在解析函数空间理论中, 各类解析函数空间之间的系数乘子的刻画是一个重要的问题. 刻画系数乘子不仅给出了获得特定函数空间上解析函数泰勒系数相关信息的途径, 而且使得通过观察泰勒系数来判定一个给定函数是否属于特定解析函数空间成为可能.

设 $X,Y$ 是复平面单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的两个解析函数空间. 对给定的复序列 $\lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^\infty$, 我们定义如下算子 $T_\lambda$. 设 $f\in X$ 并且 $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n$, 定义 $(T_\lambda f)(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty \lambda_na_nz^n$. 如果 $T_\lambda$ 满足 $T_\lambda :X \rightarrow Y$, 那么称序列 $\{\lambda_n\}$ 是从空间 $X$ 到空间 $Y$ 的系数乘子. 这个定义也可以简单地记为 $\{\lambda_n\}\in (X,Y)$.

Hardy 和 Littlewood^[9] 证明了在特定的条件下分数阶积分是从空间 $H^p$ 到空间 $H^q$ 的一个系数乘子. Duren ^[6] 研究了 Hardy 和 Littlewood 的工作, 给出了使得序列 $\{\lambda_n\}$ 可作为从空间 $H^p$ 到空间 $H^q$ 系数乘子的一些简单的充分条件. Vukotic^[23] 研究了 Bergman 空间上的系数乘子, 得到了一些与系数乘子相关的充分条件和必要条件. 特别地, 研究了从空间 $A^1$ 到空间 $A^2$ 的系数乘子, 得到了一些充分必要条件. Wu 和 Yang^[28] 研究了 Dirichlet 空间之间的乘子, 得到了一些有趣的结果. 从此, 各类函数空间上的系数乘子得到了广泛的研究, 包括 Hardy 空间、Bergman 空间、Bloch 空间、BMOA 空间、Lipschitz 空间和 Besov 空间等上的系数乘子的一些新的结果不断地涌现出来 (可参考文献 [1,7,13,14,20,27]).

设 $X,Y$ 是赋范空间, 考虑映射 $T:X\rightarrow Y$. 如果存在一个常数 $K>0$ 使得对任何的 $g\in T(X), \ \varepsilon>0$ 和 $f\in X$ 满足 $\|Tf-g\|\leq \varepsilon$, 都存在一个 $f_0\in X$ 满足 $Tf_0=g$ 并且 $\|f-f_0\|\leq K \varepsilon$, 那么称 $T$ 有 Hyers-Ulam 稳定性 (或称 $T$ 是 HU-稳定的). 这里称常数 $K$ 是 Hyers-Ulam 稳定性常数 (或称 HUS 常数), $T$ 的所有 HUS 常数组成集合的下确界记为 $K_T$. 一般来说, $K_T$ 不是 $T$ 的 HUS 常数 (可参考文献 [10,11,21]).

关于 Hyers-Ulam 稳定性的第一个重要结果是 Hyers^[12] 回答了由 Ulam^[22] 在 1940 年提出的一个关于群同态的问题: 设 $G_1$ 和 $G_2$ 是具有度量 $d(\cdot, \cdot)$ 的两个度量群. 对任意给定的 $\varepsilon > 0$, 是否存在一个 $\delta > 0 $ 使得如果映射 $h : G_1 \rightarrow G_2 $ 对所有的 $x, y \in G_1$ 都满足不等式 $d(h(xy), h(x)h(y)) < \delta$, 那么存在一个同态 $H: G_1\rightarrow G_2$ 对所有的 $x \in G_1$ 都满足 $d(h(x), H(x)) < \varepsilon$? Rassias^[19] 在 1978 年推广了 Hyers 的结果. 从那时起, 很多代数方程、微分方程、积分方程、算子方程和函数方程的 Hyers-Ulam 稳定性得到了广泛的研究 (可参考文献 [2–5,8,10,11,15,17,18,21,24–26,29–32]).

