f_k}^{\left( {n - 1} \right)}}(z) \right|}^2}{{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n - 2}}}} \cdot \frac{{{{\left| {{g_{n - 1}}(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^2}}}}{\rm d}A\left( z \right)\Big)\\ &= \mathop {\lim \sup }\limits_{k \to \infty }\Big (\int_{\left| z \right| \le R} {\frac{{{{\left| {{f_k}}(z) \right|}^2}{{\left| {{g_0}}(z) \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right) + \int_{\left| z \right| > R} {\frac{{{{\left| {{f_k}}(z) \right|}^2}{{\left| {{g_0}}(z) \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right)\\ &\quad + \cdots + \int_{\left| z \right| \le R} {\frac{{{{\left| {{f_k}^{\left( {n - 1} \right)}}(z) \right|}^2}{{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n - 2}}}} \cdot \frac{{{{\left| {{g_{n - 1}}(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^2}}}}{\rm d}A\left( z \right) \\ &\quad+ \int_{\left| z \right| > R} {\frac{{{{\left| {{f_k}^{\left( {n - 1} \right)}(z)} \right|}^2}{{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n - 2}}}} \cdot \frac{{{{\left| {{g_{n - 1}}(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^2}}}}{\rm d}A\left( z \right)\Big)\mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel＜\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} \mathop {\lim \sup }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{{\left( {1 + R} \right)}^2}}}{\left\| {{f_k}} \right\|^2}. \end{align*}$

令 $R \to \infty $, 由 $\mathop {\sup }\limits_k \left\| {{f_k}} \right\|^2 < \infty$ 可知 $\left\| {V_{\bf{g}}^{(n)}{f_k}} \right\| \to 0$, $k \to \infty$. 根据引理 2.4, ${V_{{\bf{g}}}^{(n)}}$ 在 $F^2$ 上是紧的.

充分性. 假设算子 ${V_{{\bf{g}}}^{(n)}}$ 在 $F^2$ 上是紧的, 取规范化核函数 ${k_\lambda }\left( z \right) = {{\rm e}^{ - {{\left| \lambda \right|}^2}/2}}{K_\lambda }\left( z \right) = {{\rm e}^{\overline \lambda z - {{\left| \lambda \right|}^2}/2}}$, 满足当 $\left| \lambda \right| \to \infty$ 时 ${k_\lambda }$ 在紧集上一致收敛于零. 根据引理 2.4 可得 当 $\left| \lambda \right| \to \infty $ 时, $\left\| {V_{{\bf{g}}}^{(n)}}{k_\lambda } \right\|^2 \to 0$. 在 (3.3)式的推导中将 $K_\lambda$ 替换为 $k_\lambda$ 可得

$\begin{align*} {\left\| {V_{\bf{g}}^{(n)}{k_\lambda }} \right\|^2} &\sim \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {{{(V_{\bf{g}}^{(n)}{k_\lambda })}^{\left( n \right)}}\left( z \right)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A\left( z \right)\\ &= \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\rm e}^{ - {{\left| \lambda \right|}^2}}}{{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{{\left| {{{\rm e}^{\bar \lambda z}}} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {\left| {{g_0}(z) + \bar \lambda {g_1}(z) + \cdots + {{\left( {\bar \lambda } \right)}^{n - 1}}{g_{n - 1}}(z)} \right|^2}{\rm d}A\left( z \right)\\ &\ge \int_{D(\lambda,1)} {\frac{{{{\rm e}^{ - {{\left| {z - \lambda } \right|}^2}}}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {\left| {{g_0}(z) + \bar \lambda {g_1}(z) + \cdots + {{\left( {\bar \lambda } \right)}^{n - 1}}{g_{n - 1}}(z)} \right|^2}{\rm d}A\left( z \right)\\ &\mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel>\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} \frac{{{{\left| {{g_0}(\lambda ) + \bar \lambda {g_1}(\lambda ) + \cdots + {{\left( {\bar \lambda } \right)}^{n - 1}}{g_{n - 1}}(\lambda )} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| \lambda \right|} \right)}^{2n}}}},\; \end{align*}$

从而有

根据引理 2.3, 每个 $g_i$ 必为次数不超过 $n-i-1$ 的多项式.

在定理 3.1中令 ${h_0} = \cdots = {h_{m - 1}} = 0$, 可得到如下推论 3.1.

${\bf推论 3.1}$^{[定理 1.3]} 给定 $n \in \mathbb{N}^+$, 设 $\textbf{g}= (g_0,g_1,\cdots,g_{n-1})$, $g_i \in Hol(\mathbb{C})$, $0\le i \le n-1$.