近些年来, 各类函数空间和算子代数上的算子或映射的 Hyers-Ulam 稳定性研究得到了许多学者的关注. 在文献 [24,25]中, Wang 和 Xu 讨论了在整函数 Hilbert 空间上和再生核函数空间上微分算子的 Hyers-Ulam 稳定性, 给出了一些使得微分算子在这些空间上具有 Hyers-Ulam 稳定性的充分必要条件. 在文献 [16]中, 作者研究了 Banach 代数上乘子的稳定性. 在文献 [15]中, Miura, Hirasawa 和 Takahasi 研究了整函数空间 $H(\mathbb{C})$ 上线性微分算子 $T_h$ ($h\in H(\mathbb{C})$) 的 Hyers-Ulam 稳定性, 给出了使得 $T_h$ 在 $H(\mathbb{C})$ 上是稳定的一个充分必要条件. 在文献 [21]中, 作者给出了 Banach 空间 $C(X)$ 上加权复合算子 Hyers-Ulam 稳定性的刻画, 他们得到了一个充分必要条件. 在文献 [18] 中, Popa 和 Raşa 研究了来自于逼近论中的一些经典算子的稳定性问题.

本文的工作主要受以上研究工作的启发. 本文研究了 Bergman 空间 $A^2$ 和 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 之间系数乘子 $T_\lambda$ 的 Hyers-Ulam 稳定性. 同时, 本文也研究了在 Bergman 空间 $A^2$ 和 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 之间系数乘子的最佳 Hyers-Ulam 稳定性常数, 并给出了一些例子来说明主要结果的有效性.

本文主要分五个部分. 第一部分主要介绍研究背景. 第二部分主要介绍 Bergman 空间和 Dirichlet 空间的基本定义, 并回顾这些空间的一些基本性质. 同时, 我们给出了 Bergman 空间 $A^2$ 和 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 上与系数乘子相关的一些充分条件. 第三部分, 主要研究了从 Bergman 空间到 Dirichlet 空间的具有 Hyers-Ulam 稳定性的系数乘子, 得到了一个使得从 $A^2$ 到 $\mathcal{D}^2$ 的系数乘子具有 Hyers-Ulam 稳定性的充分必要条件. 同时, 讨论了系数乘子 Hyers-Ulam 稳定性的最佳常数, 给出了一些典型的例子. 第四部分, 得到了一个使得从 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 到 Bergman 空间 $A^2$ 的系数乘子是 Hyers-Ulam 稳定的充分必要条件, 得到了系数乘子的 Hyers-Ulam 稳定性最佳常数, 给出了一些典型的例子. 第五部分, 总结本文的主要结果和基本思想.

在本文中, $\mathbb{C}$ 表示复平面, $\mathbb{D}$ 表示复平面上的单位圆盘.

在这一部分, 主要回顾 Bergman 空间 $A^2$ 和 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 及其基本性质, 同时给出使得一个复序列 $\lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^\infty$ 能成为 Bergman 空间 $A^2$ 和 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 之间系数乘子的一些充分条件.

首先, 回顾 Bergman 空间 $A^2$ 和 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 的定义及其基本性质.

$H(\mathbb{D})$ 表示单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上所有解析函数组成的空间. 在本文中, ${\rm d}A(z)=\frac{1}{\pi}{\rm d}x{\rm d}y=\frac{1}{\pi}r{\rm d}r{\rm d}\theta$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的正规化的面积测度. 设 $0<p<\infty$, Bergman 空间 $A^p(\mathbb{D})$ 包含了单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的所有满足以下条件的解析函数 $f$

方便起见, $A^p(\mathbb{D})$ 可简写为 $A^p$. 众所周知, 对 $p\geqslant 1$, $A^p$ 是一个具有范数 $\|\cdot\|_{A^p(\mathbb{D})}$ 的 Banach 空间, $A^2$ 是一个具有以下内积

的 Hilbert 空间. 对于每一个 $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\in A^2$, 通过简单计算, 可得到

范数 $\|\cdot\|_{A^2(\mathbb{D})}$ 在不致引起混淆的情况下可简单记为 $\|\cdot\|_{A^2}$. 容易证明, 函数序列

是空间 $A^2$ 的一组标准正交基, 并且多项式在空间 $A^2$ 中是稠密的.

Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 包含了单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上所有满足下列 Dirichlet 积分条件的解析函数 $f$, Dirichlet 积分条件是

为方便起见, 定义 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 上的范数是

这里范数 $\|f\|_{H^2}$ 是函数 $f$ 作为 Hardy 空间 $H^2$ 中向量的范数.

对于 $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n,\ g(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty b_nz^n\in \mathcal{D}^2$, 与以上范数相关的内积是

对每一个 $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\in \mathcal{D}^2$, 通过简单计算, 可得到

容易证明, 序列

是空间 $\mathcal{D}^2$ 的一组标准正交基, 多项式在 $\mathcal{D}^2$ 中是稠密的.

接下来, 给出一些充分条件, 这些充分条件使得一个复数序列 $\lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^\infty$ 能作为 Bergman 空间 $A^2$ 和 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 之间的系数乘子.

${\bf定理2.1}$ 如果序列 $\{\lambda_n\}$ 满足 $(n+1)\lambda_n=O(1),$ 那么 $\{\lambda_n\}\in(A^2,\mathcal{D}^2)$.

${\bf证}$ 设 $f=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n \in A^2$, 那么 $f$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的解析函数, 并且满足 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leqslant1$ 和

容易得到

有

设 $|(n+1)\lambda_n|<C, C>0$, 得到 $|\lambda_n|<\frac{C}{n+1}$. 令 $g(z)=T_\lambda f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty \lambda_na_nz^n$. 可得到

所以函数 $g$ 也是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的解析函数. 容易得到

这样, 得到 $g\in \mathcal{D}^2$. 因此, 序列 $\{\lambda_n\}$ 就是从 $A^2$ 到 $\mathcal{D}^2$ 的一个系数乘子.

当研究从空间 $A^2$ 到空间 $\mathcal{D}^2$ 系数乘子的 Hyers-Ulam 稳定性时, 除有特别说明外, 总假设序列 $\{(n+1)\lambda_n\}_{n=0}^\infty$ 是有界的.

${\bf定理2.2}$ 如果序列 $\{\lambda_n\}$ 满足 $\frac{\lambda_n}{n+1}=O(1),$ 那么 $\{\lambda_n\}\in(\mathcal{D}^2, A^2)$.

${\bf证}$ 设 $f=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n \in \mathcal{D}^2$, 那么 $f$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的一个解析函数, 并且满足 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leqslant1$ 和

容易得到

有

设 $|\frac{\lambda_n}{n+1}|<C, C>0$, 有 $|\lambda_n|<(n+1)C$. 令 $h(z)=T_\lambda f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty \lambda_na_nz^n$. 容易得到

因此, 函数 $h$ 也是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的解析函数. 容易证明

这样, 得到 $h\in A^2$. 因此, 序列 $\{\lambda_n\}$ 就是从空间 $\mathcal{D}^2$ 到空间 $A^2$ 的一个系数乘子.

当研究从 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 到 Bergman 空间 $A^2$ 系数乘子的 Hyers-Ulam 稳定性时, 除特别说明外, 总是假定序列 $\{\frac{\lambda_n}{n+1}\}_{n=0}^\infty$ 是有界的.

这一部分, 主要研究从 Bergman 空间 $A^2$ 到 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 的系数乘子的 Hyers-Ulam 稳定性. 首先, 证明这一部分的主要结论.

${\bf定理3.1}$ 设 $\lambda=\{\lambda_n\}$ 满足 $(n+1)\lambda_n=O(1)$, 那么系数乘子 $T_\lambda: A^2 \rightarrow \mathcal{D}^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的充要条件是序列 $\left\{\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right\}$ 是有界的.

${\bf证}$ 充分性. 假设序列 $\left\{\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right\}$ 是有界的, 并设 $M=\sup\left\{\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|: n\geqslant 0\right\}$. 由于多项式在 $A^2$ 和 $\mathcal{D}^2$ 中是稠密的, 只需要证明 $T_\lambda$ 在 $A^2$ 和 $\mathcal{D}^2$ 的多项式稠子空间 $\mathcal{P}$ 上是 Hyers-Ulam 稳定的即可. 取两个多项式 $p(z)=\sum\limits_{n=0}^ra_nz^n\in \mathcal{P}\subset A^2$ 和 $q(z)=\sum\limits_{n=0}^sb_nz^n\in \mathcal{P}\subset \mathcal{D}^2$, 这里 $r$, $s$ 都是非负整数.