(a) 算子 ${V_{{\bf{g}}}^{(n)}}:F^2 \to F^2$ 是有界的当且仅当每个 $g_i$ 是次数不超过 $n-i$ 的多项式;

(b) 算子 ${V_{{\bf{g}}}^{(n)}}:F^2 \to F^2$ 是紧的当且仅当每个 $g_i$ 是次数不超过 $n-i-1$ 的多项式.

在定理 3.1中取 ${g_i} = {a_i}{\phi ^{\left( {n -i} \right)}}$, ${h_{j} = b_j\varphi^{(m-j)}}$, 其中 $a_0=b_0=1$, ${a_{n - 1}}{b_{m - 1}} \ne 0$, 可得推论 3.2.

${\bf推论 3.2}$ 给定 $n \in \mathbb{N}^+$, 设 $\Phi = \phi + \overline \varphi $, 其中 $\phi,\varphi \in Hol(\mathbb{C})$, $\textbf{a}=(1,a_1,\cdots,a_{n-1})\in \mathbb{C}^n$, $\textbf{b}=(1,b_1,\cdots,b_{m-1})\in \mathbb{C}^m$, 且${a_{n - 1}}{b_{m - 1}} \ne 0$

(a) 算子 ${T_{\Phi,{\bf{a}},{\bf{b}}}^{(n,m)}}$ 在 $F_{h }^2$ 上是有界的当且仅当 $\Phi = a{z^2} + bz + c{\overline z ^2} + d\overline z + e $, 其中 $a,b,c,d,e \in \mathbb{C}$;

(b) 算子 ${T_{\Phi,{\bf{a}},{\bf{b}}}^{(n,m)}}$ 在 $F_{h}^2$ 上是紧的当且仅当 $\Phi = az + b{\overline z } + c $, 其中 $a,b,c\in \mathbb{C}$.

${\bf注 3.1}$ 给定正整数 $n,m \ge 2$, 设 $\Phi = \phi + \overline \varphi $, $\textbf{a}=(1,a_1,\cdots,a_{n-2},0)\in \mathbb{C}^n$, $\textbf{b}=(1,b_1,\cdots,b_{m-2},0)\in \mathbb{C}^m$, ${a_{n - 2}},{b_{m - 2}} \ne 0$.

(a) ${T_{\Phi,{\bf{a}},{\bf{b}}}^{(n,m)}}$ 在 $F_{h }^2$ 上是有界的当且仅当 $\phi$ 和 $\varphi$ 是次数不超过 4 的多项式;

(b) ${T_{\Phi,{\bf{a}},{\bf{b}}}^{(n,m)}}$ 在 $F_{h }^2$ 上是紧的当且仅当 $\phi$ 和 $\varphi$ 是次数不超过 3 的多项式.

在推论 3.2 中取 $n=1$, $\phi = {g'}$, $\varphi=0$, 则算子形式退化为经典 Volterra 型积分算子, 由此可得文献[定理 1]的如下结果.

${\bf推论 3.3}$ 算子 $V_g$ 在 $F^2 \to F^2$ 上是有界的当且仅当 $g(z)=az^2+bz$, 其中 $a,b \in \mathbb{C}$; $V_g$ 在 $F^2 \to F^2$ 是紧的当且仅当 $g(z)=az$, 其中 $a \in \mathbb{C}$.

在算子理论中, "刚性" (rigidity) 是指算子的全局性质完全由其组成部分决定. 刚性不仅简化了复杂算子的分析, 还揭示了函数空间与算子动力学之间的本质联系. 因此, 本节利用 (1.6)式中的表示形式, 在下文中阐明了 $V_{{\bf{g}},\bf{h}}^{(n,m)}$ 在 $F_h^2$ 空间上的刚性特征.

${\bf定理4.1}$ 给定 $n,m \in \mathbb{N}^+$. 设 $\textbf{g}= (g_0,g_1,\cdots,g_{n-1})$, $\textbf{h}= (h_0,h_1,\cdots,h_{m-1})$, 其中 $g_i,h_j\in Hol(\mathbb{C})$ ( $0\le i \le n-1,0\le j \le m-1$). 则算子 $V_{{\bf{g}},\bf{h}}^{(n,m)}$ 是有界 (或紧) 的当且仅当每个积分算子 ${I_{{g_k}}^{n,k}}, {I_{{h_k}}^{m,k}}:F^2 \to F^2$ 是有界 (或紧) 的.

${\bf证}$ 充分性. 此方向显然成立.