当 $r=s$ 时, 有

对任意的 $\varepsilon>0$, 若 $p,q$ 满足 $\left\|T_\lambda p-q\right\|_{\mathcal{D}^2}<\varepsilon,$ 由 (3.1)式得到

取函数 $p_0\in \mathcal{P}\subset A^2$ 为

容易证明

这里 $q\in \mathcal{P}\subset \mathcal{D}^2$. 这样, 有

由 (3.2)和 (3.3)式, 得到

当 $r<s$ 时, 有

对任意的 $\varepsilon>0$, 若 $p,q$ 满足 $\left\|T_\lambda p-q\right\|_{\mathcal{D}^2}<\varepsilon,$ 由 (3.4)式有

取函数 $p_0\in \mathcal{P}\subset A^2$ 为

容易证明

这里 $q\in \mathcal{P}\subset \mathcal{D}^2$. 于是, 得到

由 (3.5)和 (3.6) 式, 可得

当 $r>s$ 时, 有

对任意的 $\varepsilon>0$, 若 $p,q$ 满足 $\left\|T_\lambda p-q\right\|_{\mathcal{D}^2}<\varepsilon,$ 由 (3.7)式, 可得

取函数 $p_0\in \mathcal{P}\subset A^2$ 是

容易得到

这里 $q\in \mathcal{P}\subset \mathcal{D}^2$. 于是, 得到

通过 (3.8)和 (3.9)式, 得

综合以上各种情形, 就证明了系数乘子 $T_\lambda: A^2 \rightarrow \mathcal{D}^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的.

必要性. 设 $T_\lambda: A^2 \rightarrow \mathcal{D}^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的, 并且具有稳定性常数 $K$. 那么, 对于任意的 $\varepsilon>0$, $f\in A^2,\ g\in \mathcal{D}^2$ 满足条件 $\|T_\lambda f -g\|_{\mathcal{D}^2}\leqslant \varepsilon$, 都存在 $f_0\in A^2$ 和 $K>0$ 使得 $T_\lambda f_0=g$ 并且 $\|f-f_0\|_{A^2}<K\varepsilon.$ 对任意的非负整数 $n$, 如果取 $f=\frac{z^n}{\lambda_n\sqrt{n+1}}$, $g=0, \varepsilon=1$, 有 $\parallel T_\lambda f-g\parallel_{\mathcal{D}^2}=\left\|\frac{z^n}{\sqrt{n+1}}\right\|_{\mathcal{D}^2}\leqslant 1=\varepsilon.$ 那么存在 $f_0\in A^2$ 使得 $T_\lambda f_0=0$ 并且 $\|f-f_0\|_{A^2}=\left\|\frac{z^n}{\lambda_n\sqrt{n+1}}-f_0\right\|_{A^2}<K\cdot1=K.$ 这样, 有 $\|f\|_{A^2}-\|f_0\|_{A^2}<K.$ 容易得到 $\|f\|_{A^2}<\|f_0\|_{A^2}+K.$ 因此, $\left\|\frac{z^n}{\lambda_n\sqrt{n+1}}\right\|_{A^2}=\left\|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\cdot\sqrt{n+1}z^n\right\|_{A^2} =\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|\left\|\sqrt{n+1}z^n\right\|_{A^2} =\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|<\|f_0\|_{A^2}+K.$ 于是得到 $\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|<\|f_0\|_{A^2}+K.$ 由于 $n$ 是任意的非负整数, 得到序列 $\left\{\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right\}$ 是有界的.

下面证明系数乘子 $T_\lambda: A^2 \rightarrow \mathcal{D}^2$ 的最佳 Hyers-Ulam 稳定性常数是存在的.

${\bf定理3.2}$ 设 $\lambda=\{\lambda_n\}$, 系数乘子 $T_\lambda: A^2 \rightarrow \mathcal{D}^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的, 那么 $K_{T_\lambda}= \sup\left\{\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|: n\geqslant 0\right\},$ 并且 $K_{T_\lambda}$ 是 $T_\lambda$ 的一个 HUS 常数.

${\bf证}$ 由于系数乘子 $T_\lambda: A^2 \rightarrow \mathcal{D}^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的, 那么对任意的 $\varepsilon>0$, $f\in A^2,\ g\in \mathcal{D}^2$ 并且 $f,g$ 满足 $\parallel T_\lambda f -g\parallel_{\mathcal{D}^2} \leqslant \varepsilon$, 都存在 $f_0\in A^2$ 和 $K>0$ 使得 $T_\lambda f_0=g$ 并且 $\|f-f_0\|_{A^2}<K\varepsilon.$ 若 $n$ 是非负整数, 对 $f=\frac{z^n}{\lambda_n\sqrt{n+1}}$, $g=0, \varepsilon=1$, 有 $\parallel T_\lambda f -g\parallel_{\mathcal{D}^2} =\left\|\frac{z^n}{\sqrt{n+1}}\right\|_{\mathcal{D}^2} =1\leqslant\varepsilon,$ 那么存在 $K>0, f_0=0\in A^2$ 使得 $T_\lambda f_0=0=g$ 并且 $\|f-f_0\|_{A^2}=\left\|\frac{z^n}{\lambda_n\sqrt{n+1}}-0\right\|_{A^2}=\left\|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\cdot\sqrt{n+1}z^n\right\|_{A^2} =\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|\left\|\sqrt{n+1}z^n\right\|_{A^2}=\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|<K\varepsilon=K\cdot1=K.$ 这样, 有 $\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|<K,$ 于是可得到 $\sup\left\{\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|: n\geqslant 0\right\}\leqslant K.$ 由定理3.1的证明过程可知 $M=\sup\left\{\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|: n\geqslant 0\right\}$ 是一个 HUS 常数. 于是, $K_{T_\lambda}=\sup\left\{\left|\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right|: n\geqslant 0\right\}.$ 于是得到 $K_{T_\lambda}$ 是 $T_\lambda$ 的一个 HUS 常数.

下面给出几个例子来说明以上两个定理结果的有效性.

${\bf例 3.1}$ 考虑序列 $\lambda=\{\lambda_n\}$, 这里 $\lambda_n=\frac{2\mathrm{i}}{n+1}$, $n$ 是非负整数, $\mathrm{i}$ 是虚数单位. 容易得到序列 $\left\{(n+1)\lambda_n\right\}$ 满足 $(n+1)\lambda_n=O(1)$. 由定理2.1, 有 $\left\{\frac{2\mathrm{i}}{n+1}\right\}\in \left(A^2,D^2\right)$. 同时, 容易得到序列 $\left\{\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right\}$ 是有界的. 由定理3.1, 得到 $T_\lambda: A^2 \rightarrow \mathcal{D}^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的. 由定理3.2, $T_\lambda$ 的最佳 HUS 常数是 $\frac{1}{2}$.

${\bf例 3.2}$ 取序列 $\lambda=\{\lambda_n\}$, 这里 $\lambda_n=\frac{1}{(n+1)^{\frac{3}{2}}}$, $n$ 是非负整数. 明显地, 序列 $\left\{(n+1)\lambda_n\right\}$ 满足 $(n+1)\lambda_n=O(1)$. 由定理2.1, 可得 $\left\{\frac{1}{(n+1)^{\frac{3}{2}}}\right\}\in \left(A^2,D^2\right)$. 容易得到序列 $\left\{\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right\}$ 是无界的. 由定理3.1, 得到 $T_\lambda: A^2 \rightarrow \mathcal{D}^2$ 不是 Hyers-Ulam 稳定的.

${\bf例 3.3}$ 考虑序列 $\lambda=\{\lambda_n\}$, 这里 $\lambda_n=\frac{4}{n+1}+\frac{5\mathrm{i}}{(n+1)^{\frac{3}{2}}}$, $n$ 是非负整数, $\mathrm{i}$ 是虚数单位. 容易得到序列 $\left\{(n+1)\lambda_n\right\}$ 满足 $(n+1)\lambda_n=O(1)$. 由定理2.1, 得 $\left\{\lambda_n\right\}\in \left(A^2,D^2\right)$. 不难发现 $\left\{\frac{1}{(n+1)\lambda_n}\right\}$ 是有界的. 由定理3.1, 得到 $T_\lambda: A^2 \rightarrow \mathcal{D}^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的. 由定理3.2, $T_\lambda$ 的最佳 HUS 常数是 $\frac{1}{4}$.

在这一部分, 通过与前一部分相类似的讨论, 可得到从 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 到 Bergman 空间 $A^2$ 的系数乘子的相关结论. 这里略去证明. 这部分也给出了一些例子来说明主要结论的有效性.