有界的必要性. 假设 $V_{{\bf{g}},\bf{h}}^{(n,m)}$ 有界, 根据定理3.1(a) 可知每个 $g_k$ 是次数不超过 $n-k$ 的多项式, 每个 $h_k$ 是次数不超过 $m-k$ 的多项式. 对任意 $f\in F^2$, 由引理2.1可得

$\begin{align*} {\left\| {I_{{g_k}}^{n,k}f} \right\|^2}&\sim \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {{{(I_{{g_k}}^{n,k})}^{(n)}}f(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A(z)\\ &= \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {{f^{(k)}}(z)} \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2k}}}} \cdot } \frac{{{{\left| {{g_k}}(z) \right|}^2}}}{{{{\left( {1 + \left| z \right|} \right)}^{2n - 2k}}}}{{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A(z) \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel＜\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} {\left\| f \right\|^2}. \end{align*}$

这表明每个 ${I_{{g_k}}^{n,k}} :F^2 \to F^2$ 有界. 同理可证每个 $I_{{h_k}}^{m,k} : F^2 \to F^2$ 的有界性.

紧性的必要性. 设 $V_{{\bf{g}},\bf{h}}^{(n,m)}$ 是紧的, 由定理3.1(b) 知每个 $g_k$ 是次数不超过 $n-k-1$ 的多项式, 每个 $h_k$ 是次数不超过 $m-k-1$ 的多项式. 取 $F^2$ 中序列 $\{f_i\}_{i=1}^{\infty}$ 满足 $\mathop {\sup }\limits_i \left\| {f_i} \right\| < \infty$ 且在 $\mathbb{C}$ 的紧子集上 $ {f_i} $ 一致收敛于 $0$. 对 $R>0$, 应用引理2.1得

$\begin{align*} &\quad\mathop {\lim \sup }\limits_{i \to \infty } {\left\| {I_{{g_k}}^{n,k}{f_i}} \right\|^2} \sim \mathop {\lim \sup }\limits_{i \to \infty } \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| {{{(I_{{g_k}}^{n,k}{f_i})}^{(n)}}(z)} \right|}^2}}}{{{{(1 + \left| z \right|)}^{2n}}}}{{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A(z)} \\ &= \mathop {\lim \sup }\limits_{i \to \infty } \int_\mathbb{C} {\frac{{{{\left| f_i^{(k)}(z) \right|}^2}{{\left| {{g_k}}(z) \right|}^2}}}{{{{(1 + \left| z \right|)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A(z)\\ &= \mathop {\lim \sup }\limits_{i \to \infty }\Big (\int_{\left| z \right| \le R} {\frac{{{{\left| f_i^{(k)}(z) \right|}^2}{{\left| {{g_k}}(z) \right|}^2}}}{{{{(1 + \left| z \right|)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A(z) + \int_{\left| z \right| > R} {\frac{{{{\left| f_i^{(k)}(z) \right|}^2}{{\left| {{g_k}}(z) \right|}^2}}}{{{{(1 + \left| z \right|)}^{2n}}}}} {{\rm e}^{ - {{\left| z \right|}^2}}}{\rm d}A(z)\Big)\\ &\mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel＜\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} \mathop {\lim \sup }\limits_{i \to \infty } \frac{1}{{{{(1 + R)}^2}}} {\left\| {{f_i}(z)} \right\|^2}. \end{align*}$

令 $R \to \infty$ 可得 $\left\| {I_{{g_k}}^{n,k}{f_i}} \right\| \to 0$, $i \to \infty$. 由引理2.4即得每个 ${I_{{g_k}}^{n,k}}$ 的紧性. 同理可证每个 $I_{{h_k}}^{m,k}$ 的紧性.

$\textbf{推论 4.1}$ 给定 $n,m \in \mathbb{N}^+$, 设 $\Phi = \phi + \overline{\varphi}$ 其中 $\phi,\varphi \in Hol(\mathbb{C})$, 且 $\textbf{a}=(1,a_1,\cdots,a_{n-1})\in \mathbb{C}^n$, $\textbf{b}=(1,b_1,\cdots,b_{m-1})\in \mathbb{C}^m$. 对于 $0\le i \le n-1,0\le j \le m-1$, 算子 ${T_{\Phi,{\bf{a}},{\bf{b}}}^{(n,m)}}$ 是有界 (或紧) 的当且仅当每个积分算子 ${I^n}({a_i}{g^{(i)}}{\phi^{(n - i)}})$ 与 ${I^m}({b_j}{h^{(j)}}{\varphi^{(n - j)}}):{F^2} \to {F^2}$ 是有界 (或紧) 的.