${\bf定理4.1}$ 设 $\lambda=\{\lambda_n\}$ 满足 $\frac{\lambda_n}{n+1}=O(1)$, 那么系数乘子 $T_\lambda: \mathcal{D}^2 \rightarrow A^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的充要条件是序列$\left\{\frac{n+1}{\lambda_n}\right\}$ 是有界的.

下一个结果说明了系数乘子 $T_\lambda: \mathcal{D}^2 \rightarrow A^2$ 的 Hyers-Ulam 稳定性最佳常数是存在的.

${\bf定理4.2}$ 设序列 $\lambda=\{\lambda_n\}$, 系数乘子 $T_\lambda: \mathcal{D}^2 \rightarrow A^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的, 那么 $K_{T_\lambda}= \sup\left\{\left|\frac{n+1}{\lambda_n}\right|: n\geqslant 0\right\}$ 并且 $K_{T_\lambda}$ 是 $T_\lambda$ 的一个 HUS 常数.

接下来, 给出几个例子来说明以上定理结论的有效性.

${\bf例 4.1}$ 考虑序列 $\lambda=\{\lambda_n\}$, 这里 $\lambda_n=2(n+1)\mathrm{i}$, $n$ 是非负整数, $\mathrm{i}$ 是虚数单位. 明显地, 序列 $\left\{\frac{\lambda_n}{n+1}\right\}$ 是有界的, 由定理2.2, 我们有 $\{2(n+1)\mathrm{i}\}_{n=0}^\infty\in(\mathcal{D}^2,A^2)$. 由于 $\left\{\frac{n+1}{\lambda_n}\right\}$ 是有界的, 由定理 4.1, 可得到 $T_\lambda: \mathcal{D}^2 \rightarrow A^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的. 再由定理 4.2, $T_\lambda: \mathcal{D}^2 \rightarrow A^2$ 的最佳 HUS 常数是 $\frac{1}{2}$.

${\bf例 4.2}$ 取序列 $\lambda=\{\lambda_n\}$, 这里 $\lambda_n=\sqrt[3]{n+1}$, $n$ 是非负整数. 容易得到序列 $\left\{\frac{\lambda_n}{n+1}\right\}$ 是有界的. 由定理2.2, 可得到 $\left\{\sqrt[3]{n+1}\right\}_{n=0}^\infty\in(\mathcal{D}^2,A^2)$. 因为 $\left\{\frac{n+1}{\lambda_n}\right\}$ 是无界的, 由定理4.1, 可得到 $T_\lambda: \mathcal{D}^2 \rightarrow A^2$ 不是 Hyers-Ulam 稳定的.

${\bf例 4.3}$ 考虑序列 $\lambda=\{\lambda_n\}$, 这里 $\lambda_n=7(n+1)+8\mathrm{i}(n+1)^{\frac{1}{2}}$, $n$ 是非负整数, $\mathrm{i}$ 是虚数单位. 容易得到序列 $\left\{\frac{\lambda_n}{n+1}\right\}$ 是有界的. 由定理2.2, 可得 $\left\{\lambda_n\right\}\in(\mathcal{D}^2,A^2)$. 因为 $\left\{\frac{n+1}{\lambda_n}\right\}$ 是有界的, 由定理4.1, 可得到 $T_\lambda: \mathcal{D}^2 \rightarrow A^2$ 是 Hyers-Ulam 稳定的. 再由定理4.2, $T_\lambda$ 的最佳 HUS 常数是 $\frac{1}{7}$.

在本文中, 主要研究了 Dirichlet 空间和 Bergman 空间之间的系数乘子的 Hyers-Ulam 稳定性. 本文得到了一些使得序列 $\lambda=\{\lambda_n\}_{n=0}^\infty$ 能成为 Dirichlet 空间 $\mathcal{D}^2$ 和 Bergman 空间 $A^2$ 之间系数乘子的充分条件. 这些结果总结在了表 1 中. 另一方面, 本文的主要结果表明, 在解析函数 Hilbert 空间上系数乘子 $T_\lambda$ 的 Hyers-Ulam 稳定性取决于与序列 $\lambda=\{\lambda_n\}$ 和相应空间相关的特定序列的有界性. 若系数乘子 $T_\lambda$ 是 Hyers-Ulam 稳定的, 结果表明系数乘子 $T_\lambda$ 的 Hyers-Ulam 稳定性常数是存在的. 这些结果总结在了表 2 中.